（理论物理专业论文）四能级系统的相干性及双光子跃迁.pdf

一i _ 一- 一、n 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究 工作所取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盒圣丞 日 期：窆f 里：! 汀 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：盗垒i 整 日期：丝! 鉴 电话： 邮编： 摘要 光与物质间相互作用的各种动力学特性是量子光学研究的一个重要而又基 本的问题。人们对j c 模型进行了一系列的推广和研究，对其动力学导致的相干 性，和实验上体现出的干涉特性，以及在量子信息中的应用开展了深入探讨。特 别要指出，对三能级系统以及四能级系统的相干性研究在理论和实验方面都备受 关注，类似的方案与方法还可以被成功应用到量子点体系的相关讨论。因此，本 文就某四能级系统的动力学特征进行讨论与研究。 本文通过全量子理论，以一个四能级系统动力学模型为研究对象，主要研究 了系统的相干性及双光子跃迁过程。详细研究了四能级系统的动力学演化。首先， 运用f r 6 h l i c h 变换的方法给出此四能级系统的有效动力学，然后在一些适当的条 件下研究其相干特性。最后用q e d 中研究光场辐射的方法研究此四能级系统的 双光子跃迁。当光与原子各个能级间的耦合系数取近似相等，在特殊的频率条件 下，我们对体系的相干特点进行了详细的解析运算。结果表明本来没有相互作用 的能级间产生了相干。在没有取特殊共振条件的普遍模型中，系统存在拉曼型 ( r a m a n - t y p e ) 双光子过程。 关键词：四能级；f r 6 h l i c h 变换：相干性；双光子跃迁 a b s t r a c t t h es t u d yo nt h ed y n a m i c a lp r o p e r t i e sb r o u g h ta b o u tb yt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e n t h el i g h tf i e l da n dm a t e r i a lh a sa t t r a c t e dt h ea t t e n t i o no fr e s e a r c h e r sf o ri t si m p o r t a n c e t h er e s e a r c h e r s p a ym u c ha t t e n t i o n t ot h e g e n e r a l i z a t i o n a n d a n a l y s i s o f j a y n e s - c u m m i n gm o d e l ，p a r t i c u l a r l yt h ec o h e r e n c ei n t r o d u c e db yt h ed y n a m i c sa n d t h ed i f f r a c t i o ni ne x p e r i m e n t sa r es t u d i e d a l s ot h ea p p l i c a t i o no fq e d s y s t e m si n q u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n gi sd i s c u s s e dw i d e l y w em u s tp o i n to u tt h a tt h es t u d y o nt h ec o h e r e n c eo fo n et h r e e - l e v e lo rf o u r - l e v e ls y s t e mi sc o n d u c t e di nb o t ht h e t h e o r ya n de x p e r i m e n t s i ts h o u l db em e n t i o n e dt h a tt h es i m i l a rs c h e m e sa n dm e t h o d s c o u l dg e n e r a l i z e dt ot h eq u a n t u md o ts y s t e m s i nt h et h e s i s ，t h ed y n a m i c a lp r o p e r t i e s o fo n eg i v e nf o u r - l e v e ls y s t e mw i l lb ed i s c u s s e dt h e o r e t i c a l l y b yu s i n gt h ef u l lq u a n t u mm e c h a n i c a lt h e o r y , t h ec o h e r e n c ea n dt w o - p h o t o n t r a n s i t i o no fo n ef o u r - l e v e ls y s t e ma r ea n a l y z e d t h ed e t a i l e de v o l u t i o ni sd i s c u s s e d f i r s t l y , t h ee f f e c t i v eh a m i l t o n i a ni sg i v e nb yl l s i i l gt h ef r s h l i c ht r a n s f o r m a t i o n a n d t h e nt h ec o h e r e n c ep r o p e r t i e sa r ed i s c u s s e d 弱s o m ea p p r o p r i a t ec o n d i t i o ni sa d o p t e d f i n a l l y , t h et w o - p h o t o nt r a n s i t i o ni ss t u d i e dl l s i n gt h er e s e a r c hm e t h o do fs p o n t a n e o u s e m i s s i o ni nq u a n t u me l e c t r o d y n a m i c s a st h ec o u p l i n gc o e f f i c i e n t sa r ea d o p t e ds a l n e t h eh a m i l t o n i a ni ss e e nt oc o m m u t ew i mt h ep a r t i c l en u m b e ro p e r a t o ro ft h el i g h t f i e l d a tt h es p e c i f i cf i e q u e n c yc o n d i t i o n , t h ed e r i v a t i o no nt h ec o h e r e n tp r o p e r t i e si s g i v e n t h ea n a l y s i sr e s u l t ss h o wt h a tt h et w ol e v e l so r i g i n a l l yn o n - c o r r e l a t e dw i l lb e i n t e r a c t i n gw i me a c ho t h e r a st h e r ei sn os u c ha d o p t i o n , t h et w o - p h o t o nt r a n s i t i o n c o u l db es e e n k e y w o r d s ：4 - l e v e l ；f r f h l i c ht r a n s f o r m a t i o n ；c o h e r e n c e ；t w o - p h o t o nt r a n s i t i o n n i 目录 摘要i a b s t r a c t i i 目录i i i 引言1 一、量子光学发展简述1 二、三能级与四能级模型2 三、本文结构5 第一章f r f i h l i c h 变换和有效动力学6 1 1f r 6 h l i c h 变换6 1 2 四能级体系的有效动力学7 第二章四能级体系的相干特性。1 1 2 1 初始时刻光制备在真空态上时的相干性一1 1 2 2 初始时刻光制备在i o ，) 和1 1 ，) 叠加态上时的相干性1 3 2 3 初始时刻光制备在相干态上时的相干性15 2 4 小结1 5 第三章四能级体系的双光子跃迁16 3 1 双光子跃迁几率16 3 2 小结2 2 总结和展望2 3 参考文献2 4 致谢2 6 东北师范大学硕士学位论文 一、量子光学发展简述 引言 1 9 0 0 年，m p l a n c k 1 j 发现如果假定原子不是连续的而是断续的放出和吸收 能量，他所得到的普朗克公式可以很好地解释热辐射所产生的光谱分布。从这时 起，光的量子本性才初露端弭。1 9 0 5 年，e i n s t e i n 2 j 提出一束光的能量分布是一 份一份的分立的，也就是现在所说的光子说，成功的解释了光电效应，1 9 1 7 年， e i n s t e i n 在研究二能级系统的黑体辐射问题时用很巧妙的半唯象理论来说 明原子自发辐射现象，借助于物体与辐射场达到平衡时的热力学关系，提 出了受激辐射、受激吸收和自发辐射这三个概念，并给出了三者之间的关 系。特别是受激辐射这一概念的提出，最终导致了激光器的发明、激光的 出现和激光理论的诞生，直至形成了当今的激光技术、激光工程和激光产 业。1 9 1 8 1 9 2 2 年，美国物理学家a h c o m p t o n 3 j 【4 】在研究石墨对x 射线 的散射时，发现在散射的x 射线中，除了与入射波长相同的成分外，还 有波长大于成分，c o m p t o n 用光子模型成功的解释了这种效应。与此同 时，各种光谱仪的普遍使用促进了光谱学的发展，通过原子光谱来探索原 子内部的结构及其发光机制导致了量子力学的建立。所有这一切为量子光 学奠定了基础。真正将量子光学的理论研究工作引上正轨并推向深入的， 是j a y n e s 和c u m m i n g s 副【6 j 两人。l9 6 3 年，e t j a y n e s 和f w c u m m i n g s 两 人在讨论微波激射器时提出了表征单模光场与单个理想二能级原子相互作 用的j a y n e s - - - c u m m i n g s 模型，这标志着量子光学的正式诞生。在这以后， 人们对该模型做了大量推广，做了大量的而且是富有成效的理论与实验研 究工作。我国的李孝申【。刀【8 】等人把光场处理成双模或多模，把原子推广为三 能级，四能级的情况。t a v i s 和c u m m i n g s 列等人又将该系统推广至两原子和 多原子的体系。 近年来，随着科学技术的不断进步，研究的不断深入，量子光学领域已经出 现了一系列突破性的进展。特别是在1 9 9 7 年，s c h u ，c c t a n n o u d j i 和 w d p h i l l i p s 1 0 】等人因研究原子的激光冷却与捕获而获得1 9 9 7 年度诺贝尔物理 学奖，将量子光学领域的研究工作推向了第一个高潮。值得一提的是，最近，中 国科学院物理研究所的刘伍明研究小组在光与物质相互作用领域取得了重要进 展。他们发现在包含冷原子的两个弱耦合微腔的光学系统中居然可以产生一种新 东北师范大学硕士学位论文 颖的量子效应光子约瑟夫森效应【1 1 1 ，并进一步设计了相干光子干涉器件。 可以说这项新的研究工作对进一步认识新奇量子现象，特别是耦合原子微腔系统 的新型量子效应具有非常重要的意义。 二、三能级与四能级模型 量子光学主要是研究光场的各种经典和非经典现象的物理本质，研究 光场的各种线性和非线性效应的物理机制，研究光场与物质相互作用的各 种动力学特性及其与物质结构之间的关系，揭示光子自身相互作用的基本 特征、机理、规律等。其中，光与物质的相互作用是量子光学研究的很重 要的问题，也是长期以来人们感兴趣的问题。在处理光场与物质的相互作 用时，常用的是全量子理论，即光场和原子都是量子化的。上文已经提到 人们对j c 模型进行了一系列的推广和研究，对其动力学导致的相干性，和 实验上体现出的干涉特性，以及在量子信息中的应用开展了深入探讨。特 别要指出，对三能级系统以及四能级系统的相干性研究在理论和实验方面 都备受关注，类似的方案与方法还可以被成功应用到量子点体系的相关讨 论。下面就列举一些常见的三能级和四能级的模型。 一般来说，三能级原子最常见的是三种不同的能级图【1 2 】【1 3 】 1 4 】【1 5 】【1 6 】 ( 如图0 1 所示) ，分别叫做型，v 型，和a 型。 z 型 l c ) i b ) l 口) 、 q i 、 l 一， ，a、 ， 口) 厂一 v 型 图o 1 三种不同类型的三能级结构 2 人型 东北师范大学硕士学位论文 最简单的体系就是整个体系是封闭的，即原子不与自由空间的辐射场 模发生任何耦合，与原子相互作用的量子场是单模场。原子与激发态的腔 模是通过电偶极相互作用而彼此耦合。假设原子能级l 刁和f 磅，以及j 6 ) 和i c 之间允许偶极跃迁，而在l 口) 和i c ) 之间禁戒跃迁。一般的处理方法就是在旋 转波近似下写出各个系统的哈密顿量，把t 时刻的态函数代入薛定谔方程， 或者通过计算密度矩阵等方法就可以得到很多关于系统的动力学特征。 举两个三能级系统研究工作的例子。 第一个是e g l 1 7 】【1 8 儿1 9 】：如图0 2 所示是一般的人型三能级原子与光场 和腔的耦合系统。腔场与原子中能级1 1 ) 到能级1 3 ) 的跃迁频率是谐振的。能 级1 2 ) 和能级1 1 ) 是禁止跃迁的。自由空间r a b i 频率为q 。的激光驱动原子从 能级i ；) 跃迁到能级1 3 ) 。 图0 2 三能级e g l 。这是一个人型三能级原子。 通过对此系统做w l c ( 白光腔) 实验，说明该体系可以作为腔量子电动力学里 的一个非线性光学的例子。同时，这样的体系可以用来光偏振旋转以及用来触发 光偏振，还可以用来研究一同传播的超光速脉冲的群速度控制。 第二个典型的三能级系统为e 醇【2 0 】【2 1 】【2 2 1 ，例如图o 3 所示的型c s 原子的三 能级系统。 图0 3 三能级e 9 2 。这是一个型三能级原子。 3 东北师范大学硕士学位论文 频率为皱的泵浦光与高能级跃迁频率q 谐振，同时频率为她的泵浦光与低 能级跃迁频率鳓共振。科研工作者通过同时用这样的泵浦光以及探测光从不同 的方向照在这样一个三能级c s 原子上，观察到了三能级反射光谱的主要特点，并 与理论上标准的三能级光谱进行了对比。 对于四能级的体系，近年来也引起了人们大量的关注，人们做了很多的工 作，比如研究对称双量子点结构【2 3 】 2 4 】，研究无粒子数反转激光【2 5 】等等。下面， 同样也是列举两个四能级体系的科研工作。 e 9 3 2 6 】【2 7 】【2 8 】 2 9 】：如图o 4 所示n 型四能级系统，展宽均匀。其中能级1 1 ) ，1 3 ) 是驰豫的简并基态能级。能级1 2 ) 和能级1 4 ) 是简并的激发态能级。能级1 1 ) 和1 4 ) 是 禁止跃迁的( 根据选择定则) 。此原子受到三个光场的作用耦合场，控制场， 探测场。耦合场驱动能级1 1 ) ，1 2 ) 间的跃迁，探测场驱动能级1 2 ) ，1 3 ) 间的跃迁， 控制场驱动能级1 3 ) ，1 4 间的跃迁。2 q ，2 q ：，2 q ，分别是耦合场，探测场和 控制场的r a b i 频率。工作人员通过计算系统约化密度主方程讨论了控制场线宽对 原子相干效应的影响，并得出结论：在四能级原子系统中，耦合场和控制场线宽 的引入将减弱四能级原子相干性，从而改变介质对探测场的吸收。 j q l 咄 q 3 、 ， n 、 ， 图0 4 e 9 3 四能级跃迁模式。 图0 5 e 9 4 四能级跃迁方式。 4 东北师范大学硕士学位论文 另一种跃迁方式的四能级体系为e 9 4 3 0 1 ，如图o 5 所示。其中q 。，q ：分别 是外场的r a b i 频率。工作人员主要借此模型探讨了驱动场的强度增加时横向衰 减对相干度的影响。 由此可见，在研究光与物质相互作用时，三能级以及四能级系统不论在理 论上还是在实验上都有很深刻的意义。因此，本文就四能级系统研究其动力学特 征。 三、本文结构 本文一共分成五个部分。首先引言部分对量子光学的发展做了简要说明介绍 了国内外科研人员对某些三能级系统以及四能级系统的研究工作，可见对四能级 系统的理论研究具有重要的科学价值。第一章简单介绍了f r 6 h l i c h 变换的方法， 详细推导了四能级系统的有效哈密顿量，从其形式分析会产生哪些动力学相干效 应。其次是本文的两大重点研究内容：假设光与原子各个能级的耦合系数都近似 相等，如果取特殊的光照射频率，四能级系统就退化为了三能级系统。在此基础 上研究了该系统的相干特性，研究结果给出了最初没有相互作用的两个能级间的 关联与时间的关系。第三章是在没有上述特殊耦合强度和频率条件时，可以看出 此系统存在双光子跃迁，运用拉普拉斯变换的方法得到原子光场系统在任意时 刻的波函数描述，进而给出各态所处几率。 东北师范大学硕士学位论文 第一章f r s h l i c h 变换和有效动力学 1 1f r s h l i c h 变换 f r 6 1 1 1 i c h 最先是从b c s 理论中电子- 光子一电子的总哈密顿量出发，利用正则 变换的方法导出了电子光子电子的有效哈密顿量，解释了超导的微观理论。 有效的方法和技术在物理学不同领域的研究中是常用的。b c s 理论中电子 光子电子有效相互作用的f r s h l i c h 变换同样可以推广到量子光学和原子光学各 种有效哈密顿量的推导上。 给定一有微扰系统的哈密顿i h = h o + 弛，微扰为h i ，名称微扰参数，用 它来标定微扰的阶，在计算的最后令其为1 引入f 变换的首要问题是选择一个适当的幺正变换。我们令变换u = e - 船 这里s 是一个反厄米算符，它由所讨论的微扰系统所决定。我们知道幺正变 换不改变系统的动力学，也就是说以= p 一船h e 船与日描写了相同的物理过程。 我们注意到算符s 是与h ，相同的一阶微扰量。这是因为当2 = o 时，u ( 旯) = 1 运用g l a u b e r 公式，可以吧吼写作 h 2 = 风+ 塾( 矿1 等瞪竺：型 ( 1 ) 在二阶近似下我们不考虑三阶项。与最基本的f 变换相同，我们令 马+ 【凰，s 】- o ( 1 2 ) 简明起见，假定风能级非简并，令i 刀) 为日。的本征函数，相应的本征值为e 。 在完全系 i 玎) 】下，取( 1 2 ) 的矩阵形式 ( m i l l i n ) + ( e , , , - g ) ( m l s l n ) = o = ( 聊s = 器 或 6 东北师范大学硕士学位论文 s = 萎器m i 由式( 1 1 ) 和式( 1 3 ) 可得二阶有效哈密顿量 h _ - - + 互1 h s 】 可以证明这是跟二阶微扰论是一致的。 1 2 四能级体系的有效动力学 我们考虑如图( 图1 1 ) 所示的四能级系统。 c ) t r 弋 、t 、 、 、 、 ， tt i t 、 、 图1 1 四能级原子的能级结构。 1 1 1 2 ) 6 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中能级1 6 ) 为基态能级，能级1 1 ) ，能级1 2 ) 以及能级i c ) 都是激发态能级， 并且能级i c 远高于能级1 1 ) ，1 2 ) 。除能级j 1 ) ，1 2 ) 之间没有相互作用，各个能级 间均有相互作用。用频率为国的单模拉曼光照射此系统。则这个系统哈密顿量可 以写成如下形式： h = h 4 + h r + h l 这里，也= 壳岛j 6 ) p j + 壳岛1 2 ) ( 2 i + 壳岛1 1 ) ( 1 i + 壳乞j c ) ( c i 单模光哈密顿量= 壳绷+ a 其中乞，岛，蜀，乞分别表示能级f 6 ) ，f 2 ) ，1 1 ) ，i c ) 的频率。口，口+ 分别 是单模光的产生湮灭算符，g o 为其频率。 7 ， 、 、 、， 、 、 、 、 、 、 、 东北师范大学硕士学位论文 则总的自由的哈密顿量司表不为： h q = h n + hr 日，是原子系统与单模拉曼光间的相互作用，其形式为： i - , = 壳( g 扪口+ 1 6 ) ( 1 l + g 蛇矿1 6 ) ( 2 l + 矿口+ 1 6 ) ( c | + g k 口+ 1 1 ) ( c l + 9 2 。矿1 2 ) ( c 1 + 9 6 1 a 1 1 ) ( b l + 9 6 2 a 1 2 ) ( b l + g k a l c ) ( b l + g k 口l c ) ( 1 l + 9 2 。a l c ) ( 2 1 ) ( 1 5 ) 这里矿1 ，g 此，g 缸，g k ，9 2 。表示不同原子能级与光场的耦合强度，这里 取其为实数。 f 栅t 血变换u = 矿船中s 的矩阵元表示为= 器 这里i ，i z ) = i c ，托) ，1 1 ，歹) ，1 2 ，七) ，1 6 ，m ) 】是零阶哈密顿量凰的本征函数，并且 n ，j ，k ，m = o ，1 ，2 ，相应的本征值为： 瓦= 壳乞+ n h c o 巨，= 壳岛+ j h a ， = 壳毛+ m h c o 岛t = j l 岛+ k h c o 则有矩阵元： 代入s 的计算式， 易得 同理可得 ( c ，, , i h , i i ，) = h g k a 产。 8 东北师范大学硕士学位论文 ”貉- j , m - - i 一，6 u 锄= 虿百而一“ 如加= g _ 型亟l = 一m b - - 2 + ( m - - k ) w 6 2 t ，6 ，= 二一= 一6 钿2 i 由此，不难写出算符s 的形式： + + + + 9 2 。 2 一c + g 幻 b 一c 七国 9 6 1 乞一毛+ 彩 9 6 2 b 一2 七 考虑到乞岛，乞乞，乞乞 c ) ( 2 l a - c ) ( b a - q 一乞+ 缈 岛一乞+ g o g k b 一c + 1 ) ( 6 i 口一石g 而b l i 2 ) ( 6 i 口一丽g b 2 1 ) ( c i 口+ 1 2 ) ( c i 口+ i b ) ( c l a + i， b ) ( 1 l a + 1 6 ) ( 2 l 口+ 兰凰+ 互1 h s 】 则此四能级系统的有效哈密顿量为： 0 = 壳岛1 6 ) ( 6 i + 壳岛1 2 ) ( 2 i + 壳蜀1 1 ) ( 1 l + 壳幺l c ) ( c l + 壳改+ 口 + 吐 壳 2 壳 2 壳 2 壳 g b l 9 6 1 + g b 2 9 6 2 岛一毛+ 国岛一岛+ 国 9 6 1 9 1 。 + g b 2 9 2 。 口+ 口1 6 ) ( 6 i 一壳 乞一毛+ 国乞一岛+ 国 9 6 1 9 6 2 + 9 6 2 9 6 1 9 6 2 9 6 2 乞一岛+ 缈 p 州材州 乞一岛+ 彩乞一岛+ 缈 9 6 1 9 k 岛一毛+ 缈 g b 2 9 k 2 岛一z 2 + 彩 a a + i a a + l 御+ 1 1 ) ( 2 1 + a a + 1 2 ) ( 1 1 ) ( c 一羔州( t l 2 ) ( c i 一量羔州( 2 9 a a + 1 2 ) ( 2 l - h g b l 9 6 1 ( 1 6 ) 乞一q + 国 a a + 1 1 ) ( 1 ( 1 7 ) _，l-l 东北师范大学硕士学位论文 由此哈密顿量的表达形式刁 ( 1 ，0 l 项前的系数。由于是二阶小量， 可以近似取到1 2 ，o ) ( 1 ，0 i 前系数为2 的量级。可以观察上述计算，只有i c ，o 0 ，o i 项 和1 2 ，o ) ( 1 ，o i 项分别与哈密顿量对易后才能出现所需的1 2 ，o 0 ，o i 项。由i c ，o ) ( 1 ，o l 、 1 2 ，o 0 ，o l 前的系数规律，可以推断，i 1 岛( 砚3 ) 中1 2 ，o 0 ，o l 项前的系数近似 弛2 的量级应溉书2 等陲专芋监，。 zn1 5 一e ， 则可以得到翻转算符1 1 ) ( 2 i 的平均值为： 删| 1 ) ( 2 i = 一汐仨磊i 丽h 州疋训一等( ) 2 + 薹等( 嘲门 一丽1 c - 1 + i t ( ：- e , ，一等c ) 2 + 薹等c 门专2 譬 1 2 东北师范大学硕士学位论文 = 一宦最习h 州幺训一等( 乞吲2 候刮】 ( 乞一毛) ( 乞一乞) - 1 + i t ( 乞训一譬( 岛吲2 嘞训】+ 百( i t ) 2 ) 2 2 初始时刻光制备在i o ，) 和1 1 ，) 叠加态上时的相干性 ( 2 7 ) 我们再来讨论当光在初始时刻制备在态l 厂) = 击( 1 。，) + i l ，) ) 上，原子处于能 级1 1 ) 上，这时1 1 ) 、1 2 ) 能级的相干性。 若令l a l o ，) = l l ，0 ) ，1 0 1 1 ，) = 1 ，1 ) ，则原子与场的初始时刻密度矩阵为 夕( o ) = 1 1 ，州1 ，i = 去( | 1 ，0 ) ( 1 ，o l + l l ，o ) ( 1 ，1 1 + 1 1 ，1 ) ( 1 ，o l + 1 1 ，1 ) ( 1 ，1 1 ) 任意时刻f 的密度矩阵为夕( f ) = p 一7j 1 ，力( 1 ，i p 蚴。 岛i o ，) = i o ，) ，乞1 1 ，) = 2 l l ，) ，o ，l 乞= ( o ，l ，1 ，i 岛= ( 1 ，1 2 同样根据g l a u b e r 公式( 2 4 ) ，与上节推导相仿，令 1 1 ，厂) ( 1 ，f = p o ， 一f ，风 = 岛， 一吗f ，届 = 见。 一f ，见 = 岛， 则有岛= 1 1 ，州l ，厂i = 寺( | 1 ，o ) ( 1 ，o l + 1 1 ，o ) ( 1 ，1 1 + 1 1 ，1 ) ( 1 ，o l + 1 1 ，1 ) ( 1 1 i ) a = 一f ，风 = 一告豇 ，| 1 ，o ) ( 1 ，o i l + ，| 1 o ) ( 1 l | + ，1 1 1 ) ( 1 ，o | + ，1 1 ，1 ) ( 1 ，i l l = 一i 1z f 【i 1 ( i c ，o ) ( 1 ，o i | 1 ，o ) ( c ，0 1 ) + q c ，o ) ( 1 1 | - 1 1 ，1 ) ( c ，0 1 ) + 日c ，1 ) ( 1 ，0 1 - 1 1 ，0 ) ( c ，1 1 ) + e ( 1 e ，1 ) ( 1 ，1 1 - 1 ，1 ) ( c ，1 i ) + p + 动( 1 1 ，1 ) ( 1 ，o l - l l ，0 ) ( 1 ，1 i ) 】 陀8 ) 1 3 东北师范大学硕士学位论文 音岛= 击 一吗f ，届 = 一导击专 ，| c ，0 ) ( 1 ，0 1 3 一吾 扎io ) ( c ，0 1 + 专 ，i c ，o ) ( 1 ，1 1 一i 1 | 1 ，1 1 1 ) ( c ，0 1 + ，i c 1 ) ( 1 ，0 1 - ，1 1 ，o ) ( c ，1 i + 吐，l c ，1 ) ( 1 1 i - ，| 1 ，1 1 1 ) ( c ，1 1 + ( + 妫 月台，1 1 ，1 ) ( 1 ，o 口一( + 功 月台，1 1 ，o ) ( 1 ，i l l = 一圭z 2 夏1 - 1 【( 乞一毛一) q c ，o ) ( 1 ，o l + 1 1 ，o ) ( c ，0 1 ) + 1 1 ，o 0 ，o l 一l c ，o ) ( c ，o l 一丢( 1 2 ，o ) ( 1 ，o l + 1 1 ，o ) ( 2 ，0 1 ) 】+ i i 【( 乞一2 一妫( k ，o ) ( 1 ，1 1 + 1 1 ，1 ) ( c ，o i ) + 寻0 1 ，o ) ( 1 ，1 1 + 1 1 ，1 ) ( 1 ，0 1 ) 一丢( 1 2 ，o ) ( 1 ，1 1 + 1 1 ，1 ) ( 2 ，0 1 ) 一( 1 c ，o ) ( c ，1 1 + i c ，1 ) ( c ，0 1 ) 】 + ( 乞一+ 砂( i c ，1 ) ( 1 ，0 1 + 1 1 ，o ) ( c ，1 1 ) + q 1 ，1 ) ( 1 ，0 1 + 1 1 ，o ) ( 1 ，1 1 ) 一( 1 2 ，1 ) ( 1 ，o l + 1 1 ，o ) ( 2 ，1 1 ) - 专q c ，1 ) ( c ，o l + i c ，o ) ( c ，1 1 ) + e ( e c - e , - 2 e ) ( c ，1 ) ( 1 ，1 1 + 1 1 ，1 ) ( c ，1 ) + 2 e 1 1 ，1 ) ( 1 ，1 i - 2 e c ，1 ) ( c ，l l - e ( 2 ，1 ) ( 1 ，1 l + 1 1 ，1 ) ( 2 ，1 1 ) 】 + ( + 妫 ( + 砌( 1 1 ，1 ) ( 1 ，o l + 1 1 ，o ) ( 1 ，1 1 ) + e ( i c ，1 ) ( 1 ，o i + 1 1 ，o ) ( c ，1 1 ) 一去0 1 ，1 ) ( c ，o l + l c ，0 ) ( 1 1 | ) 】) ( 2 9 ) 与上节讨论类似，对我们所研究的能级1 1 ) ，1 2 ) 之间的相干性有用的项只有 1 2 ，o ) ( 1 ，0 i 以及1 2 ，1 ) ( 1 ，1 i ，取其系数为2 的量级。与上节推导对比并观察上述结果， 我们发现对于所需1 2 ，0 ) ( 1 ，0 i 项同样只有l c ，o 0 ，0 l 以及1 2 ，o ) ( 1 ，0 l 与哈密顿量的对 易中才能得到，而所需1 2 ，1 ) ( 1 ，1 i 项也只有从i c ，1 ) ( 1 ，1 1 和1 2 ，1 ) ( 1 ，1 i 与哈密顿量的对 易中才能得到。这对我们的求解是十分有利的。同样观察各项前的系数规律，忽 略3 以上的高阶项，容易得到： 护p ( t ) 1 1 ) ( 2 i = 名 睦) 2 哇) 2 + 睦) 2 ( 1 ) 2 】c ( 2 1 0 ) 其中 东北师范大学硕士学位论文 c = 丽1【- 1 州) 一簪( ) 2 + 薹等( 门 一丽1 _ 1 州) 一等( ) 2 + 薹等( 门+ 等 = 虿丽1 - l + 以乞刮一譬( 乞吲2 盯啦! 一再丽1 习h 州岛吲一譬( 岛刮2 + e - a ( e 2 - 岛) 】+ 等 2 3 初始时刻光制备在相干态上时的相干性 如果初始时刻拉曼光制备在相干态i 砖上，由于i 动：e 砰艺丢i 以) ，由此 = o v 刀! 可见，相干态是一种特殊的粒子数态的叠加。从以上两节推导我们不难发现如果 系统处于初态1 1 ，砖上，即任意时刻密度矩阵p ( f ) = p 一劲1 1 ，( 1 ，口i e 岈，同样的 方法可以得到： 州圳1 ) ( 2 i 一心鹄妒播m ：+ = c 薹咩妒 2 4 小结 睦) 2 + m ( 2 1 1 ) 由以上讨论我们可以得出结论，即使初始时刻拉曼光处于任意粒子数态的叠 加态上，最初没有相互作用的两个能级1 1 ) 、1 2 ) 之间也产生了相干。 1 5 东北师范大学硕士学位论文 第三章四能级体系的双光子跃迁 3 1 双光子跃迁几率 在第一蕈中我1 门已经得到，硐双哈罾坝重阴彤瓦为： h 够= 壳乞1 6 ) ( 6 i + 壳乞1 2 ) ( 2 i + j l 岛1 1 ) ( 1 i + 壳乞l c ) ( c i + 壳倒口+ 口 + 壳g h l g b l 石+ 而g b 2 9 b 2h i ) ( 6 i 一壳羔训( 2 | - i 壳篇+ 1 1 ) i ( + h g b l g l 。石+ i g b 2 9 ：。, 1 口+ 2 1 6 ) ( c i + 口2ic ) ( 6 | 一新羔+ 篇p 1 1 ) ( 2 i 耐1 2 ) ( 1 口 一鱼生鲫+11)(ci一皇兰毫船+ic)(112 2 乞一日+ 缈 毛一毛- i - 缈 一鱼皂伽+12)(什i鱼戋绷+ic)(212 乞一岛4 - 缈 2 岛一岛+ 国 由此哈密顿量表示形式中不难发现系统可能存在出双光子过程。接下来我们 将对其所描述的原子光场体系的双光子过程进行讨论。 假定原子初始时刻处于态l c 圆l 以) = l c ，珂) ，l ，z ) 为光场f o e k 态。这样，一次 跃迁后体系可能的状态有： l c ，万) ，i b ，z + 2 ) ，ix ，玎) ，1 2 ，挖) 我们就可以设任意时刻波函数随时间的演化为： i 缈= 础矿印lc ，磅+ 园胪l 历咒+ 2 ) + a 眇1 1 ，而+ d 铲i2 ，磅 ( 3 1 ) 初始条件为：彳( 0 ) = 1 ，b ( o ) = o ，c ( 0 ) = o ，d ( o ) = 0 把式( 3 1 ) 代入薛定谔方程汤丑警坐：h i y ( f ) ) ，可得： 等式芹右各个杰前系数对应相等，则可得到： 1 6 根驴一础俨) i c ，力+ 妒一妒一) i6 ，斛2 ) 吖& 却一鸥却) 阻两+ 妒一呜胪) | 2 ，砌 = 超胪乞+ 胪幼+ 彬三 g b l g k 毛一与+ 功 舻哇毒哪砂哇案蝴 m a 产。 2 十舻 矿矿 磊一与+ 国 乞一与+ 国 电泄咚 + 势+ 2 ) 】f 6 ，力+ 2 ) + 1 ) + g 严与 矿1 岛一弓+ 国 啊胪一2 黄+ 1 ) 泸1 2岛一乞+ 彩 。 ，z + 1 ) | 1 磅 骺+ 乞一岛+ 、 乞一与+ 缈 篓知- l k - 1 ) | 2 ，1 1 1 ) 1 一玎l l ，、 岛一岛+ 彩 “7 等式左右各个态前系数对应相等，则可得到： f a - - a 细+ b p 一( 毛一岛) f 三2 f - 一c 三 2乞一岛+ 国 g 扪9 1 。 + 岛一毛+ 功毛 ) ( 肘n e - 桶- ) td 2 1 ( 、 9 6 2 9 2 。 一岛+ 功 9 6 2 9 k ) 4 n + 2 以+ 1 。o o o 一，o _ o _ 一 岛一乞+ 国 ) ( 刀+ 1 ) 矿岛噶弦 ib-ae-ite!-e)t：1、雨gblgl,2+ 差白莉厢乞一局+ 国岛一岛+ 国一 。” + b 艘+ g b 2 9 b 乞一+ 仞 乞一乞+ 0 7 ) 0 + 2 ) 舡一p 叫 三篇，c d l ( 2 9 6 1 9 6 2 + 9 6 1 9 6 2 乞一2 + f _ o 乞一q + 功 川) 一c 掣 乞一局+ 国 ) ( n + 1 ) e - i ( 岛一局弦 ) 伽+ 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 令三f 芝星：+ 2l 乞一岛+ 缈乞一 三f 盘! ：+ 一- 一十一 2 、乞一e l + 缈乞一 三丝! ) ( 拧+ 2 、岛一毛+ 缈“ 2 9 2 。 岛+ 缈 1 9 6 2 岛+ 国 1 ) = 毛 莉厕= 恕 ) ( 玎+ 1 ) = 吃 三2 崔e b 戋砌+ 1 ) 吐 、 一乞+ 缈“ 7 。 b 一t 七国 9 6 2 9 6 2 ) + 1 ) = k 1 1 b 一2 + ) 仰+ 1 ) = k 2 2 血型! ! 型= 后 刀+ l b = b k , e - i ( 岛- e , ) t ，则有 由式( 3 4 ) 可得， 那么 同理，可令 则有： 雪7 = 魄e q 岛噶v - i ( e b 一乞) 巩矿编噶弦 = b k 。e - 岛吒 一f ( 乞一乞) b 庙恕p 一岛v = 彳砖+ 翘7 国= 彳霹+ ( 乞一乞+ 七) b c 7 = e 一白噶v d 7 = d k 2 e 一( 岛一岛) ， ( 3 7 ) ( 3 8 ) 解以上方程组( 3 1 2 ) 可得 研南 研面碡急丙 其中， m = 沪一细一 笙 护一( 岛+ 七一乞) - 钟地一k 刮一等 c ，( 尸) 2 巫n m l y + ( y + i ) 妒卜等n m 高xk ：、y 。 x 一觑】z 一( 乞一k 2 2 一t ) 砰一毛如o o y 沪碍一( 岛一向，一幺) 霹一屯毛岛 令p = p c 0 1 + 1 1 + 力2 2 1 ，这里五为二阶小量。 1 9 ( 3 1 3 ) 东北师范大学硕士学位论文 肚蚰+ 删材) 一伽一驴甄丙嚣毛再两 = 0 1 一铷+ u 名+ 2 1 一面去) 名2 + l 】+ 五j 鹅) 名3 + 2 】+ i j 示岛) 旯4 羔：竺：蟹二! 垒二丝二垒! 壁二鱼刍蔓 】，珏霹一( q 一毛。一乞) 磅一吃毛也 i k a e p + i ( 2 一k 一乞) + - 。- 尼7 ：殷- - _ +f(q一墨。一乞)+2庀l觑ik；ep - y - 砰 尸【。1 + 1 1 + 名2 2 】+ f ( 岛一一乞) + 旯- - 庀v 段- 一 霹 尸【。】+ 1 】+ 名2 p t 2 】+ f ( 岛一她l 一乞) + 旯堕盘】 = 壁【望：! ! ( 垒= 垦塑 彰 p 叫+ f ( 岛一乞) 】 +乏lj急兰：!：12竺言：孑一+p一政玉+ik毛bk2+fie,-ed ，名 碍 0 1 。 一0 1 + f ( 毛一乞) 】 “恤 毛。 +乏翥匠=!二：二二竺兰苫三耄一+p羽一!盖精，兄： 霹 尸【0 1 + f ( 毛一乞) 。 户【0 1 + f ( 岛一乞) p 【o 】+ f ( 毛一乞) 。 考虑到乞岛，岛，岛，并且令名o ，五1 ，名2 前的系数分别为凡，丑，五，即有 则， 凡= 等 扣嚣嘲 ，瑚】一+ 警胪吨+ 警) 五= _ 矗b 可 衄一0 i 一畦 2 东北师范大学硕士学位论文 碍一 n 蟹 - f p 鸲一k 刮一等 可( 】+ 胪】+ 严】) + ( 岛一刮以警( 凡+ 五名+ 妒) 屠名2 = = - - - - - = - - - - - - - - 一 一f ( 尸【们一峻) 保留到五2 项 即 易得 m + 专邶等2 = 。 0 1 一细