（应用数学专业论文）矩阵偏序与广义逆.pdf

摘要 f r e d h o l m给出f r e d h o l m积分算子的广义逆， 得到了f r e d h o l m积分算子方程的解. p e n r o s e 利用四 个矩阵方程给出 矩阵广义逆的更为简洁定义， 此后， 矩阵广义逆研究 得到了迅速的发展 矩阵广义逆的研究包括环上 矩阵的广义逆， 范畴中态射的广义逆， 广义逆矩阵的计算和广义逆矩阵的应用等. 矩阵的偏序是当前矩阵论研究的一个热点， 国内外许多学者从事 矩阵偏序的 研究， 他们研究各种类型的矩阵偏序， 并应用到数理统计等学科中. 本文 研究了 环上矩阵的 广义 逆， 范畴中 态 射的 广义 逆， 并研究矩阵的偏 序. 具体内 容如下: ( 1 ) 讨论环上矩阵的 广义 m o o r e - p e n r o s e 逆， 推广了以 往文献中的 相应结论. 利用 矩阵的广义奇异值分解， 给出了复数域上矩阵r 一 逆存在的充要条件， 利用矩阵 r 一 逆研究了 矩阵方程a p x = b . 给出了四 元数矩阵加权广义逆的 表达式 ， 回 答 了 关于四 元数矩阵加权 ( 3 ,4 ) 和( 2 ,4 ) 逆表达式的 公开问 题. ( 2 ) 研究范畴中具有泛分解态射的mo o r e - p e n r o s e 逆和 d r a z i n 逆， 给出了m o o r e - p e n r o s e 逆和 d r a z i n逆存在的充要条件及其表达式 当范畴不具有零对象时， 以 态射偶的等化子为工具讨论态射的 广义逆， 并在矩阵范畴中建立了 齐次线性 方程组的解与等化子的 关系. 首次定义了态射的满单分解序列， 利用其给出了 态射的 d r a z in逆存在的充要条件及其表达式. 我们考察了预加法范畴中态射 的 广 义 逆 ， 利 用 幕 等 态 射 给 出 了 态 射 广 义 逆 存 在 的 充 要 条 件 及 其 表 达 式 . 得 到 了预加法范畴中态射的柱心一 幂零分解存在的充要条件及具体分解方法. 定义 了态射的加权广义 逆， 证明它的唯一性， 在某些情形下给出了 存在的充要条件 和表达式 一 ( 3 ) 给出了 矩阵的 申 序、 左* 序、 右* 序和减序的更为精细的等价刻画， 从而 得到了 e p 矩阵、 指标为1 的矩阵、 h e r m m i t e 矩阵和正规矩阵新的等价刻画， 由 此研 究 一些特殊矩阵 类* 序、 左* 序、 右* 序和减序之间的 一致性， 同 时 讨论了 在矩 阵 偏序意义下矩阵的遗传性 研究矩阵及其平方矩阵偏序之间的关系， 解决了 j .k .b a k s a ta ry 和f .p u k e s h e i m提出 的 公 开 问 题 ， 并 推广 到 更 一 般的 情 形 ， 对 于 一 般矩阵同 时 得到了 若干 新结果 ， 推广了 关于( 半 ) 正定矩阵的 相应结果. 同 时 ， 研 究特殊矩阵的* 序与减序之间的关系， 推广了关于 h e r m m i t 。 矩阵的相应结果. 考察了 矩阵左* 序、右* 序的性质及其与平方矩阵之间的关系。指出了j .g r o h 关于广义投影的一个刻画有误， 给出了广义投影的等价刻画和进一步的结果 利用矩阵的核心一 幕零分解， 给出矩阵 s h a r p 序的一个新的等价刻画， 并讨论 s h a r p 序的 一 些 性 质 . 定 义 矩 阵d序 并 给出 了 一 些 刻画 和 性 质 . 指 出 了“ 关 于 矩阵泛正定与偏序” 一文的主要结论不真， 分析了原因并给出了正确的结论. ( 4 ) 利用加权广义逆定义复 数域上矩阵的 加 权* 序， 给出 它们的若干 性质和等价刻 划，讨论它们与已有的矩阵偏序之间的关系， 并推广关于矩阵* 序的有关结果. 在两种情形下， 利用矩阵的加权 m o o r e - p e n r o s e逆导出了两矩阵和的加权 m o o r e - p e n r o s e 逆的公式， 其推导证明 简洁而直接， 文中还给出两矩阵可以同时 加权奇异值分解的充要条 件， 指出了j .k .b a k s a la ry关于矩阵减序和星型序刻 画的一个错误 对于给定的矩阵m. a , b和k， 我们定义矩阵的m k一 偏序， 利用矩阵的m k一 奇异值分解得到这种偏序的一些等价画和重要性质. 关键词: 矩阵 广义逆 偏序 abs t ract t h e g e n e r a l i z e d a n d t h e s o l u t i o n c h a r a c t e r i z a t i o n o f r. p e n r o s e . s i n c e i n v e r s e o f t h e f r e d h o l m i n t e g r a l o f t h e i n t e g r a l o p e r a t o r s e q u a t i o n w as wa s邵v e n o b t a i n e d g e n e r a l i z e d in ve r s e w a s ma t h e ma t i c i a n s g i v e n w i t h f o u r m a t r i c e s 1 9 5 0 s , ma n y h a v e b e e n e n g a g e d i n b y f r e d h o l m , t h e s i m p l e r e q u a t i o n b y s t u d y i n g t h e g e n e r a l iz e d i n v e r s e o f m a tr i c e s s u c h a s t h e g e n e r a l i z e d i n v e r s e o f m a t r i c e s o n r in g s , t h e g e n e r a l i z e d in v e r s e o f m o r p h i s m , t h e c o m p u t i o n o n t h e g e n e r a l i z e d i n v e r s e o f m a t r i c e s , t h e a p p l i c a t i o n o f g e n e r a l i z e d i n v e r s e a n d s o o n . t h e _ p a r t i a l o r d e ri n g o f t h e m a t r i c e s i s f a c o u s o n t h e m a t r i x t h e o r y , m a n y m a t h e m a t i c i a n s h a v e b e e n e n g a g e d i n s t u d y i n g t h e p a rt i a l o r d e r i n g o f m a t r ix s u c h a s k i n d s o f p a rt i a l o r d e ri n g a n d i t s a p p l i c a t io n t h e a i m o f t h i s p a p e r i s t o s t u d y t h e g e n e r a l i z e d i n v e r s e o f m a t r i c e s o n r i n g s , t h e g e n e r a li z e d i n v e r s e o f m o r p h i s m a n d p a rt i a l o r d e ri n g o f m a t ri c e s . t h e m a i n r e s u l t s a r e l i s t e d i n t h e f o l l o w i n g : p a rt 1 ( c h a p t e r 2 ) s o m e r e s u l t s o n t h e w e i g h t e d m o o r e - p e n r o s e o f m a t r i c e s o n ri n g s a r e g i v e n , t h e p r e v i o u s r e s u l t s a r e e x t e n d e d . t h e n e c e s s a ry a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e e x i s t e n c e o f t h e i - i n v e r s e o f m a t r ic e s o v e r th e c o m p l e x f i e l d s a n d i t s e x p r e s s i o n a r e p r o v e d w i t h t h e h e l p o f t h e g e n e r a l i z e d s in g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o n . t h e l i n e a r e q u a t io n s a p x = b a r e s t u d i e d b y u s i n g t h e i - in v e r s e o f m a tr i x a. t h e e x p r e s s i o n o f t h e w e i g h t e d g e n e r a l iz e d in v e r s e o f q u a t e m io n m a tr ic e s a r e e x p r e s s e d , a n d th e o p e n q u e s t io n o n t h e c h a r a c t e ri z a t i o n o f t h e ( 3 , 4 ) a n d ( 2 , 4 ) i n v e r s e a r e s o l v e d . p a rt 2 ( c h a p t e r 3 ) t h e mo o r e - p e n r o s e i n v e r s e a n d d r a z i n i n v e r s e o f m o r p h i s m s w i t h u n i v e r s a l - f a c t o r z a t i o n i n c a t e g o ry a r e s t u d i e d , i t s e x i s t e n c e s a r e c h a r a c t e ri z e d , a n d t h e e x p r e s s i o n o f t h e g e n e r a l i z e d i n v e r s e o f m o r p h i s m a r e e s t a b l i s h . wh e n t h e r e i s n o z e r o o b j e c t i n c a t e g o r y , t h e g e n e r a l iz e d i n v e r s e o f m o r p h i s m s a r e s t u d i e d t h r o u g h t h e e q u a - a l i z e r , t h e n e c e s s a ry a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r g e n e r a l i z e d in v e r s e i s o b t a i n e d , a n d t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e l i n e a r e q u a t i o n a n d t h e e q u a l i z e r i s p r e s e n t e d i n m a t r i x c a t e g o ry. a s e q u e n c e ( e p i c , m o n i c ) f a c t o r i z a t io n o f m o r p h i s m i s d e fi n e d , w i t h t h e h e lp o f t h e s e q u e n c e ( e p i c , m o n i c ) f a c t o ri z a t io n o f m o r p h i s m , s o m e n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t io n s f o r t h e d r a z i n i n v e r s e a r e o b t a i n e d . we r e s e a r c h t h e g e n e r a l i z e d i n v e r s e o f m o r p h i s m s i n p r e a d d i t i v e c a t e g o r y , g i v e t h e c h a r a c t e ri z a t i o n f o r th e mo o r e - p e n r o s e a n d d r a z i n i n v e r s e , a n d o b t a i n t h e n e c e s s a ry a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e e x i s t e n c e o f c o r e - n ip o t e n t f o r m o r p h i s m . we d e f in e d t h e g e n e r a l i z e d m o o re - p e n ro s e in v e r s e o f m o r p h i s m , p r o v e it s u n i q u e w h e n i t i s e x i s t e d , a n d g i v e s o m e i t s e x p r e s s i o n i n s o m e c a s e s . p a rt s 3 ( c h a p t e r 4 ) t h e m o r e p r e c i s i o n c h a r a c t e r iz a t i o n o f t h e s t a r , l e ft - s t a r . r i g h t - s t a r a n d t h e m i n u s p a r t i a l o r d e r i n g s a r e g iv e n r e s p e c t i v e l y , a n d n e w n e c e s s a ry a n d s u f f i c i e n t c o n d it io n s o f e p a n d h e r m m i t e a n d n o r m a l m a t r ic e s a r e o b t a i n e d u s i n g t h e c h a r a c t e r i z a t i o n . c e rt a i n c l a s s e s o f ma t r i c e s a r e i n d i c a t e d f o r w h i c h t h e s t a r , l e ft - s t a r , r ig h t - s t a r a n d m i n u s p a rt i a l o r d e r in g s , o r s o m e o f t h e m , a r e e q u iv a l e n t . s o m e i n h e r it a n c e - t y p e p r o p e rt i e s o f m a t r i c e s a r e a l s o g i v e n . t h e r e l a t i o n b e tw e e n s o m e s p e c i a l m a t r i c e s a n d i ts s q u a r e s a r e d i s c u s s e d , i n t h e s e n s e o f t h e s t a r p a r t i a l o r d e r i n g , t h e m i n u s p a rt i a l o r d e r in g a n d l o w e r p a rt i a l o r d e r i n g , t h e r e l a t e d r e s u l t s o f t h e d e f in i t e p o s i t i v e m a t r i c e s a r e e x t e n d e d , s o m e r e l a t e d r e s u l t s o n t h e g e n e r a l m a t r i c e s a r e o b t a in e d . t h e 、 r e l a t i o n b e tw e e n t h e s t a r a n d t h e m i n u s p a r ti a l o r d e r i n g o f s o m e s p e c i a l m a t r ic e s i s d i s c u s s e d , t h e p r e v i o u s r e l a t e d r e s u l t s o f t h e h e r m m i t e m a t r i c e s a r e e x t e n d e d . w e a n s w e r a n o p e n q u e s t i o n o n m i n u s p a rt i a l o r d e r in g p o s e d b y j .k . b a k s a l a r y a n d f . p u k e s h e i m, a n d e x t e n d t o a g e n e r a l c a s e . s o m e n e w p r o p e rt i e s o f l e ft - s t a r a n d r i g h t - s t a r p a rt i a l o r d e r i n g a r e g i v e n , t h e r e l a t i o n b e t w e e n s o m e m a t r i c e s a n d i t s s q u a r e s a r e d i s c u s s e d , i n t h e s e n s e o f l e f t - s t a r a n d r i g h t - s t a r p a rt i a l o r d e r i n g . a n e w c h a r a c t e r iz a t i o n a n d s o m e p r o p e rt i e s o f t h e s h a r p o r d e r i n g a r e o b t a i n e d u s i n g t h e c o r e - n i p o t e n t d e c o m p o s i t i o n o f t h e m a t r i c e s . t h e d o r d e r i s d e f i n e d a n d s o m e p r o p e rt i e s a r e d i s c u s s e d . s o m e m i s t a k e s in 1 6 2 a r e c o r r e c t e d . p a r t 4 ( c h a p t e r 5 ) t h e w e i g h t e d - s t a r p a rt i a l o r d e r i n g i s d e f i n e d , s o m e c h a r a c t e r iz a t i o n s a r e g i v e n u s i n g t h e w e i g h t e d i n v e r s e , a n d t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e p a rt i a l o r d e r i n g w i th t h e e x i s ti n g p a rt i a l o r d e r in g o f th e m a t r i c e s a r e d i s c u s s e d . s o m e f o r m u l a s o f t h e w e i g h t e d m o o r e - p e n r o s e g e n e r a l i z e d i n v e r s e o f t h e s u m o f t w o m a t r i c e s a r e g i v e n u n d e r t w o d i f f e r e n t k i n d s o f c o n d i t i o n s , r e l a t e d e x i s t in g r e s u l t s a r e e x t e n d a n d m o d i f i e d w i t h a s a m p l e a n d d i r e c t p r o o f m e t h o d . a n e c e s s a ry a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n f o r t h e s im u l t a n e o u s ( m, n ) s in g u la r v a l u e d e c o m p o s i t i o n o f t h e m a t r ic e s i s g i v e n . we p o n it o u t a m i s t a k e n o n t h e c h r a c t e r i z a t i o n o f r e l a ti o n b e t w e e n t h e m i n u s a n d th e s t a r p a rt i a l o r d e r i n g b y j .k .b a k s a l a ry a n d j a n .h a u k e . f o r g i v e n m a t r i c e s m, a , b a n d k o f a p p r o p r i a t e , t h e m k一w e i g h t e d p a r t i a l o r d e r i n g i s d e f i n e d . s o m e o f w h o s e c h a r a c t e r i z a t i o n s a n d p r o p e rt i e s a r e o b t a i n e d u s i n g t h e g e n e r a l i z e d s i n g u la r v a l u e d e c o m p o s i t i o n . k e y w o r d s : ma t r i x g e n e r a l i z e d i n v e r s e p a rt i a lr i n g 独创性 ( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽 我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包 含其他人己经发表或撰写过的研究成果:也不包含为获得西安电子科技大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已 在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申 请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本 人 签 名 : 业嫂 一日 期 : 4 , 0 0 3 !。 卜 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定.即:研究生 在校攻读学位期间论文1作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业离 校后，发表论文或使用论文 ( 与学位论文相关)工作成果时署名单位仍然为西安电 子科技大学。学校有权保留送交论文的复印件，允 许查阅和借阅论文;学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。 保密的论文在解密后遵守此规定) 卜一， 价一 期期 日日 本人签名: 导师鉴名 符号说明 c : 复数域 a * : a的共扼矩阵 a : a的mo o r e - p e n r o s e 逆 a - : a 的正则逆 矛， : a 的1 ,2 逆 a 1入a 的1 , 3 逆 a 4 : a 的1 ,4 逆 ,4 1 .2 .3 : a的1 , 2 ,3 逆 a 1.2 ,4 : a的1 , 2 , 4 逆 茹.、 : a 关于m, n的 加权广义 逆 a 气 a的d a r z i n 逆 可: a 的 一 个 关 于p 的 r 逆 (1,k ) : a 的 一 个关 于p 的r ( l ,k 逆 iix ii : x 的 欧 几 里 德 范 数 r ( a )矩阵a的 值域 r ( a ) : 矩阵a的秩 a s b : 矩阵a , b 具有* 序 a b : 矩阵a , b 具有左* 序 a _ b : 矩阵a , b 具有右* 序 a b : 矩阵a , b 具有减序 a f b : 矩阵a , b 具有预偏序 l a f f 的 本 质 唯 一 分 解 . 1 9 8 5 年 ， p u y s tj e n s 和r o b i n s o n 研究了 具 有 满单分 解态射的 群逆， 得到了 态射f 的群逆存在的 充要条件 是( 或， z , 九 ) , ( f , , z , 儿 f ) 均 为f ， 的 本 质唯 一 分 解 . 1 9 8 7 年 ， p u y s tj e n ， 和r o b in s o n 研 究 带 核 态 射 的 广 义 逆 ， 设 态 射f 带 有 核k ， 证明 了 态 射 f 的m o o re -p e n r o s e 逆 存 在 的 充 要 条 件 是 ff + k k 可 逆 ; 群 逆 的 存 在 的 无 要 条 件 是f 有一上核r 使得了 ， 十 承可 逆， 此时承也可 逆 缪建铭和r o b i n s o n 注意到在 态射群逆的刻画中a可逆仅是 群逆存在的必要条件， 而不是充分条件， 他们证明了 带 有 核k 和上 核y 的 态射f ， 在f 是正则态射的 前提下， y k 可逆仅是 群逆存在的必要 条件， 由 于在加法范畴中 m o o r e - p e n r o s e 逆存在的态射， 其核未必存在， 因而上述结 果不能 给出 在加法范畴中任意态射的 m o o re - p e n r o s e 逆存在的充要条件. p u y s tj e n s 注 意 到 ， 若 态 射f 的m o o re - p e n r o s e 逆存 在 ， 则1 一 f+ 是f 的 一个左 零化子 ， 但未 必 是核， 得到了加法范畴中 态射的m o o re - p e n r o s 。 逆存在的充要条件是存在一个零化 子， 使 得.lt 十 rh r7 可 逆 在 上 述 态 射 的m o o r e - p e n r o s e 逆 研 究中 ， 通 常 需 要 对 态 射 或 范畴加上适当的 条件， 比 如要求态射带核， 上核， 满单分解等或范畴是正性等 这些条 件通常都不是态射的 m o o r e - p e n r o s e 逆存在的必要条件 1 9 9 0年， p u y s tj e n s 和 r o b i n s o n 首次讨论一般意义下 态 射的m o o r e - p e n r o s e 逆存在的必要条件. 1 9 8 8 年， 庄瓦金研究 态射的( 1 ， . . . , .1 ) 逆， 对态射广义逆问 题作了 进一步的 探讨， 得 到了 态射 m o o r e - p e n r o s e 逆的若千表达式. 曹重光得到了范畴中态射广义逆存在新 的 充 要 条件和表达式. 1 9 9 3 年， 李 桃生研究了 满弹疮射m o o r e - p e n r o s 。 逆存在的 充 要 条 件， 从而得到态射m o o r e - p e n r o s e 逆存在新的 充要条件 1 9 %年， 江声远研究了 a b e l 范畴中态射的d r a z i n 逆， 给出了 态射的指标概念， 建立了态射的柱心一 幂零分解. 2 0 0 1 年， 李桃生等在正合加法范畴中 研究态射的d r a z i n 逆， 证明了态射的柱心一 幂零 分解的存在性和唯一性 从目 前的研究来看， 所取得的 成果多为m o o r e - p e n r o s e 逆， 具有相当大的局限性， 因而拓宽广义逆理论的研究范围， 将其他类型的矩阵广义逆发展到范畴中去是非常 第一章绪论 有意义的， 同时从范畴内部结构来看， 大部分研究是考察具有满单分解的态射的广义 逆， 但许多具体范畴中的态射并不具 有满单分解， 因 此有必要考察具有更为一般的分 解态射的 广义逆. 在研究过程中我们还注意到， 对于态射的广义逆， 目 前获得的结果 大部分需要对态射附加各种条件， 比 如要求态射具有满单分解、泛分解、广义分解， 或是 要求态射带有核( 上核) 等条件， 致使 研究的 范围 大为缩小 ， 而且一般来说都不是 态射广义逆存在的必要条件 由于 许多具体范畴中的 态射( 例如环上的 矩阵) 并不具 有上述分解、 因而讨论这种类型态射的广义逆具重要意义. p u y s tj e n s 首次讨论了 一 般意义下态射的 m o o r e - p e n r o s e 逆存在的充要条件， 并给出了它的表达式， 对于 d r a z in 逆， d r a z i n 给出了 一些环上元的d r a z i n 逆存在的 充分条 件， 对于必要性我 们至 今未见到类似的结果 我们在这一方向进行了以下的一些研究 首先， 我们定义了态 射的 满单分解序列， 首次给出了具有满单分解序列态射的d r a z in 逆存在的充要条件， 推广了关于群逆的相应结果. 另外， 对于不含零对象的范畴， 利用态射偶的等化子和 上等化子给出了 态射的m o o r e - p e n r o s e 逆、 d r a z i n 逆、 ( 1 ,2 ) 逆及( 1 ) 逆存在的充要 条 件， 给出了相应的 表达式， 并在矩阵范畴中 讨论了 矩阵 方程组与等化子的关系. 其次， 我们首次提出了态射的泛分解概念， 利用态射的泛分解研究了态射的广义逆， 得到一 些较好的结果， 从而大大地拓宽了态射的广义逆研究的范围. 我们研究了预加法范畴 中 态射的群逆存在的充要条件， 同时 得到了 d r a z in逆存在的 充要条件， 并研究了 态 射d r a z i n 逆的一些性质， 而且首次得到了预加法范畴中态射的柱心一 幂零分解存在的 充要条件， 并给出了分解的方法， 且由此研究了正性预加法范畴中态射 m o o r e - p e n r o s e 逆. 另外， 我们还研究了范畴中态射广义m o o r e - p e n r o s e 逆， 解决了它的唯一 性问题， 并讨论了在各种条件下态射广义mo o r e - p e n r o s e 逆存在的充要条件. 1 . 2矩阵 偏序 集合的 偏序是指在集合上定义的 一种关系， 记为 ” ， 它满足如下的三条性质: ( 1 ) 自 反 性: 对一切x e s ， 总有x x ; ( 2 ) 传递性: 若x , y , z e s ， 且x y , y z ， 则有 x z ; ( 3 ) 若x , y e s ， 且x y , y x ， 则x = y . 下面介绍有关矩阵偏序的概念和以后要引用的结果 设c m . 。 表 示m x n 复 数 矩阵的 集 合 ， k , r ( k ) , r ( k ) 分 别 表 示 矩 阵k的 共 v e 转 置、 值 域 和 秩 ， i 。 是 阶 为n 的 单 位 矩 阵 ， 在 不引 起 混 淆 时 ， 简 记为i . 定义1 . 2 . 1设a , b e c _， 分别定 义 * 序;a a a * = b a * , r ( a * ) c_ r ( b ) ; 减序:a b c a a - a = a - b , a a = b a ， a 一 ， a e a ( i ) 预 偏 序:a - l b 。r ( a ) 二 r ( b ) , r ( a ) r ( b ) ; sh a rp 序 : ， 呈 b t p a a “ 二 b a , a a 二 a b ( 1 .2 . 1 ) ( 1 . 2 . 2 ) ( 1 . 2 . 3 ) ( 1 .2 . 4 ) ( 1 . 2 . 5 ) ( 1 .2 . 6 ) 西安电子科技大学博士学位论文:矩阵偏序与 广义逆 矩阵的 * 序是由d r a z in 首先提出 来的 ， 但首次 研究( 1 .2 . 1 ) 的 是h e s t e n s . d r a z in 给出 了矩阵* 序的一些等价刻画. a_ b c * a a a bo a a = a b , a a =丑9 十 = a b , a a = b a ( 1 . 2 . 7 ) ( 1 . 2 . 8 ) h a r t w i g 利用( 1 .2 .7 ) 和( 1 .2 .8 ) 证明了 下面的 等 价刻画 as b g a a b=a=b a a a b十 a a+=a十=a a b十 h a r tw i g 证明了 ( 1 .2 .4 ) 中 的 两 个正则逆可以 用同 一个正则逆取代， ( 1 .2 . 9 ) 并称之为p l u s 序. 矩阵 的 减序是由h a r t w i g h 和s t y a n 首次 命名的 ， h a r tw ig 更进一步证明了 如下的 等价 刻画: a b g r ( b 一 a ) 利用m a r s a g l i a 和s t y a n 和c l i n e 和 = r ( b ) 一 r ( a ) f u n d e r li c 的结果， ( 1 .2 a_br *b b a=a b b = a b a=a 其中b - , b , b e b 1 1 ) . ( 1 . 2 . 1 0 ) 1 0 ) 可写成如下的形式 ( 1 . 2 . 1 1 ) 同时 对于矩阵的预偏序， ( 1 .2 . 5 ) 可以 写成: a-bp b b- a=a= a b b ( 1 . 2 . 1 2 ) 其中b - , b e b 1 1 ) 从而有: a b p a - b , a ( l ) n b 长 1 $ 0 ( 1 . 2 . 1 渗 ) 对于 矩阵的减序、 左* 偏序、 右. 偏序、 . 序以 及s h a r p 序， m i t r a 证明了 如下的 结 a :5 b q b 1 c_ a 1 a * s b。b 1 ,3 c_ a 1 ,3 a :5 * b,: * b ( 1 ,4 ) a 1 , 4 a 5 b g b 1 , 3 c_ a 1 , 3 , b 1 , 4 c ; a 1 , 4 a a s b p b 赢 c_i a 漏 其中( a . 表示能 与a 交 换的 正 则 逆的 集 合. ( 1 . 2 . 1 4 ) ( 1 .2 . 1 5 ) ( 1 . 2 . 1 6 ) ( 1 . 2 . 1 7 ) ( 1 . 2 . 1 8 ) 结 合s a m b a m u r ty的 结果， ( 1 .2 . 1 4 ) , ( 1 .2 . 1 5 ) ( 1 a :5 b t o b 1 ,2 ) c_ a 1 ) .2 . 1 6 ) 和( 1 .2 . 1 7 ) 可以写为: a * _ b qb 厦 1 , 2 , 3 c a 1 ,3 ) a:5 * b# b 1 , 2 , 4 c_ a ( 1 , 4 ) a s b 4 * b 。 a 牡 ,3 , 4 当 a , b 分 别 是h e n n it e 阵 时 ， b a k s a l a ry ,p u k e l s h e im和 ( 1 . 2 . 1 9 ) ( 1 . 2 . 2 0 ) ( 1 . 2 . 2 1 ) ( 1 .2 . 2 2 ) s t y a n 证明了如下的等价刻 a b a * a a- aib ( 1 .2 .2 4 ) 第一章绪论 但 ( 1 .2 . 2 4 ) 中的 任何蕴含在一般情形不能 倒过来. 对于矩阵的* 序和减序之间的关系， h a r tw i g 和s t y a n 证明了 a :5 b * a b , b + 一 a 十 = ( b 一 a ) 十 a 5 b a a _ b , a b , b a 均为h e r m m i t e 矩阵 a _ bga5 b , a b 十 ， b a 均为h e r m m i t e 矩阵 a _ b * a 5 b , a b , b a + 均为h e r m m i t e 矩阵 更进一步， 对于矩阵的* 序与减序之间的关系， m i t r a 得到如下的结论 ( 1 . 2 .2 5 ) ( 1 . 2 . 2 6 ) ( 1 . 2 . 2 7 ) ( 1 . 2 . 2 8 ) a _ bg a _ b , 玩 。 a ( 1 , 3 ) , 民+ ( b 一 a ) 。 b 夏 1 ) a _ b r p a b , 气 。 a 1 , 4 ) , g o + ( b 一 a ) 。 b 毛 1 ( 1 . 2 .2 9 ) ( 1 . 2 . 3 0 ) 对于矩阵的减序与s h a r p 序之间的 关系 ， m i t r a 证明了 a_ br aa_b , a b a _ b p a b , a b 牟 a _ bpa b , a b =刀a =b a b a 对于矩阵的 左* 序 ( 右* 序) 与减序之间 的关 系， 了如下的等价性: ( 1 . 2 . 3 1 ) ( 1 . 2 . 3 2 ) ( 1 . 2 . 3 3 ) g r o b、h a u k e 和ma r k i e w i c z 得到 飞、，产、.了、1.了 4j61了 ，j肉j，j飞 :，. a * _br aa_b , aa la _ b a * _ b pa b , a a s b b l a 5 * b aa b , a a _ b b a s * b t * a b , a a b b ( 1 .2 ( 1 .2 22 进而对于矩阵的* 序和减序有下述结果: a _ b g a _ b , a a s b b ( 1 .2 . 3 8 ) a _ b a a b , a a s b b 定义1 . 1 . 2设a , b e 吼、 ， ， 矩阵的l o d e r 序定 义为: 3 9 ) l a_b a a一b=kk .4 0 ) (1.2(l.2 若a , b 分别为h e r m i t e 阵， 且它们的负 特征值的个数相等。 则有 l asb r pr ( a )