（计算数学专业论文）稳定化的低阶杂交四边形reissnermindlin板元及误差分析.pdf

稳定化的低阶杂交四边形r e i s s n e r - m i n d t i n 板元 及误差分析 计算数学专业 研究生：胡光辉指导老师：谢小平教授 本文基于稳定化思想，提出了的关于r e i s s n e r - m i n d l i n 板问题的两类低阶杂交 四边形有限元方法：m m s q l 元和m r m s q l 元。二者均采用连续的等参双线性横 向转角位移插值。r m s q i 元只包含位移和剪应力两类变量，其叶_ 在单元上分片 独立设计的四参数剪应力模式是由能量协调条件导出；m r m s q l 元是在r m s q i 元 的基础上，通过引入一个满足能量协调条件的五参数弯矩模式得到。对两种方法 都分别进行了收敛性分析，得到了与板厚一致无关的收敛结果。标准的数值考核 算例表明，两种方法都能够有效避免剪切自锁现象，且具有较高的数值精度，其 中，m r m s q l 元的精度要优于r m s q l 。 关键词：混合杂交有限元 r e i + s s n e r - m i n d l i n 板剪切自锁 s t a b i l i z e dh y b r i dl o w e ro r d e rq u a d r i l a t e r a le l e m e n t sf o r r e i s s n e r - m i n d l i np l a t e sa n do o a v e r g e n c ea n a l y s i s m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s g r o u s e ：h ug u a n g h u i a d v i s o r ：p r o f x i ex i a “p i n g 、 b a s e do nt h ee n e r g yc o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o n ，t w ok i n d so fl o wo r d e rh y b r i dq u a d r i l a t e r a le l e m e n t sf o rr e i s s n e r m i n d l i np l a t ee r ep r e s e n t e di nt h ea r t i d e ，n a m e l yk m s q l a n dm r m s q l b o t ht w oe l e m e n t sr i s ec o n t i n u o u si s o p a r a m e t r i cb i l i n e a ri n t e r p o l a t i o n s o rt h ed c n c c t i 。n r o t a t i o n 8d i s p l a c e m e n t r m s q le l e m e n tc o n t a i n st w ov a r i a b l e s ，d i s p l a c e m e n t sa n ds h e a rs t r e s s ，a n dt h e4 - p a r a i n e t e rs h e a rs t r e s sm o d e ，w h i c h i sd e s i g n e d i ne a c he l e m e mi n d e p e n d e n t l y ，i sd e d u c e db yt h ee n e r g y c o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o n ；b a s e d o nt h ek m s q te l e m e n t ，b yi n t r o d u c i n go n ek i n do f5 - p a r a m e t e rb e n d i n gm o d ew h i c h s a t i s f i e st h ee n e r g yc o m t ) a t i b i l i t yc o n d i t i o nt o o ，t h em r m s q ie l c m e n ti so b t a i n e d t h e nt h el o c k i n g - f r e ec o n v e r g e n c eo fb o t ht w oe l e m e n t si sp r o v e nm a t h e m a t i c a l l y , a n d o p t i m a lo r d e ro fc o n v e r g e n c e i n d e p e n d e n to ft h ep l a t et h i c k n e s s ，i so b t a i n e d i t s s h o w nb yt h es t a n d a r di m m e r i e a le x a m p l e st h a tb e t ht w oe l e m e n t se & na v o i dt h el o c k p i n gp h e n o m e n o n ，a n dh a v eg o o da c c u r a c ym r m s q t e l e m e n th a sb e t t e rp e r f o r m a n c e t h a ne d v i s q le l e m e n t k e y w o r d ：m i x e d h y b r i df i n i t ee l e m e n t i l e i s s n e r - m i n d l i np l a t e l o c k i n g - f l e e 四川大学硕士学位论文 1引言 板结构是重要的结构形式之一，在工程中有着广泛的应用。在在众多板模型当 中，r e i s s n e r - m i n d l i n ( r - m ) 板模型有着重要的研究意义。在这个模型当中，我们只 需要构造具有e o 连续性的解，从而克服了构造a 1 连续性解的困难，并且，我们可以 把厚板与薄板统一到一个模型里面。尽管已经有大量的关于r - m 板的有限元逼近的 工作，但是它仍然是一个非常活跃的领域。在r - m 板的有限元方法中，一个重要的 问题就是如何克服剪切自锁现象。所谓剪切自锁现象，就是当板的厚展比l 很小的 时候，出现的一种数值不稳定现象，其中t 是板的厚度，l 是板的直径。在已有的板 弯问题的有限元方法中，减缩积分方法和假设剪切应变方法被广泛用于消除剪切自 锁现象。一些所谓的简化算子被引入，以削弱k i r c h h o o 哟束： k u o ：v 岫一岛= 0 这里( u o ，岛) 是k i r c h h o o f 板模型的解，也是r m 板模型的解( u ，卢) 在板厚t 一0 时的极 限情况。在文献 4 】中，著名的四节点板元m i t c 4 被提出，它使用了低阶的所谓的 “剪流平衡”插值使得对于任意四边形k ，对其每一边都有： ( 1 2 ) l r h ( w f 1 ) t t i d s = 上( 驰卅7 挑，4 其中如是沿着四边形的边e 的单位切向量。尽管m i t c 4 具有良好的数值精度，并且 已经从理论上证明了该方法是l o c k i n g f r e e 的，但是在实际计算中，当板的厚展比小 于1 0 _ 7 时，仍然会发生剪切自锁现象。 基于离散的k i r c h h o f f $ 勺束条件和平衡条件，很多性能良好的四边形单元被提出。 其中比较突出的是四节点的杂交元m i s p 4 元【8 】，在该方法中，一种满足：k i r c h h o f f 板 的自平衡方程的1 2 参数弯矩剪力模式被提出。该方法成功的克服了剪切自锁现 1 四川i 大学硕士学位论文 象，但是其精度不尽如人意。文献 9 】在m i s p 4 元的基础上，通过增加单元各边中点 上转角位移的节点自由度，同时又在单元各边引入离散m i n d l i n 假设，从而将边中 点的转角位移自由度转移到单元顶点上，得到了所谓的m i s p 4 + 元，该方法同样克 服了剪切自锁现象，而且相比m i s p 4 元，精度有显著提高。另一个比较突出的四 节点元是r d k q m 元 7 该方法仍然使用了边中点上的转角位移自由度，但其使用 了t i m o s h e n k o 梁函数达到了将中点自由度转移到顶点上的目的，其数值结果显示该 方法也克服了剪切自锁现象，并且数值精度较高。 、 以上提出的方法，优点很明显，就是在实际计算中成功的克服了剪切自锁现象， 即在板的厚展比小于1 0 7 时仍然有收敛的结果，并且获得了较好的数值精度，但都 使用了m i t c 简化算子，并且m i s p 4 + 和r d k q m 元分别采用了不同的约束条件来转 移节点自由度，使得计算方法过于复杂。 在文献 1 3 】中，l y l y 和s t e n b e r g 等提出了所谓的稳定化方法，其能量泛函如下： ( 1 3 ) 聊) - - a ( p 厕+ 莓；器( 风p - v w , r h 3 - v w 卜似) 其中凰为m i t c 4 中出现的简化算子： 可以为四边形中的最大边长，或者四边形面 积的平方根，或者其他能正确反映四边形大小的量；a o r 一个正常数，该方法对 于任何口 0 都是稳定的。该方法在数值结果上也同样克服了剪切自锁现象，而且其 算法也相对简洁。在此之后，出现了大量的关于稳定化方法文章，大部分都仍然使 用了m i t c 简化算子风。 在本文中，我们将基于稳定化方法的思想，提出两种稳定化的混合杂交元，将不 使用m i t c 简化算子，并且将使用所谓的能量协调条件 ( 1 4 )咖r n v l d s = 0 ，壬q n 臼d s = 0 ，v 口j ，臼 j o kj o k 其中r ，q 分别属于离散的剪力和离散的弯矩空间，v l ，臼属- 于w e l s o nb u b b l e 空间。 四川大学硕士学位论文 我们将依据此能量协调条件分片独立设计单元上的9 参数弯矩剪力模式，并将与几 种常见的剪力弯矩模式进行数值比较。计算结果显示，这两种方法在数值上能够克 服剪切自锁现象，并且对于横向位移和弯矩都具有很高的数值精度。我们还将给出 该方法的理论分析，给出最优阶的收敛结果。 本文其他部分安排如下：第二节介绍r e i s s n e r - m i n d l i n 中厚板模型的基本方程和 边界条件；第三节介绍r m 板问题的杂交变分形式；第四节给出稳定化的板问题的 离散格式，并给出一种满足能量协调条件的9 参数的剪力弯矩模式及几种常见的模 式；第五节分别给出两种单元的收敛性分析；第六节简单介绍单元刚度矩阵的推倒 过程；第七节是一些标准的数值算例。 2r - m 板模型概述 弹性平板在集合上的显著特点是有一个方向的尺寸比其他两个方向的 尺寸要小的多。平板( 图2 1 ) 可以看成是梁的扩张。按板的应力状态可分成 薄板和厚板两种类型，如果板的厚度h 与板平面最小尺寸的比超过1 1 0 就属 于厚板，反之就称为薄板：并且薄板最大挠度u 低于h l o 到h 5 时，就成为 小挠度弯曲薄板。取板的中面为z 平面，者自垂直于中面，如图2 - 1 所示。则 平板表面位于z = 土t 2 处，平板中面位于z = o 处。根据平板的几何特性， 在弹性力学中可以引入一些有理的假设，可使平板弯曲问题简化为二维问 题。 图2 1 板的几何图形 3 四川大学硕士学位论文 平板单元大体上可以分为三类 ( 1 ) 基于经典薄板理论的板单元 ( 2 ) 基于保持k i r c h h o f r 直线法假设的板单元，如基于h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理 的混合板单元，基于修 ：h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理或修正余能原理的应力杂交板 单元等。 ( 3 ) 基于考虑横向剪切变形的r e i s s n e r - m i n d l i n 平板理论的板单元。基于此理论的 板单元，其挠度u 和转角位移风以及风为各自独立的场函数。 、 其中经典薄板理论的假设包括： ( 1 ) 板厚度方向的挤压变形可忽略不计，即屯= 0 。 ( 2 ) 在板弯曲变形中，中面法线保持为直线且仍然为弹性曲面的法线。这就是著 名的k i r c h h o j 值线法假设。 ( 3 ) 薄板中面只发生弯曲变形，没有面内的伸缩变形。 利用以上假设，薄板的全部位移、应力和应变分量都可以用板的挠度u 来表示。 0 n 忍 岛 图2 2 转角规定 而对于中厚板，直线法假设不在成立，实际中多基于r e i s s n e r m i n d l i n 中厚板理 论构造板单元。中厚板理论认为板的中面法线变形后仍然基本保持为直线，但因 4 四川大学硕士学位论文 横向变形的缘故，该直线不在垂直于变形后的中面。因此，法线绕坐标轴的转 角风，岛( 图2 2 ) 不在是挠度的导数，而是独立变量。此外，与薄板相类似，对于中 厚板弯曲问题，中面内的线位移和板厚度方向的挤压变形也可以忽略。 下面简单介绍关于基于r e s s i n e r m i n d l i n 理论的板问题的一些基本公式： ( 1 ) 板问题的几何方程 在r m 板理论的假设下，只需研究板的中面位移即可。参照薄板的分析，挠 度u 仍然是。，的函数。这时，板的位移场为： “= 一：风，u = 一。风，u = u ，y ) 由几何方程可以得到板问题的应变场为 其中弯曲引起的广义应变k 和横向剪 k k y b ( 2 ) 板伺题的物理方程 考虑到屯= 0 ，且忽略厚度方向的次要应力吼，空间问题的物理方程为 盯= 吼口勺：l 。 t = d e 5 为别分 7 四川大学硕士学位论文 其中 d ：三 l p 100 0 1o 00 00 掣 0 0o 0 0o 00 岽0 0 l 2 1 k e 和v 分别为弹性模量和泊松比；为考虑剪切应力分布不均匀影响的系数。弹性矩 阵可写成 其中 n e 地2 而 d = ( 3 ) 板问题的平衡方程 r m 板的弯矩场或者成为广义应力为 d 1 0 0 d 2 i 地 i m = 坞 i l 地。 0 2 譬 1o 01 其中地，坞分别为垂直。轴和垂直轴的截面上的单位长度的弯矩， 厶= ( ) 是 垂直于z ( ) 轴截面上的扭矩。 6 o o 字 y 1 0 l p o 、 四川大学硕士学位论文 罴 二三兰曼三銎- - 篓三量d 三兰 3r - m 板问题的杂交变分形式 首先考虑板弯问题的能量泛函，形式如下： ( 3 1 ) n 一( u 棚= ；莓上咿) 7 现邪) + 州v u 一仞丁( v u 一仂d n 一莓上加d q 四川大学硕士学位论文 其中，k 指代一个任意四边形，u 是横向位移，卢= ( 风，风) 是转角位移，是载荷 ( 3 2 ) 是应变，a = 丽f e ( 3 3 ) f a & a 。 ll e ( p ) 2 o # ”o y ll 【o # ”o 。+ a # o yj d b = d 10 10 0 0 ( 1 一) 2 是弹性矩阵，其中d = 面e t = t 3 两。 为了后面理论分析的方便，我们假设外载荷，和板厚的三次方t 3 是成正比例的关 系。即，= t 3 9 ，这里9 与板厚无关。这时( 3 1 ) 式变成 ( 3 1 n ) 聃厕= ；莓上啪) t d b e ( 卅害( v u 卅如u 卅舭莓肛d q 此时( 3 3 ) 中的d 为d = 西而e 。 在( 3 1 a ) 5 b ，我们注意到剪切能部分的系数为嘉。就是因为当板厚t o 时，该系 数趋于无穷大，从而导致了剪切自锁现象的发生。为了克服这一现象，我们引入一 个独立的变量：剪应力7 = 壶( v u p ) 。从而得到混合杂交形式的能量函数： ( 3 4 ) ( 郇= ；莓似仂t d b e ( 萨丽17 t 九v u 刊) 舭莓上删q 容易得出。与h r 之间的关系如下： ( 3 5 ) i i h r ( u ，p ；7 ) = j 1 ( 。( 卢，卢) + 安( ，y ，7 ) + 2 ( 7 ，v u 一卢) ) 一o ，u ) = 1 1 p ( u ，p ) 一j t 2 x 厶( 7 一a t 一2 ( v u 一卢) ) 丁( 1 一a t 一2 ( v u f 1 ) ) d s q 四川大学硕士学位论文 ( 3 6 ) “成。州鄹- ( 一) = ( ) ，v ( 虬( ) 硎( 卟 硪( 咧2 i 安( 7 ，r ) 一( v u 一卢，r ) = o ，v r l 。( q ) 】2 慨f 豢l 黧：】2 这里u ，p ，1 ，m 为连续问题的精确解 四川大学硕士学位论文 4 稳定化的杂交有限元格式 在本节中，我们将给t f l 问题( 3 6 ) 和问题( 3 8 ) 的离散形式。 首先，令c k 是对区域豆的一种凸四边形划分，并定义横向位移、转角位移所属的 有限元离散空间如下： ( 4 1 ) ：= ve 硪( q ) ：口 k 6s p a n 晌) , v ke g y h ：= ( l h 3 ( n ) 2 ：el k e s p a n 1 ，r , 翻) 】2 j v k q 属于等参坐标系，等参映射厮：露= 一1 ，l 】2 一如下 咪川= ；砉( z 恨) ( 1 咖们 这里( 研，玑) ( t = 1 ，2 ，3 ，4 ) 是四边形k 的顶点坐标 1町1 f 2q 2 3 啦 矗叩4 1 一l 11 11 11 等参变换b f 的j a c o b i a n 矩阵是 o z o o z o q 可以得到如下关系式 ( 4 3 ) o v o o y 0 7 7 o o6 0 a lb 1 0 26 2 a 3b 3 1 = - 4 以1 以2 如1 如2 o o + a d + a 2 r 7 + a a r 6 0 + 6 1 + 6 2 q + b 3 r 0 1 + n 2 町 0 3 + 口2 f b 1q - 6 2 6 3 + 6 2 ，、i)j 峨 z 其rl v ( q ，e ) z xk 计x h v ( ，e ) w h v h 注4 1 ：b 条件【1 8 】 为了第五节的收敛证明，需要剖分网格满足所谓的b 条件。b 条件就是当 一0 时t 0 1 0 2l o ( h 莨) 。如文献【1 8 】所示，当网格加密的时候是实行的对分方法，那么这些四边形满足b 条件。 1 3 四jr l 大学硕士学位论文 图：对分示意图 注4 2 ：容易验证，剪力模式( 4 6 ) ，弯矩模式( 49 ) 满足强能量协调条件。而剪力模式( 4 5 ) ，弯矩模 式( 4 8 ) ，在剖分满足b 条件的前提下，满足弱能量协调条件。而剪力模式( 4 7 ) ，弯矩模式( 41 0 ) 既不 满足强能量协调条件，也不满足弱能盘协调条件。 为了便于比较，我们在这里提出若干种单元，分别如下： i r m q i ：( ，风，饥) w h v hx ，其中x 取模式( 4 6 ) 1 2 2 。我们定义引入稳定 化算子后的单元为r m s q i 2 r m q 2 ：( ，风， t h ) w ；xk j 矗，其中取模式( 4 5 ) 。我们定义引入稳定化算 子后的单元为r m s q 2 3 r m q 3 ：( u ，风，) 嘶。kx ，其中取模式( 4 7 ) 。我们定义引入稳定化算 子后的单元为r m s q 3 。 4 m r m q i ：( w h ，阮，讥， 靠) k x 磊，其中h 取模式( 4 6 ) ，z 取模 式( 4 9 ) 【2 2 。我们定义引入稳定化算子后的单元为m r m s q l 5 m r m q 2 ：( w t 。，风，讹，慨) xk 磊，其中取模式( 4 5 ) ，磊取模 式( 4 8 ) 【2 3 】口我们定义引入稳定化算子后的单元为m r m s q 2 6 m r m q 3 ：( w h ，阮，讹，地) xkx x 磊，其中取模式( 4 7 ) ，磊取模 式( 4 1 0 ) 。我们定义引入稳定化算子后的单元为m r m s q 3 注4 3 ：从计算结果可以看出，剪力弯矩模式的选取对数值精度影响很大。当我们选取满足强能 1 4 四川大学硕士学位论文 量协调条件的模式时，能够得到最好的数值精度；当选取只满足弱能量协调条件的模式时，其数值 精度较前者差些；而当我们选取不满足能盘协调条的模式时，数值精度最差。在引入稳定化因子 后，( m ) r m s q i ( 2 ) 元均能避免剪切自锁现象，而( m ) r m s q 3 元由于剪力弯矩模式不满足能量协调 条件，发生了剪切自锁现琢。 限于篇幅，在下一节中，我们将就引入了稳定化算子之后的，满足能量协调条件 的有限元格式r m s q l 和m r m s q l 给出与板厚t 无关的收敛性的理论分析。 、 5 收敛性分析 5 1 r m s q l 我们首先分析r m s q i 元。不失一般性，我们设a = l ，那么问题( 4 1 3 ) 可以重写 为：求( 。h ，风；7 h ) w hx v hx x h 使得 ( 5 1 1 )b h ( w h ，风，；u ，( ，r ) ：= ( g ，u ) ，v ( v ，( ，r ) w hxk xx h 双线性形式玩是如下形式 ( 5 1 2 ) b h ( w ，卢，7 ；u ，e ，r ) ：= 。( p ，( ) + ( 7 ，v 一( ) 一( r ，v 一p ) + 芝二( t 2 + a 奄) ( 7 ，r ) 引入投影算子n 1 ： l 2 ( q ) 2 一凰( k ) ，并且该算子满足如下的条件： ( 5 1 3 ) 矧赢v r 钏e 。扎p 我们将在后面的分析中用到这些性质。 对于剪力1 的逼近，我们有 ( 5 1 4 )讥l 耳= 万=!万1(vu6t2 + a 磙“儿”“ 阮) l 四川大学硕士学位论文 我们假设板厚t 与单元直径的最大值 。k m + 。c z h h 之间存在如下关系 ( 5 15 ) t c h ，v k c h 其中c 是与t 无关的一个大于零常数。称满足上述条件的板单元是数值薄的。并且我 们假定网格剖分的类型是拟一致剖分，即网格尺寸满足：存在一个常数c ，使得 ( 5 1 6 ) 耳m i c n k c f m ，( ) l 。 ：( k 两1 碡，( 硼一圳1 3 ，) 517i：l|t。i。-，l。,h，。三l。lki。ec+hl i i f ；1 1 7 ： ：i 一。，。+ i 。，。，i 。 ( r ，v 咄= 上r - v 勰= 。， v r 1 ，r 1 ) = ( 一1 ，- 1 ) ，( 2 ，啦) = ( 1 ，一1 ) ，( f 3 ，叩3 ) = ( 1 ，1 ) ，( 矗，q 4 ) = ( 一1 ，1 ) 1 6 四川大学硕士学位论文 n v w h , - - 7 d a 用等参坐标，q 表示为 ”= ；( 1 + 矗) ( 1 + 仇q ) 也 这里仇为节点的横向位移。由关系( 4 2 ) 和( 43 ) ，我们有 0 = & t v u 娩= 佞t v u lj l 武o h 7 = s t l r f 以2 一j 1 2 1 如l j 1 l i 1 ( 1 + w o ) b v l i 1 ( 1 + ) q t 饥 武却 i l j 2 , 2 ( 1 + 仇叩) & 饥一j j l 2 e ( 1 + 矗) 吼地 一i 如l e ( 1 + 吼q ) & 地+ j u e o + & ) 讯饥 经过化简，我们可以得到如下等式 成却 3 a 1 鹾 姚一a l b l & 仇一3 a l b l b 3 e 讯仉+ a l b l b 2 ( i 卵i v l 一3 6 2 6 3 矗啦仇 + 。2 6 2 6 3 e 叩l q = 0 a l 口2 b 2 ：矗仇一a 1 0 2 b 1 川t 地一3 a l a a b 3 矗饥+ a 2 a 3 b 3 & 讯饥+ 3 a 2 t b 3 e 啦地 一n ；6 3 吼饥= 0 n 1 6 3 & q t 轨一a 1 6 2 讯仉一a a b l ( i v i v i + a 2 b l e 吼地= 0 0 3 6 2 e 矗饥一a a b l & q ，v i a 2 b 3 6 地+ 0 1 6 3 6 叩i 饥= 0 令d = 6 地，e = 讯饥，f = 6 吼忱，则上式可以写为： ( 3 a l b ；一a 1 6 1 ) d + ( n 2 6 2 6 3 3 n 1 6 1 6 3 ) e + ( a l6 1 6 2 一a a b 2 b a ) f = 0 ( a l a 2 b 2 3 a l a 3 b 3 ) d + ( 3 a i b a a ；b 3 ) e + ( 0 2 口3 6 3 一0 1 0 2 h ) f = 0 ( n 2 6 1 一a 1 6 2 ) e + ( n 1 6 3 一a 3 b ；) f = 0 ( 3 6 2 一a 2 b 3 ) d + ( 。1 6 3 一n 3 b 1 ) f = 0 从以上的方程组容易得到： 驰( ：= d ) = 0 ，q i v i ( ：= e ) = 0 ， 6 0 i v i ( ：= f ) = 0 1 7 四川大学硕士学位论文 从而我们得到 证毕。 v v = 0 引理2 如果号理一成立，那么存在一个与板凰和单元尺寸h 无关的 常g r c 0 ，使 得如下的b b 条件成立： 、 州s u p 踹g i iv 圳。，讹w h 证明：由引理1 和文献 2 5 】中引理3 1 的证明过程，我们可以得到该g i 理成立。 引理3 存在一个正常数g 使得： c | i i 扣，e ，r ) | | i | | ( i | ，+ iri 一， + l ( v ，( ) i h o 是一个常数。代2 、n ( 51 2 ) 式，我们可以得到如下形式： b h ( w ，p ，m u ，( ，r ) = 口( 3 ，p ) + ( ，y ，v u 一卢) 一( 7 6 鬲 。膏1 7 l ( 审( u ) 一p ) 耳，v “，一口) + e ( t 2 + 血 备) ( ，y ，7 一占e ( t 2 + o 刍) 1 ( v u 一卢) ) = 口( 卢，p ) + 占( 芦干五1 碍：1 ( 审u 一卢) ，v u 一卢) + e ( t 2 + 口 蚤) ( 7 ，7 ) 一e k ( t 2 + 。 蚤) ( 7 ，e 耳石干b e l ( v u p ) k ) k 、 由s c h w a r z 不等式、k o r n 不等式、算术几何平均不等式可以得到： b ( u ，p ，7 ；u ，( ，r )2ci i 卢i i + 6i ( u ，卢) l ：+ t 2 | | 7 | | 3 + 口f yi 三1 h g ( o ，6 ) j ( u ，卢) i ；一g ) i7j ! - 一c ( 5 ) t 2 | | 7j 1 3 当常数d 取的足够小的时候，我们就得到了引理中的结论。 接下来我们要引入相容误差。由于我们引入了稳定化算子，这导致双线性形 式b h ( w ，卢，7 ；u ，( ，t ) 与精确能量是不相容的。为了刻画这种不相容性，我们引入下 孔： ( 5 1 8 ) “( s ，r ) = e a 坛( s ，r ) 耳 容易得到：对于( 36 ) 式的解( “，卢，7 ) ，有下式成立 ( 5 1 9 ) b a ( u ，卢，7 ； ，( ，r ) = ( g ，u ) + e ( 7 ，r ) ，v ( v ，( ，r ) i h x h 现在，我们给出本一个主要定理 定理1 假设问题p 纠序解，卢，y ) 满足u h 3 ) ，p h 2 ( q ) 2 ，y n 。 日( k ；d i v ) 研【h 1 ( q ) 】2 ，我们有如下结论? i 【u 一“，h | | 1 + j i p 一风| | 1 + 1 7 一协i 一1 ， + r i b 一讹i i o g 忍( 1 i u l l 3 + i i 卢1 1 2 + i i y 1 1 0 + t l l y l l l ) 1 9 四川大学硕士学位论文 证明：令西y h ，西么，讯x 分别是卢，u ，7 的l a g r a n g e 插值。所以有( u 一 面，风一厚，1 h 一彳) w h u x h ，由引理4 知，存在( u ， ，r ) 啊。y h x h ，使得下 式成立 ( 5 1 1 0 ) 0 ，( ，r ) l h scl i i ( u h c ：，风一声，h 一彳) i h 1 1 1 ( c o 。一o ，z h 一声，3 h 一? ) 1 1 1 ； ( 5 1 1 1 ) 、 b h ( w h 面，风一p ，7 h 一；v ，( ，r ) 、 = b h ( u o ，p p ，7 一) 一e 上式右端的双线性形式b h 的表达式为： b h ( u o ，卢一声，一y 一彳) = n ( 卢一声，e ) + ( v v 一( ，一y 一千) 一( v ( u 一西) 一 ( 5 1 1 2 1 一( 卢一声) ，丁) + k e c h ( t 2 + a 套) ( 丁，y 一彳) 由双线性形式。的连续性，我们得n ( 5 1 1 2 ) 第一项的估计 o ( p 一声， ) g 芦一声，i i ( i | lsc i l 卢i i 。i i i ( u ，( ，r ) i h 对于第二项，i 扫s c h w a r z 不等式，我们有 ( 硼一( ，7 一彳) = ( v 一( ，7 一) = ( ( 2 + a 坛) 一 ( v 口一洲t 2 + 口喙2j 2 1 h 一彳) ) * s c ( t 2 + a h 备) 一铂口”一 o 是一个常数。t 弋, k n ( 5 2 2 ) 式， 我们可以得到如下形式： ( u ，p ，y ；u ，e ，f ) = a ( m ，m ) 一5 a ( m ，2 e ( p ) ) + ( m ，e ( 卢) ) 一( m ，e ( 卢) ) + d ( 2 e ( 卢) ，e ( p ) ) + ( ，y ，v w 一卢) 一( 7 一d 芦干b 石n 1 ( v ( u ) 一p ) ，v u 一卢) + e ( t 2 + a 蠢) ( 7 ，7 一d ( t 2 + a h 刍) r 1 1 ( v w 一卢) ) 耳 、 = a ( m ，m ) 一5 a ( m ，n 2 e ( p ) ) + 6 ( n 2 e ( 卢) ，e ( 卢) ) + 占( 耳鬲。k f i l ( v u p ) ，v u 一卢) + e k ( t 2 + 。 女) ( 7 ，7 ) k e