（材料物理与化学专业论文）金属互连电迁移噪声分形表征参量研究.pdf

摘要 摘要 随着v l s i 特征尺寸向着深亚微米级甚至纳米尺度发展，其互连线截面积越来 越小，其承受的电流密度大幅度增加，电迁移引发的失效越来越显著，引起人们 极大关注。 本文在电迁移失效机理、电迁移噪声及其传统表征参量和分形概念的基础上， 应用分形理论，确定了电迁移内部晶粒间界分形维数、电子扩散轨迹的分形维数 和电迁移噪声时间序列的分形维数三者的定性关系，从而建立了金属互连电迁移 噪声分形表征模型。该模型表明，在金属互连电迁移前期，时间序列的分形维数 逐渐增大；成核后，噪声时间序列的分形维数减小；成核时刻是其转折点。并设 计了电迁移失效实验验证了理论的正确性。实验结果发现，电迁移前期，功率谱 密度幅值与噪声时间序列分形维数正相关，电迁移后期两参量负相关。 本文还对金属互连电迁移噪声多分形表征参量进行了简单探索，结果发现， 奇异值变化趋势与电阻变化趋势相同，空洞成核时，表征参量突变。并推导出噪 声时间序列确具有多分形特性。研究表明，分形参量可以更全面地表征电迁移损 伤过程，具有较好的应用前景。 关键词：电迁移 金属互连分形噪声 e l e c t r o m i g r a t i o nh a sc a u g h tm o r ea t t e n t i o na so n eo ft h em a j o rm e c h a n i s m sf o r v l s l 笛t h ec h a r a c t e r i s t i cm c a s l l f f m c l l tb c c , o m et os u b - m i c r o m e t e re v e nt on a n o m e t e r a n dt h ec u r r e n td e n s i t yi n c r e a s e b a s eo nab 酊e fd e s c r i p t i o nt ot h ed a m a g em e c h a n i s m , n o i s e t r a d i t i o n a ld e n o t a b l e p a r a m e t e r sf o re l e c t r o m i g r a f i o na n dt h ec o n c e p t i o no f f r a c t a l ，t h ef r a c t a lt h e o r yi st a k e n i n t ot h e e l e c t r o m i g r a t i o na n a l y s i s d e n o t a t i o no ff r a c t i o n a l d i m e n s i o ni nm e t a l i n t e r c o l m c c t i o ne l e c t r o m i g r a t i o ni se s t a b l i s h e da n dt h eq u a l i t yr e l a t i o m h i po ff r a c t a l d i m e n s i o nf o rt i m es e r i e s e l e c t r o np a t ha n dg r i nb o u n d a r y 1 1 圮f r a c t a ld i m e n s i o no f t i m es e r i e sm o v eu pi ne l e c t r o m i g r a t i o nn o n a g ea n dg od o w na r e rt h ev o i d si n f o r m e d , b u tt h ep o w e rs p a c u a ld e n s i t ya l w a y sg r o w s , w h i c hi ss h o w ni nt h em o d e lw h i c hi s v a l i d a t e db yt h ee x p e r i m e n t a t i o n 1 1 地m u l t i f r a c t a ld i m e n s i o np a r a m e t e ro fn o i s ef o re l e c t r o m i g r a f i o ni s s i m p l y e x p l o r e d t h ec h a n g e o fs i n g u l a r i t yv a l u eh a st h es a m ct r e n dw i t ht h er e s i s t a n c e ： a b r u p t l yi n c r e a s ew h e nv o i d si n f o r m e da n dt h em u l t f r a c t a lc h a r a c t e r i s t i ci sf o u n di n n o i s et i m es e r i e s d e f i n i t e l y , f r a c t a lp a r t m e t e r sw i l lc h a r a c t e rt h ee l e c t r o m i g r a t i o ni n v l s ii n t e r c o n n e c t i o nb e t t e r k e yw o r d s ：e l e e t r o m i g r a t i o nm e t a li n t e r e o n n e c f i o nf r a c t a ln o i s e 创新性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：往盔龟日期z 型王：! ：堑 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。( 保密的 论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。 本人签名：醯煮篷 日期垫! 互 ：兰z 导师签名日期丝翌： ：罗 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景 自从1 9 5 8 年集成电路问世以来，其发展一直遵循着摩尔定律，由晶体管组成 的小规模集成电路已经发展进入到现在由上亿个晶体管组成的超大规模集成电 路。器件尺寸进入超深亚微米量级甚至纳米尺度，封装向小型化、高密度化发展， 金属互连在整个集成电路芯片中所占的面积越来越大。与此同时，集成电路技术 的进步要求金属互连线的宽度减少，连线层数增加，这直接导致了互连线中电流 密度的急剧增大，热应力和电迁移应力相应增大，严重影响了互连线的可靠性， 引起人们极大关注”】。 金属互连电迁移是由于电流作用下互连薄膜中的金属原子受到运动电子的作 用而引起的物质输运现象。人们对电迁移的研究大致经历了以下几个阶段：在材 料研究方面已由以前的铝- 氧化硅互连发展到铜低k 介质的双层大马士革互连， 但铜互连可靠性目前还没有铝互连竹节型结构的可靠性好【2 】，2 0 0 0 年y o s i s h a c h a n rd i 啪n d 【3 】等人提出下一代互连技术将是银互连技术。在测量技术研究方 面已由以前的d c 标准测试电路、a c 标准铡试电路发展到现在的在线测试系统阳。 在观测技术研究方面已发展到高压电子透射显微镜1 6 j 、同步加速x 一射线微观衍射 仪【1 等现代观测工具，可以观测到互连线内部的微观结构变化。在电迁移机理研究 方面，以往人们只注意到了电子风力和应力梯度，而很少提到热运动，最近r u 提 出热运动也是电迁移失效的主要机制1 8 j ，不容忽视。1 9 9 9 年r z e p k a 等人首次用有 限元分析方法综合考虑了电迁移内部不同驱动力( d r i v i n gf o r c e ) ，但他只考虑 了铝材料互连电迁移的驱动力，并且没有考虑空洞生长时期驱动力的变化。2 0 0 1 年d a l l e a u 和w e i d e z a a g e n 改进了r z e p k a 的有限元分析模拟方法并考虑到了空 洞生长的动力学机制，但该方法没涉及到所有驱动力和各驱动力之间的作用。不 同材料的内部机理不同【7 棚，目前认为多晶铝互连内的电迁移主要是晶界扩散，竹 节型铝互连和铜互连内主要是界面扩散。耳前这些电迁移的研究主要集中在电迁 移后期，而对前期研究较少，特别是铝互连。在电迁移表征参量方面，自从1 9 6 8 年r o s e n b e r g 和b e r e n b a u 第一次借助电阻测量研究电迁移【l o 】过程以来，电阻变化 已经成为常用表征金属互连电迁移损伤的标准参量【l ”。电阻可以很好地表征电迁 移空洞成核时刻和长大时期【1 2 1 ，但随着互连工艺的进步，很多实验发现样品在空 洞成核前，有很长一段潜伏期电阻几乎不变，使电阻表征电迁移演变方法受到局 限1 9 7 3 年v o s s e n 第一次提出低频噪声可以用于金属互连可靠性评估【1 3 1 ，噪声检 2 金属互连电迁移噪声分形表征参量研究 测方法及其测试条件接近正常工作条件，非破坏性和灵敏度高等优点引起人们的 重视。但1 ，噪声频谱只能反映噪声信号的全局特性，而不能反映局部奇异性 4 q 5 1 。 且噪声表征参量仍未能突破电阻局限：电迁移前期，频率指数保持在1 0 左右波 动，功率谱幅值虽有上升趋势，但至今未提出合理的理论解释。因此，需寻找更 为灵敏的电迁移表征参量并开展相应的理论研究。本论文工作正是基于此点展开。 虽然电噪声检测和分析已经成为器件和电路质量和可靠性的重要分析工具， 但是到目前为止，几乎所有器件噪声的分析均建立在噪声功率谱的基础上。基于 功率谱的频域分析方法只能反映噪声信号的全局特性，不能反映局部奇异性。近 年来，人们已经注意到这一点。因此，越来越多的时间序列分析方法被用于电迁 移数据的分析中 1 4 , 1 6 , 1 7 。电迁移演变过程中，晶粒间界的微观几何结构具有分形形 貌特征【1 5 , 1 9 2 0 ，而1 f 噪声【2 1 1 除具有频率特性外，还具有分形特性 2 2 1 。p a n i n 将分 形理论用于电迁移分析 2 3 , 2 4 】，但是仅限于对互连线内部微观结构的描述，没有深 入进行动力学机理研究和建立表征模型。 本文在上述各方面研究工作的基础上，吸纳噪声检测的优点，克服频域分析 得缺陷，并引入分形理论作为本课题的分析工具。这样就有可能从噪声信号中获 取更为丰富的电迁移信息，从而来表征电迁移演变过程。进一步提高集成电路的 可靠性，为集成电路的可靠性评估垫定了基础。另外，将分形理论用于电迁移在 国内还没有先例，该方法为电迁移研究提供了新手段，为电迁移表征提供了新参 量，具有独创性。同时为金属互连电迁移材料的选择提供了新的表征参量和分析 方法，为集成电路互连可靠性设计者提供了一个参考。具有深远意义。 1 2 论文内容 本论文内容具体安排如下：第二章介绍了电迁移现象、失效机理、传统表征 参量及分形概念，并概述了电迁移噪声及其应用。第三章确定了电迁移晶粒间界 分形维、电子扩散轨迹分形维、噪声时间序列分形维数的关系，建立了噪声分形 表征模型。第四章设计了金属互连电迁移失效实验，验证了理论模型的正确性。 第五章对金属互连电迁移内部奇异性和噪声的多分形奇异性表征参量进行了简单 探究，并给予了实验验证。第六章归纳了本论文成果并展望了课题的下一步工作。 第二章基础知识 第二章基础知识 2 1 金属互连电迁移理论 2 1 i 金属互连电迁移现象及失效机理 1 电迁移现象 金属互连电迁移是由于电流作用下互连薄膜中的金属原子受到运动电子的作 用而引起的物质输运现象。在无电流应力的情况下，互连线中由于晶格热运动， 少数金属原子的能量可能超过晶格束缚能，成为自由原子，在互连线中自由扩散。 但是这种自扩散运动是随机的，只能引起随机的金属原予间的重新排列而已，而 且处于热力学平衡状态。在电流应力作用下，金属互连线中有电流流过，互连线 中金属原子的受力情况如图2 1 所示网。其中e 是库仑力，与电场同一方向。最为 载流子( 这里是电子) 撞击金属原子，作用在金属原子上的力，也叫电子风力 通过自由原子与电予流的相互作用( 动量交换) 后，金属原子会出现宏观位移。 对于铝金属互连线，已知电子风力比库仑力约大十倍左右。因此在电应力作用下， 互连线中铝原子会沿电子运动的方向输运，在原子移动轨迹上产生原子空位，互 连线有效截面积减少，电流密度进一步增大，由焦耳热引起温度升高，空隙生长 加速，直至断条。此外，在金属原子堆积的地方产生小丘【1 2 1 ，造成临近布线( 多 层布线时为层问) 的短路。图2 2 给出了高电流密度下( 户2 3m a ，c m 2 ) 铝互连电 迁移损伤的微观图像。 旧与q 叫 铲f 2 1 0 图2 1 电应力下导线中铝原子受力示意图 图2 2 铝互连线电迁移现象示意图 2 电迁移失效机理 电迁移是由金属条内有电流通过时引起导体内微观物质的重新分布引起的。 电流在金属条内通过时，电子会引起电子风，微观物质在风力的作用下将发生漂 4 金属互连电迁移噪声分形表征参量研究 移1 2 5 】，起风处变得贫瘠，消风处微粒堆积起来，从而形成空洞或小丘、晶须。如 果问题严重，就有可能导致断路或短路，从而引起失效。 从缺陷产生和积累的角度可以这样来分析电迁移失效机理：在适当的温度下， 空位在晶阵中随机地扩散。空位与金属原子交换位置分为两步。首先，热激活一 对空位原子复合体。参看图2 3 ，考虑a 原子的运动闭，它要到达空位，就必须先 到达阴影原子的中间位置( 这个位置叫鞍点，及它原来位置和空位的中间点) ，同 时挣脱它的三个邻居的吸引力，有时分子热运动就能提供这种能量( 这个能量叫 激活能) ，一旦原子获得了由热运动提供的激活能，并到达了鞍点，下步它到达 那个位置仍有两种可能，一是继续向前走，到达空位点，再就是回到原来的位置。 同样原子b 也有发生刚才所述过程的可能。总体来看，经过一段时间后，热运动 不会引起微观物质的重构，不会产生净空位流。而当有电子通过金属条时，就有 了电子风的影响，在被激活的原子到达鞍点位置时，电子风就给它一个推力，不 管这个推力有多小，原子肯定超空位的方向运动。图2 3 中，a 最有可能到达位置 2 ，b 有可能到达3 ，这个过程持续不断地发生，就会引起金属条内微观物质的移 动和重构，同时产生了与原予迁移方向相反的空位流。随着空位的产生，互连线 内的空位浓度增大，当达到饱和浓度时，由于张应力。空位凝结成核，变成空洞【1 2 】。 随后空洞长大，当空洞尺寸与互连线尺寸可以相比拟时，互连线断条失效。 勰勰 嘞国 图2 3 无电流和有电流情况下的原子扩散示意图 空位的扩散路径与互连线的材料和结构有关。研究发现，铝互连线和铜互连 线内的主要扩散路径可由以下两式表示1 2 7 1 ： ( 助) e f t - - 驴。以( 詈) + d g b z - i g b 等( ，一吾) ， ( 助+ ) 矿2 b ：蠡( 2 - 2 ) 其中，d 是扩散率，z + 是有效电荷数，占是扩散界面宽度，d 、h 和w 分别是晶粒 尺寸、线厚和线宽。s 代表界面，g b 代表晶粒边界。可以发现，铜互连内主要是 界面扩散，而铝互连内既有界面扩散又有晶粒边界扩散，这是因为半导体集成电 路的铝布线分为竹节结构和多晶结构，竹节结构的线宽窄于平均晶粒尺寸，多晶 结构的线宽大于平均晶粒尺寸。多晶为单晶微粒的集合体，竹节结构则可以看作 第二章基础知识 是一系列排列晶粒，具体两种结构如图 2 4 所示。对于多晶结构，晶粒边界扩散 占主导位置，对于竹节结构，界面扩 散占主导位置，可分别表示为； 圜皿 图2 4 多晶结构( 左) 与竹节结构( 右) 示意图 ：，昔争。心 ( 2 - 3 ， ：岛。p 鲁。孕( 2 q 以往人们把研究电迁移的注意力多放在电子风力和应力上，最近r u 提出热运 动也是电迁移失效的主要机制闭，不容忽视。对样品加热或冷却将产生机械应力， 应力使互连线内部产生断层或其它缺陷的产生一湮灭翰，从而导致热循环电阻波 动。机械应力来源于金属热系数与基底热系数的不同。这种现象是不稳定的。一 般它随金属线内温度的变化而急剧变化，经过几小时或十几小时又消失。在不同 线宽下，样品的微观结构极不相同。根据透射电子显微镜( t e m ) 分析：对于最窄 的竹节型结构和最宽的多晶结构而言，此现象在多晶结构中表现更明显。 2 1 2 金属互连电迁移传统表征参量 电迁移过程表征参量是人们在研究电迁移过程中提出的用以反映电迁移程度 的物理量。随着人们对电迁移现象认识的逐步深入，表征参量也不断更新发展， 不同的表征参量反映电迁移的不同内部特征，能够帮助人们更加深入地了解电迁 移现象。 1 9 6 8 年，电阻第一次被用来反映电迁移过程【，当时看来，电阻测量简单易行， 提供了丰富的电迁移信息，很快成为表征金属互连电迁移损伤的常用标准参量【1 1 】。 通常的电阻测量都是结合着加速寿命实验进行的。加速寿命实验缩短了互连线电 迁移评估时间。因此人们又发展了各种各样的加速寿命实验方法。根据失效模式 的研究和实验结果的分析，得出了金属互连线的电迁移寿命外推公式【姗： a f m t f = a ，1 o x p 学) ( 2 5 ) 五j 其中m t f 为中期失效时间，也就是受测样品的统计寿命，为布线固有常数，为 流过互连线横截面的电流密度，单位为a c m 2 ，胛为常数，通常取值为2 - 3 ，k 是 玻耳兹曼常数，r 为互连线的绝对温度，通常包括环境温度和电流热效应引起的互 连线温升，单位为k ，a e 为电迁移激活能，与互连线材料、微观结构等有关，典 型值为0 5 - o 8 e v 。研究表明，a e 值的不同暗示了不同的电迁移机制：a e i e v ， 金属互连电迁移噪声分形表征参量研究 代表了金属的体积扩散( b u l k m e t a l d i f f u s i o n ) ；舡值在0 ，4 - 0 6 e v 之间，代表了 晶粒间界与电迁移相关，空位在晶粒间界处聚集；当a e 为0 2 8e v 左右时，反映 了氧化层表面扩散( o x i d e f r e es u r f a c e m i g r a t i o n ) 【3 i j 。随后，u o y d 和k o c h 将a c w h c a t s t o n e - b r i d g c 电路用于电阻的精确测量 3 2 1 ，他们认为早期电阻变化率与样品 的寿命有关，可以通过精确测量电阻早期变化来预测失效时间。借助更加精确的 电阻测试技术，v e r b r u g g c n 小组发现电迁移早期电阻随时间并非是线性变化【3 3 4 q 。 大多数学者认为，电迁移空位聚集阶段电阻变化缓慢，略有增大；空洞成核将引 起电阻突然增大【”5 1 。h m a r c h u n t l 3 6 l 在他2 0 0 0 年的博士论文中提出了与传统观念 相反的观点。他的文章中指出，电阻突变( a r c ：a b r u p t c h a n g ei n t h er e s i s t a n c e ) 发生在小于1 0 0m s 的时间内。三种特性的a r c s 在实验中被观察到，第一种是突 增( u p w a r ds t e p s ) ，常发生在加速寿命实验的开始阶段；第二种是下降( d o w n w a r d s t e p s ) ，在加速寿命实验的后期常发生；第三种是波动( o s c i l l a t i o n s ) 。也常发生在加 速寿命实验后期。在空洞逐渐成型的过程中，电阻改变很小；在空洞形成时，电 阻会有大的减小，因为理论上说，空位的快速凝聚会减少电子散射中心的浓度。 相对的，空洞消失时，电阻会显著增大，因空位形成的电子散射中心的浓度会增 加。他的这种观点并未得到广泛地认同。由于在电迁移早期阶段，金属薄膜的电 阻变化量不是很显著，要做到精确测量，也需要专门的测量手段和技术，而测试 条件较为苛刻，人们转而继续寻找新的电迁移表征参量。 1 9 7 3 年，v o s s e n t l 3 】首次提出将噪声测量用于金属薄膜中的缺陷检测。1 9 7 6 年， c e l a s c c 等人提出可通过噪声测量来研究电迁移 3 7 1 。随后，噪声检测在表征电迁移 过程中更是得到了越来越广泛的应用：s i m o e n 等人【3 s j 指出，1 i f 噪声信号比电阻 能更准确，更灵敏地反映电迁移状况。2 0 0 2 年杜磊等人1 2 l 】也提出该观点，并建立 了电迁移噪声统一表征模型，并指出在电迁移前期噪声频率指数r 在1 0 附近波 动，空洞成核后，电迁移噪声中出现了1 f 2 噪声，j ，值在1 5 附近波动。噪声功 率谱幅值在电迁移过程中一直处于上升趋势，成核时刻出现突变现象。s i m o e n 等 人1 3 8 1 还认为电迁移低频噪声可用来预测样品的失效时间，并通过老化实验得出经 验公式： l o g t t = z 1 + z 2l o g ( v 2 ) ( 2 6 ) 其中忍p 为样品失效时间，( v 2 ) 为与电迁移相关的i f 2 噪声电压的均方值，z 1 和 乙为经验常数；f e n g 等人指出l 厂，噪声与互连的普适电导波动( u n i v e r s a l c o n d u c t a n c ef l u c t u a t i o n ) 密切相关 3 9 1 ：s a t o s h i 等人则认为1 ，厂，噪声对温度的反应比 电阻更加敏感，他们测得铝互连中l 厂噪声与温度的关系，最低已可测至1 1 k 的温 度嗍；而c o t t l e 等人指出l f 噪声与电迁移关系密切，激活能e 值的不同反映了 不同的电迁移机制】。可见，1 厂，噪声的大小对金属薄膜的电迁移损伤和其它结 第二章基础知识 7 构缺陷非常敏感，可以作为电迁移评估以及早期预测失效的工具。但噪声表征参 量( 功率谱幅值品( 厂) 和频率指数，) 仍未能打破电阻局限：电迁移前期，频率指 数在1 0 左右波动几乎无变化，功率谱幅值虽有上升趋势，但至今未发现其机制的 微观解释。另外，在传统的电迁移噪声分析中人们多采用频谱分析方法，频谱分 折方法所得的，值只能反映平稳信号的全局特性及长程褶关性，而丢失了其它一些 的内部信息。为了得出更多的电迁移内部信息，需寻找更优的电迁移分析方法及 表征参量。 2 2 分形理论 传统的电迁移表征参量存在着明显的缺陷，制约着我们研究的发展。近些年来， 一些新的分析方法陆续引入噪声研究领域，其中分形分析方法尤为引人注目。这 种方法的引入使我们对噪声研究迈上了新的台阶。可以说，分形概念的出现为人 们认识事物的局部与整体的关系提供了一种辨证的思维方式，也为我们研究电迁 移现象提供了一种简洁有力的数学工具。 2 2 1 分形简介 众所周知，欧几里德几何学研究的图形都是规则的形状，如圆、正方形、球等， 构成这些图形的边缘都是连续且光滑的。但是自然界许多物体的形状是不规则的， 甚至是支离破碎的，如天上的云彩、地上的海岸线、动物体内的血管分布。不规 则的几何形状也常出现在自然科学的各个领域，如流体力学中的湍流、物理学中 的布朗运动、化学中酶的构造、生物学中细胞的生长、动力学中的奇怪吸引子等 等。为了研究这些自然现象及规律，一门新的学科随之诞生分形几何学。 分形学是由i b m 的法国数学家b e n o i tb m a n d e l b o r t 于1 9 7 5 年创建，事实上有 关分形方面的研究早在1 9 世纪末、2 0 世纪初就开始了。分形学的研究对象是自然 界非线性科学中出现的不光滑和不规则的几何体。分形f r a c t a l 这个术语源于拉丁 语f r a c t u s ，含有“碎化，分裂”的意思，分形最早的定义也是由m a n d e l b o r t 提出： “h a u s d o r f f 维数严格大于拓扑维数的集合称为分形”但这个定义不够严格，也无 操作性，所以后来m a n d e l b o r t 又提出了改进的定义1 4 z l ：“如果一个形体的组成部分 以某种方式与整体相似就称为分形；分形具有非线性变换下的不变性，但我们首 先研究的是在线性变换下不变的自相似性”其实这个定义也不是十分完备。 f a l c o n e r 从其性质与特征去认识分形的思路更容易让人理解1 4 3 1 ，他认为分形是一些 简单空间上。复杂”的点的集合，这种集合具有某些特殊性质，首先分形是所在 空间的紧子集，并具有以下几何性质： 1 ) 分形集在任何小尺度下有精细的结构； 8金属互连电迁移噪声分形表征参量研究 2 ) 分形集不能用传统几何语言来描述，它既不满足某些条件的点的集合，也 不是某些简单方程的解集； 3 ) 分形集具有某种自相似的形式，可以是近似的或统计的； 4 ) 分形集的“分形维数”严格大于相应的拓扑维数； 5 分形集在多数情况下可递归定义。 经过这些年的发展，分形理论已广泛应用到自然科学和社会科学的几乎所有 领域，成为当今国际上许多学科前沿研究之一。卷入分形狂潮的除数学家和物理 学家外，还有化学家、生物学家、地貌学与地震学家、材料科学家等。诚如s h l e s i n g e r m f 所指出的【叩“2 0 世纪的后半期似乎是科学与数学变得更加专门化的时期。令 人注意的是，在前一个十年，下述课题使得上述趋势得以逆转：分形。它研究自 相似或自仿射对象的几何以及几何上的动力学，并已应用到一系列深刻的交叉学 科的问题中”。美国物理学家w h e e l e r 说：“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不 能被认为是科学上的文化人。” 2 2 2 单分形定义 分形大体上分为两种：单分形和多分形。单分形维数有许多定义和计算方法， 下面简单介绍几种常用的单分形维数： 1 h a u s d o r f f 维【4 5 , 4 6 1 设u 是7 1 维欧式空间r ”中的非空子集。我们把( ，内任何两点间的距离的最大 值定义为u 的直径，记做i u i ，即 i u s u p i x y l ：x , y 【，) ( 2 - 7 ) 对于集合f 亡r ”，如果f 可以被有限个直径不超过万的集类 玑 所覆盖，即 f c u u且0 q i 0 ，定义 日；( ，) = 哦i l ： u ) 为，的一个万一覆盖 ( 2 - 9 ) 其中要取遍所有直径不超过艿的f 的覆盖而取得下确界， 万取极限时有 h 5 ( f ) 。娥哦( f ) 且日；当万减小时增加。 ( 2 - 1 0 ) h ( f ) 为f 的s 维i - l a u s d o r f f 测度。对任何s ，上述极限都是存在的，但通常是0 或0 0 。 第二章基础知识9 定义2 h 集f 的h a u s d r o f f 维为d = i n f s ：h ( 刃= o = s u p s ：h ( 刃= 所以 = t o篆鬻( 2 q d 2 茧 磊 这说明存在一个l 豳界值d ，在这点上h ( 刀从无穷突降为零。这个临界值称为f 的 i - i a u s d o r f f 维数。显然d 是非负实数，它不一定是整数，所以是一种分维。 h a u s d o r f f 维数具有对任何集，都有定义的优点，而缺点是难以计算。但它仍然 是各种分维定义中最重要的一种。 2 盒维 4 6 1 这种维数的定义首先被b o u l i g a n d 提出的，故又被称为b o u l i g a n d 维数。 定义2 2 ：设集合f c r “。最大直径为占的一个覆盖，如果它完全覆盖f 的 最少个数为m ( 刃，则f 的盒维d 。定义为( 当极限存在时) 见= 磐警( 2 - 1 2 ) 3 相似维 如果集合f 具有自相似的子集( 即这些子集有着与集f 相同的结构，而其大 小是按比例缩小的，缩小因子为，) ，而这些子集又依次具有相同比例的子集。假 定每一个母集f 有个子集，而当每一个子集中各点间的距离按照因子1 r 增大时 都恒等于该母集。如果规定初始尺度为1 ，并取边长f 刮一，则覆盖f 所需立方块 的个数札( d = n 。则 d bm l i m 器( 2 m ) 即得一个十分简单的维数公式： d ：l o _ g n ( 2 1 4 ) l o g 一1 其中是由前一个母集按照比例r 缩小后的子集个数，我们把这种集合称为严格自 相似集。按照上式算得的相似维就是h a u s d o r f f 维数的估计值。 可以看出，无论是h a u s d o r f f 维还是其它的许多维数的定义，它们的定义大都 是基于这样一种思想：艿规模下的测量法。即当我们测量一个集合时，忽略那些小 于艿规模下的不规则部分，然后看一看当万一0 时，这些测量有些什么行为结果。 2 2 3 多分形定义 随着理论研究和应用的深入，研究者们越来越清楚地意识到，对于大多数客 1 0 金属互连电迁移噪声分形表征参量研究 观存在的分形物体而言，仅用一个分形维数并不能完全刻画其结构。8 0 年代初， g r a s s b e r g e r 等系统地提出了多重分形理论，引入了多重分形的概念 4 7 , 4 s j 。这是自 分形学诞生以来，分形理论一次重大的发展。多重分形即分形测度( 也称多分形、 复分形及多标度分形) ，它描述的是复杂分形在生长过程中不同层次的特征，每一 个不同层次用不同的参量来表示，这些不同的参量构成一个集合。这样的集合可 以理解成某个物理量。换言之，多重分形是定义在分形上的由多个标度指数的奇 异测度所组成的集合，它刻画的是分形测度( 或物理量) 在支集上的分布状况， 即用一个谱函数来描述分形不同层次的特征，也就是从形体的部分( 小尺度) 出 发而研究其最终整体( 大尺度) 特征的理论方法。 。 由于科学家们是从不同角度进行研究的，所以对多重分形的描述与定义是不完 全相同的，而且其严格的推导也是不容易实现的。下面介绍一种常用的多重分形 描述方法一h d ( h ) 描述【4 7 】。其描述如下： 对于分形集f 上的测度a ，我们将分形集f 划分为尺度为艿的若干个单元，当 这些区域足够小时，该区域的分布可以看成是均匀的，用表示第f 个单元中测度 的值，它与尺度占之间存在如下标量关系： 一 地舻( 2 - 1 5 ) 称啊为h o l d e r 指数，又称为奇异性指数，它控制着测度，的奇异性。如果若干个 单元具有相同的h o l d e r 指数h ，它们的测度可用( ) 表示。若用e 表示这些具有 相同的h o l d e r 指数h 的单元构成的子集合，则e 的s 维h a u s d o r f f 授u 度为 日。( e ，( ) ) 2 坦譬雕( e ，4 h ) ) ( 2 - 1 6 ) 而且，日( 瓦，( 矗) ) 满足如下关系： f 0 0当s d ( 厅) 从上式可以看出，d ( h ) 是子集合f 的h a u s d o r f f 维数。 若在区间肛， + 叫内，测度为( 功的单元数目为( 矗) ，则有 胃；( 兀，( ) ) = n ( h ) 8 ( 2 1 8 ) 从而 日( e ，4 h ) ) = l j i m m n ( h ) 8 ( 2 - 1 9 ) 因此可知，只有 n ( h ) 芘艿一o 6 ( 2 - 2 0 ) 第二章基础知识 时，才可能使h ( e ，( 砌取有限值，m _ h 式可得到计算烈 ) 的基本方法为 删= 一姆警( 2 - 2 1 ) 由上式可知，d ( h ) 给出了在任意尺度艿下，测度为l ( h ) 的单元数目与尺度万的比 例值。 图2 5 多分形奇异谱 对于非均匀测度分布，d ( 是h 的函数，具有如图2 5 所示的单峰现象。对于 均匀测度分布，图上的单峰压缩为一点。在多重分形理论中，称d 【为多重分形 的奇异谱，我们可以通过d ( 对分形集进行定量的描述。多重分形分析处理具有 奇异结构的信号很有效，局部信息可以从每一点的1 - 1 6 1 d 盱指数获得，全局信息 可从整个图像的多重分形奇异谱获得。 2 3 金属互连电迁移噪声及其应用 2 3 1 金属互连电迁移噪声 随着对金属互连电迁移噪声可靠性评估的研究，人们对金属互连电迁移噪声的 认识越来越深刻。广义上讲，凡是功率谱密度与频率成反比的随机涨落现象均可 称为1 i f 7 噪声。金属互连电迁移噪声主要是l f 7 噪声。h o o g e 在1 9 7 2 年研究了各 种金属薄膜的噪声，假设1 ，厂噪声起源于迁移率涨落，给出了h o o g e 经验公式嗍： 学= 学= 裔( 2 - 2 2 )，2r 2 打、r 其中墨、s 分别是电流和电阻的功率谱值，i 、盂分剐是电流和电阻值，口。 是h o o g e 系数，厂是频率，n 是载流子数目。 c h e n 、n e r i 等人发现在一定应力条件下，值接近2 时，电阻波动的功率谱 值品和电流密度歹，温度r 的关系可表示为下列形式： & = 号台e 喝胛 ( 2 - 2 3 ) 金属互连电迁移噪声分形表征参量研究 其中c 是取决与金属薄膜的结构参量和样品几何参量的常数，p 是材料的电阻率。 对于多晶金属薄膜，晶粒边界起着重要作用并且是多晶金属互连线内部金属离子 ( 空位) 迁移扩散的主要路径。毗邻空位的原子沿晶粒边界迁移所需要的能量小于 晶格内原子迁移所需能量，多晶金属互连线电迁移噪声测量结果表明电迁移噪声 主要发生在晶粒边界处。电迁移噪声为平均晶粒尺寸的负指数函数。 1 9 8 7 年c o t t l e 和c h e r t 、n e r i 等人分别提出了两种电迁移噪声产生模型这两 种模型均基于空位产生一湮灭过程中电阻率波动的评估之上，并导出相似结论。 改良后的第二个模型与实验的定量比较相符合，得出以下关系式【2 9 】： 品= a 瓦l 百p f lp 吲打 ( 2 - 2 4 ) 4 ：( 1 0 0 p s ) 5 丝垒 ( 2 石) 2 丑 其中，、w 和t 分别是金属线的长、宽和厚，见是电阻率缺陷，z ? 是粒子有效电 荷，d o 是空位扩散系数中前面的指数因子。心是原子密度， 是空位平均自由程。 2 0 0 2 年杜磊等人【2 1 】应用晶粒边界自由体积的概念建立了能够统一描述金属薄 膜l l f 噪声与l l f 2 噪声的模型。电迁移损伤之前，自由体积以空位形式出现，自 由体积的分布以空位尺度为主，属于平衡分布。电迁移噪声表现为l 厂噪声，频率 指数，在1 o 附近波动。电压功率谱幅值满足以下公式： s ( w ) * = 生 ( 2 2 5 ) 2 w “ 其中“为电子平均速度。电迁移损伤之后，互连线内部出现大尺寸的自由体积，破 坏了前期的平衡分布，使自由体积分布转变为非平衡分布。此时电迁移噪声中出 现“厂2 噪声，值在1 5 附近波动。 一 m t 剐一 l 垴蚓m 瓣，剁- 鹄黼 i i f - - 0 4 5 卸，q d m 斑 4 1 【”“ 一 。潇1 l l f o j t j 铋艺 w - $ m a o 世耐 b 1 图2 6 热循环过程中噪声功率谱幅值随时间变化图8 ) 竹节型结构b ) 多晶结构 hhi_#够童，l才 第二章基础知识 1 9 7 9 年在金属连线内发现了另一受制于热循环的现象，我们称之为热循环电阻 波动( t c i r f ) 电阻的微小波动引起阻值在微欧级变化，持续数小时在达到热平 衡时波动消失。此现象的发生将电迁移噪声的1 厂2 成分引入低频噪声谱中。图2 6 给出了热循环过程中在给定频率( 2 0m h z ) 下功率谱随时间变化的典型特性矧 2 3 2 金属互连电迁移噪声应用 评价互连线可靠性的传统方法均十分耗时，且具有一定的破坏性。采用寿命实 验的方法来确定互连线的平均寿命时间( m t f ) ，即使施加高温、大电流加速，也 需要几百小时：而且易引入其它失效因素，很难将其结果外推到集成电路的正常 工作应力情况下。考虑通过测量薄膜电阻的增加量来代替传统的观察宏观缺陷， 进而来表征电迁移的强弱，但要得到显著的电阻变化量，所需的时间和应力仍然 较大。电迁移在很大的程度上受金属薄膜中的微观缺陷( 如空位、晶粒间界) 制 约【删，而金属薄膜的低频噪声正是对这些缺陷极为敏感的参数。因此，噪声能够 用于研究评价电迁移现象。为电迁移可靠性评估提供了新的分析和表征参量。 正如2 1 1 节所提到的，电迁移低频噪声可用来预测样品的失效时间；并得出 经验公式： l o g t f = z 1 + z 2l o g ( v 2 ) ( 2 - 2 6 ) 其中刀f 为样品失效时间，( v 2 ) 为与电迁移相关的1 ，厂2 嗓声电压的均方值，z 1 和 z ：为经验常数。除此之夕卜，我们还可以从噪声中提取互连电迁移的激活能：引起 电迁移的金属离子流密度可表示为 ，= - 簪p j d oc x p ( 一割 刀 式中n 为金属原子密度，z q 为有效离子电荷，p 为金属电阻率，_ ，为电流密度， 瑶c x p ( 一艮赡d 为沿晶粒阈界扩教系数，乏为扩散激活能。用l 广噪声检测电迁 移的一个基本假设是：薄膜电阻涨落的功率谱密度& 正比于- ，即满足下列半经验 公式： w d = 笋 ( 2 瑚) 利用上两式，可以写为 驰) 号孚吲寺 式中，b 7 = b n z * q d o k 基本与温度 t无关a若令 昂= s r t p j = ( b f 7 ) 州一e ，则可利用固定测试频率下的b g 品一1 t 曲 1 4 金属互连电迁移噪声分形表征参量研究 线的斜率来提取出激活能e 的值。 由以上的电迁移表征参量及其噪声理论可知，噪声参量可以表征金属互连电迁 移失效机理及失效演变过程。为我们分析、研究电迁移失效机理及其敏感的表征 参量提供了强而有力的途径和工具。 第三章金属互连电迁移噪声分形表征理论 第三章金属互连电迁移噪声分形表征理论 3 1 噪声分维与电子扩散轨迹分维的关系 3 1 1 渗流理论 渗流现象在自然界广泛存在。液体在人的肺、心、肝和肾以及在植物的茎、枝、 根和叶中的流动；石油和水在多孔岩石和砂土中的流动，这些都是渗流现象。渗 流概念作为描述流体在随机介质中的运动的数学模型，是1 9 5 7 年首先由布罗德本 特( kb r o a d b e n t ) 和哈梅斯利( mh a m m e r s l e y ) 提出1 5 川，是概率论的一个分支。 下面以一个实验为例来简单说明渗流现象产生的过程。如图3 1 所示，在一个 玻璃容器中无规则地放入大小相同的白色玻璃球和黑色金属球，容器上下各置一 电极，并与电源和电流表相串联。设金属球所占的比倒为p ，则玻璃球占的比例为 l 中，当p 较小时，金属球只可能形成一些很小的孤立集团，不可能形成电流通道。 逐渐增多金属球数目，而其在金属中的分布仍是完全无规的，当金属球的比例达 到, - = o 2 7 时，回路导通，开始出现电流。这是因为在容器中形成延展的具有分形 结构的导电集团。此时，= 如，称如为渗流临界值。 渗流模型分为两类基本模型嗍：格点渗流和键渗流模型。考虑一个无限大正方 形网格，设每格点( 或键) 的占有概率为p ，概率越小，被占格点( 或键) 只能 零散地分布在整个网格中，很少有可能形成被占格点( 或键) 连成一集团，这里 的“格点集团”指的是在其内部，每个被占格点的最近邻必有被占的格点。而“键 集团”指在其内部每根被占键的两端，至少有一端与其它被占键相连。简言之， 集团是被占格点或键的相连集合。随着概率p 增加，网格中可能出现有限大小集 团，这里集团的大小指集团中所含被占格点( 或键) 的多少。当p 增大到某个临 界值以时便可能出现无限大集团，这个集团直延伸到网格的上下( 左右) 端。这 样的无限大集团称为渗流集团。通常，引入一个量关联长度f 来粗略地描述 集团的平均尺寸。如前分析，当p p c 时，尽管仍存在渗流集团，但关联长度却迅速减少，这是由于在计算 f 时已扣去渗流集团，只计及未连通的孤岛。图3 2 给出了关联长度f 与p 及集 团大小示意图。 对于渗流集团，在线度工 f 时，集团具有均匀的结构【4 叼；在线度口 见时，可通过爱因斯坦关系将玩与直流电导口0 联系起来： 见a c no c ( p 一见) 州= 参一胛mz 尸 ( 3 2 ) 其中t