（化学工程专业论文）采用格子boltzmann方法的界面对流现象模拟.pdf

中文摘要 界面传递对相际传质有重要影响。界面浓度梯度导致的密度梯度、表面张力 梯度会引起界面失稳，进而产生界面对流。界面对流的发生会影响界面传质，因 此吸引人们对界面失稳的原因和机理进行研究。 现有的实验方法可以观察到界面对流现象的发生但很难进行定量研究，本文 引入格子b o l t z m a n n 方法( l a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o d ，l b m ) 对界面对流现象 进行定量模拟。 格子b o l t z m a n n 方法从格子气方法( l a t t i c eg a sa u t o m a t a ，l g a ) 发展而 来，该方法建立在分子运动论和统计力学理论的基础上，对连续的流场进行空间， 时间和速度离散，利用离散粒子简单碰撞的统计规律模拟流体流动。与传统的计 算流体力学方法相比，格子b o l t z m a n n 方法在模拟介观尺度流场方面有明显优 势，并且具有适合并行计算等优点。 本文详细介绍了格子b o l t z m a n n 方法的原理，并通过模拟验证了该方法在边 界处理，受力处理等方面的可靠性。利用该方法，本文模拟了小尺度下界面对流 现象，得到了与观察结果一致的浓度分布图。此外，本文还模拟了不同r a 数下 的界面对流情况，通过比较，得到了发生界面失稳的临界r a 数，该数值在实验 测得的临界r a 数的范围之内。 研究表明，格子b o l t z m a n n 方法作为一种较新的计算流体力学方法能较好的 模拟界面对流现象，为界面传递现象的定量研究提供了新的方法。 关键词：格子b o l t z m a n n ，l b g k 模型，r a y l e i g h 现象，界面对流现象模拟 a b s t r a c t i n t e r r a c i a lt r a n s p o r tp h e n o m e n ap l a ya l li m p o r t a n tr o l ei nm a s st r a n s f e rp r o c e s s t h ed e n s i t yg r a d i e n ta n ds u r f a c et e n s i o ng r a d i e n tc a u s e db yt h ee x i s t e n c eo f c o n c e n t r a t i o ng r a d i e n ta tt h ei n t e r f a c e ，m a yl e a dt ot h el o s so fs t a b l e n e s so ft h e i n t e r f a c ea n dt h e nt h ei n t e r f a c i a lc o n v e c t i o n s ( a l s ok n o w na si n t e r r a c i a lt u r b u l e n c e ) t h i sk i n do fi n t e r f a c ec o n v e c t i o n sc o u l de n h a n c et h em a s st r a n s f e ra n dh a v ed r a w n m u c ha t t e n t i o no fr e s e a r c h n em o s tu p t o d a t ee x p e r i m e n t a ls t u d i e sc a r lg i v es o m ed e t a i l e do b s e r v a t i o n so n t h i sp h e n o m e n o n ，b u ti ti sd i f f i c u l tt or e a c hs o m eq u a n t i t a t i v er e s u l t s i nt h i sw o r k , t h e l a t t i c eb o l t z m a r mm e t h o d ( l b m ) i si n t r o d u c e da n di m p l e m e n t e dt os i m u l a t i o n q u a n t i t a t i v e l yt h ei n t e r f a c i a lc o n v e c t i o np h e n o m e n a t h el a t t i c eb o l t z r n a n nm e t h o di sd e v e l o p e df r o mt h el a t t i c eg a sa u t o m a t a ( l g a ) i ti sb a s e do i lt h em o l e c u l ed y n a m i c st h e o r ya n ds t a t i s t i c a lm e c h a n i c s t h i s m e t h o dd i s c r e t et h es p a c e ，t i m ea n dv e l o c i t y , a n di tc a l lb eu s e dt os i m u l a t et h e m e s o s c o p i cp h e n o m e n o no ff l u i df l o ww i t ht h es i m p l ep a r t i c l e sc o l l i s i o np r i n c i p l e s c o m p a r i n gt ot h et r a d i t i o n a lc f dm e t h o d s ，l b mh a sa d v a n t a g e si ns i m u l a t i n gf l u i d f l o wi nm e s o s c o p i cs c a l ea n dp a r a l l e lc a l c u l a t i o n i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h et h e o r yo ft h el a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o di si n t r o d u c e d s o m ee x e r c i s e sa r ep r o v i d e dt op r o v et h a tt h i sm e t h o di sr e l i a b l e 谢廿li t sm a t u r e m o d e l t h e ni n t e r f a c i a lc o n v e c t i o np r o c e s s e sa r es i m u l a t e dw i t ht h i sm e t h o d ，a n dt h e r e s u l t so fc o n c e n t r a t i o nd i s t r i b u t i o n sa r ew e l l a g r e e d w i t ht h e e x p e r i m e n t a l o b s e r v a t i o n a d d i t i o n a l l y , d i f f e r e n tc a s e sw i t hv a r i e t yo fv a l u e so fr a y l e i g hn u m b e r ( 啪a r es i m u l a t e di no r d e rt of m d o u tt h ec r i t i c a lv a l u ef o rr a ，t h er e s u l ts h o w st h a t t h ec a l c u l a t e dc r i t i c a lr ai sa g r e ew i t ht h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t s t h es t u d yi nt h i sw o r kd e m o n s t r a t e dt h a tt h el a t t i c eb o l t z m a n nm e t h o d , a san e w c f dm e t h o d , p r o v i d e sap r o m i s i n ga l t e r n a t i v et ot h ea p p r o a c ht ot h eq u a n t i t a t i v e s i m u l a t i o nf o rt h ei n t e r f a c i a lc o n v e c t i o np h e n o m e n a k e yw o r d s ：l a t t i c eb o l t z m a a nm e t h o d , l b g km o d e l ，r a y l e i g he f f e c t ，i n t e r r a c i a l c o n v e c t i o ns i m u l a t i o n 符号说明 c d 丁 d p g g r 口 s c t x 希腊字母 占 p y r q 4 y 下角标 符号说明 浓度，t o o l l 1 溶质的扩散系数，m ? s 1 迭代步数 流场的特征长度，m 粒子运动速度的向量 溶剂的粒子分布函数 溶质的粒子分布函数 重力加速度，9 8m s 五 r a y l e i g h 数 s c h m i d t 数 时间，s 无量纲速度 网格单元长度，m 无量纲时间 无量纲密度 运动粘度，m 2 s j 松弛时间 碰撞项 碰撞引起的分子间力 分布函数的权系数 a 粒子运动方向 o 溶质相 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得丞鲞盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了访 意。 学位论文作者签名：粱鸽 签字日期：工口叼年多月，舀日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解叁盗盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘盗盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：辫、倒 导师签名： 签字日期：了7 年莎月，缪日 豢弼习 签字日期：缈多月p 日 第一章文献综述 1 1 研究背景 第一章文献综述 化工过程常涉及传质，而两相或多相流体之间传质效果的好坏对整个化工过 程产生很大影响。通常传质阻力集中在相界面上，因此研究相界面的传质情况是 理解整个传质过程的关键。 有研究表明，在气液或液液相际传质过程中，相界面上浓度梯度所导致的表 面张力梯度或密度梯度会引发界面对流( 或称界面湍动) ，从而对传质过程产生 重要的影响。大量的实验证明界面湍动促进了表面更新，伴有界面湍动的传质系 数往往较无湍动时增大数倍之多i l 】。 因为界面湍动对传质过程有如此大的影响，所以研究界面湍动产生的机理、 界面湍动如何影响传质过程就显得很有必要。但是，界面通常都很薄，要研究这 么小尺度区域里的流动情况并不容易，利用常规的实验观测仪器可以观察到界面 湍动【2 】，但很难做定性分析；传统c f d 可以模拟界面的湍动，但如此小尺度下 模拟的精度不高，限制了其对界面传质和湍动的深入研究。 格子b o l t z m a n n 方法的出现和发展，为这一问题的研究提供了一条新的路 径。格子b o l t z m a n n 方法在分子运动论和统计力学的基础上发展而来，俱有研究 小尺度问题的优势【3 】。同时研究表明可以从离散的格子b o l t z m a n n 方法的碰撞函 数推导出连续的n a v i e r - s t o k e s 方程【4 】，说明该方法满足宏观流动方程的质量守 恒，能量守恒，动量守恒。此外，该方法具有计算简便，适合并行计算等优点。 基于此，本文尝试采用格子b o l t z m a n n 方法来研究对界面现象进行模拟。 1 2 格子b o l t z m a n n 方法介绍 1 2 1 格子b o l t z m a n n 方法的理论基础 流体在物理空间上是由大量分子所构成的系统，分子之间尺度远远大于分子 本身尺度，分子通过相互之间的热运动频繁碰撞从而交换动量和能量。因此，流 体的微观结构在时间和空间上非常复杂，具有不均匀性、离散性和随机性。另一 方面，与微观特性相反，流体的宏观结构和运动一般总是呈现均匀性、连续性和 确定性。流体的宏观运动和其它性质是流体分子微观运动的统计平均结果。在连 第一章文献综述 续介质假设基础上，流体的宏观运动可以用一组非线性偏微分方程来描述，即反 映流体质量、动量和能量守恒的n a v i e r - s t o k e s 方程。在对流体系统进行描述的 时候，一般的连续建模思想假设流体微团充满于它所占据的整个区域，相应的物 理量( 流速、密度) 均是在时间和空间上满足一定光滑性的函数。从最基本的质 量、动量和能量守恒律以及空间不变性( 平移、转动和伽利略不变性) 可以导出 流体的控制方程组【5 】。 一般来说，使用n a v i e r - s t o k e s 方程描述流体的运动是比较方便的。针对不 同的问题可以对n a v i e r - s t o k e s 方程进行简化还可以得到e u l e r 方程、粘性不可 压方程和b o u s s i n e s q 方程。但是，在某些情况下，求解这一组偏微方程组是非 常困难或者说是根本不可能的。要求解n a v i e r - s t o k e s 方程，需要知道流体的状 态方程，而在界面上很难确定状态方程的形式。这样，我们会遇到本质性的困难。 还有一些系统，我们甚至不知道其数学模型，更不用说进行数值模拟了。对于这 些用宏观方程难以描述的系统，使用微观的分子动力学方法进行描述更为恰当和 可行。分子动力学方法描述的是一个微观动力学模型，从流体的微观结构出发， 运用非平衡统计物理的观点，一切宏观特征都看作是流体分子作随机运动的结 果。在这个微观模型中，基本单位是流体分子，它们的运动遵循物理守恒律；基 本方法是统计方法。得到的基本方程是b o l t z m a n n 方程【6 】： 善吩可= q ( 1 - i ) 上面的方程也叫做输运方程，它描述的是稀薄气体分子的动力学规律。值得 注意的是在这个模型中流体不再是连续介质，而是由大量离散的分子组成。与连 续介质模型比较，分子动力学方法描述更多地考虑了流体的物理属性。根据统计 力学理论【7 】：宏观状态对应巨大数目的微观状态；宏观力学量是各微观状态相应 微观量的统计平均值。这些理论为从b o l t z m a n n 方程过渡到宏观流体动力学方 程提供了理论基础。但是，这类方法又会带来其他问题。分子动力学方法需要跟 踪多个粒子的运动，计算量非常之大，对计算机的存储量和计算速度都有很高的 要求。目前，这种方法仅仅用于少数非常简单的流动。此外，b o l t z m a r m 方程是 一个比n a v i e r - s t o k e s 方程更复杂的积分微分方程( n a v i e r - s t o k e s 方程与三个空 间坐标相关；b o l t z m a n n 方程与三个空间坐标和三个粒子速度分量相关) ，它的 完全求解也是不现实的。在这种情况下，格子方法( 包括格子b o l t z m a n n 方法 及细胞自动机和格子气自动机方法) 成为流体计算和建模的一种有效方法。格子 b o l t z m a n n 方程实际是一个简化的b o l t z m a n n 方程。这类格子方法是基于这样 的事实，即流体的宏观运动是流体分子微观热运动的统计平均结果，分子的运动 细节不影响流体的宏观行为。n a v i e r - s t o k e s 方程所描述的守恒律与微观粒子所 遵循的运动规律是一致的，流体分子内部相互作用的差别反映在n a v i e r - s t o k e s 第一章文献综述 方程的输运系数上。因此，人们可以构造一个微观或介观模型，使之在遵循基本 守恒律的前提下尽可能地简洁。各种格子模型正是依据这一原则构造出来的。 综上所述，可以明确流体的分子动力论和统计力学是格子b o l t z m a n n 方法 诞生的物理背景和基础，使该方法把微观运动和宏观现象联系了起来。 1 2 2 格子b o l t z m a n n 方法的发展历史 格子b o l t z m a n n 方法源于格子气自动机( l a t t i c eg a sa u t o m a t a ，l g a ) 【8 1 。 1 9 8 6 年，f r i s h h a s s l a c h e r 和p o m e a n 提出了l g a 方法的六边形网格模型，并首 次用这种模型成功地导出了二维n a v i e r - s t o k e s 方程，l g a 的思想受到人们的高 度关注，研究成果层出不穷，在短短的几年间大量的相关文章相继发表。格子 b o l t z m a n n 方法是在l g a 的思想基础上建立和发展起来的一种流场模拟方法， 是对l g a 思想的改进和完善，因此这两种方法有着共同的理论基础。它们认为： 流体是由大量作无规则运动的微观粒子组成，流体的宏观运动特征是这些微观粒 子集体行为的结果，而粒子之间的相互作用的具体细节对宏观运动特征而言却无 关紧要，粒子之间相互作用的变化仅仅影响流体的某些参数，并不会影响流体的 质量、动量和能量守恒等基本规律。因此，l g a 和格予b o l t z m a n n 方法充分利 用一些简单而且规则的粒子运动模型来代替复杂多变的真实微观运动。 格子b o l t z m a n n 方法的发展可以分为以下几个阶段： ( 1 ) l g a 方法的出现。l g a 是一种利用离散空间和离散时间的离散粒子运 动论方法，是元胞自动机( c e l l u l a r a u t o m a t a ，c a ) 在流体力学上的应用。2 0 世 纪7 0 年代，h a r d y 、p a z z i s 和p o m e a u 提出了第一个l g a 模型，即h p p 模型【1 2 1 。 h p p 模型遵循质量守恒和动量守恒，能够反映流体的一些基本特征，如输运性质， 但不能反应宏观方程所对应的非线性。 ( 2 ) l g a 模型的发展。1 9 8 6 年，f r i s h 等人提出了一个新的l g a 模型，f h p 模型【”1 ，第一次从六边形的格子气自动机得到了正确的n a v i e r - s t o k e s 方程。l g a 中，用布尔变量n ( x ，t ) 表示空间点x 在t 时刻是否有粒子，采用布尔变量虽然解 决了l o a 模型的稳定性问题，但引入了随机噪声。l g a 模型的另一个缺点是碰 撞算子具有指数复杂性。 ( 3 ) 格子b o l t z m a n n 方法的出现。1 9 8 8 年，m c n a m a r a 和z a n e t t i 首次用疗 的统计平均量a x , t ) ( 又称为粒子分布函数) 代替布尔变量n ( x ，0 ，即用l b 方程 代替l g a 方程，进行演化计算。此后，h i g u e r a 和j i m e n e z 在格子b o l t z m a n n 方 法中引入平衡分布函数尸，对碰撞算子做线性化处理，从而使碰撞算子的复杂 性降低1 1 4 j 。 ( 4 ) 单松弛模型的出现。k o e l m a n ，q i a n 等人提出了更简单的模型，单松 第一章文献综述 弛模型即l b g k 模型 1 5 】，该模型中，碰撞过程由趋于某一平衡态的松弛过程代 替。这样就使计算简化，并且有研究者发现在一定的条件下，可以用该方程推出 n a v i e r - s t o k e s 方程，说明该模型理论上的正确性。 1 2 3 格子b o l t z m a n n 方法的特点 上面已经介绍过格子b o l t z m a n n 方法从格子气方法发展而来，与之相比格子 b o l t z m a n n 方法并行计算更有效，同时克服了格子气方法的缺点，如计算噪声大、 计算精度不高。和其他数值计算方法相比较，格子b o l t z m a n n 方法具有以下优 点； ( 1 ) 与流体宏观描述中非线性对流项相对照，在以流体的分子运动论的描 述为基础的格子b o l t z m a r m 方法中，相对于相空间的对流过程是线性的。使用 c h a p m a n e n s k o g 展开【1 6 】可从格子b o l t z m a n n 方程导出宏观的非线性对流过 程。 ( 2 ) n a v i e r - s t o k e s 方程中，压力作为速度的源项用运动方程式来表示。在 这种情况下，用有限差分方法求解n a v i e r - s t o k e s 方程时，必需采用反复计算和 松弛法处理。格子b o l t z m a n n 方程中压力以状态方程式表示。其解法无需反复 计算的特征使其可使用并行计算。 ( 3 ) 在使用m a x w e l l b o l t z m a r m 平衡态分布的分子运动论中，为了使相空 间在连续空间存在，在求解平均量的过程中需要知道所有相空间的情况。而在格 子b o l t z m a n n 方法中，以最小的离散化速度作代表导出n a v i e r - s t o k e s 方程，并 可从局部粒子分布函数统计得出宏观量。 ( 4 ) 格子b o l t z m a n n 方法具有最适于并行处理的局部相互关系模型。 ( 5 ) 边界条件容易设定，并且可以方便处理复杂边界。 另一方面，格子b o l t z m a n n 方法还存在一些不足，方程推导过程中的近似假 设使得该方法只能模拟低m a 数、低k n 数、低r e 数的流体【1 7 】；对b o l t z m a r m 方程的离散使得只有在对称网格才能保证该方法的计算效率；常用的边界处理方 法只有2 阶精度。 1 3 研究进展 格子b o l t z m方法为计算流体力学提供了新的思路，自1 9 8 5 年美国 a l a m o s 国家实验室提出第一个格子气模型以来得到了飞速的发展。做为新的数 值计算方法，该方法已在流体动力学，多孔介质渗透流动，磁流体动力学，传热 问题，多相流，m e m s 和化学反应等多方面得到了应用。 第一章文献综述 多相流方面，荷兰d e l f t 大学的r o t h m a n t l 8 】等人、美国l o s a l a m o s 国家实验 室的x s h a h ，s c h e n 等f 1 9 】及其他各国的学者运用格子b o l t z m a n n 方法进行了数 值模拟。传热方面，各国研究人员提出了不同模型【2 0 1 ，美国l o s a l a m o s 国家实 验室的s c h e n ，x s h a n t 2 1 】成功的模拟出r e y l e i g h b e r n a r d 对流图案，但在研究 传热问题时该方法的稳定性不高。发展的今天，格子b o l t z r n a n n 方法在单相流模 拟方面比较成功，在模拟多相流和传热时都有不少问题有待解决。目前格子 b o l t z m a n n 方法的研究热点包括以下方面： ( 1 ) 多孔介质流动 ( 2 ) 湍流的模拟 ( 3 ) 多相流与多组分流 由于格子b o l t z m a n n 方法影响的扩大，其在国内也受到日益的重视。上世 纪八十年代后期，朱照宣、钱跃沆等人在力学和实践等杂志上介绍了格子气 方法，此后华中科技大学、清华大学、北京应用物理与计算数学研究所、吉林大 学和武汉大学等单位都对该方法进行了卓有成效的研究。 第二章l b g k 模型 第二章l b g k 模型 格子b o l t z m a n n 方法从格子气自动机( l g a ) 发展而来，连续的b o l t z m a n n 方程经过离散得到格子b o l t z m a n n 方程，后来又证明可以从格子b o l t z m a n n 方程 导出n a v i e r - s t o k e s 方程。此外，研究人员从统计力学的m a x w e l l b o l t z m a n n 分布 出发，推导出离散的平衡分布函数，平衡分布函数与格子b o l t z m a n n 方程相结合， 通过迁移和碰撞迭代就构成了格子b o l t z m a n n 方法。上述的理论基础证明格子 b o l t z m a n n 方法是连接流体的微观运动和宏观表现的桥梁。 本章从理论基础出发，以二维九速( d 2 q 9 ) 的b g k 模型为例，对格子 b o l t z m a n n 方法如何从连续b o l t z m a n n 方程取得又如何导出n a v i e r - s t o k e s 方程进 行详细推导。并给出m a x w e l l b o l t z m a n n 分布离散得到格子b o l t z m a n n 平衡分布 函数的过程。给出格子b o l t z m a n n 方法研究宏观流体的理论依据。 2 1l b g k 模型的理论 2 1 1l b g k 模型 l b g k 模型是l b m 最常用的模型之一，l b g k 模型与之前模型的区别在于， 它用线性化的b g k 碰撞项代替了原来非线性的碰撞项q ，从而使碰撞过程的复 杂性大大降低，计算过程得到简化【2 2 1 。 b o l t z m a n n 方程的b g k 形式为： 要+ ，夥：一土c 厂一f q ) ( 2 1 ) 优f 对上式进行时间和空间离散，得到l b g k 模型的演化方程： 无o + e a t , t + a t ) 一f ，) = 一三【f ( z ，) ( z ，) 】 ( 2 - 2 ) g - 其中石代表沿a 方向运动粒子的分布函数，石叼为粒子局部平衡分布函数， 表示局部达到平衡态时粒子的分布函数；r 为无量纲松弛时间，反映五趋近于石e q 的速度；x 是网格节点坐标；a t 为时间步长，即每一次迭代计算所经历的时间； 4 x 为网格宽度。 d 2 q 9 的l b g k 模型把二维流场分割成均匀的正方形网格，如图2 1 所示， 令每个节点上的微团具有从0 至8 的九种可能的运动方向，其中0 表示静止不动。 p 口是网格节点连线形成的向量，即粒子的运动速度向量；下标a 表示给定的粒子 第二章l b g k 模型 运动方向；方程中，离散速度方向e a 如图1 所示，取值为： e o = ( o ，o ) ； p 】= ( 1 ，0 ) ：e 2 = ( 0 ，1 ) ；勖= ( 一1 ，0 ) ；e 4 = ( o ，- 1 ) ； e s = ( 1 ，1 ) ；岛= ( - 1 ，1 ) ；p 7 - ( - 1 ，一1 ) ；p 8 = ( 1 ，- 1 ) ； 图2 - 1二维九速模型的粒子运动方向 式( 2 1 ) 的左边表示粒子密度的变化率和粒子以速度为v 的迁移过程。右 边为线性化的b g k 碰撞项，表示粒子之间的碰撞。 以分子运动论为基础，格子b o l t z m a n n 方法用离散速度来代替连续速度v ， 这种离散虽然使计算精度降低，但研究证明可以由式( 2 - 2 ) 导出近似的 n a v i e r - s t o k e s 方程，具体推导过程在下一节给出。在分子运动论中，粒子通过迁 移和碰撞进行质量、动量和能量传递。因此格子b o l t z m a n n 方法的计算步骤主要 包括粒子的迁移和碰撞 2 3 j 。 碰撞过程中的一个重要参数是松弛时间石它表征非平衡态趋向平衡态的快 慢。其值由物性( 粘度，扩散系数等) 决定： y = 去缸2 血p i 1 ) ( 2 3 ) 平衡分布函数俨由b o l t z m a n n 分布给出【6 1 ，表示为： 铲咆卅等+ 警+ 等 ( 2 - 4 ) c ：竺，选定c 的值后只有缺点权重系数甜口就能确定平衡分布函数。确定 f 权重系数的原则是保证护满足质量守恒、动量守恒和各向同性等约束。在d 2 q 9 模型中，令c = l 则权重系数口分别为： d = 4 9 ( 萨：0 ) 。= l 9 ( 口= 1 ，2 ，3 ，4 ) 口= 1 3 6 ( 口= 5 ，6 ，7 ，8 ) 宏观尺度上，每个节点的速度材和密度屿分布函数的关系为： p = 无 ( 2 - 5 ) 第二章l b g k 模型 p u = 巳无 ( 2 - 6 ) 口睾o p u u + = p 。e 。l ( 2 - 7 ) a 在运用该模型进行流场模拟的过程中，需要给定流场的初始条件，流场初始 时的速度分布，密度分布；以及边界条件，边界条件的处理方法将在下文进行详 细介绍。确定初始条件和边界条件，就可以用格子b o l t z m a n n 方法来模拟流体运 动，计算主要包括迁移过程和碰撞过程。首先，把初始的宏观量速度”o 和密度 p o 代入平衡方程( 2 4 ) ，得到最初的平衡分布函数俨；随后，在迁移过程中， 把节点上的平衡分布函数俨按运动方向赋到相邻节点上，得到分布函数尼宰。接 下来的碰撞过程就是把护和石玳入l b g k 方程，得到新的分布函数五。此时 利用尼与宏观速度u ，宏观密度p 的关系，即方程( 2 5 ) 和( 2 6 ) ，计算得到经 过一次迁移和碰撞后，即经过4 ，流场中速度和密度的分布情况。新的速度和 密度又可以作为下一次迭代的初始值，如此反复计算，可以得到流场的运动状态。 图2 - 2 格子b o l t z m a n n 方法计算流程 2 1 2b o l t z m a n n 方程的离散 虽然格子b o l t z m a n n 方法有格子气方法发展而来，但研究人员后来发现其演 化方程，即式( 2 2 ) 可以由连续的b o l t z m a n n 方程离散得到，并且可以推导出 连续的n a v i e r - s t o k e s 方程，因此格子b o l t z m a n n 方法将微观的粒子运动和宏观的 流体流动联系起来。同时，研究人员利用连续的m a x w e l l b o l t z m a n n 分布导出格 子b o l t z m a n n 方法的平衡分布函数。 第二章l b g k 模型 图2 - 3 格子b o l t z m a n n 方法理论基础 上文提到，格子b o l t z m a n n 方法的演化方程由连续b o l t z m a n n 方程离散得到， 令流场的特征长度为上，特征速度为u ，具体推导步骤如下，首先b o l t z m a n n n 方程表示为： 要+ 唧：q ( 2 8 ) b g k 近似 嬖+ 眄：一! ( 厂一厂叼) ( 2 - 9 ) b o l t z m a n n 方程的离散 a y o + u 。可兑：一! ( 无一无叼) ( 2 - 1 0 ) 无因次的离散b o l t z m a n n 方程 o a s ? o + c v f o ；一l ( l 一无田) ( 2 - 1 1 ) 式( 2 1 1 ) 中用无因次速度和时问代替了式( 2 1 0 ) 中的实际速度和时间。 b o l t z m a r m 方程离散 地等趔心华业掣 = 一二( 无一无钾) 其中占= f ( 眦) ，为无量纲时间。上式化简得到： 无( x + e 。a t ，f + a t ) - f ( x ，t ) = 一二( 一六明)( 2 1 3 ) 第二章l b g k 模型 2 1 3 格子b o l t z m a n n 模型导出n a v i e r - - s t o k e s 方程 在分子运动论中，c h a p m a n - e n s k o g 过程【2 4 】在求解b o l t z m a n n 方程中是一个 渐进展开方法，就是将连续方程离散为不同尺度的多项式形式。使用这个工具， 可以从d 2 q 9 模拟导出n a v i e r - s t o k e s 方程。 已知d 2 q 9 的b o l t z m a n n 方程为： l ( x + p 。a t ，f + a t ) - f ( 工，t ) = 一二( 厂一无叼)( 2 1 4 ) 使用c h a p m a n e n s k o g 展开，引入两个宏观时间尺度t l = e t 和t 2 = 2 t ，一个空 间尺度x i = x ，并对时间导数、空间导数和分布函数都进行多尺度展开： a ，= 国，+ 6 2 0 ， ( 2 1 5 ) “ 、 a 。= 国。( 2 1 6 )d 。2 删。【2 6 ) 无= + 彰+ 占2 z + ( 2 1 7 ) 将l b g k 方程左端进行t a y l o r 展开，并略z o ( a 产) 及高阶项，得到 a t d 4 f 。+ 等d ：一u 4 一f ? 、( 2 - 1 8 ) 其中d o = 0 t + e 0 。，将多尺度展开式代入上式，对比各阶系数得到： 片= 铲 ( 2 - 1 9 ) d 、。j ：= 一去兑( 2 - 2 0 ) a ，：c + a 2 t 3 2 ，f 。o + d 。力一i 础f 一2 ( 2 - 2 1 ) 其中d l a = 0 t l + e 。a1 。，并且式( 2 - 2 1 ) 可以根据式( 2 - 2 0 ) 化为： 钆r + ( 一去) d 。一= 一去r ( 2 现) 由式( 2 1 9 ) 及平衡态分布函数和宏观密度、速度的定义可知： = c 。 - 0 ，k 0 ( 2 - 2 3 ) 由( 2 1 9 ) 、( 2 2 0 ) ，对( 2 2 3 ) 求零阶和一阶速度矩可以得到t l 尺度上的宏 观方程： a f l p + a 1 。( p 吖。) = 0 ( 2 - 2 4 ) a ，l ( 。) + a l 卢万易= 0 ( 2 - 2 5 ) 其中万品= c 。c 。r = p u 。”，+ p 。压力p 是状态方程，表达式为： p = c 。砀( 2 2 6 ) 式( 2 2 5 ) 即e u l e r 方程，说明展开格子b o l t z m a n n 方程可以得到一阶精度 的e u l e r 方程。 对于( 2 - 2 1 ) 求零阶矩和一阶速度矩，得到t 2 尺度上的宏观方程： 第二章l b g k 模型 a ，2 p = 0 ( 2 2 7 ) a ，2 ( 。) + a l ，万易= 0 ( 2 - 2 8 ) 其中 i = ( ，一爿；锄爿 ( 2 - 2 9 ) 式( 2 2 9 ) 的具体形式与格子和平衡态分布函数有关，对于d 2 q 9 模型： 去；c 。a c 妒z2 ；c a a c 妒d 1 a z = a n 万印0 + a l ，c 。口c 妒c 。，r ( 2 3 0 ) = a ，l ( p u 。z ，芦) + c ；a n p 6 易 + a 。，k ；尸( z ，。+ z ，卢+ 甜，) j = c ； 多l 。( 膨，) + a l 卢( 库。) j + d 3 ) 上述推导过程利用t l 尺度上的宏观方程( 2 2 5 ) ，可以得到： 万印i = i ，p l 。( 卢) + a l ，( a u a ) j ( 2 3 1 ) 其中粘度系数v 定义为： y ：c ；f f 一去1 f ( 2 - 3 2 ) 由t l 和t 2 尺度上的宏观方程可以得到l b g k 模型对应的宏观方程，其中与d 2 q 9 模型对应的宏观方程为： a ，p + a 。( p u 。) = o ( 2 - 3 3 ) a ，( 肛。) + a ，( 。) = 句口p + a 芦p ( a 。，+ a ，p u 球) j ( 2 3 4 ) 以上推导过程省略了o ( m a 3 ) 及其高阶项，在流体密度变化不大情况下，式( 2 3 3 ) 和式( 2 3 4 ) 可化为标准的不可压n a v i e r s t o k e s 方程。 通过上面的推导，建立了离散的格子b o l t z m a n n 模型与连续的n a v i e r - s t o k e s 方程之间的联系，给出了格子b o l t z m a n n 模型能有效模拟宏观流场的理论依据。 2 1 4 平衡分布函数的离散 格子b o l t z m a n n 方法的平衡分布函数由m a x w e l l b o l t z m a n n 分布离散得到。 统计力学中m a x w e l l - b o l t z m a n n 分布函数表达式为【2 5 】： 厂q = 丽pe x p e 一( v - u ) - - - - - 笪 q - 3 5 ， 其中，表示微观粒子运动速度，材表示宏观流速，d 是空间维数，t 是温度。 在低m a c h 数下对式( 2 3 5 ) 进行t a y l o r 展开，得到如下基本形式： 第二章l b g k 模型 舶，= 水峨宇+ e 孚+ 等2 p 3 6 ， 上式中a 。，b 。，c a ，d 。为待定系数，p 为粒子密度，u 为局部平衡速度。d 2 q 9 方程中，x , j 于不同运动方向式( 2 3 6 ) 可分别表示为： 、( 材) = 户0 。+ d 。甜2 ) ，a _ o ( 2 3 7 ) f f f ( u ) = p 卜b ，掣c 崛掣c + 等2 乩2 3 4 ( 2 - 3 8 ) i 。 c 。j f y ( u ) ：p f a s + b 2 掣+ c 2 堕+ 华1a ：5 6 ，7 ，8 ( 2 - 3 9 ) i c c 。c j 由于质量守恒和能量守恒，护满足以下条件： ；歹孑2p (2-40) a 铲巳2 a ( 2 - 4 1 ) 由式( 2 3 7 ) ( 2 - 4 1 ) 得到： p = p ( ( a o + 4 a l + 4 a 2 ) + 2 c 。+ 4 c 2 + d o + ，d l + 4 蚴纠( 2 也) p u = p ( 2 8 1 + 4 8 2 弦( 2 - 4 3 ) 化简得到： a o + 4 a 1 + 4 a 2 = 1( 2 4 4 ) 2 c l + 4 c 2 + d o + 4 d 1 + 4 d 2 = 0 ( 2 - 4 5 ) 2 b l + 4 8 2 = 1( 2 - 4 6 ) 在保证向量对称性、对流项的g a l i l e a n 不变性、压力不依赖速度等约束条件下， 式( 2 4 4 ) ( 2 - 4 6 ) 可解得一组解： 彳。= 万4 ，爿。= 万1 , a s = j 1 石( 2 - 4 7 ) 蜀= 黔击( 2 - 4 8 ) c l = 1 2 ，c 2 = 吉 ( 2 _ 4 9 ) d o = 一扣= _ - ，1d 2 = 一去( 2 - 5 0 ) 因此得到平衡分布函数为： 舶，= 詈0 - 专甜a = o 铲蜘万1p f l + 3 字号学一剖礼2 4 渊 第二章l b g k 模型 斤c “，= 去4 - + 3 掣+ 兰鱼一吾等) a 一5 ，6 ，7 ，8 c 2 酆， 权重系数分别为：c o a = 4 9 ，口= 1 9 ，6 9 口= 1 3 6 上面的推导过程将连续的m a x w e l l b o l t z m a n n 分布和离散的格子b o l t z m a n n 模型的分布函数联系起来，表明格子b o l t z m a n n 方法的分布函数建立在统计力学 的基础之上。此外，需要注意不同的格子b o l t z m a n n 模型，如三维模型等，具有 不同的分布函数，权重系数6 9 。的取值也不同。 2 2 双分布模型 在实际过程中，流体流动涉及多组分或者是热量传递，这时仅仅考虑一种组 分是不够的。上述模型在此时显出了局限性，它只能模拟单一组分，无法模拟多 组分或有热量传递的流场。 一般的用以模拟热量传递的格子b o l t z m a n n 模型有一下几种 2 6 3 0 ： ( 1 ) 多速度模型( m u l t i s p e e da p p r o a c h ) 。多速度模型是对普通l b m 绝热模 型的扩展，它只考虑密度分布函数。为了获得宏观的温度演化方程，需要引入额 外的速度项( a d d i t i o n a ls p e e d ) ，并且平衡分布函数中也需添加高阶速度项( h i g h e r o 妇v e l o c i t yt e r m s ) 。但是引入高阶速度项使计算的数学稳定性降低，从而把 温度变化限制在一个较小的范围中。 ( 2 ) 独立标量模型( p a s s i v es c a l a ra p p r o a c h ) 。如果压力下粘性热( v i s c o u sh e a t ) 的扩散和压缩能够忽略，宏观温度和独立标量有一样的演化方程。这种方法中， 温度可以