（概率论与数理统计专业论文）金融衍生产品中美式与亚式期权定价问题的数值方法研究.pdf

s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n n u m e r i c a lm e t h o d sf o rp r i c i n ga m e r i c a na n da s i a n o p t i o n s s u np e n g ( s c h o o lo fm a t h s y s s c i ，s h a n d o n gu n i v ，j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t 0 1 a b s t r a c t i ne a r l yf i n a n c i a lm a r k e tt h e r ea r eo n l yf o u rk i n d so ff i n a n c i a lt o o l s ：b a n kd e p o s i t ， b a n kd r a f t ( b a n ka c c e p t a n c e ) ，b o n da n ds t o c k t h ee a r l i e s tb a n kd e p o s i ta p p e a r e di n t h e1 3 t hc e n t u r i e si t i sk n o w nt h a tr i c c i a r d ib a n ko fl u c ai st h ee a r l i e s to n e d u r i n g t h ey e a rf r o m1 2 7 2t o1 3 1 0 ，t h i sb a n kp r o v i d e dal o a no f4 0 0 ，0 0 0p o u n dt ot h er o y a l t yo f e n g l a n d a l t h o u g ht h ed e f a u l to ft h i sl o a nc a u s e dt h i sc o m p a n y sb a n k r u p t c y ，i td i dg i v e a ne x a m p l eo ft h ef i n a n c i a lr i s ko fe a r l yd a y s b i l lo fe x c h a n g e ，w h i c hi st h ec r e d i t o r s r i g h t sw i t ht h eg o a lt op a ya n dc a nb ec i r c u l a t e da n dt r a n s f e r r e d ，a r i s e sa l m o s ta tt h e s a m et i m ew i t hb a n kd e p o s i t h o w e v e r ，a l lk i n d so fb o n d ，i nw h i c ht h ei s s u e ro w e st h e h o l d e r sad e b ta n di so b l i g e dt or e p a yt h ep r i n c i p a la n di n t e r e s t ( t h ec o u p o n ) a tal a t e r d a t e ( t e r m e dm a t u r i t y ) ，d i d n ta p p e a r e du n t i lt h e1 6 t hc e n t u r yt h ef i r s tr e a lg o v e r n m e n t b o n di sg r a n dp a r t io fn a n c i sii n1 9 5 5 i tw a si s s u e dn o tj u s tf o rah a n d f u lo fb a n k s b u t f a c e da l lt h ei n v e s t o r s s t o c ko r i g i n a t e df r o mt h eb r i t i s he a s ti n d i ac o m p a n yi n1 6 0 0t h e e a r l i e s ts t o c ki sac e r t i f i c a t eo fp o o l i n gc a p i t a lt of i n a n c et h eb u i l d i n go fs h i p s t h ef i r s t p e r m a n e n ts t o c kc o m p a n yt oi s s u es h a r e so fs t o c kw a st h ed u t c he a s ti n d i ac o m p a n y ，i n 1 6 0 2 f r o m1 6 1 3 ，t h i sc o m p a n ys t a r t e dt od i s t r i b u t et h ep r o f i te v e r yf o u rv o y a g e s ，w h i c h w a sc o m m o n l yr e g a r d e da sap r e d e c e s s o ro f ”s t o c k h o l d e r a n d ”d i s t r i b u t e dd i v i d e n d s ” t h u s ，w ec a ns e et h a tt h ee a r l yf i n a n c i a li n v e s t m e n ti sr e l a t i v e l ys i m p l ei n v e s t o r s f o l l o w e ds o m ep l a i np h i l o s o p h yp r i n c i p l e ss u c ha s “l o w l yb u y h i g h l ys e l l ”d o n tp u t a l lt h ee g g si n t oo n eb a s k e t ”e t c i tw a sn o tu n t i lt h el a t t e rh a l fo f2 0 t hc e n t u r yh a st h e f i n a n c i a lm a r k e tg r o w nu pr a p i d l ya n dm a t h e m a t i c a lt o o l st o o km o r ea n dm o r ep a r ti ni t t h e s ec h a n g e sw e r em a i n l yd u et ot h et w of i n a n c i a lr e v o l u t i o n si nt h ew a l ls t r e e t t h ef i r s tf i n a n c i a lr e v o l u t i o ns t a r t e df r o mt h ep a p e r m a r k o w i t z ( 1 9 5 2 ) 1“p o r t f o l i o s e l e c t i o n ”w h i c hi sh a r r ym a r k o w i t z sd o c t o r a lt h e s i s t h ee a r l yv e r s i o no ft h i st h e s i s d i s c u s s e dh o wt og e tt h ep o r t f o l i ow h i c hc o u l dm a x i m i z et h ea n t i c i p a t e di n c o m et h r o u 【g h s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n t h ec o m b i n a t i o no fr i s ka s s e t s ( d i s p e r s a li n v e s t m e n t ) a n da tt h es a m et i m ei tc o u l dk e e p t h er i s ko fs i n g l es e c u r i t ya ta na c c e p t a b l el e v e l t h em a t h e m a t i c a lt o o li nh i st h e s i sw a s c a l l e dm a r k o w i t zm e a n - v a r i a n c ea n m y s i s ) m a r k o w i t z ( 1 9 5 9 ) b e f o r eh i sp o r t f o l i ot h e o r y ， i n v e s t o r sa l s od i s c u s s e dr i s ka n dp r o f i t ，b u ta st h e yc o u l d n tq u a n t i f ys o m ei m p o r t a n t i n d i c e s t h e i rp o r t f o l i o sw e r eu s u a l l yv e r ys u b j e c t i v ea n dh a r d l yt om a k ec l e a rw h yt h e y c o u l dg e ts u c ha n t i c i p a t e dp r o f i t m a r k o w i t z st h e o r ys o l v e dt h e s ep r o b l e m s l a t e r ， m a n yp e o p l e ，s u c ha sw i l l a ms h a r p ，m a d ef u r t h e rr e s e a r c ho nt h ep r o b l e mo fp r o f i ta n d r i s kw h e nm a r k e t sr e a c h e dt h e ”b a l a n c e ”( s u p p l ya n dd e m a n da r ee q u a l ) a n dg a v ec a p i t a l a s s e tp r i c i n gm o d e l c a p m s h a r p e ( 1 9 6 4 ) t h i sm o d e li n d i c a t e st h a tw h e nm a r k e t s a c h i e v eb a l a n c e ，t h ef a c t o r sw h i c hd e t e r m i n et h ea s s e tp r o f i t ( i e p r i c i n ga s s e t s ) a r et h e 卢- m e a s u r es y s t e mr i s k ，w h i l s tn o n s y s t e mr i s kp l a y sn or o l ei np r i c i n ga s s e t s ，a n di ti sa k i n do fl i n e a rr e l a t i o n s h i pb e t w e e ne x p e c t i n gp r o f i ta n dp t h es t a n d a r dc a p m g i v e sa c o m p l e t ea n s w e rt ot h ep r o b l e mo ft h ed e t e r m i n i n gm e c h a n i s mo fa s s e tp r o f i t sw h e nt h e m a r k e t sa c h i e v eb a l a n c e b e c a u s eo ft h e i re x c e l l e n tw o r k ，m a r k o w i t za n ds h a r ps h a r e d t h en o b e lp r i z ei ne c o n o m i c sw i t hm e r t o nm i l l e ri n1 9 9 0 b e f o r et h o s ey e a r sw em e n t i o n e da b o v e ，w es h o u l dp o i n to u te s p e c i a l l yt h a ti n1 9 0 0 ， l o u i sb a c h e l i e rp u b l i s h e dh i st h e s i s “t h 断i ed el as p d c u l a t i o n y b a c h e l i e r ( 1 9 0 0 ) ，w h i c h i sam i l e s t o n eo fm o d e r nf i n a n c i a ls t u d y i nh i st h e s i s ，h eu s e dr a n d o mw a l kf o rt h ef i r s t t i m et od e s c r i b es t o c kp r i c e sa n da l s oh em e n t i o n e dt h eo p t i o np r i c i n gp r o b l e m ； a tt h eb e g i n n i n go ft h e7 0 s ，b l a c ka n ds c h o l e so b t a i n e das i g n i f i c a n tb r e a k t h r o u g h ， w h i c hr a i s e dt h es e c o n df i n a n c i a lr e v o l u t i o n t h e yd e d u c e dad i f f e r e n t i a le q u a t i o nw h i c h s h o u l db es a t i s f i e df o ra n yp r i c eo fd e r i v a t i v es e c u r i t i e sb a s e do na n yn o n - d i v i d e n dp a y m e n t s t o c k ( 。1 1 ) 酉o + 一0 - 2 8 2 0 2 v 2o s 2 + r 艘o s ：r ， 、。 m i nt h e i rb r e a k t h r o u g hp a p e r ，b l a c ka n ds c h o l e ss o l v e dt h e i rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s u c c e s s f u l l ya n dg o tt h ep r e c i s ef o r m u l af o re u r o p e a nc a l la n dp u to p t i o n s b u ti nt h e r e a lm a r k e t ，t h ep r e c i s ef o r m u l ac a n tb eo b t a i n e df o rp r i c i n gm a n yd e r i v a t i v es e c u r i t i e s b u tw ec a nu s en u m e r i c a lm e t h o d st os o l v ei t t h el i n e a rf o r mo fb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf b s d e s lw a sf i r s ti n t r o d u c e di n b i s m u t ( 1 9 7 8 ) 】i n1 9 7 8 l a t e r ， p a r d o u x & p e n g ( 1 9 9 0 ) 】s t u d i e dt h ee x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so fak i n do fn o n l i n e a rb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f i e r e n t i a ie q u a t i o n su n d e r l i p - s c h i t zc o n d i t i o n i n 【d u f f l e e p s t e i n ( 1 9 9 2 b ) ，t h e yi n t r o d u c e da s p e c i a lc a s eo f b a c k w a r d s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n d e p e n d e n t l y d u r i n gt h e i rs t u d yi ns t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l u t i l i t yt h e yf o u n di tc o u l db eu s e dt od e s c r i b et h ec o n s u m a b l ep r e f e f e n c eu n d e ru n c e r t a i n e c o n o m i ce n v i r o n m e n t ( i e e c o n o m e t r i c sf o u n d a t i o n u t i l i t yf u n c t i o nt h e o r y ) i i s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n s u b s e q u e n t l y , e 1k a c o u ia n dq u e n e zf o u n dt h a tt h et h e o r e t i c a lp r i c eo fm a n yi m - p o r t a n td e r i v a t i v es e c u r i t i e s ( e g f u t u r e sa n do p t i o n s ) c o u l db es o l v e db yb a c k w a r d s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，e s p e c i a l l yb l a c k s c h o l e sf o r m u l a ，w h i c hi sas p e c i a ll i n - e a rf o r mo fb s d e s s e e 【e 1k a r o u i q u e n e z ( 1 9 9 5 ) ， e lk a r o u i ，p e n g q u e n e z ( 1 9 9 7 ) ， 【d u f f l e & l i o n s ( 1 9 9 2 ) ， d u f f l e ，g e o f f a r d ，& s k i a d a s ( 1 9 9 4 ) i n ( p e n g ( 1 9 9 1 ) ，p e n go b t a i n e dap r o b a b i l i s t i ci n t e r p r e t a t i o nf o rs y s t e mo fs e c o n do r - d e rq u a s i i i n e a rp a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i en o n l i n e a rf e y n m a n k a cf o r m u l a ， 8 0t h a ti tc o n n e c t e dt h es o l u t i o no fb s d ea s s o c i a t e dw i t hak i n do fs d ew i t hp d e t h e r e f o r ew ec a nu s et h er e a d y m a d em e t h o d so fp d et os o l v eb s d e ，a n di n v e r s e l y ，s o m ep d e p r o b l e m sc a nb es o l v e db yb s d e s s t o c h a s t i ca l g o r i t h m s e e m a ，p r o t t e r y o n g ( 1 9 9 4 ) ， m a y o n g ( 1 9 9 5 ) ， d u f f l e ，m a ，y o n g ( 1 9 9 5 ) ，【m a ，p r o t t e r ，s a nm a r t f n t o r r e s ( 2 0 0 2 ) e t c i n h u & p e n g ( 1 9 9 5 ) ，p e n ga l s oo b t a i n e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fak i n do f c o m p l e t e l yc o u p l i n gs d e a n db s d e t h ee u r o p e a no p t i o np r i c ec a l lb eo b t a i n e db ys o l v i n ga ni n i t i a la n db o r d e rv a l u e p r o b l e mo fah i g h l yd i m e n s i o n a lp a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( s ) w i t hm i x e d d e r i v a t i v e s ：u s u a l l yw eu s en u m e r i c a lm e t h o d s ，s u c ha sd i f f e r e n c em e t h o d ，f i n i t ee l e - m e n tm e t h o d ，l i m i t e dv o l u m em e t h o de t c d i f i e r e n tf r o me u r o p e a no p t i o n ，a m e r i c a n o p t i o ne a r lb ee x e c u t e da ta n yt i m ed u r i n gt h ep e r i o do fv a l i d i t y i tc a nb ec h a n g e di n t o al i n e a rc o m p l e m e n t a r yp r o b l e m ( l c p ) d e p e n d i n go nt i n m ， o x s t e r l e e ( 2 0 0 3 ) 】 t h e r ea r em a n yn u m e r i c a lm e t h o d st os o l v el c p , s u c ha s c l a r k e & p a r r o t t ( 1 9 9 6 ) ， c l a r k e & p a r r o t t ( 1 9 9 9 ) ，w h i c hg a v eam e t h o do fp f a sf o ra na p p r o x i m a t e l yl i n e a rc o m p l e m e n t a r yp r o b l e m t h ea d v a n t a g ei si t si t e r a t i v et i m e sa r ei n d e p e n d e n tw i t ht h eg r i d n u m b e r ，a n dg e ta ne f f e c t i v en u m e r i c a ls o l u t i o n b u ti ti sh a r dt op e r f o r mi t p f a s w a su s e da n di m p r o v e di n o x s t e r l e e ( 2 0 0 3 ) ja n dt h ev i b r a t i o no fn u m e r i c a ls o l u t i o n sw a s a v o i d e de f f e c t i v e l y i n z v a n ，f o r s y t h v e t z a l ( 1 9 9 8 ) ，t h e yu s e dp e n a l i z a t i o nm e t h o dt o s o l v et h ea m e r i c a no p t i o nw h i c hc a nb ee x e c u t e di na d v a n c e i e ap e n a l t yt e r mw a si n t r o - d u c e di nt h ep r e v i o u sp a r t i a ld i f f e r e n t i a li n e q u a l i t ys ot h a ti tb e c a r n ei n t oap a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h i sm e t h o da v o i d st h ev i b r a t i o no fn u m e r i c a ls o l u t i o n s ，b u tt h ec o n v e r g e n c e p r o p e r t yd e c r e a s e sw i t ht h eo p t i m i z a t i o no fd i s c r e t i z i n g i n i k o n e n & t o i v a n e n ( 2 0 0 5 ) i k o n e n t o i v a n e n ( 2 0 0 4 ) t h e yu s e da n o t h e rm e t h o db a s e do no p e r a t o rs p l i t t i n gt os o l v e t h ea m e r i c a no p t i o np r o b l e mw i t hc o n s t r a i n t t h e yd i s c r e t e ds p a c eo p e r a t o r si n t os e v e r a ls i m p l eo n e s ，a n ds e p a r a t e de v e r yt i m el a y e ri n t ot h es a m ea m o u n tw i t ho p e r a t o r s i n i k o n e n t o i v a n e n ( 2 0 0 5 ) ，t h e yu s e dt h i sm e t h o dt os o l v et h ep r i c i n go fa m e r i c a n o p t i o nu n d e rs t o c h a s t i cf l u c t u a t i n gr a t i o ，i e t h e yd e c o m p o s e dt h ed i f f e r e n c eo p e r a t o r s a n dt h ec o n s t r a i n to fe x e c u t i n gi na d v a n c ei n t oas e r i e so fo n ed i m e n s i o n a ll c p sa n da p i i i s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n p l i e db r e n n a n & s c h w a r t zf o r m a t 【b r e n n a n s c h w a r t z ( 1 9 7 7 ) t oa p p r o x i m a t el c p s t h e a d v a n t a g eo ft h i sm e t h o di st ot r a n s f o r mac o m p l i c a t e dh i g h l yd i m e n s i o n a lp r o b l e mi n t o s e v e r a ls i m p l eo n ed i m e n s i o n a lo n e ss ot h a td e c r e a s i n gm u c hc o m p l e xc a l c u l a t i n g a tt h eb e g i n n i n go f9 0 8 ，w i t hd i v e r s i f i c a t i o no fm a r k e tr e q u i r e m e n t s ，i ti sh a r d t os a r i s f yt h es p e c i a ld e m a n do fc l i e n t so n l yu s i n gt h es t a n d a r do p t i o n s ( e , g e u r o p e a n o p t i o n ，a m e r i c a no p t i o n ) s os o m eo p t i o n sw i t hm o r ed e a l i n gm a n n e r sa n dd e m i n gp r i c e a p p e a r ，w h i c hi sc a l l e de x o t i co p t i o n s h u l l ( 2 0 0 0 ) a s i a no p t i o ni sak i n do fe x o t i co p t i o n t h ei n c o m ef u n c t i o ni nt h ed u ed a yd e p e n d s o nt h ea v e r a g eo fs o m ef o r ma ts o m ep e r i o da tl e a s ti nt h ev a l i dp e r i o do ft a r g e ta s s e t s t h ea r i t h m e t i co rg e o m e t r i ca v e r a g eo ft a r g e ta s s e t si nt h ea n t i c i p a t e dp e r i o di su s u a l l y u s e da si t sa v e r a g ep r i c e a tp r e s e n t ，a s i a no p t i o ni saf i n a n c i a lt o o lw i d e l yu s e di nt h e o t c ( o v e r t h ec o u n t e r ) m a r k e t ，b u te v e ni nt h ea s s u m p t i o nt h a tt h et a r g e tf o l l o w sg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n ，o n l yp r i c i n go fg e o m e t r i ca v e r a g ea s i a no p t i o nc a nb ee x p r e s s e d e x p l i c i t l y h o w e v e r ，t h et a r g e to fm o s ta s i a no p t i o nt r a d i n gi nt h eo t c m a r k e ti sa r i t h - m e t i ca v e r a g e p r i c i n go ft h i sk i n do fa s i a no p t i o n w eo f t e nu s en u m e r i c a lm e t h o ds u c ha s b i n o m i a lm e t h o d k l a s s e n ( 2 0 0 1 ) ，c h a r a c t e r i s t i cd i f f e r e n c em e t h o df j i a n g & d a i ( 2 0 0 2 ) o r a p p r o a c h i n gw i t hs t a n d a r dg e o m e t r i c - a v e r a g ea s i a no p t i o n s s e y d e l ( 2 0 0 4 ) t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，ab r i e fh i s t o r yr e v i e wo ff i n a n c i a ld e r i v a t i v e si sg i v e n s i n c eb s d e s p l a yai m p o r t a n tr o l ei nm a t h e m a t i c a lf i n a n c e ，s o m ep r i c i n gm o d e la r eg i v e ni nb s d e s i nc h a p t e r2 ，t h ec o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nb s d ea n dak i n do fq u a s i l i n e a r2 - o r d e r p a r a b o l i cp d e i et h e ”n o n l i n e a rf e y n m a n k a cf o r m u l a ”i si n t r o d u c e d t h i sf o r m u l a i sg i v e ni n p e n g ( 1 9 9 1 ) ，t h u st h eb s d ep r o b l e ma n dp d ep r o b l e mc a nb et r a n s f o r m e d i n t oe a c ho t h e r i nc h a p t e r3 ，s o m ep r i c i n gm e t h o df o rf i n a n c i a ld e r i v a t i v e sa r eg i v e n ，s u c ha sb i n o m i a lm e t h o d ，m o n t ec a r l om e t h o da n ds o m ep d em e t h o d i nc h a p t e r4o fm yd o c t o r a lt h e s i s ，is t u d i e df i n i t ev o l u m en u m e r i c a ls i m u l a t i o n m e t h o do fp r i c i n gf o ra m e r i c a no p t i o n f o ra m e r i c a no p t i o nu n d e rs t o c h a s t i cv o l a t i l i t y , an e wk i n do f9 - p o i n tf i n i t ev o l u m es c h e m ei sp r o p o s e d ，i nw h i c hu s i n gan e wt e c h n i q u ef o rt h e2 - o r d e rh y b r i dc r o s sd e r i v a t i v e s ，a n du p w i n dm e t h o df o rt h ec o n v e c t i o ni t e m l i a n g z h a o ( 1 9 9 7 ) f 0 1 2 1 堕娑= o a 。瞄+ 1 + 如嗡+ 1 + a 。嗡+ 1 + 且，。喵+ 1 、 + ( 1 一日) 【a r k ；+ a 可k ；+ a 。可k ；+ a 口z 嗡 ， w h e r eo p e r a t o r sa z ，a y ，a 。口a n da ta r ec o n s i s t e do fc o e f f i c i e n c i e so fd i f f e r e n c ee q u a t i o n f r o mf o u rd i f f e r e n td i r e c t i o n ( t h ex d i r e c t i o n ，t h ex y - d i r e c t i o n ，t h ey x - d i r e c t i o na n dt h e i v s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n y - d i r e c t i o n ) w h e r e ( 0 1 4 ) = a ( i ，j ) 。k j + a ( i l ，j ) k l ，j + a 0 + 1 ，j ) k + t j ， = a ( i ，歹) k j + a ( i ，j 一1 ) ，一1 + a ( i ，+ 1 ) ，j + l ， = a ( i ，j ) 。k ，j + a ( i l ，j 一1 ) k 一1 , j 一1 十a 0 + l ，j + i ) v i + i ，j + l = a ( i ，j ) 可z k j + a ( i l ，j 十1 ) k l j + l + 4 0 + l ，j 一1 ) k + i j - t t h ec o r r e s p o n d i n go - s c h e m e ( o 1 5 ) 兰毛- 要v 窘：兰= o a 。k ；+ ，+ a ，瞄+ l + a 。k ；+ 1 + a 。嗡+ 1 + ( 1 一f a 。嗡+ a p 嗡+ a 。”嗡+ 且v z 瞄】 m e a n w h i l e ，t h eo p e r a t o rs p l i t t i n gs c h e m ec a nb ep r o p o s e df o rt h i s9 - p o i n ts c h e m e w a n g z h a o ( 2 0 0 3 ) ( 0 ，1 6 1 f 玩哆o jb z u 妒 1b ，。k b p k p l = g 嗡， = k ， = 。谨* ， ：q 谨轧， b 。 玩” b h b ，+ o a a 。， j + o a t a # ，+ o a t a z f + o a t a ， g g g q z o ，一( 1 一o ) a t a 。 ，一( 1 一o ) a t a 。 i 一( 1 一o ) a t a ”z ，一( 1 一o ) a t a w h e r ek = 0 ，- 一，l 一1 ， t h