（电磁场与微波技术专业论文）多层格林函数快速算法研究.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了平面分层介质中任意形状表面的散射和辐射的精确建模和 快速、高效计算的问题。全文以这一问题所展开的两个子问题作为线索分别研 究了快速计算多层格林函数的离散复镜像法( d l ( 、n 哪和r w g 基函数及奇异性消 去法，并提出了一种改进的极点的查找算法。将该算法成功地应用到d c i m 中 大大提高了d c i m 算法的效率。实现了多层格林函数的快速计算。 针对快速计算多层格林函数的问题研究了平面分层介质中的格林函数和求 解格林函数的快速算法离散复镜像法。首先，平面分层介质中的格林函数公式 和离散复镜像法的基本原理得到系统的阐述和详尽的推导。然后，对离散复镜 像法的关键技术极点查找算法和g p o f 算法进行了深入的研究。在此基础 上我们提出了一种改进的极点查找算法，运用该算法能够大大的提高离散复镜 像法的效率。进而大大提高了多层格林函数的计算速度。 针对任意表面形状目标体的散射和辐射的精确建模问题，我们研究了平面 三角块建模和r w g 基函数。我们对r w g 基函数进行了全面的阐述，并介绍 了一种奇异性处理方法，研究了基于r w g 基函数和矩量法的任意形状目标体 的表面电流计算问题。最后用我们开发的表面电流计算程序计算了一个方形平 板的表面电流密度。 全文的研究涉及到了积分方程矩量法的关键技术，比如格林函数的计算， 目标体的几何建模，基函数和权函数的选择，积分方程奇异性处理等。文中大 量的算例有力的证明了我们研究的快速计算多层格林函数的离散复镜像法和任 意形状目标体表面电流计算方法不仅高效而且精确。 关键词：平面分层介质，多层格林函数，矩量法，离散复镜像法，r w g 基函 数，奇异性处理 新扛大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ep r o b l e mo fr i g o r o u sa n de f f i c i e n tm o d e l i n gt h er a d i a t i o nb ys u r f a c e so f a r b i t r a r ys h a p ei np l a n a rl a y e r e dm e d i ah a sb e e ns t u d i e di nt h i sd i s s e r t a t i o n i th a s b e e nd i v i d e di n t ot w os u bp r o b l e m s ：t h ef i s t p r o b l e m i st oc a l c u l a t i n gt h e m u l f i l a y e r e dg r e e n sf u n c t i o n se f f i c i e n t l yw i t hd i s c r e t ec o m p l e xi m a g em e t h o d ( d a h i ) ；w h i l et h es e c o n dp r o b l e mi st os t u d yr w g b a s i sf u n c t i o ne x p a n s i o na n d s i n g u l a r i t yc a n c e l l a t i o n a ni m p r o v e dp o l es e a r c h i n ga l g o r i t h a a ，w h i c hd r a m a t i c a l l y i m p r o v e de f f i c i e n to ft h ed c i ma l g o r i t h mh a sb e e np r e s e n t e d d c i mc o m b i n e d w i t ht h i sn e wa l g o r i t h mh a sb e z ns u c c e s s f u l l yu s e dt oc a l c u l a t em u l t i l a y e rg r e e n s f u n c t i o n se f f i c i e n t l y f o rt h ef i r s tp r o b l e m ，t h ef o r m u l a t i o n so fm u l f i l a y e r e dg r e e n sf u n c t i o n sa n d d i s c r e t ec o m p i e xi m a g em e t h o dh a v eb e e nf i r s td i s c u s s e di nt h i sp a p e r t h e n , t h e k e yt e c h n i q u e s i n d c i m ，v i z ，p o l es e a r c h i n ga l g o r i t h m a n d g e n e r a l i z e d p e n c i l - o f - f u n c t i o n ( g p o f ) a l g o r i t h mh a v eb e e ns t l l d i e de x t e n s i v e l y b a s e d0 1 1t h i s ， a ni m p r o v e dp o l es e a r c h i n ga l g o r i t h m ，w h i c hd r a m a t i c a l l ye n h a n c e dt h ee f f i c i e n c y o fd c i ma l g o r i t h mh a sb e e np r e s e n t e dh e r ea n ds u c c e s s f u l l yu s e di nd c i mt o a c c e l e r a t et h ec a l c u l a t i o no ft h em u l t i l a y e rg r e e n sf u n c t i o n f o rt h es e c o n dp r o b l e m ，t h et r i a n g u l a rp a t c hm o d e l i n go fa r b i t r a r ys h a p e s u r f a c e s ，r w gb a s i sf u n c t i o n se x p a n s i o no ft h es u d a e ec u r r e n t s , a n dt h es i n g u l a r i t y c a n c e l l a t i o nm e t h o dh a v e b e e ns t u d i e dr e s p e c t i v e l y t h ef o r m u l a t i o n sf o rs o l v i n gt h e s u r f a c ec u r r e n t so na r b i t r a r ys h a p es u f f a e e si nl a y e r e dm e d i u mh a v eb e e nd e d u c e d a n dp r o g r a m m e d t h ec o d eh a sb e e nu s e dt oc a l c u l a t et h es u r f a c ec u r r e n to fas q u a r e p l a t ei nf r e es p a c ea n dg o o da g r e e m e n tb e t w e e no u rr e s u l t sa n dt h ed a t ab u mt h e r e f e r e n c eh a sb e e no b s e r v e d i nt h i sd i s s e r t a t i o n , t h eb a s i ca n dc r u c i a lt e c h n i q u e sf o rs o l v i n gi n t e g r a l e q u a t i o nw i t hm u i t i l a y e r e dc j r f 霉n sf u n c t i o n sh a v eb e e ns t u d i e d ，e 禹，l a y e r e d g r e e n sf u n c t i o n sc a l c u l a t i o n ，g e o m e t r i c a lm o d e l i n g , c h o o s i n go fb a s i sf r l l c t i o n s a n dt e s t i n gf u n c t i o n s ，t r e a t m e n to fi n t e g r a ls i n g u l a r i t y a l lt h en u m e r i c a lr e s u l t s l i s t e di nt h i sd i s s e r t a t i o nh a v ed e m o n s t r a t e dt h ev a l i d i t ya n de f f i c i e n c yo fo u r r e s e a r c hw o r k s k e yw o r d s ：l a y e r e dm e d i a m u l t i l a y e r e dg r e e n sf u n c t i o n s , m o m ( m e t h o do f m o m e n t ) ，r w g b a s i sf u n c t i o n s ，s i n g u l a r i t yc a n c e l l a t i o n 一1 l 一 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究工作的背景 随着计算机技术的飞速发展和普及，计算机的应用已经渗透到社会的各行 各业。在电磁学领域中，计算机已成为工程师和研究人员求解电磁散射和辐射 问题的一个必不可少的工具。而对于计算电磁学算法的研究将保证能更高效地 利用计算机技术。本文主要研究的问题为平面分层介质中任意形状物体电磁散 射和辐射的高效计算。 就目前而言，处理任意多层平面分层介质中任意表面形状目标体的散射和 辐射问题最常用的方法是积分方程结合矩量法( m e t h o d o f m o m e n 0 1 - 【6 】。矩量 法是1 9 6 8 年由r eh a r r i n g t o n 提出的一种用于严格计算电磁问题的数值方法。 矩量法将算子方程( 积分方程或微分方程) 转化为矩阵方程，然后求解该矩阵方 程来得到所要求的量。用矩量法求解电磁散射问题时具有严格计及散射体间互 耦、所得结果较准确等优点。因此矩量法在微波集成电路和天线等领域有着广 泛的应用。常用的积分方程有电场积分方程0 i f m , e l e c t r i cf i e l di n t e g r a l e q u a t i o n ) 、磁场积分方程( m f ，m a g n e t i cf i e l di n t e g r a le q u a t i o n ) 和混合场积分 方程( a 强，c o m b i n e df i e l di n t e g r a le q u a t i o n ) 。对于目标体为完善电导体( p e c ， p e r f e c t l ye l e c t r i c a l l yc o n d u c t i n go b j e c t s ) 的情况，电场积分方程，比磁场积分方 程应用更广泛，因为e f i e 对闭合表面和开放表面这两种情况都适用 7 1 。e f i e 的一种表达形式为混合位电场积分方程。m p i e 中只涉及以感应电流形式表示 的矢量位和以感应电荷形式表示的标量位。由于在m p i e 中，积分奇异性的阶 数要小于其它形式的e f i e 【8 】，因此往往选择m p i e 结合矩量法来解决任意表 面形状的目标体的散射和辐射问题。 用m p i e 结合矩量法开发能处理任意多层平面分层介质中的任意表面形状 的目标体的散射和辐射问题的程序必须要解决以下两个问题，本文的研究工作 一1 一 浙江大学硕士学位论文 也是围绕着这两个问题进行。 1 平面分层介质中格林函数快速算法问题。 用m p i e 结合矩量法开发能处理任意层平面分层介质中的任意表面形状的 目标体的散射和辐射问题的通用算法必须要计算平面分层介质中的格林函数， 即多层格林函数。关于多层格林函数的谱域积分表达国内外已有很多工作。 m i c h a l s k i 等人则利用传输线理论总结性地推导了平面分层介质中任意表面形 状物体的多层格林函数公式【8 】【1 0 】。该套公式中的格林函数具有索末菲尔德 积分( s o m m e r f e l di n t e g r a l s ) 1 1 的形式，然而直接计算索末菲尔德积分非常的耗 时，因而并不可行。现在已经提出了不少快速算法来加速这个积分，如离散复 镜像法( d c i m ，d i s c r e t ec o m p l e xi m a g em e t h o d ) 1 2 - 【2 0 】，快速汉克尔变换( f l i t , f a s th a n k e lt r a n s f o r m ) 法 2 1 1 ，最速下降路径( s d p , s t e e p e s td e s c e n tp a t h ) 法 【2 2 1 1 2 3 ，和窗函数法( w i n d o wf u n c t i o n ) 2 4 1 。离散复镜像法由d gf a n g 等人 在 1 2 1 r p 提出，ylc h o w 等人在【1 3 】中发展了d c i m ，并推导了单层基片结构 下用d c i m 计算格林函数的公式，但是由于该算法用的解析法来求极点，因此 该套公式不适用于多层格林函数情况。r o b e r t a p p 等人在1 1 5 1 中改进和发展 了该算法，使d c i m 适用于任意多层介质结构。f e n gl i n g 等人在 2 0 q a 利用递 归的做环线积分来确定极点的位置 1 9 1 ，并给出了用d c i m 计算五层平面分层 结构和六层平面分层结构的格林函数的结果。现在d c i m 已是一种广泛应用的、 成熟的格林函数快速算法。因此本文选择离散复镜像法来计算多层格林函数。 2 平面分层介质中目标体建模和基函数问题。 矩量法结合m p i e 的方法来解决任意表面物体的电磁散射和辐射问题时首 先要对任意形状的目标体，或感兴趣的区域进行建模。现行的建模算法主要有 线网格建模，矩形建模，和平面三角块建模。线网格建模特别适用于求解不太 复杂形状物体的远场问题，如这些问题的辐射模式和雷达散射截面，但即不适 合用于求近场问题，即表面电流等目标体表面量【刀，也不适用于形状太复杂的 物体的散射问题。矩形建模是另一种常用的建模方法，它用矩形块来模拟目标 体表面，常结合r o o f t o p 基函数 2 5 1 来解决电磁散射和辐射问题。平面三角块建 一2 一 浙江大学硕士学位论文 模则把任意物体表面剖分为三角块，它的好处在于与矩形相比三角形能更方便 地模拟任意形状物体的表面。三角块建模结合r w g 基函数【7 1 在任意形状的物 体表面的辐射和散射问题中得到了广泛的应用。 1 2 研究工作的应用意义 矩量法结合混合位电场积分方程( m p m ) 在微带线，微波集成电路，天线，印 制电路板( p c b ) 等领域有着广泛的应用。用矩量法求解电磁辐射和散射问题往往 是先把问题归结为求目标体的表面电流密度的问题，即求解方程z f - 矿的问题。 其中z 为n x n 的阻抗矩阵，f 为维列向量表示目标体的表面电流密度，矿为 维列向量。而求解该方程的时间主要耗在填充阻抗矩阵z 和该矩阵的求逆运 算上。当未知量较少( 较小) 时，一般是几百个，填充z 矩阵元素占了大部分 时间，当未知数的个数很大时，z 矩阵求逆运算占了绝大部分时间。因此对于小 物体来说( 一般所需的未知量较少) ，提高矩量法数值仿真速度的关键在于减少 矩阵元素的填充时间。当然对于大物体情况，提高矩阵填充速度也有极大的意义。 加快阻抗矩阵z 的填充速度的关键之一在于计算格林函数的速度。传统方法 在计算空间域格林函数时需要对谱域格林函数作索末菲尔德积分，这非常的耗 时。而平面分层介质中的格林函数的表达式非常的复杂，采用索末菲尔德积分来 计算是不可取的。因此研究多层格林函数的快速算法对提高矩量法的计算速度， 进而拓展矩量法应用范围具有重要意义。本文研究平面分层介质中格林函数的离 散复镜像法。离散复镜像法的基本思想是利用索末菲尔德恒等式将非常复杂耗时 的索末菲尔德积分转化为复指数和的形式从尔避开繁琐耗时的积分，并大大的提 高格林函数计算的速度。将离散复镜像法运用到平面分层介质格林函数的计算 中，大大的提高格林函数的计算速度，对矩量法在小目标体领域( 如微波集成电 路和微带天线的散射和辐射等) 中的应用有着重要的意义。 1 3 本文主要的研究内容和主要工作 本文的主要研究内容有三方面： 第一，平面分层介质中混合位电场积分方程( m p i e ) 和多层格林函数的研 究。在这部分研究中的主要工作有： 推导文献【8 】中给出的混合位电场积分方程和多层格林函数公式( 主要 一3 浙扛大学硕士学位论文 是f o r m u l a t i o nc ) 。尽管文献【8 】中虽然给出了简单的推导思路，但对于一些细 节却没有提及。因此本文从平面分层介质中任意表面物体的建模开始详细的推 导了m p i e 和多层格林函数，并给出了推导过程，这在第二章和附录中得以体 现。这一推导验证了该套公式的正确性，也为我们理解该套公式及下一步的编 程实现打下基础。 将该套公式用c + + 编写成程序。这是第一部分研究内容的重点，我们 研究多层格林函数，推导其公式目的就是为了得到适用于任意平面分层介质的、 健壮的、高效的格林函数计算程序。 研究索末菲尔德积分及索末菲尔德积分路径( s i p ) 选择。多层格林函数 的计算实际上就是对索末菲尔德积分的计算，而索末菲尔德积分的关键在于索 末菲尔德积分路径( s 聊的选取，因此研究索末菲尔德积分是必不可少的。 利用编写的格林函数计算程序结合索末菲尔德积分算法，计算了3 个平 面分层介质结构的格林函数，并将所得到的结果与相应文献中给出的结果进行 了比较。 第二，多层格林函数快速算法的研究。这部分的研究主要集中在离散复镜 像法及其相关技术的研究。在这部分研究中的主要工作有： 按照文献1 1 5 中给出的离散复镜像法的一般处理步骤来推导多层格林 函数的离散复镜像法的公式。编写高效、健壮的离散复镜像法( d c i 聊算法程序。 研究极点查找算法。改进了四分极点查找法使其能更精确、更高效的运 用于多层格林函数情况，这也是本文的创新点，详细内容将在本文第三章介绍。 用c + + 语言编写了快速、有效、健壮的极点查找函数模块，供d c i m 算法调用。 研究g p o f ( g e n e r a lp e n c i lo ff u n c t i o n ) 算法【2 6 】- 【3 0 】。g p o f 算法是 d c i m 算法中另一个关键的算法，从经验上来看，g p o f 算法模块的稳定性和 健壮性直接决定了d c i m 算法的健壮性。本文中推导了g p o f 算法的实现公式， 并将其编写成函数模块，供d c i m 算法调用。 用所编写的d c i m 程序计算了4 个平面分层结构的格林函数，并将所 得到的结果与用索末菲尔德积分所得到的结果进行了比较。 一4 一 浙江大学硕士学位论文 第三，r w g 基函数和奇异性处理的研究。在这部分研究中我们所做的工 作主要有以下几点： 推导文献 7 v e 给出的基于m p i e ，r w g 基函数和矩量法的目标体表面 电流密度公式。并编程实现该套公式。 推导了文献1 3 1 1 q b 的奇异性消除算法的公式。用c + + 语言编程实现该算 法。并将该算法和广泛应用的d u f f y 坐标变换法 3 2 1 【3 3 】进行了比较。 利用所得到的求目标体表面电流的密度的程序，仿真了一个方形平板的 表面电流密度。并将所得到的结果同文献【刀中给出的结果进行了比较。 1 4 本文章节内容安排 本文的章节安排大致按照作者对这些内容研究的先后顺序安排的。绪论部 分主要介绍了平面分层介质中任意表面形状物体的辐射和散射问题及多层格林 函数快速算法的研究背景，应用意义和主要研究内容。第二章详细的介绍了适 用于任意层平面分层介质的混合位积分方程，多层格林函数公式及索末菲尔德 积分路径( s 研选择准则，并给出了详细的公式推导过程( 其中多层格林函数公式 的推导过程见附录) 。最后用该套公式结合s i p 计算了三个平面分层结构，并给 出了其结果。第三章详细介绍了一种多层格林函数的快速算法一离散复镜像 法( d c i m ) ，研究了实现该算法的两个关键技术即极点查找算法和g p o f 算法。 并改进了极点四分查找法使其具有更好的精度和效率。在这章的最后给出了用 d c i m 计算四个平面分层介质结构所得到的结果与用s i p 计算所得到的结果的 比较示意图。第四章首先介绍了r w g 基函数的定义和性质，然后推导了基于 矩量法和r w g 基函数的目标体表面电流密度计算表达式，并介绍了一种奇异 性处理方法。最后对该奇异性处理方法与广泛应用的d u 姆坐标变换法进行了 比较，并利用本章给出的目标体表面电流密度计算公式计算了一个方形平板的 表面电流。 一5 一 浙江大学硕士学位论文 2 1 引言 第二章多层格林函数公式 矩量法结合积分方程方法在解决电磁散射和辐射问题中有着广泛的应用。 对于完美电导体，电场积分方程( e 阿) 比磁场积分方程q 但匝) 应用更广泛，因 为e f i e 对闭合表面和开放表面这两种情况都适用阴。混合位电场积分方程 ( m p ) 比其它形式的e f i e 都要优越，因为在m p i e 中格林函数表示成了位形 4 式而这使它的奇异性要小于其它形式的e f i e 。aw g l i s s o n , d r w i l t o n , s m r a o 等人开发了一套简单，高效的基于m p i e 的矩量法程序来解决自由空间中 任意形状物体的辐射和散射问题吲【2 5 】。然而实际情况中的目标体往往在分 层介质中，这就需要开发一套适用于分层介质中的m p i e 公式。k r i z y s z t o f 丸 m i c h a l s k i 等人利用传输线理论推导了平面分层介质中任意形状物体的m p i e 公 式【8 】。本章将详细介绍该m p i e 公式，并给出了详尽的推导。 本章的结构安捧如下：第二节对所要处理的问题进行建模，第三节推导了 m p i e ，第四节给出最后的格林函数公式，第五节介绍了索末菲尔德积分并给出 了几个平面分层结构的格林函数的数值结果。 2 2 平面分层介质中物体建模 要推导平面分层介质中任意形状物体的m p i e ，首先要对平面分层介质建 模。如图2 1 所示，假设有n + 1 层介质，则一层界面将一+ 1 层介质分隔开。这 些界面在直角坐标系中，均平行于夥平面，位于z - 五，f 一1 ，2 n 。第i 层介质 的磁导率为胁，介电常数为岛。假定目标物体( p e c 或物体集) 占有p 层介质 用，1 2 , - - , 表示，其中1 p n + l 。为了以后叙述方便这里定义集合 l - t t j , ，f ， ，其中 图2 7 五层平面分层结构的格林函数 一1 9 一 浙江大学硕士学位论文 f z 一1 1 o ，l 一1 0 毛一0 0 如生盟。盈l 一。- 0 0 0 0 7 3 1 0 ，o ，- 1 2 5 4 1 o 一9 8 纬5 - 1 o ，r 5 。8 6 图2 8 六层平面分层结构 毛- 0 0 0 1 乞一- - 0 0 0 1 4 z s 一- 0 0 0 1 8 距离( 波长) 图2 9 六层平面分层结构的格林函数 一2 0 浙扛大学硕士学位论文 2 7 本章小结 本章详细介绍了平面分层介质中任意表面形状物体的建模、混合位电场积 分方程、和格林函数公式。并给出了详细的公式推导( 格林函数的推导见附录) 。 最后我们用c l + + 语言编写了实现该套公式的代码，用许多测试用例调试了该程 序，最后给出其中三个测试用例即三层平面分层结构、五层平面分层结构和六 层平面分层结构来说明程序的正确性。之所以选择这几个图形给出，是因为相 应的文献中已经给出这几个结构的格林函数图形，这样便于读者比较，使本文 给出的结果更具说服力。 一2 1 渐扛大学硕士学位论文 、3 1 引言 第三章多层格林函数快速算法 从( 2 4 2 ) - ( 2 4 6 ) 可以看出多层格林函数的计算实际上可以归结为对5 个索末 菲尔德积分的求值，我们可以像上一章2 5 节中所介绍的一样，通过选取适当 s i p ，直接计算5 个索末菲尔德积分再由式( 2 4 7 ) ，( 2 4 8 ) 来求得多层格林格林 函数。直接进行索末菲尔德积分具有实现简单，精度高的优点，但是索末菲尔 德积分的核函数的高振荡性使得计算该积分非常的耗时，故实际应用中一般不 采用。由于直接进行索末菲尔德积分得到的结果的精度较高，故往往用该方法 得到的结果作为标准，来衡量其它快速算法的准确性。 为了克服计算索末菲尔德积分耗时的缺点，现在已经提出了不少快速算法 来加速这个积分，如离散复镜像法，快速汉克尔变换法，最速下降路径法，和 窗函数法等。离散复镜像法由d g f a n g 等人提出，y l c h o w 及r o b e r t a k i p p 等人改进和发展了该算法。现在d c i m 已成为广泛应用的格林函数快速算法之 一 本章将详细介绍离散复镜像法的实现思路和所采用的主要技术。本章第二 节详细介绍了离散复镜像法的主要思路和实现过程，并简要介绍了极点查找算 法和g p o f 算法【2 6 】。第三节详细介绍了改进的极点四分查找法，该算法是对 原来的四分查找法【1 9 】的优化和改进，也是本文的创新点所在。第四节介绍了 g p o f 算法，并推导了其公式。最后在第五节给出四个实例的数值结果，并与 索末菲尔德积分的积分结果做了比较 3 2 离散复镜像法( d o m ) 离散复镜像法( d c n v o 将空域多层格林函数表达成闭合形式( c l o s e d - f o r m ) 1 3 ，即将格林函数表示成如下形式：g 一6 0 + g ，+ g 0 ，其中g 表示空问域格 - - 2 2 - - 浙江大学硕士学位论文 林函数，q 表示在近场区域起主要作用的准静态像的贡献，g ，表示在远场区 域起主要作用的表面波的贡献，吼表示在介于远场和近场之间区域起主要作用 的复数镜像的贡献。下面将详细介绍求闭合形式格林函数各个部分( 即g 0 ， 吒，g ：) 的方法。 离散复数镜像法的基本过程是将谱域格林函数分为准静态，表面波，复镜 像三部分，对每部分都使用索末菲尔德积分恒等式( 3 1 ) ，最后将积分转化为指 数求和的形式，从而大大的提高了计算速度。 孚一l d k p 删m 筹 ( 3 1 ) 其中，- p 2 + g z ，) 2 ，酲+ 彬一七2 。 a ) 准静态项的求取。为叙述简便起见，这里将谱域格林函数重写为 一鬻 ( 3 2 ) 其中乞表示源点所在层的。方向的波数。准静态贡献可以表示成 磊眈) 一k + 即啦+ k 2 e 。哦+ ( 3 3 ) 准静态的贡献就是当一* 时，晦) 的值。显然当k m 时式( 3 3 ) 中含有指数 因子的项都趋向于零，故此时f ( 0 ) 趋向于常数( 蜀一。当乞一勺时) 。所以 可以认为k 就是准静态的贡献，其值就是当一* 时，( ) 的值。对晶( ) 使 用索末菲尔德积分恒等式可得到空间域的准静态贡献 q 咿k 孚 ( 3 4 ) b ) 表面波项的求取。提取准静态项后的谱域格林函数可写为 一2 3 浙江大学硕士学位论文 哟一掣 ( 3 5 ) 由于表面波极点的存在，使得式( 3 5 ) 衰减缓慢，故不能直接对( 3 5 ) 使用g p o f 算法把它表示成指数和的形式。因此，必须先提取式( 3 5 ) 中表面波极点的留数。 我们知道若己知极点的位置根据留数定理则很容易求出其留数，所以提取表面 波极点的贡献的关键在于对( 3 5 ) 中谱域格林函数的极点的精确定位。ylc h o w , j j y a n g 等人在1 1 3 】中提出用解析的方法求表面波极点，然后根据留数定理 解析地求其留数。在单层基片结构中该方法是行之有效的，但是它很难推广到 多层结构中去。为解决这一问题w cc h e w1 1 9 】提出了一种适用于多层结构 的，更通用的极点定位算法。该算法实现过程大致如下：在l 平面内框定一个 感兴趣的矩形区域，然后对该矩形四条边线作数值积分，若该环线积分为零则 由留数定理可知该区域内无极点，反之则表明区域内有极点，此时再将原来的 矩形分成四个小矩形，分别对四个小矩形递归的作环线积分，直到找到所有的 极点。找到极点后，只要在极点的附近取一条环线，对这环线作数值积分就可 以得到该极点得留数，从而可得表面波的贡献。由于谱域格林函数是关于七。的 偶函数，所以其极点必然成对出现，因此表面波极点的贡献可以表示成如下形 式 瓦晦) 一季_ 可2 k r 虿e s i ( 3 6 ) 其中k 是平面上极点的位置。r e s i 则是极点七一的留数。所以空间域的表面 波贡献为 瓯坼) 一芝。r e s i 哦2 p ) ， ( 3 7 ) q 复镜像的求取。提取准静态和表面波贡献后的格林函数可表示为 向咿裂 ( 3 8 ) 浙江大学硕士学位论文 其中e 晦) ，啦) 一昂晦) 一2 屯瓯坼) 。 现在可以对e ( k p ) 应用g p o f 算法将其近似的展开为指数和的形式 e ) - 叩 ( 3 9 ) 考虑到g p o f 算法只适用于实变量的函数【2 6 ，而式( 3 8 ) 是关于复变量七。的函 数因此对e ( k ) 作变量替换，即将平面上的s i p 变换为k 平面上的直线断 如图3 1 所示，使其成为关于实变量t 的复函数。变换后的k 的表达式为 k x , - j t + ( 1 一争， 。班矗 ( 3 1 0 ) l 一以f ， 瓦f 其中t 是实变量，写是截断点t 瓦是满足矗，的实数。 l m o 。) k 平面 j 。 r 识j 一耻，1 图3 1 应用g p o f 算法时k 的抽样曲线 对( 3 9 ) 使用索末菲尔德积分恒等式则可得到空间域的复镜像的贡献 q 眇弘字， 其中，；一0 碍。因为一般来说是复数，故式( 3 1 1 ) 右边的各指数项又被称 一2 5 浙江大学硕士学位论文 为复镜像。g 0 ( k p ) 即为所要求的复镜像的贡献。 综上所述，离散复镜像法的实质是利用索末菲尔德积分恒等式将耗时的索 末菲尔德积分转化为复指数和的形式从而大大的提高了格林函数的计算速度。 格林函数极点的查找，和g p o f 算法是离散复镜像法的两个关键技术。鉴于它 们对离散复镜像法的计算精度和程序的稳定性都有着重要的影响，下面两节将 重点介绍这两个算法。 3 3 改进的极点的四分查找法 在运用d c i m 时，为了提取多层格林函数的表面波贡献，必须找到多层格 林函数的极点，并求出它的留数。因此可靠、精确的找极点算法是提取多层格 林函数表面波贡献的关键。 c h o w 和t a n g 3 8 给出了单层基片微带结构的掰。模表面波极点位置的近 似公式，但该公式并不适用于多层结构。m a r i n 【3 9 】和i - i s u 4 0 利用 n e w t o n r a p h s o n 求根法来找表面波极点。这种方法的缺点在于，由于b r a n c hc u t 的存在，必须事先得到一个靠近极点的初值，在多层结构下很难找到合适的初 值点。wc c h e w 【1 9 】提出了四分查找法来求多层格林函数的表面波极点。该 算法的实现过程如下：在k 。平面内框定一个感兴趣的矩形区域，然后对该矩形 四条边线作数值积分，若该环线积分为零则由留数定理可知该区域内无极点， 反之则表明区域内有极点，此时再将原来的矩形分成四个小矩形，分别对四个 小矩形递归的作环线积分，直到找到所有的极点。该算法的优点在于：具有 通用性，适用于多层情况。该算法的实现过程均采用数值算法，避开了多层 格林函数复杂的解析表达式。但是，该算法并不完善，还存在一些问题，当积 分路径穿过极点或非常靠近极点时数值积分收敛很慢，且会导致环线积分“判 零”( 所谓的“判零”是指，指定一个很小的数一，若环线积分绝对值小于e 一， 则认为该环线积分为零。) 误差变大，从而可能导致丢失极点，或得到一些伪极 一2 6 浙扛大学硕士学位论文 点( 由于误差引入的极点，并非真的极点) 。这些问题的存在降低了四分查找法 的精度，效率及算法的稳定性。为了得到更稳定、精确、高效的算法，我们对 该算法作了两点改进。 1 ) 扩展环线积分。引入扩展环线积分的目的是解决因积分路径穿过极点， 而可能出现的极点丢失问题。具体做法是将四分查找法分割得到的矩形环线路 径e 扩展为矩形环线路径e ，使得e 包含c o ，如图3 2 所示。然后对扩展的 路径的积分作是否为零的判断若为零则该区域内不继续作分割查找，若不为 零则表明该区域内有极点，则继续对矩形环线路径e 所围的区域作四分查找。 这样就避免了因积分路径穿过极点，而可能出现的极点丢失的情况。采用这种 处理方法时同一个极点可能多次被找到，并被认为是不同的极点。但是这一问 题很容易通过后续的编程解决。 e - h i l 辑) 、，铲面 l l i e x r e ( k p ) 图3 2 改进的四分查找法，表示极点 2 ) 结合n e w t o n r a p h s o n 求根算法，分两步找极点。第一步，利用上面提 到的四分法大致确定极点所在的小矩形区域。第二步，在第一步所确定的小区 域上用n e w t o n r a p h s o n 求根算法，求出格林函数倒数的零点，即格林函数的 极点。这样做就避免了积分路径和极点靠的过近，从而提高了算法的效率。另 一方面用n e w t o n - r a p h s o n 求根算法所得到值要比直接用四分查找法得到的值 所能达到的准确度要高的多。 一2 7 浙江大学硬士学位论文 为了说明改进的极点查找方法在查找速度和精度上的优越性，这里给出了 一个五层平面分层结构的例子，其结构如图2 6 所示。我们用改进前和改进后 的算法分别查找了，1 ，l ，l ，和五个格林函数的极点( 极点值如表3 1 所 示1 ，前者用了大约2 4 秒，而改进后的算法只用了大约4 秒。在精度方面如表 3 1 所示，显然用改进后的算法得到的极点要精确的多。 表3 1 极点查找算法比较 格林函数极点数极点值c 上面的值为用c h e w 的方法得到的极点，而下面的值则 是用改进后的算法得到的极点) 1 ( 2 8 1 1 5 9 ，- 3 4 3 2 9 8 c 5 ) 1 ( 2 8 0 9 7 6 ，4 5 3 6 8 6 e 1 6 ) l 3 ( 2 8 1 1 5 9 ，- 3 4 3 2 9 8 e - 5 ) ，0 0 1 7 5 1 ，- 3 4 3 2 e - 5 ) ，( 4 4 2 1 7 6 ，- 3 4 3 2 c - 5 ) 3 ( 2 s o 9 7 6 , 4 5 3 6 8 6 e - 1 6 ) ，( 3 0 1 3 2 7 , 4 9 3 e - 1 6 ) ，( 4 4 1 9 7 6 ，1 0 9 2 5 e - 1 6 ) ，3 3 ( 2 8 1 1 5 9 ，- 3 4 3 2 9 8 e - 5 ) ，( 3 0 1 7 5 1 ， - 3 4 3 2 e - 5 ) ( 4 4 2 1 7 6 ， - 3 4 3 2 e - 5 ) 3 ( 2 8 0 9 7 6 , 4 5 3 6 8 6 e 一1 6 ) ，( 3 0 1 3 2 7 , 4 9 3 e - 1 6 ) ，( 4 4 1 9 7 6 ，- 1 0 9 2 5 e 一1 6 ) l | 3 ( 2 8 1 1 5 9 ， 3 4 3 2 9 8 e 一5 ) ，( 3 0 1 7 5 1 ， - 3 4 3 2 e - 5 ) ，( 4 4 2 1 7 6 , 一3 4 3 2 e - 5 ) 3 ( 2 8 0 9 7 6 ，4 5 3 6 8 6 e 一1 6 ) ，( 3 0 1 3 2 7 ，4 9 3 e 1 6 ) ，( 4 4 1 9 7 6 , - 1 0 9 2 5 e 1 6 ) i ， 3 ( 2 8 1 1 5 9 ,- 3 4 3 2 9 8 e - 5 ) ，( 3 0 1 7 5 1 ， - 3 4 3 2 e 5 ) ( 4 4 2 1 7 6 ， 3 4 3 2 c _ 5 1 3 ( 2 s o 9 7 6 ，4 5 3 6 8 6 e - 1 6 ) ( 3 0 1 3 2 7 ，4 9 3 e 1 6 ) ，( 4 4 1 9 7 6 ，1 0 9 2 5 e - 1 6 ) 一2 8 浙江大学硕士学位论文 3 4 g p o f 算法 在d c i m 中，为了得到复镜像的贡献，需要把提取准静态和表面波后的谱 域格林函数表示成指数和的形式。这一步可由g p o f 2 6 1 算法来实现。我们知道， 任意的电磁响应信号可以表示成 几。荟岛甑k s , 恤七) ( 3 1 2 ) 其中k - o ，1 2 ，一1 ，岛是留数，墨是极点，它们均为复数，由是抽样间隔。 为了以后叙述方便这里记毛- e x p ( a j 6 f ) ，表示z 域中的极点。注意这里所说的 极点和留数与前两节提到的格林函数的极点和留数不同，不要混淆。 按照p o f ( p e n c i l - o f - f u n c t i o n ) 3 0 算法的思路，考虑以下l + 1 个矢量 ，o ，l ，| ，3 ，l 其中 只一【y j ，咒+ l ，y s * 2 y t + - 工- l 】r ( 3 1 3 ) 上标t 表示矩阵转置。基于上述矢量，我们定义矩阵l ：和e 为 e - 【，o ，y 。，：，。】r( 3 1 4 ) e - y l ，2 ， ，乳】r( 3 1 5 ) 另一方面k 和y 2 又可以写成如下形式 2 6 1 k z x b z ：( 3 1 6 ) k - z 1 b z o z 2( 3 1 7 ) 其中 一2 9 浙江大学硕士学位论文 z 1 一 z 2 1 毛 i 彳4 1 1 z 1 1 z 2 ；i 1 z j , 1 屯 ； z 1 彳1 乏- 1 ： 右1 z o d i a g z a ，屯，z 3 ，缸】 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 、b - a a g 【6 i ，6 2 ，6 3 ，k l ( 3 2 1 ) 基于上面对e 和e 的分解，可以证明如果m s l - m ，那么极点 弓；f - 1 , 2 , ，m ) 就是y 2 一z k 的广义特征根【4 1 】当工- m 是g p o f 退化为 p o f 。因此g p o f 算法要求l 最好满足m t 工一m 。 为了求出极点 ；f - 1 , 2 , ，m 】，考察矩阵野e 野匕- z ；口- 1 z ? z ，丑z o z 2 - z ；z o z 2 ( 3 2 2 ) 其中上标+ 表示伪逆运算，上标一l 表示一般的逆运算。从式( 3 2 2 ) 中可以看出 存在矢量 砖；f 一1 ，2 ，m ) 使得 野地一只 ( 3 2 3 ) 野k p j - 毛以 ( 3 2 4 ) 成立，其中a 是矩阵e z 墨的特征向量。野可由k 奇异值分解( s v d ) 求得，x 经过s v d 分解后得表达式为 e - u d v 8 0 2 5 ) 其中，一h ，】，矿- h ，】，d - d i a g q ，】 由式( 3 2 5 ) 可得到野的表达式为 一3 0 一 。7扩 浙江大学硕士学位论文 f - v d 。1 ，8( 3 2 6 ) 把( 3 2 6 舭( 3 2 4 ) ，并整理得 o 仍一1 u ”y 2 - z j ) p , - o( 3 2 7 ) 将上式左乘y ”，并考虑y 8 y - j 可得 ( d 一留8 r y - z j ) z , - 0( 3 2 8 ) 其中- v ”a ，j 是单位矩阵乙和分别是m 阶矩阵d 4 u 8 r y 的特征根和 特征向量。 求得特征值弓后，由(