（基础数学专业论文）泛函微分、差分方程边值问题的解.pdf

山东师范大学硕士学位论文 泛函微分、差分方程边值问题的解 董丽丽 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 时滞微分方程是现代应用数学的一个重要分支，作为数学模型广泛应用于力 学，控制论，生态学，管理学及流行病学等许多领域中关于时滞微分方程理论已 有大量研究，并取得了优秀的成果本文在借鉴前人成果的基础上，用不同方法对 类似问题进行了研究，并且对提出的新问题进行讨论，得到了较好的结果 第一章考虑了脉冲泛函微分方程周期边值问题 ， 1 乱” ) = f ( t ，u ( t ) ，缸o ) ，渺七妣】( t ) ) ，t i n t ( j k ) ，k = 1 ，2 ，p + 1 ； j 缸( t 吉) = 厶( 钍七) ) ，k = 1 ，2 ，弘，、 l 缸0 吉) = 以( 【咖u 知】( t ) ) ，惫= 1 ，2 ，p ； i 缸( o ) = u ( t ) ，0 ( 0 ) = 0 ( t ) 最小解的存在性，其中乱：【o ，纠_ r ，u c ( 厂) 饥：c ( j k ) _ c ( 以) 连续， 后= 1 ，2 ，p + 1 ，妣：c ( 以) _ c ( 以) ，厶：r r 连续，k = 1 ，2 ，p ，且f ： j rxr r _ 兄在以r r r 上连续在f 2 8 第四章中，作者利用半序方 法和单调迭代方法研究了一阶非l i p s c h i t z 脉冲泛函微分方程周期边值问题上下解 的存在性本章通过建立新的比较结果，利用单调迭代技巧，仅在下解条件下得到 了问题( 1 1 1 ) 最小解的存在性主要结果如下； 定理1 3 1 若( h 1 1 ) 一( h 1 5 ) 成立，则存在单调不减序列 ) ， 疋) 分别一致 收敛于 瓦) ，| _ ) ，且面g 为( i i 1 ) 的最小解 最后举例说明我们的条件是合理的 第二章讨论了二阶泛函微分方程边值问题 ， l 。“0 ) = ，( 舌，z ( 右) ，x t ，z ：) ，t 0 ，刁； z ) 一x 。g ) = p ( t ) ，t 一7 ，o 】； lz ( 亡) + z 0 ) = z ，( t ) ，t i t ，t + h i 其中f ( t ，z ，y ，z ) c ( o ，卅r x d d ，r ) ，d = c ( - r ，t + 纠，兄) ，且z t = z ( t + p ) ，z ：= z 他+ 秽) ，一r 口h 利用迭合度理论得到了该问题解的存在性结果主要结果如 下： 定理2 2 1 若( h 2 1 ) 一( h 2 4 ) 成立，则( 2 1 1 ) 至少存在一个解 最后举例说明我们的条件是合理的 山东师范大学硕士学位论文 第三章讨论了无穷时滞泛函微分方程边值问题 lz ”( t ) + f ( t ，z ( 右) ，x t ) = 0 ，t ( 0 ，+ 。o ) ； z ( 亡) = ( t ) ，t ( 一o o ，o 】； 1 1 i z nz 铭) = 蜘口 、( ) o 解的存在性，其中f c r + r + q ，r + 】，砂瓯，瓯= ( 妒c r 一，r + 】： 。o ( 艺) i 例眩舛应 + 。o ) 在文f 1 5 】中，刘衍胜教授利用m s n c h 不动点定理研究了 此问题解的存在性本章用l e g g e 扰一w i l l i a m s 不动点定理得到了此问题至少有三 个解的存在性结果主要结果如下： 定理3 2 i若( 凰1 ) 一( 凰3 ) 成立，则存在b ，b ，c 矿，当o 8 b 2s c 时，( 3 1 1 ) 有三个解，忙l 忙 a ，b a 且a ( x 3 ) 0 ，“1 1 ) 至少有一个正周期解 最后举例说明我们的条件是合理的 2 关键词： 脉冲； 泛函； 时滞； 差分 分类号：0 1 7 5 8 一妨 一从 三印他西 叩如 1 砑 | t h i 毒 土胛 山东师范大学硕士学位论文 s o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rf u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a la n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n s d o n g l i l i i n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a td e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a sb e e no n eo ft h ei m p o r t a n t b r a n c h e si nm o d e r na p p l i e dm a t h e m a t i c s a st h em a t h e m a t i c a lm o d e l i ta r i s e si nt h e f i e l d so fm e c h a n i c s ，t h ec y b e r n e t i c ss t u d y , e c o l o g y , m a n a g e m e n ts c i e n c e ，e p i d e m i o l o g y a n ds oo n t h et h e o r yo fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eb e e ns t u d i e de x t e n s i v l y , a n d m a n yo u t s t a n d i n gr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e d t h i sp a p e rp r o f i t sf r o mt h er e s u l t si n 【6 ，7 ，1 5 ，1 6 ，2 3 ，2 5 】，a n dm a i n l yi n v e s t i g a t e st h es i m i l a rq u e s t i o n sw i t hd i f f e r e n tm e t h o d s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h em i n i m a ls o l u t i o no fp e r i o db o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o r s e c o n d - o r d e ri m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s lu ”( t ) = ，( t ，u ( t ) ，t 亿) ，眇惫】( 亡) ) ，t z 佗亡( ) ，k = 1 ，2 ，p + 1 ； 般紫色哆1 掣：气_ 1 ，2 ，； 。 。( 1 1 1 ) iu ( t 去) = ( u 七】( “) ) ，七= 1 ，2 ，p 、 【乱( o ) = 铭( 2 ) ， 乱7 ( o ) = 缸( t ) i sc o n s i d e r e d ，w h e r e 心：【0 ，刀_ r ，t c ( j ) 讥：g ( 以) 一c ( j k ) i sc o n t i n o u s ， k = 1 ，2 ，p + 1 ，九：c ( j k ) _ c ( 以) ，五：r _ 冗i sc o n t i n o n s ，k = 1 ，2 ，p ， a n d ，：j r r r _ ri sc o n t i n o u si n 以r r r i nt h ef o u r t hc h a p t e ro f 【2 8 ，t h ea u t h o r ss t u d i e dt h ee x i s t a n c eo fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n st op e r i o db o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o rf i r s t - o r d e rn o n l i p s c h i t zi m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b yc o n s t r u c t i n gn e wc o m p a r i s o nr e s u l ta n du s i n gm o n o t o n o u si t e r a t i v et e c h n i q u e ，t h e m i n i m a ls o l u t i o no ft h i sb v pi so b t a i n e dh e r eo n l yw i t ht h el o w e rs o l u t i o n t h em a i n r e s u l ti sg i v e nb e l l o w ： t h e o r e m1 3 1 s u p p o s e ( h 1 1 ) 一( h 1 5 ) h o l d t h e nt h e r ee x i s t san o n d e c r e a s i n g s e q u e n c e u ，1 ) s u c ht h a t 钆竹) a n d 札二) c o n v e r g eu n i f o r m l yt o 西) a n d - ，) r e s p e c t i v e l y , w h e r e 面gi st h em i n i m a ls o l u t i o nt ob v p ( 1 1 1 ) a ne x a m p l ei sw o r k e do u tt oi n d i c a t eo u rc o n d i t i o n sa r er e a s o n a b l e i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mf o rs e c o n d 3 山东师范大学硕士学位论文 o r d e rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n iz ”( 亡) = ，( t ，z ( 舌) ，z ：) ，右 0 ，卵； x ( t ) 一z ( 亡) = p ( 右) ，亡 一r ，o 】； lz ( 右) + z ( 右) = ( d ，t 口1 ，t + 嘲， w h e r e ( t ，x ，y ，石) c ( 【o ，刁xr xdxd ，r ) ，d = c ( - r ，t + 纠，冗) ，a n d = x ( t + 口) ，z ：= z + 口) ，一r 0 h u s i n gc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y , t h ee x i s t e n c e o fa tl e a s to n es o l u t i o nt ot h i sb v pi so b t a i n e d t h em a i nr e s u l ti sg i v e nb e l l o w ： t h e o r e m2 2 1 s u p p o s e ( h 2 1 ) 一( h 2 4 ) h o l d t h e nt h e r ee x i s t sa tl e a s to n es o - l u t i o nt ob v p ( 2 1 1 ) a ne x a m p l ei sw o r k e do u tt os h o wo u rc o n d i t i o n sa r er e a s o n a b l e i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h es o l u t i o n so ft h ef o l l o w i n gb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so nh a l f - l i n ef o rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi n f i n i t ed e l a yi nab a n a c h s p a c e fz ”( t ) 牟f ( t ，z ( t ) ，轨) = 0 ，t ( 0 ，十o 。) ； z ( 亡) = 砂( 亡) ，t ( 一o 。，o ) ； 【恕z ) = 矽 i n 【1 5 ，p r o f e s s o rl i uy a n s h e n gh a ss t u d i e dt h i sq u e s t i o nw i t hm s n c h 丘x e dp o i n tt h e o r e m t h i sc h a p t e ro b t a i n e dt h ee x i s t e n c eo ft h r e es o l u t i o n st ot h i sb v pw i t hl e g g e t t - w i l l i a m s f i x e dp o i n tt h e o r e m t h em a i nr e s u l ti sg i v e nb e l l o w ： t h e o r e m3 2 i s u p p o s e ( h 3 1 ) 一( h 3 3 ) h o l d t h e nt h e r ee x i s ta ，b ，c r + s a t i s f y i n g0 a b 2 c s u c ht h a tb v p ( 3 1 1 ) h a st h r e es o l u t i o n sm e e t i n g 忙1 l f a ，b aa n da ( x a ) p 。 m a xs u p g ( n ，z ) 0 一 x 一 r n t h e o r e m4 2 2 s u p p o s e ( h 4 3 ) a n d ( i - h ，4 ) h o l d t h e nf o re a c ha ( a 2 ，+ 。) ， 山东师范大学硕士学位论文 t h e r ee x i s t sa tl e a s tt w op o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n so f ( 4 1 1 ) ，w h e r e t h e o r e m4 2 3 ( 1 ) ( 也1 ) a n d o r 天2 = 而1 辫 s u p p o s ee i t h e r ( 凰4 ) f m i n ，i n f g ( n ，z ) 。 0 x 0 ，t h e r ee x i s t sa tl e a s to n ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o no f ( 4 1 1 ) k e yw o r d s ：i m p u l s i v e ；f u n c t i o n a l ；d e l a y ；d i f f e r e n c e c l a s s i f i c a t i o n ：0 17 5 8 5 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特 别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 靴敝储繇专丽困翮辩：勃眇 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留和使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授 权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文保密的学位论文在解密后适用 本授权书) ， 学位论文作者签名：专阮丽 导师签字：易i 彳、亏1 澎 签字日期： 2 0 0 9 锵耻日 签字日期： 2 0 0 9 l 锄加 山东师范大学硕士学位论文 -上上-_，_- 目i j昌 近年来，在数学、物理、化学、生物学、医学、经济学、工程学和控制论等许 多科学领域出现了各种各样的非线性问题，在解决这些非线性问题的过程中，逐渐 产生了现代分析数学中非常重要的方法和理论，主要包括：半序方法、拓扑度方法 和变分方法等，成为当今解决科技领域中层出不穷的非线性问题所需的富有成效的 理论工具 时滞微分方程作为现代应用数学的一个重要分支广泛应用于力学，控制论，生 态学，管理学及流行病学等许多领域中鉴于泛函微分、差分方程在科技领域及工 程技术中的重要应用，时滞微分方程的理论已有大量研究本论文在借鉴前人成果 的基础上，用不同方法对类似问题进行了讨论，并且对提出的新问题进行了研究 本文共分四章第一章研究了脉冲泛函微分方程周期边值问题解的存在性，通 过建立新的比较结果，仅在下解存在的条件下得到了二阶脉冲泛函微分方程最小解 的存在性第二章讨论了二阶泛函微分方程边值问题解的存在性，利用迭合度理论 得到至少一个解的存在性结果第三章讨论了无穷时滞泛函微分方程边值问题，通 过l e g g e 托一w i l l i a m s 不动点定理得到了此问题至少有三个解的存在性结果第四 章考虑了一类特殊的二阶差分方程，研究了其正周期解的存在性，利用等价变换将 其化为一阶差分方程，并利用不动点定理得到了正解的存在性 6 山东师范大学硕士学位论文 第一章脉冲泛函微分方程周期边值问题解的存在性 1 1引言及预备知识 本章考虑 l u ”( t ) = ，( t ，u ( ) ，u ( 亡) ，仳南】( t ) ) ，t i n t ( j k ) ，k = 1 ，2 ，p + 1 ； u ( 砖) = 厶( 【机u 七】( “) ) ， 七= 1 ，2 ，p ； ( 1 1 1 1 ) lt ( t j ) = 以( u 七】( 轧) ) ，k = 1 ，2 ，弘 lu ( o ) = u ( t ) ，d ( o ) = o ( t ) ， 其中 j = 0 ，明，0 = t o t l 0 ，l 0 ，满足 瑟 t ) 一 妒七( m a x ( u 七，o ) ) 】( t ) 一l u 7 ( 亡) ， k = 1 ，2 ，p ； k = 1 ，2 ，p ； 乱7 ( o ) u 7 ( t ) ， t i n t ( 以) ，k = 1 ，2 ，p4 - 1 ； 。 ( 1 1 2 ) 饥( u ) 】 ) u ( s ) d s ，t 以，u c ( 以) ，k = 1 ，p + 1 ， ( 1 1 3 ) 且 c r 2 0 8 山东师范大学硕士学位论文 故u k ( t ) o 假设存在缸7 ) 0 ，( 若臼= t k ，则由保号性可选取矗( t k 一1 ，坟) ，使牡缸) 0 ， 矛盾因此已t k 一1 ，t k 此时u ( ( 2 ) = 0 ，牡”( 白) 0 ，因此 0 0 ( 白) 。 m u ( ( 2 ) 一【讥( 魄) 】( 已) 一三0 ( 白) ，- m u ( ( 2 ) 一础( ) 0 ， 矛盾故( ) 0 ，k = 2 ，p + 1 由此知珏( o ) 之珏( t ) 20 ，i t ( o ) ( 丁) 0 ，所 以当k = 1 时重复上述过程可知结论亦成立引理得证 1 2b v p ( 1 1 1 ) 的拟线性问题 设m 0 ，n 0 ，l 0 ，b p c i ( 了) ，考虑问题 lf f a t j ) = m u ( t ) 一n 妒k u k l ( t ) 一l u 7 ) + 6 ) ，t i n t ( j k ) ，k = 1 ，2 ，p + 1 ； u ( 亡去) = ，o ( t 吉) = d k ，k = 1 ，2 ，p ； ( 1 2 1 ) l 钍( o ) = u ( t ) ，0 ( 0 ) = 珏( t ) 定义1 2 1 称吐p c i ( ，) 为( 1 2 1 ) 的下解，如果 fq ” ) m a ( t ) 一【t f i j 。q k 】( 亡) 一三7 ) + 务( 动，t i n t ( d k ) ，k = 1 ，2 ，p + 1 ； ( t j ) c k ，q 7 ( 砖) d k ，k = 1 ，2 ，p ； ( 1 2 2 ) la ( o ) s 口( 丁) ， 口。( 0 ) ( 丁) 定义1 2 2 对于i t l ，让2 p c ( j ) ，若在以( 尼= 1 ，p + 1 ) 上，u l 七( t ) u 2 七( t ) ， 贝0 称让1 u 2 记g = 缸p c i ( j ) iu 口，u 7 q ，t j ) 引理1 2 1 2 9 】( s c h a u d e r 不动点定理) 设d 为e 中有界闭凸集，a ：d d 全连续，则a 必在d 中存在不动点 9 山东师范大学硕士学位论文 有 定理1 2 1 若下面条件成立， ( h 1 1 ) 对k = 1 ，p + 1 讥映有界集到有界集，且在以上对任意，g g ， 仇( m a x f g ，o ) ) 饥( ，) 一o k ( g ) ， 且满足( 1 1 3 ) 和( 1 1 4 ) ，则( 1 2 1 ) 存在唯一解乱g 证明首先证明解唯一若存在两个解牡1 ，i t 2 ，令m = 乱1 7 1 , 2 ，则当t j k ，k = 1 ，2 ，p + 1 时， ( a l ( 亡) 一 i t 2 ( 亡) ) ” = m ( u l ( t ) 一u 2 ( 亡) ) 一n ( 妒k u l k ( t ) 一【饥乱2 七】( t ) ) 一l ( u l ( t ) 一疋( 亡) ) 芝m ( u l ( t ) 一乱2 ) ) 一n 妒k ( m a x u l k 一乱2 知，o ) ) 】( 亡) 一l ( u 1 ( t ) 一如( 亡) ) ， 即 m ”( t ) m m ( t ) 一 讥( m a x m 七，o ) ) 】( 亡) 一l m 7 ( ) 成立，且 m ( 砖) = m 7 ( 砖) = o ，m ( o ) = r e ( t ) ，m 7 ( o ) = m ( t ) 所以由引理( 1 1 1 ) 知u l i t 2 ，u i 反之令r r t = u 2 一u l ，有i t 2 u l ，疋2u i 故u 1 = u 2 其次证明u g 令m = u q ，利用( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 可得 m ”( f ) m m ( t ) 一( f 妣毗】 ) 一a 七】( 芒) ) 一l m 7 ( t ) m m ( t ) 一n 眇_ j c ( m a x m 知，o ) ) 】( 亡) 一l m ( t ) 以及 仇( 亡去) 0 ，m 7 ( 砖) 0 ，r e ( o ) m ( t ) ，m 7 ( o ) 之m 7 ( t ) 所以由弓f 理( 1 1 1 ) 得至uu a ，“g 最后证明( 1 2 1 ) 存在解考虑算子t k ：c ( j k ) 一c ( j k ) ，k = 1 ，2 ，p + 1 ， ( 酬d = c k - 1 + d k 厶- a ( 1 - e l ( t k - l - t ) ) + z 1r t k - ，( 1 - - e l ( s - t ) ( s ) 一n 砂k u k ( s ) + b ( s ) d s ( 1 2 3 ) 1 0 因为讥，饥在j k ( k = 1 ，p + 1 ) 上连续，故五连续，且全连续 山东师范大学硕士学位论文 事实上，对v u scc ( j k ) ，s 有界， i l u l l 7 ，故存在r 0 ，i 饥( u ) l r ，所以 j ( t k 氍) ( 右) f i 一t i + 皇字i + 三c ，( 1 - e l ( s - t ) ) _ m m 驯+ i 眇七毗】( s ) j + 1 6 ( s ) | ) 矗 弛- 1 j + i 警l + 圭( m r + n r + l j 6 i i ) 仁。( 1 - e l ( s - t ) ) d s 。 s 以， 及 i ( 孔u ) ( t ) l l 如一1 i e l ( t k - l - - t ) + 厂e l ( 8 一) m l u c s ) l + n l 妒七u k c s ) l - i - i b ( s ) l d s ，k i 如一l l + ( m r + n r + l | 6 f | ) “e l ( 5 一t ) 如 j t k - 1 冬巩 即珏一致有界，并且容易证明等度连续，即死为全连续算子若缸c ( 五) ，a ( 0 ，1 ) ，让= ：入t k u ，故l l u l l i t k u l l m a x s k ，瓦) ，由s c h a u d e r 不动点定理知乳存在 不动点u k c ( 以) ，七= 1 ，p + 1 由于每个解u k 口七，所以u 是( 1 27 1 ) 的解且是 唯一解，钆( t ) = 牡七( t ) ，t 定理得证 1 3 最小解的存在性 定义1 3 1 称q p c i ( j ) 为( 1 1 1 ) 的下解，如果 l 口”( 亡) ，( 亡，口( 右) ，口7 ( 亡) ，【妒七口七 ( 亡) ) ，t n 亡( 以) ， k = 1 ，2 ，p + 1 ； j 口( t 嘉) 死( ( 饥q 惫) ( 如) ) ， l 口( t 吉) 以( ( 机q 七) ( 如) ) ，k = 1 ，2 ，p ； 【口( o ) 口( 丁) ，口( 0 ) a ( r ) 为叙述方便，列出下列条件： ( h 1 2 ) 对v u ，影g ，当i t u ，t 五，k = 1 ，p + 1 时， ，( 亡，u ( 亡) ，u ( t ) ，u 七】( 芒) ) 一，( 亡，钉( t ) ， ( 亡) ， 机 ( 亡) ) m ( u ( t ) 一移( 丢) ) 一( 【瓴缸凫 ) 一f 讥t 镌 ( 右) ) 一己( 缸( t ) 一移( 亡) ) ； ( h 1 3 ) 氏，j k 连续，且当乱，口g ，u u 时， 厶( ( 如锹) ( “) ) 磊( ( 九) ( 敏) ) ， 以( ( 机) ) ) 以( ( 机) ( 如) ) ； ( h 1 4 ) 存在九( 亡) p c ( j ) ，满足：，h ( s ) d s ) = 0 m r c t a nf ( s ) 一a z c t a n9 ( s ) ； 若j ( s ) 9 ( s ) ，令口= a r c t a n ( ，( s ) 一9 ( s ) ) ，b = a x c t t mf ( s ) ，c = a r c t ug ( s ) ，可知 a ( 0 ，詈) ，b ，c ( 薏，詈) ，且b c ，因 t a na = ( s ) 一g ( s ) = t a nb t a nc = t a n ( b c ) ( 1 + t a n b t a n c ) t a n ( b c ) ， 故由正切函数在( o ：詈) 的单调递增性质可得到a 6 一c ，即( 1 4 2 ) 成立 因为 五( 1 让1 】( 1 ) ) ：e 3 u l ( ) 五( 【1 钞l 】( t 1 ) ) = e 3 可- ( ) ( l u l 】( t 1 ) ) ：e u ，( ) ( 【1 ”1 】( t 1 ) ) ：e t ，- ( ；) ， 故( h i 3 ) 满足 当u g 时， 邢，“，枷枷2 7 r e t + 三+ 孚+ 2 ：了坼) 显然 h ( s ) d s 0 ，对v x c 1 【_ r ，t + 纠，当l z ( t ) j a 时，有 、 z ( 亡) ，( 六z ( 右) ，祝，x t ) 0 定理2 2 1 若( h 2 1 ) ( h 2 4 ) 成立，则( 2 1 1 ) 至少存在一个解 证明设x ( t ) 是l x = ) 、n e x ，a 【o ，1 】的解，即茁( 亡) 满足 lz ”( t ) = m ( t ，名( t ) ，z t ，z ：) ，t 【o ，t 】； z ( 亡) 一z 7 ( 舌) = 肛 ) ，t f n o 】； ( 2 2 1 ) iz ( 古) + z ( t ) = ( 舌) ，t t ，t + ，司 下证x ( t ) 在【0 ，刁上先验有界， 由文【7 知，对【0 ，列，当亡0 + 忌( 0 ，引时， z ( t o + j | ：) = 茹( t o ) + z 7 ( 亡o ) 惫+ ，( 亡o + s k ，z ( s ) ，z 。，茁：) 惫2 ( 1 一s ) d s 。 ( 2 2 2 ) ，0 首先证明必存在如【o ，邪，使得l z ( 知) l a 否则，由( h a 2 ) 知， 一1 若对v t 【o ，卵，z ( 亡) a ，此时，( 屯z ( t ) ，现，z ：) a ， 则z ( t o ) = 0 ，由( 2 2 2 ) 可知， ，( o + s k ，z ( s ) ，z 。，z ：) 忌2 ( 1 一s ) d s 0 ， 1 9 山东师范大学硕士学位论文 与f ( t ，z ( t ) ，鼠，z ：) 0 矛盾 2 若x , - j v t 【o ，卅，z ( 亡) o 设z ( 。) 5 龇m a x 卵z ( 。) - a , 同理可推出矛盾 因此对觇【o ，卅，有z ( 亡) = z ( 如) + 厝z 7 ( s ) d 8 由此易得到 鼢l s a + z t i z 陬 ( 2 2 3 ) 由于0 【一7 - ，h i ，从而一r t + 口t + h ，故 同理 2 0 i z ( t + o ) i d t i t + h i x ( v ) l 劫 厶 ) l d v + ，i 砌) l d v + 舢i 可) t d y ，t p + h ) m o + i z ) j d y ； 肛( 删出外舶) + o t 泐 对z ”( 亡) = 入，( t ，z ( t ) ，z t ，z ：) 两边同乘以z ( 亡) ，再由0 到? 积分，有 r t 上咖) 1 2 出 = 一入9 ( o tf ( t ，z ( t ) ，z t ，z ：) z ( t ) 出+ z ( t ) z ( t ) 一z ( 。) z ( 。) ：一入厂t ，( z ，z ( t ) ，。t ，z ：) 万( t ) d t z 2 ( t ) 一z 2 ( o ) ， ，0 山东师范大学硕士学位论文 所以结合上述不等式有 m 亡) 1 2 d t 0 ，使得l z ( t ) i r 2 ，t 【0 ，刀 由积分中值定理，有譬i z 砸) 1 2 d t = i z7 ( 白) f 2 t ，又由( 2 2 6 ) 知必存在白【o ，刁， 使得i z 7 ( e o ) 5 a 1 2 1 山东师范大学硕士学位论文 类似于上面的证明有 矽( t ) l d t l ，( t ，z ( t ) ，z t ，z ：) l d t 外，怕) z ti 雄) l d t + 船z ri z 。凇+ ( 口2 + n 3 ) ( ) + 口4 t ( a l + a 2 ) t r 2 + n 3 、t r l + ( a 2 + 口3 ) ( r + 九) m o + a 4 t = ：r 3 ， 所以对v t o ，卅，i x ( 亡) l i x 7 ( 白) i + 詹i x ( t ) l d t a 1 + 飓= ：r 4 因此，若令r o = m a x r 2 ，鱼) + 1 ，q = _ z x ，l i x l i 3 时， x ( t ) ，( t ，z ( t ) ，z t ，x t ) = j 1 亍+ 丽c o s 2t 。 ) ( ( z ( 亡) + 3 ) ( 3 一z ( 亡+ 护) ) 】一x ( t + 可百8 j ) 2 i 7 x i ( t j ) a r 万c 刁t a r n x ( t ) 即( h 2 2 ) 成立 由于 i f ( t , x , x t , x s 茅2 瞰以3 州勘( 3 叫川) ) l + 高寒篇岛 杀趔旦逊掣幽+ 龋 去l + 去i z ( 抖口) i + 萨1 2 + 志咖+ 口) l ， 目 1 一萨4 + 而2 ) t 2 一三= 三一o ， 所以( h 2 3 ) 和( h 2 4 ) 成立，故( 2 3 1 ) 至少存在一个解证毕 山东师范大学硕士学位论文 第三章无穷时滞泛函微分方程边值问题三解的存在性 3 1引言及预备知识 半直线上无穷边值问题经常用于研究非线性椭圆微分方程的对称径向解目 前关于该问题正解的存在性已有广泛研究，见【1 5 】- 2 2 】在 1 5 】中，刘衍胜教授用 m 5 n c h 不动点定理研究了无穷时滞泛函微分方程边值问题解的存在性本章考虑 lx t ( 亡) + f ( t ，z ( 亡) ，z t ) = 0 ，t ( 0 ，+ 。) ； z ) = ( 亡) ，t ( 一。，o ) ； ( 3 1 1 ) 【熙z 印) 2 其中，c 2 + r + c k ，r + 】，咖c k ，i i 妒l l l t ，o 】= s u pi 妒( s ) i ，l l x l i = s u pl z ) i ， 以牡馕蒜三篡：。 ，0 = ( 妒c 2 - , r + 】：h ( t ) u 妒l l i t ，o 】咖 + o 。】， f c 冗+ ，叫= xec 【i ，r + 】：t s u r + p 雨i i z ( t ) l f + 。) 利用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理得到了此问题至少有三个解的存在性结果 先给出几个引理： 引理3 1 1 【15 】设z f c t r + ，冗+ 】，规定义如上，则对t 月+ ，有兢g ，且 l l l x ( t ) l l i i x t l l hsi i 砂l l h + zs u pl i x ( s ) l l l i 咖l l h + 1 ( 1 + t ) l l x l l f ， s e o ，q 这里z = h ( t ) d t + o 。 为叙述方便，列出下列条件： ( h s 1 ) i i f ( t ，z ，9 ) l | a ( t ) l x i + b ( t ) l l 妒l l h + c ( 亡) ， f o o，1 1 3 d = ( 1 + t ) ( o ( 亡) + l b ( t ) ) d t 。， c ( t ) d t 。，z = h ( t ) d t ； j 0j 0j 一 ( h 3 2 ) d 1 ； ( h s 3 )存在a ，5 r ，0 五 5 m