2013高考复习精品--集合与逻辑,知识点+典型例题+详细解析+高考真题.doc

高考复习科目：数学 高中数学总复习(一) 复习内容：高中数学第一章-集合 基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。一、集合1定义：某些指定的对象集在一起成为集合。（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；两种关系： 从属关系：对象 、 集合；包含关系：集合 、 集合即：符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法、图示法（韦恩图）或区间法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 区分集合中元素的形式：如：； （4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=，若，则P+Q中元素的有_个。（答：8）（2）设，那么点的充要条件是_（答：）；（3）非空集合，且满足“若，则”，这样的共有_个（答：7） （4），求； 当堂练习1下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）A某班个子较高的同学 B长寿的人C的近似值 D倒数等于它本身的数2下面四个命题正确的是（）A10以内的质数集合是0，3，5，7B由1，2，3组成的集合可表示为1，2，3或3，2，1C方程的解集是1，1D0与0表示同一个集合3 下面四个命题： （1）集合N中最小的数是1； （2）若 -aZ，则aZ；（3）所有的正实数组成集合R+；（4）由很小的数可组成集合A；其中正确的命题有（ ）个A1 B2 C3 D44下面四个命题： （1）零属于空集； （2）方程x2-3x+5=0的解集是空集； （3）方程x2-6x+9=0的解集是单元集； （4）不等式 2 x-60的解集是无限集；其中正确的命题有（ ）个A1 B2 C3 D45 平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( )A x,y且 B (x,y) C. (x,y) D. x,y且7 由所有偶数组成的集合可表示为8 8用列举法表示集合D=为 9当a满足 时, 集合A表示单元集10对于集合A2，4，6， 若aA，则6aA，那么a的值是_11数集0，1，x2x中的x不能取哪些数值？12已知集合AxN|N，试用列举法表示集合A13.已知集合A=.(1)若A中只有一个元素,求a的值; (2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.14.由实数构成的集合A满足条件:若aA, a1,则,证明：（1）若2A，则集合A必还有另外两个元素，并求出这两个元素；（2）非空集合A中至少有三个不同的元素。二、集合间的关系及其运算子集：（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；空集是任何集合的子集。集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且AB，则称A是B的真子集，记作A B；空集是任何非空集合的真子集。（2）简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；注意：空集是指不含任何元素的集合。（、和的区别；0与三者间的关系）条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。如：，如果，求的取值。4交集与并集：（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集。（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。3全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若S是一个集合，AS，则，=称S中子集A的补集；（3）简单性质：1）()=A；2）S=，=S。2.遇到时，你是否注意到“极端”情况：或；同样当时，你是否忘记的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合，且，则实数_.（答：）3.对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 ，所有二元子集（含有两个元素的子集）的个数为如满足集合M有_个。（答：7）集合的运算性质：； ； ； . 容斥原理：对任集合AB有. 2.德摩根（De Morgan）公式：“交的补等于补的并，即”；“并的补等于补的交，即”注：对方程组解的集合应是点集.例： 解的集合(2，1).点集与数集的交集是. （例：A =(x，y)| y =x+1 B=y|y =x2+1 则AB =）2.若,则的子集有个,真子集有1个,非空真子集有2个.3.从集合到集合的映射有个.5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义抓住集合的代表元素。如：函数的定义域；函数的值域；函数图象上的点集，如（1）设集合，集合N，则_（答：）；（2）设集合，则_（答：）6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围。（答：）当堂练习：1下列四个命题：0；空集没有子集；任何一个集合必有两个或两个以上的子集；空集是任何一个集合的子集其中正确的有（）A0个B1个C2个D3个2 若Mxx1，Nxxa，且NM，则（）3 Aa1Ba1Ca1Da13设U为全集，集合M、NU，且MN，则下列各式成立的是（）Au Mu NBu MM Cu Mu NDu MN4. 已知全集Ux2x1，Ax2x1 ，Bxx2x20，Cx2x1，则（）ACABCu A Cu BCDu AB5已知全集U0，1，2，3且u A2，则集合A的真子集共有（）A3个 B5个C8个D7个6若AB，AC，B0，1，2，3，C0，2，4，8，则满足上述条件的集合A为_7如果Mxxa21，aN*，Pyyb22b2，bN，则M和P的关系为M_P8设集合M1，2，3，4，5，6，AM，A不是空集，且满足：aA，则6aA，则满足条件的集合A共有_个9已知集合A=， u A=，u B=，则集合B= 10集合Ax|x2x60，Bx|mx10，若BA，则实数m的值是 11判断下列集合之间的关系： （1）A=三角形，B=等腰三角形，C=等边三角形； （2）A=,B=,C=; （3）A=,B=,C=; （4）12 已知集合，且负实数，求实数p的取值范围13.已知全集U=1,2,4,6,8,12,集合A=8,x,y,z,集合B=1,xy,yz,2x,其中,若A=B,求u A.14已知全集U1，2，3，4，5，AxU|x25qx40，qR（1）若u AU，求q的取值范围；（2）若u A中有四个元素，求u A和q的值；（3）若A中仅有两个元素，求u A和q的值1已知集合，则的值为 （ ）A B C D2设集合A（x，y）4xy6，B（x，y）3x2y7，则满足CAB的集合C的个数是（）A0B1C2D33已知集合，则实数a的取值范围是（ ） 4.设全集U=R，集合的解集是（ ） A B （u N） C （u N） D5.有关集合的性质:(1) u(AB)=(u A)（u B）; (2)u(AB)=(u A)（u B） (3) A (uA)=U (4) A (uA)= 其中正确的个数有（ ）个A.1 B 2 C3 D4 6已知集合Mx1x2，Nxxa0，若MN，则a的取值范围是 7已知集合Axyx22x2，xR，Byyx22x2，xR，则AB8已知全集(u B)u A), ABC则A= ，B= 9表示图形中的阴影部分 10.在直角坐标系中,已知点集A=,B=,则(uA) B= 11已知集合M=,求实数a的的值12已知集合=，求实数b,c,m的值13. 已知AB=3, (uA)B=4,6,8, A(uB)=1,5,(u A)(uB)=,试求u(AB)，A，B14.已知集合A=，B=，且AB=A，试求a的取值范围第1章 集 合1.4 单元测试1设A=x|x4，a=，则下列结论中正确的是（ ） （A）a A （B）aA （C）aA （D）aA2若1，2 A1，2，3，4，5，则集合A的个数是（ ） （A）8 （B）7 （C）4 （D）33下面表示同一集合的是（ ） （A）M=（1，2），N=（2，1） （B）M=1，2，N=（1，2） （C）M=，N= （D）M=x|,N=14若PU，QU，且xCU（PQ），则（ ） （A）xP且xQ （B）xP或xQ （C）xCU(PQ) （D）xCUP5 若MU，NU，且MN，则（ ） （A）MN=N （B）MN=M（C）CUNCUM （D）CUMCUN6已知集合M=y|y=x2+1,xR，N=y|y=x2,xR,全集I=R，则MN等于（ ）（A）(x,y)|x= （B）(x,y)|x（C）y|y0,或y1 （D）y|y1750名学生参加跳远和铅球两项测试,跳远和铅球测试成绩分别及格40人和31人,两项测试均不及格的有4人,则两项测试成绩都及格的人数是( )（A）35 （B）25 （C）28 （D）158设x,yR,A=,B= ,则A、B间的关系为（ ）（A）AB （B）BA （C）A=B （D）AB=9 设全集为R，若M= ，N= ，则（CUM）（CUN）是（ ）（A） （B） （C） （D） 10已知集合，若 则与集合的关系是 （ ）（A）但（B）但（C）且（D）且NUPM11集合U，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） （A）M（NP） （B）MCU（NP） （C）MCU（NP） （D）MCU（NP）12设I为全集，AI,B A,则下列结论错误的是（ ）（A）CIA CIB （B）AB=B （C）ACIB = （D） CIAB=13已知x1，2，x2，则实数x=_14已知集合M=a,0，N=1，2，且MN=1，那么MN的真子集有个15已知A=1，2，3，4；B=y|y=x22x+2,xA,若用列举法表示集合B，则B=16设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（规定与是两个不同的“理想配集”） 17已知全集U=0，1，2，9，若(CUA)(CUB)=0，4，5，A(CUB)=1，2，8，AB=9，试求AB18设全集U=R,集合A=,B=,试求CUB, AB, AB,A(CUB), ( CU A) (CUB)19设集合A=x|2x2+3px+2=0；B=x|2x2+x+q=0，其中p，q，xR，当AB=时，求p的值和AB20设集合A=,B=,问：(1) a为何值时,集合AB有两个元素；(2) a为何值时,集合AB至多有一个元素21已知集合A=，B=，其中均为正整数，且，AB=a1,a4, a1+a4=10, AB的所有元素之和为124,求集合A和B22已知集合A=x|x23x+2=0,B=x|x2ax+3a5,若AB=B，求实数a的值参考答案第1章 集 合1.1 集合的含义及其表示经典例题：解：由集合中元素的互异性知逻辑联结词：1命题是可以判断真假的语句的语句，其中判断为正确的称为真命题，判断为错误的为假命题判断命题的真假关键是“抓住关联字词”；注意：“不或即且，不且即或”.2逻辑联结词有“或”、“且”、“非”3不含有逻辑联结词的命题，叫做简单命题，若则，由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题或，且，非复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中：“且”为真是“或”为真的充分不必要条件；“且”为假是“或”为真的充分不必要条件；“或”为真是“非”为假的必要不充分条件；“非”为真是“且”为假的必要不充分条件。其中正确的是_（答：）4.真值表 非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假8.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p” 即交换原命题的条件和结论；否命题为“若p 则q” 即同时否定原命题的条件和结论；逆否命题为“若q 则p” 即交换原命题的条件和结论，并且同时否定。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在ABC中，若C=900，则A、B都是锐角”的否命题为（答：在中，若，则不都是锐角）；（2）已知函数，证明方程没有负数根。一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题.一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.例：若应是真命题.解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. .解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.,故是的既不是充分，又不是必要条件.小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 例：若. 6.四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若则若则互互互为为互否否逆逆否 否否命题逆否命题若非则非互逆若非则非9. 简易逻辑: 定义：1、，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件； 2、，且q p，则P是q的充分不必要条件；3、p p ，且，则P是q的必要不充分条件；4、p p ，且q p，则P是q的既不充分又不必要条件。注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.充要条件关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。如（1）给出下列命题：实数是直线与平行的充要条件；若是成立的充要条件；已知，“若，则或”的逆否命题是“若或则”；“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_（答：）；（2）设命题p：；命题q:。若p是q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是 （答：）注意：“若，则”在解题中的运用，如：“”是“”的 条件。六、反证法：当证明“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立， 步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。矛盾来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。7.四种命题中“逆者交换也”、“否者否定也”.原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果.注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是条件不变，仅否定结论所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” L.l :否定一个含有量词(或)的命题,不但要改变量词(改为)，还要对量词后面的命题加以否定，但作用范围不变。 5.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有个至多有（）个小于不小于至多有个至少有（）个对所有，成立存在某，不成立或且对任何，不成立存在某，成立且或10. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若,则；若,则；若,则当时，；当时，。如已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_（答：）11. 一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当和时的解集你会正确表示吗？设,是方程的两实根，且，则其解集如下表：或或RRR如解关于的不等式：。（答：当时，；当时，或；当时，；当时，；当时，）12. 对于方程有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数是否为0，其次若，则一定有。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1）对一切恒成立，则的取值范围是_（答：）；（2）关于的方程有解的条件是什么？(答：，其中为的值域)，特别地，若在内有两个不等的实根满足等式，则实数的范围是_.（答：）13.一元二次方程根的分布理论。方程在上有两根、在上有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么？（、）。根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况如实系数方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值范围是_（答：（，1）14.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程的两个根即为二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标。如（1）不等式的解集是，则=_（答：）；（2）若关于的不等式的解集为，其中，则关于的不等式的解集为_（答：）；（3）不等式对恒成立，则实数的取值范围是_（答：）。15.数学思想：1、理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？2数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；注：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。1.绝对值不等式的解法：的解集是;的解集是 公式法:,.(2)几何法 (3)定义法（利用定义打开绝对值） (4)两边平方2、一元二次不等式或 的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根 R 3、分式不等式转化为整式不等式，但在求解过程中一定要注意检验典型例题回放：1.集合运算中一定要分清代表元的含义。举例已知集合P=y|y=x2，xR， Q=y|y2x，xR求PQ。解析：集合P、Q均为函数值域（不要误以为是函数图象，（x,y）| y=x2，xR才表示函数图象），P=0，+，Q=（0，+，PQ=Q。2.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。举例若A=x|x20时，集A=（-，），要使AB=，则2，得0a4,当a0时，A=，此时AB=，综上：