（电磁场与微波技术专业论文）有限元方法在电磁学中的应用研究.pdf

硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 摘要 本论文的主要目的是搭建个能够分析复杂电磁场问题的矢量有限元平台， 在此基础上，提出了一些能够减少求解时间的混合方法。 论文的前半部分描述了构建矢量有限元平台的基本技术，如利用迦辽金方法 生成有限元求解矩阵技术，完全匹配层在有限元中的应用技术，a n s y s 的网格 划分及信息提取技术，求解器技术，两种s 参数提取技术等。文中提供了多个 实例来验证此平台的正确性和通用性。 论文的后半部分主要是研究一些能够加快求解速度的技术。途径之是采用 新的矢量标量混合位的有限元方程生成条件数更好的求解方程；途径之二是采 用一些预处理方法来改善矩阵条件数，在所有的预处理方法中，改进的不完全 l u 分解预处理技术是性能最好的预处理方法之一。文中将两种途径结合起来， 在分析些常用微波器件时，可比传统的方法快近一百倍。 关键字：矢量有限元，迦辽金方法，完全匹配层技术，a n s y s ，矢量标量混合位 的矢量有限元，改进的不完全l u 分解预处理技术。 硕士论文壹堡垂塑鲨垄皇堕堂生塑窒旦型窒 _ _ - ，_ _ 一。 。 a b s t r a c t t h e p r i m a r y i n t e n t i o no ft h i st h e t i s i st oe s t a b l i s haw o r k b e n c ho ft h e t a n g e n t i a l l yc o n t i n u o u s v e c t o rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( t v f e m ) ，w h i c h c a nb eu s e dt o a n a l y z ec o m p l e xe l e c t r o m a g n e t i cb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s s o m e e f f i c i e n tw a y sa l e a l s oa d o p t e dt or e d u c et h et o t a lt i m ec o s to ff e m a n a l y s i s t h i st h e s i sf i r s t l yd e s c r i b e sm e t h o d o l o g yo f e s t a b l i s h i n gf e m w o r k b e n c h s o m e d i s c u s s i o n sa r ed e v o t e dt og a l e r k i n sv a r i a t i o np r i n c i p l e so nh o wt of o r m u l a t em o s t e l e c t r o m a g n e t i cp r o b l e m s t h ep e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ( p m l ) c o n c e p t h a sb e e na l s o a p p l i e d t of e m i na d d i t i o n ，h o wt oe x t r a c t m e s h i n gi n f o r m a t i o nf r o ma n s y s a n dt o c a l c u l a t es - p a r a m e t e r sa r ed i s c u s s e d f i n a l l y ，s o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e d t ov a l i d a t et h ew o r k b e n c h f o rt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，s o l u t i o no ft h el i n e a ls y s t e mi st h em a i ne x p e n s e o ft h ew h o l ep r o b l e ms o l u t i o n ，w h i c hc o n s u m eo v e r9 5 o ft h ec p ut i m ef o rf e m a n a l y s i si ne l e c t r o m a g n e t i c s t v f e mb a s e do nc o u p l e dv e c t o rp o t e n t i a la a n ds c a l a r p o t e n t i a lv ( a - ”i s c o m b i n e dw i t hs t a n d a r dm o d i f i e d i n c o m p l e t ec h o l e s k y c o n j u g a t e - g r a d i e n t ( m i c c g ) i nt h i sp a p e rf o r t h e b r o a d b a n d a n a l y s i s o fs o m e m i c r o w a v ea p p a r a t u s t h ep r e s e n t e da p p r o a c hc a l la c h i e v ec o n v e r g e n c ea v e r a g e l y o n eh u n d r e dt i m e sl e s si ni t e r a t i v es t e p st h a nt h ea p p r o a c h a p p l y i n ge f i e l dt v f e m a n d c g k e yw o r d s ：f e m ，p m l ，a n s y s ，t v f e m ，c gm i c c g 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 1 绪论 有限元方法是一种近似求解的数值技术。其原理是用许多小的区域来代表 整个连续区域，将无限自由度的问题转化成有限自由度的问题。 1 1 研究背景 随着计算机计算能力的快速发展，电磁场数值计算技术日益成为应用电磁 学领域内的一个研究热点。些复杂的电磁学问题都可以应用数值方法来求解。 常用的数值方法有有限元方法( f e m ) 【1 】，时域有限差分方法( f d t d ) 2 】，矩量法 ( m o m ) 【3 1 ，传输线方法( t l m ) 【4 】等，有限元方法和时域有限差分方法是基于微 分形式的麦克斯韦方程，他们非常适合处理含有不均匀介质的复杂结构，但是 不适合处理具有开放结构的问题。矩量法是用来处理积分形式的麦克斯韦方程 的方法，它适合处理具有开放结构的问题，但不适合处理三维复杂结构。 有限元方法首先被应用在机械和材料领域。它在4 0 年代被第次应用到电 磁场领域，从而得到了广泛的研究。矢量有限元方法【4 】的引入极大的提高了这 项技术的性能。完全匹配层技术( p m l ) 在矢量有限元方法中的成功应用【5 】使得有 限元也能方便的处理具有开放结构的问题，矢量有限元方法还可以与矩量法结 合 6 起来处理具有复杂的具有开放结构的问题。 在有限元的发展中，存在“瓶颈”问题，例如网格的划分与加密是有限元 方法发展的“瓶颈”问题之。目前所采用的自适应网格的划分与加密技术能 比较好地解决这一问题。自适应的网格划分根据求解后的结果对网格进行增加 划分密度的调整，在网格密集区采用新的插值函数，以进一步提高精度，在场 域分布变化剧烈区，进行多次加密。本文采用的a n s y s 就可以达到网格划分技 术要求，利于工程真接使用。 有限元分析是一个极为耗时的工作，而矩阵求解过程占据了整个有限元分析 的9 5 的时间，因此加速矩阵求解是一个重要的研究方向。主要的手段有两种， 一种是生成条件数更好的矩阵，另一种是采用预处理方法预处理生成矩阵，改 善生成矩阵的条件数。在本文中我们综合采取了两种方法来加快求解速度。 1 2 本论文的主要工作 本论文的前半部主要是构建一个基于a n s y s 网格划分的通用矢量有限元 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 平台。这个平台利用a n s y s 建构模型，设置不同的参量，并使用a n s y s 自带 的网格划分系统，控制网格划分后的变量数，以四棱锥为单元，导出的有限元 编程所需的节点坐标以及单元的详细信息。由于a n s y s 得到的是节点和单元信 息，而需要的是边的矢量信息，因此由节点信息生成边信息的转换技术是需要 ：次开发的。此外，完全匹配层( v m l ) 技术，提取s 参数的3 点法和4 点法技术 也被应用到这个平台中。文章末尾，这个平台被用来分析了一些复杂结构的微 波器件，结果和文献资料中的计算结果吻台得很好。 在本文的其后部分，基于矢量和标量混合位的有限元方法( a vt v f e m ) 和 改进的不完全l u 分解预处理c g 迭代方法( v l i c c g ) 被结合起来用于对些典型 微波器件进行宽带分析。在传统的电磁分析中，基于电场强度的矢量有限元方 法幔一t v f e m ) 被广泛采用，然而它所产生的矩阵条件数随着工作频率变低或划 分的网格变细而变差。这是由于曰，t v f e m 强加v d = 0 时与工作频率有关。而 新型的a v t v f e m 由于直接强加v d = 0 ，因而能够显著的改善生成矩阵的条 件数。而a - v t v f e m 所产生的矩阵条件数在某些情况下还是不令人满意的，我 们通过采用m i c 技术来预处理生成矩阵，进一步改善矩阵的条件数。这进一步 加快了c g 方法的迭代求解速度。在本文中，a vt v f e m 方法和m i c c g 求解 技术相结合时，在分析一些典型结构时，能够比传统的e - t v f e m 方法和c g 求 解技术相结合的方法快近1 0 0 倍。 2 硕士论文 查堡歪查鎏垄皇堂兰! 堕壁旦婴窭一一 参考文献 1j m j i n t h p n i t pe l p m e n tm e t h o d i ne l e c t r o m a g n e t i c s ，n e wy o r k ：j o h nw i l e y & s o n s i n c ，1 9 9 3 2 j o h n s o nj h w a n g ，g e n e r a l i z e dm o m e n to f m e t h o d si ne l e c t r o m a g n e t i c s ，n e w y o r k ：j o h nw i l e y s o n s ，1 9 9 0 3 k s y e e ，”n u m e r i c a ls o l u t i o no fi n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si n v o l v i n g m a x w e l l se q u a t i o n si ni s o t r o p i cm e d i a , ”1 e e et r a n s o n a n t e n n a sa n d p r o p a g a t ， v 0 1 1 4 ，p p 3 0 2 3 0 7 ，m a y1 9 6 6 4 m l b a r t o na n dz j c e n d e s ，”n e wv e c t o r f i n i t ee l e m e n t sf o rt h r e e d i m e n s i o n a lm a g n e t i cf i e l dc o m p u t a t i o n ，”j o u r n a o f a p p l i e dp h y s i c s ，v 0 1 6 1 ，p p 3 9 1 9 - 3 9 2 1 ，a p r i l1 9 8 2 5 z s s a c k s ，d m k i n g s l a n d ，r l e ea n d j - f l e e ，”p e r f o r m a n c eo f a l la n i s o t r o p i c a r t i f i c i a la b s o r b e rf o rt r u n c a t i n gf i n i t ee l e m e n tm e s h e s ”，i e e et r a m a n t e n n a sa n d p r o p a g a t i o n ，v 0 1 4 3 ，p p 1 4 6 0 1 4 6 3 ，d e c 1 9 9 5 6 m w a l i ，t h h u b i n ga n dj l d r e w n i a k ，”ah y b r i d f e m m o m t e c h n i q u e f o r e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n ga n dr a d i a t i o nf r o md i e l e c t r i co b j e c t sw i t ha t t a c h e d w i r e s ，”i e e et r a n s o ne l e c t r o m a g n e t i cc o m p a t i b i l i t y ，n o v e m b e r1 9 9 7 3 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 2 ，三维矢量有限元平台一一基于a n s y s 的e m a p 程序 在应用传统的结点有限元方法时，我们遇到了几个严重的问题。首先，我 们观察到了没有物理意义的解的出现，这种解的产生通常是由于该方法未能满 足自由空间中v d = 0 的条件而引起的。其次，我们注意到了该方法在材料界面 和导体表面强加边界条件时的不方便，再次，该方法在处理导体和介质的边缘 或角时的也会遇到困难。 幸运的是，一种崭新的方法已经被提出，这种方法使用所谓矢量或者矢量 元【1 】，自由度被赋予边，由于它只强加了切向连续性条件因而能够处理材料不连 续性问题和金属边界的突变问题【2 】。然而，最重要的是它可以避免没有物理意 义的解的产生【3 1 。 本章中我们将对一个三维矢量有限元平台构建的主要过程以及每个过程所 对应的相关技术进行深入的探讨，本章末尾列出了几个应用此矢量有限元平台 进行计算的例子。 2 1 电磁场中的边值问题 对于一般的时变场，微分形式的麦克斯韦尔方程组的形式为： v x e + 警= 。 ( 2 1 1 ) o i v 肚罢= j ( 2 1 2 ) v d = p( 2 1 3 ) v b = 0 ( 2 1 4 ) 其中e 和h 是指电场和磁场中的复向量，d 和b 分别表示电通量密度和磁通量 密度，它们满足： d = 虚 ( 2 1 5 ) 硕士论文有限元方法在电磁学中的应甩鲤塞 b = 脏i( 2 16 ) 其，i l 口和s 分别表示介质的磁导率和介电常数。由方程( 2i 1 ) ( 2 14 ) 和方程 ( 21 5 ) 、( 2 16 ) 可以推导出矢量波动方程如下： v ( 去v e + k 。s r e = - 掘引 仁”， 其中， ， 和 ，】分别表示相对磁导率和相对介电常数，和z 0 分别表示自由 空问里的波数和自由空间的特征阻抗。 波动方程所要满足的边界条件是： e = 0 ( 2 i8 ) 2 2 有限元中的迦辽金方法 2 2 1 插值函数的选取 本程序选用四面体单元【7 ，他有四个关于结点的线性插值函数为 ( 上1 ，如，) 厶= 击( q 坪+ c y + 4 z ) ( 2 扎1 ) 其中珥，巨，q ，4 表示线性插值函数的系数；厶为线性函数，它在结点i 处为i ， 而在其他结点处为0 ；v 。表示四面体e 单元的体积。 由此定义矢量基函数 w ：( r ) = ( e ，靴；：一：；。) ( 2 212 ) 其中k = j ，z ，6 ；譬表示第茁条边的长度；e ，乓：分别代表第置条矢量边上 的起始结点和终结点的插值函数i 边的方向在图2 2 i 1 中标明，其中边的编号及相关结点和k 。的定义见表 堕主鲨塞宣堡重立鎏垄皇壁堂生塑生旦堕塞 2 图2 2 1 1 ：四面体单元 3 边 结点置 结点如 112 213 31 4 4 - 2 3 542 63 4 表2 2 1 1 ：四面体单元中的边的定义 四面体e 单元内电场e 可以写为： e 。= w 乓 ( 2 2 1 3 ) 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 其中表示基函数的展开系数，w ：表示矢量基函数，t 表示组成单元的边的编 2 2 2 迦辽金方法生成求解矩阵 在矢量波动方程( 2 1 7 ) 等式两边同时点乘w ( r ) ，经过一系列的等价变换得 到：( 注：详细转换过程见附录a ) 去( v e ( r ) ) ( v x w ( r ) ) + 瑶渊r ) w ( r ) 椰( 2 2 2 1 ) = 一j k o z o j ( r ) w ( r ) d r 类似，对任意单元可以得到。 州。菇叫絮嬲) ：2 2 ， + j z o j ( r ) w i ( r ) d v 对于每个单元的加权积分取最小值为0 时，得到此单元上的单元矩阵f 8 】； 譬 7 = 7 ( 2 2 2 3 ) 其中， 残= j 【去( v 州( r ) ) ( v 州( r ) ) ( 2 2 2 4 ) 一瑶w ；( r ) w ：( r ) d v 域一z of j ( r ) w ：( r ) d v ( 氍和或的详细表达式推导参看附录b ) 。 由四面体单元的局部单元矩阵( 2 2 2 2 ) 可生成全局矩阵 h 吲7 = 占r 强加狄利克雷边界条件，方程( 2 2 2 6 ) 可等价为： ：撇 纠 硕士论文 查堡墨查鲨垄皇燮堂主塑查旦堕塞 _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ 此时方程( 2 2 2 6 ) 可进一步等价为， 毛= ( r 一) ( 2 2 2 8 ) 2 3 基于a n s y s 的区域离散和网格划分信息的提取 2 3 1 利用a n s y s 建模和网格划分部分 图2 3 1 ，1a n s y s 的主要控制界面 1 建立模型 在a n s y s 中建模主要有方式，一种是自下而上的方式建立几何模型，一 种是自上向下建立几何模型【6 】。在建立复杂模型时，前一种方法比较常用。它 的步骤是先建立工作平面以便辅助建模；然后利用主菜单中的m o d e l i n g 选项， 直接生成任意关键点或者线、面、各种规则的几何实体，或者由点连成线，线 生成面，面生成体。最后除了这些基本生成工具外，布尔运算工具可以被用来 进行几何体的加、减、相交等运算。 2 ，定义单元属性 8 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 模型建立完以后，在划分网格之前，首先需要对模型中需要用到的单元属 性进行定义。单元属性般包括：单元类型、实常数、材料特性、横截面类型 和单元坐标系。在本文中我们主要用到的是单元类型材料特性的定义【4 】。 3 网格划分 我们可以通过设定智能尺寸来进行智能网格划分，网格划分器对将要划分 网格的体上的所有线先估算单元边长大小，对几何体上的弯曲近似区域的线进 行细化，自动生成合理形状的单元和单元尺寸分布。而我们有时需要采用自定 义单元尺寸来划分网格。自定义单元尺寸包括指定单元边长，线上划分单元的 数目，所选关键点附近单元尺寸等选项。选定后，通过m e s h i n gt o o l 子菜单对 指定区域划分网格。 对于一个已划分网格的模型，如果想在感兴趣的区域得到更精确的解， a n s y s 可以对既有网格进行修改，这可以是对网格进行局部细化或清除。 a n s y s 中的网格的形成更多地考虑了整体区域的结构特性，因此划分得到 的网格不均匀，而且在不连续区域a n s y s 本身会自然细化网格。 2 3 2 基于a n s y s 网格划分信息的有限元处理部分 从a n s y s 中导出的节点信息包含它的全局编码和直角坐标信息，单元信息 包含其四个节点全局编码，并且每个单元四个节点的输出顺序是统一的，符合 局部编码要求。但我们需要的是边的信息，因此在程序中需要添加将节点信息 转化为边信息的处理部分。 程序处理的主要思想是首先将每个单元的节点全局编码生成边的全局编 码r 从第一个单元开始，个边需要两个节点来确定，边的方向是从全局编号 小的结点指向全局编号大的结点。如此类推，依次在每个单元做相同的工作， 但是每生成一个边，先要确定它与已经生成的边是否重合，以便于边的全局编 号。对边编号完成后，还要将生成面的编号，原理和给边做编号一样。这一步 的工作主要是为了确定处在最外层边界上的面，以便于直接强加边界条件到处 于最外层边界上的边上。 2 4 求解器的选取 方程组的求解是有限元分析的最后一步，最终的方程组通常是下列形式： 9 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 2 4 1 求解方法的比较 a x = b ( 2 4 1 ) 我们通常把线性代数方程组的解法分为直接法和迭代法两类。直接解法包 含高颠消去法、列主元高斯消去法、各类分解法等多种解法；迭代方法有高斯 一赛德尔迭代法，逐次超松弛迭代法以及共轭梯度法等等。由于迭代法的特征 在于将求解方程组的问题转化为构造一个无限且收敛的序列，其极限就是方程 组的解。其相对于直接解法的优点是程序编制较为简单，而且显著的节省内存。 凶为有限元法的工程运用常得到的是高度稀疏的超大规模的代数方程组，所以 为寻求更佳的计算效率和经济性，一般选用迭代法求解。 在所有的迭代算法中，共轭梯度法是最常用的一种方法之一。由于它具有 算法简单、存储需求小等优点，十分适合于大规模的求解问题。在很多领域得 到了广泛的应用。共轭梯度算法在原理上，当迭代步骤次数达到方程的未知量 的数目时，它必能获得精确解。由于此原因，共轭梯度法也称为半直接法或半 迭代法。 2 4 2 共轭梯度算法 由于共轭梯度法一般只适用于正定方程的求解，而我们的有限元模拟技术 最后得出的为复数的对称矩阵。但是通过简单的变换很容易将一个非正定的线 性方程组变为一个正定的线性系统，而不改变原来问题的解。 程序中采用的算法如下： = b 一缸( 2 4 2 1 ) ( 2 4 2 2 ) 其中，下标i 表示第i 次迭代后结果，= ( a ) 7 ，段是未知方向或搜索向 量，表示第k 次迭代的一个向量，霸曼示一个剩余向量。 对女= ，2 ，3 咒进行迭代 1 0 南 = n 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研_ 窭 1 吼2 ( a h p t , a n p k ) 丸“2 x k + 口 p k + 】= 一口i 仞 ( 2 4 2 3 ) ( 2 4 2 4 ) ( 2 4 2 5 ) ( 2 4 2 6 ) n + i = p k + 屈气十i ( 2 4 2 7 ) 当满足下式时终止 瞥“ 亿4 2 s ， 2 5 完全匹配层 一般来说，对偏微分形式的麦克斯韦方程进行处理的方法( 如时域有限差分 法和有限元法) ，在处理具有开放结构的问题时，需要对计算区域进行截断。 对计算区域进行截断的方法有多种。一种就是基于一维波动方程，称为 e n g q u i s t m a j d a 吸收边界条件方法。另一种方法就是构建虚拟的各向异性有损耗 介质吸收电磁波。b e r e n g e r 引入一个新颖有效的方法，称为完全匹配层方法【1 2 】。 电磁波以任意的角度入射到该介质表面而没有反射。这些匹配层本身是有损耗 的，电磁波在这些介质层内会被明显的衰减。b e r e n g e r 推出了应用于f d t d 的 p m l 公式。s a c k s 和其他的一些研究者将p m l 的概念引入到f e me p 1 3 1 。 运用完全匹配层的优点是它完全满足麦克斯韦尔方程组。用于p m l 域的麦 克斯韦尔方程组的形式如下， v 同e = 0 v 翮h = o v x e = 一，w 卢】h 一【d _ 】h v x h = 一少f 习e - o r e e( 2 5 1 ) 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 表示 其中，阻 ，【】分别表示p m l 域内有效磁导率和介电常数。它们可以如下 缸】- 十墨0 0 j w h = 岛 o 。+ 宰 o 。 j w o0 段+ 孕 j w 。+ 堕00 j w o 毛+ 拿 o 。 j w o0 t + 拿 ，w ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) 这样的媒质被称为对角各向异性介质。平面波从自由空间入射到p m l 层表 面上时，如图2 5 1 所示 图2 5 1 平面波从自由空间入射到对角各向异性介质时形成的反射 入射边界面上的平面波可以分解为t e 和1 m 模式。我们先考虑t e 模式。 在如图2 5 1 中的波的传播方向上，入射，反射和传输场如下式描述， e ( r ) = 如一粥( 8 “8 ”“8 。) 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 e ，( ，) ；r 髓e j e 一廊( s i n 8 x ”引 e ，( r ) = 7 他王k 多p 一心( 、厍s i n o l x + 五c 。s b ：)( 2 5 4 ) 其中r ”和7 ”分别是反射和传输系数。在分界面上，电场满足如下条件： 由电场连续性条件： i + r ”= t ” ( 2 5 5 ) 由相位连续性条件： 4 f f s i n e , = s i n q( 2 5 6 ) 由磁场x 方向上的分量的连续性导出： c o s o , 一r r e c o s o , = ? ”c o s 0 ,( 2 5 7 ) 由( 2 5 ，5 7 ) 方程解出r ” 同样可以得到r t m 的公式： r 弛= 尺讫= ( 2 5 9 ) 建立公式的个目标就是为了获得一个无反射接口，因此在运用等式( 2 5 6 ) 时，可以直接使抛= 1 。因为适当选择6 和c ，联立等式( 2 。5 8 ) 、( 2 5 9 ) 可以看到 当n = 6 可以得到零反射。这样口= 6 = = 口一j 。由此计算出来的是有损耗的 介质。在此介质中的波长是由口决定的，夕决定了衰减程度。如果将所要的无 反射面设在x o y 平面上，我们就可以得到， 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 沁 = k 】- 口一j , o 0 o 0 a 1 8 0 o o d 七3 8 叠七秽 ( 2 5 1 0 ) 利用完全匹配层作为吸收边界条件的主要优点是：一、当电磁波以任何入 射角度入射都没有反射波；二、由于它保持了f e m 矩阵的稀疏特性，所以这样 的矩阵系统也可以简单地进行求解。a ，6 ，p 的取值依赖于波的传播方向和 p m l 层本身的位置( p m l 层可以设在面，边或者角落) 。 2 6 有限元法后处理技术 有限元方法求出了微波器件电场分布后，我们可以通过三点法或四点法直 接求解不连续区域的s 参量。 2 6 1 求解s 参量的三点法 任意含有不连续性结构的二端口微波结构都可以用等效为图2 6 1 1 所示的 等效二端口微波网络。三点法的思想是用p m l 来模拟一端口的匹配负载，从而 结合有限元方法来计算此二端口网络的s 参数。 1 4 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 端 口 _ _ ii ； ； i i ；端 i| ： l 口p m l ii：j 一 li ；! i - z i ：。z l i；不均匀区域z j l 参考界面t 1参考界面t 2 图2 6 1 1 加入p m l 层的微波结构 上图所不的微波等效网络中，选取两个参考界面t 1 和t 2 ，进入不连续区域 的为入射正方向，即z 方向。 u i = a e 一脚+ 酣4 一q i 6 1 n u i “= a e 一纬“1 + 鼬岛铀( 2 6 1 2 ) u j = c e 一牌2 ，+ d e s & 。 ( 2 613 ) 由此可以得到( 注：s 参量的推导公式详见附录c ) ： = 舡 ( 2 6 1 4 ) $ 2 1 d a 抄j 一 ( 2 觚5 ) 然后，我们将p m l 和激励源互换， 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 指示正方向 盐卜兮 方向 端ii ； li t 口i ： ； il p m l _ l：ll l!； li z j ；不均匀区域jz jz j + 1 同样有 由此可以得到 参考界面t 1参考界面t 2 图2 6 1 2 加入p m l 层的微波结构 u i = 矗e _ i 自p z l + 譬e i 圣一 u ：= c e - j # , 2 ，+ d * e j z ，2 = c + p 一珥2 h + d p 埠2 h 8 1 2 奚扩幽飞 耻争2 铀 端 口 二 ( 2 6 1 6 ) ( 2 6 1 7 ) ( 2 6 1 8 ) ( 2 6 ，1 9 ) r 2 6 1 1 0 ) 2 6 2 求解s 参量的四点法 任意含有不连续性结构的二端口微波结构都可以用等效为图2 6 2 i 所示的 1 6 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研塞 等效二端口微波网络。四点法的主要思想是对同一结构在二端口两端分两次分 别设置源和负载。用有限元方法计算场强，再根据s 参数的定义，联立方程组 求解等效二端口微波网络的s 参数。 端 口 指向方向 il ； ；il i il ： j ii ： ll：ii ， ；il z i 1z l i 不均匀区域 ：7 ，； ： 厶j l j + l l 参考界面t 1参考界面t 2 图示2 6 2 1 ：不均匀区域等效微波网络 首先在端口l 处加入激励源，端口2 短路，得到一组等效电压公式，然后 在端口2 处加入激励源，端口1 处短路。由此可以解得s 参量( 注：详见附录d ) ： 2 7 数值结果 为了验证上述理论的正确性，本文首先分析计算了矩形波导内部填充全高 1 7 警 一一萨一一沙 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 介质块结构在工作频段上的s 参数，具体结构如图2 7 1 ( n ) 所示，其中a = 2 2 8 6 ， b ：1 0 1 6 ，w = 1 2 m m ，l = 6 m m ，= 8 2 0 。图2 7 1 ( 扫) 是a n s y s 中该结构的实 体模掣及网格划分示意图。图2 7 1 ( c ) 给出了由两种后处理方法计算的s l l 参数 值与文献中结果的比较，吻合得很好。其中，应用三点法分析时未知边的个数 为3 7 5 4 ，强加边的个数为2 4 6 0 ；应用四点法分析时，未知边的卜数为2 9 3 6 ，强 加边的个数为2 0 7 3 。 进一步地，对波导内部填充半高介质块结构的s 参数进行了计算，结构如 图2 7 2 ( 口) 所示，其中a = 2 m ，b = l m ，c = 0 8 8 8 m ，d = 0 3 9 9 m ，w = o 8 m ，s = 6 e o 。 图2 7 1 ( 6 ) 是a n s y s 中该结构的实体模型及网格划分示意图。图2 7 2 ( c ) 给出了 由两种后处理方法得到的该结构在工作频段上的s 参数，与文献中结果比较， 吻合得较好。其中应用四点法分析时，未知边的个数为2 4 5 6 ，强加边的个数为 9 8 7 。 再次，对圆柱形的空腔谐振器结构的s 参数进行了计算，图2 7 3 ( a ) 给出了 圆柱形的空腔谐振器的结构图，两端为w r 7 5 波导，通过两个小矩形波导与圆 柱形的谐振腔相接。图2 , 7 3 ) 是该结构在a n s y s 中建立的模型以及对该模型 的网格划分示意图。图2 7 3 ( c ) 给出了通过三点法求得的s 参量，与参考文献结 果比较，吻合的较好。在使用三点法分析时，未知边个数为6 2 2 7 4 ，强加边的个 数为8 3 7 3 。 最后，对矩形波导滤波器结构的s 参数进行了计算，图2 7 4 ( 口) 给出的是矩 形波导滤波器结构图，其中a = 1 9 0 5 m m ，b = 9 5 2 5 m m ，t = 2 0 m m ，a l = 1 1 0 5 r a m a 2 = 7 9 5 m m ，a 3 = 7 2 0 r a m ，h = 1 1 8 3 m m ，1 2 = 1 3 7 6 m m ，1 3 = 1 4 0 8 m m 。图2 7 钺砩 是该结构在a n s y s 中建立的模型以及对该模型的网格划分示意图。图2 7 4 ( c ) 给出了通过三点法求得的s 参量，与参考文献结果比较，吻合的较好。在使用 三点法分析时，未知边个数为3 7 8 4 4 ，强加边的个数为1 0 8 0 2 。 上面四个例子的正确分析，充分说明e m a p 程序的正确性和通用性。 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 图2 7 1 ( a ) 矩形波导内部填充全高介质块的结构图 图2 7 1 ( b ) 矩形波导内部填充全高介质块结构在a n s y s 中的模型及网格划分示意图 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 0 9 0 8 0 7 o 号0 6 兰 0 5 0 - 4 0 3 0 2 0 1 0 8 8 59 9 5 p r e q u l o e n c y 揽1 1 11 15 1 21 25 i u h z ) 图2 7 1 ( c ) 矩形波导内部填充全高介质块结构在工作频段上的s 参数图 图2 7 2 ( a ) 矩形波导内部填充半高介质块的结构图 2 0 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 图2 ，72 ( b ) 矩形波导内部填充半高介质块结构在a n s y s 中的模型及网格划分示意图 03 0 2 o 1 0 1 51 7 1 92 1 k o b 图2 7 2 ( 0 矩形波导内部填充半高介质块结构在工作频段上的s 参数图 i 9 8 7 6 5 d 0 o o 0 0 0 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 图2 , 8 _ 3 0 ) 圆柱体空腔谐振器的结构图 图2 7 3 ( b ) 圆柱体空腔谐振器在a n s y s 中的模型及网格划分示意图 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 0 _ 5 1 0 一1 5 寻 曼一2 0 _ 2 5 3 0 一3 5 1 11 2 1 31 4 f r e q u e n c y g h z 图2 7 3 ( c ) 圆柱体空腔谐振器在工作频段上的s 参数图 图2 8 4 ( a ) 矩形波导滤波器结构 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 图2 7 4 ( b ) 波导滤波器在a n s y s 中的模型及网格划分示意图 1 2 1 31 4 f r e q u e n c y ( g h z ) 图2 7 ，4 e e = c v ( 3 2 1 t 3 ) 其中v 和e 分别表示各自基函数系上的系数向量。 。 3 2 2 电场方程 无损耗媒质中的无源矢量波动方程是 v 【以】一v x e 一瑶【】昱= o ( 3 2 2 1 ) 以 和 】分别表示相对磁导率和相对介电常数，k o 表示自由空间波数。 在边界q 上满足的边界条件为： n x h = k 在b 上 n x e = 0 在r = f - 0 上 q 为边界面r 包围的有限区域，n 为边界r 上的法向矢量。 由方程( 3 2 2 1 3 ) ，运用逝辽金方法解有限元方程， e h = 粥 结合基函数w 鳓导出方程组的代数形式。 ( i s 。卜2 肛。= ( 3 2 2 2 ) ( 3 2 2 3 ) ( 3 2 2 4 ) ( 3 2 2 5 ) 未知的系数向量= c o l ( e i ) ，矩阵单元l 鼢j 和j ，右侧的表示如下 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 【】。= ( v w ) 【辟兀v ) 】d q ( 3 _ 2 2 6 ) 阮l = l 髀m j d q ( 3 2 2 7 ) k 户一觑彬置s d f ( 3 2 2 - 8 ) 从波动方程( 3 2 2 1 ) 知道，对于任何一种求解精度，总存在一个固定频率， 当工作频率低于它时，在无源区v d = 0 的条件不会很明显的强加在有限元矩阵 中。这时候必须注意较差的条件数会影响有限元矩阵求解的精确性。 3 2 3l a g r a n g e 乘法算予以及矢量标量混合位的方程 为了解决无源情况下由于场强公式对波数值的依赖而引起的稳定性问题， 我们引入l a g r a i l g e 乘法算子五来强加v d = o 下面是l 鹆r a n g e 算法公式， v 脾】- 1 v e 一【t 】( 瑶露+ 钾五) = o ( 3 2 3 1 ) v 【】( 邱+ ，2 v 2 ) = 0 ( 3 2 3 2 ) 矗i ( 以 - 1v x e ) 未( m ) = 。矾上( 3 z 3 ) n x e = o ，旯= o 在r 上 ( 3 2 3 4 ) 其中，和y 是恒定值。 通过下面方程引入磁矢量位a 和电标量位v ， v x a = 一j 【所】日( 3 2 3 5 ) 印a = - y 2 v - , a v v( 3 2 3 6 ) 肚忡罢v y 2 3 ，) 将方程( 3 2 3 5 ) ，( 3 2 3 5 ) 代入矢量波动方程，并结合控制条件，上述方程就转化 为： v 【”r v x a 一【】( 瑶a + j 钾y ) = o( 3 2 。3 8 ) 硕士论文 有限元方法在电磁学中的应用研究 v 【】( 肚+ ，2 v v ) = o ( 3 2 3 9 ) 稿j 州- ! v a ) x n - k e , 未( m y ) = 。( 3 2 3 1 0 ) n a = o ，v = 0 o n k 这与方程( 3 2 3 1 ) 一( 3 2 3 4 ) 在形式上等价。 离散后，求解( a ，y ) 的方程组为 f 3 2 3 1 1 ) 竖w l 掣乳削卧肼盯1 ( 牡驯擒( 3 _ ：3 1 2 ) 2 一j lw k ，d i ? 、 7 一m ( 肚+ y 2 v v ) d 9 2 = 一j 笪k o 翠f r v q k d r v 嗥 ( 3 2 3 _ 1 3 ) 当我们要把方程( 3 2 3 1 2 ) 的基函数限定在梯度空间内时，我们选择 v qjq ) 作为一个基函数。这样，( 3 2 3 1 2 ) 可以化简为： 一v q 【】_ 1 ( k 2 0 a + f l v v ) d q 一甄l v q 墨d r v q 3 。2 3 1 4 同时，通过方程( 3 2 3 1 3 ) ，可以得到： ( y 2 k 0 2 一2 ) v 嗥【】a d q = ( ，2 轷2 ) ，景l v q k , d r ( y 2 k 0 2 一2 ) v 皑【 v q = o v q v o( 3 2 3 1 5 ) v q v o( 3 2 3 1 6 ) 在含有限定条件时，2 2 2 ，方程是l a p l a c e 问题的离散形式，此时： ys 0 在。内 f 3 2 3 1 7 ) 因此在含有限定条件时，l a g r a n g e 乘法算符y 恒为零，与7 , 2 的值无关。 当不含限定条件时，矿2 = 2 ，方程( 3 2 3 1 2 ) 和( 3 2 3 1 3 ) 确保最后的解符合 3 0 硕士论文有限元方法在电磁学中的应用研究 欠最波动方程和无源条件。最终解空间为n v 维，此时有 肚，+ y 2 vv l = 声a 2 + ，2 v k s：矗麓孕33一-矿bt。m。4】j1。p唧4。l童kom c s ：s ， l 一声【肘。， 一矿【。】l l 唧ji 云i ”一7 其中工。= c o l ( a i ) 和善，= c o l ( o ) 是与a ，y 相关联的系数向量。方程( 3 2 3 6 ) 的两 r v ，t 。一j l v q , i e d f( 3 2 3 2 0 ) 【m 。一。= 彬【q d q ( 3 2 3 2 1 ) m 。l = l v 鲍f 】w , m a ( 3 2