（凝聚态物理专业论文）对动脉血管网络血液输运特性的试探性研究.pdf

华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 i 摘 要 无论是在自然界里，还是在人类社会活动中，处处都有树状分叉网络的身影。 其中，以自然界里维持动植物生命活动的脉管系统（如哺乳动物的呼吸系统、循环 系统等，植物的根系、茎杆、叶脉等）最为典型。尽管生物有机体的物种纷繁复杂， 形态千奇百怪，但是它们给组织供应水、空气和养分的输运网络在结构上却是如此 接近，以至我们只用选取一个类分形树状分叉网络模型就可以研究它们共同的输运 特性。 选取怎样的一个树状分叉网络模型来研究血液在血管的输运特性，是本文所关 注的焦点。本文在第一章综述了分形及类分形分叉网络的基本概念和特性，并介绍 了类分形树状网络的研究进展；然后简述了动脉血管网络血液流动的基本特点。文 中的第二章介绍了血液动力学的理论基础，即血管的基本构造、血管的力学特性和 血管的应力与血管重建。第三章为全文的重点，文中沿用了 murray的改进模型（即 wbe 类分形树状分叉模型） ，利用血液动力学中血管重建的重要理论，依据 murray 的最优化原则， 重新研究了血液在该网络中的输运特性； 最后， 将这个最优化的 wbe 模型运用于生物个体状态演化过程中，发现在生物个体生长或衰退时，由该模型得 出的毛细血管的血压和血流流速的变化结果与实际情况不符，而且该结果是不利于 生物个体生长。本文对 murray定律的直接运用及其模型的简单性提出了质疑，并指 出随生物生理状态的不断演化，生理最优化状态在不同的演化阶段可能并不相同， 最优化应该考虑到各阶段的演化要求。 关键词：类分形树状网络 管壁剪切应力 血管重建 最优化 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 ii abstract whether within the nature, or in the social territory of human beings, always are there some forms of tree- like network to be existent. above all, the network forms, which exist in vascular systems of all kinds of animals and plants, are the most typical ones. such as respiratory systems and circulatory systems of mammals, roots of plants and the vascular systems within botanical stems and leaves, and so on. diverse as the biologic forms are, transport networks supply tissues with water, air and nutrients, etc. , are allied structurally. so we just need to select a fractal- like tree branching network model to study the basic transport properties of these systems. the thesis focuses on selecting a certain branching network model, which bears several specific characteristics, to simulate vascular systems for studying blood transport properties. in the thesis, the progresses on study of theory and applications about the fractal- like tree networks were briefly reviewed at first. then, the theoretical basis of hemodynamics were introduced specifically, including constitution and mechanical properties of blood vessels, stress in vessels, and vascular remodeling. thirdly, the thesis studied the blood transport properties again through a vascular network which was simulated by the wbe fractal- like tree network model. but, here, i took wall shear stress and vascular remodeling into account, and made murray s optimization as the core idea throughout the thesis. above all, the optimal model was applied in the evolvement of biologic individual, namely, in the processes of growth or decline. i found that blood pressure and velocity in capillaries experienced abnormal changes which deviated the facts. the results from the deduction showed that an optimal vascular tree may be unfit for growth. finally, i questioned the simplicity and direct application of the murray s and the wbe s model, and i presented some of my opinions subsequently. key words: fractal- like tree network, wall shear stress, vascular remodeling, optimization 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密 ，在_ _年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 本论文属于 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 1 综 述 1.1 分形理论基础 1.1.1 分形的定义1- 5 在数学的发展历程中，不同的研究对象区分了经典数学和现代数学：欧几里德规 则几何结构和牛顿连续动力学体系是传统经典数学所热衷的对象；现代数学则是以康 托尔集和皮亚诺曲线为标志。经典的几何学研究的是规则而光滑的几何构型，但是， 面对自然界中千姿百态的自然构型：如绵延起伏的群山，蜿蜒曲折的河流，犬牙交错 的海岸线等，这些虽然处处连续，但非处处可微的奇异曲线，显得无能为力。传统的 数学家将那些不够光滑和不够规则的集合和函数视为“病态”的，不予理睬。然而， 恰是这些集合和函数，比经典的几何图形能更好地反映许多自然现象，从而给经典数 学带来了危机。分形几何恰好为研究这样的不规则集提供了一个总的框架。 “分形” （fractal）这个名词是数学家 mandelbrot 创造的，用以表征那些复杂的 图形和过程。分形几何突破了传统几何的局限，认为分形物体的空间维数可以不是 整数。分形几何认为，对于任何一个有确定维数的几何体，若用与它相同维数的“ 尺” 去量度，则可以得到一确定的数值m；若用低于它维数的尺去量它，结果为无穷大； 若用高于它维数的“ 尺” 去量它，结果为 0。分形物体的量度( )m l与测量的尺度l服 从如下的幂律关系: ( ) f d m ll (1- 1- 1) 式中 f d为分形维数。( )m l可以是一个物体的质量、体积、面积或曲线的长度， l为尺度。方程(1- 1- 1)隐含着分形物体的自相似特性。在分形的概念使用之前，一些 数学家就提出过不少复杂和不光滑的集合，如 cantor 集、 koch曲线、 sierpinski垫片、 地毯和海绵等。这些都属于规则分形图形，它们具有严格的自相似性。而自然界的自 然构型所具有的不光滑性和复杂性往往是随机的，这类集合的自相似性是近似的或统 计意义上的，这种自相似性只存在于标度不变区域，超出标度不变区域，自相似性不 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 复存在。这类集合为不规则分形。 至今，分形还没有一个严格的定义。1982 年，mandelbrot 定义分形是 housdorff （豪斯道夫）维数大于拓扑维数的集合。但是，这个定义不合理，它把一些明显应当 是分形的集排除了。四年后 mandelbrot给出了一个更广泛、更通俗的定义：分形是局 部和整体有某种方式相似的形。人们还提出了其它不同的定义，也或多或少的有些缺 点。 一般说来，分形具有下述典型的性质： （1）具有精细的结构，即有任意小的比例的细节。 （2）非常的不规则，以至它的整体与局部都不能用传统的语言来描述。 （3）有某种自相似的形式，可以是近似的或是统计的。 （4）分形维数一般大于它的拓扑维数。 （5）可以用非常简单的方法来定义其产生的过程，可以由迭代产生。 1.1.2 分形维数与标度不变性 分形几何可以用来描述自然物体的复杂性。 不管其起源或构造方法如何，所有的 分形都具有一个重要的特征：可通过一个特征数，即分形维数测定其不平度、复杂性 或卷积度。通常我们讨论问题都在欧氏空间，其维数都是整数d。例如， 一条直线 称为一维，一个圆定义为二维，一个立方体定义为三维。除欧几里德空间（整数）维 数外，还有豪斯道夫维数、拓扑维数、相似维数等等。 首先介绍豪斯道夫维数。这是数学家豪斯道夫于 1919 年引进的。如果取一个立 方体，将它的每一个边长放大二倍，放大后的图形正好是原来立方体的八倍，则用 数学公式表达为 3 28= 同样，对于一个d维的物体，若将它每一维的尺寸放大l倍，则会得到n个原来 的物体，这时有 d ln= 对它取对数，得到 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3 ln ln n d l = (1- 1- 2) d便成为豪斯道夫维数(hausdorff dimension), 人们常把 hausdorff dimension 为分 数的物体称为分形，d值称为分形维数，简称分维。 从测度学的角度来看，要测出一个面积s，可以用半径为r的小圆去覆盖它， 则所需小圆的数目是 22 ss n rr = 可见，r愈小，n就愈大。同理，要测定一个体积v，可用半径为r的小球去填充， 所需小球的数目是 3 3 4 3 vv n r r = 推广到高维情况：对于一个d维的物体a，所需的小球数是 d a n r (1- 1- 3) 我们从两方面来讨论，首先，保持小球半径r不变，让物体每一维的尺寸放大l倍， 这时物体放大k，显然小球数变成 d ka n r (1- 1- 4) 不妨引入一个比例常数 ，则 d ka n r = (1- 1- 4 ) 其次我们保持a不变，而把小球的半径缩小l倍，这时所需的小球数必然也是 n， d a n r l = (1- 1- 5) 将(1- 1- 4)式和(1- 1- 5)式进行比较，得到 d kl= 取对数，得 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 4 ln ln k d l = (1- 1- 6) 可见， (1- 1- 6)式与(1- 1- 2)式完全相同， 所以(1- 1- 3)式也可以作为豪斯道夫维数的定义。 接着来讨论拓扑维数，设想有两个带两个把手的水壶，均用任意可塑的橡皮泥 做成。不需弄碎水壶，就可以将一个水壶连续地形变为另一个水壶，从拓扑学角度 讲，它们具有相同的拓扑维数。同样地，任何海洋岛的海岸线，在拓扑上都等价于 一个圆，即它们的拓扑维数d都等于 1。 于是，对远离海岸的一群卫星岛，它们的 海岸线在拓扑上都等价于圆，也就是说，不同的海岸线在拓扑学上是相同的。拓扑 维数是不随几何对象形状变化而变化的整数维数。然而，从分形的角度看，不同海 岛的海岸线，它们的分维是不同的。只是在欧几里德空间里，拓扑维数才等于豪斯 道夫维数(即分维)。对于分形来说，其豪斯道夫维数总是大于拓扑维数。所以，分形 也可以这样来定义：它是豪斯道夫维数大于拓扑维数的集合。 最 后 来介绍最易理解且与 分形维数有密切关系的相似维数 (similarity dimension)。首先，把线段、正方形和立方体的边分成两等份，这样，线段成为一半 长度的两个线段，正方形则是边长为原来边长的1 2的四个小正方形，而立方体则 可分为八个小立方体，其边长也为原来边长的1 2。这样，原来的线段、正方形、 立方体可被看成为分别由 2、4、8 个把全体分成1 2的相似形组成。2、4、8 可改写 为 1 2 、 2 2、 3 2 ，这里出现的指数 1、2、3 分别与其图形的经验维数相一致。一般 地，如果某图形是由全体缩小为1 a的 d a个相似图形构成的，那么此指数d就具 有维数的意义。此维数称之为相似维数。相似维数常用 s d 表示。按照其定义， s d 完全没有是整数的必要。如某图形是由全体缩小为1 a的b个相似图形构成的，即 s d ba=，所以相似维数 s d 为 ln ln s b d a = (1- 1- 7) 相似维数的适用范围非常有限，只有对严格自相似性的有规分形，才能应用这个维 数。 除了上述的三种维数以外，常见的还有盒维数、填充维数、信息维数、谱维数、 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 5 容量维数、lyapunov 维数等等，它们各自有不同的定义，以及不同的应用。在有关 分形的论文中， 有不少关于维数的定义， 这是因为还没有找到任何事物都适用的定义。 分形最突出的特性是自相似性，也就是所谓的标度不变性。它的自相似特性在数 学上可表示为 ： ()( ) m frf r= (1- 1- 8) 即把r 扩大为 r 后，新的函数增大为原函数的 m 倍（ 和m 都是常数） ， 即标度改变了 后函数具有自相似性（新函数是膨胀的或收缩的原函数）或标度不 变性。说得严格一点，此时函数具有标度变换下的不变性。 m 就是所谓的标度因子。 满足这一性质的简单函数是幂函数 ( ) m f rr: (1- 1- 9) 这和式(1- 1- 1)的幂律关系一致，说明，所有的分形行为都遵循一定的幂定律。显 然，幂函数的标度不变性可以扩展到无限个数量级，取间断值的规则分形的测度变化 也是无限的。但实验中的不规则分形的标度不变性常常有限，即幂律适用范围是有限 的，这是因为标度不变性的上限受到整个图形尺寸的限制，下限受到图形最小像素的 限制（如作为像素的原子、分子、分形图形的枝杈宽度等） 。 1.2 类分形分叉网络的输运理论基础 1.2.1 分叉网络的研究背景 早在 19 世纪初期，w. r. hess 和 d. w. thompson等人开展了对生物体系的血液 输运系统、呼吸系统的研究，流体在分叉网络中的传输问题应运而生。1926 年,c. d. murray 根据达尔文进化论的观点，提出了血液在血管中传输能耗最小的原则，进而 提出了血管网络的最优化模型，即：在流体体积固定的前提下，当流体阻力最小时， 心血管直径存在最优比例关系（murray s law） ，公式表达为6： 333 012 ddd=+ (1- 2- 1) 式中： 0 d 、 1 d 、 2 d 分别为母管及两个子管直径(见图 1.1)。特殊情况下，当 12 dd=时， 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 6 可以得到： 1 3 01 /2dd = (1- 2- 2) 上述的这些结论是基于管内流体为层流流态的假设得到的，即rere2000 c =。其 中re为流体雷诺数，rec为下临界雷诺数。 d0 d1 d2 图 1.1 血管分叉示意图 同年，c. d. murray基于同样的优化原则，得出分叉管之间的夹角也存在着最优 值2。 a. bejan在2000年一篇文章中推广11了murray law, 并提出管内流体为紊流流 态，即rere2000 c =时，在对称的分叉网络中，母管和子管的直径最优比为： 3 7 01 /2dd = (1- 2- 3) 它们的夹角最优值为 1.307rad，约为 74.919 度。结论和生理学家 uylings 于 1977 年 研究肺部支气管网络和动脉血管网络的结论一致42。 在 c. d. murray之后，越来越多的学者投入到分叉网络的研究中，总的说来集 中在如下三个领域： (1) 生命科学领域内的分叉网络8- 10。在这个领域里，流体在血管、气管 及植物叶脉、根系等介质的输运特性被广泛研究，并取得了一系列具 有重要理论与应用价值的成果； (2) 工程及新型材料中的分叉网络12- 16。该领域中，a. bejan通过优化一 点和有限体积之间的传导过程（热传导和流体传导），提出了“建构 理论(constructal theory)”17, 18。利用该理论，他的研究小组依据不 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 7 同的优化目标如：最小流阻，最短路径长度、最小熵等等，设计了相 应树状分叉网络系统模型，并将这些模型应用到工程设计、热力学、 燃料电池等众多领域。他们的优化结果表明树状分叉网络模型不论是 对自然界分叉网络系统的模拟，还是对工业材料的设计改进，都具有 独特的优势。 (3) 在经济、能源、信息、交通等其它领域19- 21。 1.2.2 类分形树状分叉网络的几何结构特性 树状分叉网络形式各异、结构错综复杂，研究发现众多树状分叉网络具有分形 特征8- 11, 21, 24。我们知道，对于实际的工程设计或某种具体材料，其体积（面积）是 有限的，套嵌其中的精细分叉结构不可能无限制的迭代生长下去；同样，动物脉管 网络的自相似分叉也有一个尽头，例如动脉血管分叉网络终结于毛细血管。所以， 将这一类树状分叉网络统称为类分形树状分叉网络25- 26。 目前， 树状分叉网络大体上被总结为三种基本的模型： y- shape、 t- shape、 h- shape （见图 1.2） 。 (a) (b) (c) (a)y - shape 分叉网络；(b)t- shape 分叉网络；(c)h- shape 分叉网络 图 1.2 树状分叉网络模型 y- shape是应用最为广泛的一种树状分叉网络，自然界中绝大部分树状分叉网络 都可以简化为 y- shape 模型，所以这种分叉网络是研究人员十分感兴趣的研究对象。 murray 在研究血管网络时采用的就是该模型6；后面我们沿用的 wbe 模型8就是 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 8 y- shape的特例（分叉角度为零） 。这里我们就以规则的 y- shape 分叉模型为例（见图 1.3） ，介绍分形分叉树状网络模型的几何特性。 lk + 1 lk dk dk + 1 图 1.3 第k和(1)k +级 y - shape 分叉管网示意图 在图 1.3 中， k d 和 k l 分别为第k级分叉管的直径和长度， 1k d + 和 1k l + 分别为第 (1)k +级分叉管的直径和长度，为分叉角度。一般来说，分叉网络第 k 级母管在第 k+1 级将分叉为 k n （对于 y- shape 模型，2 k n =）个子管。 若分叉网络的最大分叉级 数为n，引进比例因子： 1/kkk ll + =, 1/kkk dd + = ()0,1,2kn=l (1- 2- 4) 分叉网络具有分形特征，引用 west 等人8的结论，令 k =, k =和 k nn=， 可以得到： 0 kkn kn lll =， 0 kk n kn ddd = (1- 2- 5) 根据 mandelbrot 1对分形的定义，有： l d n =, d d n = (1- 2- 6) 其中 l d 为分叉管长度分布分形维数， d d 为分叉管直径分布分形维数，在 y- shape网 络中2n =。进一步，我们可以得到： ln/ln(1/ ) l dn=, ln/ln(1/) d dn= (1- 2- 7) 一般的， l d 、 d d 的值在 13 之间，相应的、的值在 0.50.794 之间。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 9 1.2.3 类分形树状分叉网络的输运特性 类分形分叉网络具有高效独特的输运特性，这和其结构的独特性密切相关。 xu和 yu29研究了层流流体在平行和串联模型(parallel and series models)网络 （点 到线）的流动特性，并给出了其有效渗透率的解析表达式。他们将分叉网络的有效 渗透率与传统平行管道（没有分叉）网络作了比较分析，发现类分形树状网络能够 提供比传统网络高得多的有效渗透率。他们在另外一篇文献中30，推导出了分形盘 状分叉网络(fractal disk- shaped branched network)的有效渗透率表达式（点到圆） ，并 与传统平行网络比较，得出了与前面同样的结论。类分形树状分叉网络比传统的平 行管网具有更强的流体输运能力。 chen和 yu58将类分形树状网络嵌套于母体材料中，通过调节结构的参数，可以 使得系统有效渗透率发挥最佳的作用，其输运能力远远超过了传统的平行网络。 在 2000 年 kearney 37描述了 h- shape 网络的分形特征，并从工业应用的角度阐 述了将分形几何应用到工业工程领域时能够提高工作效率。同年 bejan 等人11以 t- shape、y- shape 为对象，研究了流管中当流阻最小时，流体的热力学几何结构优化， 得到了分别在层流和紊流时，母管、子管的最优直径比、最优长度比；还得到了在 流阻最小时分叉角度的优化值； 并进一步讨论了十字交叉管的热力学优化性质。 2002 年，ping cheng等人22以 h- shape 分叉网络为模型，研究了树状分形分叉网络的对 流传热和压力降问题，提出采用类分形树状网络在更小的启动压力情况下拥有更强 的热量传递能力，因此该种网络能够运用于微电子芯片、生物工程、航空航天等领 域的设备冷却。 1.2.4 动脉血管网络的血液输运特性 在生物界中，尽管生物种类繁多，形态各异，但在所有生命有机体中，供应各 组织器官以氧气和养分等物质的输运网络，在结构上是非常相近的。mandelbrot 指 出1，必须要求有一个能够填满整个空间的类分形输运网络嵌入到细胞组织里，才能 够满足生命有机体各部位的生理所需。 动物的动脉血管网络具有显著的分形特征：从主动脉到微血管，形成布满全身 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 10 的网络，不断地分支，直到细得只能允许血细胞排成单行移动。 动脉血管网络结构的分形特征，决定了其强大的输运功能。生物在其进化过程 中，为了能在自然选择中立于不败，只有使自身的结构和生理功能不断地优化。所 以，murray6提出了生物的输运网络（血管网络和支气管网络）的结构是最优化的， 物质（血液或空气）在其中输运所耗能量是最小的。 动脉血管网络是一类具有特殊性质类分形分叉树状网络，对血液在其中的流动 特性研究，除了采用一般模型的结论，还应当考虑血管和血液自身的特性，更重要 的是要考虑到生物体的演化过程。 1.3 本文工作简介 本文工作的主要内容是：沿用 wbe分叉网络模型，考虑到血管管壁的弹性及因 血液流动管壁所产生的剪切应力，研究血液在这样的动脉血管网络的输运特性（有 效渗透率和流阻） ，及管壁剪切应力在血管重建过程中对该特性影响。文中指出，血 管网络的最优化状态是血管所处的最适宜状态，由于整个生理活动是动态的，非平 衡的，血管的瞬时状态始终围绕着最优态附近波动，其相应的传输特性也是在最优 态附近波动的。 本文首先推导了 wbe模型的渗透率解析表达式和总流阻的解析表达 式，然后建立了两种血流量（或血压）情形的最优态，研究了血管从最优起始态转 变到最优末态过程中，血液的输运状态在剪切应力的影响下发生的变化，并发现了 该变化对毛细血管是不利的，这个结果与实验和经验事实不符。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 11 2 血液动力学的理论基础 英格兰著名生理学家 steven hales（1677- - 1761）提出了有名论断：正是由于大 动脉的弹性和可扩张性才使心脏间歇性射血变成小血管中血液的平稳流动。在这个 论断的影响下，动脉管的弹性腔功能及其在循环系统中的作用成为了众所周知的事 实。动脉管的弹性腔功能显然是动脉管壁的力学性质决定的，因此，研究血管的力 学性质对于了解心血管的生理功能是必不可少的。其次，在循环系统中，血液的流 动是以血管壁作为边界的，血液的流动和血管壁的运动是耦合在一起并且相互制约 的。为了更好地分析和定量地描述血液在血管内的输运规律，有必要首先了解血管 壁的力学性质。另外，一些严重威胁人类健康的心血管疾病（如高血压，动脉粥样 硬化等） ，无论为了研究其病理机理，或是对其进行诊断和治疗等也都无不与血管壁 的力学性质联系在一起。因此，有必要首先对血管壁的力学性质有所了解。 2.1 血管的基本构造 血管的力学性质不仅取决于构成血管壁的组分及各组分的比重，而且还取决于 其构造和微结构。血管的构造随血管部位的变化有显著的差异。通常动脉和静脉血 管壁由内、中、外三层构成。内层主要由内皮细胞和基质膜构成；中层可分为几层 同心的、具有弹性的薄层，每层均由弹性蛋白、胶原和平滑肌纤维交织组成；血管 壁的外层是松弛的结缔组织。 整个血管内除了毛细血管和动静脉交通支以外，所有的血管壁内都含有丰富的 弹性纤维，这些弹性纤维呈卷曲状的网络结构，其纵向有若干裂隙。弹性蛋白纤维 的弹性模量较小，约为 552 3 106 10/n m: ，抗张强度较低，迟滞环很小，应力松 弛相当不明显，相当接近于完全弹性体。胶原纤维在血管壁中形成另外一种网络， 在应力较小时，这种网络皱缩成波纹状；在一般扩张压作用下，胶原纤维并不伸展， 仅当血管扩张到一定程度后，胶原纤维才伸展到其原有长度；若血管壁继续扩张， 则胶原纤维特产生极大的张力，以对抗血管的进步扩张。胶原纤维的杨氏弹性模 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 12 量比弹性蛋白纤维大得多，约为 92 10/n m 量级，其抗张强度也很高，约为 772 5 1010 10/n m: ，其迟滞环和应力松弛现象也均较弹性蛋白纤维显著。血管壁 中的平滑肌呈螺旋结构，从近心主动脉到远心的外周血管，平滑肌的含量逐步增多， 而且螺旋结构的间距也越来越小。平滑肌纤维由细长的、纺锤形细胞所构成。在松 弛状态下，平滑肌的压力应变曲线存在很大的迟滞环，应力松弛也十分明显， 可趋近于零；在神经刺激下，平滑肌可能动地收缩，产生主动张力达 52 10/n m 以上。 平滑肌的收缩和松弛，可以控制小动脉的直径甚至导致血管闭锁。引起平滑肌收缩 的原因有神经作用、化学物质作用及物理作用。 研究发现，在整个血管体系中，不同动脉段中所含弹性蛋白纤维和胶原纤维的 比例是不同的。例如，在胸主动脉中，弹性蛋白纤维占总纤维元的 6 0 % ，而胶原纤维 占总纤维元的 4 0 % ；在胸外血管中，这个比例则反过来，弹性蛋白纤维占 3 0 % ，而胶 原纤维占 7 0 % 。以狗的实验测得数据为例。狗主动脉中弹性蛋白纤维含量与胶原纤维 含量之比约等于 2 ，而在股动脉、颈动脉和冠状动脉中，这两种纤维的比值则大约变 成 1 2 。从主动脉、大动脉到分支动脉，平滑肌含量所占的百分比将越来越高。一 般认为血管壁在径向扩张增大时，刚性很快增加的原因是与其中胶原纤维和弹性蛋 白纤维的不同分布有关。在应变不大时，大部分胶原纤维是松弛和卷曲的，所有应 力只由弹性蛋白纤维承受。当应变增大时，胶原纤维被拉直，它的应力逐步增大。 由于这些纤维比弹性蛋白纤维刚硬得多，因此血管壁也变得刚硬许多。 总之，血管的构造和力学性质是十分复杂的，为了分析的方便，作为近似，往 往将血管作为均质各向同性圆柱管处理。所谓“均质” ，是指血管壁上任一微元的力 学性质都是相同的。从血管组织学角度看，一般血管壁沿铀向和周向是比较均匀的， 但是沿径向是不均匀的。所以，所谓“均质”严格说只是一种近似假定。所谓“各 向同性” ，是指血管壁的弹性性质在所有方向上都是一样的。实际上，血管壁的弹性 特性是各向异性的。所谓“圆柱”管，是指血管沿轴向是没有锥度的，实际动脉管 是具有1 2 oo : 的锥角。因此，在后面的分析中，常将血管处理为均质、各向同性的圆 柱管，这实际上仅仅是为简化分析所作的一种近似假定。有意思的是，这样一种近 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 13 似分析依然可以刻画血管壁的一些基本特征，因而依然是当前研究血管血液流动的 基础34,56。 2.2 血管壁的力学特性 2.2.1 血管壁的张力 血管张力通常由两部分组成：其一是基于血管弹性的张力，它是血管壁弹性应 变的函数，通常称为弹性张力；其二是血管壁平滑肌收缩产生的张力，这与血管壁 的弹性变形无关，通常称为主动张力。 下面我们把血管看作中空并具有一定壁厚的圆柱筒，它在一定内压和外压的作 用下保持平衡。血管壁相应于内压而变形，而且假定变形时血管仍然保持为圆柱筒 形状。假设血管内压为1 p 、外压为2 p ，相对应的血管内半径为1 r、外半径为只 2 r 。 若不考虑主动张力而仅考虑弹性张力时，则1 r和 2 r 将仅是1 p 和2 p 的函数。为了得到 单位管长周向张力c t 与血管跨壁压力12 pp 及血管半径1 r和 2 r 的关系，考虑如图 2 . 1 所示的单位管长的半圆管段在垂直方向上的力平衡条件 34,36,56， 22 1122 00 2sin2sin2 c p rdp rdt = (2- 2- 1) 由此得到的管壁周向应力的表达式为： 1122c tp rp r= (2- 2- 2) 这是血管壁周向张力c t 与血管内、外压力 1 p 、 2 p 及内外半径1 r 、 2 r 间最一般 的关系。不论血管壁材料是否为均质，是否为各向同性，或血管壁是否为小形变， 是否为符合 hooke 定律的弹性体，上述血管张力表达式都成立 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 14 r2 r1 p1 p2 o p2 p1 tctc r1 r2 o ( a ) ( b ) 图 2.1 动脉血管壁示意图 引进管壁厚度h 21 hrr= 以及厚度h与外半径2 r 之比 1 22 1 rh d rr = (2- 2- 3) d称为厚度比，上述的方程变为： () 12212c tpprp r d= (2- 2- 4) 考虑两种特殊情况： （1 ）管壁无限薄的情况下： 0d () 12c tppr= (2- 2- 5) 这就是著名的 laplace 公式34,36。这个关系式表明：血管半径r越大，或者是血 管的跨壁压力 12 pp越大，血管壁的周向应力 c t 越大。在血液循环中，这个公式表 明：为了平衡某一跨壁压力，血管壁所产生的张力将随着管径的减小而降低；或者 说，为反抗管壁张力而作径向扩张时需要的压力与管径成反比。 （2）内外压力相等时：内压 1 p 等于 2 p 12c tp r d= (2- 2- 6) 血管承受组织的压力 2 p 的作用，一般 2 0p ，而且接近大气压，所以 c t 0 。 此时，血管已不是受张力的作用，而是压力的作用。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 15 2.2.2 血管壁的应力和应变34,36,56 在由流动血液和邻近组织所施加的边界载荷作用下，动脉壁内部将产生应力和 应变。这些应力和应变不但依赖于血液动力学作用力，而且依赖于动脉本身的力学 性质。动脉的病理变化常伴随材料性质的变化如动脉管变硬、管壁变厚等。 为了了解血管的功能，必须研究血管的力学性质。血管力学研究的基本问题就 是要了解血管壁内部的应力和应变状态。 血管壁内作用于任一点的应力是指过该点某截面上单位面积所受的力。由于所 考虑的截面积可以是变形前，也可以是变形后的，因而所定义的应力是不同的。通 常前者定义的应力是 l a g r a n g e 应力，后者定义的应力是 c a u t h y 应力。在一般情况 下，某一点的应力可以表示为一个二阶张量，即有 9 个应力分量，其中： 3 个正应力：xx ， yy ， zz ； 6 个切应力： xy ， yx ， yz ， zy ， zx ， xz 。 可以证明，切应力间存在 xyyx = ， yzzy = ， xzzx = ，因而，可以用六个 应力分量完全确定某一点的应力状态。对于加压动脉，周向的正应力为张力（符号 为正） ，径向的正应力为压力（符号为负） 。 血管壁在外力作用下的变形可以归结为长度的改变和角度的改变，并用正应变 xx ， yy ， zz 表征过某一点在 x ， y ，z方向的微小线段的相对伸长；用切应变 xy ， yx ， xz ， zx ， yz ， zy 表征过某一点的任意两微小线段间夹角的变化。同样，有 xyyx = ， yzzy = ， xzzx = ，所以，可以用 6 个应变分量完全确定血管壁某 一点的应变状态。 由于一个方向的伸长将伴随另外两个方向上的缩短，因此可以定义 6 个泊松比： , yy xxzz yxxyzx xxyyxx = = = 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 16 , yy xxzz xzyzzy zzzzyy = = (2- 2- 8) 对于各向同性体，泊松比与方向无关，它只是与材料性质有关的常数，记为，而 且与体积的应变关系为： () 0 1 2 xx v v = (2- 2- 9) 当 1 2 = 时，物体变形的前后体积保持相同，血管壁就具有这样的特性。 下面讨论血管壁应力与应变的关系。 根据 hooke 定律，在弹性极限内，应力和应变成正比。广义 hooke 定律指出，6 个应力分量可以表示为 6 个应变分量的线性函数。弹性力学可以证明：这样引进的 36 个比例系数对于各向异性体，只有 21 个是独立的；特别对于材料性质不随方向变 化的各向同性体，则只剩下 2 个是独立的。 血管壁的弹性性质常用应力和应变之间的比值来表示，可以引进以下几个模量： 杨氏模量，它定义为正应力和正应变之比，如 xxxxxx y=等，对各向同性体， 杨氏模量与方向无关，通常记为y； 刚性模量，它定义为切应力与切应变之比，如 xyxyxy =等，对各向同性体记 为； 体积模量，它定义为压应力与体积应变之比，即 0 pv b v = ； 纵向载荷模量，它定义为横向应力与纵向应变之比，即有 yy zz =。 为了描述血管壁的应力应变关系，采用圆柱坐标系是方便的，通常取z轴与血 管轴向重合，血管径向取为r，周向取为，并对血管壁进一步作如下假设； (1)是各向同性的 hooke 弹性体； (2)是轴对称的厚壁圆管，即0 = ，切应力忽略不计； (3)血管壁不可压缩，即0.5 =； 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 17 (4)存在初始轴向拉伸，轴向预应变为； (5)血管充分长，血管半径与长度之比足够小，即1r l=。 由于血管足够长，受力又是轴对称的，因而对血管可归结为平面问题进行 处理。特别，由于血管始终受轴向拉伸，0 zz ，因而血管受力问题可归结为平面应 变问题。 由广义 hooke 定律，有 () 1 rrrrzz y =+ () 1 zzrr y =+ () 1 zzzzrr y =+ 1 zrzr = 1 zz = 1 rr = (2- 2- 10) 由于 zz =， 因此可得存在初始应变的平面应变问题的应力与应变之间满足的 关系： 2 1 1 rrrr y = ， 2 1 1 rr y = 。 (2- 2- 11) 相应的边界条件为： 1rr p= ，当 1 rr=时（血管内半径） ， 2rr p= ，当 2 rr=时（血管外半径） ， (2- 2- 12) 式中 1 p、 2 p分别表示血管壁的内、外压力。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 18 利用弹性力学中解平面应变问题的常用方法，可得在内外压力作用下，血管壁 的应力表达式为34,36,56 2222 11221212 22222 2121 rr p rp rppr r rrrrr = g 2222 11221212 22222 2121 p rp rppr r rrrrr =+ g () 22 1122 22 21 32 zz p rp r rr + =+ + （2- 2- 13） 2.3 应力与血管重建 动脉的主要功能是将血液从心脏输送到全身的各个部位。为此，动脉必须具备 适应各种力学环境并在力学环境改变时作适应性变化的能力。例如，当发生泄漏时， 动脉将收缩并释放组织因子以促使血栓在这里形成由流经某些部位动脉的血流量增 加时，这里的动脉就将扩张以降低血液通过时所遇到的阻力。如果这种阻力降低持 续相当长的时间，动脉的内径将变大。又如，平均血压和脉动血压的升高将引起动 脉管理的适应性增厚和组分的改变；动脉分枝间流量分配的改变既可引起一些