（计算机科学与技术专业论文）分数阶fourier变换在三维模型处理中应用.pdf

， p r o c e s s i n g r mi n3 dm o d e l at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：b a of e n g s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t e p r o f l i uy u j i e c o l l e g eo fc o m p u t e r & c o m m u n i c a t i o ne n g i n e e r i n g c h i n au n i v e r s i t yo fp e t r o l e u m ( e a s to fc h i n a ) 3 胍6 胛7m 5m 7 舢8 删胛y 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：鱼钆牟 日期：, p 0 1 1 年5 月 扣日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印刷版 和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、借阅和 复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、缩印或其他 复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签名： 指导教师签名：一 塑龌 孓i 互 日期：j 0 1 1 年6 月3 0 e 1 日期：2 ，j 1 年f 月弓。日 摘要 随着计算机图形处理能力和互联网技术的飞速提高，三维模型的获取和处理愈加方 便，三维模型的应用变得越来越广泛。在三维模型处理领域，基于形状的三维模型检索 技术和三维模型的数字水印技术，近年来成为三维模型的重要的研究课题。 分数阶f o u r i e r 变换作为f o u r i e r 变换的广义形式，近几年由于其独有的特点在很多 领域得到应用。本文将分数阶f o u r i e r 变换引入到三维模型处理领域，以分数阶f o u r i e r 变换理论为基础，分别对基于形状的三维模型检索和三维模型的数字水印两个问题进行 研究，提出了基于三维分数阶f o u r i e r 的三维模型检索算法和基于分数阶f o u r i e r 的三维 数字水印算法。 基于三维分数阶f o u r i e r 的三维模型检索算法：为了能够使模型的数据符合三维分 数阶f o u r i e r 变换的条件，算法采用模型的体素化数据。在空域和频域之间，选取不同 的阶数下，对模型的进行三维分数阶f o u r i e r 变换。然后在变换后系数中，选取低频的 系数作为模型的描述子。实验采用了欧式距离作为这种描述子的相似度度量方法，并利 用p r 曲线来对检索效果进行评价。通过实验，整合不同阶数下模型描述子作为进行新 的描述子的性能要优于传统f o u r i e r 描述子，说明了该算法的有效性。 基于分数阶f o u r i e r 的三维数字水印算法：算法的基本思想是使用一个球形螺旋曲 线来描述三维模型；然后按照模型的球形曲线形式的序列选择出顶点边距较小的一部分 组成要嵌入水印的顶点序列；选择这些顶点到模型中心的半径作为一维信号，选择合适 分数阶p 把一维信号变换到分数阶f o u r i e r 变换域嵌入水印，再经过分数阶f o u r i e r 逆变 换，嵌入水印的一维信号由分数阶f o u r i e r 域变换到空域，再变换到三维模型坐标。最 后，嵌入的水印分散到整个三维模型中。 旋线 关键词：三维模型检索；三维数字水印；分数阶f o u r i e r 变换；特征提取；球形螺 i n3 dm o d e l w i t ht h ea d v a n c e m e n to ft h ec o m p u t e rg r a p h i c st e c h n o l o g ya n dt h ei n t e r n e t ，3 dd a t a a c q u i s i t i o ni si n c r e a s i n g l ye a s y t h ea p p l i c a t i o no f3 dm o d e l si sm o r ea n dm o r ew i d e l y i n t h e3 dm o d e lp r o c e s s i n gf i e l d ，c o n t e n t - b a s e d3dm o d e lr e t r i e v a lt e c h n o l o g ya n d3 dm o d e l w a t e r m a r k i n gt e c h n o l o g yb e c o m er e s e a r c hs p o t sr e c e n t l y t h ef a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m ( f r e t ) ，a sag e n e r a l i z a t i o no ft h ec l a s s i c a lf o u r i e r t r a n s f o r m ( f t ) ，h a sm a n ya p p l i c a t i o n si nt h ef i e l do fo p t i c sa n ds i g n a lp r o c e s s i n g o w i n gt o t h ea d v a n t a g eo ff r f t ，i ti si n t r o d u c e di n t ot h e3 dm o d e lp r o c e s s i n gf i e l d i nt h i sp a p e r ，w e p r o p o s en e w3 dm o d e lr e t r i e v a la l g o r i t h ma n d3 dw a t e r m a r k i n ga l g o r i t h m ，w h i c ha r eb a s e d o nf r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mt h e o r y ，f r o mt w oa s p e c t so fs h a p e - b a s e d3 dm o d e lr e t r i e v a l a n d3 dw a t e r m a r k i n g 3 d f r f t - b a s e d3 dm o d e lr e t r i e v a la l g o r i t h m ：i no r d e rt om a k et h ed a t ao f3 dm o d e la r e f i tf o r3 d f r f t ，w ew i l la p p l yt h ea l g o r i t h mo fv o x e l i z a t i o nt ov o x e l i z e3 dm o d e lf i r s t l y b e t w e e nt h es p a t i a la n df r e q u e n c yd o m a i n ，w es e l e c tap a r t i c u l a ro r d e rt op r o c e s s3 d f r f t w et a k eap a r to fl o w - f r e q u e n c yc o e f f i c i e n t sa sc o m p o n e n t so ft h e f e a t u r ev e c t o ri nt h e f r a c t i o n a ld o m a i n as e to f ( c o m p l e x ) c o e f f i c i e n ti so b t a i n e dt h ea b s o l u t ev a l u e so f k c o e f f i c i e n t sa u r ec 。n s i d e r e da sc 。m p 。n e n t so ft h ef e a t u r ev e c t 。ri ne a c h 。r d e r i ne x p e r i m e n t s ， t h ee u c l i d e a nd i s t a n c ei su s e dt oc o m p u t et h es i m i l a r i t y a c c o r d i n gt ot h ep - rp l o to ft h e r e t r i e v a lr e s u l t s ，t h ee f f e c to fr e t r i e v a li se v a l u a t e d a c c o r d i n gt ot h ee x p e r i m e n t s ，w ea l s oc a n i n t e g r a t et h e s ef e a t u r ev e c t o r si n t ot h em i x e df e a t u r ev e c t o r ，w h i c hi sn a m e da sm u l t i - o r d e r f r a c t i o n a lf o u r i e rf e a t u r ev e c t o r ( m o f f f v ) m o f f f vp e r f o r m sb e t t e rt h a nt h e f e a t u r e v e c t o rb a s e do nt h et r a d i t i o n a l3 df o u r i e rt r a n s f o r m 如 k e y w o r d s ：3 dm o d e lr e t r i e v a l ；3 dw a t e r m a r k i n g ；f r f t ；f e a t u r ee x t r a c t i o n ；3 d s p h e r i c a lh e l i x 目录 第一章引言1 1 1 课题的提出与背景1 1 2 课题主要研究内容2 1 3 论文的组织结构3 第二章分数阶f o u r i e r 变换4 2 1 分数阶f o u r i e r 变换的历史和发展4 2 2 分数阶f o u r i e r 变换定义4 2 2 1 定义l ：积分形式定义4 2 2 2 定义2 ：特征函数定义5 2 2 3 定义3 ：时频旋转定义5 2 2 4 定义4 ：微分方程定义5 2 3 分数阶f o u r i e r 变换的基本性质6 2 4 分数阶f o u r i e r 变换的重要性质6 2 5 分数阶f o u r i e r 变换与时频信号分析的关系7 2 6 离散分数阶f o u r i e r 变换( d f r f t ) 和数值计算8 2 7 二维分数阶f o u r ie r 变换与基本性质1o 2 8 三维离散分数阶f o u r i e r 变换( 3 d f r f t ) 算法1 l 2 9 j 、l ；12 第三章基于分数阶f o u r ie r 变换的三维检索研究13 3 1 三维模型检索系统。1 3 3 1 1 三维模型检索系统组成1 3 3 1 2 三维模型检索算法的性能评价方法1 5 3 2 传统f o u r i e r 变换在三维检索的应用1 6 3 2 1 基于一维f o u r i e r 变换的特征提取方法。1 6 3 2 2 基于二维f o u r i e r 变换的特征提取方法18 3 2 3 基于三维f o u r ie r 变换的特征提取方法一2 0 3 3 基于分数阶f o u r ie r 变换的三维模型特征提取算法2 0 3 3 1 模型坐标标准化和预处理2 1 。21 提取2 2 2 3 3 4 小结2 8 第四章基于分数阶f o u r i e r 变换的三维数字水印研究2 9 4 1 数字水印2 9 4 2 三维数字水印3 0 4 2 1 三维数字水印的特点和难点3 0 4 2 2 三维数字水印的主要算法3 1 4 3 分数阶f o u r ie r 变换在数字水印的应用3 5 4 4 三维数字的水印评估。3 6 4 4 1 水印的鲁棒性评估3 6 4 4 2 保真度的评估3 7 4 5 基于分数阶f o u r i e r 变换三维水印算法3 7 4 5 1 水印算法的思想3 7 4 5 2 水印的嵌入和提取4 0 4 5 3 实验结果和分析4 4 4 6d 、结4 8 结论与展望4 9 参考文献5 1 攻读硕士学位期间取得的成果5 5 致谢5 6 随着三维数据增多，三维模型成为声音、图像和视频后的第四种数据类型。在娱乐、 医学、机械工程、工业应用等领域三维模型有着广泛的应用，发展的互联网技术也为三 维模型的广泛传播提供了便利条件，使创建一个三维模型数据库变为可能。现存的三维 物体模型库，如虚拟现实环境( v i r t u a lr e a l i t y ) 、三维游戏( 3 dg a m e ) 、工业实体c a d 模 型库等，近几年在生物、化学、考古学以及地理学等多个领域，三维数据模型库也逐渐 被建立起来。 由于三维模型模的数量剧增，三维模型的管理变得越来越困难。在庞大的三维模型 库中，快速而又准确地检索到用户所需的三维模型和保护三维模型的版权都成为亟待解 决的重要问题。 模型检索技术是解决快速准确地查找到用户所需要模型的最佳方法。早期的三维模 型检索主要是通过文本检索。该方法优点是速度快，精度高。但是，首先要对三维模型 库中的所有模型进行人工标注。人工标注存在着一定的缺陷。第一，由于模型库中的模 型数以万计，用户对所有模型进行人工标注是既费力又费时，效率低的；第二，模型的 标注又带有用户的主观意愿，所以检索的结果也会有很大区别。为了提高检索的精度， 基于内容的三维模型检索技术应运而生。但是该技术的首要和根本问题是如何有效地描 述三维模型。 与传统媒体数据相比，三维模型的获取、加工处理更加复杂，凝聚的智慧更多。因 此，对三维模型进行有效保护具有重要意义。数字水印是实现版权保护的有效办法，已 成为多媒体信息安全领域的重要研究课题。最初数字水印是指向图像中嵌入一些不易察 觉的信息，用来对图像进行标记、版权控制、真伪鉴别、访问控制等。后来多媒体技术 的发展，音频水印、文本水印及三维模型水印才相继出现。三维数字水印是在三维模型 中嵌入不可见的水印信息，保护三维模型的版权。 分数阶f o u r i e r 变换作为f o u r i e r 变换的广义形式，近几年由于其独有的特点在很多 领域得到应用。本文将分数阶f o u r i e r 变换引入到三维检索和三维数字水印中去，让分 数阶f o u r i e r 变换的优势在这两方面得以更好的发挥。 第一章引言 1 2 课题主要研究内容 三维模型作为当前最流行的媒体信息载体之一，其重要性是不言而喻。因此，三维 模型处理与应用技术成为计算机图形图像领域重点研究内容。分数阶f o u r i e r 变换是重 要的信号处理工具，在许多领域都取得优异的效果。但是在三维模型处理与应用方面， 分数阶f o u r i e r 变换研究还是比较少。随着分数阶f o u r i e r 变换理论和三维建模技术的发 展，研究分数阶f o u r i e r 变换域的三维模型的几何特征，拓展分数阶f o u r i e r 变换在三维 模型处理领域的应用是十分有意义的。 研究和分析分数阶f o u r i e r 变换在三维模型处理中的应用是本文研究的主要内容， 包括基于内容的三维模型检索和三维数字水印。 1 、基于内容的三维模型检索 基于内容的三维模型检索是三维检索技术的重要组成，它是以模型的几何特征为主 要检索内容。它的主要步骤包括：三维的特征提取、特征的相似性度量、检索性能的评 价等。其中三维模型几何特征的提取是基于内容的三维模型检索的最重要的环节。传统 的f o u r i e r 变换在提取三维模型的形状特征方面应用是十分广泛的。与传统的f o u r i e r 变 换相比，分数阶f o u r i e r 变换增加一个参数一分数阶次，可以在不同的分数阶次下对三 维模型提取不同的特征。三维分数阶离散f o u r i e r 变换算法是将三维模型形状特征变换 到分数阶f o u r i e r 变换域的关键。通过对高维分数阶f o u r i e r 变换定义和一维分数阶离散 f o u r i e r 变换分析，构造出三维分数阶离散f o u r i e r 变换算法，为三维模型的特征提取提 供了有力的保证。本文选取适当阶数下模型特征并整合为一个模型特征描述子，以p r 曲线为评价依据在普林斯顿三维模型数据库上完成检索试验。 2 、三维数字水印 网络技术的发展，三维数字产品传播越来越容易，保护三维数字产品的产权维护拥 有者的权益变得尤为重要。然而，水印技术是保护数字产品版权的重要手段。三维数字 水印就是在三维模型中嵌入拥有者标识版权的水印信息的技术。所有的数字水印技术都 是以鲁棒性、不可见性和安全性作为水印技术好坏的主要衡量指标。所以，大多数的水 印算法都以提高这三个衡量指标为主要研究内容。而分数阶f o u r i e r 变换变换是介于时 域和频域的一种变换。所以，分数阶f o u r i e r 变换域具有时域和频域两方面的特性，在 分数阶f o u r i e r 变换域嵌入水印，同时具有空域水印和频域水印的很多优点，这样就可 以提高和改善嵌入水印的性能。最重要的是，分数阶f o u r i e r 变换又增加了一个可控制 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 参数即分数阶数为嵌入的水印又多了一个重要的安全保证。但是，选取合理的三维模型 形状特征嵌入水印是三维数字水印的关键。本文采用一个封闭的螺旋曲线来描述三维模 型，选取恰当分数阶次对三维模型进行变换加入水印和提取水印。 1 3 论文的组织结构 本文结构组织如下： 第一章简要介绍课题的提出与背景以及主要研究内容。 第二章简要介绍分数阶f o u r i e r 变换的发展与应用、分数阶f o u r i e r 变换的一些理论 知识包括它的定义形式、性质及几种常用的离散分数阶f o u r i e r 变换( d f r f t ) 数值计算， 并且分析二维分数阶f o u r i e r 变换。最后，构造出三维离散分数阶f o u r i e r 变换( 3 d f r f t ) 算法，为后期的三维模型处理工作提供理论支持。 第三章介绍三维模型检索系统的发展过程，以普林斯顿大学的三维模型检索系统为 例阐述了三维模型检索系统的主要组成和算法性能评价方法。从传统f o u r i e r 变换在三 维模型形状特征提取的应用入手，分析传统f o u r i e r 变换在三维模型形状特征提取中应 用。本文提出了一种基于分数阶f o u r i e r 变换的特征提取方法。首先对三维模型进行处 理得到模型的体素特征，然后给出了分数阶f o u r i e r 变换的特征提取方法。最后给出试 验结果并进行分析。 第四章首先介绍数字水印的背景、分类、应用及有关概念，然后对三维水印的研究 现状进行阐述，并对三维模型数字水印的特点及评价进行概述，再对分数阶f o u r i e r 变 换在数字水印方面的发展进行介绍。本文采用一个封闭的螺旋曲线来描述三维模型。利 用封闭的螺旋曲线对三维模型进行分析，提出了基于分数阶f o u r i e r 变换三维水印算法。 然后，将该算法进行试验并给出试验结果和分析。 最后为全文总结和展望。 第二章分数阶f o u r i e r 变换 第二章分数阶f o u r i e r 变换 f o u r i e r 变换最早是法国科学家f o u r i e r 在解热传导方程时提出来的，随之在各个领 域都有重要而又广泛的应用。但科技发展，使得研究领域的不断扩展，研究对象变得越 来越复杂，逐步暴露出f o u r i e r 变换的各种局限性。基于这种局限性，人们不断提出新 的变换形式来适应新的需求。于是短时f o u r i e r 变换、g a b o r 变换、小波变换、分数阶 f o u r i e r 变换、w i g n e r 分布等新的信号变换理论应运而生。分数阶f o u r i e r 变换是f o u r i e r 变换的推广形式，以其独特的优势在很多领域得到广泛的应用。 2 1 分数阶f o u r i e r 变换的历史和发展 最早研究分数阶f o u r i e r 变换的是w i e n e r 。众所周知，f o u r i e r 变换的特征函数是 h e r m i t e 函数乘以e x p ( 一t 2 ) ，相应的特征值是( _ j ) m 。1 9 2 9 年w i e n e r 采用一种新的核函数： 希尔伯特高斯函数，经过不断地修改其特征值最后变为e x p ( - j m a ) n 1 ，有了分数阶f o u r i e r 变换的雏形。直到1 9 3 7 年，c o n d o n 通过研究w i e n e r 提出的特征函数才提出了分数阶 f o u r i e r 变换最初的概念啦3 。b a r g m a n n 在1 9 6 1 年提出分数阶f o u r i e r 变换分别利用厄米多 项式和积分变换进行定义，从理论上说这两种定义方式本质上是相同的d 1 。随着这种理 论向前推进，n a m i a s 在1 9 8 0 年分别以特征值和特征函数的作为理论基础，提出了分 数阶f o u r i e r 变换的概念h 3 。1 9 8 7 年m c b r i d e 和k e r r 利用积分进行定义，从而为从光学 角度理解分数傅里叶变换的提供重要的理论基础n 引。随后1 9 9 3 年m e n d l o v i c 和o z a k t a s 应用前面积分定义，提出分数阶f o u r i e r 变换光学的实现方式哺。l o h m a n n 和b e m a r d o 等采用透镜系统实现了分数阶f o u r i e r 变换。随着阶次连续可变的光学分数傅里叶变换 系统被l o h m a n n 设计出来，分数阶f o u r i e r 变换在光学领域应用越来越广泛，越来越多 的学者开始重视分数阶f o u r i e r 变换。但是分数阶f o u r i e r 变换不像f o u r i e r 变换有合理 的物理解释和快速的算法，它的应用一直在信号处理领域没有得到应有的认识。随着， 1 9 9 3 年a l m e i d a 提出的分数阶f o u r i e r 变换可以认为是时频平面上的旋转和1 9 9 6 年 o z a k t a s 等提出了一种计算量相当于f f t 的快速离散算法，分数阶f o u r i e r 变换才在信号 处理领域引起许多研究者的广泛关注盯1 。 2 2 分数阶f o u r i e r 变换定义 2 2 1 定义1 ：积分形式定义 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 下面从线性积分变换的角度给出分数阶f o u r i e r 变换的基本定义坩3 ： x p ( 甜) = 彤x 】( “) = e x ( t ) k e ( t ，“) a t 其中 k p ( f ，u ) = x 1 - jc o te r e j z ( f 2 c 眦口一2 埘c 口+ h 2c o t 口) ，口n 石 8 ( t 一“) ，口= 2 m r ( 2 1 ) 8 ( t + “) ，口= ( 2 n i ) 7 r 其中口= p 7 r 2 ，p 为分数阶f o u r i e r 变换的阶数，c 表示分数阶f o u r i e r 变换算子。 可以发现分数阶f o u r i e r 变换以4 为周期，且当p = 4 n + l 时，分数阶f o u r i e r 变换变成传 统f o u r i e r 变换。可以经过变量代换甜：石万芴和，：圻瓦上式可化为： 砟( 甜) = e m ( “) 一 、嘎( 1 - jc 芋o ta ) e 向。声一4 础一 x ( 扰) ，口= 2 n x ( 2 2 ) x ( - u ) ，口= ( 2 n + 1 ) x 2 2 2 定义2 ：特征函数定义 下面从特征值和特征函数的角度给出分数阶f o u r i e r 变换的基本定义1 ： 把普通f o u r i e r 变换看作定义在信号空间上的连续线性算子f ，其对应的方程 f 甲，_ 见，甲，= ( p 一加佗) 甲，= e - f i - 佗甲，f o u r i e r 变换对应的特征值名f = e - f i x 坨为特征函数 是甲f ( f ) = ( - 1 ) i e ? 万d 1p ( 一f 2 k 誓，2 分数阶f o u r i e r 变换被定义为线性的并且满足： 口= p x 2 f p ( “) 。 2 2 3 定义3 ：时频旋转定义 下面从时间一频率平面中的旋转的角度给出分数阶f o u r i e r 变换的基本定义陋1 ：由函 数的w i g n e r 分布的性质，可以将定义等价另一种形式，p 阶分数阶f o u r i e r 变换相当于 信号的w i g n e r 分布在时间一频率平面上的顺时针旋转角度口= p z 2 ， ，谚= 哆( u c o s a d s i l l 仍“s i l l 口+ d c o s 回 ( 2 3 ) 2 2 4 定义4 ：微分方程定义 第二章分数阶f o u r i e r 变换 下面从微分方程的解的角度给出分数阶f o u r i e r 变换的基本定义阳3 ： 考虑初始条件f o ( u ) = f ( u ) 的微分方程： 嗉嘉+ 彳一主= 毒警 浯4 ， 方程的解无( “) 就是f ( u ) 的p 阶分数阶f o u r i e r 变换 2 3 分数阶f o u r i e r 变换的基本性质 以下是分数阶f o u r i e r 变换的基本性质蹭1 。 1 线性性： 分数阶f o u r i e r 变换和传统f o u r i e r 变换一样都是线性变换，满足叠加原理 f p 【c 够 ) 】_ c n f p 石( “) 】 ( 2 5 ) 2 阶数为整数时：当p 为整数n 时，n 阶分数阶f o u r i e r 变换相当于进行n 次传统 f o u r i e r 变换f ”= ( f ) ” 3 逆： p 阶分数阶f o u r i e r 变换的逆变换就是做一p 阶分数阶f o u r i e r 变换( f ，) = f 叩 4 交换性：f p l f p 2 = ，p 2 ，1 5 结合性：( f p l f p 2 ) f p 3 = f p l ( f p 2 f p 3 ) 6 酉性：( f p ) = ( f p ) h 7 阶数迭加性：又称为分数阶f o u r i e r 变换的旋转相加性由定义3 得来 f p l f p 2 = f p l + p 2( 2 6 ) 8 特征函数：由定义2 可以得来： ，p 甲，：e - j p l x 7 2 甲， ( 2 7 ) 9 p a r s e v a l 准则：分数阶f o u r i e r 变换具有能量守恒的关系 = ( 2 8 ) 2 4 分数阶f o u r i e r 变换的重要性质 以下是分数阶f o u r ie r 变换的重要性质n 4 1 0 1 。 1 时移特性： 6 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 f p ( ( f - p ) ) = e x p ( f l r p 2s i na c o sa ) e x p ( - j d r u ps i n a ) f ；( “一p c o sa ) 2 频移特性： f p ( e x p ( j 2 m p ) f ( t ) ) = e x p ( - j x p 2s i na c o sa ) e x p ( 一j 2 x u pc o s a ) f p - p s i na ) 3 尺度特性： f p ( iml _ 儿) = l j 畿e x 山n - u 2 c o t a ( 1 一面c 0 5 2 u w 警) 4 微分特性： 咒华啪跚n a + c o s a 4 拶) 伽) 2 5 分数阶f o u r i e r 变换与时频信号分析的关系 ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) 在这一部分中，我们将在时频平面对分数阶f o u r i e r 变换进行解释n 4 1 0 1 。前面的定义 3 就是由w i g n e r 分布的旋转来得到的。w i g n e r 分布( w v d ) 是一种最重要、也是应用 最广泛的时频分析工具之一，它与分数阶f o u r i e r 变换存在着密切的联系，即分数阶 f o u r i e r 变换的w v d 是原信号的w v d 的坐标旋转形式。 信号x ( t ) 的w v d 的一般定义： ，叻= 亡+ 丢) x o 一丢) p 一加咖 (213)x(t x ( t ，叻= i+ ) x o 一) p 一朋d f ( 2 一 j m ， 对上式进行变量代换，令f = t + 三代人上式可得， z x ( t ，叻= 2 e 2 朋e x ( r ) x + ( 2 t r ) p 一2 m d r 利用分数阶f o u r i e r 变换的时移特性 x ( 2 t - f ) = 亡k ( 一z + 2 t c o s a 弦- j 2 t 2 s i n a e o s a + j 2 z t 面r a a 髟( f ，z ) 出继续作变量代换，令 s = z + 2 w s i n a ，综合以上所有得出，x ( t ，w ) - - 2 e 2 归亡托p ) x ( 2 u - g ) e - 2 j 惯d e , ，从以上 看，等式右边是x ( u ) 的w v d 的p 阶分数阶f o u r i e r 变换，左边是x ( t ) 的w v d 。如图2 1 ： c u = t c o s a + w s i n 盯 w v d 在( t ，w ) 坐标系下的表达式经过变量代换v = w c o s 口一f s i i l 口变到新的坐标系( u ， v ) 下，即是原坐标系( t ，w ) 作逆时针a 角旋转而成，也就是x ( u ) 的w v d 的p 阶分数阶 f o u r i e r 变换是由x ( t ) 的w v d 旋转了a 角后得到的。从上面的性质可以看出，分数阶 f o u r i e r 变换和时频分布有着直接的联系，这个联系为分数阶f o u r i e r 域被理解为统一的 时频变换奠定了坚实的理论基础。分数阶f o u r i e r 变换可以认为是信号从时域到频域全 过程的综合表现。随着分数阶f o u r i e r 变换的阶数从0 到1 的增长，分数阶f o u r i e r 变换 第二章分数阶f o u r i e r 变换 描述出信号从时域逐步变化到频域的整个变化过程( 如图2 2 ) 。由图2 2 可知，分数阶 f o u r i e r 变换实际上体现出一种统一的时频观念，它是介于时域和频域之间的信号分析工 具【5 9 1 。 1 5 l ，0 0 5 0 1 k j 图2 - 1 分数阶f o u r i e r 变换域【9 】 f i g u r e 2 1t h ef r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m a t i o nd o m a i n1 9 l l ，5 10 0 ，s 0 0 图2 - 2 矩形脉冲信号的分数阶f o u r i e r 变换【9 】 f i g u r e 2 2f r f r o fr e c t a n g u l a rp u l s e 9 l 2 6 离散分数阶f o u r i e r 变换( d f r f t ) 幂i ：i 数值计算 由分数阶f o u r i e r 变换定义可以看出，d f r f t 的计算要比d f t 的计算要复杂的多。 h m o z a k t a s 提出，为保证d f i 强t 的严密性，任何一种d f r f t 都必须具有以下性质： ( 1 ) 酉性：( ，) = ( f p ) ( 2 ) 阶数相加性：，1 f p 2 = f p l + p 2 ( 3 ) 一阶运算退化到传统的f o u r i e r 变换 ( 4 ) 与连续分数阶f o u r i e r 变换的近似性 ( 5 ) 阶数取值的连续性 离散分数阶f o u r i e r 变换定义如下： x p ( 所) = 硝x 】( 聊) = v p ( m ，”) x ( 刀) ( 2 1 4 ) r 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 其中巧表示d f r f t 算子，( m ，2 ) 为d f r f t 核矩阵。根据不同求解方法大体可以 分为3 类： ( 1 ) 线性加权型d f r f t l l 2 - 1 3 1 1 利用f 2 州疗= q 沙。( 形是离散f o u d e r 变换的核矩阵) 来计算离散分数阶f o 嘶e r i = 0 变换的核矩阵，利用f f t 来计算d f r f t 。它的主要思想是分数阶f o u r i e r 变换是一个旋 转算子，可以理解为传统f o u r i e r 变换的分数阶幂。离散分数阶f o u r i e r 变换与传统离散 f o u r i e r 变换可以以下式子表示：f p ：w 缸詹( x ) ，其中，w 是离散f o u r i e r 变换的核矩阵， x 是信号，f p 表示信号的p 阶分数阶f o u r i e r 变换，p = 2 a z r 。 从以上可以看出，f 4 = w4 = ，= w o = 4 ，f 1 = 1 ，f 2 = 肜2 。基于以上的思想， d i c k i n s o n 和s a n t h a n a m n 1 5 3 提出，p 为( n ，k ) 平面上的旋转因子。f p 可以展开写为 f p = ) ，+ ) 形+ 口2 ) 肜2 + 缸) 3 ，q ) 为加权系数。心) 可以由下式给出： ( 口) ：昙( 1 + p z 州) c 。s ( 2 嬲) 口l ( 口) ：委( 1 一z 州) s i n ( 2 嬲) 口2 ( 口) ：委( p z 蒯一1 ) c 。s ( 2 嬲) 岛( 口) ：丢( 一l _ e j 2 - d ) s i n ( 2 嬲) 将以上系数代人上面公式，可以得到p 阶分数阶f o u r i e r 变换算子f p 。 ( 2 ) 分解方法 h m o z a k t a s n 等根据分数阶f o u r i e r 变换的表达式提出，将分数阶f o u r i e r 变换分 解为信号的卷积形式，从而利用f f t 来计算。以下我们将详细阐述这种方法原理，分数 阶f o u r i e r 变换的表达式分解如下： j 0 ( 甜) = 耳【x 】( 甜) = 、( 1 - j 2 n c o t c r ) e j 譬c o i 口j ：巾) 蠢“口删4 毋口m x ( 甜) ，口= 2 行万 ( 2 1 6 ) x ( - u ) ，口= ( 2 n 1 ) 万 9 第二章分数阶f o u r i e r 变换 表达式的分解可以以下分成3 步： x ( t ) 乘以c h i r p 信号板二了而i 哪口，g ( f ) = ( 1 - jc o ta ) e 7 了咖。x ( f ) 作f o u r i e r 变换( 其变元乘以尺度系数c s c ) ，x p ( 甜) = g ( e s e a u ) ， g 2 去e g ( ，) p 卅衍 再乘以c h i r p 信号，x 。 ) ：p 哼鲥口j p ) 于是h m o z a k t a s 由以上原理推导了高效并且精确计算分数阶f o u r i e r 变换的方法。 由于该算法的计算复杂度与f f t 相当而且它的精度高，目前是主要的算法之一。 ( 3 ) 特征分解型d f r f t 为了使所定义的d f r f t 满足酉性和旋转相加性，p e i 【1 6 】首先提出基于特征分解方法 的d f r f t _ 特征分解型d f r f t 。这类d f r f t 是基于矩阵的特征分解来计算矩阵的分 数阶幂。n a m i a s h l 首先通过特征分解也就是谱展开给出了这种定义分数阶f o u r i e r 变换的 方法。d i c k i n s o n 和m c c l e l l a n 分别讨论了d f t 矩阵的特征值和特征向量。该类方法包 括s 方法，g s 算法( g r a m s c h m i d ta l g o r i t h m ) ，o p 算法( o r t h o g o n a lp r o c r u s t e sa l g o r i t h m ) ， 高阶近似和直接离散等。但是这些算法其计算复杂度高实用性变差。 2 7 二维分数阶f o u r i e r 变换与基本性质 随着分数阶f o u r i e r 变换在光学领域的应用，将分数阶f o u r i e r 变换引入到数字图像 处理中，借助分数阶f o u r i e r 变换的优势解决传统f o u r i e r 变换难以解决的难题。而对于 数字图像处理的领域，需要二维分数阶f o u r i e r 变换才能解决问题。下面着重介绍一下 二维分数阶f o u r i e r 变换，首先介绍一下二维分数阶f o u r i e r 变换及相应的变换核n 7 1 。 二维分数阶f o u r i e r 变换核函数定义如下： 巧l 棚( s ，f ，甜，1 ，) = l ( s ，甜) 奉巧2 ( f ，v ) 其中口= p ：r 2 ，= p 2 n 2 ，表示信号通过二维分数阶f o u r i e r 变换后的旋转角度。 则信号厂( s ，f ) 二维分数阶f 。u r i e r 变换定义为：f a p 2 ( ”，v ) = ee 厂( 豇t ) r 肭( s ，印