（计算机应用技术专业论文）基于灰色系统理论的预测模型的研究.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 本文主要是研究灰色系统理论在预测模型中的应用。在预测领域，灰色 系统理论使用的是g m ( 1 ，1 ) 模型。 在此基础上，本文接着研究了在几种特殊情况下，如何对g m ( 1 ，1 ) 模型 进行改进，从而使灰色预测更好的符合实际应用。 当实际系统的历史数掘序列增长过快或者下降过快时，就不能盲目的使 用g m ( 1 ，1 ) 模型。否则进行预测的效果也会极差，本文使用有序列算子作用 的g m ( 1 1 ) 模型成功的解决了这一问题。 本文同样对残差g m ( 1 ，】) 模型进行了改进。扩大了残差g m ( 1 ，1 ) 模型的应 用范围。 当实际系统受到国家政策的重大影响时，就不能不考虑这一因素而直接 应用g m ( 1 ，1 ) 模型。否则预测的结果也会相当差，根本不能令人满意。本文 提出一种对g m ( 1 ，1 ) 模型的改进方法，即考虑政策影响的g m ( 1 ，1 ) 模型。通过 实例验证，效果也很好。 最后总结全文，并指出了进一步的研究工作。 关键词：灰色系统；灰色模型；灰色预测 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i st h e s i sr e s e a r c ht h ea p p l i c a t i o no nt h ep r e d i c t i o nm o d e lo fg r e ys y s t e m t h e o r y g m ( 1 ，1 ) m o d e lo f g r e ys y s t e mt h e o r yi su s e di np r e d i c t i o nr e a l m o nt h i sb a s e ，i ns e r v a ls p e c i a li n s t a n c e s ，t h i st h e s i sa l s or e s e a r c hh o wt o i m p r o v eg m ( 1 ，1 ) m o d e la n dm a k eg r e yf o r e c a s t i n gm o r eb e t t e ra c c o r d l yw i t h p r a c t i c a la p p l i c a t i o n s w h e np r a c t i c a ls y s t e m sh i s t o r yd a t as e q u e n c e sr i s eu pt o oq u i c k l yo r d s c e n dt o oq u i c k l y , t h e nc a l l tb l i n d l yu s eg m ( 1 ，1 ) m o d e l o t h e r w i s et h ef o r e c a s t e f f e c t sw i l lb ev e r yb a d t h i st h e s i su s eg m ( 1 ，1 ) m o d e lh a v i n gs e r i a lo p e r a t o r s u c c e d d l ys o l v et h i sp r o b l e m t h i st h e s i sa l s o i m p r o v ei n c o m p l e t ed i f f e r e n c eg m ( 1 ，1 ) m o d e la n d e n l a r g e dt h ea p p l i c a t i o na r e a so f i n e o m p l e t ed i f f e r e n c eg m ( 1 ，1 ) m o d e l w h e np r a c t i c a ls y s t e ms u b j e c tt ot h em a g n i t u d ea f f e c t so fn a t i o n a lp o l i c y , g m ( 1 ，1 ) m o d e l s h o u l dn o tb eu s e d ，g m ( i ，1 ) m o d ec a n tb et a k en oa c c o u n t o ft h i s e f f e c t o re l s e ，t h ef o r e c a s te f f e c t sa r ea l s ov e r yb a da n dc a n tm a k ey o u s a t i s f y i n g t h i st h e s i sb r i n gf o r w a r da ni m p r o v e dm e t h o do fg m ( 1 ，1 ) m o d e l t a k i n gi n t oa c c o u n tt h ee f f e c to fp o l i c y t h r o u g he x a m p l e sv a l i d a t e ，t h ee f f e c t sa r e g o o d f i n a l l y , t h i st h e s i sw a ss u n n t l a r i z e da n dp o i n t e do u tm o r er e s e a r c hw o r k k e y w o r d s ：g r e ys y s t e m ；g r e ym o d e l ；g r e yf o r e c a s t i n g ； 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已 注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：鍪薤缝 日期：2 辨少月四日 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第1 章绪论 现代科学技术在高度分化的基础上高度综合的大趋势，导致了具有方法 论意义的横段学科群的出现。横段学科揭示了事物之间更为深刻、更具本质 性的内在联系，大大促进了科学技术的整体化进程；许多科学领域中长期难 以解决的复杂问题随着新兴横段学科的出现迎刃而解，人们对自然界和客观 事物演化规律的认识也由于横段学科的出现而逐步深化。灰色系统理论是横 段学科群中又一颗光彩夺目的新星川。与研究“随机不确定性”的概率统计 和研究“认知不确定性”的模糊数学不同，灰色系统理论的研究对象是“部 分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统。它通 过对“部分”己知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运 行行为和演化规律的正确把握和描述1 2 l 。 1 1 灰色系统理论的产生与发展动态 随着科学技术的高速发展，在现代社会的经济活动、科研活动以及人们 的f ：i 常生活中，信息的交流已日趋重要，不可或缺。如何有效地提取、筛选、 处理信息，已引起人们的普遍关注和高度重视。灰色系统理论正是应运而生 的一门新兴学科。 1 9 8 2 年，北荷兰公司( n o r t h h 0 1 l a n dc o ，) 的系统与控制通讯 ( s y s t e m s c o n t r o ll e t t e r s ) 杂志上发表了我国学者邓聚龙教授的第 一篇灰色系统论文灰色系统的控制问题( t h ec o n t r o lp r o b l e m so f6 r e y s y s t e m s ) 。1 9 8 2 年第3 期的华中工学院学报上发表了邓聚龙教授的第一 篇中文灰色系统论文灰色控制系统。这标志着灰色系统理论经过其创始人 邓聚龙教授多年卓有成效的努力，开始问世p 】。这一新的理论刚一诞生，就 受到国内外学术界和广大实际工作者的极大关注。不少著名学者和专家对该 理论给予了充分肯定和支持。许多中青年学者纷纷加入灰色系统理论研究行 列，以极大的热情开展理论探索及在不同领域中的应用研究工作。美国、西 哈尔滨f 程大学硕士学位论文 德、同本、瑞士、苏联等很多国家的学者都对灰色系统这门新兴学科产生了 浓厚的兴趣4 】。 1 9 8 5 年，国防工业出版社出版了灰色系统理论的第一部专著灰色系统 ( 社会经济) ( 邓聚龙著) 。1 9 8 5 年，1 9 8 6 年，1 9 8 7 年，1 9 8 8 年，华中理 工大学出版社先后出版发行了邓聚龙教授的另外四部专著灰色控制系统、 灰色预测与决策、灰色系统基本方法、多维狄色规划，1 9 8 9 年，海 洋出版社出版了英文版灰色系统论文集。同年，英文版国际性刊物灰色 系统杂志( j o u r n a lo fg r e ys y s t e m ) 正式创刊。国内不少出版单位如科学 出版社、科学普及出版社、解放军出版社、江苏科技出版社、山东科技出版 社等编辑出版了灰色系统著作 s l 。 1 9 8 4 年以来，共召开了四次全国灰色系统理论学术讨论会，几百篇灰色 系统文章在国际、国内各种学术会议上宣读和交流。到目前为止，国内外7 0 多家杂志发表了2 0 0 多篇灰色系统文章，1 0 0 多个县、市和地区运用灰色系 统方法制定科技、社会、经济协调发展总体规划，几十所高等院校开设灰色 系统课程，数百名博士、硕士研究生运用灰色系统方法撰写学位论文，不少 的灰色系统理论研究课题获得国家或省、市各类科学基金资助。 短短几年中，灰色系统理论已以其强大的生命力自立于科学之林，奠定 了其作为一门新的交叉学科的学术地位。它的蓬勃生机和广阔的发展前景正 日益广泛地被社会所认识、所重视m j 。 1 。2 灰色系统的概念 人们通过概率与数理统计，解决样本量大、数据多但缺乏明显规律的 问题，即“大样本不确定性”问题。人们用模糊数学处理人的经验与认知先 验信息的不确定性问题；即“认知不确定性”问题”，而灰色系统理论则是针 对既无经验，数据又少的不确定性问题，即“少数据不确定性”问题提出的【7 】a 灰概念一般有两种表达方式： ( 1 ) 方式一：灰概念是“数据少”与“信息不确定”两种概念的整合。 也就是“灰性”，即“少数掘不确定性”。按此表达方式，可以说灰色系统 即是少数据不确定性的系统。灰性的本质是“少”与“不确定”。这二者之 哈尔滨、l ：程火学硕士学位论文 ；i i ；i ；i i ；i i ；= ；i ；i ；= ；i ；ii ；i ；= ；i ； 间即有区别又有联系；既可独立存在又有因果关系。 ( 2 ) 方式二：“灰”是介于“白”与“黑”之间的概念。 白：指信息确定、数据完整。对应的有白色系统。 黑：指信息很不确定、数据很少。对应的有黑色系统。 灰：指信息部分不确定、部分确定；部分不完全、部分完全；部分未知、 部分已知。对应的是灰色系统 8 1 。 在人们的社会、经济活动或科研活动中，信息不完全的情况会经常遇到。 如在农业生产中，即使是播种面积、种子、化肥、灌溉等信息完全明确，但 由于劳动力技术水平、自然环境、气候条件等信息不明确，仍难以准确地预 计出产量、产值。再如生物防治，虽然对害虫与其天敌之间的关系十分明了， 但却往往因对害虫与饵料、天敌与饵料、某一种天敌与别的天敌、菜一种害 虫与别的害虫之间的关联信息了解不够，而难以收到预期的效果。价格系统 的调整或改革，常常因缺乏民众心理承受能力的信息，以及某种商品价格变 动对其它商品价格影响的确切信息而举步维艰。液压系统由于出现测不准的 软量而难以控制。电工系统因电压、电流等参数的随机波动而难以观测，这 是由于缺乏运行信息、参数信息。一般的社会经济系统，由于其没有明确的 “内”、“外”关系，系统本身与系统环境，系统内部与系绞外部的边界若明 若暗，难以分析输入( 投入) 对输出( 产出) 的影响，同一个经济变量，有的研 究者把它作为内生变量，而另一些研究者却把它作为外生变量，这是缺乏模 型信息，找不到适当的系统模型或观测、控制变量【9 】。 综上所述，系统信息不完全的情况有以下四种： 1 元素( 参数) 信息不完全； 2 结构信息不完全； 3 边界信息不完全； 4 运行行为信息不完全。 “信息不完全”是“狄”的基本含义。从不同的场合、不同的角度看， 还可以将“灰”的含义加以引伸。( 见下页表卜1 ) “信息非完全”原理的运用是“少”与“多”的辩证统一，是“局部” 与“整休”的转化，也是灰色系统理论研究问题的根本特征。“非唯一性”原 理是灰色系统解决问题所遵循的基本思路，它给予你灵活性的法宝，使你处 3 哈尔滨i 程大学硕k 学位论文 处取得实效。 人们在认识世界与改造世界的过程中常常自觉或不自觉地通过已经掌握 的部分信息对事物做整体剖析，通过少量已知信息的筛选、加工、延伸和扩 展，深化对系统的认识，再经系统改造，系统重组，提高效率。 表l 一1 黑、灰、自的区别 坚 灰白 从信息上看未知不完全完全 从表象上看 暗 若明若暗明朗 在过程上看新新1 日交替j 目 在性质上看混沌多种成分 纯 在方法上看否定扬弃肯定 在态度上看放纵宽容严厉 从结果上看无解非惟一解唯一解 “非唯一性”原理，在决策上的体现是次靶思想。灰靶是目标非难一与 目标可约束的统一，也是目标可接近、信息可补充、方案可完善、关系可协 调、思维可多向、认识可深化、途径可优化的具体体现。“非难一性”使人们 处理问题的态度灵活机动，决策多目标，方法多途径，计划能调整，效果也 具有可塑性。在面对许多可能的解时，能够通过定性分析，补充信息，确定 出一个或几个满意解。“非唯一性”的求解途径是定性分析与定量分析相结合 的求解途径，也是灰色系统和数学科学中常常采用的有效途径。 灰色概念与模糊概念的主要区别在于研究对象的内涵与外延的性质上。 灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象，模糊数学着重外延不明确、内 涵明确的对象。比如说中国到2 0 0 0 年要把人口控制在1 2 亿左右，或说控制 在1 1 5 亿到1 2 ，5 亿之间。这“1 2 亿左右”或1 1 5 亿到1 2 5 亿之间”就是 灰概念，其外延是非常明确的，但如果确切地问是哪个具体的数值，则并不 清楚。“年轻人”这个概念则是个模糊概念，因为人人都知道年人的内涵，但 要让你划出个确切的范围，在这个范围之内的是年轻人，范围之外的都不 是年轻人，则很难办到，因为年轻入这个概念的外延不明确， 灰概念与随机概念没有本质的区别，灰色系统与随机理论研究问题、解 决问题的方法和思路则截然不同。 灰数、灰元、灰关系是扶色系统的主要研究对象。因此，灰数及其运算、 4 哈尔滨| j 裂人学硕士学位论文 灰色矩阵与灰色方程是灰色系统理论的基础。工业控制及社会、经济、农业、 生态等本征性灰系统的分析、建模、预测、决策和控制是灰色系统的主要研 究任务。 对一个问题的研究往往同时需要若干方面综合进行。如制定一个地区或 一个行业的长远发展规划，首先要对现状进行分析、诊断，在此基础上建立 系统模型，对未来作出科学、可信的预测，制订计划，选准重点，进行有效 地决策与控制，达到少投入、多产出的目的。再如研究生态系统的食物链， 则同时涉及绿色植物、食草动物、食肉动物三个层次。制订畜牧业发展规划 时，要分析这三个层次的量化关系，预测在人的干预下不同层次的发展变化， 弄清这种干预需要付出的代价与可能得到的收益，提出减少所需代价，获取 更大效益的决策方案，制订实施决策的计划与措施。上述问题的解决，都同 时包括了分析、建模、预测、决策和控制几个方面的内容。 系统分析主要包括狄色关联分析、灰色统计和灰色聚类等方面的内容； 系统建模主要通过数的生成或序列算子作用，寻找其规律，然后根据灰色理 论的五步建模思想完成系统建模。五步建模即第一步语言模型，第二步网络 模型，第三步量化模型，第四步动态量化模型，第五步优化模型；灰色预测 是基于g m ( 1 ，1 ) 进行的定量预测，按照其功能和特征可分成数列预测、区间 预测、灾变预测、季节灾变预测、拓扑预测和系统预测五类；灰色决策包括 次靶决策、灰关联决策、灰色统计、聚类决策、灰色局势决策、灰色层次决 策和灰色规划等；灰色控制的主要内容包括本征性灰系统的控制问题和以灰 色系统方法为主构成的控制，如灰关联控制和g m ( 1 ，1 ) 预测控制等净l ， 1 3 灰色系统与概率、模糊的比较 律。 灰色理论、概率论与模糊理论是三种理论、三种概念、三种不确定性。 三种理论的研究宗旨分别为； ( 1 ) 灰理论：强调信息优化，研究现实规律。 ( 2 ) 概率与数理统计：强调统计数据与历史关系，研究历史的统计规律。 ( 3 ) 模糊理论：强调先验信息，依赖人的经验，研究经验认知的表达规 哈尔滨1 ： ! | 大学硕士学位论文 在下表之中对三种理论作了全面的对比和区分。 表卜2 “灰”、“概率”、“模糊”的区别 灰色系统 概率论 模糊集 内涵小样本不确定性大样本不确定性认知不确定性 基础灰艨胧集康托集模糊集 依据信息覆盖概率分布隶属度函数 手段生成统计边界取值 特点少数据多数据经验( 数据) 要求允许任意分柿要求典型分布函数 目标现实规律历史统计规律 认知表达 思维方式多角度重复再现外延量化 信息准则最少信息无限信息经验信息 1 4 灰色系统基本原理 ( 1 ) 差异信息原理 “差异”是信息，儿信息必有差异。信息i 的信息含量越大，它与原信 息的差异越大。 ( 2 ) 解的非唯一性原理 信息不完全、不确定的解是非唯一的。在决策上的体现是灰靶思想。灰 靶是目标非唯一与目标可约束的统一。“非唯一性”的求解途径是定性分析与 定量分析相结合的求解途径。 ( 3 ) 最少信息原理 灰色系统理论的特色是研究“小样本”、“贫信息”不确定性问题。其立足 点是“有限信息空间”，“最少信息”是灰色系统的基本准则。 ( 4 ) 认知根据原理 信息是认知的根据。 ( 5 ) 新信息优先原理 新信息对认知的作用大于老信息。 ( 6 ) 灰性不灭原理 哈尔滨f 程大学硕+ 学位论文 “信息不完全”( 灰) 是绝对的 i o l 。 1 5 灰色系统分析特点和方法论原则 1 5 1 基本特点 1 ，整体化。整体性原则是系统分析的根据和出发点。 2 优化。 优化原则是其分析的基本目的。 3 ，模型化。模型化原则是作为优化的手段和必要途径。 1 5 ，2 方法论原则 方法论原则包括信息的非完全性原则、非唯一住原则和现实信息优化原 则。 1 信息的非完全性原则 灰色系统理论基于信息的非完全性原则，建立了一套新的概念和方法， 如：次数、灰元、灰关系等概念和灰色统计、灰色聚变、灰色预测、灰色决策、 灰色规划等方法。对于一个信息不完全的系统，特别是属于本征性荻系统的 社会系统、经济系统、生态系统、军事系统、自然系统等，试图用严格的数 学方法寻求精确的唯一解，般情况下几乎是不可能的。 人们对系统的认识，是客观事物以信息形式在人们头脑中的反映。由于 客观事物的变化是无穷无尽的，人们所获得的信息是有限的，也总是不完全 的。依据不完全信息来处理问题正是灰色系统分析方法的重要特证。任何信 息在人们认识的过程中都有定的意义，因此，即使是有限的、非完全的信 息，对于人们认识客观事物l 乜是十分有价值的。 2 非唯一性原则 灰色系统分析方法的非唯一性原则，币是指由于这类系统的行为模式的 非唯一性，而对于系统行为及其未来发展的描述也应是非唯一性的。 如：对灰关联分析来说，影响这个系统行为特征的因素是非唯一性的，众 多关联因素可构成关联空问；在关联空间中，描述系统行为的各因素的数据 列是离乱的。但描述这些因素的数据列的表现形式却是非唯一的，且从一种 表现形式转化为另一种表现形式的数据生成方式也是非唯一的，这些生成方 7 哈尔滨工程人学硕士学位论文 式的全体可构成生成空间。这样，就可以根据系统量化的要求，在生成空间 里确定一种有效方式，为分析和建模提供较好的基础。 又如：灰色数列预测，同数据列，可按某种准则构成子序列，因而子序 列是非唯一的，由于序列建立的子模型电是非唯一的，这些子模型的全体组 成子模型群，在子模型群中，可按照信息利用程度以及模型与实际状态的吻 合程度来选择一些满意模型，进行预测。 在灰色决策、灰色规划中，由于面对一个事件，其可供采用的方法、途 径、手段、对策、措施等是非唯一的，因而构成决策或规划的数量可用一个 范围来约束，这个范围就称为“灰靶”。从灰靶中确定一个满意的对策，便是 灰决镱或灰规则。 非唯一性原则增强了系统的可比性、可量化性、可选择性及可优化性。 灰色系统理论属于软科学的范畴，具有多学科的综合性，所以其数学基础及 其系统方法电是非唯一的。 3 现实信息优化原则 运用灰色系统理论与方法，进行系统分析、预测、决策、规划、评估时， 突出的特点就是对样本的数量和分布特征不太苛求，不盲目追求大量样本和 典型分布。它只需对已掌握的部分信息进行合理的加工处理，就能对系统动 态过程做出科学的描述和f 确的预测。灰色系统方法是在研究信息不完全的 系统时，遵循现实信息优先原则，在处理历史信息与现实信息关系上注意现 实信息。因为我们研究的是现实存在的信息不完全系统，表征或反映它的状 态特征和行为的，主要是现实信息，直接影响系统未来发展趋势、起着主要 作用的也是现实信息，而且在历史信息中，反映客观事物发展规律的那一部 分信息内容都会以这样或那样的方式被现实信息所载有1 2 】。 1 6 论文组织 本文共分五章。第一章是绪论，介绍了灰色系统理论的研究现状及与其 它不确定性理论的比较，以及灰色系统理论的基本原理和方法论原则。 第二章介绍了灰色系统理论的基本概念。包括灰数、灰色方程、灰色矩 阵等基本概念，以及灰序列生成、序列算子、序列的光滑度等内容。 晗尔滨工删大学硕士学位论文 第三章介绍了灰色系统理论的g m ( 1 ，1 ) 模型的建模问题。包括灰色系统 的建模机理及数学原理，以及g m ( 1 ，1 ) 模型的建立，并详细指出了g m ( 1 ，1 ) 模型的适用范围，及g m ( 1 ，1 ) 模型的精度检验。 第四章介绍了灰色预测方法。主要是c m ( i ，1 ) 模型在数列预测中的应用， 同时介绍了残差g m ( 1 ，1 ) 模型和g m ( 1 ，1 ) 模型群。 第五章是针对几种情况对灰色预测模型做出了某些改进。并且成功的应 用灰色预测模型对粮食全年总产量进行了预测。 第2 章灰色系统基本概念 2 1 灰数、灰色方程与灰色矩阵 灰色系统用灰数、灰色方程、灰色矩阵等来描述，其中灰数是灰色系统 的基本“单元”或“细胞”。 2 1 1 灰数 我们把只知道大概的范围而不知其确切值的数称为灰数。在应用中，灰 数实际上指一个区间或一个一般的数集。 次数有以下几类： 1 仪有下界的灰数 有下界而无上界的灰数记为 ，o o 或固( 口) ，其中口为灰数固的下 确界，它是一个确定的数。我们称 a ，。 为。的取数域，简称 的灰域。 一棵生长着的大树，其重量便是有下界的灰数，因为大树的重量必大于零， 但不可能用一般手段知道其准确的重量，若用。表示大树的重量，便有 o 0 ，。 。 2 仅有上界的灰数 有上界而无下界的灰数记为0 ( 一c o ，o ) 或圆( 口) ，其中n 是灰数。 的上确界，是确定的数。1 项投资工程，要有个最高投资限额。件电器设 备要有个承受电压或通过电流的最高临界值。工程投资、电器设备的电压、 电流容许值都是有上界的扶数。 3 区间狄数 既有下界盯又有上界a 的次数称为区间灰数，记为固 a ，口 。海豹的 1 n 哈尔滨啊g 大学硕士学位论文 重量在2 0 一2 5 公斤之间，某人的身高在1 8 - 1 9 米之间，可分别记为 o 2 0 ，2 5 ，固， 1 8 ，1 9 。 4 连续灰数与离散灰数 在某一区间内取有限个值或可数个值的灰数称为离散灰数，取值连续地 充满某一区间的灰数称为连续次数。某人的年龄在3 0 到3 5 岁之间，此人的 年龄可能是3 0 ，3 1 ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 5 这几个数，因此年龄是离散狄数。人的 身高、体重等是连续灰数。 5 黑数与白数 当固( 。，。o ) 或o ( ，o ，) ，即当。的上、下界皆为无穷或上、 下界都是灰数时，称为黑数。当q 半，口 ，且口= d 时，称圆为白数。 为讨论方便，我们仍将黑数和白数看成特殊的灰数。 6 本征灰数与非本征狄数 本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表的灰数， 比如般的事前预测值、宇宙的总能量、准确到秒或微秒的“年龄”等都是 本征灰数。非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为 其“代表”的灰数。我们称此白数为相应灰数的白化值，记为o ，并用o ( a ) 表示以a 为白化值的灰数。如托入代买一件价格1 0 0 元左右的衣服，可将1 0 0 作为预购衣服价格o ( 1 0 0 ) 的白化数，已为o ( 1 0 0 ) ：1 0 0 。 从本质上看，灰数又可以分为信息型、概念型、层次型次数三种层次。 1 信息型灰数是指因暂时缺乏信息而不能肯定其取值的数。如：预计某 地区今年夏粮产量在1 0 万吨以上， 1 0 ，o 。 ，估计某储蓄所年底居民储 蓄存款总额将达7 0 万到9 0 万元，圆 7 0 ，9 0 ；预计郑州地区5 月份最高气 温不超过3 6 ，圆 o ，3 6 ，这些都是信息型灰数。由于暂时缺乏信息， 不能肯定某数的确切取值，而到一定时间后。通过信息补充，灰数可以完全 变白。如上述三个灰数，一旦预言的时间终了，就会变成完全确定的数。 2 概念型灰数其中有的也称意愿型次数，是指由人们的某种观念、意愿 形成的灰数。如：某人希望至少获得l 万元科研经费，并且越多越好， 1 1 哈尔滨：t ：程人学硕士学位论文 o 1 0 0 0 0 ，o o ；某工厂废品串为1 ，希望大幅度降低，当然越小越好， o 0 ，0 0 1 ；这些都是概念型灰数。 3 层次型灰数是由层次改变形成的灰数。有的数，从系统的高层次，即 宏观层次、整体层次或认识的概括层次上看是白的：可到低层上，即到系统 的微观层次、分部层次或认识的深化层次则可能是灰的。例如，一个人的身 高，以厘米度量是白的，若精确到万分之一毫米就是狄的了。还有的数，在 某个小范围内是白的，在大范围内就成灰的了。比如叫张三的人，某个学校 只有1 人，全市大学有4 6 人，圆 4 ，6 已是灰数：若在全国范国内考虑， 就更加说不清了【4 l 2 1 2 灰色方程、灰色矩阵 含有灰系数( 灰元) 的代数方程称为灰色代数方程，含有灰元素的n 维向 量称为n 维灰色向量。d 维灰色向量记为： x ( o ) = ( o 。，o ，o 。) ( 2 - 1 ) 灰色方程并不是个方程，而是许多个方程的代表符号，灰色方程代表 的方程个数，取决于方程中灰元的取值，若灰元皆在有界灰域内取有限个值， 则灰色方程代表有限个白方程，若方程中狄元取无穷多个值，灰色方程就代 表无穷多个白方程。 含有灰色导数或灰色微分的方程称为灰色微分方程。 灰色微分方程将在第3 章中详细的讨论。 含有灰元的矩阵称为灰矩阵，记为4 ( o ) ，并用0 。或o ( f ，) 表示灰矩阵中 第i 行第j 列处的灰数。如一( 。) ：l 固”q ：1 即为一个2 2 灰矩阵。其中 。- 5 阶翻- 】，! 。 o 5 时，称x + ( k ) 的生成是“重新信息、轻老信息”生成；当口 0 ，存在n 。使对 任意k ，n k n ，有下式成立：掣 占。 这就是说，对于有界非 yx ( 7 f i ) 箐 负序列，经过多次累加生成后，所得序列可充分光滑，且光滑比p ( k ) 一o ( k 一) 。 命题2 2 3 2 设x o 、为非负序列，x 忡1 = ( x ( 0 1 ( 1 ) ，x ( 0 1 ( 2 ) ，x 吣( n ) ) ， x ( k ) a b ，k = l ，2 ，n 。彳1 ) = ( 1 ( 1 ) ，1 ( 2 ) ，一( n ) ) 为 x ( o 的一次累加生成序列，z ( 1 1 = ( z ( 1 ) ，z 1 ( 2 ) ，z 1 ( n ) ) 为x ( 1 的紧 邻均值生成序列，则对任意的岛 0 ，1 ，存在难整数n = n ( 毛，岛) ，使 对任意的k ，n k n ，有p ( k ) 型盟 ， 一l、。l 石( f ) - r - ( o ) 他v - 、, 两。毛。 累加生成与均值生成都能提高序列的光滑度，有时作完累加生成后还可 以再作一次均值生成【1 6 】。 2 3 序列算子 由于某种冲击渡的干扰，有时我们收集到的数据会呈现出过猛或过缓的 变化趋势，未能反映系统的真实变化规律。如果用这种数据直接建模、预测， 而不事先排除干扰作用，所得结果往往令人难以置信。序列算子的作用就是 哈尔滨工程大学硕士学位论文 排除冲击波的干扰，还数据以本来面目；根据定性分析的结果，强化或弱化 原始序列的变化趋势，提高预测精度。 定义2 3 1 设x = ( x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( n ) ) 为原始序列，d 为作用于x 的 算子，x 经过算子d 作用后所得序列记为x d = ( x ( 1 ) d ，x ( 2 ) d ，x ( n ) d ) 。 我们称d 为序列算子，称x d 为一次算子缓冲序列。 序列算子的作用可以多次进行。相应地我们称： x d l 。d2 = ( x ( 1 ) d l d 2 ，x ( 2 ) d l 吐，x ( 1 1 ) d t 畋) ( 2 7 ) 为二次算子缓冲序列，称： x d i 。d2 。d3 = ( x ( 1 ) 吐吐西，x ( 2 ) d l d 2 d 3 ，x ( n ) 4 吐以) ( 2 - 8 ) 为三次算子缓冲序列，等等。 序列算子d 可根据原始序列受冲击波干扰的情况进行适当定义。 定义2 3 2 设序列x = ( x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( n ) ) 。 1 若x ( 1 ) x ( 2 ) x ( r 1 ) ，则称x 为增长序列； 2 若x ( 1 ) x ( 2 ) x ( n ) ，则称x 为衰减序列； 3 若存在i 与j ，使得x ( i ) x ( j + 1 ) ，则称x 为振荡序 列。 定义2 3 3 设序列x = ( x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( r i ) ) 。若其缓冲序列 x d = ( x ( 1 ) d ，x ( 2 ) d ，x ( n ) d ) 比原序列x 的增长趋势( 或衰减趋势) 减缓， 我们称序列算子d 为弱化算子，若缓冲序列x d 比原来的序列x 增长( 或衰减) 的速度更快，则称序列算子d 为强化算子。 在定义算子时，应满足以下三条原则： 1 充分参与原则。要使原始序列中的每一个数据x ( i ) 都充分地参与算 子作用的全过程，并能体现出其在缓冲序列中的作用。如果抛开原始数据另 搞一套，那就成了毫无意义的数字游戏，既没有任何科学依据也没有任何说 服力。 2 承认现实原则，即满足x ( n ) d = x ( 1 1 ) 。以客观事实为基础，坚持尊重现 实，承认现实，缓冲序列与原始序列基准期的数据应保持一致。我们认识到 冲击波对数据序列产生影响，导致规律失真。要使数据呈现出其本来面目， 所能做到的只是淡化冲击波对历史的影响。我们必须以现在为基础往前走。 根据定性分析的结论， = c | i 可使接近基准期的若干个数据在缓冲序歹r j e e 保 1r 哈尔滨工程大学硕士学位论文 持不变，而着重淡化以前数据所受的冲击波干扰比。如使 x ( 1 ) d x ( 1 ) ， x ( 2 ) d x ( 2 ) ， - - - x ( k - 1 ) d x ( k 1 ) ， x ( k ) d = x ( k ) ， x ( k + 1 ) d = x ( k + 1 ) ， - x ( n ) d = x ( n ) 。 3 便于实现原则。序列算子对每个数据的作用程序应当清晰统一，并尽 可能简化，以便于计算缓冲序列和应用计算机。 命题2 3 1 设序列算子d 是遵循上述原则2 定义的且x 为增长序列，则 以下结论成立： 1 弱化算子有使数据膨胀的作用， 2 、强化算子有使数据萎缩的作用。 换言之，设x = ( x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( n ) ) ，x d = ( x ( 1 ) d ，x ( 2 ) d ，x ( n ) d ) 。 若d 为弱化算子，则x ( k ) x ( k ) d ，k = 1 ，2 ，n 。若d 为强化算子，则 x ( k ) x ( k ) d ，k = 1 ，2 ，n 。若x 为衰减序列，则结论相反。 例2 3 1 定义2 。2 。2 。5 中的紧邻均值生成稍作改动，即可视为一种序 列算子作用。如果我们定义序列算予d 为：x d = ( x ( 1 ) d ，x ( 2 ) d ，x ( n ) d ) ； 其中x ( n ) d = x ( n ) ， x ( n 一1 ) d = o 5 x ( 1 3 ) + 0 5 x ( n 一1 ) ， x ( k ) d = o 5 x ( k + 1 ) + o 5 x ( k ) ， x ( 2 ) d = o 5 x ( 3 ) + o 5 x ( 2 ) ， x ( t ) d = o 5 x ( 2 ) + 0 5 x ( 1 ) ， 则d 满足序列算子定义的三个原则。 命题2 3 ，2 设序列x = ( x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( n ) ) ，令x d = ( x ( 1 ) d ，x ( 2 ) d ， x ( i q ) d ) ，其中： 、q 1 。( “) 0 2 i _ 二：i 。；t ( 。( “) + 。( “+ 1 ) + + x ( n ) ) x ( 2 ) d = & ( 2 ) + x ( 3 ) + + x ( n ) ) ， 月一i x ( 1 ) d = 二( x ( 1 ) + x ( 2 ) + + x ( 1 1 ) ) ， 订 则d 为满足序列算子定义三个原则的弱化算子。当x 为单调递增序列时，d 可以减缓其增长速度i 当x 为单调递减序列时，d 可以降低其衰减速度。 命题2 3 3 在命题2 3 2 的基础上，令： x d 2 = x d o d = ( x ( 1 ) d 2 ，x ( 2 ) d 2 ，x ( n ) ) ，其中： x ( k ) d 2 = 七( x ( k ) d + x ( k + 1 ) d + + x ( n ) d ) ( 2 - 9 ) 盯一立+ i k = 1 ，2 ，n 。则d2 为二阶弱化算子。 2 4 序列的光滑度 2 4 1 光滑序列 处处可导是光滑连续函数的待性，丽序列是由离散的单个点构成的，根 本无导数可吉( 通常意义下) ，因此不能用导数研究序列的光滑性。我们再从 另外的角度去研究光滑连续函数的特性。若某序列具有与光滑连续函数大致 相近的特征，便认为此序列是光滑的。 综上所述，可得光滑连续函数的序列化定义。 定义2 4 1 i 设 a ，b 为一时区，将 a ，b 分成1 3 个小时区a “，k = l ，2 ， n 。若分法满足： 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1 2 t ，“ ； n 2 ，u n 2 a 抽 ； k = l 3 当i j 时，r ，nz x t ，= a 。 则称, a t k ( k = l ，2 ，1 1 ) 为 a ，b 的一种划分。 定义2 4 1 2 设x ( t ) 是定义在 a b 上的连续函数，在 a ，b 中插入分 点a 2 岛 t 2 b ，得到 a ，b 的一个划分z x t k = t k ，t k + 1 ，k = l ， 2 ，n 。我们同时用表示 ，+ 1 的长度，z x t , = t 一t k ，k = 1 ，2 ， n 。在 ，t k + 中任取一点，得x ( k ) ，从而有序列x = ( x ( i ) ，x ( 2 ) ，x ( r 1 ) ) 。 记五2 ( x ( t j ) ，x ( r 2 ) ，x ( 0 ) ) 为下边界点序列。令a t = i 碑x ) ， f 盟如 设d 为i 维空间中的距离函数，x 为指定可导函数的代表序列。若当a t o 时，无论时区( a ，b 如何划分，小时段上的内点如何选取，都有： 1 对任意的内点序列x i ，x j ，d ( x ，置) = d ( x + ，x ，) ； 2 d ( 爿+ ，x ) = c l ( x + ，x o ) 。 则称x ( t ) 为光滑连续函数。 下面我们来定义光滑序列。在定义光滑连续函数时，我们主要根据其内 点是否与下边界点序列重合，内点序列、下边界点序列是否与某个可导函数 的代表序列重合。而序列却只有边界点而无内点，两个点之间是空的。为解 决这一问题，我们采用均值生成方法利用边界点生成内点。 定义2 4 1 。3 设序列x = ( x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，。x ( n ) ，x ( n + 1 ) ) ，z 是x 的均值生成序列，z = ( z ( 1 ) ，z ( 2 ) ，z ( r 1 ) ) ，其中z ( k ) = o f i x ( k ) 十o f i x ( k + 1 ) ， k = 1 ，2 ，n 。x 是某一可导函数的代表序列，d 为n 维空间中的距离函数。 我们将x 删去x ( n + 1 ) 后所得序列仍记为x ，若x 满足： - 一i 1 ，当k 充分大时，x ( k ) m 。a x 。瞰o ) 一z 卜 则称x 为光滑序列。l ，2 称为序列光滑条件。 定义2 4 1 4 设x 为光滑序列，z 为x 的均值生成序列x 是指定可导 ，1 哈尔滨r 程大学硕+ 学位论文 函数的代表序列，d 为n 维空间中的距离函数。若存在占 0 ，1 ，使 f d ( x + ，x ) 一d ( x + ，z ) l s ，则称序列x 的光滑度大于丢，称 p ( ，) 一d ( x ，z ) l 为序列x 的光滑度，记为s ( d ) a当 f d ( x ，x ) 一d ( x ，z ) f = o ，即s ( d ) = 0 0 时，我们称x 为无限光滑序列。 命题2 4 1 1 若序列x 中的数据成直线分布，则x 为无限光滑序列。 2 4 2 级比与光滑比 当宇列的起点x ( 1 ) 和终点x ( n ) 为空穴时，即x ( 1 ) = 彩( 1 ) ，x ( n ) = a ( n ) ，无法采用均值生成填补空穴，只有转而考虑别的方法。级比生成和光 滑比生成就是常用的填补序列端点空穴的方法。 定义2 4 2 1 设序列x = ( x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( n ) ) ；我们称盯( 七) 2 嘉等， k = 2 ，3 ，n 。为序列x 的级比。称p ( 七) = 名盟， k = 2 ，3 ，n为序列 x ( o x 的光滑比。 定义2 4 2 2 设x 为端点是空穴的序列，x = ( a ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( n 一1 ) ， o ( i q ) ) 。若用$ ( 1 ) 右邻的级比( 或光滑比) 生成x ( 1 ) ，用0 ( n ) 左邻的级比( 或 光滑比) 生成x ( n ) ，则称x ( 1 ) 和x ( i q ) 为级比生成( 或光滑比生成) ，按级比生 成( 或光滑比生成) 填补空穴所得的序列称为级比生成( 或光滑比生成) 序列。 命题2 4 2 1 设x 是端点为空穴的序列。 1 若采用级比生成，则： x ( 1 ) = x ( 2 ) 盯( 3 ) ，x ( n ) = x ( n - 1 ) 盯( n 一1 )( 2 1 0 ) 2 若采用光滑比生成，则： x ( 1 ) ：黑，x ( n ) ：x ( n 1 ) ( 1 + p ( n - 1 ) ) ( 2 - 1 1 ) x o ) 一z ( 2 ) 。 命题2 4 2 2 级比与光滑比有下述关系： 哈尔滨 ：程大学硕士学位论文 矾+ 1 ) 2 等( 1 + p ) k 锄，3 ，n ( 2 _ 1 2 ) 命题2 4 2 3 若x = ( x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，x ( n ) ) 为递增序列，且有： 1 对于k = 2 ，3 ，n ，盯( k ) 2 ； 2 对于k ：2 ，3 ，n ，丛：! 堕旦 o ，则称序列x 0 1 为非波动 增长序列( 或称步步增长序列) ； 3 若对于k =