（地球探测与信息技术专业论文）频率域直立六面体重、磁异常正演问题.pdf

摘要 复杂形体重、磁异常j 下演从形体角度出发可以分为三度体和二度体；按求解 域可分为空间域和频率域。按积分方式可以分为有限单元法和边界单元法。在有 限单元法中又包括点元法、线元法和面元法。重、磁异常正演问题在空间域研究 较多，而在频率域研究较少。本文研究的问题是频率域直立六面体( 点元法) 的 正演问题。 本文在前人研究的基础上，给出了完整的频率域直立六面体重、磁异常及各 阶导数正演方法。并通过大量模型试验，总结出根据模型参数计算频率域截止频 率和采样间隔的经验公式，保证了频率域正演计算结果的精度。针对四种不同测 网( 平面规则网、平面不规则网、曲面规则网、曲面不规则网) 设计了相应的计 算方法。采用f o r t r a n9 0 标准编制了相应的计算程序，并进行了模型测试。 关键词：正演，频率域，直立六面体，重、磁异常，截止频率，采样间隔 a b s t r a c t t h ef o r w a r dp r o b l e mw h i c ho fg r a v i t ya n dm a g n e t i ca n o m a l i e sc a u s e db yi r r e g u l a r b o d i e sc a nb ed i v i d e di n t ot h r e e d i m e n s i o n a la n dt w o d i m e n s i o n a lb o d i e si nb o d ys h a p e ； i ta l s ob ed i v i d e di n t ot h es p a c ed o m a i na n df r e q u e n c yd o m a i ni nc a l c u l a t i n gd o m a i n ； a n da l s ob ed i v i d e di n t ot h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o da n db o u n d a r ye l e m e n tm e t h o di n n u m e r i c a li n t e g r a lm e t h o d t h ef o r w a r dp r o b l e mc a nb ed i v i d e di n t ov e r t i c a lc u b o i d e l e m e n t ，t h ep i l l a re l e m e n ta n dt h es u r f a c ee l e m e n ta g a i ni nt h ef i n i t ee l e m e n t t h e f o r w a r dp r o b l e ms t u d i e sh a v em o r ei ns p a c ed o m a i nt h a ni nf r e q u e n c yd o m a i n t h e f o r w a r dp r o b l e mo fv e r t i c a lc u b o i de l e m e n ti nf r e q u e n c yd o m a i nw a sd e v e l o p e di nt h i s p a p e r i nt h ef r e q u e n c yd o m a i n ，t h ef o r w a r dc a l c u l a t i n gm e t h o do fg r a v i t ya n dm a g n e t i c a n o m a l i e sa n di t sa r b i t r a r yo r d e rd e r i v a t i v e sw a sd e v e l o p e di nt h i sp a p e r t h r o u g ha m u c ht h e o r e t i c a lm o d e le x p e r i m e n t s ，ae m p i r i c a lf o r m u l aa b o u tc u t o f ff r e q u e n c ya n d s a m p l i n gi n t e r v a lw a sd e r i v e da c c o r d i n gt ot h es i z eo ft h em o d e l s a i ma tf o u rk i n d so f m e a s u r e sn e t ( f l a tr e g u l a rn e t ，f l a ti r r e g u l a rn e t ，c u r v e dr e g u l a rn e t ，c u r v e di r r e g u l a rn e t ) d e s i g n e dt oc o r r e s p o n dn u m e r i c a lm e t h o d a d o p t e df o r t r a n9 0s t a n d a r d st od r a wu pt 0 c o r r e s p o n do fc a l c u l a t i o np r o c e d u r e ，a n dc a r r i e do i lm o d e lat e s t k e yw o r d s ：f o r w a r dp r o b l e m ；f r e q u e n c yd o m a i n ；v e r t i c a lc u b o i d ；g r a v i t y a n o m a l y ；m a g n e t i ca n o m a l y ；c u t - o f ff r e q u e n c y ；s a m p l i n gi n t e r v a li nf r e q u e n c y d o m a i n 论文独创性声明 本人声明：本人所呈交的学位论文是在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，对论文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本论文 中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体己经公开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：丘pl 云 2 叼年岁月2 p 日 论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归 属学校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请 专利等权利。本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的 学术论文或成果时，署名单位仍然为长安大学。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名： 导师签名： 碎之云 彻移 加d 7 年譬月z 0 日 勺钥舢 k 安人学硕i ：学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景和意义 重、磁异常f 演问题的研究由来已久，j 下演是反演的基础，f 演问题研究成果的好 坏直接影响到反演结果的好坏。正演分频率域和空间域，三度体和二度体，有限单元和 边界单元法。 空间域的正演研究较多，而频率域的正演方法则研究较少。对于大数据量和多个直 立六面体组合模型来说，空间域算法的计算工作量很大，而如何使用频率域的快速算法 就成为研究的重点。本文的研究就是在这一背景下进行的。 频率域研究一般是在平面规则网上进行的，但实际观测面有四种形式：平面规则网， 平面不规则网，曲面规则网，曲面不规则网。这就需要研究针对不同计算面的频率域正 演。而在频率域处理中剖面有限长和点距、线距所产生的误差也是我们要考虑的问题。 1 2 国内外研究现状 国内外很多学者在此问题上做了很多工作，也取得了一系列成果。 国外从1 9 5 8 年开始利用现代频谱分析方法对重磁位场进行研究和解释。此后西方 许多地球物理工作者以及部分苏联学者推导了各种规则形体重磁频谱公式，提出了相应 的解释方法。上世纪7 0 年代丌始利用频谱方法研究磁性界面的反演问题，同时对频率 域方法计算重磁异常产生的误差也开始讨论和研究，提出了一些解决办法【5 1 。 我国频率域重磁异常的研究工作从二十世纪7 0 年代起步，无论在理论上还是在应 用上都发展很快，取得了不少成果。主要集中在8 0 年代和9 0 年代初期，主要人员有杨 文采、侯重初、程方道、熊光楚、潘作枢、管志宁，吴宣志等【4 - 8 , 1 2 , 1 5 , 1 6 - 1 8 , 2 0 , 2 2 】。随着国 内地质工作的发展，频率域重磁异常正演研究自2 0 0 0 年【1 ，4 】以来又开始了新一轮的工作。 研究的前提是场源位于观测面之下且观测面为平面规则网，实际工作中观测面多为 曲面，网格多为不规则网，这就带来了新的研究点。同时进一步研究和克服频率域方法 中计算带来的误差，尤其是剖面有限长所产生的误差仍然是需要面对的问题。 1 3 本文的研究内容 直立六面体是组合成任意三度体的基本单元，在实际应用中比较广泛。本文在前人 笫一帮绪论 研究的基础上，给出了完整的频率域直立六面体重磁异常及各阶导数f l 二演方法。该法i 叮 以应用于平面或曲而，规则网或不规则网重磁异常及任意阶混合导数计算，具有很强的 适应性及实用性。本文取得的成果如下： ( 1 ) 针对四种不同测网( 平面非规则网、平面规则网、曲面非舰则网、曲面规则 网) 设计了相应的计算方法。重点研究了平面非规则网、平面规则网的详细计算方法。 ( 2 ) 通过大量试验，给出了根据模型参数计算频率域截止频率和采样f u j 隔的经验 公式，保证了频率域f 演结果的精度。 ( 3 ) 采用f o r t r a n9 0 标准编制了相应的计算程序，并进行了模型测试。 2 k 安人学硕l ：学位论文 第二章频率域直立六面体重、磁异常正演公式 2 1 频率域重、磁异常一般公式 2 1 1 引力位的频率域表达式 对于同一个磁化均匀且密度均匀的物体，若其磁化强度的模m 与剩余密度1 3 r 的比值 为一常量，则称之为泊松体【5 1 。泊松体的引力位( z ，y ，z ) 的表达式为： j h 八 “ 多 。 j m 1 z 图2 1 直立六面体示意图 形( 训，z ) = g 咀乒彰彬； ( 2 1 1 ) 其中，： ( x 一亭) ：+ ( y 一，7 ) ：+ ( z - ；) z 弘 钞“炉卜妒洲弘甄鬲丽未耐洲工2 ， 已知二维f o u r i e r 变换对1 2 1 】为： l f ，哪) 2 f f f ( x ，y ，z ) e - i 2 1 r ( u x + v y ) 螂 - + 乞 if ( x ，y ，z ) 2 y y f ( u ，v ，z ) e m 似岬也咖 其中u 为x 方向频率，v 为y 方向频率。在计算面水平且物体位于计算面下方的前 提下，对( 2 1 2 ) 式进行二维f o u r i e r 变换得到： 3 第一二章 频： ：域a ，：六f n j f 4 ：暖、磁异常l f i 浈公 ，眇。，y一，=，ijjlli二五fi歹薪彰， l 短阮爵i 薪触卜：w 蛐 ， 。志缈啦嘶州：孙丽k 坳删； 那么引力位的频谱表达式为： f 眇 ，y ，z ) = a o f v ( 石，y ，z ) ( 2 1 4 ) 2 1 2 磁力位的频率域表达式及频率域泊松公式 磁位u 0 ，y ，z ) 的表达式为： u 吣加瓦1 癣等撕d 誊 这里尹= o 一亭) f + ( y 一，7 ) 7 + 0 一考) 云，庸= m ，f + m ，歹+ m ：云。 v ( 吾) 2 去( 吾) f + 五a y 、( ，1 ，1 + 丢( 吾) 云= 一； 洲吣加磊1i i l 等蛳d 鼍 l 击驴卜v ( 妒彭私； 一击驴巾( 吾) 矽髟彬亭 ( 2 1 6 ) 式就是空间域磁位表达式。将( 2 1 3 ) 式代入得 【，( 训，z ) 。一告厨v v ( x ，y ，z ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 当z 为常数时( 计算面水平) ，对( 2 1 7 ) 式进行二维f o u r i e r 变换，可得以下公式 4 k 安人学顺i ：学位论，= = f 矽哳叫一去衲帆2 ) = 一去厨f v y b z ) 】 一荆掣卜 掣卜：， 掣 根据f o u r i e r 变换的微分性质可得： f 鼍字 = ，畋哳) 一f 眇咖) f 掣】= f 肼) 】= r 2 r t v f v ( x 拂z ) 】 f 驾字 2 f k 哳) = 劢厕，z ) 】 代入( 2 1 8 ) 式可得磁位的频谱表达式为 f 眇 ，y ，z ) ；一去g 拥m ，+ ，删，+ 2 以u 2 + v 2 m ：) f 眇 ，y ，z ) 2 1 3 频率域重力异常及各阶导数频谱表达式 根据f o u r i e r 变换的微分性质，得到以下关系式 ， 产卜粥) 】l 耐泖捌 ， 旦二! ：差笋】。，p 名( x ，y ，z ) = 一4 万2 “v f v ( x ，夕，z ) 】 f f 掣1 = f 晚力 柏2 掰矿而眇】 ， 学 一f 眩咖， 一2 泞粥， ， 2 ，眈咖， 一2 v 厮炉) f 学 5 f 6 【乞o ，y ，z ) 】= 4 万2 ( “：+ v 2 ) f 眇o ，y ，z ) 5 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 第一二帝频：钲城j 王t 六面f 4 i 重、融异常限i i ；旺- a g ( x , y , z ) ；掣：g 盯_ o v ( x , y , z ) 故重力异常频谱计算公式为 f a g ( x ，y ，z ) ；f o w ( x , y , z ) 1 ：f f g 。旦掣1 ：2 ， a 3 仃v u u + v - f v ( z ，y ，z ) 】( 2 。1 1 0 ) 。dzli d 2 i 设j ：方向的方向余弦为l l x , ，。：) 。则频率域重力异常在i 方向的一阶导数频谱表 达式为： ，垫堕幽1 ；， a a g ( x , y , z ) o x + 堂必翌+ 堂鱼业堕1 【 a f l j【 批 0 1 1o yo l l o z o l lj = i 砌，h + f 加o + 劢而。：j ) f g o ，y ，z ) ( 2 1 1 1 ) = 2 z a t c r 厢t 2 n u l h + f 撕，+ 2 r r 厅u + v ：l ，：妒眇 ，y ，z ) 设t 方向的方向余弦为1 2 x , z ：，：) ，则频率域重力异常在云、t 方向上的二阶混合 导数颂谱为： q 等产卜 鼍掣毒+ 鼍笋 妙a2 船( x ，y ，z ) a z1 0 1 2 。0 1 1 0 z0 1 2j ；g 砌，h + f 挑+ 2 a r 正u2 + v l ，：) g 施k + f 加b + 劢厕：) f k ( ，z ) ( 2 1 1 2 ) ：猢仃而g 流o + i 加o + h 而，：) g 概乞+ f 加b + 2 r r 厅u + vz l ：) f 眇( w ，z ) 】 看有，1 个方向，每个方向用l k 表不，其中k 一1 , 2 ，l 。( z h ，k ，k ) 是以；b - 向的方向 余弦，则频率域重力异常在云，瓦7 ：l 方向的甩阶混合导数频谱表达式为： f 鬻掣一”幼厕b ) f 舻) ；猫。而 j g 拥驯玲+ h 而乜枷帆) 】 ( 2 1 1 3 ) 2 1 4 师室萤l ；! 磁力导常您各阶导莉标谱嘉沃肯 6 k 安人学顾l ：学位论文 1 暇设磁异常分量方向为z ，则，方向的磁异常分量为a t , 0 ，y ，z ) ，其表达式为： 厶乙o ，y ，z ) - i t o o u 了( x , y , z ) 其中，。为真空中的磁导率；f 方向的方向余弦为( ，；) 。根据f o u r i e r 变换的 微分性质，并将磁位频谱表达式( 2 1 9 ) 代入有： f 辄m 叫嗍鼍户 a 笔e 概l x + i 幼z ，+ 妨而；) ( 2 1 1 4 ) 1 2 捌m 。+ f 2 ，删，+ 2 廊u2 + v z m ：) f 眇( x ，) ，z ) 设j ：方向的方向余弦为( z ，l ，y ，l ，：) ，根据f o u r i e r 变换的微分性质推导出磁力异常 a r , ( x ，y ，z ) 在7 ：方向的一阶导数频谱表达式为： ， 鼍爿；g 拥轨”幼厕：，】 一卷g 施。+ i 刎，+ 扫厅面揍玩乞+ 伽+ 幼仃砚) p 2 r m m ，+ i 2 r t v m ，+ 扬厨了m ：_ ) f t v , x ，y ，z ) ( 2 1 1 5 ) 若疋方向的方向余弦为u ：鼻，l ：，1 ：) ，则频率域磁力异常乃0 ，y ，z ) 在舌、疋方向的 二阶混合导数频谱表达式为： f 掣 一i 细，h + z 轨z 砂+ 2 r r 届u z + v z l k ) 加，：，+ i 2 r t v l ：，+ 2 , - r 厅u2 + v z l ：) f ，y ，z ) 】 一笔t 拥l u + i 加o + 幼乒丽，戌拥k + i 加b + 2 万4 一u2 + v 2 l ：) 2 n u l ，+ i 撕f ，+ 2 撕u2 + v 2 1 ：) 1 2 h u m 。+ f 洲，+ 劢、= 确：_ ) f 眇 ，y ，z ) ( 2 1 1 6 ) 若有月个方向，每个方向用瓦表示，其中k ：1 , 2 ，l 。云方向的方向余弦为 7 第 二币频? ：域直f 六i f 玎f l j 蕾、磁异。沾i f 濒i j ( ，h ，姆，气) 。贝1 i - - w - - 域i i j j 异常乃( z ，y ，z ) 在i i ，f ：，。方向的h 彩r 混合导数步吹谱农达式 为： 叫糍筹h 豇一”h 而k 忡， = 笔科拥删如+ 幼而k ) h p 劢而：) 2 j r u m ，+ 眨删m ，+ 2 ：r 、u2 + v m ：) f 眇( x ，y ，z ) 2 1 5 频率域重力、磁力异常及各阶导数频谱表达式总结 频率域重、磁异常及各阶导数频谱表达式为 f g ( z ，y ，z ) 】一猢仃“2 + v 2 r v ( x ，y ，z ) ， 鬻掣卜猫口而回一”纫而垃p ，】 ， 驰y z ) = 鲁( f 加。f 撕，y + h 扩丽：) t 拥m ，+ i 加m ，+ 幼= 确：妒o ，y ，z ) f 糍掣心睁拥删渺一卅 妊2 , m d ，+ i 2 ：w l y + 2 ：r 山：+ v ：，：j o 切m 。+ 汜硝m ，+ h 以_ 确：_ ) f 眇 ，y ，z ) 由以上公式可以看出频率域重、磁异常频谱是x 、y 方向频率扒v 的因子与 f v ( x ，y ，z ) 的乘积。而重、磁异常各阶导数频谱是导数因子与重、磁异常频谱的乘积。 根据这些特征，只要计算出f v ( x ，y ，z ) 就可以分别计算出频率域重、磁异常的频谱以 及各阶导数的谱，经过反变换就可以求出其重、磁异常及各阶导数值。所以，频率域重、 磁异常频谱计算的关键是计算f ( x ，y ，z ) 。 2 2 频率域直立六面体重、磁异常及各阶导数频谱表达式 2 2 1 频率域直立六面体f 眇( 工，y ，z ) 】的计算 8 k 安人学硕i ：学位论文 已知观测点坐标为g ，y ，z ) ，直立六面体在z 方向的坐标为蕞亭：，在y 方向的坐标 为，7 。，7 ：，在z 方向的坐标为毒，考：。根据( 2 1 3 ) 式有： i ：e 办丽倌- ：) p 一2 州孙w ) d 彰彬参 r 1 2 e - 丽传q 卜j 三蠢2 e f 2 州如w ) d ( 一i h ( 蓟+ 彬彬考 。南瞄p 也而沁卜去p 一训脚l 和； 4 南。去膳e 出厕沁) p 幌) 一e m 傅) k 石1 侈吣椭帅”i r 蛳( z e - 2 t - 而伊； 丙1熹卜ti卜越礁，2i2：rui 2 ：w一一 l玑j 1 一h 矗了 跏3 u v ( u2 + l ，2 ) g h 厢：，旧 e - i 2 n ( ；z u + r 2 v ，一e - f h c 宇： ，一e h c 和+ ”：v ，+ e h c 即+ ，】 一h 厢渤叫妇而喊叫 2 2 2 重磁异常及各阶导数频谱表达式 ( 2 2 1 ) 把( 2 2 1 ) 式代入( 2 1 1 0 ) 式，可得到频率域直立六面体重力异常频谱表达式为： r a a ( x ，y ，z ) ：_ _ p 础： ) 一e 啦啪z 一一已啦嘶恍v ，+ p 珑哟，】 4 ：r 。u v 、u 4 - v 卜厮叫巧：一而嘶叫】 ( 2 2 2 ) 由( 2 1 1 3 ) 式可得频率域直立六面体重力异常n 阶混合导数频谱表达式为： ， 锱0 ld l 等0 1 卜i。：。i e 拥，h + f 加o + 幼厕缸卜k 。棋z ) ( 2 2 3 ) 把( 2 2 1 ) 式代入( 2 1 1 4 ) 式可得频率域直立六面体磁力异常频谱表达式为 9 南寿 = = 1 - j 、， z y x 眇 f 南南 第_ 二帝频： ：域直六面f l i 蕈、磁异常币演公， ，k 纠 2 茹意丽e 加。叫+ h 扩而：) c 2 r m m ，+ i 2 m , m y + 2 r r 石u2 - m ：) ( 2 2 4 ) - i 2 万( 却州) 一e 一_ ( 却+ ，7 l r ) 一p ：m ”州+ p 一吲亨j u + r h r ) 1 卜厮峨叫巧：一、而叫 由( 2 1 1 7 ) 式可得频率域直立六面体磁力异常玎阶混合导数频谱表达式为： f 篇等旧一”h 而咖啪翻 眩2 剐 2 2 3 零频点计算问题 可以看到( 2 2 2 ) 式、( 2 2 3 ) 式的分母都包含频率“和y ，当“乒0 、v 0 时，分 母不为零，可以直接按以上公式计算。但当u o 或v ；0 时，就不能直接计算，而需要 讨论在“= 0 或v = 0 时计算式的值。下面将分别针对“。0 、，：0 ；“乒0 、v ；0 ； u = 0 、v 一0 三种情况对以上计算式进行讨论。 ( 1 ) u = 0 、v 一0 ， g ，y ，z ) k = a g ( x ，y ，z ) 蚴 v - o - 根据高斯通量定理有仃卸( z ，y ，z ) 出咖= 2 7 z g m ， m = 仃( 亭2 一芋1 ) ( ，7 2 - r 1 ) ( ；2 一考1 ) 。所以： ， a g ( x , y , z ) t 。掀 lv - 0 当h 一0 、 ，= 0 时，磁异常的频谱计算式为 ， 乃 ，y ，z ) 】= f f r , ( x ，y ，z ) 出咖 l - - 0 一。 其中m 是场源体的质量，在这里 根据磁场通量定理有：乃 ，y ，z ) d x d y = 0 。所以： l o ( 2 2 6 ) k 安人学硕i j 学位论文 f 乃 ，y ，z )。o = 0 v - o ( 2 ) u 0 、v = 0 ( 2 2 7 ) 必须对( 2 2 2 ) 式和( 2 2 3 ) 式应用洛必塔法则求极限才可以得到值。首先对v ( x ，y ，z ) 的频谱f 眇o ，y ，z ) 求极限。然后代入( 2 2 2 ) 式和( 2 2 - 3 ) 式，就可得到重磁异常及 任意阶混合导数的频谱值。 辱y 玑o - l i m 郴1 矿 e 渤( u 彳m 晦帅，) 一e 一愧v ) 仃渤v ) 卜厢慨叫“：z 厮惰叫 _ f 加2 e - 训；, u + r 2 v ) + i 2 册l , e - i 2 , r ( v ) + f 棚2 e - f 2 棚掣) 一f 砌l g 越嘶蝴v ) 】 卜厮喝叫巧：z 厢嵋叫】 = 击 _ f 加：铲却+ i 加l e - i 2 r - u + i 娜：e - f 2 咖一f 加l e - i 2 r 宇l u 卜瓶“巧：叫】 ；上4 翻rz u 3b ，嘞) 妒，埘, u - e - i , g , u ) i e 勘风：叫巧z 风- 叫】 f a g ( x ，y ，z ) k 。= 2 面ou j u f v ( x ，y ，z ) 】| - 。 。百g c r ui 、, r , - r 2 ) 舻：u _ e - i 2 ：r ；, u # 撕叫嘲叫 ( 2 2 8 ) ， 烨虬一志+ 幼历：2 a u m ，+ 2 石u ( u m ：) 旺2 m ( y l - - 叼2 ) 睁p 巧瞒“卜厅( f 2 - 0 _ e - 2 z 坼z ) 】 ( 3 ) “；0 、v 0 “= o 、v 乒。和“每0 、v = 0 的讨论方式一致。首先对y o ，y ，z ) 的频谱f 眇 ，y ，z ) 求 极限。然后代入( 2 2 2 ) 式和( 2 2 3 ) 式，就可得到重磁异常及任意阶混合导数的频谱 值。 1 1 第二帝频： ：域血i ，：六面体露、嵫异粥i i f 演公- f v ( x ，y ，z ) k 。= ! i m 。 断3 u v ( u ：+ l ，：) 【e 一：疗、：+ r ：f ：一：) ! 一f ：一t ；：“+ - ：1 ，_ e - i 2 ：r ( - ：u + q ) r ) _ e - i 2 # ( g l u + q , , v ) + p f ：j t ；h + ”一i - ， 一e _ e # xu - + c - ( 】 8 ：r3 v ( u ：+ ，：) - i z , r 亭2 e - i 2 r ( ：u + r z v ) + i 2 ：r e 2 e - i 2 , r ( 舢 - i 2 砖l e - i , , # ( 和州一i 2 ：r 亭l e - i h ( 和 ) 卜而渤叫：z 、而叫】 。南( 每妇嘲- - e - i 2 m h v 卜风r ：，- e 一：梳t 叫 f a g ( x ，y ，z ) 】i f a t t ( x ，y ，z ) k 一狮盯芦f v ( x ，y ，z ) 】| l ，l o ：百g c r v i ( 芋。一宇：) ( e - i 2 m l ：v - - e - i 珈。v 一新伊c 小“一p 一扫护t 秆：，帅。 。 ( 2 2 1 0 ) 蒜b + h 历：) ( ! 2 a v m ，+ 加而：) - 眨2 m ， 一亭：始一，铆, _ v _ e - i 2 0 出厅t 。“一e h 乒c 小：，】 1 2 m 加” 旦o = 第三章频率域直立六面体正演计算方法讨论 实际工作中计算面既有平面也有曲面，既有规则网也有非规则网。这就要求有适用 不同计算面形式的计算方法。一般说来计算面形式可以分为平面规则网、平面非规则网， 曲面规则网、曲面非规则网四种形式。下面讨论这四种计算面形式所对应的具体计算方 法。 3 1 计算面为平面非规则网时的频率域重、磁正演问题 有了直立六面体频率域重、磁异常及各阶导数的计算公式。根据f o u r i e r 反变换可 以得到空间域直立六面体重、磁异常及各阶导数的计算结果。现以a g ( x ，y ，z ) 的计算为 例进行算法讨论。 已知观测点坐标为e ( x ，y ，z ) ，z 方向向下为正且为常数。要求直立六面体位于p 点 之下。直立六面体在x 方向的坐标为岛一亭：，在y 方向的坐标为，7 。，7 ：，在z 方向的坐 标为亭。毒：。根据公式( 2 2 2 ) 可以计算直立六面体重力异常的频谱。再根据( 3 1 1 ) 式进行单点f o u r i e r 变换，就可以得到直立六面体在p g ，y ，z ) 点产生的重力异常。 0 厶 f 2 二矧 榭 ；l i 量：曩l 厂 il ，7 。 妃：j ， 图3 1 直立六面体示意图 g ，y ，z ) = 厂f a g ( x ，y ，z ) p 州d h d v ( 3 1 1 ) 在求重力异常频谱时，需要给出x 方向频率l 和y 方向频率v 的离散值。假设频率 域的截止频率为“。、k ，频率域抽样间隔为d u 、d v ，那么频率取值范围是“【一h 。，“。j 、 v 【_ v 。，v 。 。把比、v 写成离散形式，可表示为： “仰) = ( 朋一等) 咖， 肌= o ，1 ，m ，其中m2 石u c ( 3 1 2 ) 1 3 第三章频j 争域直一六皿f 4 if 演计算方法讨论 咖，= 卜净凡肌其中= 等 故( 3 。1 1 ) 式可近似表示为： a g ( x ，) ，z ) ：m nf g ( 石，y ，z ) k ，z ) l 已i 2 ：r ( u ( m ) x + v ( n ) y ) d 咖 删2 磊磊f g ( 埘 z ) m ) 捌v ( 3 1 4 ) 式就是单点离散f o u r i e r 变换公式。 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 3 1 1 参数选择试验 在利用( 2 2 2 ) 式和( 3 1 4 ) 式进行计算时，“、，离散数值需要确定。首先要确 定“。、k 及也、d v 的值。根据重磁异常的频谱表达式可以看出，截止频率“。、v 。主要 受指数因子 卜厮慢- ：，4 ：一、而幢叫j 的影响，也讥- , - , 鸸e l 机。的选取与中心深度( 学q ) 有关。而频率采样间隔舯咖 主要受复指数函数 e - i 2 j j r 传：”仉一p - f 州岛们订一e - i 2 j r ( 岛u + ，2 v ) + e 。2 州蜀仇i f j 的影响，也就是说咖和咖的选择主要受( 亭：一岛) 和白：一r l ，) 的影响。下面就此进行讨论。 现设计模型1 ，其剩余密度为1 0 0 0 k g m 3 ，x 坐标范围( 亭。，亭：) = - - 2 0 0 m ，2 0 0 m ) ，y 坐标范围幻，7 ：) = ( 一2 0 0 m ，2 0 0 m ) ，厚度为4 0 0 m 。计算面坐标为z 一0 。下面取不同深 摩进行试验。 o 0 1 0 - 一一一- 一一一一 o o o d o o o o o 0 0 2 墨o m o m o 0 0 4 0 + 0 0 6 o 也芝扬1 0 o 崩屯弓i f 0 6 0 + 矗面2o o o 2o 舯o o o 南o i j ( 1 i r a ) 图3 1 模型1 ( 考。，亭：) = ( 1 0 0 m ，5 0 0 m ) 重力异常振幅谱 1 4 o ，o ，争一 一 0 棚 0 m 0 一 o 0 0 2 墨。蛳 n 0 0 2 o o o - 0 0 o ? 瑞1 0 也o o o o 酗- 口。舱o i o 2o 6 0 4乱o 嘲0 0 1 0 u i l i r a ) 图3 2 模型1 ( 亭。，；：) = ( 2 0 0 m ，6 0 0 m ) 重力异常振幅谱 k 安人学硕i j 学位论文 o o 】踮石_ 面i 一五j a f 一4 ) 一0 0 4 谳1 ：商画百面r 百丽r 1 面r 1 面i _ 丽，o u i l l m ) 图3 3 模型i 皓。，毒：) = ( 4 0 0 m ，8 0 0 m )图3 4 模型1 ( ；，；：) 一( 6 0 0 m ，1 0 0 0 m ) 重力异常振幅谱重力异常振幅谱 图3 1 、图3 2 、图3 3 和图3 4 是模型1 在不同埋深时，频率域重力异常振幅谱分 布示意图。由图可见随着埋深的增大，重力异常振幅谱的范围向中心缩小。 3 1 1 1 同一模型不同埋深u ，和y ，取值试验 针对模型1 ，给出一个较小的频率域采样间隔d u = d v 。0 0 0 0 0 5 ( 1 m ) ，试验不同的 u 。、v 。取值对计算结果的精度影响。试验结果列于表3 1 。图3 5 是模型1 当 ( ；。，毒：) = ( 2 0 0 m ，6 0 0 ，1 ) 时空间域重力异常计算结果，本文以空间域计算结果作为理论值。 图3 6 画出了序号6 频率域算法的重力异常结果，截止频率u ，tv 。= 0 0 0 5 ( 1 m ) 。 表3 1 模型l 不同截止频率重力异常计算误差统计表 结果与理论理论异常相对均 ；，亭2 u c咋 序号 异常均方差极人值方误差 m 1 m 1 m g - u g u 11 0 0 5 0 00 0 0 50 0 0 50 0 1 6 3 7 14 0 8 3 4 50 0 4 0 21 0 0 5 0 00 0 0 2 50 0 0 2 50 2 3 0 0 3 94 0 8 3 4 50 5 6 3 3 1 0 0 5 0 00 0 0 2 0 0 0 20 2 7 7 5 514 0 8 3 4 50 6 8 0 4 1 0 0 5 0 00 0 0 1 50 0 0 1 51 0 2 6 3 7 64 0 8 3 4 52 5 1 4 5 1 0 0 5 0 00 0 0 10 0 0 1 3 5 0 8 0 6 2 4 0 8 3 4 5 8 5 9 1 62 0 0 6 0 00 0 0 50 0 0 5o 0 0 1 9 8 42 5 1 6 6 70 0 0 7 9 1 5 笫二帝频：筝城a ，：六面f 4 i f 演汁身7 j i l i 4 i 2 结果与理论 理论异常 相对均 ；1 _ 亭2 “c 匕 序号异常均方筹 极人值方误筹 ，竹 1 m l m g u g u 7 2 0 0 6 0 0 0 0 0 2 50 0 0 2 50 0 2 8 2 212 5 1 6 6 70 1 1 2 8 2 0 0 6 0 0 0 0 0 2 0 0 0 20 0 4 6 6 5 7 2 5 1 6 6 70 1 8 5 92 0 0 6 0 00 0 0 1 50 0 0 1 50 3 0 7 6 9 2 2 5 1 6 6 71 2 2 2 1 02 0 0 6 0 00 0 0 10 0 0 11 4 3 6 8 9 82 5 1 6 6 75 7 1 0 1 14 0 0 - - 8 0 00 0 0 50 0 0 50 0 0 2 8 9 01 1 7 0 4 90 0 2 4 7 1 24 0 0 8 0 0 0 0 0 2 50 0 0 2 50 0 0 2 9 4 91 1 7 0 4 90 0 2 5 2 1 3 4 0 0 8 0 0 0 0 0 20 0 0 20 0 0 3 5 3 51 1 7 0 4 90 0 3 0 2 1 4 4 0 0 - - - 8 0 00 0 0 1 50 0 0 1 50 0 3 2 0 7 5 1 1 7 0 4 90 2 7 4 1 54 0 0 8 0 00 0 0 10 0 0 10 2 6 51 0 11 1 7 0 4 92 2 6 5 1 66 0 0 - - - 1 0 0 00 0 0 50 0 0 50 0 0 3 8 5 36 6 4 2 90 0 5 8 0 1 76 0 01 0 0 00 0 0 2 50 0 0 2 50 0 0 3 8 5 36 6 4 2 90 0 5 8 0 1 8 6 0 0 1 0 0 0 0 0 0 20 0 0 2o 0 0 3 8 3 9 6 6 4 2 9 0 0 5 7 8 1 9 6 0 0 1 0 0 00 0 0 1 50 0 0 1 50 0 0 5 8 4 36 6 4 2 9 0 0 8 7 9 2 06 0 0 - 1 0 0 00 0 0 10 0 0 10 0 5 3 8 0 86 6 4 2 90 8 1 0 说明：理论异常为空间域重力异常计算结果。幽和咖的值都为0 0 0 0 0 5 ，单何1 m 。 图3 5 模型1 ( 善。，；：) = ( 2 0 0 m ，6 0 0 m )图3 6 模型1 ( ；。，；：) ；( 2 0 0 m ，6 0 0 m ) 理论重力异常等值线平面图 1 6 计算重力异常等值线平面图 k 宜人学颂i ：学位论文 由表3 1 和图3 5 及图3 6 可以看出，对于模型1 ，随着埋深的增大，能保证频率域 计算结果精度的“。、y 。值减小。从表3 1 中可以看出，当取 时，计算结果的误差可以控制在1 以内。故本试验的经验公式为( 3 1 5 ) 式。 ( 3 1 5 ) 3 1 1 2 相同中心埋深不同宽度模型“。和心取值试验 在3 1 1 1 中根据模型试验得到了u 。、 ，。取值的经验公式( 3 1 5 ) 式。可以看出， 截止频率取值和模型的中心埋深有很大关系。本试验设计几个模型，它们的中心埋深都 为j i l 。鱼 鱼一z ；5 0 0 肌，但模型宽度和上、下界面的埋深都不同，剩余密度为 1 0 0 0 k g m 3 。计算面坐标为z z o 。根据( 3 1 5 ) 式确定“c ； ，c2 孟2 o 0 0 4 。同时给 定很小的频率域采样间隔为d u d v = o 0 0 0 0 5 ( 1 m ) 。把试验的计算结果的误差统计列于 表3 2 。 表3 2 相同中心埋深模型相同截止频率计算重力异常误差统计表 结果与理 理论异常相对均 序 氧一岛，7 l 一，7 2；l - ；2 u c2 ，c d u = d v 论异常均 极人值方误差 1 m方差 号 ，竹 mm 1 m g u g u 14 0 0 4 0 04 0 0 4 0 0 4 0 0 6 0 00 0 0 4 0 0 0 0 0 50 0 0 4 8 312 1 7 0 4 7 8 40 0 2 2 3 2 4 0 0 4 0 0 4 0 0 4 0 03 0 0 7 0 00 0 0 40 0 0 0 0 50 0 0 9 6 9 3 4 5 2 8 3 5 5 40 0 2 1 4 32 0 0 2 0 02 0 0 2 0 0 4 0 0 6 0 00 0 0 40 0 0 0 0 5 0 0 0 1 2 1 27 6 0 2 8 0 90 0 1 5 9 4 2 0 0 2 0 02 0 0 2 0 03 0 0 7 0 00 0 0 40 0 0 0 0 50 0 0 2 4 4 31 6 6 3 6 5 5 7 0 0 1 4 7 5 2 0 0 2 0 02 0 0 2 0 02 0 0 8 0 00 0 0 40 0 0 0 0 50 0 0 4 7 1 82 9 2 6 8 8 310 0 1 6 1 62 0 0 2 0 02 0 0 2 0 01 0 0 9 0 00 0 0 40 0 0 0 0 50 0 4 5 7 6 94 9 4 8 51 4 90 0 9 2 5 72 0 0 2 0 02 0 0 2 0 05 0 9 5 00 0 0 40 0 0 0 0 50 2 0 2 0 5 76 4 3 8 0 6 9 90 3 1 3 8 81 0 0 1 0 01 0 0 1 0 01 0 0 9 0 00 0 0 40 0 0 0 0 5o 0 1 6 2 8 71 8 2 1 9 9 3 60 0 8 9 4 91 0 0 1 0 01 0 0 1 0 0 3 0 0 7 0 00 0 0 4 0 0 0 0 0 50 0 0 0 6 0 4 4 8 0 2 8 0 0o 0 1 2 6 1 01 0 0 1 0 01 0 0 1 0 0 4 0 0 6 0 00 0 0 4 0 0 0 0 0 50 0 0 0 3 0 02 1 3 1 1 5 6 0 0 1 4 1 1 1 5 0 5 0 5 0 5 0 1 0 0 9 0 00 0 0 4 0 0 0 0 0 50 0 2 4 4 3 5 5 4 5 5 0 3 00 4 4 7 9