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第24题二次函数综合题类型1二次函数与特殊三角形判定1. 已知二次函数yax2bx3a(a0)经过点A(1，0)、C(0，3)，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D.(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC、BC、DB，求证：BCD是直角三角形；(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由第1题图(1)解：二次函数yax2bx3a的图象经过点A(1，0)、C(0，3)，根据题意，得，解得，抛物线的解析式为yx22x3；(2)证明：由yx22x3(x1)24得，点D的坐标为(1，4)，点B的坐标为(3，0)，如解图，过点D作DEx轴于点E，过点C作CFDE于点F，D(1，4)，B(3，0)，C(0，3)，OCOB3，DE4，BE2，CFDF1，CD2CF2DF22，BC2OC2OB218，BD2DE2BE220，CD2BC2BD2，BCD是直角三角形；第1题解图(3)解：存在抛物线yx22x3对称轴为直线x1.i)如解图，若以CD为底边，则P1DP1C，设点P1的坐标为(x，y)，根据勾股定理可得P1C2x2(3y)2，P1D2(x1)2(4y)2，x2(3y)2(x1)2(4y)2，即y4x.又P1(x，y)在抛物线yx22x3上，4xx22x3，即x23x10，解得x1，x20)个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴于点C.(1)求抛物线C1的解析式及顶点坐标；(2)以AC为斜边向上作等腰直角ACD，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C2的解析式；(3)若抛物线C2的对称轴上存在点P，使PAC为等边三角形，请直接写出m的值第2题图解：(1)抛物线C1：yx2bxc经过原点(0，0)，与x轴的另一个交点为(2，0)，解得，抛物线C1的解析式为 yx22x，则yx22x(x1)21，该抛物线的顶点坐标为(1，1)；(2)将抛物线C1向右平移m(m0)个单位得到抛物线C2，抛物线C2的解析式为y(x1m)21，抛物线C2交x轴于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，A(m，0)、B(m2，0)、C(0，m22m)，设抛物线C2的对称轴与x轴的交点为点E，如解图，过点C作CHDE于点H，第2题解图ACD是以AC为斜边的等腰直角三角形，CDA90，CDAD，又CHDDEA90，CDHADEADEDAE，HCDHDCHDCADE，CDHDAE, HCDEDA，CHDDEA，HD AE 1, DE CHm1，EHHDDEm2，由OCHE得m22m m2，解得m11，m22(舍去)，抛物线C2的解析式为y(x11)21x24x3；(3)m.【解法提示】如解图，连接BC、BP，由抛物线的对称性可知APBP，第2题解图PAC是等边三角形，APBPCP，APC60，C、A、B
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