（应用数学专业论文）平面二次映射的一些基本性质.pdf

摘要 近一、二十年来，已有越来越多的人投身于研究离散 动力系统，特别是差分方程解的稳定性、振动性以及分 支、混沌等问题”2 6 ，2 8 】，并取得了许多有意义的成果但 由于离散动力系统的复杂性，其基本理论框架还未完善， 特别是一些深入的定性性质的研究还刚刚起步，甚至还 是空白 鉴于在关于向量场的平面定性理论和h i l b e r t 十六问题 的研究中，平面二次向量场理论，诸如极限环的存在性和 分布问题，占有十分重要的地位，本文对最简单的非线性 离散动力系统平面二次映射的一些基本性质进行研 究在第二节中首先考察平面二次映射不变直线的存在 性和最大数目，得到了若干不变直线存在和不存在的条 件，证明了当存在两个以上不同斜率时，最多存在3 条或 4 条不变直线：当最大条数是3 时，3 条直线或者两两相交， 或者其中2 条平行；当最大个数是4 时，这4 条直线是两 对平行直线此外我们还考察了平面二次映射在不变直 线上的混沌性态接着，在第三节中，通过引入切点的概 念，考察了直线上切点及无切直线性质，证明了非不变直 线上不动点和切点个数之和不超过2 ；不变直线上不可能 存在中心或焦点；平面二次映射中心和焦点数目不超过 2 个的结论在第四节又将平面向量场中的焦点量推广 到平面映射中，用规范型理论计算二阶细焦点的焦点量， 得到了零阶和一阶焦点量公式并分析了二阶细焦点时的 n a i m a r k s a c k e r 分支 关键词平面二次映射，不变直线，规范型，n a i m a r k - s a c k e r 分支 a b s t r a c t i nr e c e n td e c a d e s ，m o r ea n dm o r es c h o l a r sh a v eb e e ni n t e r e s t e d i ns t u d y i n gq u a l i t a t i v ep r o p e r t i e s ，s u c ha ss t a b i l i t y , o s c i l l a t i o n s ，b i f u r c a t i o n sa n dc h a o t i cb e h a v i o re t c o fd i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m s ， p a r t i c u l a r l y ，t h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n s c f 1 7 - 2 6 ，2 8 ，a n dm a n ys i g - n i f i c a n tr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e d b u td u et oi t s c o m p l e x i t y ，i t s t h e o r e t i c a lf r a m eh a sn o tb e e nc o m p l e t e dy e t m o r e o v e r ，s o m ed e e p q u a l i t a t i v es t u d i e sa r ej u s ts e t t i n go u t ，o re v e nb l a n ks p a c e i nq u a l i t a t i v et h e o r yo fp l a n a rv e c t o rf i e l d sa n dt h es t u d yo ft h e 1 6 t hh i l b e r t s p r o b l e m ，t h et h e o r yo ft h ep l a n a rq u a d r a t i cv e c t o r f i e l d s s u c ha st h ee x i s t e n c ec o n d i t i o n sa n dd i s t r i b u t i o no fl i m i tc y - c l e ，t a k e sav e r yi m p o r t a n tp o s i t i o n i nt h i sp a p e r ，w es t u d ys o m e g e n e r a lp r o p e r t i e so fq u a d r a t i cm a p s o n p l a n e ，t h es i m p l e s tn o n l i n e a r d i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m s i ns e c t i o n2 ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c e a n dt h em a x i m u mn u m b e ro fi n v a r i a n tl i n e t h e n ，w ec o m p u t et h e m a x i m u mn u m b e ro f t a n g e n tp o i n ti nal i n ew h e nw h i c h i sn o ti n v a r i a n ti ns e c t i o n3 ，a n dp r o v et h a tt h en u m b e ro ff o c ia n dc e n t e ri sa t m o s t2 i ns e c t i o n4 ，a f t e ri n t r o d u c i n gf o c a lq u a n t i t y ，w h i c hw a su s e d i nv e c t o rf i e l dt h e o r yf o r m e r l y ，i n t op l a n a rm a p s ，w eu s en o r m a lf o r m t h e o r yt oc o m p u t et h ef i r s tt w o f o c a lq u a n t i t i e so ff o c u sa n d s t u d yt h e na i m a r k - s a c k e rb i f u r c a t i o n k e y w o r d sq u a d r a t i cm a p so np l a n e ，i n v a r i a n tl i n e ，n o r m a l f o r m n a i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o n 试 熊邦松硕士学位论文答辩委员会成员名单 2 0 0 5 年0 5 月2 5 日 姓名职称单位备注 刘永明教授华东师范大学数学系 林武忠教授华东师范大学数学系童绺 傅显隆副教授华东师范大学数学系 毕平讲师华东师范大学数学系秘书 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经 发表威撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：巡日期：j 鲫 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名少竹扣、 日期：型茎趋! 塑 第一节概述 1 8 9 0 年h p o i n c a r 6 在研究太阳系的稳定性问题中发表了长篇论文关于动 力学方程及三体问题，成为动力系统理论的第一部教科书，作为保守系统，太阳 系的运动可山其动量和位置决定的一组h a m i l t o n 方程表示，因而保守系统又称 为h a m i l t o n 系统h a m i l t o n 系统具有良好的性质，比如分别由动量和位置决定 的动能和势能总和将相空间分成不同的曲面，相当丁把相空间层化，每一层有柏 同的能量这些不同的层是系统的不变曲面，当初始点在某一层时，在之前和之 后的有限时间里它都在这个层里运动【5 】 此后，山| 丁d h i h e r r 、l i a p u n o v 、g b i r k b o f f 、p h a r t m o a x 、a n ，k o t m o - g o n o v 、v i a r n o l d 、s s m a l e 、廖山涛等人的：i ：作，一些重要的理论和成果如中 心流形定理f 6 】、n o r m a lf o r m 理论 2 】、l i a p u n o v 函数f 4 】、m i l n i k o v 方法 7 】、 k a m 理论【l 】等等相继提出和建立，推动了动力系统理论的蓬勃发展现在，许 多学者仍在这块土地上耕耘，不断提出新的理论和方法，使得动力系统的理论口 益丰富， 最简单的动力系统是线性系统线性系统的理论已近乎完务然而，现实世 界中的各种真实的现象几乎都是非线性的要了解真实的世界就需要我们更多 地去建立和求解非线性模型和非线性系统对于求解非线性系统，虽然人们提出 了诸多行之有效的理论和方法，如摄动法，平均法等等，但要建立完善的非线性 理论仍是任重道远 平面二次向量场是形式最简单的非线性系统，研究的人很多，得到的结果也 非常丰富蔡燧林在文 1 0 】中考察了系统z = x ( a l x + b l y + a ) ，g = ( a z + b + e ) 在具有四个奇点时的所有全局定性图象叶彦谦【8 】将二次系统分为十五种典范 型，得到许多极限环存在性条件和各种极限环分布情况在 9 】中，又利用二次曲 线理论，将可能存在极限环的二次系统分为三大类型，极大促进了二次向量场的 研究陈鼍荪、王明淑【1 1 1 和史松龄【1 2 1 分别给出了存在四个极限环的二次系统 并且是( 3 ，1 ) 分布的例子，否定了原苏联著名学者p e t r o v s k i i 等人关f 二：次系统 至多存在三个极限环的论断此后叶彦谦、罗定军1 9 】、张平光1 1 3 j 等人对( 1 ，4 ) 第一肖概述 2 分布和( 2 , 2 ) 分布的不可能性进行了深入的研究；张芷芬、李承治等利用a b e l 积 分的零点个数来研究弱化的h i l b e r t 十六问题并取得了很大进展；李继彬、韩茂 安等先后用对称性和h o p f 分支等方法研究三次向量场的极限环分布问题，取得 令同行瞩目的成果，一但是，在我们为所有这些成果振奋的同时，却又不得不 遗憾地看到，目前离h i l b e r t 十六问题( f 4 关于n 次系统最多有几个极限环以及 它们的相对位置如何的问题) 的彻底解决还相距甚远， 山映射或迭代定义的离散动力系统由于轨道的不连续使得研究更加困难 这可由一个简单的事实看出来：对平而自治可微分向量场，由于轨道不相交，所 以不可能产生混沌冈此，自治向量场要产生混沌的最低维数是三维然而仅仅 是维直线上单位区间 o ，1 ) 卜的自映射，( 而= a o l 一功在a = 4 时就有混沌 存在1 1 4 尽管r p a g a r w a l 在其专著【1 5 】中较系统地讲述了差分方程离散动力 系统的基本理论，如解的存在性，初边值问题等等，但相比于向量场而言，离散动 力系统的理论还极不完备，不少领域还处于起步阶段，甚至还是空白近一、二 十年来，这块剐开发的处女地吸引了越来越多的开拓者较深入的定性理论结果 正在一个又。个地被发掘i i j 来如【1 5 】中对稳定性、振动性已经有了一些结论； af b e a r d o n 1 6 】在复域上研究有理迭代，分析诸如f a t o u 集和j u l i a 集的性 质和结构，包括周期点、临界点和游荡集理论；w i g g i n s ( 2 j 在研究可微向量场的 同时把一些理论如中心流形定理、奇点分支理论等推广到映射；v l k o c i c 等 【1 7 1 ，李先义等i l s 对迭代z n + - = 生鼍i 詈坐及。+ ，= j 宰；兰，李先义等【1 9 对迭代z n + 1 = 生x a 垒+ x 型。_ l 旦x n 二兰- 2 垫+ a 和+ l = 嚣未等i ；：二赘，以及李先义等 2 4 】对迭代 z n + = 瓮等苦等和。+ - 一号筹的振动性、稳定性和吸引性进行了研究， 得到些充要条件 又如通过引入焦点、准焦线和临界点集l c 等新的概念，b i s c h i 等【2 0 ，2 3 l 研究 个分量含有分母的平而映射( 。，= ( f ( z ，) ，g 鲁等) 的 般性质，在有 鞍点和稳定焦点存在时考察焦点的暇引忿及其边界，并通过可逆和不可逆映射 的具体例子分析混沌现象g a r d i n i 等【2 5 研究了l y n e s s 迭代x 。+ l = 9 警迪挚在参 数q 0 时解的有界性并改进了【1 7 l 中的结果丁数值方法( 如牛顿法) 求懈 第一* 概述 3 高次方程时要考虑解的收敛性问题，在动力系统中就转化为不动点的吸引区间 或吸引域问题冗jb a i r s t o w 方法求三次：j 了程实根时将导m 两个分量有相同分母 的平而分式映射g a r d i n i 等【2 1 】具体研究与方程r ( z ) 一一+ ( o t ) x a 相应 的平面分式映射在参数8 变化时的动力学性态，揭示了在不同的。值下，无定义 集、准焦线、l c 及其原象集l c _ l 等相交、相切等现象，并且在某些参数集合 上吸引域将燮得非常复杂，直至m 现混沌吸引子 由于解析地求解稳定( 不稳定) 流形几乎不可能，并随着计算机的发展，许 多学者开始采用计算机模拟稳定( 不稳定) 流形以及混沌现象j p e n g l a n d 等 【2 6 ，2 2 1 用软件d s t o o l 并采用s e a r c hc i r c l e 代数研究平面不可逆映射q ( z ，) = ( g ，d z + b z 2 + 矿) ，得到内折分支( i n n e r f o l db i f u r c a t i o n ) 和外折分支( o u t e r - f o l d b i f u r c a t i o n ) 规范型常用于许多研究强非线性向量场系统，通过系列近似恒等变换，消 去系统的非共振项，使其变得容易处理【2 7 】- 金银来等【2 8 】初步研究了高维空 间映射的规范型，从理论，卜给出一个规范型的求法最近，有人认为传统的规范 型理论得到的规范型不是最简单的规范型，从而提出“最简单的规范型( s i m p l e s t n o r m a lf o r m ) ”的概念p y u 等( 2 9 ，3 0 1 进一步在变换中引入时间和参数的标度 变换研究了h o p f 分支 控丁二次向量场理论在平面定性理论和h i l b e r t1 6 问题研究中的作川年n 地 位，鉴丁离散动力系统的复杂性和已有理论的不完整性，我们认为有必要从晟简 中的非线性离散动力系统一平面二次映射的研究起步，参照平而二次向量场的 已有结果和理论，从探讨平面二次映射的最基本的性质入f ：扎扎实实地推进我 们的研究l 。作，从主要局限干稳定性、振动性的研究向更深入、更全面的定性研 究、分支分析等发展为此，木文力图结合两类动力系统将连续动j 系统光 滑向量场中的理论推广移植到离散动力系统中，对平面j ? 次映射 ( ；) r ( i )a 0 1 ) ( i ) + w + 0 0 2 y 2 1( 1 1 ) c g + b 0 2 y 2 ， 4 的些丛小性质进行探索全文其余各节安排如f 笫1 考虑映射( 11 ) 不变直线的存在性条件以及最人数日 厶 + + 2 2 z z 帅 如 血6 ，ft、 0 0 ，、 第一节概述 第三节将平而二次向量场中的一些定理推广到平面二次映射中：包括不动 点平兀切点在直线卜存在情况，中心和焦点的些可能存在性及不变闭曲线性质； 第四节用规范型理论计算平面二次映射的焦点量并分析n a i m a r k s a c k e r 分 支 第二节平面二次映射不变直线的存在性 本节研究平面二次映射7 1 ： ( ：) = 丁( ：) = ( ：l ：a o t ) ( ：) + ( a 。2 。o 。x 。2 。+ + a 。n 。x ，y + - f - a o 。2 圹y 2 ) c z ， 当系数。( 2 ，j = 0 ，l ，2 ) 满足什么条件时存在不变直线以及不变直线的数目 所谓映射t 的不变直线，是指平面卜某条直线l 七的点经映射t 作用后仍 在f 上，即v ( x ，9 ) c ，有( 。，7 ) = 丁( z ，y ) l 当z 为非竖直直线时，它可农为 此时直线的不变性等价于 f ： y = k x + m 6 l 。z + b o t ( 妇+ m ) + b 2 0 j ：2 + 6 z ( 鼢+ m ) + 6 。2 ( 妇+ m ) 2 f 22 1 = 七如1 0 z + a o l ( k z + m ) + a 2 0 x 2 + a l l z ( 七z + m ) + a 0 2 ( 七。+ m ) 2 ) + m 4 由x 的任意性，( 2 2 ) 又等价丁 lb 0 2 k 2 + b h 七+ 幻o = 南i 0 0 2 南2 + a l l k 十0 2 0 ) ， 2 b 0 2 k m 十b n m 十b oo k + b t o = k ( 2 a 0 2 k m + al l m + a o l k + n l o ) ， ( 2 , 3 ) i6 0 2 m 2 + 6 0 1 m = 七( 0 0 2 m 2 + a o l m ) + m 这样，要考察映射t 的非竖直不变直线的存在性与数日，就等价于研究系数 n 。，b ( i ，j = 0 ，l ，2 ) 满足什么条件时关下k ，m 的方程组( 2 3 ) 有解及其解的个数 2 1 水平与竖直不变直线 ( 24 1 喘： | | o 0 0 拈 m 中 + p ” 5 嬲 川 刚 0 黜 彬 方 岢，l，0 柑占口而线4 嘧平水对 第一仃平面一次映射不变真线的存在性 对方程( 2 4 ) 2 ，m 有解的条件为t ( 1 ) b l l = 0 ，b l o = 0 ，则m 可以为任意实数，即平而上任意的水平直线均为不变直 线； ( 2 ) 6 1 l o ，b i o = 0 ，则m 有唯零解； ( 3 ) b l 【0 ，b l o 0 ，则m 有唯一解m 一老( o ) 类似的，方程( 2 4 ) 3 ，除必有零解m - - 0 外，还有其它解的条件为： ( 1 ) 2 = 0 ，6 0 【= 1 ，则m 可以为任意实数： ( 2 ) b 0 2 0 ，b o l = 1 ；或者b 0 2 = 0 ，b o l 1 ，则m 无其它解； ( 3 ) 5 0 2 o ，b o l 1 ，则m 还有一解m - - ( o ) m 丁方程组( 2 4 ) 各方程的系数相互独奇= ，因此对( 2 4 ) 各方程解的条件组 俞得到水平不变直线是否存在的条件： 定理2 ，1 ( 1 ) 满足以下条件之一时映射丁不存在水平不变直线： ( i ) b 2 0 0 ； ( i i ) b 1 1 = 0 ，b l o 0 ； ( i i i ) b l l o ，b l o 0 ，且b 0 2 = 0 时b o l ；1 或b 0 2 _ 0 时虹b l l ( 2 ) 当b 2 0 = 0 ，b l o = 0 且满足以下条件之时映射丁仅以横轴为水平不变直线： ( i ) b 1 1 0 ； ( i i ) b 1 1 = 0 时6 0 2 与b o l 一1 有且仅有个为零 ( 3 ) 当b 2 0 = o ，b n b l o 0 时，映射t 有条水平不变直线y = 一址b i t ( o ) ，当且仪 当下列条件之成立： ( i ) 6 i 2 = 0 ，b ol = l ； ( i i ) b 0 2 0 ，b t i = 警 ( 4 】映射丁_ 恰有两条水平不变直线当且仅当6 7 0 = 0 ，6 l 十6 f o = 0 厶0 2 ( 6 0 t 1 ) 0 此r f , f ，其水平不变直线为 y 2 0 ，2 一紫 ( 5 ) 映射丁在( 6 l o ，b o l ，6 2 0 ，b b 0 2 ) = ( 0 ：l ，0 ，0 ，0 ) 时所有水平血线均为不变直 线、这是种非常退他的情形， i u f 址0 2 0 = 0 是所考虑平面二次映射存在水平不，楚直线的先决条件这也说明水 6 第一” 平而二次映射不变南线的存在性 平不变直线的存在不是通有的，只在系数空间的低维了空间卜存在 分析水平不变直线存在性只需考虑映射第二分量的系数由z 与y 的对称 性，交换它们的地位，水平直线就成为竖直直线因此只需将前砸水平不变直线 存在条件的换成a j l 心j = 0 ，1 ，2 ) 就得到相应竖直不变直线存在条件 2 2 平行斜不变直线 假设对某个k ，0 f k f + o 。存在不相等的两个非零数m 1 ，m 2 使方程( 2 3 ) 中备式都成立，则m i l ( 2 3 ) 3 i 。减去m i l ( 2 3 ) 。f 。；。得到： 6 0 2 = k a 0 2 ，b m 一1 = k a o t 这意味着对任意m r ，( 2 3 ) 3 恒成立 同样我们也可以推知此时对v m r ，( 23 ) 2 也恒成赢，即 2 b o u k + b ll = k ( 2 a 0 2 k + o 【t ) ， b o l k + b t o = k ( a ol k + a 1 0 1 也就是说，如果有鼹条不过原点的平行不变直线，则在全平丽 以k 为斜率的直 线都是不变直线恒等( 2 3 ) 式中m 同次幂的系数，知此时系数及之间满足如 下关系： ( b 。6 0 l l ，b 。b 。) = k ( 一1 ，。咖，a o 。) ( 25 ) 在( 25 ) 中令k = 0 即可得到全平面l 所有水平直线为不变直线的条件 把( 25 ) 两边同除以k ，令5 = ，再让8 = 0 即得全甲而r 所有竖“线为 不变直线的条件 同时我们也看到除r 全平而都是不变直线的退化情形外平行不，叟“线数 h 有限且罕多有两条，而且如有两条时必有条是过原点的血线从前而i 也可以 胥f | i 此结论对水平不变a 线和竖盥不变直线也同样成市 定理22 刘可，气映射丁系数满足( 2 5 ) 时，所有平行1 山线y = k x 的l j 线全 是小变山线否则剥此k 甭多有两条平行不变直线，片f 1f j 曲条州必f f祭是 第二节 平所一次映射不变直线的存在性 过原点的直线特别地，当女= 0 时即得关于平行水平不变直线结论i 而当k 时即为平行竖直不变直线的结论 那么对同个k ，在什么条件下有两条或有+ 条或没有不变直线呢? 巾【1 】知，有如下的结论 引理2 3 当且仅当以下条件之成立时 ( i ) 0 2 = 0 ，一( a 2 0 b 1 1 ) 2 + 4 k d ( a l l b 0 2 ) 0 ； ( i i ) ( 1 0 2 = n i l b 0 2 = a 2 0 一6 1 1 0 ，b 0 2 0 时方程( 2 3 ) 1 无实解并且当a 0 2 0 时( 2 3 ) l 至少存在实数解 k = 一q + v 百丽+ 一q 一、石丽， 其中 s 一= i a 2 0 - b i l 一茅，z 。2 ( a 1 矿- 6 0 2 ) 3 一虹学 将( 2 , 3 ) 改弓为 记( 2 3 ) 的第2 , 3 两式为 a m + 日= 0 ，m ( c m 十d 1 = 0 8 0 0 - 2 一一b 2 0 j a 0 2 其中 a = a ( k ) = 2 a 0 2 k 2 2 b 0 2 十 一b 1 1 ，b = b ( k ) = a 0 1 2 一b m + a j o k b c = c ( k ) = a 0 2 ,6 0 2 ，d = d ( k ) = a o l 女一6 0 l + 1 丁是不难证得下述定理 定理2 4 假设 是( 23 ) - 的个实数解，则下列结论成寺： ( i ) 当a = 0 ，b 0 或a b ( # o ，a d b c 时映射丁无不变斜1 = l 线 2 一 蔗舞 第一节 平而二二次映射不变赢线的存在监 原点 ( i i ) 当a 0 ，b = 0 或a c 0 ，a d = b c 时映射t 有唯的不变斜直线： ( i i i l 当a = b = 0 ，c d 0 小f 映射丁恰有两条不变斜直线，其中条通过 2 3不同斜率的不变直线的共存性 9 - 在这小节中，我们讨论具有两个或两个以上不同斜率的不变直线的萸存 性问题为此，我们首先考察映射丁的不动点的最大个数，映射? 的不动点应 满足方程 z = n l 。t + n 0 1 v + 。2 。z 2 + 0 1 1 z 可+ 。0 2 9 2 ，( 2 6 ) ly = bl o z + b o l y + o z 2 十b l i x y + b 0 2 y 2 显然，方程( 2 6 ) 除了退化情况外，即当解的个数有限时至多有四个解，故映射丁 至多有四个不动点，它们是由( 2 6 ) 定义的两条过原点的二次曲线的交点那么 当不动点个数有限时在一条直线卜至多可以有多少个不动点呢? 1 对于水平直线y = m ，其上点( c ，m ) 为不动点当且仅当 z = a l o x + a o l m 十a 2 0 ：r 2 + 0 7 7 2 x4 - a 0 2 m 2 m = b l o x + b o l m + 6 2 0 2 2 + b i i m x + b 0 2 m 2 显然任意固定的m 至多有两个x 满足r 述方程，即水平直线卜至多有两个不动 点 同样对竖直直线卜也至多只有两个不动点 2 对般的直线f ：y = k x + ”l ( 0 f k f + o 。) 丽言，将y 的震达式代入方 程组( 26 ) 中，得到两个工次方程冈此，肖不纠j 点个数有限叫也至多只有两个不 动点这就是说，对任意直线，其卜至彩有两个小，力点 于是我们得到： 定理25 平面二次映射丁在有限甲 ? 至多囱叫个孤它的不动点( 包括踅数 存内) ，且任意直线上至多有两个孤节小动点( 包括重数在内) i 注意到两条不变直线的交点必址小动点，叔知定理25 有一个如下的直接 拊论： 第一h 平面二次映射不变直线的存在性 定理2 6 平面二次映射t 至多有四条孤立的不变直线，且只有在下述三种情 况下丁有超过两条的不变直线： ( i ) 三条两两_ ；f 甘交的不变直线； ( i i )条不变直线相交_ 丁对平行不变直线； ( i i i ) 两对平行不变直线相交于四个不动点，其中之一是原点 i 注记2 ，7 不难举出实例，证明上述三种情况都是可以实现的 2 4 不变直线上的混沌性态 与平面二次向量场不同，平而二次映射具有极其复杂的动力学性态就日前 而言、要完整地研究平砸二次映射的混沌行为是不可能的如今研究得比较好的 是h n o n 映射 1 4 ，3 2 ： 。4 + l = 1 十b y 一：，。+ t = z 。( 2 7 ) h 6 n o n 用数值方法研究( 2 7 ) 中a = 1 4 ，b = 0 3 的迭代映射的渐近行为时发现 “奇怪吸引予”后来对h 6 n o n 映射的研究所发现的混沌行为是因为h 6 n o n 映射 中存在马蹄映射和横截同宿点我们知道，直线或直线段上的l o g i s t i c 二次映射 ( 或单峰映射) 的混沌性态则是通过倩周期分叉实现的本小节考虑限制在不变 直线卜平面映射的混沌动力学， 南映射的s a r k o v s k i 定理，混沌的直线映射必有不动点所有，必要时通过平 移和旋转，我们不妨设不变直线c 即为z 轴 f ： ( z ，) i = 0 ) 限制在直线fr ，映射r 变为一维映射 下设e l l 0 ( 2 0 0 作标度变换“= 一a lo l a 2 0 x ，则映射7 1 变为 1 0 第二节平而二次映射不变直线的存存性 其中q = a 。o 也就是说平面二次映射限制在不变直线上时拓扑等价于l o g i s t i c 映射 山f e i g e n b a u m 的工作( 参见【3 1 1 ) ，可得如下结论 定理28 嚣通过线性变换、使( 2 1 ) 满足定理21 ( 2 ) 的条件，且a l o a 2 0 0 ，则 存在系列分支值n l 0 2 n 3 口，其中q l = 3 ，0 2 = 1 + 、6 ， ( t 3 = 3 5 4 4 0 9 0 7 4 3 - - ，o 。o = l i k 一n 。= = 3 ，5 6 9 9 4 5 6 7 2 ，使得当8 l o = o 。时，了i 经历日i2 - _ 周期到2 n + l _ 周期的倍周期分支，而当0 1 0 ( 口。，4j 时，n 是混沌的_ d o u b l e - p e r i o db i f u r c a t i o n 图2 1倍周期分支 第三节平面二次向量场几个定理在平面二次映射中的推广 对于平面二次向量场而言，一条直线菪不是系统的积分直线时，其上的有限 奇点或切点至多有两个；而且有限奇点的中心和焦点个数不超过2 等等列丁平 面二次映射是否也有类似的结果? 在此我们作出肯定的回答 定义3 1 直线卜的一个点称为映射t 在这条直线卜的切点，如果该点在映射r 下的象仍在这条直线上如果某条直线( 或直线段) 没有切点，则称该直线( 或 直线段) 为无切的 1 这与向量场切点定义有所不同，这是因为离散系统以一点为初值的轨道是 不连续的依定义3 1 ，在映射t 的切点处向量丁( z ，y ) 一( z ，y ) 与直线的法向量 乖直，故这样的定义是合理的我们记直线 z ： y = k x + m 及其法向量 宵= ( k ，- z ) 则南定义3 1 映射t 在f i 的剀点( z ，y ) f 应满足 ( t ( z ，y ) 一( z ，) ，胃) = 0 ( 31 ) 显然不动点和不变直线上所有点都满足此条件 由前而已知，平而r 存在不变赢线，也存在不动点直线那么当条直线既 不是不变直线也不是不动点直线时即当该直线卜的不动点和七u 点个数有限叫 至多有多少个? i 首先考虑水平直线y = 此时胃= ( 0 ，- z ) ，方程( 3 1 ) 变为 b 2 0 x 2 + ( b l i 订l + b t o ) z + ( b 0 2 m 。+ b o z m m ) = 0( 32 显然除去退化情形，即m 祠l 系数小满足关系 b 2 0 = 0 ，b i i - + b i o = 0 ，6 【】2 ，n 2 + b o l m m = 0 1 2 第i 霄平面一次向量场几个定理连平酣一次映垃中的推厂二 时其解至多有两个因此水平直线卜至多有两个不动点和切点 同样对于竖直直线z = m ，在非退化情形下也至多有两个不动点和切点 i i 再考虑般曲线将y = k x + m ，0 l k i + o 。及丁( z ，y ) 的投达式代入方 程( 3 1 ) 得到 b l o x + b o l ( 砖z + m ) 十b 2 0 2 2 十b t i z ( k x + m ) + b 0 2 ( k x + m ) 2 一( k x + m ) = k ( a l o 茁+ n 0 1 ( k x + m ) + a 2 0 x 2 + a l l x ( k x + m ) + a 0 2 ( k z + m ) 2 一z ) ( 3 4 ) 这是个二次方程，在非退化情况下z 至多有两个解，从而该直线卜至多有两个 可；动点和切点我们得到如下定理 定理3 ，1 对平面二次映射( 2 1 ) ，当某一直线不是其不变直线和不动点直线时， 该直线上的有限不动点和切点个数之和至多是2 从而连接给定平丽二次映射的 两个有限不动点的直线，如果它不是不变直线和不动点直线，那么该直线被这两 个不动点所分成的三个直线段分别都是无切的 _ 推论3 2 对于平面二次映射( 21 ) ，如果直线f 不是其不变直线或不动点直线， 则在两个有限切点( 包括不动点和切点) 之间，所有点在映射丁下的象均位千 直线l 的同侧当存在两个切点或不动点时，直线在这两个点外侧部分则可朋 同侧无穷远点代替另一点；当只存在个切点或不动点时，另点则用无穷远点 代替；当不存在切点和不动点时两点均用无穷远点代替 证明仅证有限不动点或切点有两个的情况，其余的类似可证假设直线f 上有 a 和口两个有限不动点或切点，并且存在点g 和d 的象分居直线两侧( 见图 31 ) 由前知，( t ( c ) 一( x c ，y c ) ，f i ) ( t ( d ) 一( x d 如) ，亓) 0 由内积连续性，直线 f 在c ，d 问必存在一点满足切点的关系式( 3 1 ) 与定理3 1 矛盾 - 图31 a c 罔32 引理33 甲面二次映射t 的不变山线 不存在中心和焦小 b 1 3 第i 节平面二次向量场几个定理存平面二次映射巾的推， 证明必要时通过平移将中心或焦点移到原点，映射仍记为( 2 1 ) 式则在原点 处映射丁的特征值为一对共轭复裉，即有= ( “l o b 0 1 j 2 + 4 a o l b t o o 显然， 0 0 1 0 如果有不变直线过原点，不妨记为y = k x ，0 i kj + 。由不变性，应有 v z r ，y 7 = k x 则由恒等( 22 ) 1 0 中r 的同次幂系数，其中一次项的系数为 6 l o + b m k = k ( a l o + k a m ) 山a 0 知此方程关于k 没有实数解 再者，如果不变直线为y 轴，由第二节知a o l = 0 ，矛盾 可见不存在过中心和焦点的不变直线 1 注记3 4 由证明可见，平面卜任意可微映射的不变直线均不可能穿过其中心或 焦点i 定理35 平面二次映射( 2 1 ) 在有限平面上的孤立的中心和焦点的个数之和不 超过2 证明假设结论不成立，则平 i i i 上必存在三个中心或焦点a ，b ，c 可连接构成三 角形，如图3 2 由于在中心和焦点充分小邻域内点的不变曲线具有相同的旋转 方向( 参见 3 l 】或本文第四节，图中用箭头表示的旋转方向意义为：任意穿过该 中心或焦点的直线，其在不动点邻域内的直线段均被丁映射到该直线的箭头所 指的。侧) 不妨假设在a ，口处旋转方向如图所示如果c 点附近是顺时针旋 转则南= f 线段a c 不是不变直线，在线段a c 卜与推论3 2 矛盾：反之，若e 点 附近是逆时针旋转，则在线段b c 上与推论3 ，2 矛盾因此，有限甲而上至多有 断个中心和焦点_ 1 4 第四节规范型、焦点量及n a i m a r k - s a c k e r 分支 本节考虑特殊的平而二次映射 ( x ，。n + + 。l ) = 丁( 翥) = ( ：6 )( ) 其中b 0 ，且所有系数均为实数 由于该映射的线性部分的特征值是对共轭根入和天， a = e 2 ”。，= 以可可，c o s o o = a ( a 2 + 6 2 ) ，s i n o o = b ( a 2 + 6 2 ) 一 故当= l 时原点是中心型不动点下面我们假设小1 ( k = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) ，并 用规范型理论计算其焦点量及分析相应的n a i m a r k - s a c k e r 分支 s t e p i 作线性变换 4 1规范型及焦点量 ( = ( 。1 州：) ( i = 一1 ) ( 4 2 ) 则系统( 4 1 ) 化为 ( 耋：! ) = ( ；耋) + ；( ：兰；：妻；：龛：耋：量；：耋：兰；：竺；耋：妻；：) 其中a = a + i b ，a 。j = m7 + b 。s = 2 ，j = 0 ，l ，2 显然，此系统两个分量为共轭 因此以下只考虑第分跫 2 n + 1 二a z 。+ ；( a 州( ：，+ e n ) 2 2 4 2 1 ( + 磊) ( 。5 n ) a 2 2 ( 2 。一j ，1 2 1( 43 s t e pi i 作近似恒同，竖换 z 一，f 十 2 ( ，开) = 札+ c 2 0 “2 + c 2 1 w 5 + 。船面2( 4 4 、 碱嵫 + + 鲰 毗如 + + 旧 旧毗阮 ，jil、 + 第四节规范型、焦点量及n a i m a r k - s a c k e l 分支 1 6 其中( i = 2 ，j20 ，1 ，2 ) 为复数【以f 类似) 将( 4 4 ) 代入( 4 3 ) 并将h 2 ( u 。仙面。+ 1 ) 在( a “。，j 日。) 处t a y l o r 展开，得 u 。+ l = a u 。+ a h 2u n i 面n ) + ；( a 2 。( “。+ 。) 2 - - i a 2 1 ( + i 。( u n - - u n ) 一a 2 2u n - - a n ) 2 ) 一h 2 ( a “。，天面n ) 一( 2 a c 2 0 “。+ 五c 2 1 面。) ( 钍。+ 1 一a u 。) 一c 2 0 ( u 。+ l a “。) 2 一( a 0 2 1 u 。+ 2 a c 2 2 面。) ( 面。+ l 一五面。) 一c 2 1 ( u 。+ 1 一a u 。) ( 面。+ l 一天面。) 一c 2 2 ( 面。+ l 一天面。) 2 + 乏 ( “。+ 面。) ( h 2 ( “。，i 。) 十 2 ( ”。，面。) ) 一! 警( 一i 。) ( 2 ( 。，面。) 一无2 ( “，。，i 。) ) 一字( 。+ 训( 似“。，训一姒u 。引) 一丁i a 2 l l “。一训( 嘣+ 姒) + 譬( 如( 引+ 姒u 棚n ) ) 2 竽( 似u 棚。) 一姒) 2 一半( 2 ( 。) + 2 ( 日。) ) ( ( n 。) 2 ( “。，巩) ) ( 45 ) 将( 4 5 ) 式中的三次式记为f 2 3 ( “。，砜) ，四次式记为昂4 ( u 。，n 。) ，并改写f 2 3 ( “。，面。) 为 3 b 3 ( 日。) 垒。“面i j = o 由于a 1 ，舻l ，可取 矗( 篓銮寸 8 a 3 0 ( 46 ) 同时我们得 ( ( 2 0 十啦2 ) + i ( b 2 0 + 幻2 ) ) ( ( n 2 0 一6 孔一2 2 ) 一( 6 2 。+ n 2 l 一6 2 2 ) ) 。 a a 2 1 s n 。= = ( ( 。z 。+ 。) + t ( 。+ 。z t ) ) ( ( n 。+ 一z l 一一n z 。) + i ( 。n 。t 。) ) ! 1 5 i i ：；! - ；：；- ；二：爿 2 ( ( 0 2 0 + a 2 2 ) 2 + ( b 州+ 2 ) 2 ) ，( a 2 0 6 2 ln 2 2 ) 2 十( 5 2 0 十n 2 l 一6 2 2 ) 2 a f i 一 )a a 2 第四节规范犁、焦点帚及n a i m a r k - s a c k e z 分支 8 嘞= 垫坐止煎寺塑幽盟竺划 + ! ! ! ! ! ! 墼! ! ! ! 婴! 婴! ! l ! 竺翌里! 二! 望2 二! ! ! 塑二竺! ! 二! 墼丝 a ( 1 一a ) 1 7 ( ( 0 2 0 b 2 i a 2 2 ) + i ( b 2 0 + a 2 1 6 2 2 ) ) ( ( 口2 04 - b 2 1 ( 1 2 2 ) + i ( b 2 0 a 2l 一6 2 2 ) ) a a 2 ( ( 0 2 0 + 2 2 ) 十i ( b 2 0 + 6 锄) y a f l 一 。= 她垫卫些坠群导鱼理幽坠鉴型 ( ( 。2 0 + a 2 2 ) + i ( b 2 0 + b 2 2 ) ) ( ( a z o b 2 1 一a 2 2 ) + i ( b 2 0 + a 2 1 一幻2 ) ) a a 2 由于精度来达到我们的要求，故继续取三次近似“。+ l = a “。+ f 2 3 ( 。，巩) 代 入( 4 5 ) 得到 u 。+ l = a u 。+ f 2 3 ( u 。，n 。) + 局4 ( i t 。，面。) + 0 ( 6 ) ，( 4 7 ) 其中0 ( 6 ) 是六次及以上项 f 2 4 (