（应用数学专业论文）一类具有松弛项的粘双曲系统的全局解.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 i 摘 要 守恒律方程为五十年代新起的一个研究领域，此类型方程所涵盖的物理模型 十分广泛，几乎所有连续力学的模型方程均属于这种形式 对于22非线性双曲型方程组解的存在性和双曲守恒型方程的松弛极限问 题，目前已有很多人做过研究，这一类方程主要来自分析物理上的一些现象，如 交通流，多方气体动力学等 利用人工粘性消失法结合补偿列紧理论，本文主要讨论一类带松弛和扩散的 22非齐次双曲系统的奇异极限问题, 也就是松弛时间趋于零的速度比扩散系数 快，( )o=，0 时的方程解的收敛性主要研究内容包括以下几个方面： 1、研究了一类带非线性项和松弛项的交通流模型的粘性解文中首先利用压 缩映像原理和勒贝格控制收敛定理得到一个在小时间段上的局部解，再利用极值 原理构造不变区域，得到一个关于, 一致的全局解的先验估计进一步，当 0,0( )=时，我们得到平衡方程的熵对( , )q满足 , ()() tx q +在 1 loc h 中 紧. 2、 研究了一类带非线性项的多方气体动力学方程的松弛极限其中关键的是 不变区域的构造，以及熵紧性 3、研究了具扩散和松弛的非线性弹性力学方程组的奇异极限 文中大部分结果是利用补偿列紧方法，该方法主要是基于泛函关于弱收敛序 列的连续性, 关键是用到了 young测度表示定理，当概率测度为点测度时，弱收 敛变成强收敛. 关键词：粘性解，弱解，熵- 熵通量，不变区域，极值原理，young 测度，dirac 测度，补偿列紧理论. 一类具有松弛项的粘双曲系统的全局解 ii abstract systems of conservation laws are very important mathematical models for a variety of physical phenomena appeared in 1950s. almost all the continuous mechanical models belong to the form. many people have done research on the existence of solutions for the systems of nonlinear hyperbolic and the problem of relaxation limit for the hyperbolic conservation laws, which are from some phenomenon of physical situation, such as traffic- flow, isentropic gas dynamics, and so on. by applying the method of vanishing artificial viscosity and the compensated compactness, we discussed the singular limit for a kind of nonlinear hyperbolic systems with relaxation and diffusion, that is the convergence of solutions when the relaxation time tends to zero faster than the diffusion parameter , ( )o=， 0 . the main work of this paper is as follows: 1. studied the convergence of solutions for a kind of traffic- flow model with nonlinear terms and relaxation terms. we construct approximate solutions via the singular perturbation methods. first, we get a local solution by using the general contracted mapping principal and the lebesgue dominated convergence theorem. then, by applying the extremum principle, we constructed an invariant region, so that we get an a priori bound that is uniformly with respect to and for the global solutions. further more, when ( )o=，0 , we get the entropy pair ( , )q of equilibrium equation satisfying , ()() tx q + compacted in 1 loc h . 2. studied the relaxation limit for the system of isentropic gas dynamics. the key is the construction of the invariant region and the compactness of entropy. 3. studied the singular limit for the system of elasticity with relaxation and diffusion. most of the results in this dissertation are presented by means of compensated compactness. this method is based on the continuity of the weak convergent sequence in functional analysis. compactness of the entropy equation is the key to the method. if the probability measure is a dirac measure, then the weak convergence become strong convergence. key words: viscosity solution, weak solution, entropy- entropy flux, extremum principle, invariant region, young measure, dirac measure, compensated compactness 南京航空航天大学硕士学位论文 v 图、表清单 图 3 . 1 2 7 图 4 . 1 3 5 图 5 . 1 4 1 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本 论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体， 均已在文中以明 确方式标明。 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件， 允 许论文被查阅和借阅,可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名： 日 期： 南京航空航天大学硕士学位论文 1 第一章 绪论 1 . 1 引言 双曲守恒律方程是一类重要的偏微分方程，涉及许多相关的物理领域，如交 通流1- 3，多方气体动力学1，弹性力学2，线性波与非线性波4等，所以对这一 类方程的研究具有重要的物理意义和应用价值. 大体上说来，线性方程的理论已 经有完整的系统，而在非线性方程中，发展最为迅速的是拟线性方程的间断解理 论解的间断性深刻地反映了非线性方程的本质特点，同时在自然界中各种物理 量的间断面的传播是一普遍现象，因此这一研究受到了学术界的极大关注，此外， 非线性方程的整体光滑解，破裂问题，松弛问题以及奇异传播等理论也引起了越 来越大的兴趣 双曲型方程不同于一般的数学物理方程，对于一些拟线性双曲型方程，即使 有光滑性很好的初值，也未必能得到光滑的解，所以在研究双曲型方程组时，可 以先将其转化为相应的粘性方程组，再进行分析如对于一维拟线性双曲守恒型 方程组： 0 ()0,( , ), (0, )( ),. n tx uf uurx trr uxuxxr += = (1.1) 其解一般不是古典解，研究这一类问题时要引进广义解的概念，而广义解不满足 方程中的可微性，单纯就这一方程本身来研究其广义解就显得十分困难，所以我 们在方程(1.1)中增加了小参数粘性项 xx u，得到如下的方程组： 0 ( ),( , ), (0, )( ),. n txxx uf uuurx trr uxuxxr + += = (1.2) 而方程组(1.2)具有很好的正则性，考虑起来就要相对容易对于方程组(1.2)的分 析，我们期望得到的结果是：当0 时，方程组(1.11)的解可以由方程组(1.2)的 解来逼近. 在讨论这上述逼近问题时，我们用到了一个重要的理论：补偿紧致理 论. 补偿紧致理论是利用粘性法解决双曲型方程组的重要理论，有很多人作过研 究，如 tartar, diperna, y.- g. lu, g.- q. chen等, 并用来解决了一些双曲型方程组粘 性解的收敛问题 一类具有松弛项的粘双曲系统的全局解 2 1 . 2 问题的研究背景和研究概况 1 . 2 . 1 双曲型守恒律概述 考虑形如 ( )0 tx uf u+=, + rrtx d ),( (1.3) 的拟线性方程组，其中未知的向量函数 nt n ruuuu=),( 21 ，1n代表物理量 的密度，给定的向量函数 t n ufufufuf)(,),(),()( 21 =记为守恒项，方程组(1.3) 一般称为守恒律。因为守恒律是自然界的基本定律，大多数在物理和工程科学中 出现的偏微分方程都可归结为(1.3)或(1.3)的变形形式(如带有耗散项、源项、超松 弛项等等)4 守恒律方程为五十年代新起的一个研究领域，此类型方程所涵盖的物理模型 十分广泛，几乎所有连续力学的模型方程均属于这种形式，其中包括了气体，液 体，弹性体，电浆，星云等等。此领域作为数学与力学之间的一个枢纽，十分重 要。尤其对于方程组的激波的研究，更是科学界热门的研究项目。 当1d =，若矩阵( )f u有n个实的特征值nju j , 2 , 1),(=，则称(1.3)为双曲 型的，若对任意的 n ur都有 12 ( )( ).( ) n uuu，则称(1.3)为严格双曲的， 若存在 n ru 0 和某两个不大于n的正整数, r s，使得)()( 00 uu ji =，则称(1.3)为 非严格双曲的当1= nd时，它为标量方程，)( uf=，故总是双曲型的。 关于双曲型守恒律理论的一个重要方面是方程组解的存在性问题，这是一个 古老而又充满生机的研究课题，一直吸引着众多著名数学家的高度重视,如 riemann，friedrichs，p.lax，r.j.diperna，p.l.lions 等它有助于我们分析对身 边的自然现象建立的数学模型是否正确。然而一般而言，即使是在初值很小且光 滑的情况下，非线性双曲型守恒律的 cauchy 问题的解在有限时间内也会出现奇 异性，即： t+，当tt时，),( xtu x ，从而解会变成不连续函数5， 这个性质在物理上反映了波的分裂和出现激波，由于缺乏正则性，双曲型守恒律 cauchy问题的解的精确解析分析变得相当困难对不连续解，大多数标准的微分 工具不能使用，进而对一般的nn方程组，泛函分析这一强有力的手段也并不奏 效，特别，解不能由非线性变换的不动点或适当泛函的临界点的变分形式得到； 在处理向量值函数时，基于上下解的比较原理不能使用。为此，我们必须在不连 续函数空间中寻找上述问题的解，因此对这类问题的研究，我们也不可能直接利 用在其它类型的偏微分方程中占主导地位的解析方法来解决问题 1 . 2 . 2 双曲型守恒律的研究概况和研究方法 南京航空航天大学硕士学位论文 3 目前，在讨论 cauchy 问题(1.3)带有初值 00 ( , )( ) t u x tu x = = (1.4) 的整体不连续解时，我们主要是通过奇异扰动法构造近似解( , )ux t 来逐渐逼近弱 解，大体上可分为数值方法和粘性消失法两种方法非线性双曲型守恒律的数值 解法一直是计算流体力学研究的重要课题之一目前常用的数值方法主要有：有 限差分法，有限体积法，有限元法等等 我们这里主要介绍下运用人工粘性消失法来讨论守恒律方程弱解的存在性， 即考虑与(1.3)相应的抛物型方程组 ( )( ) txxx uf ud uuu+ = = (1.5) 在初值 0 ( ,0)( )uxux =, (1.6) 的解( , )ux t 当0 时的极限(通常选取( )d u为单位矩阵) 下面主要从以下几点对这一方法做一简单的介绍 1通过在方程组右端添加人工粘性项u，得到一个抛物型方程，对于非 光滑的初值(1.4)，我们可以通过一个磨光滑子( )h x作用到初值 0( ) ux上，从而得 到具有较好光滑性的初值 0( ) ux 作为粘性方程(1.7)的初值，且 0( ) ux 是逼近 0( ) ux 的 2我们要得到关于粘性方程组(1.5)在初值(1.6)下的全局解的存在性和界估 计，从而能得到存在一个子序列在一个合适的区域内收敛 3我们假定存在常数 m（与无关）使得 ()() |( , )|max |( , )| dnd i lrrlrr ux tux tm + 则存在一子序列,1,2,3 n n uun =, 使得 当n 时0 , n + 且* lim n wuu= (1.7) 4由(1.7)式我们得到在分布意义下 n uu, n uu tt , 0 n u. 一般来说 n u的弱*极限u一般不是(1.3)的解，为了证明存在函数u是方程组(1.3) 的弱解，我们需要证明 在分布意义下( , )( ( , ) n f ux tf u x t (1.8) 当f不是线性函数时，(1.8)式并不成立，例如： 一类具有松弛项的粘双曲系统的全局解 4 令 ( , )sin() tx ux t + =， 2 ( )f uu=， 由 riemann- lebesgue 定理， ( , )0ux t w * ， 22 1 ( ( , )0 2 u x t w * ， 在适当假设下，有 在 l 中，( , )( , ) n f ux tl x t w * ， (1.9) 若( , )( ( , )l x tf u x t=，则在(1.7)中令0 便得( , )u x t为 cauchy 问题(1.3),(1.6) 的弱解 5 为了得到上述非线性函数关于粘性解序列的强连续性， 我们引进了补偿列 紧的方法，补偿列紧理论是解决此类问题的一个有效的方法首先解释为何此理 论被称为补偿列紧性：若函数列满足(1.7)式，且当0 时， 2323 ()() wnn uuuu+ +， 2323 ()() wnn uuuu (1.10) 一般( , )ux t 不是紧序列， 然而上式中一个的弱紧性可补偿另一个使得( , )ux t 满足 紧性；事实上，若(1.10)中两式相加，则有： 22 () wn uu ，结合(1.7)式，可得 ( , ) n ux t的紧性 补偿列紧理论虽然只有几十年的历史，但却有丰富的内容和相当的难 度tartar在1977年的文章6,7中开创性地提出了补偿列紧框架，并运用此理论得到 了单个双曲守恒律方程初值问题弱解的存在性结果，从tartar的这一工作开始，该 理论已在许多问题中得到广泛应用，见文2,3,5- 19具体就气体动力学方程组而言， 1983年r.j.diperna在文6中解决了在等熵气流绝热指数 2 1,2 21 rm m = + + 为整数 的情况下初值问题弱解的存在性，1985年底丁夏畦、陈贵强20和罗佩珠21分别利 用lax- friedrichs格式和godunov激波捕捉格式对一般的 5 1 3 的情形证明了解的 存在性，1993年陆云光在文1中给出了真空状态一般压力的具有光滑初值的系统 (1.1)的全局光滑解， 1994年lions- perthame- tadmor在文22中利用kinetic公式证明了 多 方 等 熵 气 体 动 力 学 方 程 组 在 5 3 3 情 形 弱 解 的 存 在 性 ,1996 年 lions- perthame- souganidis在文5中又利用kinetic公式证明了3 在 11 () d loc lr + + 上等度连续，即对任意紧子集 1d r + + ，当 ,0 xt 时， (,)( , )0uxx ttux t dxdt + 一致成立， 一类具有松弛项的粘双曲系统的全局解 6 则存在(x,t)u的子列(x,t) k u，在 11 () d loc lr + + 中 k lim( , )( , ) k ux tu x t =, . .ae 此种紧性具体可参见标量守恒律的kruzkov s定理24 三、补偿列紧框性： 该方法是基于泛函关于弱收敛序列的连续性。其关键是用到了young测度表 示定理，凸熵以及熵方程的 1 loc h 紧性，当概率测度为点测度时，弱收敛变成强收 敛6,7,28. 上述的存在性结果都是基于紧性讨论，但其不能保证解的唯一性。bressan和 colomba最早基于线性化+同伦(linearization+homotopy)的方法证明了解对初值的 连续依赖性， 其首先通过构造一个lyapunov泛函( , )u z估计参考解u和无穷小扰 动的距离，为比较两个解u和v，再构造连接, u v的单参数族解u，则对每一时 刻t，由曲线( )ut 的长度可得距离 1 ( )( ) l u tv t的有界性这个方法的缺点是 解( )u t 不再具有正则性，为满足使切向量存在的最小的正则性(逐段lipschitz连 续性)要求，在文29中重新修正了一些程序，但这些同时也导致证明非常复杂。对 此问题刘太平和杨彤采用了另一种完全不同的方法，他们定义了一个相当于 1 l距 离的泛函( , )u v，在他们的构造过程中，文30中的熵函数扮演着重要角色，这个 方法在文31中也得到了发展，另一种连续依赖性的证明见32 1 . 2 . 3 带有松弛项的双曲守恒律方程的研究现状 松弛是一个重要的物理现象，它在许多学科领域有着广泛的应用，如动力学 理论中的平均自由程，热弹力学中的记忆温度，热力学中局部非平衡态的张弛现 象，交通流、多相流、相变等模型 对于上述物理现象中的松弛问题，我们可以归纳为以下形式： 1 ()()0 tx uf ur u += 这里( , ) n uu x tr=， 代表了依赖于空间变量x的基本物理变量的密度向量，为 松弛时间，一般说来在许多物理领域足够小 我们一般考虑其粘性方程具有如下形式： 1 ( )( ) txxx uf ur uu +=， (1.11) 为人工粘性参数或扩散参数，当0 =，相应的双曲守恒型方程为 南京航空航天大学硕士学位论文 7 ( )0 tx uf u+=， 也就是说nn矩阵()f u有n个实特征值 对于(1.11)， 我们关注的是当松弛时间和粘性参数趋于零时， 解 , ( , )ux t 的 极限问题首先要考虑的是对任意给定的、方程(1.11)的全局解的存在性，先 通过傅立叶变换将(1.11)转化成等价的积分方程，构造一个局部有界函数序列，再 利用 bananh 压缩映像原理， 得到这一函数序列在一个局部上收敛到方程的解 利 用极值原理和不变区域的理论，我们进一步得到一具l 界的全局解这里并非所 有的满足形式(1.11)的方程都能得到具有 l 界的全局解，必须是对一个具体的方 程进行讨论在这里我们主要关注 n = 2 的情形 我们考虑以下的一个简单的22模型： , ( ) , txxx txxx uvu vh u vcuv = += (1.12) 这里c为常数，( )h u为v的平衡值 对于方程组(1.12)，我们知道如果0 =，且双曲守恒型方程组 0, 0, tx tx uv vcu = = (1.13) 为双曲的(0c )，则基本条件 ( )ch uc或0 且( )o=，对于后者， 2 ( ( )huc，由于 扩散系数是正的，所以方程 (1.17)是适定的，也就是方程(1.14)存在古典解，如果 0 =且0c 且具有初值 0 0 ( ,0)( ) x w xu s ds= (1.21) 时，其 dirichlet问题是可以被解决的，但是此时 0( ) vx 的选择不能不依赖于 0( ) ux ， 因为在这种情况下，我们有 0( ) (0, ) t vxwx=，且w依赖于 0( ) ux 以上的分析说明， 除了针对双曲系统(1.14)的稳定性解的半特征条件(1.13)外， 另外粘性系数和松弛时间结合不仅是一个数学权宜，而且是另外的一个必要 的稳定机制 对于一般的具有松弛和扩散的22拟线性守恒律柯西问题可表达为如下形 式： 000 ( , ), 1 ( , )( , )( ), ( , )( ),( ). txxx txxx t vf v uv ug v uv u u h vu v uv x u x = += += = (1.22) (1.22)的第二个方程包含了一个松弛项 1 ( , )( )v uuh v ，其中( )h v为u的平衡 南京航空航天大学硕士学位论文 9 值，( , )0v u 对于(1.11)的奇异极限问题可被看作松弛时间趋于零时的奇异摄动问题当 =，这一松弛系统在反应扩散方程领域被广泛的研究，当( )o=，相应的 22系统 ( , )0, ( , )0, tx tx vf v u ug v u += += 为双曲的，关于双曲方程的松弛问题主要来自于一些物理领域如色谱法34，粘弹 性力学17,27，分子运动论，河流33,35，交通流27,36,37,，燃烧理论38,39，多相流和 相变3 1987年t.p.liu在文33中第一次对具有松弛的双曲守恒系统中的弱光传输波 和稀疏波的非线性稳定性做了分析，并指出当解接近一个不变的平衡状态时松弛 效应就会和粘性效应密切相关，文38,39中研究了一个简单的具有无限反应速度 的燃烧模型1993 年陈贵强和刘太平在文40以及 1994 年陈贵强、刘太平和 c.d.levermore 在文2中系统地分析了具含衰退和下沉机制的松弛项的双曲守恒 方程大振荡解的零松弛极限一般来说文2,3中的收敛性框架基于以下两点： (1) 对任意给定的扩散参数和松弛时间，相应的粘性方程组具有一个 l 界的 解 (2) 存在相应的双曲系统的一个凸熵和一个适当的正常数c满足 2 ( )( ) u uh vc uh v 为了得到一个关于、的一致l 估计，我们主要采取了两种方法，一种方 法是找到一个不变区域41，另一种是比较原理14 1997 年 c.lattanzio 和 p.marcati 研究了交通流模型的零松弛极限. 2000 年 y.- g.lu 在文1中对方程组(3)的渐进状态作了详细的分析.，并将研究结果用到弹 性方程组，欧拉坐标下的多方流体动力学方程组, 以及交通流文中主要考虑了 当0 ，( )o=时的全体松弛和控制扩散的情况， 若(1.11)的解具有一致 l 界， 则对于任意的 1 c通量函数f和g，(1.11)的解的极限没有出现振荡，是稳定的 1 . 3 本文的主要工作 本文的主要内容是研究一类带有非线性项的粘双曲系统的全局解和松弛极限 问题其基本形式可表示为： 一类具有松弛项的粘双曲系统的全局解 10 1 1 000 ( , )( , ), 1 ( , )( , )( )( , ), ( , )( ),( ). txxx txxx t vf v uf v uv ug v uv u uh vg v uu v uv x u x = += += = 无论是对于双曲守恒型的方程还是对于非线性双曲型方程，最终的目的都是 希望得到弱解的状况与一些性质，尤其是对弱解的存在性，甚至弱解的唯一性(即 熵解的存在性)对于带有松弛项的双曲守恒型方程，我们考虑的是其解的渐进状 态，直接从其弱解分析是很难做到的，所以通过粘性消失法将其转化含有粘性项 的抛物型方程，而抛物型方程的解具有很好的正则性，考虑其粘性解的渐进状态 就会相对容易，关键的是其粘性方程的解的存在性，在满足什么样的条件下，粘 性解收敛到的解就是原双曲方程在0 时的解由前面的介绍，我们知道目前 成已有很多人对这一问题做过研究，现在将考虑的更为复杂的情况，那就是带松 弛的非线性双曲型方程 对于这类问题的研究与一般的双曲守恒型方程的弱解和松弛问题的研究有着 异同之处在研究这一类方程的松弛极限问题，也就是当0 时的解的渐进状 态时，我们采用的方法是粘性法，即把一个不连续空间中的问题转化到连续空间 里来考虑，在证明一维空间里的耦合方程的弱解存在性的时候，需要先构造与两 个方程都有关的 lax熵和严格凸熵，而对于松弛问题，熵只需由单个平衡方程给 出， 得到熵方程关于粘性解的紧性，根据 young 测度表示定理得到 young测度族 , x t 为一族中心在( , )( , )u v x t的 dirac 测度族 第一章主要对双曲守恒型方程及其松弛问题的研究现状做了简单的介绍， 并 对本文所要研究的主要内容做了概括 第二章主要介绍了在后面的问题研究中所需要的预备知识，包括概念、定理 等 第三章研究了带有非线性项的交通流模型的零松弛极限文中首先利用压缩 映像原理和勒贝格控制收敛定理得到一个在小时间段上的局部解，再利用极值原 理构造不变区域得到粘性解的全局一致有界性和存在性当0,0( )=时， 我们利用3.3中得到的粘性解 , (,)u 的一致有界性， 对相关必要的项进行估计， 从而得到平衡方程的熵对( , )q满足 , ()() tx q +在 1 loc h 中紧，这是利用补 偿紧证明粘性解收敛的关键 第四章研究了一类带非线性项的多方气体动力学方程和弹性力学方程的松弛 极限其中关键的部分是通过极值原理构造不变区域，得到一个与、无关的 南京航空航天大学硕士学位论文 11 一致有界估计 第五章研究了具扩散和松弛的非线性弹性力学方程组(5.1),(5.2)的奇异极 限其中要求h在无穷远处具有趋于某个常数的性质 第六章对全文进行总结，提出了一些亟待研究的问题 一类具有松弛项的粘双曲系统的全局解 12 第二章 基本概念及预备引理 2 . 1 黎曼不变量 考虑形如 ( ) ( )0 uf u g u tx += (2.1) 的方程组，具有初值 ( ,0)( ),u xg x= (2.2) 其中： : m g rr， 12 ( ,) tm m uu uur=l，xr； 12 ()(),(),.()t m m f uf uf uf ur=； 12 ( )( ),( ),( )t m m g ug u g ugur=l 若()f u有n个实的特征根，则称方程组(2.1)为双曲的 定义2.1 (riemann不变量) 光滑函数:dr称为方程组(2.1)的k- riemann不变 量，若对任意ud，( ),( )0 k r uu=，其中记为 m r 中通常的内积， k r 为 ()f u的某右特征向量 定 义 2.2 (cauchy 问 题 的 古 典 解 ) 若 向 量 值 函 数 1 (0, )muc rt， :0, u rtd在), 0(trq=上满足(2.1)， 则称u为 cauchy问题(2.1)- (2.2)的古 典解 对非线性方程组来说，即使初始函数充分光滑，在有限的时间内解也会不连 续，这也可解释在可压缩无粘流中激波产生的原因为此，我们必须扩大解的概 念，引入弱解 2 . 2 弱解、熵和熵条件 定义 2.3( 弱解)14 设 m loc rlg)( ，向量函数u称为问题(2.1)- (2.2)的弱解，若 (0,)m loc ulr ，对) , 0 (),(rtx,( , )u x td几乎处处成立，且对 m rc), 0( 0 下式成立 0 ( )( ) )( ) ( ,0)0, rr uf ug udxdtg xxdx tx += (2.3) 南京航空航天大学硕士学位论文 13 注 1：设 s rm 为一可测集， , 2 , 1),(),()( 21 mimlfffffml im m = ， = = l i mi ml ff m , 1 )( max 若对每一个紧集 s rk ，若 m km kmlf)( ，称 m loc mlf)( 注 2：显然任意古典解都是弱解，反之， 1 c中的弱解也是古典解，选取检测函数 m rc), 0( 0 ，有弱解在分布意义下满足方程(2.1) 定理 2.414：设:(0,) m u rr 为一逐段光滑函数，则u为(2.1)在分布意义下 的解当且仅当下列条件满足： a) 在连续区域内，即： 1( )uc，u为古典解； b) 在不连续的超曲面 上，u满足条件： ()( ()()0 tx uunf uf un + += (2.4) (称u为逐段光滑， 若在), 0r)中存在有限个光滑的超曲面 ， 在其外， 1 uc， 在上，u有单边极限( , )ux t ，),(tx)，(2.6)式称为rankinehugoniot条 件 注：定理 2.4 可用作对一维双曲型问题利用特征线法构造弱解，然而由分析(例如 讨论 burgers方程)可知，弱解不唯一，为从非物理解中找出可允许的物理解，下 面引出熵条件 设), 2 , 1(:, 1 njrdu=为充分光滑函数，满足条件： ( )( )( ) uu u uf uu= ，ud， (2.5) 若u为(2.1)的古典解，则函数( )u u满足守恒律方程组： ( )( ) ( )0 u u uu u g u tx += (2.6) 另一方面， (2.1)的弱解不一定满足(2.6)，因为若弱解是逐段光滑的，则其满足 r- h 条件(2.4)，类似可证u在分布意义下满足(2.6)，即对任意 0 (0,) n cr ， 0 ( ( )( )( ) )0 nu r u uuu g udxdt tx += ， (2.7) 跳越条件为： 一类具有松弛项的粘双曲系统的全局解 14 0)()(=+ xt nun (2.8) 注：一般来说，(2.4)和(2.8)式不相容如 burgers 方程0= + xt ，其古典解 也满足0 21 21 = + + + + pxpt pp ，而二者的逐段光滑解却不相同 定义 2.5 ( 熵和熵通量) 14：设d为一凸集，凸函数1 :rdu称为方程组(2.1)的 熵，若存在函数 ，称为相应的熵通量，使得关系式： ( )( )( ) uu u uf uu= ， 对任意ud成立 当2m时， 总可以通过(2.5)式求解得到一族熵和相应的熵通量， 然而当2m 时，方程组(2.5)一般是超定的，故只能对一些非常特殊的情形进行求解，而众所 周知， 补偿列紧方法在守恒律中的应用是与所考虑的双曲型方程组的熵- 熵通量对 的构造紧密相关的，因此到目前为止，由此方法得到的几乎所有结果都是两个方 程的方程组 定义 2.6 (熵解和熵条件)14 称(2.1)的弱解为熵解，若对(2.1)的每一对熵- 熵流量， 条件： ( )( ) ()0 u u uu u g u tx + ), 0 (),(rtx (2.9) 在分布意义下成立，即：对), 0( 0 n rc，0， 0 ( ( )( )( ) )0 u r u uuu g udxdt tx + (2.10) 只有熵解才被认为是物理上的可允许解，不等式(2.9)被称作熵条件 2 . 3 极值原理和不变区域理论 极值原理是描述扩散，传导等现象的热传导方程的重要特性，以最简单的热 传导方程为例， 若物体的边界温度及初始温度不超过值 m, 且物体内部没有热源， 则此物体内部就不可能产生大于 m 的温度，与此事实对应的是： 定理 2.7(极值原理)42 设( , )u x t在( , ),0rx txtt= 上连续，在其内 部满足 t uu=，以 表示r两侧及底边组成的曲线，则 max( , )max( , ) r u x tu x t =. 南京航空航天大学硕士学位论文 15 更一般的，有 定理 2.842 记 () ( )( )0l h uug x uh x u+=+，( , )xa b，其中( )0h x ，若 ,g h在( , )a b的每一个闭子区间上有界，又u在内点 00 (,)x t上达非负最大值，则 ( , )u x tm 在近似解的研究中，不变区域是一个重要的思想，由这种区域的存在性，可 得近似解的先验界，由此可证解的整体存在性，因此在研究解的大数行为时也提 供了适当的理论基础和框架 考虑方程组 ( , ) txxx udumuf u t=+， + rtx ),(， (2.11) 带有初始数据 )() 0 ,( 0 xuxu=， x， (2.12) 其中0，为r上的开区间，),(xudd =和),(xumm =为定义在开子集 m uvr上 的 矩 阵 值 函 数 ，0d， 12 (,)t m uu uu=l，f为 从 m urr + 上的光滑映射若不是整个r，可假设u满足特殊的边界条件， 例dirichlet和neumann边界条件，假设此问题在从 n r的光滑函数集x上局 部解存在，即给定 0 u ，0，在x和), 0t上(2.11)- (2.12)的光滑解),(txu 存在且属于x 定义 2.9 (不变区域)43 闭子集 m r 称为由(2.11)， (2.12)定义的局部解的(正)不变 区域，若(2.11)- (2.12)的初始值属于 ，则对任意x和), 0t，),(txu也属于 定义 2.10 光滑函数: m g rr称为在u处拟凸，若对任意( )0 u dg =，都有 2 ( , )0 u d g 定义 2.11 方程组(2.11)称为是f稳定的，若在 1 c拓扑下，lim n n ff =，则对0t ， 方程组(2.11)- (2.12)的解为方程组 0 ( , ) ( ,0)( ) txxxn udumuf u t u xux =+ = 的解的极限 定理 2.1243 设 如下定义 一类具有松弛项的粘双曲系统的全局解 16 1 ,( )0 m i i uu g u = = i ， 其中 i g 为定义在u的开子集上的光滑实值函数，且对每一个i， i dg 不恒为零，d 为一正定矩阵，假设方程组(2.11)是 f- 稳定的，则对0， 是方程组(2.11)的 不变区域当且仅当在每一点 0 u(即 0 ()0 i g u=)，如下条件成立： (1) i dg 为d和m的左特征向量； (2) i g 在 0 u 处拟凸； (3) 0)(fdgi 2 . 4 测度理论 在本节中，我们主要