（基础数学专业论文）一类能量泛函的径向极小元的渐近分析.pdf

中文摘要 在本文中，记b = z r 2 ；x i + z ； 1 ) ，s 2 = 。r 3 ；。 + z ；+ z ；= 1 ， 9 ( 。) = ( 备s i n m ，c 0 8 m ) ( o m z ) 的径向极小元u 。 在第一章中，我们首先给出了本文将要用到的一些概念和定理同时我们也扼 要地阐明了有关能量泛函的径向极小元的一些结论 在第二，三章中，当能量泛函中的s 一0 时，我们研究泛函的径向极小元= ( “。1 ，2 ，u 。3 ) 的1 一的收敛性和a 1 , c e 收敛性首先，我们给出了的1 刈叟敛性， 事实上，我们得到的结论就是 姆2 ( 高，o ) 饥1 。, 。p ( b o ) ，砰) 其次，我们又证明了的g 1 o 收敛性， 我们都能证明 觋2 ( 啬，o ) 即对任何紧子集k c b ( o ，1 一口) b ( 0 ，口) 讯 e 1 ，“( 耳，r 3 ) 其中口( o ， ) 和a ( o ， ) 是任意常数接着，我们又对“：t + u 。2 。的零点进行了粗 略地估计，最后，在5 0 时，我们给出了u 毛的收敛速率的估计 关键词：径向极小元；紧子集；半连续性；收敛性 v a b s tr a c t i nt h i sp a p e r ，d e n o t e b = x r 2 ；。 + z ； 1 ) ，s 2 = 。r 3 ；z i + z ；+ z ；= l ，9 ( z ) = ( 向s i n m ，e o s m ) ( 0 m 2 ) w h e r eu ( x ) i si nt h ef u n c t i o nc l a s s = ) = ( 高s i n m ) 1 c o s ，( r ) ) w i 。( b ，铲) ；乱 s b = g ) i nc h a p t e ro n e ，w ep r e s e n ts o m eb a s i cn o t i o n sa n df a c t st h a tw i l lb eu s e di n t h i sp a p e r a tt h es a m et i m e ，w eo u t l i n es o m ef u n d a m e n t a lr e s u l t so ft h er a d i 甜 m i n i m i z e r s “= ( 乱d ，札e 2 ，毗3 ) o ft h ee n e r g yf u n c t i o n a l i nc h a p t e r st w oa n dt h r e e ，w em a i n l yp r o v et h ew 1 , pc o n v e r g e n c ea n dc 1 ，。 c o n v e r g e n c eo ft h er a d i a lm i n i m i z e r s = ( 地l ，u 2 ，“e 3 ) o ft h ee n e r g yf u n c t i o n a la 8 e _ 0 f i r s t ，w ep r e s e n tt h ew 1 pc o n v e r g e n c eo f 嘶，i nf a c t ，w eo b t a i nt h er e s u l t t h a 土 s e c o n d ，w ep r o v et h ec 1 皿c o n v e r g e n c eo f ，n a m e l y , f o ra n yc o m p a c ts u b s e tkc b ( 0 ，1 一o - ) b ( 0 ，口) ，w ec a np r o v e t h a t 觊让e = ( 面x ，o ) 仇 沙( 耳，r 3 ) f o ra l lo ( 0 ，j ) a n d 口( o ，j ) i sa na r b i t r a r yc o n s t a n t n e x t ，w ea l s oe s t i m a t et h e z e r o so f 札五+ k 2 2r o u g h l y f i n a l l y , w ep r e s e n tt h ee s t i m a t e so ft h ec o n v e r g e n tr a t e o f 屹a s _ 0 k e y w o r d s ：r a d i a lm i n i m i z e r ，c 。m p a c ts u b s e t ，s e m i - c o n t i n u i t y c o n v e r g e n c e l v 学位论文独创性声明 本人郑重声明： i 、坚持以“求实，创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰 写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名 日期 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版：有权将学位 论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅：有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名 日期 a c k n o w l e d g e m e n t s t h et i m eo fm yg r a d u a t ee d u c a t i o ni sg o i n gt oe n d s i n c eif i n i s h e dm yh i 曲 s c h o o l ，ih a v eb e e ni nn a n j i n gn o r m a lu n i v e r s i t yf o rs e v e ny e a r s t h eu n i v e r s i t y b r i n g sm em u c hh a p p yt i m ea n de s p e c i a l l ym yt e a c h e r sa n dc l a s s m a t e so f f e rm et h e b e s tc o n d i t i o no fl i f ea n ds t u d y f i r s t l y , it h a n kt 0m yt u t o r ，p r o f e s s o rl e iy u t i a n ，a ne a r n e s ta n dr e s p e c t a b l e c o a c h a l t h o u g hp r o f e s s o rl e ii sv e r yb u s yi nt h ew e e k d a y , h ec a na l w a y sg i v em e m u c hv a l u a b l ed i r e c t i o n st ol i f ea n ds t u d yw i t ht h ee x p e r i e n c e so fh i m s e l f p r o f e s s o r l e ii so f t e nc o n c e r n e da b o u tt h ep r o g r e s so fm yp a p e ra n dit h u so b t a i nm a n y b e n e f i e i mi d e a sf r o mh i m ia n le x a c t l yt h a n k f u lf o rh i sa s s i s ta n dh i sk i n d n e s sw i l l b ei m p r e s s e di nm ym i n df o r e v e r s e c o n d l y , i 锄e x t r e m e l yt h a n k f u lt op r o f e s s o rg a oh o n g j u n ，f a n gj i n g x u a n ， z h a u gj i h u ia n dy a n gz u o d o n g t h e yn o to n l yg i v em em a n ya d v a u t a g e o n ss u g - g e s t i o u sa b o u tm yp a p e r ，b u ta l s oh e l pm em u c hi nm y l i f e t h e i rs t a c ta t t i t u d et o w o r ka n d a c a d e m ea t t r a c t sa n da f f e c t sm ei nm yf u t u r el i f e b e s i d e st h e m in e e d t ot h a n kt oo t h e rt e a c h e r ss u c ha sp r o f e s s o rs u nz h i r e n , y a oy i ，s u nm a o h u a ，z h u c h e n ga n ds oo n f i n a l l y ，io w em a yt h a n k st om yp a r e n t sa n df r i e n d s e s p e c i a l l ym yc l a s s m a t e s ， s u il i y i n g ，g o n gc h u n y a ，a s s i s tm em u c hi nm yl i f ea n dm al ig m es o m eu s e f u l s u g g e s t i o n sd u r i n gt h ea c h i e v e m e n to ft h i sp a p e r t h a n k sf o rt h e i rh e l pa n ds u p p o r t t h i sd i s s e r t a t i o ni 8w r o t ew i t hc 皿撂s o f t w a r e ia c k n o w l e d g eh t t p ：哪 c t e x o r go f f e rt h i ss o f t w a r e n a n j i n gj i a n g s u ，p e o p l e sr e p u b l i co fc h i n a m a r c h3 ，2 0 0 7 p r e f a c e l e tb = p 舻；砰+ 遁 1 ) ，s 1 = 扛r a ；曰+ 迓= 1 ，x 3 = o ，s 2 = p 印；z i + z ；+ z ；= 1 ，a n dg ( x ) = ( 青s i n m , c o s m ) w i t h0 0s u c h t h a t 蠲e ( 0 ，1 ) ， r f ( ) + 孝c 0 8 2 五1 d r c 矿 s u p i u e 3 ( 删c t 皆 w h e r e c 一。r f ( 咒) p 十古c o s p 丘c e pg i v e s t h e e s t i m a t e o 。f t ，h er s t e o f f s c 0 “艟g e n c e t o 孟访。【口，1 一口】s e n 8 e ，a n ds u p z l 蚰( z ) l c 警g i v e st h e e s t i n ：l a t eo ft h e r a t eo fc o n v e r g e n c eo fi 他3 缸) lt o0i nc 帕( k ) s e n s e i no r d e rt oo b t a i nt h er e s u l to ft h e o r e m0 3 ，w ef i r s tp r o v e b ( 五，( 0 ，1 一口) ) c e 2 n e x t ，w ec h o o s e0 ，) 一6 1 1 1 一，7 + 6 i 2 1 一叮a n dp r o v e 最( ，c ，【町一文1 ，1 一，7 + 钆”c e 3 _ p 一 s i m i l a r l y , w ec h o o s e 叼一6 1 l 7 7 一如1 1 一，7 + 如 1 一下7 + d 1 2a n d p o v e 最( 丘，协一如l ，1 一町+ 6 2 2 1 ) g 一叩 l i k et h i ss t e pb ys t e p ，f i n a l l y , w eo b t a i nt h a t 尼( 丘，加一6 ( b - 2 ) 1 , 1 一o + d ( t p l - 2 ) 2 ) 纠呻 n e x t ，w ec o n t i n u et op r o v el i k et h i s ，w eh a v e 鼬h 一文b l - i ) i , i - t - f 咖。】) 既b + i - p + p i l - # + j & ( i m l ”咖 t h e nc h o o s i n g 以= m i n 6 t d ，6 k 2 ，w ek n o w 及伉，切一以, i - i + 6 。1 ) 侥b + i - p + y 1 ，f 。一l - 缸y + & r r l l 打 3 t a k i n g 盯= ，7 一以，w eo b t a i n 忍( 丘，【盯，1 一卅) g s 纠+ 1 呻+ 1 f l - f f r l ，d r f m a l l v w ec o m p l e t et h ed r o o fo ft h e o r e m0 3 4 c h a p t e r1 fn j i o c a t l o no iz e r o s 1 1i n t r o d u c t i o n l e tb = ( r 2 ；z i + z ； 1 ) d e n o t es 1 = 霉r 3 ；砰+ 遥= l ，1 9 3 = o ) a n d s 2 = z r 3 ；x i + z ；+ 霹= 1 l e t9 ) = ( 青s i n m ，c o s m ) ，w h e r e0 m 戛 a n dz = ( c 0 80 ，咖口) o no b w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h em i n i m i z a t i o no ft h ee n e r g y f u n c t i o n a l 卧罔= ；互i v 卵d z + 上2 。p j 厂d 缸 2 ) i nt h ef u n c t i o nc l a s s w = 让( z ) = ( 啬s i n f ( r ) ，c o s f ( r ) ) w 1 , p ( 口，s 口) ；“i a 口= g ) l 山l b yt h ed i r e c tm e t h o di nt h ec a l c u l u so fv a r i a t i o n s ，t h em i n i m i z e ro f 易( t ，b ) e x i s t s i nw ，w h i c hi sn a m e dt h er a d i a lm i n i m i z e ro f 最( 让，b ) w h e np = 2 ，t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fm i n i m i z e ro fb ( 让，口) h a sb e e nc o n - s i d e r e db yf e n g b oh a n ga n df a n g h u al i ni n 【3 】i np a r t i c u l a r ，t h e yd i s c u s s e dt h e a s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h er a d i a lm i n i m i z e ro fb ，b ) i n 甄 a 8i n 【1 】 【2 】a n d 4 】，w ea r ei n t e r e s t e di nt h eb e h a v i o ro fr a d i a lm i n i l n i 硼o f 最( “，b ) a se _ 0 w e w i l lp r o v et h ew 馏c o n v e r g e n c ea n dt h ec 1 。c o n v e r g e n c e o ft h er a d i a lm i n i m i z e r s i na d d i t i o n ，s o m ee s t i m a t e so ft h ec o n v e r g e n tr a t eo ft h e r a d i a lm i n i m i z e rw i l lb ep r e s e n t e d i no r d e rt oo b t a i nt h e s er e s u l t s ，w eh a v et o d i s c u s st h el o c a t i o no ft h ep o i n t sw h e r eu ；= 1 - i np o l a rc o o r d i n a t e s ，f o ru ( x ) = ( 击s i nf ( r ) ，c o sf ( r ) ) ，w eh a v e i v u p = ( 鼻+ r - 2 s i n 2 ，) ；， 5 i f w ed e n o t e t h e n 上i v 卵如嘲0 1 r ( f r 2 + r - 2 s i n 2 f ) i d r y = ，w 2 ( o ，1 】；r i l ，r ，r 字8 i n f 妒( o ，1 ) ，( r ) o ，( 1 ) = m ) ， y = 0f o rr ( 0 ，t ) w i t ht 0s u f f i c i e n t l ys m a l l t h i si m p h e st h a ts m f ( r ) s i n s 0 n o t i n gp 2 ，w eh a v e r 卜p 8 甜，d r s i n p s r 1 - p d r = o o ， j o j o w h i c hc o n t r a d i c t sr ；- 1s i n ，妒( 0 ，1 ) t h e r e f o r e ( o ) = 0 s u b s t i t u t i n gu ( z ) = ( 毒s i nf ( r ) ，c o sf ( r ) ) wi n t o 忍心，b ) w eo b t a i n 最( b ) 一2 最( ，( 0 ，1 ) ) ， w h e r e r l1 一 e e ( f ，( o ，1 ) ) 2z 【；( 砰+ r - 2 8 i n 2 ) 2 + 否1 c 0 8 2 门r d r t h i ss h o w st h a tu ( z ) = ( 啬s i nf ( r ) ，c o s ，( r ) ) wi st h em i n i m i z e ro f 忍( 牡，b ) i f a n do n l yi f ，( r ) vi st h em i n i m i z e ro f 忍( ，( 0 ，1 ) ) a p p l y i n gt h ed i r e c tm e t h o d i nt h ec a l c u l u so fv a r i a t i o n sw ee a r ls e et h a tt h ef u n c t i o n a l 最( u ，b ) a a h i e v e si t s m i n i m u mo nwb yaf u n c t i o n ( z ) = ( 葫s i n 丘( r ) ，o 五( r ) ) ，h e n c e 五( r ) i st h e m i n i m i z e ro f 最( ，( 0 ，1 ) ) i nv 6 w ew i l lp r o v et h em a i nr e s u l t si nt h i sc h a p t e ra sf o l l o w s t h e o r e m1 1 l e t b ear a d i a lm i n i m i z e ro f 忍( “，b ) f o ra n yg i v e n 盯 0 a n da n y7 ( o ，1 ) ，t h e r ee x i s tt h ep o s i t i v ec o n s t a n t sa a n dh = 五( r ) i n d e p e n d e n to f ( 0 ，1 ) s u c h t h a t 磊：= b ；l t k 3 i 7 ) c b ( o ，h e ) u ( b ( o ，1 - a ) b ( o ，1 一盯) ) 1 2p r o o fo ft h e o r e m1 1 p r o p o s i t i o n2 1l e t 五b eam i n i m i z e ro f 最( ，( 0 ，1 ) ) t h e n 最( 五，( 0 ，1 ) ) c e l w i t hac o n s t a n tci n d e p e n d e n to fe ( 0 ，1 ) p r o o f d e f i n e 堆，r ) = m 硝z r 【；( 露+ 嘉s i n z f ) l + 刍c 0 8 2 ，】r d r ，) w h e r e t h e n i = ，( r ) 略( o ，嗣；，( r ) = m ，s i nf ( r ) r 一1 ，厂( r ) r ；l p ( o ，冗) ， f ( e ，1 ) = 显( 丘，( 0 ，1 ) ) = ；栅册r 一2 ( s i 删芴1j 。1r c o s 2 触 ( 2 1 ) = ；麝孑呻s ( 伉) ：+ 8 - 2 s i n 2 矗) 如+ 去麝产$ c o s 2 丘如 = e 2 - p i ( 1 ，一1 ) l e tf lb et h em i n i m i z e ro f1 ( 1 ，1 ) a n dd e f i n e w j h a v e ，2 = ， a s 0 0w h e nri sc l o s et o t h er i g h te n dp o i n t1 n e x t ，w es h a hg i v et h ee s t i m a t ew h e nr i sf a xa 嗍劬mt h e e n dp o i n t1 p r o p o s i t i o n2 3l e t 五b eam i n i m i z e ro f 忍( ， ( o ，1 ) ) t h e nf o ra n y 盯 0 ，w e j 蠢( 五，( 0 ，1 一矿) ) 盘2 - p p r o o f a c c o r d i n gt op r o p o s i t i o n ( 2 1 ) ，w eh a v e 最( 五，( 1 一仃，1 一互1 盯) ) 疋( 正，( 0 1 ) ) 傀1 呻 8 b yt h ei n e a uv a l u et h e o r e m ，t h e r ee x i s t sf ( 盯，盯) s u c ht h a t c o s 2 r e ( 1 一f ) 驴 d e f m e c e l l = 五h sr 【1 一f ，1 】 = f e ( 1 一f ) 一三二垂竽二盟( r 一1 + f ) r 【1 一一e ，1 一胡 ，1 = 詈幽r 【s ，1 一f 一司 = a ( r ) = 五( 距) r 【0 ，司 n o w ，w ec o n s i d e r e 。( f ( 6 s ) ，( 0 ，e ) ) i nf a c t ， j ( ，) = 忍( ，( 0 ，s ) ) = ；1 o t ( 1 ) ；+ r 一2 ( s i n 1 ) 2 捧d r + 刍后r c 0 8 2 d r = ；j ：陋8 ( ( ) ：e 一2 + 一2 占一2 ( s i n f l ) 2 】d s + 互孑1j 0 1 占e c o s 2 a d s = s 2 ， ；j ：s 【( ( ) ：+ s 一2 ( s i n ) 2 】l d s + f ；s c o s 2a d s se 2 - v ( 1 ，1 ) c e 2 - p 灿r 扛，1 一f e 】，l = 詈t h e n e ( i ，瞳，1 一f 一司) = 最( ，陋，1 一f 一叫) = ；c + 。( 学) g d r = ；+ 。s i p r 1 _ p r d r g 【( 1 一一s ) 2 + 9 2 - 】 s c p p 9 ( 2 2 ) a sr 【1 一f 一，1 一胡， e c f , ，f 1 一f 一，1 一日) 2 州! f 1 + - ( 。f ( 丝掣) 2 + r - 2 s i n 2 郇r 咖+ 刍臆c o s 2 r d r g 正善c ( 掣) p r d r + c f ：- ：- e r l ，钟 d r + 刍正善。佣。 ，d r s i n c e f 三一五( 1 一f ) i e is i n ( ；一r e ( 1 一f ) ) i ；c 。丘( 1 一f ) w eh a v e c 上：芑。i 三二：警之盟f 惭 。 sc j ：；：咝警盐r 曲 e 聪。垡警塑r d r s c e 卜l ；r d r c 台2 ， f o rt h ee s t i m a t eo f 厶，w eh 8 8 k 一去j ：；。e c o s 。f l r d r s 细_ _ 1 j f l x 一- 一。c o s 2 五( 1 一f ) r d r c e l 一，f ：- ：_ , r d r s c 0 2 c o m b i n m gt h ee s t i m a t e sa b o v e ，w eo b t 蚯n e e ( i i ，( 0 ，1 一) ) c e 2 1 ， s i n c e 五i s8m i n i m i z e r , w e 胁 最( 五，( 0 ，1 ) ) e ( f l ，( 0 ，i ) ) n o t i n g e a r , ，f 1 一1 】) = 最( ，【1 f ，1 】) ， 1 n w eo b t a i n 屡( 丘，( 0 ，1 一) ) e 。c f l ，( 0 ，1 一) ) c e 2 一， t h l l 8 f r o m ( 0 ，l 一盯) c ( 0 ，1 一) ，i t f o l l o w s t h a t e 。( 丘，( 0 ，1 一力) s ( 冶2 _ p i n t h e f o l l o w i n g ，w e w r i t e a = b ( 0 ，1 一盯) a c c o r d i n gt op r o p o s i t i o n2 3 ，w eo b t a i nt h ef o l l o w i n g p r o p o s i t i o n2 4l e t b ear a d i a lm i n i m i z e ro f 最( u ，b ) t h e nt h e r ee x i s t sa c o n s t a n tc 0 i n d e p e n d e n to f ( 0 ，1 ) s u c ht h a t k ( z ) 一( 如) j c 字l z 一。0 1 l - a ,比，跏a a sac o r o l l a r yo fp r o p o s i t i o n2 3 ，w ea l s oh a v e p r o p o s i t i o n2 5l e t b ear a d i a lm i n i m i z e ro f 忍( ，b ) t h e nc a l lf i n dr o m e c o n s t a n tc 0 i n d e p e n d e n to f ( 0 ，1 】s u c ht h a t 刍z 拙c b a s e do np r o p o s i t i o n2 4 ，w eh a v et h ei n t e r e s t i n gr e s u l t ： p r o p o s i t i o n2 6l e t b ea r a d i a lm i n i m i z e ro f 毋( 让，口) t h e nf o ra n y y ( 0 ，1 ) ，t h e r ee x i s tp o s i t i v ec o n s t a n ta ，pi n d e p e n d e n to f ( 0 ，1 ) s u c ht h a ti f 壶z 桫喝如甄 ( 2 s ) w h e r eb 2 ki ss o m ed i s co fr a d i u s2 l ew i t hz a ，t h e n l u , s ( x ) l 7 ，比a n b k ( 2 4 ) p r o o f f i r s tw eo b s e r v et h a tt h e r ee x i s t sac o n s t a n t 口 0s u c ht h a tf o ra n y z a a n d0 7 t h e na p p l y i n gp r o p o s i t i o n2 4 ，w eh a v e k 协) 一【z o ) i c e 2 一, i x x o l l 一； sc 宇( a ) 1 一； ：c a * 一； = i ， 比b ( x o ，a ) w h i c hi m p l i e st h a t i t k ( z ) 一t k ( z o ) i 去 ，v n o t i n g ( 2 5 ) ，w eo b t a i n ( 硎2 【| 以瑚i _ j 】2 等v x eb ( 埘 t h e r e f o r e 厶( 。旭) n 心出 m e s ( a n b ( x o ，a e ) ) 等p ( 沁) 2 = p 等( 丢) 刍e ： = 舻 s i n c ex o b k n a ，a n d ( b ( x o ，沁) n a ) c ( b 盘n a ) ，( 2 6 ) i m p l i e s 上2 l , a a 心如 雕2 ， ( 2 5 ) ( 2 6 ) w h i c hc o n t r a c t s ( 2 , 3 ) a n dt h u st h ep r o p o s i t i o ni sp r o v e d t of i n dt h ep o i n t sw h e r e “磊= 1b a s e do np r o p o s i t i o n ( 2 6 ) ，w em a yt a l 【e2 3a s t h er u l e rt od i s t i n g u i s ht h ed i s c so fr a d i u sa sw h i c hc o n t a i nt h e s ep o i n t s 1 2 a s s u m e i sar a d i a lm i n i m i z e ro f 最( 缸，b ) g i v e n7 ( 0 ，1 ) ，l e ta ，pb e c o n s t a n t si np r o p o s i t i o n2 6c o r r e s p o n d i n gt o 饥i f 1， 孝止( ，纨) n 2 锄如“ t h e nb ，a e ) i sc a l l e d ，y g o o dd i s c ，o rs i m p l yg o o dd i s c o t h e r w i s e 口，a ) i s c a l l e d7 一b a dd i s c ，o rs i m p l yb a dd i s c n o ws u p p o s et h a t b ( ，沁) ，i j ) i saf a m n yo fd i s c ss a t i s f y i n g ( i ) 石；a ，i j ；( i i ) a c b ( ，a ) ； ( i ) b ( ，等) n b ( 巧，等) = 语， t j p r o p o s i t i o n2 7w r i t e 以= 0 ，；b ( ，a ) i s8 b a dd i s c t h e r ee x i s t s ap o s i t i v ei n t e g e rns u c ht h a tt h em m a b e ro fb a dd i s c sc a r d 五n p r o o f s i n c e ( t 扰) i l p l i e st h a te v e r yp o i n ti na c a l lb ec o v e r e