（计算机软件与理论专业论文）基于hvs的小波域鲁棒性数字水印算法的研究.pdf

摘要 摘要 计算机技术和网络技术的发展，大大简化了多媒体数字产品的存储、编辑 和传输。但是，它也使盗版行为日益猖獗。当前，数字图像是互联网上最主要的 多媒体数据之一，它广泛地分布在互联网的每个角落。由于数字图像有着广泛的 应用，因而它也成为盗版的主要对象。数字图像的盗版情况异常恶劣，它的版权 保护问题已经迫在眉睫。传统的加密技术不适应数字图像应用的要求，图像所有 者希望采用新的技术手段来维护他们的利益。因而，数字水印技术应运而生。 本文就用于静态图像版权保护的鲁棒性数字水印技术进行研究，着重探讨 如何平衡水印的视觉透明性和鲁棒性之间的关系。文章从介绍数字水印技术的研 究意义及当前的研究状况出发，先后介绍在研究工作中使用到的基本理论，包括 小波变换和人类视觉系统，进而从整体上展示出水印处理系统的框架。紧接着是 本文的重点，即对基于亮度均值的空间域数字水印原始算法的分析和改进。本文 从四个方面对原始算法进行改进：第一，本文把水印算法从空间域移植到小波域。 然后利用小波变换的时空局部性，选择合适的频率子带作为水印的嵌入区域。第 二，本文从人眼的亮度适应性和视觉掩盖效应出发，考虑到应用的要求，对小波 域上系数量化步长的计算方法进行优化，使其与人类视觉系统更相符。第三，本 文针对原算法中量化步长不变而带来的缺点，在每个水印嵌入区域中使用相应的 量化步长。因此，水印的嵌入强度不但与图像的内容相适应，而且水印的嵌入强 度增大，鲁棒性加强。第四，本文改进了原始算法中平均分配系数改变量的做法， 根据每个系数的量化步长修正系数的改变量的计算方法。这点不但优化了量化步 长，而且保证在水印的嵌入区域不形成视觉上的失真。基于上述的工作，本文为 了从视觉透明性和鲁棒性两方面比较原始算法和改进算法的性能，进行了大量的 实验。实验结果显示出，改进算法保证了水印视觉透明性的要求，而且它在抗 j p e g 压缩、滤波、噪声和裁剪方面都具有比原始算法更为优越的性能。特别在 抗。i p e g 压缩和抗滤波攻击方面，改进算法的优势更为明显。文章的最后是对这 一阶段水印研究工作的总结，及对未来工作的展望。 关键词：数字水印；离散小波变换；人类视觉系统： 兰塑墨三叁：羔堡主焦笙奎 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e rt e c h n o l o g ya n dn e t w o r k s ，i tb e c o m e se a s i e rf o rp e o p l e t os t o r e t oe d i ta n dt ot r a n s f e rm u l t i m e d i ad i g i t a ld a t a o nt h eo t h e rh a n d ，i ta l s ol e a d st ot h e r a m p a n c yo fp i r a t e d i g i t a li m a g e ，o n eo ft h em o s tp o p u l a rm u l t i m e d i ad a t a ，i sd i s t r i b u t e di na l l o v e rt h ei n t e r n e t f o rt h ew i d eu s eo fd i g i t a li m a g e ，i tt a k e sm o s tp i r a t e s i n t e r e s t s oi ti st o o s e r i o u so fp i r a t ei ni m a g et oi g n o r et h ei m a g ec o p y r i g h tp r o t e c t i o n b e c a u s et h et r a d i t i o n a l e n c r y p t i o nt e c h n o l o g yc a n tm e e tt h er e q u i r e m e n t so fd i g i t a li m a g ea p p l i c a t i o n s ，t h eo w n e r so f i m a g e se x p e c tan e wt e c h n o l o g yt op r o t e c tt h e i ri n t e r e s t s t h u s ，d i g i t a lw a t e r m a r k i n gc o m e st o t r u t h t h i sp a p e rt a k e st h er e s e a r c hi nt h ed i g i t a lw a t e r m a r k i n gt e c h n o l o g yf o rs t i l l i m a g ec o p y r i g h tp r o t e c t i o n ，w h i c h f o c u s e so nt h eb a l a n c eo ft h ew a t e r m a r k s t r a n s p a r e n c ya n dr o b u s t a tt h eb e g i n n i n g ，t h ep a p e ri n t r o d u c e st h es i g n i f i c a n c ea n d t h ed e v e l o p m e n to ft h ew a t e r m a r k i n gt e c h n o l o g y t h e ni tt a k e si n t oa c c o u n tt h eb a s e t h e o r i e su s i n gi nt h er e s e a r c h ，s u c ha sw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o na n dh u m a nv i s u a l s y s t e m a f t e rt h a t ，i tp r e s e n t st h ew a t e r m a r k i n gs y s t e mf r a m e w o r ki nag l o b a ls t y l e f o l l o w e di st h em a i np a r to ft h i sr e s e a r c h i ta n a l y z e sa n di m p r o v e st h eo r i g i n a l w a t e r m a r k i n ga l g o r i t h m ，w h i c hi sb a s e do nt h ed i f f e r e n c eo f t h em e a no fl u m i n a n c e i nt h es p a t i a ld o m a i n i ti m p r o v e st h eo r i g i n a lo n ei nf o u ra s p e c t s f i r s t l y ，i tu s e st h e w a v e l e td o m a i nt oe m b e dt h ew a t e r m a r ki n s t e a do ft h es p a t i a ld o m a i n t h e ni tm a k e s f u l lu s eo ft h et i m e s p a c el o c a l i z a t i o no fw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n ，a n ds e l e c t sp r o p e r f r e q u e n c yb a n da st h ew a t e r m a r ke m b e d d i n gr e g i o n s e c o n d l y ，b a s e do nl u m i n a n c e e f f e c ta n dm a s k i n ge f f e c ti nh u m a nv i s u a l ，t h i sp a p e rt a k e st h er e q u i r e m e n t so f a p p l i c a t i o n si n t oc o n s i d e r a t i o na n do p t i m i z e st h ec a l c u l a t i o nf o rq u a n t i z a t i o ns t e p s o fw a v e l e tc o e f f i c i e n t st om a k ei tm o r es u i t a b l et ot h eh u m a nv i s u a ls y s t e m t h i r d l y ， i no r d e rt oo v e r c o m et h es h o r t c o m i n g sb r o u g h tb yt h ei n v a r i a n tq u a n t i z a t i o ns t e pi n o r i g i n a la l g o r i t h m ，t h i sp a p e ru s e sd i f f e r e n ts t e p sa c c o r d i n gt oi m a g ec o n t e n t ，s ot h e s t r e n g t ho fw a t e r m a r k i sa d a p t i v et ot h ei m a g e t h el a r g e rt h es t r e n g t hb e c o m e s ，t h e m o r er o b u s tt h ew a t e r m a r ki s t h el a s to n ei st oa c q u i r et h ev a r i a n c eo fe v e r y c o e f f i c i e n ta c c o r d i n gt oi t sq u a n t i z a t i o ns t e p ，n o tt h em e a no ft h ev a r i a n ta m o u n t s o t h eq u a n t i z a t i o ns t e pi so p t i m i z e da n dt h ed i s t o r t i o ni sn o to b v i o u si nw a t e r m a r k e d i m a g e e x p e r i m e n t sa r e c a r r i e dt om a k ec o m p a r i s o no nt h et w ow a t e r m a r k i n g a l g o r i t h mf r o mt h ep o i n to fv i s u a lt r a n s p a r e n c ya n dr o b u s t r e s u l t ss h o wt h a t ，t h e i m p r o v e da l g o r i t h mn o to n l ya c h i e v e sg o o dp e r f o r m a n c ei nt r a n s p a r e n c y ，b u ta l s oi s b e t t e rt h a nt h eo r i g i n a lo n ei nr o b u s ta g a i n s tj p e gc o m p r e s s i o n ，f i l t e r i n g ，n o i s ea n d c r o p p i n g e s p e c i a l l ya g a i n s tj p e gc o m p r e s s i o na n dn o i s e ，t h ei m p r o v e do n ei sf a r m o r es u p e r i o rt ot h eo r i g i n a l a tl a s tt h i sp a p e rm a k e sac o n c l u s i o no nt h er e s e a r c h a n dp o i n t so u tt h ef u t u r ew o r k s k e yw o r d s ：d i g i t a lw a t e r m a r k ：d w t ；h v s i i i 华南理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：夏妙次 日期：a 印f 年r 月歹驴日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权华南理工大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密口。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：夏缈扶 铷签名：时l 嗽 1 日期：0 0 。f 年f 月歹驴曰 日期：a n 口年6 月2 日 第一章绪论 1 1 数字水印的研究意义 第一章绪论 随着计算机技术的发展，互联网在人们的生活中扮演着越来越重要的角色。 它不但成为信息发布与交换的重要媒介，还是多媒体数字产品传播的理想平台。 与模拟数字产品对比，多媒体数字产品易于存储、复制、修改和传输。但随之而 来的是对多媒体数字产品知识产权的肆意侵害。多媒体数字产品所有者敏感地意 识到盗版对自身利益的巨大损害，他们需要有效的技术手段来保护其利益。传统 的加密技术不适应多媒体数据版权保护的要求。在加密技术中，只有持有解密密 钥的人才可以浏览加密数据，对数据进行操作。因而，它限制了多媒体数字产品 的传播，使所有者不能向更多的人展示自己的作品；其次，加密技术保护的是传 输中的数据，但是被解密后的数据将得不到任何保护。盗版者能够任意篡改解密 后的多媒体数据。在这种情况下，数字水印技术作为一种与加密技术相互补充的 技术得到发展。 数字水印技术是信息隐藏技术的一个领域。它在数字载体中嵌入标识信息，用 以标明载体的版权，载体的认证信息，或者控制载体的使用。与普通水印技术相比， 它的侧重点在于水印的数字化。而与加密技术对照，它着重于保护解密后的数据。 根据多媒体数据产品的应用要求，数字水印技术可以用在版权保护、指纹、 版本保护、广播监控和数据认证等“1 。不同的数字水印技术必须适应不同应用的 需要，因此对于不同的多媒体载体，数字水印技术也各有差异。例如，用于广播 监控的数字水印是针对视频数据而言的，要求具有实时性：而用于版本保护的数 字水印则可以直接控制数字设备对光盘数据的复制”1 。目前，多媒体数字水印技 术的研究集中在图像领域。研究表明，人类的知识有8 0 以上是通过视觉获取 的，因而，静态图像成为互联网上最流行的多媒体数据之一。而且互联网的发展 也为图像水印的应用提供了直接大量的应用需求。其次，图像是最基本的多媒体 数据。由于视频可以看成连续的图像序列，从某种意义上将，视频水印与图像水 印的原理非常相似。许多图像水印的研究结果都可以直接应用到视频水印中。可 见，图像水印的研究在多媒体数字水印领域占据着重要的位置，它的发展势必推 动多媒体数字水印的前进。 伴随着软件技术的发展，众多图像处理软件出现，大大简化图像操作，但也 方便了盗版者的侵权行为。对图像的侵权行为在形式上多种多样。一般地，盗版 者会破坏图像的完整性、非法再发布图像、或者对图像版权信息进行破坏。因此， 华南理工大学硕士学位论文 针对不同的侵权行为，数字水印技术具有不同的功能。对应于图像的多种侵权行 为，文献 2 0 根据数字水印在图像领域上的功能和应用将其进行分类，包括：用 于数据认证的( 半) 脆弱水印o3 ：用于追踪数据非法发布者的指纹技术”1 ；以及 用于版权保护的鲁棒性数字水印技术。从数字水印的历史来看，数字水印的提出 源于版权保护的要求，而且一赢以来，版权保护都是知识产权保护领域的研究重 点，对多媒体数据更是如此。因此，用于静态图像版权保护的鲁棒性数字水印技 术成为多媒体数字水印领域的研究热点，它取得的成果将对多媒体数字水印的发 展产生重要的影响，也为多媒体数字产品的保护提供了有效的技术手段。 1 2 数字水印的研究现状 由于对知识产权保护的目益关注，在世界上掀起了研究数字水印的热潮。1 9 9 3 年，关于数字水印的文章首次出现在科技刊物上”1 。1 9 9 4 年，r g s c h y n d e l 等人 在i e e e 国际图像处理会议( i c i p 9 4 ) ，第一次明确提出了”数字水印”的概念”j 。 水印的研究得到了欧美许多政府部门、知名大学、企业和研究机构的支持和重视， 他们投入相当大的人力和物力，致力于此方面的研究，并取得了大量的研究成果。 从在国际上公开发表的文献数量来看，国际学术界发表的有关数字水印的文章数 量呈快速增长趋势，几个有影响的国际会议以及一些国际权威杂志相继出版了数 字水印的专辑。图1 一l 为2 0 世纪9 0 年代每年发表的关于水印的论文数量。 数字水印技术的研究也引起了我国学术界的浓厚的兴趣，在我国得到了足够 的重视。到现在，已经有一大批有实力的科研机构投入到水印领域的研究当中， 研究水平正日益提高。 用于静态图像版权保护的鲁棒性数字水印技术( 简称为数字水印) 一直以来都 是多媒体数字水印领域的研究热点。图像数字水印的发展经历了从空间域数字水印 到频率域数字水印的转变。水印视觉透明性和鲁棒性之间的关系得到进一步的平衡。 图1 12 0 世纪9 0 年代每年发表的关于水印的论文数量 f jg 1 1a m o u n to fw a t e r m a r kp a p e r si ne v e r yy e a ri nt h e1 9 9 0 s 尊瓣g瓣蟹警h 第一章绪论 空间域数字水印技术最初是采用l s b 方法柬实现水印的嵌入的，它根据水印 信息修改亮度值的最低位。这种方法完全不具有抵抗常用图像攻击的鲁棒性，嵌 入的水印很容易被去除。之后，i p i t a s 、j i a nc h y nl i u 等人对空间域水印技 术进行改进“”“”1 。一般的空间域水印算法认为，空间域中亮度的平均值对应于 离散余弦变换后的直流系数。当直流系数受到攻击后，它不会发生太大的改变。 基于上面的假设，这些文章都把空间域中的系数进行分组处理。然后，它们通过 调整各组系数的亮度平均值来嵌入一位水印。实验结果表明，在保证水印视觉透 明性的基础上，这些算法的确取得了比l s b 方法更好的鲁棒性。但是，空间域方 法存在着两方面的不足。首先，空间域描述的是图像的空间频率信息，而一般的 图像处理是针对图像的时间频率进行。所以，空间域方法难以在空间域中选择恰 当的时间频率段来嵌入水印。其次，上述方法的水印嵌入强度固定不变，不随图 像内容的改变而变化。为了达到水印视觉透明性的要求，水印的嵌入强度必须保 证平滑区域不会产生视觉失真，因此空间域水印算法不能最大程度地嵌入水印。 较弱的水印嵌入强度使得空间域水印算法抵抗攻击的性能比频率域算法要低。 频率域上的数字水印算法可根据水印嵌入域的不同划分到相应的频率域中。 一般地，用于嵌入水印的频率域有傅立时域、离散余弦域和小波域。各个频率域 具有不同的特性，使水印能够较好地抵抗相应的攻击。 傅立叶变换对几何攻击，如平移、缩放、旋转等均具有不变性。文献 3 3 中 描述了一种典型的傅立叶域上的水印算法。它从傅立叶一梅林变换的性质出发， 把图像的平移、旋转、缩放操作都归结为在傅立叶一梅林域中参数的线性平移。 然后在傅立叶一梅林域中嵌入水印，达到抵抗几何攻击的目的。在傅立叶域上嵌 入水印需要较大的计算量，而且在水印提取的时候，它的计算量丝毫不会减少。 在某些算法中，为了确定含水印图像的旋转角度，它们甚至需要穷尽搜索傅立叶 域中所有方向上的系数的幅值【5 0 1 。总的来说，傅立叶域上的数字水印在嵌入水 印或提取水印的时候，计算量和算法复杂度都较高，但是它能够较好地几何攻击。 而在离散余弦域和小波域上的数字水印则不具备这种优点。 在互联网上，图像大多采用j p e g 压缩标准作为存储格式，因而应用要求水 印必须能抵抗j p e g 压缩的攻击。由于j p e g 压缩是以离散余弦变换为基础，因 此离散余弦域上的数字水印自然成为抗j p e g 压缩的首选。j c o x 在1 9 9 7 年把安 全扩频的概念引入到离散余弦域的数字水印算法中，开辟了水印算法研究的新方 向1 2 5 1 。j c o x 算法首先根据水印嵌入系数的大小来调整水印的嵌入强度，使水印 的嵌入与图像的内容相适应，然后它利用强度因子来取得水印的视觉透明性和鲁 棒性之间的平衡。文献f 3 4 ，3 8 1 对j c o x 水印算法进行改进。它们在系数数量的选 择、系数位置的选择、嵌入强度的确定方面都进行了大量的比较实验，也取得较 好的效果。文献【3 5 】把人类视觉系统应用到水印的嵌入过程中。它在离散余弦域 华南理工大学硕十学位论文 中确定水印的嵌入位置，而通过在空间域中比较失真与视觉阀值的关系，从而确 定系数的改变，最后在空间域中实现水印的嵌入。离散余弦域上的数字水印算法 都直接利用j p e g 压缩的标准量化过程，使含水印能够较好地抵抗j p e g 压缩的 攻击。但是，离散余弦变换后，图像只剩下时间频率信息，而不能根据空间特征 选择嵌入的位置。 小波分析是当前图像处理领域的研究热点。最近许多关于水印的研究都选择 小波域作为水印的嵌入域 2 9 , 3 6 , 3 7 , 3 9 , 5 1 55 1 。文献3 6 ，3 9 ，5 3 ，5 5 把扩频算法移植到小 波域。文献1 3 6 ，3 9 ，5 5 】在小波域中利用小波分解与人类视觉系统的相似性，推导 出强度因子的计算模型，实现自适应于图像的水印嵌入。文献 3 7 ，5 4 】则是基于小 波域特有的小波树。它们在视觉阀值的允许下，通过调整小波树内零树的数量来 嵌入水印。文献 5 1 】中提出的方法比较新颖，它根据水印原始图像与水印的大小 确定小波分解的层次，并将其中的一个中频子带替换为水印图像。由于它在嵌入 前调节水印的强度，因而频带的替换不会引起视觉上的失真。小波变换以其独有 的时空局部性，提供了其他交换域所没有的优点。在小波域中，可以结合图像的 空间特性和频率特性选择合适的系数，更好地平衡水印的视觉透明性和鲁棒性。 而且，小波变换与人类视觉系统十分相似，所以比较容易在小波域上建立人类视 觉系统的模型，实现水印的最大强度的嵌入。但是，小波变换对几何变换不具有 不变性，不能抵抗几何攻击。 目前，水印算法的研究主要集中在小波域上，研究的重点仍然是如何使水印 与图像内容相适应，以及如何平衡水印视觉透明性与鲁棒性之阳j 的关系。随着 j p e g 2 0 0 0 压缩标准的实现和推广，基于小波变换的水印算法将更适应图像应用 的要求，并会获得更快的发展。 1 3 本文的主要工作 本文从文献 4 0 提出的基于亮度均值差的空间域数字水印算法出发，对算法 进行分析和改进。考虑到小波变换的特点以及水印和载体图像的关系，本文对原 算法作了如下改进。首先，改进文献 4 7 中量化步长的确定方法，使其更符合人 类视觉系统的特征；其次，把算法移植到小波域上；第三，针对不同的区域使用 相应的量化步长，克服了原算法中量化步长固定不变带来的缺点：最后，根据每 个系数的量化步长修正系数的改变量，优化量化步长的同时保证水印的嵌入不带 来视觉失真。比较实验结果，本文的改进算法不但保证了水印的视觉透明性，而 且取得了比原始算法更为优越的性能。 全文共分为四章，章节的安排如下： 第一章主要介绍数字水印的研究意义、数字水印在国内外的研究现状以及本 文的研究工作和框架结构； 4 第一章绪论 第二章首先简要地介绍了小波变换的定义，然后把小波变换与多分辨率分析 结合，分析了一维信号与二维信号的多分辨率小波分解与重构的原理；继而对人 类视觉系统的特征进行介绍：最后综合讨论了小波变换与人类视觉系统的相似 性。 第三章以数字水印的功能性分类为切入点，介绍了数字水印的特征及其相互 关系。然后重点讨论了水印系统的处理框架，并给出水印系统的评价标准。 第四章首先提出并分析了基于均值差的空间域数字水印算法，然后针对原始 算法的不足进行改进。包括把水印算法移植到小波域上；优化小波域中系数量化 步长的计算方法；针对原算法量化步长不变的缺点，在不同的区域采用不同的量 化步长，以适应图像内容的变化；修改系数改变量的计算方法。最后，通过实验 比较原始算法和改进算法的性能。 最后一部分是对本论文的总结，并提出今后的研究方向。 华南理工大学硕士学位论文 第二章小波变换与人类视觉系统 从2 0 世纪五卜年代末开始，傅立叶变换一直是变换域图像处理的基石。近 年来，小波变换的引入和兴起，取代了傅立叶变换的地位，简化图像的分析、传 输和压缩”1 。另一方面，人类视觉系统( h u m a nv is u a ls y s t e m ) 在图像处理中 起着极其重要的作用，几乎所有的图像处理算法都依赖于人类的视觉系统。例如 图像压缩、数字水印等，它们不但在图像处理的过程中使用h v s ，处理后还利用 它作为评估图像质量的依据“”3 。由于小波变换与i n s 多信道模型的相似性”“， 因而小波域方法成为数字水印研究领域的一个重要部分。 2 1 小波变换 小波分析理论结合了不同领域的研究成果，并在融合这些成果的基础上发展 起来，是多个学科理论综合发展的结果。它特有的时频特性，使它成为信号分析 领域的研究热点。1 9 1 0 年h a r r 提出的具有平移和伸缩特性的规范正交基，成为 小波分析理论的起点。1 9 7 4 年，法国地球物理学家j m o r l e t 在分析地震波的局 部性质时，发现传统的傅利叶变换难以达到其要求。因此他在分析信号时引入小 波对信号进行分解，而当时的小波是指由单个函数伸缩而得到的波。理论物理学 家o r o s s m a n 发现了m o r l e t 的方法与他在量子物理上工作的相似性，于是对这种 信号展开伸缩与平移的可行性研究，为小波分析的形成开了先河。后来，m e y e r 构造出一组无限可微的小波基，在小波分析的研究领域产生了极大的冲击，最终 导致d a u b e c h i e s 发现了紧支集的规范正交小波基。同时，m e y e r 与m a l l a t 系统 研究了构造小波基的一般方法，巧妙地将多分辨率的思想引入到小波分析中1 1 5 1 。 至此，小波分析的系统理论初步建立。 2 1 1 小波变换及其特点 小波是指把基本小波进行伸缩和平移操作后得到的波。小波变换的实质就是 把信号或函数f ( t ) 分解到小波上，把f ( t ) 表示为一系列小波基函数的线性组合 t s l 。若平方可积函数妒( f ) 满足条件 lg ( 0 a t = o( 2 一1 ) 且它的傅立叶变换痧满足： i ，2 r ”盟d 。 1 时，随着a 的增大，y ( f 加) 的 时域支撑范围比y ( f ) 变得更大，宽度更广。反之，当a 0 ，口= 1( c ) 6 不变，a = 2 ( d ) 分析范围 f i g 2 - 1f l e x i b i l i t yo fb a s i cw a v e l e ta n da n a l y s i sr a n g ec o n t r o l l e db yp a r a m e t e ra & b ( a ) b a s i c w a v e l e t ( b ) b 0 ，a = 1 ( c ) bc o n t a i n s i n v a r i a b l e ，口= 2 ( d ) a n a l y s i sr a n g e 与傅立叶变换相似，如果( 2 4 ) 式中的信号f ( x ) 为离散数字信号，则由( 2 4 ) 式得到的变换系数就是f ( x ) 的离散小波变换( d w t ) 。s m a l l a t 在文献 1 6 】中构 造出二进制小波，并把二进制小波离散小波变换的小波基函数对二维图像进行小 波分析。只要令( 2 3 ) 式中的a = 2 ，b = k 2 ，得到二进制小波基函数，如下式 f 2 7 1 所示： ， y m g ) = 2 j p ( 2 ，x k ) ( 2 7 ) 由于y 。是正交归一基，而正交归一基与它的复共扼相等，因此尺度为，的 二进制离散小波变换为： w 4 f ( j ，n ) = ( ，( 工) ，矿卅( 工) ) ( 2 _ 8 ) 要实现二维的离散小波变换，只需再引入一个二维尺度函数庐( z ，y ) 和三个二 维小波基函数y ”( x ，y ) 、妒”( x ，y ) 、y 。( x ，y ) 。由这些小波基函数展开形成的小波 空间分别表示二维信号的横向、纵向、和斜向的细节信息。图像是二维离散的数 字序列，它经过离散小波变换后，大幅值的小波系数指出边缘的位置，反映了图 像亮度的激烈变化。而且，图像在不同的尺度下的小波分解可以提供图像结构变 化的轮廓。 第二章小波变换与人类视觉系统 2 1 2 多分辨率分析 多分辨率思想来源于计算机视觉。由于图像中观察对象的尺寸存在差异，因 此计算机视觉引入多分辨率的思想，对不同的对象使用不同的分辨率进行分析。 多分辨率为分析图像信息提供了一个简单的具有层次的框架。在不同的分辨率 下，图像的细节突出了场景在不同层次上的物理结构。低分辨率时，它表现的是 图像的概貌；反之，表现的为图像的细节信息。从概貌到细节这样一个从粗到细 的认识过程有助于模式识别算法的使用，而且非常符合人们的观察习惯。b u r t 和c r o w l e y 用金字塔型的结构有效地实现了图像的多分辨率表示。一幅图像的金 字塔是一系列以金字塔形状排列的图像集合。从塔顶到塔底，图像的分辨率逐步 升高。越向金字塔的上层移动，图像的尺寸和分辨率就越低，如高斯金字塔是不 同分辨率下图像的近似值，而拉普拉斯金字塔则是图像的残差金字塔。但是，金 字塔中不同的层次之间相互关联，而且当前没有任何数学模型去处理这种联系。 因此，无法确定不同分辨率的图像细节之间的相似性的成因，难以确定这种现象 是由这种表示方式的冗余导致，还是来源于图像本身的属性。而且，拉普拉斯多 分辨率表示没有在图像分解的过程中引入任何图像的空间信息。空间协调性的缺 乏使拉普拉斯多分辨率表示不利于模式识别的进行。直到1 9 8 9 年，s m a l l a t 巧 妙地把多分辨率分析引入到小波分析中，给出了具有子带滤波器结构的离散小波 分解和重构的算法。他利用小波变换的空间局部性原理不但保留下图像的空间信 息，而且建立了金字塔不同层次之间的关系模型，奠定了离散小波变换在图像处 理领域中的理论基础【1 6 】。 顾名思义，多分辨率分析就是把信号分解到不同的尺度空间，即把信号分 解成具有不同分辨率的信号后再进行分析。多分辨率分析的定义如下： 定义平方可积空间f ( 月) 中的多分辨率分析指的是r ( r ) 中满足下面五个条件的 一个空间序列 ： ( 1 ) 单调性：v jcy + l ， j z ( 2 ) 逼近性：u 一= r ( r ) ，n _ = o i e zi e z ( 3 ) 伸缩性：f ( x ) 矿，f ( 2 x ) 矿。：伸缩性体现了尺度，的变化与空间变 化的一致性。 一jj ( 4 ) 平移不变性：对任意k z ，( 2 2 x ) 矿，j 庐，( 2 2 x k ) y ， ( 5 ) r i e s z 基的存在性：存在o ( x ) v o ，使得 妒( 22 工一k ) ik z 构成旷的 r i e s z 基。 条件( 5 ) 规定了空间矿，中r i e s z 的存在性，可以证明如果 v ， 是三2 ( r ) 的多 尺度逼近，则一定存在一个函数庐( x ) v o ，记 华南理工大学硕十学位论文 庐，( 工) = 22 矽( 2 7 工) ( 2 - 9 ) 使得它的整数平移系 死，。( x ) lk ez 构成的规范正交基，则痧( x ) 为尺度函 数，且 ! 以，女( 工) = 22 ( 2 。x 一七) ( 2 - 1 0 ) 根据多分辨率分析的条件可知，由( 2 - l o ) 式中的尺度基函数展开得到的函数 空间满足如下图2 2 所示的关系。 吒= h 国暇吒= o 图2 - 2 尺度空间与小波空间的关系 f i g 2 2r e l a t i o n s h i pb e t w e e ns c a l es p a c e sa n dw a v e l e ts p a c e s 图2 - 2 表明了尺度空间之间的嵌套关系：t 。c c c kc c c 一。 根据尺度空间的性质可以推知平方可积空间与尺度空间、小波空间的关系： r ( r ) = o w o0 暇o ( 2 1 1 ) 式子( 2 1 1 ) 说明了在多分辨率分析中，任何子空间_ 都可以用有限个子空间 来逼近。由于尺度空间的包含关系，子空间_ 中的任意函数，包括巧的尺度基 函数死。( x ) 都可以表示为空间v j + ，中基函数的加权和，如( 2 1 2 ) 式所示： 办，。( x ) = 。( x ) ( 2 1 2 ) 令口。= 九( 行) ，则 ，十1 办 ) = ( 雎) 2 丁妒( 2 川x - n ) ( 2 13 ) 由于( x ) = 如，。( x ) ，和k 都可以置为0 ，由此可以用初始形式表示小( x ) ： ( x ) = 矗( 行) 2 ( 2 工一 ) ( 2 1 4 ) 尺度子空问一+ 。与之间的差异缈，可以由小波基函数族来进行定义描述。 o 第二章小波变换与人类视觉系统 从多分辨率的定义及尺度函数的性质可以知道，相邻尺度子空f 、日j 矿。和矿，的f 交 补集为，而且矿，中的所有成员函数对于w ，中的所有成员都正交，因此，可以 把小波基函数表示成平移的双倍分辨率尺度函数的加权和。同理，小波基函数可 以表示为： | | f ，( x ) = g ( ，1 ) 2 庐( 2 x n ) ( 2 - 15 ) 其中，h ( n ) 和g ( 疗) 分别称为尺度向量和小波向量。由于小波基函数的展开空 间为j 下交补集空间，而且积分小波变换是正交变换，因此尺度向量 ( n ) 和小波向 量g ( n 1 存在着以下关系： g ( h ) = ( 一1 ) “h ( 1 一聍)( 2 - 1 6 ) 该关系表明了正交子带编译码滤波器的冲激响应，函数 ( 疗) 和g ( n ) 的结构也 就可以归结为滤波器的设计。 2 1 3 基于小波变换的多分辨率分解与重构 在多分辨率分析的框架下，相邻尺度予空间存在着矿f + 1 = 一。矿，的关系，而 且这些空间是两两正交的，因此属于尺度空间r 。的信号f ( x ) 除了能在当前空间 展开之外，还可以使用空间f 和w j 上的基函数表示。 f ( x ) 。者；吲( 如后蛾“工) + 击磊莓形( m 帆“工) ( 2 。1 7 ) 吲( 矗，七) 称为尺度系数或近似值，是信号在尺度空间上的投影，它反映信 号的轮廓信息。嘭( _ ，后) 为小波系数，它作为信号在小波空间，上的投影，反映 了信号的细节信息。s m a l l a t 在研究小波基的过程中，找到了相邻尺度空间上的 小波系数间的关系，设计出基于滤波器组的正交小波分解和重构算法，高效地实 现了离散小波变换。 在式子( 2 15 ) 中用2 ，对工进行尺度化，用k 进行平移，且令m = 2 k + ”，则 妒( 2 。x 一) = g ( m 一2 七) 2 ( 2 “x 一聊) ( 2 18 ) 然后用( 2 - 18 ) 的右式作为小波基函数，对信号f ( x ) 进行离散小波变换，得 吲u ”2 击莓删2 i l ；g ( m - 2 k ) 疡( 2 i + 1 x - m i = g ( m - 2 k ) j 击莓m ) z 譬孵川) ( 2 ，。， = g ( m - 2 k ) w ( - ，+ 1 ，所) 同理： 华南理工大学硕士学位论文 吲( _ ，七) = h ( m 一2 k ) w i a ( j + 1 ，m ) f 2 2 0 ) 式子( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 表明，信号厂( x ) 在尺度空间_ 、_ + ，和小波空间上的 变换系数存在着如下图2 - 3 的关系。 酵o ，_ 呻昨0 1 ，寿) 嘭。一l ，七) 咖 ：二葛 一帮了一复膏) 一 。一乏七) 图2 - 3 尺度系数与小波系数的关系 f i g 2 - 3r e l a t i o n s h i pb e t w e e ns c a l ec o e f f i c i e n ta n dw a v e l e tc o e f f i c i e n t 可以看出，d w t 在尺度，上的细节系数和近似值系数都是d w t 在尺度，+ l 上的近似值系数的函数。当己知信号在尺度空间矿。上的近似值系数时，根据 ( 2 一1 9 ) 和( 2 - 2 0 ) 可分别求得尺度空间矿，上的近似值系数和小波空间矿，上的细节系 数，反之亦然。把这种塔型的小波分解和重构算法与上面提到的高斯金字塔和拉 普拉斯金字塔比较，小波分解和重构算法有着更大的优势：首先，它不但像高斯 滤波或拉普拉斯滤波一样保留下信号的频率信息，还利用小波变换保留了信号的 空间信息；其次，它建立起塔型中不同层次之间的关系模型，精确地描述了它们 之间的关系，更有利于多分辨率分析的进行。比较式子( 2 - 1 9 ) 、( 2 - 2 0 ) 与它们的 卷积形式发现，尺度，上的近似值系数和小波系数可以通过做尺度，+ l 上的近似 值系数与时域反转的尺度向量和小波向量的卷积，而后对结果进行亚取样来计 算，如式子( 2 2 1 ) 、( 2 - 2 2 ) 所示： 吲( - ，i ) = ( 一聆) + 町( ，+ l ， ) k 蛐：。 ( 2 - 2 1 ) 咄( ，) = g ( - n ) + 哆( ，+ l ，n ) b ：。 ( 2 2 2 ) 其中，卷积在h = 2 k ( k o ) 时进行计算。可以看出，式子( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 在形 式上与两段子带编译码系统的分析部分相同。同理，小波重构可以表示为系统的 综合部分。因而s m a l l a t 的快速算法把信号在小波慕函数上的内积运算转换为相 应的小波滤波器的卷积运算。图2 4 为一维小波分解与重构的滤波器框图。 1 2 第二章小波变换与人类视觉系统 孵( j + 酊0 。一) 嘭o 一) ( a ) 一维小波分解 一o ，一) o ，月) 嘭( + 1 月) ( b ) 一维小波重构 图2 - 4 一维小波分解与重构算法 f i g 2 - 41 - dw a v e l e td e c o m p o s i t i o na n dr e c o n s t r u c t i o n ( a ) l - dw a v e l e td e c o m p o s i t i o n ( b ) l - dw a v e l e tr e c o n s t r u c t i o n 如图2 - 4 所示，s m a l l a t 的算法首先使用滤波器组h 和g 对一维信号