（基础数学专业论文）超辫子偶.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 本硕士论文共分四节 第一、二节为本文的引言与预备知识 第三节在文 6 】基础上，定义了一个结合代数锄然后给出了它在一个双代数日上 有三角分解的充要条件，进而引入了自由超辫子偶的概念，最后给出了自由超辫子偶的例 子或者说构造一类自由超辫子偶的方法 第四节在自由超辫子偶的基础上引入了超辫子偶的概念，研究了其中的极小偶，给了 极小偶的关系集一个描述 关键词：自由超辫子偶；拟y e t t e r - d r i n f e l d 模；超辫子偶；极小偶；三角 理想 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff o u rs e c t i o n s t h ef i r s ta n ds e c o n ds e c t i o n sa r ei n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e sr e s p e c t i v e l y i nt h et h i r ds e c t i o n ，w ef i r s t l yd e f i n ea na s s o c i a t i v ea l g e b r aa 口，皿o nt h eg r o u n d w o r k o f 【6 】，t h e ng i v ean e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nu n d e rw h i c h 山，皿h a st r i a n g u l a r d e c o m p o s t i o no v e rab i a l g e r a a f t e rt h a t w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to ff r e es u p e r b r a i d e d d o u b l e f i n a l l y , w eg i v et h ee x m p l e so fs u p e r b r a i d e dd o u b l eo rt h ei d e a so fc o n s t r u c t i n g s u p e r b r a i d e dd o u b l e i nt h ef o r t hs e c t i o n w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fs u p e r - b r a i d e dd o u b l eo nt h eb a s i s o ff r e es u p e r - b r a i d e dd o u b l e w ei n v e s t i g a t et h em i n i m a ld o u b l ea n dg i v ead e s c r i p t i o n o ft h er e 】a t i o n si nt h em i n i m a 】d o u b l e k e y w o r d s ： f r e es u p e r - - b r a i d e dd o u b l e ；q u a s i y e t t e r - d r i n f e l dm o d u l e ；s u p e r b r a i d e dd o u b l e ；m i n i m a ld o u b l e ；t r i a n g u l a ri d e a l 1 l 曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文超辫子偶，是本人在导师指导下，在曲阜 师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。论文中除注明部分外不包 含他人已经发表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中已明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：诌咏学日期：另伊影年i e 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 超辫子偶系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士 学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位 的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师 范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名：乇午需孽 日期。川年乡 导师签名：z 豫国 2 日期：办呻。牟 曲阜师范大学硕士学位论文 1 引言 h o p f 代数是上世纪六十年代兴起的代数学的一个新的分支，经典的例子有：群代数， 通用包络代数，分次环和量子代数( 见f 1 ，2 ，3 ，4 】等) 由于各国代数学家的共同努力及 上世纪八十年代量子群的出现，该理论于最近二十年有了异常迅猛的发展，出现了许多 重要的代数结构( 见( 5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，1 0 等) 众所周知，李代数的包络代数具有三角分解 结构2 0 0 2 年，e t i n g o f 与g i n z b u r g 5 1 对任意复反射群w 引入有理c h e r e d n i k 代数 7 - 1 如( w ) ，类似于包络代数及其量子化代数，证明了有理c h e r e d n i k 代数也具有三角分解 结构7 - 1 t , c ( w ) = s ( b ) oe w0s ( b + ) y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴是一类重要的范畴，它是 由y e t t e r 7 于1 9 9 0 年引入，随后m a j i d 8 1 于1 9 9 1 年证明它等同于d r i n f e l d 量子偶上 的模为了统一解决代数的三角分解问题，借助于拟y e t t e r - d r i n f e l d 模，最近b a z l o v 和 b e r e n s t e i n 在文章【6 】中引入并研究了一类具有三角分解结构的代数一辫子偶，同时证明 了任意有理c h e r e d n i k 代数自然嵌入到复反射群的辫子h e i s e n b e r g 偶，并且在文章的最 后提出了推广辫子偶理论的研究课题 b a z l o v 和b e r e n s t e i n 在( 6 1 中主要工作包括： 首先，通过给出生成元和三个代数关系式定义了一个代数锄，即： 定义对任何线幽央射：v + ov 一日，都对应个结合代数如，它由u v ，h h 和v 生成，并且满足 ( 1 ) 半直积关系式h u = ( 九( 1 ) u ) 九( 2 ) ，h = h ( 1 ) ( ，司危( 2 ) ) ； ( 2 ) 交换子关系式，”一”f = p ( ，) 其次，y u r ib a z l o v 和a r k a d yb e r e n s t e i n 在文章【6 中解决了一个形变问题，引入自 由辫子偶的概念当p = 0 时，凡在日上具有三角分解结构y u r ib a z l o v 和a r k a d y b e r e n s t e i n 将舶看作山的形变，其中卢h o r i z k ( v v 日) 如果山在h 上具有三 角分解结构，则将如看作a o 的一个平坦形变b a z l o v 和b e r e n s t e i n 给了满足“a 口为 a o 的一个平坦形变”的所有卢一个完美刻画，即： 定理a 代数a 口有双代数日上的三角分解，即a 口垡t ( v ) oh ot ( v + ) 的充要 条件是日值的映射p ：v 0v _ 日满足y e t t e r d r i n f e l d 条件 九( 1 ) p ( ，q 危( 2 ) ，口) = p ( ，危( 1 ) u ) ( 2 ) ，( 卓1 ) 对任意的h 日，v 。以及口v 都成立 1 第一节引言 y u r ib a z t - o v 和a r k a d yb e r e n s t e i n 将满足定理a 中条件的称为自由辫子偶 再者，在解决了上述平坦问题之后，y u r ib a z l o v 和a r k a d yb e r e n s t e i n 又提出了一 个问题，即： 问题对于给定的一个日值的映射卢：v + v _ 日，确定所有可能的理想j c 丁 0 ( y ) 和j + ct o ( 犷) 使得代数知 在日上具有三角分解结构 解决该问题的过程实际上是引入辫子偶的过程，其中y u r ib a z l o v 和a r k a d yb e r e n s t e i n 重点研究了一类重要而有趣的辫子偶一极小偶，他们通过研究极小偶中的关系描 述了极小偶，即下面的定理： 定理b 令( v6 ) 为h o p f 代数日上的一个拟y e t t e r d r i n f e l d 模则极小偶中的理 想，( e6 ) ct ( v ) 通过以下方式给出 厶( k d ) = o 黯l 后e 7 礼 受b a z l o v 和b e r e n s t e i n 6 1 中工作的启发，本文的主要目的在于试图推广b a z l o v 和 b e r e n s t e i n 的代数结构a 口，为此我们引入了一个具有p ，两个参变量的结合代数a 口m 给出了使得“a 口，尘在双代数日上具有三角分解结构”的口，坦一个刻画，引入了自由超 辫子偶及超辫子偶的概念，并给出极小超辫子偶的理想一个刻画主要结果如下； 定理3 3 代数a 晟田有双代数日上的三角分解，即山，尘兰t ( v ) oh ot ( v + ) 的 充要条件是 ( 1 ) h 值的映射p ：v + o v 一日满足y e t t e r d r i n f e l d 条件 ( 1 ) p ( ，q 危( 2 ) ，u ) = d ( f ，危( 1 ) u ) 危( 2 ) ，( 宰1 ) 对任意的h 日，f v 以及u v 都成立 ( 2 ) 映射皿满足以下条件 ( 尼( 1 ) 6 皿) 危( 2 ) o ( ，q 九( 3 ) ) 皿= ( h o ) 6 ) 雪。九( 2 ) ( 凡q 九( 3 ) ) ，( 斗2 ) 对任意的h 日，f v + ，以及6 = v l t 2 u 。都成立，其中m n 定理4 1 2 令kd ，6 为例3 1 5 中所述，日为一个交换的h o p f 代数丁( y ) 、中的理 想厶( k 6 ，两通过以下方式给出 厶( v 6 ，两= o 甚1 忌e r 6 ，孑 本文采用 3 ，4 ，6 】中的术语和记号 2 曲阜师范大学硕士学位论文 2 预备知识 本节我们给出代数a 在双代数日上有三角分解的定义和有关的一些结论 以下各节中，除非特殊说明，我们用k 表示任意特征的域，日表示个双代数，y 为一 个具有左日作用的有限维线性空间y 4 表示y 的线性对偶空间， ：v y _ k 是典则对，y + 通过以下方式被看作一个右日模： = 定义2 1 【6 】称代数a 有双代数日上的三角分解，如果a 有三个特征子代数日，u 一 和u + 均嵌入到代数a 中，并且满足以下条件： ( 1 ) u 一和v + 分别为左右日模代数； ( 2 ) a 中的乘法诱导了一个线性同构u 一 hou + _ a ；并且该映射使得u 一0h 同构 于通过左日模作用定义的半直积u 一 日h ，类似地日0 u + 同构于通过右日模作用定义 的半直积日u + ； ( 3 ) 代数u 一和u + 分别有h 等变的特征( 代数同态) e 栌聪，专庐k 注( 1 ) h 等变的特征e i i _ 卜k ，e 寸睁k 是指它们为日模同态，其中日在k 上的作 用是通过日的余单位给出的 ( 2 ) 如果代数a 在双代数日上有三角分解，则我们记为a 垡u 一0 日qu + 令日为一个双代数，所有日上的具有三角分解的代数a 兰u oh u + 可以形成 一个范畴，该范畴里面的态射为如下形式的代数态射 = 肛一oi d no 矿：u 7 ho 时_ 吁oh 唠， 其中p 一：听_ 己蕾和p + ：时_ 时分别为左右日模代数同态，并且它们分别与e 一 和e + 缠绕，即有如下的交换图： 时 k 上述范畴中有两类比较特殊的态射，一类是三角子代数的嵌入，即： a = u 7 0h0u 7 + qa = u 一0 h 0 u + ， 3 以、一 第二节预备知识 其中汐7 士作为子代数嵌入到汐士 另一类是由满代数映射对v 土一7 士诱导的三角商映射 a = u 一0h u + _ * a ”= u “一0h u ”+ ， 定义2 2 【6 】我们把三角商映射的核称为= r n 想 下面我们给出一个描述三角理想的命题 引理2 3 f 6 】令a = u oh0u + 为双代数日上一个具有三角分解结构的代数则 一个线性空间jca 是a 中的三角理想当且仅当 j = j 一 h0u + + u 一0h0j + ， 其中了一( 相应地p ) 为一( 相应地矽+ ) 中的一个双边理想，并且满足下面的三个条件： ( 1 ) j - , j 十分别关于u 一，矿+ 上的日作用是不变的 ( 2 ) j ck e r e - , j + ck e r e + ； ( 3 ) u + j 一和，+ u 一( 乘积是关于代数a 中的乘法) 在，一0 日ov + + 矿一。日 p 中 推论2 4 f 6 j 令a = u o h p 犷+ 为双代数日上一个具有三角分解结构的代数则 ( 1 ) 如果j 是a 的一个三角理想，则商代数a j 为双代数日上一个具有三角分解结构 的代数； ( 2 ) 双代数日上具有三角分解结构的代数之间的一个满态射将三角理想映为三角理想； ( 3 ) a 中三角理想的和还是a 中的个三角理想； ( 4 ) 代数a 有一个最大三角理想 4 曲阜师范大学硕士学位论文 3 自由超辫子偶 本节引入的自由超辫子偶概念是 6 】中自由辫子偶的推广，给出了更广泛的具有双代 数上三角分解结构的代数另外，本节还通过例子给出了构造自由超辫子偶的一种方法 在本节中，k t , ：v + ov vpv 为一个缵陛映射，我们记v ( fqu ) = 钉母0 凡，对 任意的，v + ，口v ，其中的求和号被省略，以下关于皿的求和号我们均省略 定义3 1 对任何线性映射：v + ov _ 日，都对应一个结合代数，尘，它由u v ，h h 和厂v + 生成，并且满足 ( 1 ) 半直积关系式h u = ( ( 1 ) u ) ( 2 ) ，h = 九( 1 ) ( ，q 九( 2 ) ) ； ( 2 ) 交换子关系式，v 一蛐知= z ( f ，u ) 注( 1 ) 在上述定义中，我们假设h h 之间的所有关系式在山，口中都是成立的， 并且h 中的单位就是山，霍中的单位，即1 贰= 1 h ( 2 ) 通过a 8 ，霍中的乘法诱导的线性空间之间的映射 m p ，田：t ( v ) oh o t ( v + ) 斗a 母，皿 是满射这是因为a 口。皿中的由生成子组成的单项式都可以通过a 口，皿的关系式写成单项 式u l t j 2 h 尼厶的线性组合的形式，其中饥v ，h h 和办v + 定义3 2 我们称代数a 盆，皿有双代数日上的三角分解，如果映射m 口，口是一个向量 空间同构，此时我们记a 口。雪垡t ( v ) ohot ( v + ) 注该定义和我们在预备知识中所定义的一个代数有双代数日上的三角分解的定义 是一致的，事实上：令u 一= t ( y ) ，u + = t ( v ) ，e 一：t ( v ) _ k ，e + ：t ( v ) _ k 为投 射，即可验证二者的一致性 现在我们将的定义进行如下扩展，并仍把所得的映射记为田，定义k 线性映射 ：v + ot ( v ) 一t ( v ) v + ， 皿( ，o1 ) = 1o ， 皿( 厂ov l v 2 v r n ) = u 1 雪1 u 2 皿2 u m 霍。 ，0 l 口2 霍。 下面我们给出代数a 厅皿有双代数日上的三角分解的一个充要条件 5 箜三堇自宣塑塑王堡 _ - _ _ _ _ _ 一 定理3 3 代数五i 有双代数h 上的三角分解，即砾兰t ( y ) 圆h ot ( v + ) 的 充要条件是 ( 1 ) 日值的映射p ：v + 圆v _ h 满足y e t t e r d r i n f e l d 条件 九( 1 ) p ( ，q 危( 2 ) ；u ) = p ( ， ( 1 ) v ) h ( 2 1 ，( 宰1 ) 对任意的h h ，f v + 以及秽v 都成立 ( 2 ) 映射满足以下条件 ( 危( 1 ) c b 皿) o ( 2 ) o ( ，q ( 3 ) ) 皿= ( ( 1 ) 6 ) 霍o ( 2 ) o ( 凡q ( 3 ) ) ，( 木2 ) 对任意的h h ，厂v + ，以及b = v l v 2 都成立，其中m n 证明首先，我们来证明必要性 令h h ，v + ，u v ，l = ( 1 ) p ( ，q ( 2 ) ，u ) ，r = z ( s ，h w u ) 九( 2 ) 因为 ( f h ) v = 限( 1 ) ( ，q ( 2 ) ) 】u = 危( 1 ) 【( ，q 九( 2 ) ) 口】 = 九( 1 ) p ( ，q ( 2 ) ，v ) + 移田( ，q 允( 2 ) ) 皿】 = h ( 1 ) _ ；8 ( ，qh ( 2 ) ，础) + 九( 1 ) u 皿( ，司九( 2 ) ) 霍 = l + ( ( 1 ) u 霍) 九( 2 ) ( ，q ( 3 ) ) 皿 又因为 ，( 危u ) = ， ( ( 1 ) u ) ( 2 ) 1 = ，( ( 1 ) 口) 】危( 2 ) = 够( ， ( 1 ) u ) + ( h w u ) 皿凡 h ( 2 ) = p ( 厂，九( 1 ) u ) ( 2 ) + ( ( 1 ) u ) 田如】 ( 2 ) = z ( s ，h w u ) ( 2 ) + ( 九( 1 ) 勘) 皿 ，0 ( 2 ) = r + ( h w u ) 皿 ( 2 ) ( 凡司九( 3 ) ) 而在砥中，我们有( ，h ) ”= ，( 舰) ，从而我们得到 l + ( ( 1 ) u 皿) ( 2 ) ( ，q ( 3 ) ) 零= r + ( 九( 1 ) u ) 口 ( 2 ) ( 知q ( 3 ) ) 6 益阜师范大学硕士学位论文 拦口： l r = ( 九( 1 ) u ) 九( 2 ) ( 知q ( 3 ) ) 一( 危( 1 ) u 皿) ( 2 ) ( ，q 九( 3 ) ) 皿 由代数a 口皿有双代数日上的三角分解，我们知： l r = ( h 0 ) u ) 雪o ( 2 ) o ( 如q 九( 3 ) ) 一( 九( 1 ) u 雪) o 允( 2 ) o ( fq 危( 3 ) ) 霍 而 l r h 、 ( ( 1 ) u ) 皿o ( 2 ) o ( 凡q 九( 3 ) ) 一( 危( 1 ) 钉口) o ( 2 ) ( ，q ( 3 ) ) 霍t o ( y ) p 日ot o ( y + ) 故l 与r 在h 中相等，( 九( 1 ) u ) 皿圆 ( 2 ) ( 凡q 危( 3 ) ) = ( 危( 1 ) 口) o ( 2 ) o ( 厂q 危( 3 ) ) 雪， 即必要性得证 下面我们来证明充分性我们要证条件( 卓1 ) ，( 木2 ) 是充分的，只需在丁( y ) o 仃。丁( ) 中引入一个结合性乘法并且满足a 口，雪中的定义关系式在证明充分性的过程中我们会给 出一些命题和引理 为了在t ( v ) o 日ot ( v ) 中构造一个结合性乘法，我们将用到关于代数分解的一个 基本事实令x 和y 为结合代数用m x ：xox x 和m y ：y y _ y 分别表示 x 和y 中的乘法则x y 上有一个同时延拓了m x 和m y 的结合性乘法 ( z 可) ( 。7o y 7 ) = ( 仇xo m y ) ( z c ( y o z 7 ) o y ) ， 其中c ：yox xoy 是x 和y 之间的一个扭曲映射( 也称为张量项的交换法则) 我们首先给出一个命题，该命题告诉我们：上述乘法是结合的等价于c 上的两个等 式 命题3 4 【l l | x y 上的上述乘法是结合的充要条件是 ( 1 ) c 。( i d yom x ) ，= ( m xoi d y ) 。( z d x c ) o ( c o i d x ) ， ( 2 ) co ( m yqi d x ) = ( i d x m y ) o ( coi d y ) o ( i d y 圆c ) ( 1 ) 式的两端都是从ygx x 到x y 的映射，而( 2 ) 式的两端都是从y0 y0x 到x8y 的映射 我们令x = t ( v ) 日，即通过y 上的左作用诱导的半直积代数， y = t ( v + ) 我们记t 1 ( v ) = k 1 ) v 。下面我们给出由一个满足命题3 4 中( 1 ) 的偏扭曲映射构造 一个扭曲映射的引理 7 第三节自由超辫子偶 弓i n3 5 i 1 1 】令y = t ( v + ) 和c ，：v + 0x xo 丁1 ( 矿) 为一个满足命题3 4 中 ( 1 ) 的”偏扭曲映射”，则存在唯一的一个扭曲映射c ：t ( v + ) x _ xot ( v + ) 使得它 延拓了c ，满足命题3 4 中的( 1 ) ，( 2 ) ，并且c ( 1oz ) = zo1 下面我们将构造一个偏扭曲映射c ：v 4 x x t 1 ( y + ) 使得它满足命题3 4 中 的( 1 ) 首先，我们定义算子 曲，皿：t ( v ) 一t ( v ) 口h ，爵，田( y 肌) cy 固n 一1o h ， 爵，皿( u 1 。) = ( u 1 期 因陬一。) p ( 知。吣虬，仇) ( 坼1 ) ， = 1 其中是代数x = t ( v ) ) 日h 中的乘法我们规定毋，口( 1 ) = 0 引理3 6 ( 1 ) 算子研，皿满足下面形式的l e i b n i z 法则 瓦雪白g ) = 爵，皿 ) q + p 皿瓦，口( g ) ， 对所有的p ，q t ( v ) ，其中是t ( v ) h 中的乘法，p 雪，凡分别对应于，op 在皿下 的张量项 ( 2 ) 对任意的b t ( y ) ，有 ( 1 ) 瓦砒( 。) ，如= 瓦，皿( 危( 1 ) 6 ) 反2 ) 证明( 1 ) 对所有的p ，q t ( y ) ，我们不妨设p = v l y 2 v m ，q = v m + 1 u 。+ 2 十n 根据算子田，皿的定义，我们有 而 研，皿( 册)以，k o ( v l v 2 u m t n + 1 t ，t 7 l + 2 u m + n ) m + n ( 现，皿，o qv i - - l , 皿i - 1 ) ( 知，田。田；一，仇) ( 饥+ l 。 u m + 。) = 1 9 ，口( p ) 口+ p 田9 ，口，皿( g ) = 銎l ( v l ，皿1o 一1 ，田i 一1 ) 口( 凡1 中2 霍t l ，仇) ( 仇+ 1 u 。) v m + l v 。+ 2 u 。+ 。 + v l ，口l o o u 。，皿。乏二銎l ( 奶。+ l ，霍。+ 1 o u 。+ t 一1 ，霍。+ 。一1 ) 3 ( ，0 l 口2 霍。皿。+ 1 霍。+ 2 田。+ tl ，u 。+ ) ( v m + i + l u m + n ) 所以白，霍( p q ) = 毋，雪( p ) g + m 氓，霍( g ) 8 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 2 ) 我们用两种方法来证明，易知我们只需对b = v l 的情况来证明 方法一 因为 九( 1 ) 西q ( 2 ) ，也6 = h ( n 舅q ( 2 ) ，母( u 1 ) = 丸( 1 ) 砖司| f i ( 2 ) ，雪( 1 ) 。v 2 + ( 1 ) u 1 ，皿1 0 ( f - 6 ) 】h ( 2 ) ko1 + 口( ( 1 ) 6 ) 口( 危( 2 j 七) ( 1 ) pf a 司( h f 2 ) k ) ( 2 ) = 如，皿【口( 允( 1 ) 6 ) h ( 2 ) ko1 + ( 口( 允( 1 ) 6 ) 】皿 ( 2 ) 后( 1 ) o ( 如qh c 3 ) k ( 2 ) ) = ( 爵，m q ) ( h ( 1 ) 妨h c 2 ) ko1 + 口雪，口( h ( 1 ) 坊h ( 2 ) ko 1 + 江( ( 1 ) 6 ) 】皿危( 2 ) 后( 1 ) o ( 如q ( 3 ) 后( 2 ) ) ( 1 ) 命题3 4 中( 1 ) 的右端等价于：毋，口9 - 危b ko1 十a , 重h ( 1 ) o i 中q f 2 l ，口6 ，后o1 + a 6 1 ， ( 1 ) 岫。后( 1 ) 圳( 如，q 危( 2 ) ) 皿。q 后( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) 式和( 2 ) 式的第一项显然相等；由引理3 6 的( 2 ) 易知：第二项也相等；由皿满足的 条件( 牢。) 易知：第三项相等所以引理得证 通过上述过程，我们就构造了形式为( t ( v ) 日) 丁( y 勺的代数分解，从而在( t ( v ) ) t ( v + ) 中引入了一个结合性乘法为了证明它与a b ，霍相等，我们需要验证a 口。雪中 的定义关系式在这个代数分解中是成立的 首先，我们易知关系式h 钞= ( 危( 1 ) 掣) ( 1 ) 在t ( v ) 日中自然成立，从而在 ( t ( v ) 日) o t ( v + ) 中成立 其次，在( t ( v ) h ) ot ( v + ) 中计算m ，我们有 f h = c ( 厂，1 h ) = 屯皿1 h 1 + 危( 1 ) ( fq 危( 2 ) ) = ( 1 ) ( ，q ( 2 ) ) 最后，我们有 c 7 ( ，u ) 西，口u 1 + u 口。凡 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 其中z ( f ，t ，) = 毋，廿u 因此交换子关系也成立 综上，定理3 3 得证 注从定理3 3 的证明过程中，我们可以看出算子毋，雪6 t ( v ) oh 是在4 ，皿中的 交换子 ，6 】雪，对b z ( y ) 定义3 8 如果一个代数a 口霍满足定理3 3 中的条件，则称它为一个自由超辫子偶 定义3 9 1 6 】令日为k 上的一个双代数，y 为一个向量空间，如果y 满足下面的 条件： ( 1 ) v 有一个左日作用：hov v ，ho u _ hpv ，即y 通过作成一个左日模； ( 2 ) v 有一个左日拟余作用d ：y h pv ，u _ u 【一1 l ov i o 】( 这里的拟余作用只是一个线 性映射) ； ( 3 ) 上述左h 作用和左日拟余作用满足y e t t e r d r i n f e l d 条件： ( 九( 1 ) v ) t 一1 1 危( 2 ) o ( 九( 1 ) v ) t o l = 九( 1 ) v i 一1 1 h ( 2 ) 睁v i o l ； 则称y 为一个拟y e t t e r - d r i n f e l d 模 下面的引理将告诉我们：为什么定理3 3 中的条件( 木1 ) 被称为y e t t e r d r i n f e l d 条件 引理3 1 0 【6 令y 为双代数日上的一个有限维的模 1 缌眭映射p ：v v _ 日通过下面的式子一一对应于拟余作用 j ：v _ h0v ， 妇( u ) = p ( 厂4 ，v ) ， 其中 ，。) ， 为y + 和y 的一组对偶基 2 一个线性映射3 ：v + ov 一日满足定理3 3 中的条件( 木1 ) 的充要条件是拟余作用妇 与y 上的左日作用是y e t t e r - d r i n f e l d 相容的 下面我们用以下方式重新叙述定理3 3 ： 推论3 1 1 当给定一个满足定理3 3 中的条件( ，c 2 ) 的皿时，一个双代数h 上的自 由超辫子偶是通过日上的有限维的拟y e t t e r - d r i n f e l d 模来参数化的 参数化法如下： 第三节自由超辫子偶 对于日上的有限维拟y e t t e r d r i n f e l d 模( kj ) i 它对应于二个自由超辫子偶 a 皿( v6 ) ：= t ( v ) hxt ( v 4 ) ， 其中定义关系式为【，u 】霍= ”【一1 1 ，其中 ，】皿表示皿交换子，一秒皿如 反过来，对于一个形式为 t ( v ) xh t ( v + ) 的自由超辫子偶，其中y 为一个有限维的日模，可以通过以下方式在y 上定义一个 y e t t e r - d r i n f e l d 拟余作用( 所谓y e t t e r - d r i n f e l d 拟余作用是指与日模作用相容的拟余作 用) ， 6 ：v 一日0v j ( u ) = ，。，u 】母 u 。， 其中 广) ， 口。) 为y + 和y 的一组对偶基 下面我们给出自由超辫子偶的例子，主要是通过在有限维的拟y e t t e r d r i n f e l d 模上 给出满足条件( 木2 ) 的皿来构造的 例3 1 2假设( v6 ) 是一个有限维的拟y e t t e r - d r i n f e l d 模，为平凡的辫子丁： v + qv _ yo 矿，ou uo 厂，则自由超辫子偶a 卢，就是 6 中定义的自由辫子偶 例3 1 3 假设( v 6 ) 是一个有限维的拟y e t t e r d r i n f e l d 模，皿为一7 - ：v + ov _ v0 旷，f0u 。一口o ，则a 口。一，是自由超辫子偶，其中的皿交换子关系为反交换子关 系 i 厂，u 】一，= ，u + u ， 例3 1 4 假设( v 6 ) 是一个有限维的拟y e t t e r - d r i n f c l d 模，皿为皿：v + ov _ v8v + ， u _ q v ，其中q k ，则a b ，霍是自由超辫子偶，其中的交换子关系为 q 交换子关系 ，u 】皿= 加一q v f 例3 1 5 假设日是一个交换的双代数，y 是一个有限维的左日模，用来表示 其左日模作用，巧：y h0v ，口_ 口【叫 v i o l 和万：y _ hov ，u u f 一1 】0v o 】为y 的两个拟余作用，其中6 是一个y e t t e r d r i n f e l d 拟余作用，c i 为一个左日线性的拟余作 用，即巧满足巧( 九u ) = 【_ 1 】o ( h u 【o 】) ，特别地，当y 的拟余作用j 为左日线性的余 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 作用时，称y 为一个长双模( 见 1 2 】) ，我们令 ：v 0v _ 月， f0u u 【- 1 】 ， 皿：v + v _ yoy + ， fot ，_ u f o 】 ( f 司 ) ， p 和t i , 分别为由j 和d 诱导的映射，则a 口雪为一个自由超辫子偶 下面我们来验证例3 1 5 中的m 满足定理3 3 中的条件( ，c 2 ) ，我们先将皿扩展为 皿：v + 圆t ( v ) _ t ( v ) ov + ， f b _ u ，u 雪。【，q ( 口p 毋) 】 其中b = 0 1 t ( y ) 从而有： ( ( 1 ) 6 皿) ( 2 ) 。( f 0 ( y ) 和j + ct 0 ( 矿) 为h 不变 的双边理想，并且使得 ，了一】皿cj oh ， j + ，u 】霍ch j + ， 对所有的，v ，u v 证明令u 一= t ( y ) ，u + = t ( v + ) ，e 一：t ( v ) _ k ，e + ：t ( v ) _ k 为投射，由引理 2 3 知：三角理想形式为 j = j 一 hor ( y + ) + t ( y ) o 日。了+ ， 其中j 士ck e r e 士为代数u 士中日不变的双边理想并且使得u + 了一，j + u c ， 因为u + 和y 一作为代数分别是由犷和y 生成的， 所以u + ，一，p u cj 等价于，j 一，j + - vcj 一日厂+ + u 一日p ，对所有的f v 和u v 又j ； 电cj h t ( v 、) ，”屯戈ct ( v ) h j + 所以【，j 一 皿， j + ，u 】皿cj 一日u + + u 一日p ，对所有的f v 和u v 再由o s ，m ( j 一) = f ，j 一 9 2cu h 和类似的【j + ， 】皿c 日v + ， 于是( ，j 一】母cj oh ，( j + ，u 1 皿ch j + 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 注引理4 1 说明a 皿( u 万) 中的任意一个三角理想都是三角理想j h t ( v ) 和 丁( y ) 日j + 的和 定义4 2 一个超辫子偶是一个自由超辫子偶a 皿( k6 ) 模去它的一个三角理想 注由于本节中我们研究的超辫子偶是例3 1 5 中的，卢，和皿分别是j 和6 由诱导 的，因此我们记a 皿( v6 ) = 4 ( k6 ，6 ) ，称由此得到的超辫子偶为一个( v6 ，6 ) 超辫子偶 定义4 3 令v6 ，d 为例3 1 5 中所述，用 ，( v 正6 ) ct ( y ) ，( vj ，6 ) ct ( v ) 表示使得如( e 6 两= ，( v6 ，j ) h t ( v + ) + 丁( y ) oh ，+ ( v j ，d ) 为4 ( vj 巧) 中最大 三角理想的两个日不变的双边理想，则我们称超辫子偶 一a ( v , 6 ， ) = 彳( k j ，两易( v 最动= t ( v ) x ( v , 6 ，劢 ah xt ( v + ) i 。( v6 ，两 为结合于y 的极小偶 从一定意义上讲，极小偶是最有趣的超辫子偶，因为它里面含有最大的可能的关系 集，下面我们研究极小偶中的关系集，我们的目的是利用d ，6 给万( u 民d ) 中的关系集( 或 a ( k6 ，6 ) 中最大三角理想) 一个描述 定义4 4 我们称一个三角理想j = j o h o t ( v + ) + t ( v ) o h j + 为分次的， 如果j 一和，+ 分别为t o ( y ) 和z 0 ( 旷) 中的分次理想 定义4 5 一个分次的超辫子偶是一个自由超辫子偶a 皿( v6 ) 模去它的一个分次的三 角理想 引理4 6自由超辫子偶中的任意一个三角理想都包含在一个分次的三角理想中 证明令a ( v6 ，6 ) = t ( v ) hkt ( v ) 为一个自由超辫子偶，j 为它的一个三角 理想，u 一= t ( y ) ，v + = t ( v ) 由引理4 1 后面的注知，我们只需要考虑j = j 一日u + 和j = u h j + 两种情况我们假设j = j h u + ，另一种情况类似 由引理4 1 ，j 一为中的一个双边理想并且 ，j 一】口cj 一 h ，对任意的f v + 用表示从u 一到它的佗次齐次分支的投射，靠= ( j 一) ，坛= o n 0 靠下面 我们验证空间坛满足引理4 1 中的条件，事实上： ( 1 ) 坛是u 一的一个双边理想，这是因为 钞z i = + 1 ( v j 一) cp n + 1 ( j 一) = ，+ 1 ， 1 5 第四节超辫子偶 对任意的u v 类似地有刨c 矗1 又因为嵋为旷的子模，为h 等变的映射， 所以 h 坛= h ( o n o 石) = 0 。 o 日 = o 。 o 日( ，一) = o n o p n ( h j 一) co 。 o 陬( j 一) = 石。 于是可得坛是不变的 ( 2 ) 由石的构造知：易ck e r e 一且包含j 一 ( 3 ) 由( ，】田的定义知： 【厂，簖】口c 吒1o 日， 因此 ，靠】口c 坛l h 综上证明了7 一h u 年包含在a ( v 玩6 ) 的一个分次三角理想荡h u + 中 推论4 7 ，( v 正 ) 和，+ ( v 6 ， ) 分别为t o ( y ) 和t o ( 矿) 中的分次理想 定义4 8 我们称一个子空间wct 0 ( y ) 是被皿交换子保持的，如果f 吲口c w0h 对任意的，v 都成立 引理4 9 ，( v 文两是p o ( y ) 中被皿交换子保持的极大子空间 证明令wct o ( v ) 是被皿交换子保持的一个子空间，则w = hc w 是t 0 ( y ) 的一个子空间，我们要证明是被皿交换子保持的，事实上： 由引理3 6 知： ，hp6 】口= 钟，田( b ) = 九口( ( 1 ) b ) h ( 2 ) s h 0 ) = 九( 1 ) 田司 ，口6 s h o ) ， 对任意的b t ( y ) 对b w 我们应用上述过程得到 ，彬 霉c 日w hcw 7 h 这样我们得到被皿交换子保持的极大子空间彤是日不变的( 因为wch ) 现在 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 假设w 是t 0 ( y ) 的被皿交换子保持的日不变的子空间，下面证明包含在t 0 ( y ) 的一个被交换子保持的日不变的双边理想( t ( v ) h t ( y ) ) 中事实上： 因为 研，田( t ( v ) h t ( v ) ) c ( t ( v ) h ) w t ( v ) + t ( v ) ( w 日) t ( v ) + t ( v ) w ( t ( y ) 日) 而由w 和t ( v ) 为t ( v ) 的日不变的子空间知： ( t ( v ) h ) w - t ( v ) + t ( y ) ( w 日) t ( v ) + t ( y ) w ( t ( v ) h ) = ( t ( v ) 日t ( y ) ) 日。 因此得到t 0 ( y ) 中被皿交换子保持的极大子空间就是有这种性质的h 不变的双边理 想，而f ( u6 ，6 ) 就是其中极大的，引理得证 定义4 1 0 令k6 ，6 为例3 1 5 中所述，定义拟辫子整数为如下的映射： 佗】j 孑：v 固n _ v 。n 。 hok 葡踮( u 。圆。) ：妻( u p 。 堙。) 。 q 掣( u 件，。p ) 】 越翟 o 0 i 一1 1 ou ! 二；1 ) 叫叫 ， 拟辫子阶乘为下面的映射： h 1 1 6 i ：v 。n _ ( h 圆y ) p n ， 最了= ( ，孑oz “膏 n 。- - y i ) 。( 苫oi 赠努) 。i n 最孑 我们令6 孑= 1 引理4 1 1 在自由超辫子偶盈k6 ，两中，v + 和b y 骱的田交换子通过如下 方式给出 ，6 】霍= 0 d 孑n 一1oi d 日o ) ( 钆 6 苫( 6 ) 证明因为 【，6 】皿= 砖，曲 o 趣竺1 ) u ! 一1 1 v t + 1 o ) n = ( u 【o 】。艘。) 魄尹( 坼- 。ev , o lv ! - ，1 1 扛= 1 = ( i d 罗一1oi 妇o ) 亿】d 万( 6 ) o 科 。试 | i 第四节超辫子偶 引理得证 定理4 1 2 令k6 ，苫为例3 1 5 中所述，日为一个交换