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文档简介

.构造正三角形巧解几何问题余凤冈例1. 如图1，已知在ABC中，ABAC，BAC80，P为ABC内一点，PBC10，ACP20，求APB的度数。图1解：如图1，在ABC的BC的同侧作等边三角形BCD，连结AD在DBA和CBP中DBADBCABC605010因为 CBP10所以 DBACBP，因为 BCPACBACP502030显然 DA平分BDC所以 所以 BDABCP，因为 BDBC所以 DBACBP（ASA）BABP，即ABP是等腰三角形。所以评注：考虑到作等边三角形后形成DBA605010为证全等创造条件是本题的关键。例2. 如图2，已知在ABC中，ABAC，BAC100，延长AB到D，设ADBC，连接DC，求ACD的度数。图2解：如图2，在ABC的BC的外侧作等边三角形BCE，连结AE在ACE和CAD中，因为 ABCACBACEACBBCE4060100所以 ACECAD因为 ACCA，CEBCAD所以 ACECAD（SAS）故 CEAD因为 AE平分BEC，有 所以 D30ACD180DACD1801003050例3. 如图3，已知在ABC中，ABAC，BAC20，在AB上取ADBC，求ACD的度数。图3解：在ABC的BC的同侧作等边三角形BCE，连结AE。在ACD和CAE中，ABCACEACBECB806020所以 CADACE20ACCA，ADBCCE，所以ACDCAE（SAS）因为 AE平分BAC，所以 ，所以 ACDCAE10。例4. 如图4，已知在四边形ABCD中，ABD12，DBC36，ACB48，ACD24，求ADB的度数。图4解：因为ABCABDDBC123648又 ACB48所以 ABC是等腰三角形，在ABC中，BC的同侧作等边三角形BCE，连结AE，在DBC中，BDC180DBCBCD18036（4824）72所以 BDCBCD72BDBC在ABE和ABD中，EBAEBCABC604812DBAABAB，BEBCBD所以 ABEABD（SAS）BEABDA因为 EA平分BEC所以 所以 BDA30。例5. 如图5，已知在四边形ABCD中，ABDADB15，CBD45，CDB30。求证ABC是等边三角形。图5解：因为ABDADB15，所以ABD是等腰三角形。在ABD和BD的同侧作等边三角形BDE，连结AE。在BAE和BCD中，EBAEBDABD601545DBC因为 EA平分BED，所以 因为 BEBD，所以 BAEBCD（ASA）所以 BABC因为 ABCABDCBD154560所以 ABC是等边三角形例6. 如图6，在正方形ABCD中有一点P，且有PABPBA15，求证PCD是等边三角形。图6分析：如图6，在PCD的同侧作等边P”CD，因为 CDCP”CB，所以 CP”B为等腰三角形且 BCP”906030。所以 P”BA15同理 BAP”15由条件知AP与AP”为同一条直线，BP与BP”也为同一条直线，故 P与P”重合。所以
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