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基于粒子群算法的高阶累积量地震子波提取 摘要 地震子波提取是地震数据处理中一项长期的重要研究课题之一，现行的地震 子波提取方法分为确定性子波提取和统计性子波提取两大类。本文采用的是统计 性子波提取，假设地层反射系数是严格零均值的、三阶或四阶平稳的、非高斯、 独立同分布的序列，利用地震道褶积模型通过优化算法柬进行子波提取。基于地 震道的四阶累积量与子波的四阶矩是倍数关系，在最小平方误差意义下构造目标 函数，从而进一步用优化算法来解决子波提取问题。 本文采用了一种改进的粒子群算法作为优化方法来进行子波提取。该改进算 法对两个学习因子进行了改进，使其均呈线性发展，并加入了差分变异和随机变 异，同时对逃逸粒子边界条件进行改进，使其随着逃逸程度不同而自适应的变化。 试验结果表明，该算法改善了“早熟”现象，收敛性也有较好的提高，比基本粒 子群算法更稳定、更高效。 本文地震子波估计采用了高阶统计量中的四阶累积量，高阶累积量方法属 于统计性方法，需要用大量数据才能得到比较好的估计，实际中，大量数据往往 接近对称分布，这时求得的三阶累积量就会很小，易导致最终求解的子波不稳定。 但对称分布序列的四阶累积量不为零且能保留相位信息。 为了提高子波提取的精度，本文首先利用奇异值分解方法对子波的长度进行 了计算，对地震道的四阶累积量加三维p a r z e n 窗加以过滤，同时，通过累积量 矩阵方程法计算出初始子波作为改进粒子群算法的初始种群。结果显示，子波提 取的精度有了很大改善。 最后分别采用了最小相位子波、混合相位子波和零相位子波来进行子波提取 实验验证，并分别对地震道加以高斯白噪声来进行子波提取。可见应用高阶累积 量估计子波的方法，不需要子波为最小相位等假设条件，从而能够对实际的地震 子波进行提取。出于四阶累计量对高斯噪声不敏感，因此本文的子波提取方法可 以有效地消除高斯分印的地震噪声。试验结果显示，本文的提取地震子波的方法 是可行的、有效的，予波提取具有较高的精度。 关键词：高阶累积量；子波提取；粒子群优化算法 i m p r o v e dp s oa i g o ri t h mw a v e i e te s t i m a t i o n viaf o u r t h o r d e rc u m uia n tm a t c hin g a b s t r a c t s e i s m i cw a v e l e te x t r a c t i o ni so n eo ft h ei m p o r t a n tl o n g - s t a n d i n gr e s e a r c hw o r k s i ns e i s m i cd a t ap r o c e s s i n g n o w a d a y s ，t h e r ea r et w ok i n d so fm e t h o d st oe s t i m a t e s e i s m i cw a v e l e t t h ef i r s th a v et h el i m i tt h a tt h er e f l e c t i v i t ys e r i e sm u s tb ek n o w n t h es e c o n dh a st h eh y p o t h e s i st h a tt h er e f l e c t i v i t ys e r i e si si ns o m ec e r t a i nf o r m i n t h i sp a p e rt h es e c o n di s a d o p t e du n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h ec u m u l a n to ft h e r e f l e c t i v i t ys e r i e si sam u l t i d i m e n s i o n a ls p i k ea tz e r ol a g m a t c h i n gb e t w e e nt h e c u m u l a n ta n dt h ew a v e l e tm o m e n ti sd o n ei nam i m m u mm e a n - s q u a r e de l t o rs e n s e u n d e rt h ea s s u m p t i o no fan o n - g a u s s i a n ，s t a t i o n a r y , a n ds t a t i s t i c a l l yi n d e p e n d e n t r e f l e c t i v i t ys e r i e s sl e a d st oah i 曲l yn o n l i n e a ro p t i m i z a t i o np r o b l e m a ni m p r o v e dp a r t i c l es w a m io p t i m i z a t i o ni sa p p l i e dt os o l v et h eo p t i m i z a t i o n p r o b l e m t h en e wm e t h o dp r o p o s e sal i n e a rt i m e v a r y i n ga c c e l e r a t i o n1 2 0 - e f f i c i e n ta n d b r i n g si nt w om u t a t i o n si n c l u d i n gd i f f e r e n t i a lm u t a t i o na n dr a n d o mm u t a t i o n a l s o ， s o m eb e t t e r m e n ti sm a d eo v e rt h eb o u n dc o n s t r a i n t sw h i c hk e e pt h ee s c a p e dp a r t i c l e s d i v e r s i t y t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ei m p r o v e da l g o r i t h mi sb e t t e ri nf i n d i n gt h e 罾o b a l o p t i m an o to n l yi nv e l o c i t yb u ta l s oi np r e c i s i o n d u r i n gt h ee x t r a c t i o no ft h ew a v e l e t , f o u r t h - o r d e rc u m u l a n ti sa d o p t e d t h e s e c o n d - o r d e rc u m u l a n ti st h ec o v a r i a n c e i ti sap h a s e l e s sf u n c t i o n t h et h i r d o r d e r c u m u l a n tp r e s e r v e sp h a s ei n f o r m a t i o n ，b u tw h e nt h ep r o c e s si s s y m m e t r i c a l l y d i s t r i b u t e d ( s u c ha sm o s tr e f l e c t i v i t ys e r i e s ) ，i tv a n i s h e sf o ra l ll a g s t h i si sn o tt r u e f o r t h ef o u r t h - o r d e rc u m u l a n tf u n c t i o n ，w h i c hp r e s e r v e sp h a s ei n f o r m a t i o na sw e l l i no r d e rt oi m p r o v et h ep r e c i s i o no ft h ee x t r a c t e dw a v e l e t ，f i r s tt h el e n 舀ho ft h e w a v e l e ti sc o m p u t e d t h e nam u l t i d i m e n s i o n a lw i n d o wi su s e dt os m o o t ht h et r a c e e u m u l a n t a tl a s t , a l li n i t i a lw a v e l e ti so b t a i n e dv i ac u m u l a n tm a t c h i n gm a t r i x e q u a t i o n i ti sr e g a r d e d 勰t h ei n i t i a lp o p u l a t i o no ft h ei m p r o v e dp a r t i c l es w a r m a l g o r i t h m i nt h ee n d ，s o m ee x p e r i m e n t sa r ed o n et oe x t r a c tt h em i n i m u m p h a s ew a v e l e t ， m i x e d - p h a s e 、 ，a v e l e ta n dz e r o p h a s ew a v e l e t a l s ot h et r a c ei sc o n t a m i n a t e dw i t h g a u s s i a nn o i s e t h er e s u l t ss h o wt h a tt h em e t h o dp r o p o s e dt oe x t r a c tw a v e l e ti s p o s s i b l ea n de f f e c t i v e t h ep r e c i s i o no f t h ee x t r a c t e dw a v e l e ti sb e t t e ri m p r o v e d k e yw o r d s ：h i g h o r d e rc u m u i a n t ：w a v e i e te s t i m a t i o n ：p a r t i c i e s w a r m o p t i m i z a t i o n l i 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰! 过的研究成果，也不包含未获得 ! 洼；垫遗直基丝霞翌挂型壹b 敛：查拦亘窒2 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本面 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：豫泵，毛签字同期：2 。7 年6 月，同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家荦 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权学校可以将等 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制寻 段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 黔4 - 。乞 导师签字： 旅渤龟 签字日期：2 , 0 0 7 年6 月1 日。 签字日期：z 旬年岁月；f 日 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 嗵讯地址： 电话： 邮编： 捧于粒了研优化算i 上的矗阶嫩积置地震了波提取 1 刚若 地震勘探工作是目前最为有效的油气勘探与丌发的地球物理方法，我们固家 是一个石油及各种矿藏丰富的国家，可以说遍地是宝，可是随着我国工业的快速 发展，对石油、天然气能源需求量只益增加，要想使能源的开发和利用同步，传 统的地震勘探技术已经跟不上步伐。这需要在技术上不断的推陈出新，使其向高 精度、高分辨率方向发展。 对于地震勘探技术来说，提商地震分辨率的手段通常是通过反褶积和地震子 波最小相位化来实现，而应用这两者的重要前提就是能够精确的提取地震子波。 故地震子波提取的精确与否直接影响着地震分辨率的高低“1 此外，地震子波提 取还渗透于其它的地震资料处理和解释过程之中：子波提取是波阻抗反演的基 础；子波提取之后还可用于合成地震纪录；此外它还是将测井资料和地震资料联 系起来确定地质层位的有效工具。高精度的地震予波提取方法是发展高精度、高 分辨地震勘探技术的极为重要的一个环节。 子波估计的基本框架就是褶积模型，也就是包含子波以及反射系数序列再加 上噪声的地震道。如果子波已知，那么反射系数可以被反演为尖脉冲序列，从而 为地震资料数据处理提供有力的依据。 1 1 现行的地震子波提取方法 影响子波提取精度的因素主要有：地震道中的噪音、地震道截断误差、地 震道深浅层频率和相位的差异、测井资料环境校正误差、测井资料深时转换的精 度及反射系数的精度等。 目前地震子波提取的方法主要分两大类：一类是确定性子波提取方法，一类 是统计性子波提取方法脚。 确定性子波提取利用测井资料计算出反射系数序列，然后结合井旁地震道由 褶积理论求出地震子波。该方法的优点是不需要对反射系数序列的分布做任何假 设，可得到较为准确的子波；缺点是需要测井资料，耗费财力、物力、人力。确 定性子波提取方法又包括下面几类：气枪的远场震源信号法”、从已知钻孑l 出发 提取子波和从v s p 中求取子波。 气枪的远场震源法其原理是在较深的海域内，用特定的方法在一定的距离外 皋十粒了耵优化算法的南阶岽积蓝地震了被抛取 记下震源波形，然后再模拟各个环节对波形的改造作用，求得所需子波。目前确 定气枪震源远场子波的方法有三类：通过实际测量的方法得到：由震源的近场子 波( 通过数值模拟的方法计算出或者实测结果) ，通过波场外推或其它算法得到 震源的远场子波；通过地球物理反演方法，从实际海上资料中提取地震予波。 从己知钻孔出发提取子波的原理如下：首先将测井所得的声波速度及密度资 料相乘得到声阻抗曲线( 如果没有密度测井曲线时，可用速度与密度的经验函数 关系公式) 。然后经过一次深度一时问转换，把深度坐标转换为时间坐标，即得反 射系数的时间序列。将反射系数的时白j 序列作为输入，以井旁纪录曲线作为期望 输出，用最小二乘法进行曲线拟和求得子波波形。 从v s p 中求取予波的原理如下：垂直地震剖面( v s p ) 是在地表设冠震源 激发地震波，在井中设置检波器进行接收，即在垂直方向观测的人工场。在v s p 资料中，主要利用上行波。为了增强上行波，并为了v s p 资料更好地与井旁地 震剖面对比，常进行垂直求和处理：先排齐上行波，再将所有道的数据按等时间 线相加在一起，得到一个输出道。将输出的单道资料作为井旁地震道，采用最小 二乘法求取地震子波。 统计性子波提取方法不需要测井资料，仅利用地震道便可得到比较准确的子 波。但缺点是需要对反射系数序列和子波做出某种假设，而其假设条件与实际情 况的吻合程度对予波提取的精度有很大程度的影响。本文提出的利用高阶累积量 提取予波的方法就属于统计性子波提取方法。 首先在1 9 7 5 年，r o b i n s o n 提出第一种统计性子波提取方法“1 ，前提是地震 子波是时不变的，地层反射系数是具有自噪谱的随机序列，且地震道不含噪音， 则地震道的自相关就可给出地震子波自相关的一个估计，也就是已知了地震子波 的振幅谱，对于子波的相位谱则必须假设为最小相位、零相位或最大相位，但实 际上地震子波是一种混合相位子波，故不能得到精确结果。 同态反褶积方法由o p p e n h e m 在1 9 6 5 年提出。该方法对地震子波不做最小 相位假设，但自口提是认为子波比较光滑，即以低频为主，而反射系数则很不光滑， 即以高频为主。那么我们就可以轻而易举的在复赛谱域中通过一个低通滤波器把 子波分离出来。但在实际上，这二者有一定的重合的，为此国内外许多学者利用 多时窗随机叠加的方法来提高估算精度。 堆十粒了群优化舅：法的矗阶； ：积益：地震了波挺取 已知褶积模型为： ( ，) = j ( ，) + r a t ) ( i = 1 , 2 ，n ) ( 卜1 ) x ( t ) 为第i 个时窗的地震道，s ( t ) 为要提取的子波，r ( t ) 为地层反射系数。 经傅氏变换为： x ，( 缈) = 墨( 国) r i ( c o )( i = 1 , 2 ，。) ( 1 2 ) 取对数有： l n x j ( c o ) = i n s a c o ) + i n r ( c o ) ( 卜3 ) 将上述对数谱域傅氏反变换到时间域，得复赛谱： xt=sf+rl(1-4) 褶积模型中两个信号褶积形式变为相加形式，两个信号可以分开。 对数谱作多道平均，即为： 专喜l n x jc 却= 专喜i n s i c 动+ 专喜t n e c 动 c ，一s ， 由于子波s ( t ) 相对稳定，故可认为l n s ( w ) 也近似不变。由于截取时窗位置 的随机性，则反射系数r ( t ) 的随机性也增强，所以l n r ；( w ) 也是随机的。当n 足 够大时，有： 专善h x ，( 动。专喜h s ( 动= h s ( 动 ( ，一鳓、 因此对数谱作多道平均后进行指数变换和付氏反变换，就可以估计出所期望 的地震子波s “) 。 在过去的几十年的常规信号处理中噪声一般假设为高斯白噪声，地震子波信 号假设为最小相位或零相位，但在实际问题中却不是如此的。故上面的统计性子 波提取方法的实际信号处理性能不高，处理结果的可靠性也难以保证。 1 2 基于高阶累积量的地震子波提取方法的提出 8 0 年代以来，随着高阶统计量理论的进一步发展和完善，高阶统计信号处 理被广泛应用于通信、语音处理、图像处理、时延估计、系统辩识、地震信号处 理等大量领域，并涌现出大量的理论和研究成果。许多学者开始使用高阶统计量 璀十粒了群优化算法的廓阶譬 积苴地震了波提取 来解决反褶积问题，这些方法大多来源于六十年代发展起来的累积量理论和累积 量谱理论。 1 9 世纪8 0 年代，累积量的概念被提出，1 9 8 4 年累积量被广泛应用，1 9 8 7 年t u g n a j t 提出将实际数掘四阶累积量与m a 过程中子波四阶矩进行拟和来估计 混合相位子波。l a z e a r 首先将高阶统计量应用到了地震资料信号处理中，从真 正意义上抛弃了地震子波处理中的最小相位假设。 使用该方法提取子波，前提是假设地层反射系数是零均值的、三阶或四阶 平稳的、非高斯、独立同分御的序列“1 。而噪声是高斯噪声( 其四阶及四阶以上 累积量为零) ，且与信号不相关，那么通过计算地震道的四阶累积量来计算时间 域子波，此方法又可以分为时间域和频率域两大类。 高阶统计量较常规的二阶统计量除了包含完整的相位信息外，还有对任意 高斯统计的优良特性，高阶统计量在地震信号处理中的应用将有助于我们提高地 震资料的处理能力嘲锄。 1 3 各种高阶累积量子波提取方法的比较 l a z e a r 在最小平方准则下通过将一给定的初始子波的高阶累积量与地震记 录的高阶累积量拟合并利用最速下降法来估计非最小相位子波”1 ，最速下降法是 线性拟和方法，有两个明显的缺点：所得结果受给定的初值影响很大，并和初值 有相像的趋势，结果可能陷入局部极值。这就意昧着如果初值给的不恰当，所得 结果会有很大的误差。但是，试验验证当给定的初始子波为位于零点的脉冲时， 可得到较为满意的结果。 针对最速下降法的缺点，y e l l s 和u l r y c h 提出了一种非线性拟和方法9 1 ： 模拟退火法，该方法有效的避免了陷入局部极小值的可能。但模拟退火法求解问 题也有它自身的缺点，如控制参数的选择比较困难( 需要通过多次试验来确定) ， 并且运算时间长。 尹成等提出通过求解高阶累积量矩阵方程法来提取子波“。3 。该方法将地震 模型定义为平稳的二作高斯的滑动平均模型，山此推出矩阵方程求解子波。该方法 计算时间短，对于压制加性高斯有色噪声具有很好的效果。 梁光河提出将高阶累积量方法与确定性子波方法结合起来进行子波提取 1 。具体做法是先用确定性方法得到较为可靠的井旁地震道，然后用这个子波作 4 皋j 二拉了群优化算法的扁阶嫩积置地震了波提取 为仞始子波，利用模拟退火法通过累积量拟和的方法提取子波。 上述方法都是在时自j 域利用高阶累积量提取子波。在频率域应用的有谢桂 生等提出的山地震记录的双谱求得子波的相位谱“”“4 ，同时利用分形的原理求得 子波的振幅谱，由相位谱和振幅谱通过付立叶反变换求得时i 、日j 域的子波。 1 4 本文提取子波的基本思路 1 4 1 基本思路 本文是在已知地震道及地层反射系数假设的前提下，对地震道褶积模型两 边取高阶累计量，然后在最小平方和误差( 地震道的四阶累计量与子波的四阶矩 是一倍数关系) 意义上来构建目标函数进而利用优化方法来实现地震子波提取 的。对目标函数进行优化采用的是改进的粒子群算法，初始种群为矩阵方程法所 得结果。 高阶累积量方法属于统计性方法，需要用大量数据才能得到比较好的估计， 实际中，大量数据往往接近对称分布，这时求得的三阶累积量就会很小“”，因为 对称分布序列的三阶累积量为零，易导致最终求解子波的方程不稳定。但对称分 布的序列的四阶累积量不为零( 当序列是高斯分布时，其四阶累积量才会为零， 实际地震记录是很难接近高斯分布的) ，因此本文采用的是应用四阶累积量提取 子波。 1 4 2 实验部分所用语言简介 本文中程序实现部分采用m a t l a b 语言来实现。 l i a t l a b 是m a t hw o r k s 公司于1 9 8 2 年推出的一套高性能的数值计算和可视 化软件，它集数值计算、矩阵分析、信号处理和图形显示于一体，构成了一个方 便的、界面友好的用户环境。在这个环境下，对所有要求解的问题，用户只需简 单的列出数学表达式，其结果便以数值或图形方式显示出来。 m a t l a b 的含义是矩阵实验室( m a t r i xl a b o r a t o r y ) ，最仞由l i n p a c k 和 e i s p a c k 计划研制，其基本元素是无需定义维数的矩阵。在工业环境中，m a t l a b 可用柬解决实际的工程和数学问题，其典型应用有：通用的数值计算，算法设计， 各种学科如自动控制、数字信号处理、统计信号处理等领域的专门问题求解“”。 璀十 蹙了肝优化算法的廓阶j i 积量地震了波挺取 m a t l a b 还包括了被称作t o o l b o x ( 工具箱) 的各类应用问题的求解工具。工 具箱实际上是对m a t l a b 进行扩展应用的一系列m a t l a b 函数，它可用来求解各个 特定学科的问题。m a t l a b 最重要的特点是易于扩展，它允许用户自行建立完成 指定功能的m 文件，从而构成适合其它领域的工具箱。 鉴于m a t l a b 如此强大方便的功能，本文中所有程序的实现均在m a t l a b 下实 现，并采用了工具箱中的粒子群算法工具箱、高阶统计工具箱，并根据实际情况 加以改进。文中所有的图也都是在m a t l a b 环境下得到的。 1 5 本文的主要工作及创新点 1 5 i 主要研究内容 本文主要研究内容是利用地震道的四阶累积量，采用高效的非线性优化方 法，对地震子波进行估计。论文的主要内容和章节安排如下： 第一章介绍了子波提取在地质勘探中的重要地位及几种现行的子波提取方 法，并予以比较，最后指出本文的基本思路及主要研究内容。 第二章介绍了高阶统计量的相关知识，包括高阶矩和高阶谱“”，并介绍了高 斯白噪声的高阶矩和高阶谱，推导出了进行子波估计所需要利用的b b r 公式以 及累积量的估计公式。 第三章介绍了基本粒子群算法的原理、数学模型及流程，并提出了一种改进 的粒子群算法，对学习因子进行改进，使其均呈线性发展，并加入了差分变异和 随机变异，同时对逃逸粒予边界条件进行改进，使其随着逃逸程度不同而白适应 的变化。最后利用了四个基本高维测试函数进行了实验验证，实验结果显示了改 进后粒子群算法的优越性。 第四章介绍了运用粒子群算法进行子波提取所需要的准备工作，有地震子波 模型的建立，地震道模型的建立，目标函数的构建，子波长度的确定，窗函数的 选择和刨建，运用累积量矩阵方程法创建粒子群初始种群，后两者的采纳极大提 高了子波提取的精度。 第五章主要是子波提取实验验证部分。实验中分别采用了最小相位子波、混 合相位子波和零相位子波来进行实验验证，并分别刈地震道加以高斯白噪声来进 6 苹十粒r 肝优化算 上的南阶； i 积置地震了城挺取 行子波提取。 第六章是工作总结及展望，对本文总的工作进行了回顾，并为下一步的工作 指明了方向。 1 5 2 本文的创新点 ( 1 ) 成功地对粒子群算法进行了改进，提出了一种改进的粒子群算法，对 学习因子进行改进，使其均呈线性发展，并加入了差分变异和随机变异，同时对 逃逸粒子边界条件进行改进，使其随着逃逸程度不同而自适应的变化。实验证明 了改进后算法的优越性； ( 2 ) 在使用改进的粒子群算法进行子波提取之前，首先利用累积量矩阵方 程法进行初始的予波估计，把所得的初始子波作为改进粒子群算法的初始种群， 大大提高了子波提取的精度。 罐十柱了肼优化算法的南阶；i ；积置地震了波提取 2 高阶统计量 非高斯信号处理是信号理论的一个新领域，与传统信号处理不同，非高斯信 号处理使用高阶统计量作为主要分析工具，高阶累积量作为一种高阶统计量，其 应用引起了人们广泛的兴趣，尤其是近几年来，其迅速发腱使大量新的重要理论 成果涌现，可以帮助人们去解决更多实际问题“”。 2 1 特征函数 2 1 1 随机变量的特征函数 对于单个随机变量而言，若随机变量x 具有概率密度f ( x ) ，则其第一特征函 数定义为积分： 烈w ) = 厂f ( x ) e j * d x ( 2 1 ) 从上式可以看出特征函数实际上就是密度函数f ( x ) 的f o u r i e r 变换。因为 f ( x ) = 0 ，所以特征函数矿( w ) 在原点有最大值，即： i 烈。匿烈o ) = 1 ( 2 - 2 ) 利用概率中熟知的公式 e g ( 力 = lg ( 工) f ( x ) d x ( 2 - 3 ) 便得到特征函数最常见的形式： 矿( s ) = e 9 7 埘 ( 2 4 ) 进一步，若毒，最，磊，是独立的随机变量，且善= 磊+ 彘+ 盏+ ，六，则： 终( w ) = 1 - i 先( w ) i = l 这是因为： c d w ) = e e 州喃+ “品 = e ( e ”5 ) e 一品) = n 吒( w ) 将第一特征函数的自然对数： 烈w ) = l n ( 纠”们 或妒( j ) 定义为x 的第二特征函数( 又叫累积量生成函数) 。 ( 2 - 5 ) ( 2 6 ) ( 2 - 7 ) 螭十粒了j f f 优化算j 杰的南阶鬃积置地震了扫上挺取 2 1 2 随机向量的特征函数 首先我们把随机向量x 和y 的联合特征函数烈w l ，w 2 ) 定义积分为： 似w l ，w ：) = m ，y ) p 一 w xw - d x d y ( 2 8 ) 由上述定义及二维f o u r i e r 逆变换公式可得： y ) 2 石 烈w i ，) p 。”w 砒机( 2 - 9 ) 类似于( 2 - 6 ) ，有： 烈w l + w 2 ) = e e 7 ”) ( 2 1 0 ) 向量x 和y 的边缘特征函数分别定义为： 丸( w ) = e e j ” ( 2 - 1 1 ) 以( 叻= e 忙加 ( 2 - 1 2 ) 由( 2 - 1 0 ) 、( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 式，有： 识( w ) = 烈w , o )( 2 1 3 ) 丸( 计= 妒( o ，们( 2 - 1 4 ) 显然，若z = a x + b y ，则： 兜( w ) = 量们咖，如( 洲6 w ) ( 2 1 5 ) 因此， 妒：( 1 ) = 妒( 口，6 ) ( 2 - 1 6 ) 以上结果可归结为下述定理： 若对每个a 和b ，c a w ) 为已知，则妒( w j ，) 唯一被确定。换言之，若对每个8 和b ，a x + b y 的分布密度已知，则x 和y 的联合分布密度函数f ( x ，y ) 也就被唯一确定。 更一般地，我们考虑随机变量的特征函数。 令= 研】- 厂( 出为一随机向量，i jw = w j ，w 2 ，w 3 ，】7 。且 随机向量x 的第一特征函数定义为： 妒( ，w 2 ，w 3 ，叱) = e e “1 + ”3 即( 2 - 1 7 ) 定义其第二特征函数为： 妒( w i ，w 2 ，w 3 ，w t ，) = i n 烈w l ，w 2 ，w 3 ，) ( 2 1 8 ) 皋十粒了盯优化算法的- 矗阶嫩积置地震了波摊取 2 2 高阶矩和高阶累积量 2 2 1 单个随机量的高阶矩和高阶累积量 根据概率论的基础知识，随机变量x 的k 阶矩定义为： m 。= 研工】= 工厂( 工) 一巩( 2 - 1 9 ) 在多数情况下，将单个随机变量的特征函数定义式( 2 - 3 ) 写成l a p l a c e 算子 的形式： 对上式求k 次导数，得： 因此， d 矿0 ) q 2 1 尹 矿0 ) = e e “工) 妒( o ) = e x ) = m ， ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) 也即，妒( j ) 在原点的k 阶导数等于x 的k 阶矩所。，因此，也常把0 ( w ) 和妒( s ) 称为x 的矩生成函数。 类似地，由式( 2 8 ) ，随机变量x 的k 阶累积量定义为它的累积量生成函数 在原点处的k 阶导数，即： a 妒( w i ，m ) 面f j 矿。“ 2 2 2 随机向量的高阶矩和高阶累积量 令工= 五，以】7 是一随机向量。对其特征函数： ( 2 - 2 3 ) 烈w l ，w 2 ，w 3 ，) = e e 7 ”1 ”t ” 求，= v 1 + v 2 + v 3 + ，v k 次偏导数，可得： i ：； ；导j j 蔷辜土= 7 e t x p ，工，e “q + ，”h ， c z z a ， 显然，若令w l = ，= w k = 0 ，则上式的结果为： ” = e 埘，j ? - ( 一1 ) 7 a w ? 。，a 嵋 这就是随机向量工= x 一，坼】7 的r 阶矩的定义。 o 蕞十粒了群优化算法的，矗阶嫩积置地震了被提取 类似的，j = 【而，屯】7 的r 阶累积量可用累积量生成函数( 2 - 2 3 ) 定义为： c 。，。= = z ；t - r i 。，r ：。，= = c - ，7 。i ；：； ；! - j ：i - ! i 。、；：。：。 c z z 。， 2 2 3 随机过程的高阶矩和高阶累积量 假设 x ( n ) ) 为零均值的k 阶平稳随机过程，则该过程的k 阶矩和k 阶累积 量分别是k 一1 个独立变元的函数。该过程的k 阶矩记为： m 上f ( f l ，气一i ) = m o m x ( n ) ，x ( n + 五) ，x ( n + 气一1 ) ( 2 - 2 7 ) 而其k 阶累积量气( f l ，气一。) 定义为： c h ( 气，吒一) = c u r 颤刀) ，x ( n + f i ) ，工( ”+ 以一i ) ( 2 - 2 8 ) 比较( 2 2 7 ) 式和( 2 2 8 ) 式可知，平稳随机过程 x ( n ) 的k 阶矩和k 阶累积量实质上是取_ = x ( 行) ，x 2 = 叫一十毛) ，x k = 工( ，l + 吒一) 之后的随机向量 【工( 行) ，x ( n + ) ，“，l + 吒一。) 】的k 阶矩和k 阶累积量。 对于一个零均值的平稳随机过程 x ( n ) ，其高阶累积量也可定义为： ( 铲，以一1 ) 2 e 似咖( 刀+ 谚“，工( ”+ 钆) k ) ：3 ( 2 - 2 9 ) 一e g ( n ) g ( n + q ) ，g ( 胛+ 气一i ) ) 式中( g ( 1 1 ) 是一个与 x ( n ) ) 具有相同功率谱密度的高斯过程。这是一个工程 性的定义，它不仅显示了随机过程( x ( n ) ) 的高阶相关度，而且还提供了该过程 偏离高斯或正态分布的侧度。显然，若 x ( n ) 是高斯过程，则其高于二阶的累积 量将恒等于零。 2 2 4 高斯过程的高阶矩和高阶累积量 高斯分布随机向量或过程在时间序列分析中起着很重要的作用，在正态情况 下，“不相关”和“独立”是等价的。本节将分析高斯随机过程的高阶矩和高阶 累积量。 考虑零均值的高斯随机过程 x ( n ) ) ，令工= x ( n ) ， 而= x ( n + 9 1 ) 以= z ( ”+ q 一) ，由随机过程高阶累积量定义式知， x ( n ) ) 的各阶累积量为： 堆1 。往了肝优化算法的南阶j ：积盈地震了波提取 q ，( f ) = e x c n ) _ r ，( o ) c 2 x ( f ) = e x ( n ) x c n + f ) = r ( r ) ( 2 - 3 0 ) ( 2 - 3 1 ) c l | ( 一，t 。t ) = o ，k 3 ( 2 - 3 2 ) 而商斯过程的商阶矩： 埘h ( f l ，i r k 1 ) = o ，若k 3 且为奇数 m h ( f i ，气1 ) o ，若七4 且为偶数 从上面结论我们不难看出，高阶累积量对高斯过程不敏感，因此，当加性噪 声为高斯有色噪声时，高阶累积量在理论上完全可以抑制噪声的影响。然而，高 阶矩不具备这一性质。这就是我们使用高阶累积量而不是高阶矩作为主要分析的 一个重要因素。 2 2 5 高阶矩谱和高阶累积量谱 下面简单的介绍一下高阶矩谱和高阶累积量谱。 考察零均值的线性平稳随机过程 x ( n ) ，信号 x ( n ) 的功率谱密度定义为其 自相关的f o u r i e r 变换。类似的，我们也可以引出对于高阶矩和高阶累积量的定 义。 设高阶矩朋h ( ，i r k i ) 是绝对可以求和的： + -_ im 。( 五，气，) i 一 ( 2 3 3 ) “2 *f 一t 2 则k 阶矩谱定义为k 阶矩的k - 1 维f o u r i e r 变换，即： m h ( w l ，一 设高阶累积量c 。( q ，气一，) 是绝对可和的： e x p t - ，黔) ( 2 _ 3 4 ) ，w ，t ( 2 一 l，= lj k ( l ，瓦一，) i o 是一常数，也就是晓，独立同分布的高斯过程的高阶累积量 是一k r o n e c k e r 函数。特别地，我们称玩= e 量4 ( ) ) 一3 e x 2 ( ”) 】2 为峰度。扎，描 述了e ( n ) 的概率分布曲线中的高峰程度，现在求e ( n ) 的k 阶累积量的k 一1 维 毕十粒了j f f 优化算法的舟阶崭积量地震了波挺取 f o u r i e r 变换，则有： s “( w l ，w k ) = 扎， ( 2 5 3 ) 可见，独立同分斫j 非高斯过程的k 阶谱是k 一1 维平坦的，这同高斯白噪的功 率谱等于常数极其相似，因此，常把独立同分布的非高斯过程简称为高斯白噪声。 现在让我们来推导用高斯白噪声 e ( e 1 ) ) 激励图2 - 1 的线性系统时的一些重要公 式。我们假定观测噪声 v ( n ) 是高斯有色噪声，并且与( e ( n ) 统计独立，从而。 与系统的输出信号 x ( n ) 统计独立。 首先，由假定条件易知： c “( f l ，气一1 ) = c h ( ，吒一i ) 十c h ( f i ，气一i ) = c h ( 五，气一i ) ( 2 5 4 ) h 其次，又由： 颤珂) = h ( i ) e ( n - i ) 利用这一结果，并由累积量的定义及性质，可得： c a ( 1 ，以一i ) = c u m ( x ( n ) ，x ( n + q ) ，x ( n + 气一i ) ) = 厅( ) i ( f 2 ) 一五( ) e u m e ( n 一) p ( ，f + 一f 2 ，e ( n + r k 一一) = 一一 ( 2 5 6 ) 将( 2 5 3 ) 式的结果代入上式，则得： c h ( f i ，一。) = 7 0 ： ( o 厅( f + q ) 厅( h 吒一。) ( 2 5 7 ) i = o 将上式作k - 1 维f o u r i e r 变换，得到系统输出信号的高阶谱与系统传递函数 之间的重要关系式： s h ( w l ，m 1 ) = z b h ( w 1 ) h ( w 2 ) h ( w k 1 ) 日( 一w l 一一心一i ) ( 2 5 8 ) 上式也可以用多维子变换写成： - i s 。( 毛，z 。) = 日( z 。) h ( z ：) h ( z ) 圩( 兀z 1 ) ( 2 5 9 ) = 1 更一般地，如果输入 e ( n ) ) 是非高斯有色噪声，则式( 2 5 7 ) 、( 2 5 8 ) 、( 2 一j 9 ) 的对应形式为： ，气一，) = 懈) 姒) ( ) + p 。( q + p i ： i 1 5 。“2 6 螭十车立了群优化算法的盘阶崭积鼍地震了波提取 ( 2 - 6 0 ) s “( w i ，一i ) = s h ( w l w k1 ) 日( w 1 ) h ( w 2 ) h ( w k 1 ) ( 一w l 一一w k i ) i l & ( 毛，气一- ) = ( z ”，z 一) 日( z ，) h ( z 2 ) h ( z ) h ( 一兀z 1 ) = i ( 2 - 6 1 ) ( 2 6 2 ) 上述公式是由b a r t l e t t 、b r i l i n g e r 和r o s e n b l a t t 推导出来的，因此常 常将( 2 - 6 0 ) 、( 2 - 6 1 ) 、( 2 - 6 2 ) 成为b - b - r 公式。 2 6 累积量的估计 由式( 2 4 1 ) 、( 2 4 2 ) 、( 2 4 3 ) ，可得出二阶到四阶累积量的参数估计方程： c 2 ，( f ) = ( 1 ) h ) “珂+ f ) ( 2 6 3 ) 岛，“，t 2 ) = ( 1 ，) y ( n ) y ( n + t 1 ) y + f 2 ) ( 2 6 4 ) c 4 y ( t i ，t 2 ，t 3 ) = ( i n ) z y ( n ) y ( n + t 1 ) y + f 3 ) - m 4 ，( f i ，t 2 ，t 3 ) ( 2 6 5 ) 其中， y ( n ) ，n = 1 ，2 ，3 ，n 为数据序列，t l , t 2 ，毛为时间延迟量。 m 4 ，( f i ，t 2 ，i s ) = c 2 y ( f 1 ) c 2 ，( t 2 一t 3 ) + c 2 y ( t 2 ) c 2 ，( f 1 一t 3 ) + c 2 ，( r 3 ) c 2 y ( f i t 2 ) 其中：对于月s o 或n ) n 均取x ( n ) = 0 进行计算。 2 7 小结 本章主要介绍了高阶累积量和高阶矩基本知识及性质，以及引出了有名的 b b - r 公式。地震子波估计中我们采用了四阶累积量，高阶累积量方法属于统计 性方法，需要用大量数掘刊能得到比较好的估计。实际中，大量数据往往接近对 称分御，这时求得的三阶累积量就会很小( 对称分布序列的三阶累积量为零) ，易 导致最终求解子波的方程不稳定。但对称分布的序列的四阶累积量不为零( 当序 列是高斯分布时，其四阶累积量刁会为零，实际地震记录是很难接近高斯分布 的) 。 1 7 苹十车立了群优化算法的岛阶j i ；积量地震了波挺取 3 改进的粒子群算法研究 3 1 常见的非线性优化方法 鉴于非线性优化方法，如模拟退火、遗传算法、粒子群算法的显著优点，其 应用领域越来越扩大化。非线性优化方法通常与导数无关，思路简单而直观“”， 常见的非线性优化方法有下面几种。 ( 1 ) 随机搜索法：一种近乎随机的方式顺序搜索目标函数的参数空间，以 便找到目标函数最大( 或最小) 的最优点。除了与导数无关，随机搜索方法的最 显著特点是简单，较适用于连续最优化问题。 ( 2 ) 模拟退火法“”：来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其 慢慢冷却，加温时，固体内部粒子随温度变为无序状，内能增大，而慢慢冷却时， 粒子逐渐趋于有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时，达到基态，内能 减为最小。模拟退火算法用固体退火模拟组合优化问题，将内能模拟为目标函数