（应用数学专业论文）平面动力系统的若干分支问题与应用.pdf

1 _ 福建师范大学黄梅华硕士学位论文 a b s t r a c t f i i ii ii ttt i ii ii i iiiil 18 0 7 0 7 2 t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h r e ep a r t s f i r s t l y , o nt h eb a s i so ft h es e r i e sr e f e r e n c e s 【2 2 - 3 3 1 ，w es u m m a r i z et h es u f f i c i e n t a n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n ss u c ht h a tt h eh o m o c l i n i cc y c l eo ft h eq u d r a t i cs y s t e mi sd e - f i n e db yt h ec u b i c 、q u a r t i c 、q u i n t i c 、s e x t i ci n v a r i a n ta l g e b r a i cc u r v e ，r e s p e c t i v e l y w h e nt h ep a r a m e t e r so ft h eh o m o c l i n i cc y c l eo ft h eq u d r a t i cs y s t e mc h a n g et ot h e b i f u r c a t i o nv a l u e so ft h eg e n e r a t i o na n dd i s a p p e a r a n c eo ft h eh o m o c l i n i c ，w eg e tt h e e i g h tw a y so ft h eh o m o c l i n i cw h i c hd i s a p p e a r sa n dm a yh a v et h eh i g h - o r d e rb i f u r - c a t i o nq u d r a t i cs y s t e mw h i c ha r i s e st h eh o m o c l i n i cc y c l e t h e n ，b yp e r t u r b i n gt h e h o m o d i n i cb i f u r c a t i o ns y s t e mp r o p e r l y , w eo b t a i nt h ec o n d i t i o n sf o rt h ep e r t u r b e d s y s t e ma r i s i n gl i m i tc y c l eb yu s i n gt h er o t a t i o nv e c t o rf i e l dt h e o r e m f i n a l l y , t h e h o m o d i n i cb i f u r c a t i o ns y s t e mc o n s i d e r s t h ep e r i o d i cp e r t u r b a n c e ，w eo b t a i nt h e c o n d i t i o n sf o rt h ep e r t u r b e ds y s t e ma r i s i n gc h a o t i cb e h a v i o rb yu s i n gt h em e t h o d o fm e l n i k o vf u n c t i o n s e c o n d l y , o nt h eb a s i so ft h er e f e r e n c e s 1 2 ，c o n s i d e rt h es y s t e mw i t hat r u e c e n t e ro fi t sl i n e a rp a r t ，u s i n gt h ei m p l i c i tf u n c t i o nt h e o r e m ，w eo b t a i nas u f f i c i e n t c o n d i t i o no ft h ep e r i o d i cs o l u t i o nw h i c hi sg e n e r a t e db yt h eb i f u r c a t i o no faf a m i l y o ft h ed o s e dt r a j e c t o r i e s f u r t h e r ，c o n s t r u c t i n gt h es u i t a b l ee x a m p l ew h i c ht h e o r i g i n a ls y s t e mh a saf a m i l yo fc l o s e dt r a j e c t o r i e s t h e n ，b ys e l e c t i n gt h ea p p r o p r i a t e d d i s t u r b a n c e ，w eg e tt h e 礼h m i tc y c l e sp r o d u c e di nan e i g h b o r h o o do ft h e c l o s e d t r a j e c t o r i e s t h i r d l y , w ep r o p s ead e l a y e dl e s l i e - g o w e rp r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t has i n g l e d e l a y t h el i n e a rs t a b i l i t yo ft h es y s t e mi si n v e s t i g a t e da n dh o p fb i f u r c a t i o n sa r e d e m o n s t r a t e d i np a r t i c u l a r ，t h ef o r m u l a ed e t e r m i n i n gt h ed i r e c t i o no ft h eb i f u r c a - t i o n sa n dt h es t a b i l i t yo ft h eb i f u r c a t i n gp e r i o d i cs o l u t i o n sa r eg i v e nb yu s i n gt h e n o r m a lf o r mt h e o r ya n dc e n t e rm a n i f o l dt h e o r e m f i n a l l y , n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s s u p p o r t i n go u rt h e o r e t i c a lr e s u l t sa r ea l s oi n c l u d e d k e y w o r d s ：a l g e b r ai n v a r i a n tc u r v e ，h o m o c l i n i c ，h o p fb i f u r c a t i o n ，p o i n c a r g m e t h o d ，d e l a y , p e r i o d i cs o l u t i o n s i i k 中文文摘 中文文摘 本文共分为四章绪论概述了本文研究的课题背景及发展情况。在0 1 中，介 绍微分方程分支理论的历史背景和意义；在o 2 中，介绍时滞微分方程的历史背景 及研究状况；在o 3 中，介绍本文的主要工作；在0 4 中，给出本文需要的一些 预备知识 第一章，在系列文献f 2 2 】一 3 3 】的基础上，归纳总结了二次系统具有部分三、四 次及某些五、六次不变代数曲线同宿环的充要条件，结论是本文中的定理1 2 1 1 2 9 根据各个具有三、四、五、六次不变代数曲线同宿环的相应的二次系统的部分 全局相图，我们得到具有同宿环的二次系统当系统参数在一定范围内变化达到某一 值时，同宿环可能消失的八种方式，如图1 1 逦一妇冷一徊 ( 1 ) 同宿环产生或消失于异宿环 ( 2 ) 当参数变化到某一分支值时，同宿环 内的奇点到达同宿轨线上的某一点 渺一细嗣一妇 ( 3 ) 当参数在某一范围内变化时， 从高次奇点d 分离出的奇点沿着 d 的稳定流形移动 ( 4 ) 当参数变化到某一分支值时，同宿环 变化碰到同宿环外的奇点 妇w ( 5 ) 同宿环及其所围成的区域缩为 退化奇点 i i i ( 6 ) 当参数变化到某一分支值时，不变代 数曲线由具有构成双同宿环的非孤立闭分 支汇合成一点 一p ，卅j1 福建师范大学黄梅华硕士学位论文 氟、 ( 7 ) 当参数变化到某分支值时，不 变代数曲线由具有构成同宿环的非 孤立闭分支，变为奇直线和某一 曲线的组合 稳专弓 ( 8 ) 与( 7 ) 是同一类型，但奇直线与曲线的 位置不一样 图1 4 相应的给出各种方式的具体例子，例1 3 1 一例1 3 8 下面构造关于参数6 的旋转向量场，当6 往适当的方向变化时，系统( 1 4 2 ) 的同宿环破裂，产生极限环利用旋转向量场理论和广义环域定理得 定理1 4 1 当1 c 锈时，若6 = 0 ，系统( 1 4 1 ) 存在同宿环；若0 6 瓦= 专篷叠，则系统( 1 4 1 ) 存在极限环；若6 = 瓦，则系统( 1 4 1 ) 的极限 环消失，缩小成不稳定细焦点，即6 = 瓦系统( 1 4 1 ) 发生h o p f 分支 考虑系统( 1 4 3 ) 的自治扰动系统 t 云t ：= z y - 一2 刃o 。x y 3 , 乜可2 + 入q 。+ n 2 z m ，n c 1 4 4 ， 其中- 1 0 f 0 ，m ，礼为正整数，a ，a l ，a 2 为参数值 利用m e l n i k o v 函数方法分析得 定理1 4 2 对于系统( 1 4 4 ) ，m = 5 ，佗= 1 ，- 1 0 ，一揣a 2 a l - - o - 2 ，则系统( 1 4 4 ) 至少存在一个稳定的极限环 若a 2 0 ，- - a 2 a l 一器a 2 ，则系统( 1 4 4 ) 至少存在个不稳定的极限环 当入 0 时， 若a 2 0 ，- a 2 a l 0 ，一器a 2 口1 一a 2 ，则系统( 1 4 4 ) 至少存在个不稳定的极限环 如图1 1 3 ，1 1 4 所示 i v 、 4 p j_j1j1 孙 中文文摘 l i 迭訇9i 产 刈 图1 1 3 同宿环分支出 稳定极限环 式偷 产 n ol 毫 图1 一1 4 同宿环分支出 不稳定极限环 进一步，考虑系统( 1 4 3 ) 的周期扰动系统 藜d x 三二二二a ：可2 + a 口。+ 口2 2 5 ，可一。：，。z ，可，c 。6 u t c 1 4 5 ， 其中- 1 q 0 为扰动频率 通过计算系统( 1 4 5 ) 的m e l n i k o v 函数m ( t o ，a ，a 1 ，a 2 ，u ) ，得到当 1 6 入( a l + 而1 2 9 6 a 2 ) i 0 则系统( 2 2 1 ) 有唯一的一个闭轨h ，当入_ 0 时，n 趋于系 统( 2 2 1 ) ( 入= 0 ) 的闭轨：z = 警s i n w t ，y = a o ( c o s w t 一号s i n w t ) a 0 ，相应的闭轨n 不稳定如果圣7 ( a o ) 矗3 ) ，那么方程 ( 3 2 3 ) 至少有一个根具有严格正实部 引理3 2 5 ( 1 ) 如果铲一d 0 ，那么当7 - 【0 ，- ( 0 ) 时，方程( 3 2 3 ) 所有根均 具有严格负实部；当丁= 矗刎时，方程( 3 2 3 ) 有对简单纯虚根“p 2 ，方程( 3 2 3 ) 所有根除了士i p 2 均具有严格负实部 ( 2 ) 如果铲一d o ，那么当7 i 0 ，硝劭) 时，方程( 3 2 3 ) 所有根均具有严格 负实部；当r = 矗却时，方程( 3 2 3 ) 有一对简单纯虚根士i 、，伍，方程( 3 2 3 ) 所有 根除了颤、d 均具有严格负实部 由引理3 2 1 3 2 5 ，得 定理3 2 6 对系统( 3 1 5 ) ，我们有 ( 1 ) 如果t 2 一d 0 ( t 2 一d 矗3 ) 时，系统( 3 1 5 ) 的平 衡点及( z 。，y 。) 是不稳定； ( 3 ) 当铲一d o ( 铲一d 0 ，系统( 0 4 4 ) 在点( 0 ，0 ) 附近至少有一个稳 定( 不稳定) 的极限环 定理0 4 3 1 2 1 ( p o i n c a r d 方法) 考虑系统 窿l 怒卜 4 脚 福建师范大学黄梅华硕士学位论文 其中 ( z ，y ) 和如( z ，y ) 有一阶连续的偏导数对充分小的入，若a o 是方程e ( a ) = 0 的正根；又皿( 山) 0 则系统( o 4 5 ) 有唯一的一个闭轨n ，当入_ 0 时，n 趋 于的闭轨；z = a os i n t ，y = a oc o s t a 0 ，相应的 闭轨n 不稳定如果( a o ) 0 ，则有关稳定性的结论相反 其中皿( a ) 三丘簪 s i ns a ( a s i n u ，ac o s u ) + c o s u a ( a s i n u ，ac o s u ) 】砒 定理0 4 4 1 1 4 ( 横截同宿定理) 若二维点映射f 具有双曲不动点d ，且它的 稳定流形与不稳定流形横截相交于点p ，则，是混沌的 6 第1 章分支出同宿环的若干高阶分支现象 第1 章分支出同宿环的若干高阶分支现象 1 1 引言 二次系统的三次、四次、五次、六次不变代数曲线构成同宿环的研究，已有很 多好的结果文献【2 2 】研究了一般的二次系统具有三次不变代数曲线同宿环的充 要条件文献【2 3 】给出了与【2 2 】拓扑不等价的另类三次代数曲线同宿环文献 2 4 ，2 5 】研究二次系统的原点是鞍点，其具有某些三次不变代数曲线同宿环的充要 条件文献【2 6 】研究类二次系统具有任意次数不变代数曲线同宿环的某些充要条 件文献【2 7 ，2 9 】研究二次系统的原点是鞍点，其具有某些四次不变代数曲线同宿 环的充要条件二次系统具有五次、六次不变代数曲线同宿环的某些充分条件，见 文献【2 5 ，2 6 ，2 8 】 本章的结构安排如下t 在第二节，归纳总结了二次系统具有部分三、四次及某 些五、六次不变代数曲线同宿环的充要条件第三节，考察系统参数变化时，相应 系统同宿环产生与消失的参数分支值，得到同宿环消失的八种方式及具有可能分支 出同宿环的高阶分支二次系统第四节，利用旋转向量场对具有同宿环的二次系统 进行适当扰动，得到同宿环分支出极限环的条件最后，考虑具有同宿环的二次系 统的周期扰动，利用m e l n i k o v 函数方法分析得到扰动系统产生混沌的充分条件： 1 2 二次系统存在同宿环的某些充要条件 下面给出部分具有三次、四次、五次、六次不变代数曲线同宿环的二次系统， 及相应的不变代数曲线 定理1 2 1 1 2 2 一般二次系统 f 圣= a o + a l o z + a 0 1 y + a 2 0 2 2 + a 1 l x y + a 0 2 y 2 ， i 雷= b o + b 1 0 z + b 0 1 y + b 2 0 2 2 + b 1 1 x y + b 0 2 y 2 存在三次曲线的非孤立闭分支为分界线环的充要条件是存在一组常数a l ，a 2 ，a s ，b l ，5 2 ， 5 3 ，k 1 ，k 2 ，k 3 ，其中乜0 ，a 1 5 2 一a 2 b 1 o ，且尼1 ，如，满足以下两条件之一： ( 1 ) 镌+ 4 k l ( k l k 2 ) 0 ( 2 ) 当砖+ 4 ( 尼1 一k 2 ) o 时，( h + 2 k 2 ) 一6 砖0 ，磅一k l ( k l + 2 k 2 ) 0 使得 7 福建师范大学黄梅华硕士学位论文 a o = 2 b 2 b a ( a 3 k l + 如) + 2 6 2 ( 2 遽+ 幻一1 ) k s + 3 a 2 ( k l + ) 一6 a 2 a 3 k l 一3 a 2 b 3 一1 2 a 2 a i k 2 6 a 2 a a b 3 乜一3 a 2 b ；k 1 a l o = 2 b l b 2 ( a s k l + k 2 ) + 2 a 1 5 2 b z 后1 + 8 a l a a b 2 k z + 2 a l b 2 k a 一6 a l a 2 k 1 3 a 2 b l k z 一2 4 a l a 2 a s k 2 6 a 2 ( a l b s + a s b l ) k z 一6 a 2 b l b z 后1 a o l = 2 b 2 2 ( a s k l + 如) - 4 - 2 a s b 2 b s h + 2 0 a b 2 乜+ 8 a 2 a z b 2 k s 一6 a 2 k l 一3 a 2 b 2 乜一2 4 a l a 3 k 2 6 a 2 ( a ：b z + a z b 2 ) 乜一6 a 2 5 2 b 3 k 1 a 2 0 = b l ( 2 a l b 2 3 a 2 b 1 ) h 一1 2 a 2 a a k 2 + 2 a l ( 2 a l b 2 3 a ：b 1 ) k 3 a l l = 2 b 2 ( a l b 2 2 a 2 b 1 ) k l 一2 4 a l a 2 k 2 + 2 a 2 ( a l b 2 3 a 2 b 1 ) a 0 2 = - a ：b ；k l 一1 2 a i k 2 2 a ；b 2 k z b o = - 2 b l b z ( a 3 k l + k 2 ) 一2 b l ( 2 a ；+ a 3 1 ) 乜一3 a l ( k l 十k 2 ) + 6 a l a 3 k l 十3 a l b 3 k 3 + 1 2 a l a c k 2 + 6 a l a z b 3 k 3 + 3 a l b ；k 1 b 1 0 = b o l2 - 2 b i b s ( a s k l + k 2 ) 一2 a l b l b a k l 一8 a l a z b l k 3 2 a l b l k a + 6 a ；k l + 3 a l b l k s + 2 4 a ；a 3 k 2 + 6 d 1 ( n l b s + a a b l ) k s + 6 a l b l b z k l - 2 b l b 2 ( a s k z + k 2 ) 一2 a 2 b l b 3 k z 一2 a 2 b l k 3 8 a 2 a z b l k 3 + 6 砖忌l + 3 a l b l k 3 + 2 4 a ；a z k 2 + 6 a 1 ( a 2 b 3 + a z b 2 ) k 3 + 6 a l b l b s k l b 2 0 = a l b i k l + 1 2 a i k 2 + 2 a i b l k a b 1 1 = 2 b l ( 2 a l b 2 一a 2 b 1 ) k l + 2 4 a i a 2 k 2 + 2 a l ( 3 a l b 2 a 2 b 1 ) k z b 0 2 = b 2 ( 3 a l b 2 2 a 2 b 1 ) k 1 十1 2 口1 碹南2 + 2 a 2 ( 3 a l b 2 2 a 2 b 1 ) k z 这时分界线环的方程为 4 ( a l z + a 2 y + a s ) 3 3 ( a l x + a 2 y + a 3 ) + 1 一( 6 1 z + 6 2 可+ 6 3 ) 2 = 0 接下来考虑具有双曲鞍点的平面二次系统： ( 1 2 1 ) 其中p 0 ，q o 为z ，y 二次实系数多项式 不失一般性，可作如下假设： 5 1 ：坐标原点为双曲鞍点，平面的 o ，1 ) 方向上的无穷远处有一奇点； ，岛：原点的局部稳定流形与局部不稳定流形和两直线x 2 - - y 2 = 0 在原点相切； 8 争 幻们矧铂 = = 如一菇面，fi_-_，、_-l 第1 章分支出同宿环的若干高阶分支现象 岛：系统连接原点的同宿轨线若存在，则它位于下面区域 g = ( z ，) i o l y i 2 时， q 坐4 下面考虑类对称可积系统具有几次不变代数曲线 令c = a l = p = 0 ，则系统( 1 2 3 ) 化为 - 1 ，a 2 - 1 ( 2 ) 当0 f - - 1 ，a 2 - 1 时，对称可积系统( 1 2 5 ) 有n 次不变代数曲线的充要 条件是a 2 = 一墨 若系统( 1 2 3 ) 过原点的四次不变代数曲线同宿环必为如下形式：f ( x ，y ) = z 2 一y 2 + f 3 + f 4 = 0 这里r 为z ，y 的i 次奇次多项式( i = 3 ，4 ) 定义1 2 1 若r ( z ，y ) 有形如( z v y ) m ，仇= 1 ，2 ，3 ，4 的因子，则称曲线 f ( x ，y ) = z 2 一y 2 + 咫+ 只= 0 与平面 口，1 ) 方向上系统( 1 2 3 ) 的无穷远奇点有 m 阶接触 对r 进行仿射坐标变换，易得r ( z ，y ) 的如下分类： ( 1 ) 四阶接触：乃x ，y ) = a 4 0 x 4 ； ( 2 ) 一个三阶接触，个一阶接触：r ( z ，y ) = a 4 0 x 3 ( z 一曲) ； ( 3 ) 两个二阶接触t 毋( z ，y ) = a 4 0 x 2 ( z 一曲) 2 ； ( 4 ) 一个二阶接触：最( z ，y ) = a 4 0 x 2 ( z 2 一p z 可+ o z y 2 ) ，其中p 2 4 a o ； ( 5 ) 毋( z ，y ) = a 4 0 ( x 2 一z x y + o z y 2 ) 2 ，其中p 2 4 a 0 当只( z ，y ) = a 4 0 x 4 时，系统( 1 2 3 ) 有形如f ( x ，y ) = z 2 一y 2 + 乃+ a 4 0 x 4 = o 的四次不变代数曲线同宿环的两种系统 其一系统( 1 2 6 ) 是单参数，如下 d x c ( 9 3 0 c 2 + 5 c 4 ) ， 磊一切+ 甫丽五而矿一 塑= z + t 上j 8 奸c ( 3 瓦- ( 6 c 2 百- t 万 c 4 刀) d t c y - - x 2 4 8 c 2 x y 。 - 1 8 + 9 c 2 8 c 4 + c 6 纩 ( 1 2 6 ) 其二系统( 1 2 7 ) 是双参数，如下 滢= 二鹫二誓 2 ： l 鲁= 可。一孚驴2 q 萨 “ ， 定理1 2 4 2 9 , 3 1 1 ( 1 ) 系统( 1 2 6 ) 存在过原点的同宿环的充要条件是i c i 1 ( 2 ) 系统( 1 2 7 ) 存在过原点的同宿环的充要条件是 i c i i , - i a 1 8 + c a + c 4 - 硒t - ( 6 再- t - 丽c 2 ) x r 9 l o c 2 至_ t _ c a ； 卜 第1 章分支出同宿环的若干高阶分支现象 巨dx二一c(1辫-t-c2)x2霉c2w- 萨 n 2 8 ， l 老= z + 锣一护一帮驴羔萨 卜_ 叫 d x 如 由 出 = 专糍三：嘉譬岳亏三薹告专要专去 塞篇z 2 一2 ( 5 + 2 s - i - 。5 s 2 ) 2 ( 1 二+ 2 s + 2 2 s s + s 4 1 茁可， = z + 吉j ；= 恚嬲y - z 2 + 量曼毛聂三之吝笔墨- j 量萎麦 芋笔芝掰z 一! 垒亟二! 盥鱼! ；2 ： 八。 - 7 2 ( 5 + 2 s + 5 s 2 ) ( 1 + 2 s + 2 s 3 + s 4 ) 拶 定理1 2 5 【3 2 】( 1 ) 系统( 1 2 8 ) 存在双同宿环的充要条件是0 l c i 1 ( 2 ) 系统( 1 2 9 ) 存在过原点的同宿环的充要条件是尘擎s 曼乎 当只( z ，y ) = a 4 0 x 2 ( 。一曲) 2 时，系统( 1 2 3 ) 有形如f ( x ，y ) = z 2 一y 2 - i - 见+ a 4 0 x 2 ( z 一曲) 2 = 0 的四次不变代数曲线同宿环的两种系统 其一系统( 1 2 1 0 ) ，如下 巨d x = c ( ( 2 - t - z 2 一 磁1 + 3 c 2 露) 4 c ( 4 ； c 2 ) ( 3 + c 2 ) ： + c 2 1 4 c 2 + 唧列 ( 2 - t - c 2 ) ( 3 + c 2 ) ，面d x = + 耖+ r j 褊z 2 1 宏= z + 吲。+ 可斋 z 一( 2 + c 2 ) ( 3j r c 2 ) 阿两移础 。 。一耳再孬两丽 ( 1 2 1 0 ) 定理1 2 6 【3 3 l 系统( 1 2 1 0 ) 或( 1 2 1 1 ) 存在过原点的同宿环的充要条件是 c i 1 1 1 福建师范大学黄梅华硕士学位论文 若系统( 1 2 3 ) 过原点的五次不变代数曲线同宿环必为如下形式。f ( z ，y ) = z 2 一y 2 + f 3 + f 44 - r = 0 这里只为z ，y 的i 次奇次多项式( i = 3 ，4 ，5 ) 当风( 。，y ) = a 5 0 x 5 时，系统( 1 2 3 ) 有形如f ( x ，y ) = x 2 - y 2 + 尼+ r + 口5 0 2 5 = 0 的五次不变代数曲线同宿环的系统为 f ，如 1 5 0 c + l o c s + 2 2 5 c a + 9 3 c 3 位一6 c 5