（计算数学专业论文）sobolev方程的混合有限元法.pdf

$ o b o l e v 方程的混合有限元法 计算数学专业 研究生：刘军指导教师：胡兵 s o b o l e v 方程在流体穿过裂缝岩石的渗透理论，土壤中湿气的迁移问题，不 同介质的热传导问题等诸多物理问题中有广泛的应用，相应的数值方法研究已 有许多结果【1 5 ，本文采用相异于文献 1 - 5 的研究途径，丌展了如下工作： f i ) 提出了s o b o l e v 方程的混合有限元方法，构造了组更为简单的低阶四边形 混合元，结合给出的半离散和全离散有限元计算格式，分析得出了离散解的 存在唯一性及误差估计，改进了文献 6 的相关结果，数值试验证明了与分 析的一致性 ( 2 ) 在( 1 ) 的基础上，提出了相应的组合有限元法，分析了有限元解的存在唯一 性，得出了误差估计，数值结果进行了有效验证 ( 3 ) 利用常通量，提出了相应的组合部分投影有限元计算格式，在空问采用矩形 剖分情形下，数值试验证明了方法的有效性 关键词：s o b o l e v 方程：混合有限元：组合有限元：组合部分投影有限元 半离散；全离散：误差估计 am i x e df i n it ee l e m e n tm e t h o df o rs o b o l e v e q u a t i o n m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s g r a d u a t e ：l i uj u na d v i $ o r ：h ub i n g s o b o l e ve q u a t i o ni sg e n e r a l l ya p p l i e di np h y s i c a lp r o b l e m ss u c ha st h es e e p a g e t h e o r ya b o u tt h ef l u i dc r o s s i n gc r a c k si nt h er o c k , t h em i g r a t i o np r o b l e mo ft h e m o i s t u r ei nt h es o i l ，a n dt h eh e a t c o n d u c t i o n q u e s t i o no fd i f f e r e n t m e d i u m c o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a lm e t h o dr e s e a r c hh a sp r e s e n t e dal a r g ea m o u n to fm s u l t s ， ( s e ei n 【l 5 】) i nt h i sp a p e r , u t i l i z i n gaw a yd i f f e r e n tf r o mt h o s ei nt h el i t e r a t u r e ，w e h a v ed o n e j o b sa sf o l l o w i n g ： ( 1 ) w cp r o p o s ea m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o dr e s p o n d i n gt os o b o l e ve q u a t i o n ，a n d c o n s t r u c tnl o w e r - o r d e rq u a d r i l a t e r a lm i x e de l e m e n t b yc o n n e c t i n gw i t h s e m i - d i s c r e t ea n df u l l y - d i s c r e t es c h e m e sg i v e ni nt h i sw o r km s p e c t i v e l y , w ea l s o d e m o n s t r a t et h ee x i s t e n c e ，t h eu n i q u e n e s sa n dt h ee r r o re s t i m a r i o no f t h ed i s c r e t e s o l u t i o n , a n di m p r o v et h er e l a t e dr e s u l t si n 【6 1 n u m e r i c a ie x p e r i m e n t ss h o wt h a t t h e o r yp r o o f a n da n a l y s i sa r ei d e n t i c a l ( 2 ) o nt h eb a s eo f ( 1 ) ，w ep r o p o s ec o r r e s p o n d i n gc o m b i n e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s a n da n a l y z et h ee x i s t e n c e ，t h eu n i q u e n e s sa n dt h ee r r o re s t i m a t i o no ft h ef i n i t e e l e m e n ts o l u t i o n n u m e r i c a lm s u l t sp r o v et h e me f f e c t i v e l y ( 3 ) m a k i n gu s eo fc o n s t a n tf l u x ，w ep r o p o s ec o r r e s p o n d i n gf i n i t ee l e m e n ts c h e m e s b a s e do nt h ec o m b i n e dp a r t i a lp r o j e c t i o nm e t h o d u n d e rt h ec i r c u m s t a n c eo f r e c t a n g l es d a c es u b d i v i s i o n , n u m e r i c a le x p e r i m e n t sp r o v et h ee f f e c t i v e n e s so f t h i sm e t h o d k e yw o r d s ：s o b o l e ve q u a t i o n ；m i x e df i n i t ee l e m e n t ；c o m b i n e df i n i t ee l e m e n t ； c o m b i n e dp a r t i a lp r o j e e t i o nm e t h o d ；s e m i - d i s c r e t e ；f u l l y - d i s c r e t e ；e r r o r e s t i m a t e s 阳川大学硕 学位论文 1 引言 f “，= v ( d ( x ，t ) v u ，+ b ( x ；t ) v u ) + ( x ，t ) ( x ，t ) q ( o ，t 】 “( x ，t ) = 0 ( f ) e ，q 【o ，t 】 ( 1 1 ) l“( ，0 ) = u o ( x ) x q 其中q 为r 。( d = 1 , 2 ，3 ) 中的有界域，其边界记为a q u o o ) ，厂0 ，r ) 为已 知函数，a ( x ，) ，b ( x ，f ) 为给定的具有有界导数的连续函数，满足： i b ( x ，) l 蔓，0 q a ( x ，) 口2 ，i 口f ( x ，) l s x q ( 1 2 ) 其中，q ，锡，为常数 s o b o l o v 方程在流体穿过裂缝岩石的渗透理论，土壤中湿气的迁 移问题，不同介质的热传导问题等许多物理问题中有广泛的应用，其 数值模拟方法分析已有许多文献，如 1 5 及 1 2 。文献 2 中仅对 一维s o b o l o v 方程提出了位移有限元法，文献 1 中建立了特征混合元 方法，分别讨论了收敛性和误差估计，但未有数值试验。文献 3 是标 准的混合元方法，仅针对r a v i a r t t h o m a s 元进行了理论分析，未有数 值结果。文献 4 中提出了相应的最小二乘混合元方法，该方法虽然不 要求位移函数和通量函数的有限元空间满足l b b 稳定性条件”1 ，但是 计算量大，也未提供数值试验。最近，郭玲、陈焕贞等又提出了 h - g a l e r k i l l 混合有限元方法，虽然不要求位移“及通量q 有限元空间 匹配，但对通量函数的光滑性要求更严格，而且仅提供了一维情形细 网格( 初始的空间步长h = o 0 1 ) 时的数值试验。 文献 6 】通过引入通量函数g ，建立了不同于文献 1 5 的混合 有限元方法，给出了相应的半离散和全离散有限元格式，构造了几组简 单的有限元，分析了离散解的存在唯一性，并导出了相应的误差估计。 本文在文献 6 的基础上，针对一组低阶的四边形混合元，引入恰当的 插值算子，通过分析得出了相应的误差估计，改进了 6 中的相关结果， 即分析得到的位移收敛阶比 6 中的高一阶，文中构造的通量函数比文 献 5 的更简单，计算量更小，结果得到了迸一步的改进；而后，提出 组合有限元方法，利用前面构造的有限元，分析了离散解的存在唯一 性，得到了相应的误差估计，数值结果验证了方法的有效性。 2 婴型盔兰堡：! 兰竺丝苎 本文的主要内容，在第二部分主要讨论混合有限元方法的半离散 格式，给出误差估计；第三部分主要讨论混合有限元方法的全离散格 式，给出误差估计；篇四部分讨论组合有限元方法的半离散格式，并 给出误差估计：第五部分给出一维和二维的混合元法及二维组合元法 数值算例说明方法的有效性。 2 混合有限元方法的半离散格式和误差估计 在区间f z o ，t 】上考虑下列方程： i ”，= v ( 口( 工，t ) v u ，+ b ( x ，t ) v u ) + f ( x ，r )( 工，f ) q ( o ，t 】 “阢，) = 0( 工，) o f z x 【o ，t 】 ( 2 1 ) i甜( ，o ) = ”o ( x ) x q 根据问题的实际物理意义，引入中间变量q = a ( x ，t ) v u ，+ b ( x ，t ) v u ， 利用变分原理，可得( 2 1 ) 的混合变分格式： 求( u , q ) ：【o ，t 卜 h 1 ( q ) l 2 ( f 2 ) ，使得 j ( 口) ( 吩，v ) + ( g ，v v ) = u ，v )v v 砩( q ) r 99 、 i ( 6 ) ( 口，f ) 一( 口( x ，t ) v u , + b ( x , t ) v u ，f ) = 0v r r ( q ) 令，呒分别为础( q ) ，r ( q ) 的有限维子空间，则( 2 2 ) 的半离散混 合元格式为：求( ，q 。) ：【o ，t 】_ x ，满足： p ( ，v h ) + ( q h , v v h ) = v h )v he ( 2 3 ) 【( 6 ) ( q h , f ) 一( a ( x , t ) v u f + 6 ( x ，t ) v u ，“) = 0v r 这里，区域q 的剖分为平行四边形副分，圪为双线性插值有 限元空间，取不完全线性插值有限元空间，其中的不完全线性 插值基函数在参考坐标系下的形式为： 。= 雕；i 亿t ， 显然，在单元k 上满足= v k 。 定理2 1 问题( 2 3 ) 的有限元解存在唯一 证明：方程组( 2 3 ) 是关于u 。，q 。的线性方程组，因而解的存在唯 一性等价于相应的奇次方程组仅有零解。 四川大学颂十学位论文 令：f = 0 在( 2 3 ) ( 口) 中令= 得： ( n ，打m ) + ( q ，v n ) = 0 在( 2 3 ) ( 6 ) 中令= v u 。得： ( g ，v u m ) - ( a ( x ，t ) v u n + b ( x ，t ) v u ，v u m ) = 0 两式相减得： ( u t h * u m ) + ( a ( x ，t ) v u m + b ( x ，t ) v u ，v u m ) = 0 由柯西不等式及砌，g 不等式及( 1 2 ) 可得： i 惦+ 口10 v u 。i i g - c i i v u 。i i 0 0 v u 。i i o - e l i v u 。惦+ 8 i i v u 。惦 i i 聃0 ：+ d 1i i v “曲8 ：c0 v i | ； 在( 2 3 ) ( 6 ) 中令屯= v u 。得： ( g ，v u ) 一( d ( z ，t ) v u 曲+ b ( x ，t ) v u , ，v u ) = 0 即o ( a ( x ，t ) v u n ，、t u h ) = ( q hv u h ) 一( 酞置t ) v u h ，v u n ) 因为： ( 毗f ) v 肋沪圭和口；v 圳；一l ( a ，v u h , v u h ) 所以： 三珈口慨q h , v u h ) - ( 6 ( 州) v u h , v ) + a t v u , , v u , ) 所以由坏等式： 要驴v i 1 0 2 _ 1 1 酬ov u , i i + ci iv u 1 1 2 - i iq nn 刚v u 。1 1 2 讲 刮v 临j i q 。1 1 2 a s - ：e l l v 8 2 d s f f l g r o n w a l l 弓 理： i i v 1 1 ： - c i i q 。1 1 2d s ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 。9 ) 阅川大学硕十学位论文 在( 2 3 ) ( 6 ) 中令“= q h 得： 0 吼2 = ( a ( x , t ) v u , n + b ( x , t ) v u n ，v u ) 利用环等式椒2 8 ) 0q 。i i 0 2 c i l v 幡 由( 2 9 ) ，( 2 i o ) 得： 慨赂c n 吼惦 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 由g ，d 黼竹鹏l 理：知“i i o = o ，即得吼= o 再根据( 2 9 ) 得i i v l h = o 又因为日：，故= o ，从而( 2 3 ) 的存在唯一性得证。 为了进行误差估计，先给出如下定理： 定理2 2 对给定的“磁( q ) ，存在唯一的g u 吆，满足： ( a ( x ，f ) v ( m 一只m ) + b ( x ，t ) v ( u 一只“) ，v h ) = o ，v v kc 础( q ) ( 2 1 5 ) 证明：定理2 2 等价于下列问题只有零解： ( a ( x ，) v ( 耳蚱) + b ( x , t ) v ( p l u ) ，v ) = o ，v kc 喇( q ) ( 2 1 6 ) 在( 2 1 7 ) 中令v v = v p l “得： ( a ( x ，t ) v p , u , + b ( x ，r ) i ，1 叩i 甜) = 0 ( a ( x ，f ) 1 e p l 坼，1 9 p l “) = 一( 6 ( x ，f ) v p l “，罗p l u ) 因为： ( 口( 州) 即鸬，v p = 吾丢怕；”惦一j 1 ( q 印一印 所以： 三丢怕；印川e j 1 ( 口f 即即= 一( 6 ( 彬) 即m 即 所以由5 不等式 ： 虿i 万d i i 口；v p ，肥ci fv p ”1 1 2 对积分得：i i v p , 甜惦c n “h 2 出 由g m 删引理： i i v p , u 哐= 0 p l u - i o ( q ) n “= o ，得证。 四川大学硕十学位论文 然后定义插值算子昱：l 2 ( n ) - - 9 ，并利用定理2 2 确定的算子 母：磷( q ) _ 圪，引入记号r = u - p u ，p = q - p 2 q ，则有如下逼近性质： + h m 。 c h 2 ，l m 。s c h l l q l l ， ( 2 1 7 ) 由空间k 和的关系，可得 ( a ( x ，r ) v ( 屿一只“，) + b ( x ，t ) v ( u 一墨甜) ，“) = o ，v “e ( 2 1 8 ) 记： “一= ( “一只) + ( 只“一) = r + f ， g q h = ( g p 2 q ) + ( p ；q q h ) = p + f 则由( 2 2 ) 和( 2 3 ) ，得： f ( 口)( 仇，v d + ( p ，v ) + ( ，) + ( 孝，v v h ) = 0 i ( 6 )( p ，“) + ( 茧f ) = ( a v 6 , + b v 6 ”，z h ) + ( a v r t + b v r ，“) 再结合( 2 1 8 ) 得到简化的误差方程： p ( 仍，) + ，v d + ( a v v d + ( 善，v 屹) 2 0 v v ( 2 1 9 ) l ( 6 )( p , t d + ( 善，) = ( 口( v 蜀) + 6 ( v f ) ，“)v “ 定理2 。4 设 “，q ) 和 ，吼 分别是j , n - j 题( 2 2 ) 和( 2 3 ) 的解，若 只”( o ) = u h ( o ) ，则有下列误差估计： 卜f f o + 厅地m c h 2 ( + m0 ：d s ) q - q 。扎 - c h 0 q l i + m ：+ f m ：d s ) 证明：在( 2 1 9 a ) 中取咋= f ，在( 2 1 9 b ) 中取靠= v f ， l ( 研，f ) 十( 缶，f ) + ( p ，v f ) + ( 孝，r e ) = 0 【( p ，v f ) + ( 善，r e ) = ( 口( v 蠡) + 6 ( v f ) r e ) 得到： ( a v e , ，v f ) + ( 白，f ) = - ( b v f ，v f ) 一( ， ，f ) 由于口。b 是有界函数，利用柯西不等式和g 一不等式及 ( a v e - , 凡) = 期缃 圭( 批，v 。 有o 6 婴型查兰堡主兰竺丝皇 i l 瓦d h 扣l ： c ( 1 l 研“i i 小i i v 曲 两边积分： i i v f l l f 船c 研枷+ 酬e ) 凼 8 v f “枷c f ：丞 再在( 2 1 9 a ) 中令v = 缶，在( 2 1 9 b ) 中取气= v 岛， f ( 聃，) + ( ，薪) + ( p ，v ) + ( 孝，v 缶) = 0 l ( p ，v ) + ( 孝，v 白) = ( 口( v ) + b ( v o ，v 9 , ) 得到： ( a v g , ，v 白) + ( 白，岛) = 一( b v g ，v 舅) 一( 研，蜀) 利用柯西不等式和e 一不等式，得： 0 v 缶l 培+ 0 缶0 ：s c ( i l 仇i i ：+ 0 v f0 ：) 将( 2 2 0 ) 代入( 2 2 1 ) ， ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 阮0 h 畦c 川e + c 钏吼聒凼 ( 2 2 2 ) 在( 2 1 9 b ) 中令= 孝，得 i i 手1 1 ：= ( 口( v 白) + 6 ( v f ) ，4 ) - ( p ，善) c l l a o + c ( 1 | v c j ：+ v f d 结合( 2 2 0 ) 和( 2 2 2 ) ，得到： 所以 枷 - c l l h 研眶) + c m e 凼 眶- 2 1 1 , 1 1 1 ：+ 2 1 m i ：2 1 1 7 h ：+ c 肭洳 劬4 ( 1 1 甜nm 弘) 7 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 四川大学颂十学位论文 又因为f 喇( q ) ，有吲i ：- l l v f l l ：。所以 卜肛2 i + 2 b l l 2 ；+ c m 畦西 c h 2 ( ：+ m 弘) ( 2 2 5 ) 腑一吼e 锸 c d l p l l h 绣) + c m 凼 - c h 2 ( 1 l q l l ：+ 1 1 “, 1 1 ：+ 批酗 ( 2 2 6 ) 综合上述估计便得定理结论。 注1 在一维情形下，对于问题( 2 3 ) ，当位移函数采用分段线 性插值，而通量函数“分别采用分段常数插值和分段线性插值时，两 种模式下得到的单元刚度矩阵相同。 注2 在二维情形下，对于问题( 2 3 ) ，当网格剖分平行于坐标轴 的时候，位移函数采用双线性插值，而通量函数吼采用p t 线性插值 和采用( 2 4 ) 的不完全线性插值时，两种模式下得到的单元刚度矩阵相 同。 从上可知，我们构造的通量函数比文献 5 中的更简单，计算量更 小，本文分析得到的位移收敛阶比 6 中的高一阶，结果得到了进一步 的改进。 3 混合有限元方法的全离散格式和误差估计 对时问项采用欧拉向后差分格式离散，该格式具有一阶精度；如 要达到二阶精度可以用c r a n k - n i c o ls o n 格式。 8 些坐垒兰竺! 兰堡堡墨 令：= ，山，其中f = 百t ，表示时日j 层的剖分，乱”= ! ，“4 = “( ) 勖一： ) ，a 。 一：vun_-vu一-ivu(t v u ，其中n 为时间层。 勖”= ) ，a 。 ”= _ _ 一，其中 为时间层。 f ) ( u 7 ， ) + 臼”，v h ) = 盯”，) v 6 ( 3 o ) 【( 6 )( 叮“，“) 一( v “? + b v u 7 ，h ) 20v “ 则对应的全离散格式为： 求“，z ” ，使得： l ( 口)( a ，( ，”，) + ( z ”，v v , ) = ( “，v )v v h ( 3 1 ) 【( 6 ) ( z 4 ，“) - ( a o ，v u ”+ b v u “，“) = 0v r 定理3 1组合格式( 3 1 ) 的解的存在唯一性。 证明：方程组( 3 1 ) 是关于u ”，z “的线性方程组，因而解的存在 唯一性等价于相应的奇次方程组仅有零解。 令：u ”1 = o ；v u ”1 = o ；f “= o ；得到： 卜嗜v n ，v ) + v v h ) = o 圪 ( 3 2 ) 【( ( z ”砧咆罟唧叽咖o m 在( 3 2 a ) q b 令h = u ”；在( 3 2 b ) q a 令气= v u “得： b ( 石v n ，扩) + ( ，刚夸o b ( w 卜帆罟唧u n , v o 两式相减得到： ( 罟) + ( 詈柙以v = o 即。 ( u “，u ”) + ( a v u “，v u ”) = 一( 吨v u “，v u ”) 9 四川大学颂士学位论文 0 u “惦+ c0 v 1 1 0 2 _ c a t0 v 扩i e 对于充分, j q h t ，有 c 厂”惦+ cj f v u 41 1 ：- o 所以有：0 l i o - - o ；0 v i o - - 0 ；从而：u 。= o e ( 3 2 6 ) 中令“= z ”得： ( z ”) ( 罟地v z 弘。 即： i i z ”1 1 ：- - 基l l v v ”l i 2 + c l l v u ”l g 因而：0z ”= 0 ，故z “= 0 ，从而问题( 3 1 ) 的存在唯一性得证。 为进行误差估计，先给出如下定理： 定理3 2 对给定的叫( q ) ，存在唯一的( 只“) “e 圪，满足： ( 口。v ( “? 一( p i “) ? ) + b v ( u ”一( p l “) “) v v ) = o ，v v c 月：( q ) ( 3 3 ) 证明：定理3 2 等价于下列问题只有零解： ( v ( n 甜) ? + 以v ( a 材) “，v ) = o ，v v c ：( q ) ( 3 4 ) 在( 3 5 ) 中令vv = v ( p “) ”得： ( 口甲( p l “) ? + b 。v ( p 1 “) 4 ，v ( p l “) ”) = 0 因为： ( v ( p ? ，( a “) “) = j l 磊d 怕；( p ：一三( ( p l ”) ”，( p ，“) ”) 所以： 圭瓦di i 口；( p ：一圭( ( a 甜) ”，( a “) “) = _ 瓦v ( a ) ”，v ( p l 甜) ”) 所以由坏等式：i l 瓦do 口；( p ，甜) “幅 圭和毒( 削川胳刚( 肿川1 2 1 0 四川大学颂i 哗位论文 对f 积分得：i iv ( p “) 4i i ： - cd lv ( p ”) 。i i 2 d s 由g r o n w a l l 引理： 8v ( p ，“) 40 ：= 0? ( p l “) “h ：( q )( p “) ”= 0 ，得证a 然后，定义插值算子b ：r ( q ) 寸，并利用定理3 2 确定的算子 只：h ；( q ) _ 圪 记： u ”一u ”= ( ”一( 只“) “) + ( ( 只“) ”- u ”) = 叩”+ f “， 9 4 一z ”= ( g ”一( b q ) “) + “6 q ) 4 一z 4 ) = p ”+ 善“ 则，7 ”、p 。满足下列逼近性质： 0 口”8 。+ l ir 80 。c 2i l 51 1 2 , 0p “i h c h0g 。“， ( 3 5 ) 相应的： 一a ，( ，= ( 砰一( 只“) ? ) + ( ( 只) ? 一a ，( 只) ”) + p ( 鼻“) “一a ，( ，) = 彬+ ，+ a ， v 矿一a ，v 【，”= ( v 嵋一取只“) ? ) + ( v ( 即) ? - 8 。颚置) + ( 色v ( 只“) ”一口v 矿) ；v w + v r ”+ a v ， 由空间k 和的关系，可得： ( 口。v ( u 7 - ( p l “) ? ) + 吒v ( “4 - ( p i “) “) ，“) = o , v r 纾j ( 3 6 ) 则由( 3 0 ) 、( 3 1 ) 得： ( 口)( 矿，) + ( p ”，v v ) + ( o , q ”，) + ( f ”，v ) + ( r ”，v ) = 0 ( 6 )( p ”，) + ( 善4 ，“) = ( a o ，v ，+ v ，) + 屯v ，靠) + ( v w + “甲矿，“) 由( 3 6 ) 得到简化的误差方程为： p川) + ”夕“或，”啪“r 夕y 以) - o ( 3 7 ) i ( 6 )( p ”，“) + ( 善“，f ) = ( 口玎a ，v f “+ v r ”) + b v g ”，f ) 其中： ，= ( 异雄) ? 一a ，( 只“) 4 v r ”= v ( 只“) ? 一a ，v ( 只“) “ 些型盔羔竺! ：兰堡堕墨 显然有： 0r “惦c a tf 0 ( 只“) 。d s ( 3 8 ) -一0 ov r ”临c a tf 。i iv ( 只“) 。i i d s ( 3 9 ) 月1 0 定理3 3 若h 删= u o ，令1 1 u p 0 2 h m 叫a x l l u t 晾则有下列误差估讨 o “”一u ”8 。+ 矗o “”一c ，“i h - c h 2 ( 1 1 “”o ：+ f l “pl l ：) + c & t f ( 1 1u ao 。+ 1 1v “。i i o ) a s 9 4 一z ”1 1 0c h ( 1 lq i l l + l l “? | 1 2 + o “严0 2 ) + c a t 【( 1 1 “。i i 。+ jjv “。i h ) a s 证明： 在( 3 7 a ) 中令h = f ”，在( 3 7 b ) 中令“= v 广，得到： f ( 口) ( ，妒，f ”) + ( p ”，v f ”) + ( a 。f ”，f ”) 十( 善”，v f “) + ( ，“，f ”) = o ( 3 1 0 ) ) ( ，v f ”) + ( 善”，v f “) = ( 以( a v f “+ 聊”) + 以( v f ”) ，v f ”) 两式相减，则： ( 0 7 ，f “) + ( a 。f ”，f ”) + ( i n ，f ”) = - ( a 。( a ，v f ”+ v r ”) + 以( v f ”) ，v f “) 则： ( 口。a ，v f ”，v f ”) + ( a ，f “，f ”) = 一( w ，f ”) 一( 6 。v f ”，v f ”) 一( ，”，f ”) - ( a 。( v r ”，审f ”) 由于，既是有界的，利用( 3 8 ) 、( 3 9 ) 、柯西不等式y a n g 不等式及： 1 1 1 ( 以a ，v 广，v ，) = 寺a ，oa i v q ”崃一去( 口。v ，v f ”) 有： a ，i i v 5 - ”嵋柏，0 f ”i i ：- c ( 1 l 臂蛙+ 1 1 ，嵋+ i i v 5 - 。惦) + 锄印i ( 只“) 。i c + i i v ( p , ) 。i i ：) d s 将匕式从1 到n 求和： 8v f ”i i ；+ i if ”临c f ( 1 1 叩i i + i if i i ：+ i iv f i l o ) ，l l + c a t 2r ( i | ( 只“) 。幡+ i iv c p , “) 。哟西 1 2 刚川大学硕 学位论文 对于充分小的，利用离散g r o n w a l l 弓i 理，得到 i i v 广川：础到删) ( 3 1 1 ) + c a t 2 f ( | l ( 只“) 。, 0 2 + i iv ( p , “) 。哟凼 再在( 3 7 a ) 中令v = a ，f ”，在( 3 7 b ) 中令靠= a ，v f ”，得到： ( 叩? ，a ，f ”) + ( p “，a ，v g - ”) + ( a ，f ”，a ，f ”) + ( 掌1 ，a ，v f ”) + ( ，”，a ，f ”) = 0 ( 3 1 2 a ) ( p ”，a 。v f ”) 十( f ”，a 。v q ”) = ( 口。( a ，v f ”+ v r “) + 以( v f “) ，a ，v f ”) ( 3 1 2 b ) 两式相减，则： ( 7 7 7 ，a ，f ”) + ( a f 8 ，a ，f ”) + ( ，”，a ，f ”) = - ( a 。( a 。v f 4 + v r ”) + “( v f ”) ，a ，v q ”) 则： ( a , o ，v f ”，a ，v f ”) + ( 巩v f ”，a ，v f ”) = 一( 矿，0 ，f “) 一( a ，f “，a ，f “) - ( r 4 ，a ，彳”) 一( 口。( v r 4 ) ，a ，v f “) 移项： ( a ，v f ”，0 ，v f ”) + ( a ，f ”，a ，f “) = 一( 矿，0 。f ”) 一( 6 。v f “，a ，v f ”) - ( r “，a ，f ”) 一( 口。( v r ”) ，a ，v q “) 同样由于口。，以足有界的，利用柯西不等式和砌棚；等式有： 0 0 , v q ”l l ：+ 0 0 , q “l l ；c ( 0 矿i i ：+ 0 ，”l l ：+ i l v ，”i l ：+ l i v f “l i ：) 结合( 3 8 ) ，( 3 9 ) ，( 3 11 ) 和充分小的f 得到： 0 0 , v e - ”惦+ 1 1 a ，f ”1 1 ：- - - c r 州幡 即： + c a t 2r ( | f ( 只“) 。躲+ i i v ( p , “) 。咖出+ c ( 槲哟 ( 3 1 3 ) 在( 3 7 b ) 中令l h = 善” ( p ”，善”) + 口( 善”，善”) = ( c l n ( a ，v f ”+ v r ”) + 以( v f “) ，善”) 一 婴型查兰竺兰壁丝塞 一 _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ 。_ _ - 。_ _ 。 i i 善”i 1 0 2 = ( ( a ，v f ”+ v r ”) + b ( v 9 ”) ，孝”) 一( p “，善”) c ( 1 l p ”i i ：) + c ( 1 l a ，v ，i i o + i i v ，t l ；+ 0 审，”哟 结合( 3 1 1 ) 和( 3 1 3 ) 得到： 惦恤2 如( 只”) 。肌i i v ( e , “) 。1 1 0 2 ) d s + c ( 1 l 彬i i ：+ i i 户”i i ：+ c 出吲哟 i = l 又： 0 ( 只“) 。i i o 1 1 ( 只“) 。一“。i i 。+ i iu 。i i o 1 1r 。i i o + i i ni i o i iv ( s u ) 。1 1 0 矧v ( 只“) 。- g r u 。+ v u 。1 1 0 1 1v r 。| i o + i iv u 。i i o ( 3 1 4 ) 根据( 3 8 ) 和( 3 9 ) 、( 3 1 1 ) 、( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 得到： u “一u ”i i 0 2 - 2 1 1r ”i i ：+ i if ”i i 0 2 _ c ( 1 lr ”i i ：+ a t e i i ，7 jo ：) i - 1 + c a t 2 细钆肌i i 肌ov 巩肌v 哟凼 茎。4 ( 盼i l “哟+ c a t 2 脚略+ i i v 哟凼 ( 3 1 5 ) 因为f ”硪，有i i ，1 1 0 2 - 1 1v f ”噍由i i “严0 的定y k n x = f 。，可得 i i “1 一u ”1 1 , 2 - - 2 1 1r ”i i ；+ 2 i i ，i i ：- c ( 1 l 矿i i ：+ f i t s ) l i l + c a t 2 f ( 1 1 , 1 。肛1 1 肌i i v r h , 肌v 凼 - c h 2 ( 肛膊哟+ c a t 2 如略+ i iv 哟凼 ( 3 1 6 ) i i 矿一z “躬2 1 1 矿惦+ 20 孝”惦 c h 2 ( 懈屺+ 忖孵+ j i 圹哟+ c a t 2 如畸+ i i v 哟凼( 3 1 7 ) 所以； 1 4 阳川j 、学硕十学位论文 8 砧”一u “f | o + j j l f | u ”一u 4 i c 佟2 ( h “”i f 2 + f f “：n “h 2 ) + 叫n i i 。+ i i v u 3 1 8 i iq ”一z ”8 。- c h ( 1 lu , 1 1 2 + i l q ”i i i + i iu 严1 1 2 ) + c a t c ( 1 l “。i i 。+ ov 甜。i i o ) d s ( 3 1 9 ) 综合以上分析知结论成立。 ， 4 组合有限元方法的半离散格式和误差估计 4 1 组合的变分格式 由( 2 2 ) 得到如下变分格式： 鼢- “( a 吼( x 鬻t ) v u 镶b ( xt ) v u 力：0v 即r ：l 2 等 伟， i ( 碍，f ) ， ，+ ， ，f ) = e ( q ) 、。 ( “，v ) + ( 口( x ，t ) v u , + o ( x ，t ) v u ，v v ) = ( ，v ) v v ( v ) u( 4 1 2 ) 引入组合系数a ( 0 口 1 ) ，a x ( 4 1 1 ) + ( 1 一口) ( 4 1 2 ) ，得到组合变分形式 为：求( 叮，) r ( q ) t 4 0 ( n ) ，使得： f ( “”v ) + 口( 吼v v ) “l 一口) ( 口( 工，t ) v u ，+ 6 ( 茸，t ) v u ，v v ) = ( r ，订v ( v ) t t ( t a ) ( 4 1 3 ) l 口( g ，f ) 口( 4 ( 矗t ) v “，+ 6 ( 工，t ) v “，f ) = 0 v f e z 2 ( t a ) 4 2 组合半离散格式和误差估计 令圪，分别为联( q ) ，l 2 ( q ) 的有限维子空日j ，w h 如2 定义，则相应 于( 4 1 3 ) 半离散有限元计算格式为：求( 吼，u ) 呒，使得： f ( 口)( 曲，v ) + c r 国 ，v v ) + ( 1 一口) ( 口( 善，t ) v u n4 - b ( x ，t ) v u ，v v h ) = ( y ，v )v v ( 4 2 i ) 【( 6 )口( 哼 ，f ) 一口( 口( x ，t ) v u m + b ( x t ) v u ，f ) = 0v f 黟j 定理4 2 1组合格式( 4 2 1 ) 的解的存在唯一性。 证明：方程组( 4 2 1 ) 是关于u “，q 。的线性方程组，因而解的存在唯一 性等价于相应的齐次方程组仅有零解。 阴川丈学硕卜学位论文 令：f = 0 在( 4 2 1 ) ( 口) 中令叱= u t h 得： ( “晴，h n ) + o t ( 口 ，v u 晴) + ( 1 一口) ( 口( 工，t ) v u 瞒+ b ( x ，t ) v u ，v u 晴) = 0 在( 4 2 i x b ) e p 令f = v u m 得： 口( g ，v u n ) 一口( a ( x ，t ) v u m + b ( x ，t ) v u ，v u n ) = 0 两式相减得： ( 甜曲，“曲) + ( 口( 葺f ) v “曲+ 6 ( x ，t ) v u ，v u 瞒) = 0 ( 4 2 2 ) 由柯西不等式及勋嘲；等式及( 1 2 ) 可得： 0 u 。惦+ 吼i i v u 。i i ： - c l l v u 。惦+ e l l v u 。惦 即：8 “n | | ：+ 口10 v “曲l l ：s c0 v “ i l ： ( 4 2 3 ) 在( 4 2 1 ) ( 6 ) 中令f = v u 得： 口( q ，v 越 ) 一口x ( a ( x ，t ) v u m + b ( x ，t ) v u ，v u ) = 0 即： ( 口( x ，t ) v “， ，v u ) = ( q ，v u ) 一( 6 ( x ，t ) v “ ，v “ ) 因为： ( m f ) v , v u h ) = 三扣口；v 舷一l ( a , v u h , v u h ) 所以。 三和口心q h , v u h ) - ( 6 ( 硝) v u h , v u h ) + i ( o , v u h , v u , 一) 所以由不等式： 车a 一2 v u 惦s oq 姗v u i i + co v u 2 - l lq i i2 + c i i v u 1 1 2 j o v “惦办q o 2d s + c 0 v “一o2d a 由g r o n w a l l 引理： i i v 嘞略c d g 1 1 2d s 在( 4 2 1 b ) 中令f = g 得： l lq 2 = 口( 口( x ，t ) v “曲+ b ( 工，t ) v 材 ，v 甜 ) 利用坏等式和( 4 2 3 ) 1 6 ( 4 2 4 ) 四川大学颂十学位论文 i i q 。i i ：- c0 v 惦 由( 4 2 4 ) ，( 4 2 5 ) 得： ( 4 2 5 ) uq 。略c f 慨惦( 4 2 6 ) 由g r o n w a h 引理：知8q j j o