（计算机软件与理论专业论文）混沌时序的特征量分析及相空间重构研究.pdf

煳煳 at h e s i sf o r t h ed e g r e eo fm a s t e ri nc o m p u t e rs o f t w a r ea n dt h e o r y a n a l y s i so f c h a r a c t e r i s t i c so fc h a o t i ct i m e s e r i e sa n dr e s e a r c ho fp h a s es p a c e r e c o n s t r u c t i o n b ys u nb i n b i n s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t e p r o f e s s o rl i ns h u k u a n n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j a n u a r y2 0 0 8 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 = 正 思。 学位论文作者签名：苫。7 ，编材乡 日期：2 0 驴占2 8 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： e i 1 关键词：非线性检测；混沌时序；相空间重构；最佳嵌入维数：最佳延迟时间间隔；经 验模式分解 i i ，1 a n a l y s i so fc h a r a c t e r i s t i c s o fc h a o t i ct i m es e r i e s a n dr e s e a r c ho fp h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o n a b s t r a c t a sk n o w nt oa l l ，n o n 1 i n e a rp h e n o m e n o nr e s u l t sf r o ma l lk i n d so fm o t i o n sa n dt h e r e f o r e i tp e n n e a t e si n t oe a c hb r a n c ho fn a t u r es c i e n c ea n ds o c i e t ys c i e n c es i n c et h ec h a o st h e o r yw a s f i r s te s t a b l i s h e d ，e v e n ，i ng e n e r a lc a s e s ，c o m p l e xd y n a m i c a ls y s t e mc a n n o ts e tu pd e t e r m i n a t e m a t h e m a t i c a lm o d e l t h em a j o rr e a s o nf o rt h i si so u ri g n o r a n c e f o ru n k n o w nd y n a m i c a l s v s t e m s ，s u c ha st h ec o m p l e x i t ya n dv o l a t i l i t yo fp a r a m e t e r sa n db o u n d a r yc o n d i t i o n s o f d y n a m i c a ls y s t e m se t c a sf o r ag r o u po fd a t ac o l l e c t e do nt h es p o tf r o ma nu n k n o w n d v n a m i c a ls y s t e m ，w em u s ta n a l y z ea n dd e t e r m i n ei t sn o n l i n e a r i t yo f t h eo b t a i n e dt i m es e r i e s f i r s t l vf o rn o n l i n e a r i t yi san e c e s s a r yc o n d i t i o no fc h a o s b a s e do nn o n l i n e a r i t yo f t i m es e r i e s ， w eu n d o u b t e d l ys h o u l dt u mt os t u d y i n gc h a o t i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h ed a t aq u a l i t a t i v e l ya n d q u a n t i t a t i v e l y a saf o l l o w i n gs t e p ，s u c ha sc o r r e l a t i o nd i m e n s i o n ，t h el a r g e s tl y a p u n o v e x p o n e n t ，k o l m o g r o ve n t r o p ye t c o b v i o u s l y , o n l yq u m i t a t i v e a n a l y s i s i sn o te n o u g h ， e s p e c i a l l yf o rs o m ec o m p l e xn o n l i n e a rs y s t e ms u c h a sb i o l o g i c a ls y s t e m ，f i n a n c es y s t e me t c i nv i e wo ft h ei m p e r f e c t i o no fq u a l i t a t i v ea n a l y s i s ，p h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o np r e s e n t sa n e w a p p r o a c ht oq u a n t i t a t i v ea n a l y s i s i nf a c t ，o n l yb yq u a n t i t a t i v ea n a l y s i sc a nw eo b t a i n t h e i i 耐n s t i ca n df u n d a m e n t a lp r o p e r t i e so ft h en o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e ma n dc a n w er e s o l v e t h o s ed i f f i c u l tp r o b l e m sc o m p l e t e l ys u c ha se x a m i n a t i o n o rd i a g n o s i so fs y s t e ms i g n a ld e r i v e d f r o mc o m p l e xn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m t h er e s e a r c hw o r ko ft h i st h e s i si sp a r to ft h en a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fl i a o n i n g p r o v i n c en a m e d “t h er e s e a r c ho ft h ep r e d i c t i o nm e t h o d so r i e n t e dc o m p l i c a t e d i n d u s t r i a l o b i e c t s ”i tc r e a t e sm o d e lf o rp r e d i c t i o no fs i l i c o n c o n t e n t su n d e rd r a s t i c a l l yc h a n g i n g e s p e c i a l l y ，i tr e s e a r c h e st h e m e t h o d so fn o n s t a t i o n a r yt i m es e r i e sp r e d i c t i o np r o b l e ma n d p r e d i c t i o no f s i l i c o nc o n t e n t su n d e rd r a s t i c a l l yc h a n g i n g f i r s t l y ，t h e t e c h n i q u e s o f n o n 1 i n e a r i t ye x a m i n a t i o n ，c h a o t i cc h a r a c t e r i s t i c a n di n s p e c t i o np r o c e d u r ea r er e v l e w e d ， d e t a i l e ds h i t o g a t ed a t a ，t h er e c u r r e n c ep l o t ，c o r r e l a t i o nd i m e n s i o na n dl y a p u n o ve x p o n e n t ； s e c o n d l y i nv i e wo fs i n g l e v a r i a b l ec h a o t i ct i m es e r i e s ，t h ep r a c t i c a lt e c h n i q u e s o f p h a s e s p a c er e c o n s t r u c t i o nu s e di nc h a o t i ct i m e s e r i e sa n a l y s i sa r ei n t r o d u c e d m o u 曲t h e t t t 。0of- e x p e r i m e n t s ，v a l i d i t yo ff a l s en e a r e s tn e i g h b o r sa n dm u t a li n f o r m a t i o na r ea m 肌e d s o l v e d t h ep r o b l e mo fa r t i f i c i a la s s i g n m e n to fe m b e d d i n gd i m e n s i o na n dt i m ed e l a y ；a tl a s t ，a i m e d a tt n ec o m p l e x e dn o n s t a t i o n a r yt i m es e r i e s ，t h i st h e s i sb r i n g sf o r w a r d an e wm e t h o do fp h a s e s p a c er e c o n s t m c t i o nc a l l e de m f s ：f i r s t l y , d e c o m p o s i n gt h ec o m p l i c a t e dn o n s t a t i o n a r yt i m e s e r i e s , t h e nc o m p u t e r i n gma n dra n dc r e a t i n gm o d e l sf o rc o m p o n e n t ss e p a r a t e l yt og e ts e v e r a l v a i u e sa n dc o m b i n i n ga l lt h ev a l u e s ，w ec a n g e tf i n a lp r e d i c tr e s u l t c o m p a r e dw i t hf o r e c a s t e d r e 8 u l t sw h i c hb e f o r ea n da f t e rt h ed e c o m p o s i t i o na n dt h ep h a s e s p a c er e c o n s t m c t i o n f o r e c a s t p r e c i s i o no ft h i sm e t h o dh a st h eo b v i o u ss u p e r i o r i t y k e yw o r d s ：n o n l i n e a r i t ye x a m i n a t i o n ；c h a o t i ct i m es e r i e s ；p h a s es p a c e r e c o n s t m c t i o n ：b e s t e m b e d d i n gd i m e n s i o n ；b e s tt i m ed e l a y ；e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n i v e 一 0 一 ， 东北大学硕士学位论文 目录 目录 独创性声明i 摘要一i i a b s t r a c t i i i 第一章引言1 1 1 研究背景1 1 2 问题提出1 1 3 解决方法3 1 4 论文结构3 第二章混沌时序相空间重构的理论基础5 2 1 混沌时序与动力系统5 2 1 1 混沌的定义5 2 1 2 动力系统及其简单分类6 2 2 混沌时序相空间重构的理论基础6 2 3 本章小结8 第三章时序的非线性检测9 3 1 替代数据法的基本原理及检验方法9 3 1 1 零假设9 3 1 2 替代数据的产生1 0 3 1 3 零假设检验l l 3 2 数据测试1 1 3 2 1 测试步骤1 2 3 2 2 测试过程1 3 3 3 本章小结18 第四章时序的混沌特征及其检验1 9 4 1 混沌的确定性及检测1 9 4 2 非周期性和递归图2 0 4 3 自相似和分形结构2 3 4 4 初始条件的敏感依赖性2 4 v 东北大学硕士学位论文 4 5 数据测试 4 5 1 测试步骤 4 5 2 测试过程 4 6 本章小结 第五章相空间重构及参数的确定 5 1 相空间重构的主要方法 5 1 1 奇异值分解法( s i n g u l a r v a l u ed e c o m p o s i t i o n ，s v d ) 5 1 2 坐标延迟法( d e l a yc o o r d i n a t e s ) 3 4 5 1 3 导数法( d e r i v a t i v ec o o r d i n a t e s ) 3 4 5 1 4 滤波嵌入法( f i l t e r e de m b e d d i n g ) 3 5 5 2 最佳嵌入维m 的选取3 5 5 2 1 虚假最近邻点法( f a l s en e a r e s tn e i g h b o r s ，f n n ) 3 6 5 3 最佳延迟问隔 i 7 的选取3 7 5 3 1 互信息量法( m u t u a li n f o r m a t i o n ，m i ) 3 7 5 4 数据测试3 8 5 4 1 测试步骤3 9 5 4 2 测试过程3 9 5 5 本章小结4 5 第六章本文改进的相空间重构法4 7 6 1 非一致嵌入法( n o n - u n i f o r me m b e d d i n g ，n u e ) 4 7 6 2 经验模式分解( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ，e m d ) 4 8 6 3 支持向量机( s u p p o r t e dv e c t o rm a c h i n e ，s v m ) 4 9 6 4 基于经验模式分解的相空间重构方法5 3 6 5 数据测试5 4 6 5 1 测试步骤5 4 6 5 2 测试过程5 4 6 6 本章小结5 8 第七章结论5 9 7 1 本文主要工作5 9 7 2 今后研究工作6 0 参考文献6 1 v t i ， i 东北大学硕士学位论丈 致谢 攻读硕士期间发表论文情况 v i i - j 方法，进行高炉热状态的生铁硅含量预测。 1 2 问题提出 高炉铁水硅含量的预测可以归属于时间序列预测问题，对该问题的研究主要包括： 数学模型方法( 机理模型和统计模型) 【6 7 ，引，人工智能方面基于知识的传统专家系统方法 9 , 1 0 1 1 1 和神经网络方法【1 2 , 1 3 , 1 4 1 等等。在实践过程中，这些方法存在着不同程度的问题。其 东北大学硕士学位论文 第一章引言 中，基于数学模型方法建立的方程是对高炉铁水硅含量变化过程理想化的描述。由于高 炉过程非常复杂，是一种在正常炉况和异常炉况之间转换的连续非线性动态生产过程， 而且由于高炉内部的生产条件十分严酷( 乳膏温、炉尘等) ，许多高炉内部的数据无法直 接测量造成信息不全，无法建立出完全符合高炉的数学模型，迄今为止还没有任何一种 数学模型能很好地模拟高炉铁水硅含量变化的实际过程。基于知识的传统专家系统方法 的主要缺陷在于其缺乏学习能力。传统的专家系统中知识库的建立，往往是通过知识工 程师收集调查方式来向知识库中添加规则。这一过程漫长而繁琐，受人为因素影响很大， 成为了专家系统的瓶颈，限制了专家系统的应用和推广。采用神经网络技术进行铁水硅 含量预测引起了各国专家的注意，主要使用改进的b p 网络作为建模及预测的工具。其 中，东北大学的王玉涛p s 等人研究的神经网络与时差方法相结合的铁水硅含量预测模型 是一种较好的预测模型，相比单一的b p 网络大幅提高了预测命中率。东北大学的林树 宽【l6 j 等人提出了一种经验模式分解和支持向量回归相结合的非线性、非平稳时间序列预 测建模方法，在太阳黑子数据集上进行的仿真试验以及在高炉铁水硅含量预报上的应用 均表明，这种方法的准确性明显高于传统的建模方法，说明该方法对非线性、非平稳时 间序列的预测建模是有效的。 然而在研究高炉铁水硅含量预测模型的过程中，笔者注意到以下的问题： ( 1 ) 在由实验数据重构原动力系统模型时，以上建模方法普遍采用如下三个步骤： 根据经验人为的给定嵌入维m 和时间延迟间隔r ，重构原动力系统相空间；利用支 持向量机或人工神经元网络进行机器自学习；在所建立的模型上进行预测，和真实值 进行比较。首先在指定嵌入维m 和时间延迟间隔r 时主观成分太多，针对不同的系统需 要做大量的实验才能大致确定m 和f 的大小，同时，若第三步出现预测误差比较大的情 况时，到底是第一步中的嵌入维m 和时间延迟间隔_ r 的选取不合适，还是第二步中学习 机的参数选取不合适，这种情况在实际应用中经常出现。 ( 2 ) 实际生产、生活中大量随机现象的统计特性明显依时问变化，表现出明显的 非线性、非平稳特征。一般来说，这类时间序列的分析与处理要比平稳序列复杂得多， 尚无统一、规范的方法。东北大学的林树宽【1 6 】等人对这类时间序列进行预测建模，基本 思路是将非平稳时间序列化为若干个平稳序列进行处理，然后再进行非线性组合。即通 过经验模式分解( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ，e m d ) 将原时间序列分解为若干个平稳 序列和一个趋势项，然后分别建立每个平稳序列和趋势项的预测模型，最后将各平稳序 列和趋势预测模型进行非线性组合，得到原始非线性、非平稳时间序列的预测模型。但 是从动力系统的角度来看，每个平稳序列对应动力系统相空间中的一维，而动力系统在 各维上的伸缩率是不一样的，也就是说，每一维上的l y a p u n o v 指数不同，这样就导致 2 东北大学硕士学位论文 第一章引言 了在各维上的嵌入维数m 和时间延迟间隔f 应该不具有一致性，但是，在实际应用中， 我们往往忽略了这个问题。 1 3 解决方法 非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学。它是2 0 世纪6 0 年代以来，在 各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性学科，被誉为2 0 世纪 自然科学的“第三次大革命”。科学界认为：非线性科学的研究不仅具有重大的科学意 义，而且具有广泛的应用前景，它几乎涉及到自然科学和社会科学的各个领域，并正在 改变人们对现实世界的传统看法。在非线性科学的研究中，已涉及对确定论与随机论， 有序和无序，偶然性与必然性，量变与质变，整体与局部等范畴和概念的重新认识，它 将深刻地影响人类的思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。一般认为非 线性科学的主体包括：混沌( c h a o s ) 、分形( f r a c t a l ) 、孤子( s o l i t o n ) 。 混沌理论自上世纪六、七十年代初步问世以来，不仅改变了几百年来在人们思想中 占统治地位的拉普拉斯确定论( 即确定性方程得出确定性结果) ，同时它也深刻地影响c ” 着数学、物理学等科学中的多个分支。混沌数据的特征分析及相重构技术是混沌理论在 实际中得以广泛应用的一个重要标志，其首先由g r a s s b e r g e r 等人于1 9 8 7 年提出重构动 力系统的理论方法，通过现场采集即时数据，分析产生该组数据的内在动力系统的特征， 如分数维、l y a p u n o v 指数等从而可以进一步还原出原动力系统的模型。由于混沌运动是 自然界中一种普遍运动形式，因此混沌数据的特征分析及重构在国民经济、生产生活的i 各个方面如信号处理、各种动力系统的混沌状态检测及状态预报等方面显得尤为重要。 针对上面提出的问题，本文从以下方面来解决： ( 1 ) 利用混沌时间序列分析中的相空间重构技术( 虚假最近邻点法和互信息量法) ， 直接由实测数据计算出原动力系统的嵌入维数m 和延迟时间间隔f ，重构原动力系统， 免去人为指定m 和f 的弊端。 ( 2 ) 先对实测数据进行经验模式分解( e m d ) ，并利用非一致嵌入法( n u e ) ，对 各维数据分别计算嵌入维数m 和延迟时间间隔r ，再重构原动力系统。 ( 3 ) 进行非线性预测实验，验证( 1 ) 、( 2 ) 方法的好坏。 1 4 论文结构 本文主要针对来自观察动力系统的混沌数据或现场观测所得未知动力系统的单变 量时序，通过对时序的非线性特征检验以及混沌特征检验，在证实时序的混沌特性后， 利用延迟嵌入法重构吸引子的相空间，并结合某些实例进行相空间重构方法的探讨。 3 东北大学硕士学位论文 第一章引言 基于此本文从以下几个方面的内容进行论述： ( 1 ) 主要概述本文研究的实用背景和现实意义，对于本文将要展开的讨论作理论 上的介绍，同时也对本文所叙内容作一个简单扼要的说明和阐述。 ( 2 ) 主要对混沌时序相空间重构中涉及到的有关定义、定理作简单介绍，同时阐 述混沌时序相空间重构的理论基础。 ( 3 ) 结合具体实例，介绍对现场采集或“观测 来自某未知动力系统的一组数据 分析其非线性特征的常用方法，并通过数值模拟加以检验。 ( 4 ) 结合具体实例，分析时序的混沌特征并加以数值模拟。 ( 5 ) 从单变量混沌时序入手，介绍目前应用较广的重构相空间的方法及其重构的 思想，分析和比较文中所提及到的每一种方法中最佳嵌入维数和最佳嵌迟时间间隔的选 取方法。并通过试验验证了虚假最近邻点法( f n n ) 和互信息量法( m i ) 的有效性。 ( 6 ) 结合非一致嵌入法的思想和经验模式分解技术，针对非平稳时间序列，提出 一种新的单变量时序相空间重构方法，并对相关结论进行实验仿真。 ( 7 ) 总结本文中的创新和有待改进的地方。 4 糠二；，一：? 、? 。i 一一。，t r t o ：一、：z 二。1 t ，。、二、 东北大学硕士学位论文 第二章混沌时序相空间重构的理论基础 第二章混沌时序相空间重构的理论基础 本章主要对混沌时序相空间重构中涉及到的有关定义、定理作简单介绍，同时阐述 混沌时序相空间重构的理论基础。 2 1 混沌时序与动力系统 2 1 1 混沌的定义 混沌是非线性模型所产生的复杂的不规则的动力学行为，这种不规则的现象在大自 然中普遍存在，但是由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未为人们所彻底了解，因此 关于混沌还没有一个完全的定义，目前已有的定义只是从不同的侧面反映了混沌运动的 某些特性，其中最著名的是l i y o r k e 的混沌定义。 l i y o r k e 定义：区间上，的连续自映射以) ，如果满足下面条件，便可确定它有混 沌现象： ( 1 ) 的周期点无上界：厂具有任意正整数周期的周期点，即对任意自然数刀，有x ，使厂0 ) 鼍( 非动点动点胛周期点) ； ( 2 ) 闭区间，上存在不可数子集s ，满足： 对v x ，y s ，当x # y 时，有 l i m s u p i f ”( x ) 一厂”( j ，) i 0 ( 2 1 ) 对v x ，y s ，有 l i m s u p f “( x ) 一厂”( y ) l = 0 ( 2 2 ) 对v x e s 和的任意周期点y ，有 l i m s u p i f ”( x ) 一厂”( y ) i 0 ( 2 3 ) 根据上述定义，对闭区间上的连续函数，如果存在一个周期为3 的周期点，就一定 存在任意正整数的周期点，即一定出现混沌现象。实际上该定义准确地刻画了混沌运动 的几个重要特征：存在可数无穷多个稳定的周期轨道；存在不可数无穷多个稳定的 非周期轨道；至少存在一个不稳定的非周期轨道。 d e v a n e y 定义：设y 是一个紧度量空间，连续映射炜y 如果满足下列三个条件： 5 ( 2 ) 拓扑传递 拓扑传递性意味着任一点的邻域在厂的作用之下将“撒遍”整个度量空间n 这说 明厂不可能细分或不能分解为两个在厂下相互影响的子系统。 上述两条一般来说是随机系统的特征，但第三条周期点的稠密性，却又表明系统具 有很强的确定性和规律性，绝非一片混乱，形似紊乱而实则有序。 2 1 2 动力系统及其简单分类 假设动力系统由以下m 个耦合的的常微分方程构成的方程组来描述： i d z ：f ( z ，) + 叩 ( 2 4 ) 口j 其中z 是m 维状态向量，f 是状态向量z ，时间，和控制参数u 的m 维函数，叩为 系统的动态噪声。动力系统的状态不可直接观测，但可通过以下观测函数进行观测： x ，= c ( z ，) + 占( 2 5 ) 其中咒是三维向量，三是同时测量的可观测量的数目。当l = i 时，x 是单变量时间序列， 当l i 时，五是多变量时间序列，是观测或测量噪声。 上式描述的动力系统，当f 不依赖于，时，称为自治的；当f 是线性时，称动力系 统是线性的，反之当f 是非线性时，称动力系统是非线性的；当r = o 时，称动力系统是 确定性的，当r o 时，称动力系统为随机性的。 2 2 混沌时序相空间重构的理论基础 经典的时间序列分析是把时间序列看成随机过程进行讨论的，整个理论以随机过程 为基础。随着混沌现象的发现，人们发现在确定性内部也存在着随机性，但这种复杂系 统的本质特征不是随机因素而是由非线性动力学造成的。对于这样的复杂系统一般无法 直接建立起精确的解析形式的数学模型，因此要用时间序列非线性动力学方法去研究。 6 - 东北大学硕士学位论文第二章混沌时序相空间重构的理论基础 相空间重构的思想最初见于统计学【1 7 1 ，后来由p a c k a r d 18 1 ，r u e l l 1 9 1 和t a k e n s 等引 入到动力学系统理论中，但这此工作都应依赖于有关数学理论知识。下面是w h i t n e y 论 证的有关紧致流形的嵌入定理。 定理2 1设么是中的d 维紧致光滑流形，若m 2 d 则典型映像：彳_ 胪是可 微嵌入。 与吸引子相关的嵌入分为两种类型，一种是拓扑嵌入，它在两个集合间建立连续的 一一对应关系，使它们的奇异性、闭轨、和极限集一一对应，另一种是是可微嵌入，它 在两个集合间建立光滑的一一对应关系，这就意味着吸引子的微分结构得以保持。显然， 可微嵌入比拓扑嵌入要求更为严格，与拓扑嵌入相比，可微嵌入能使吸引子的测度性质 ( 包括维数和指数) 保持不变。但是如果吸引子是包含分开结构的奇怪吸引子，可微嵌 入较难达到。 当a 不是一个紧致光滑流形，而是一个紧致分形集时，用盒子维数代替整数维数就 得下面的定理。 定理2 2设a 是中的紧致集合，盒子维数为d d ，若m 2 d d 则几乎所有的光滑 映像函：4 一是拓扑嵌入。 这里的紧致集合可以是光滑流形，( 当d d 为整数) 也可以是具有分形结构的奇怪吸 引子( 当d o 为分数) 。因此定理2 1 和定理2 2 中的维数称为嵌入维数，两个定理实质 是给出嵌入维数的下界。上述两个定理概括起来说，当集合具有整数维时，m 2 d + l ； 当集合具有分数维时，m c e i l ( 2 d o ) ，其中c e i l ( d ) 为大于等于d 的最小整数。 上述两个定理的一个具体实例是：二维平面上两条相交的直线不论怎么在二维平面 上平等移动，都不能改变相交的事实，但是如果在三维空间中移动直线，则一定能避免 相交。 类似于定理2 1 和2 2 的嵌入事实有很多，它们在相应的等价类中构成一个稠密的 开集。更近一步，定理2 3 和定理2 4 说明了这样的事实：任意选择一个光滑流形，它 是嵌入的概率为l 。 定理2 3设m 是表示连续动力系统的紧致不变光滑流形，假定集合彳只包含有 限个平衡状态，只包含有限个周期为以3 蚓的周期轨道而不含有周期是f 和2 f 的周 期轨道，并且周期轨道返回映像的j a c o b i 矩阵有互不相同的特征值，那么当嵌入维数满 足m 2 d 时，映像西：朋。月加是可微嵌入的概率为1 。 定理2 4设彳是表示连续时间动力系统的紧致不变集合，盒子维数为功。假定 集合a 只包含有限个平衡状态，只包含有限个周期为p 3 印g ) 的周期轨道而不含有周 期是f 和2 r 的周期轨道，那么当嵌入维数满足m 2 d o 时，映像痧：彳。尺肌是拓扑嵌入 7 东北大学硕士学位论文 第二章混沌时序相空间重构的理论基础 的概率为1 。 一般地，对时间序列选择嵌入函数时要选择一些特殊函数，这样就会带来各个分量 具有相同的信噪比，为了不破坏两个集合间的一一对应关系，就必须对集合包含周期轨 道的周期进行明确的规定，即不能含有周期是f 和2 f 的周期轨道。 事实上，尽管w h i m e y 给出了欧氏空间内的嵌入定理，并证明了把紧致流形嵌入到 r 烈内，但是没有给出嵌入映像的具体构造，只是w h i m e y 嵌入定理仍是目前的时间序 列重构相空间的技术基础。t a k e n s l 2 0 1 于1 9 8 1 年就紧致流形给出了具体选择嵌入映像的 定理，如下所示。 定理2 5设m 为m 维紧致流形，f 为m 上的向量场，西，是f 产生的流，y 是 肜上的光滑函数，由口k ，o ) = v o ) ，v ( 9 ，o ) ) ，v ( 妒2 所( 力) 广定义的口k ， ) ：m r 所是个嵌入。 t a k e n s 定理要求f 为流形m 上的微分同胚，且嵌入维数为2 m + l ，为了保证t a k e n s 定理成立，只要嵌入维数大于等于2 m + l ，这样就能保证嵌入空间中重构吸引子不会与 自身相交，从而保证相空间中吸引子与嵌入空间中重构吸引子上的点相互一一对应。当 应用于从动力系统观察到的时间序列时，它隐含地暗示了时间序列必须无限长，且有较 高的精度。t a k e n 定理对延迟时间间隔参数的选取也没有任何限制。然而在实际运用中， 选取不同的延迟时间间隔对重构出的吸引子的几何形状产生极大影响。同时，该定理也 从另一个侧面说明了存在一个光滑函数，至多以2 m + 1 个观察的时间序列值为自变量， 用此函数可以正确地预测时序的未来值。 2 3 本章小结 本章主要对混沌时序相空间重构中涉及到的有关定义、定理作简单介绍，同时阐述 混沌时序相空间重构的理论基础。 8 东北大学硕士学位论文第三章时序的非线性检测 第三章时序的非线性检测 从理论上讲，自然界中任一动力系统都是非线性的，但是有一些动力系统演化在较 长周期内非线性特性不明显，因此实际应用中，我们可将此动力学系统归结为线性系统。 如何从一个实际观测到的时间序列确定产生该序列的动力系统特性，一直是从事实验研 究和时间序列分析的研究者关心的问题。由于混沌机制只能产生于非线性动力系统中， 因此对于个未知的动力系统，一个最基本的问题就是系统是线性的还是非线性的。目 前检验实测时间序列非线性主要有两类方法即替代数据法和信息论泛函法两大类方法。 但信息论泛函法是基于信息理论的，其对空间的划分要求较高，实际操作时难度相对较 大，因此本文采用替代数据法对时序进行非线性检测。替代数据法( s u r r o g a t ed a t a ) 由 j t h e i l e r 【2 l 】等人在1 9 9 2 年首次提出，并在解决动力学中的非线性检验的问题上取得了较 好效果。 3 1 替代数据法的基本原理及检验方法 “ 在动力系统的数学模型己知的情况下，可以采用直接观测法、分频采样法和庞加莱 截面法等。但客观上，由于人们对未知动力系统的后验性，对于像太阳黑子、股票、海 底湍流等复杂的实际观测序列，尽管关联维数法、l y a p u n o v 指数法比较常用，但关联维 数、l y a p u n o v 指数等特征量的计算易受算法和其它条件的限制。同时对于一个实测的时 间序列，要想得到一个准确的关联维数，还需要有合理的测量技术和适当的数据处理方 法。或者说，虽然关联维数本身是一个不变量，但用g r a s s b e r g e r 等人提出的g - p 算法 等方法求关联维数时，关联积分和的求解却是尺度依赖的，而根据实测数据估计高精度 的l y a p u n o v 指数也是一件十分困难的工作，尤其是对数据带有噪声和点数严重不足的 情况。用替代数据法检验时间序列中是否存在非线性成分是j t h e i l e r 等人在1 9 9 2 年提 出的，利用替代数据法再结合其他混沌特征量可以判定混沌时间序列。虽然替代数据法 不能描述引起时间序列非线性的内在机制，但它对于甄别系统的非线性却相当有效，因 此它与其他方法结合使用时，可以使得两者的潜力得以充分发挥，所论证的结论更准确 可靠。 3 1 1 零假设 替代数据法检验时序的非线性性的基本思想非常类似于几何中的反证法或同一法， 其假定的前提是现场或实验采集的时间序列的数据集不是来自非线性系统，准确地说， 9 东北大学硕士学位论文 第三章时序的非线性检测 是假设原始序列来自平稳的线性高斯随机过程，并把这个前提称为零假设( n u l l h y p o t h e s i s ) ，下面的工作就是证明这个假定的前提即零假设是对还是错。具体做法是对 于上述采集的时间序列的数据集以适当的方式打乱( 或称为随机化) ，但又保持有原数 据的一些重要线性性质，如线性自相关函数、相同幅度分布、功率谱等，换言之，随机 化后的替代数据和原始数据具有共同的线性化特征。我们称这样经过随机化的数据是原 始数据的替代数据( s u r r o g a t ed a t a ) 。如果零假设成立，即原数据不是非线性的，那么 由于原数据和替代数据服从相同的分布，有相同的一些性质，两者的特征量取值应很接 近；如果零假设不成立，即原数据的确是非线性的，那么原数据要服从确定性的非线性 规律，而替代数据不具有这一性质，两者的特征量取值应有较大的差别。 3 1 2 替代数据的产生 替代数据法的关键是如何构造正确的替代数据，目前的算法主要有基于自回归滑动 平均模型( a r m a ) 以及限制替代数据与原始数据具有某些共同线性特征的相位随机化 模型，j t h e i l e r t 2 1 1 和m p a l u s 先后通过仿真实验证实后者生成的替代数据比前者生成的 替代数据更准确可靠，基于此，一般采用k a n t z 和s c h r e i b e r t 2 2 】在1 9 9 7 年提出的一种打 乱相位的构造替代数据方法，具体构造过程如下： 设原时间序列共有n 个采样点： ( 1 ) 对原时间序列做快速的离散傅里叶变换( f f t ) ，得到原时间序列中第k 个点 变换后的数据，如下 o k2 专善印。2 删，o “叫 ( 3 j ) ( 2 ) 将d k 乘以均匀分布的随机相位k ，其中k 为复平面上方程x n = 1 的一个复 根，显然有： t = n - kd ：= d t e 哦 ( 3 2 ) ( 3 ) 对反进行傅里叶逆变换，得到原数据的替代数据 成= 专反e ( i 2 础) n , 0 刀 i 9 6 时，实测时间序列与替代时间序列有明显差别，实测时间序列以9 5 的置信水平拒绝零假设；而当d i f f ( q ) _ 1 9 6 即表明原时间序列以9 5 以上的置信水平拒绝零假设，即原时间序列不是来自平稳的线性高斯随机过程。很明显， 我们要研究的太阳黑子年平均活动和9 6 年7 月份铁水硅含量时间序列具有非线性的特 征。 1 7 表3 2 原始数据和替代数据的关联维的统计量分析 t a b l e3 2t h ea n a l y s i so fs t a t i s t i c a lq u a n t i t yb e t w e e no r i g i n a ld a t aa n ds u r r o g a t ed a t a 数据类型 m = lm = 2m