（基础数学专业论文）关于morita+context环的若干研究.pdf

浙江大学硕士学位论文关于m o r i t ac o n t e x t 环的若干研究 m o r i t ac o n t e x t 最初是由m o r i t a 为证明关于单环结构的w e d d e r b u r n 定理引进 的【2 9 j ，后来以不同的形式成为研究具有极小单侧理想的本原环的基本工具m o r i t a c o n t e x t 是个重要的工具，通过它可以得到许多有用的结果：关于半素环的g o l d i e ，s 定理；半单a r t i n i a n 环的w e d d e r b u r n 的结构定理；利用m o r i t ac o n t e x t 环的性质来 研究a h 日与a 日之间某些性质的关系( 当h 是h o p f 代数及弱h o p f 代数) 人 们也常用m o r i t ac o n t e x t 环来构造环论中具有某些性质环的例子近年来，有许多 文献对m o r i t ac o n t e x t 环从各个不同的方向进行研究【3 1 3 3 i 本文的工作主要围绕 m o r i t ac o n t e x t 展开 本文第一章主要介绍m o r i t ac o n t e x t 环的相关概念、性质极其应用 第二章是对三阶m o r i t ac o n t e x t 环的若干探讨m o r i t ac o n t e x t 环是将两个比 m o r i t a 等价的条件更弱一些的环联系在了一起，我们知道，m o r i t a 等价的两个环具 有许多很好的性质，事实上，我们发现前者虽没有后者那么好的性质，但仍具有许 多性质受这点启发，我们提出了三阶m o r i t ac o n t e x t 环的定义，也即将研究对象 从两个环推广到三个环另外，从m o r i t ac o n t e x t 环中的两个环成为m o r i t a 等价环 的充要条件所受的启发，我们也试图从三阶m o r i t ac o n t e x t 环出发来定义三个环之 间的m o r i t a 等价，即建立t r i p l em o r i t ae q u i v a l e n t 的概念然后将注意力放在了三阶 m o r i t ac o n t e x t 环g 与环r 、s 和t 之间的性质关系上主要探讨了是下面这些重 要环时它们之问的性质关系， r e v e r s i b l e 环、z g 环，a b e l i a n 环、拟d u o 环，左v - 环、p p 环、素环、半正 则环、s u i t a b l e 环、半局部环、( 半) 完备环、半准素环、广义h o p f 环、c l e a n 环、p s 环，r i g i d 环、约化环、局部约化环、直有限环、n o e t h e r 环，m o 折稳定秩条件环、单 位1 一稳定秩条件环和n - 稳定秩条件环 关键词；r i n g ；m o r i t ae q u i v a l e n t ；m o r i t ac o n t e x t 环；p p 一环；广义h o p f 环； 第2 页 浙江大学硕士学位论文关于m o r i t ac o n t e 耐环的若干研宽 a b s t r a c t m o r i t ac o n t e x tw a si n t r o d u c e di n i t i a l l yb ym o r i t ai no r d e rt op r o v ew e d d e r b u r n t h e o r e ma b o u tt h es t r u c t u r eo fs i m p l er i n g l a t e r ，i tb e c a m eb a s i ct o o la sv a r i o u sf o r m s f o rr e s e a c h i n gp r i m i t i v er i n gw i t hm i n i m a lo n e - s i d ei d e a l m o r i t ac o n t e x ti sa ni m p o r t a n t t o o l ，b yw h i c hw ec a ng e tm a n yu s e f u lr e s u l t s ：g o l d i e st h e o r e ma b o u ts e m i - p r i m ei d e a l ； w e b b e r b u r u ss t r u c t u r et h e o r e mo f s e m i s i m p l ea r t i n i a nr i n g ；m a k eu s eo f m o r i t ac o n t e x t r i n g sp r o p o s i t i o n st os t u d yp r o p o s i t i o nr e l a t i o n sb e t w e e na 8 日a n da 月( w h e nh i sh o p f a l g e b r ao rw e a kh o p fa l g e b r ar e s p e c t i v e l y ) - ”a l s o ，p e o p l eo f t e nm a k eu s eo fm o r i t a c o n t e x tr i n gt oc o n s t r u c te x a m p l e so fr i n g sw h i c hw i t hs o m ep r o p o s i t i o n si nr i n gt h e o r y i nr e c e n ty e a r s ，t h e r ea r em a n yp a p e r sm a k i n gr e s e a r c hi n t om o r i t ac o n t e x tf r o mk i n d s o fd i f f e r e n td i r e c t i o n s 【3 1 3 3 】i nt h i sp a p e r ，o u rw o r ki sm a i n l ya r o u n dm o r i t ac o n t e x t s e c t i o no n em a i n l yi n t r o d u c er e l a t i v ed e f i n i t i o n 、p r o p o s i t i o na n da p p l i c a t i o n sa b o u t m o r i t ac o n t e x tr i n g s e c t i o nt w oi n a n eas t u d yo f3 - o r d e rm o r i t ac o n t e x tr i n g a sw ek n o w ，m o r i t ac o n - t e x tr i n ge s t a b l m h e dr e l a t i o n sb e t w e e nt w or i n g sw h i c hw i t hw e a k e rc o n d i t i o n st h a nt h a t o f t w om o r i t ae q u i v a l e n tr i n g s t w om o r i t ae q u i v a l e n tr i n g sh a v em a n yg o o dp r o p o s i t i o n s i nf a c t w ef o u n dt h a tt h o u g ht h ef o r m e rd i dn o th a v ep r o p o s i t i o n sa sp e r f e c ta st h a to ft h e l a t t e r ，t h ef o r m e rs t i l lh a v es o m eg o o dp r o p o s i t i o n s d r a wi n s p i r a t i o nf r o mt h i s ，w ee n t e r t h ed e f i n i t i o no f3 - o r d e rm o r i t ac o n t e x t ，n a m e l y , e x t e n d i n gt h eo b j e c to fs t u d yf r o mt w o r i n g st ot h r e er i n g s ，i na d d i t i o n ，w eg a i ne n l i g h t e n m e n tf r o mt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r y c o n d i t i o no nw h e nt h et w or i n g si nm o r i t ac o n t e x tr i n gb e c a m em o r i t ae q u i v a l e n tr i n g s ， w et r ys t a r tf r o m3 - o r d e rm o r i t ac o n t e x tr i n gt od e f i n i t et h e3 - p a i rm o r i t ae q u i v a l e n t a m o n gt h r e er i n g s t h a ti st os a y , c o n s t r u c t e dt h ed e f i n i t i o no ft r i p l em o r i t ae q u i v a l e n t - t h e nw ep a ya t t e n t i o nt ot h ep r o p o s i t i o nr e l a t i o na m o n g3 - o r d e rm o r i t ac o n t e x tr i n gc a n dr i n g s ：r ，s ，t w em a i n l ym a k eas t u d yo fp r o p o s i t i o nr e l a t i o n sw h e nt h er i n gw i t h f o l l o w i n gc o n d i t i o n sr e s p e c t i v e l y ： r e v e r s i b l er i n g 、z 吼r i n g 、a b e l i a nr i n g 、q u a s i d u or i n g 、l e f tv r i n g 、p p 一r i n g 、p r i m i t i v e r i n g 、s e m i r e g u l a rr i n g 、s u i t a b l er i n g 、s e m i l o c a lr i n g 、( s e m i ) p e r f e c tr i n g 、s e m i p r i m a r y r i n g g e n e r a l i z e dh o p fr i n g ，c l e a nr i n g ，p s r i n g ，r i g i dr i n g ，r e d u c e dr i n g ，l o c a lr e d u c e d r i n g ，d i r e c tf i n i t er i n g 、n o e t h e rr i n g 、r i n gs a t i s f i n gm f o l ds t a b l er a n g ec o n d i t i o n 、r i n g s a t i s f i n gu n i t1 一s t a b l er a n g ec o n d i t i o na n dr i n gs a t i s f i n gn - s t a b l er a n g ec o n d i t i o n k e y w o r d s ：r i n g ；m o r i t ae q u i v a l e n t ；m o r i t ac o n t e x tr i n g ；p p 一r i n g ；g e n e r a l i z e d h o p f i a nr i n g ； 第3 页 浙江大学硕士学位论文关于m o r i t ac o n t e x t 环的若干研究 第一章m o r i t ac o n t e x t 环概述 在本章中，我们首先引入了m o r i t ac o n t e x t 环的定义，然后对照m o r i t a 等价的 定义及其m o r i t a 不变量，给出了m o r i t ac o n t e x t 环的若干性质最后一节中我们讨 论了m o r i t ac o n t e x t 环的若干性质及其应用 1 1 m o r i t ac o n t e x t 环的定义 m o r i t ac o n t e x t 最初在f 2 9 1 中引进，用于证明关于单环结构的w e d d e r b u r n 定 理m o r i t ac o n t e x t 还是研究具有一个极小左理想的本原环的基本工具而且，在 许多地方，m o r i t ac o n t e x t 有着广泛的应用，虽然有时只是间接应用通过m o r i t a c o n t e x t 我们得到了各种结果：关于半素商环的g o l d i e 8 定理；得到了p r o e e s i 的一 些理想；作为一个特例得到了半单a r t i n i a n 环的w e d d e r b u r n 的结构定理；类似地， 这种方法在研究模v 的自同态环时也非常有效，我们得到了在下列条件下的关于 h o m ( v ，v ) 结构的z e l m a n o w i t z 结果；如果v 是无挠的有限生成的，r 是素的或半 素的；还得到了一个结论：本原环的自同态环仍然是本原环【1 9 1 下面来看m o r i t ac o n t e x t 环的定义 m o r i t ac o n t e x t ( a ，b ，v m 讥) 包含两个环a ，b ，两个双模a v s ，e 矸么和一对 双模同态妒：v o 口w a ，：w o a v b ，满足条件； ( 1 ) 妒是a - 双模，中间b 线性映射即有 a 妒扣。口, t o ) = 妒( a 廿。占硼) 妒0 0 口t t ，) a = 妒0 0 口w a ) 妒( b o b 钟) = 妒扣。口b w ) ( 2 ) 是& 双模，中间a - 线性映射即有 b ( 埘o 口) = ( b o f ) 妒( t i ，p a 口) b = ( t ，o av b ) 妒( a o 口) = 妒( o au ) ( 3 ) 妒( 固b w ) v = 庐( 甜囟 )( o a ) 叫= 妒扣o b 7 ) 该条件保证了c = ( ：v b ) l a ea b b vev wew 按照通常定义的矩阵 加法和如下定义的乘法： ：) ( 5 ；) = ( 。麓絮y 如a v 圆 + 奶v + b 彬) 第彳页 浙江大学硕士学位论文 关于m e r t aa m f e 时环的若干研完 为零同态，则c = ( 。? ) 就作成一个m o r i t ac o n t e x t 环但c 不是形式上( 下) 、钮0 ， 例设冗是任何结合环，取a = 曰= r o o ) ，y = 0 0 o ) ， ，0 0 0 、 w ：10 00 i ，则关于矩阵的通常乘法运算y 是( a ，b ) - 双模，w 是( 口，a ) 双 o ro c = ( a ：) 是个m o r i t a c 0 n t 既t 环由于y = 。= 旷故此m o r i t a c 。n t e x t 环之妒，均为零同态，而( a ：) 并非形式三角矩阵 1 2 m o r i t ac o n t e x t 环的若干性质 第5 页 浙江大学硕士学位论文关于m o r i t ac o n t e z t 环的若干研究 ( 4 ) 半索环 ( 5 ) 半素右g o l d i e 环 ( 6 ) 有右整体维数k 我们知道，m o r i t a 等价的条件比较强，可以证明如果两个环r 与s 是m o r i t a 等价环，此时总能存在一个m o r i t ac o n t e x t 环将r 、s 两个环联系在一起因为 r ms ，敌由定义知存在投射生成元m r ，使得s ! e n d m r 取m + = h o m ( m ，r ) ， 则s m r ，r 鳝是双模且，v m ，n m ，o t m ，令0 ：m + o s m + r ，口m = 口( m ) ； 吵：mo 兄嬲+ s ，m a ( 罪) = m 8 扮) ；贝4a m 冗，m ，o t s 从而可以验证 ( 三+ ) = t ( 二：) j r er , ses , mem ，a m + ，构成m o r i t ac o n t e x t 另一方面，我们还有； 命题1 2 2 两个环a 和b 是m o r i t a 等价的当且仅当存在双模f n 和a q b 和 双模满同态0 ，妒使似，b ，k 彤0 ，妒) 构成m o r i t ac o n t e x t 环【2 5 】 可见，m o r i t ac o n t e x t 环将两个环a ，b 联系在了一起，条件比m o r i t a 等价减弱 正如前面所述，m o r i t a 等价的两个环有许多性质可以继承，这里m o r i t ac o n t e x t 环 中的a 和b 虽然没有这么好的性质，但仍有一些好的性质，下面列举部分性质； 命题1 2 3 ( ab v ) 是个m o r i t a c o n t e x t 环，则在两个素理想集合； p s p e c a ip v w 与 p ，s p e c bi p w v 之间存在保序的一一对应关系，通过 下列方式；p 卜- p bj v b w 研( s p e c r 表示r 的所有素理想的集合) 【2 4 】 定义1 2 2 如果环r 有有限右一致维数且r 的右零花子满足a e c 条件，则称 环r 为右g o l d i e 环 命题1 2 4 ( a 口v ) 是一 卜m o r i t a c o n t “t 环，其中是有限生成的p 是a 的素理想使得a l p 是右g o l d i e 且y w 垡p ，让p ，是b 的相应的素理想则 b 是右g o l d i e 环f 2 4 1 命题1 2 5 ( ab v ) 是一卟 m o t i t ac 。n t e x t 环，即a 是素环且v 0 ” k 0 w 有v w 0 ，v w 0 ，v s w 0 如果w r 有有限一致维数，a 是右且左g o l d i e 环，则b 也是右且左g o l d i e 环1 2 4 ) 命题1 2 6 m o r i t ac o n t e x t 环( a ，b ，k 彬r ，p ) 满足下列条件： 妒( 矿b w ) = 妒( ，) = 0 b = 0 ， 第疗页 浙江大学硕士学位论文关于m a r i t ac , a n t e x t 环争著干研究 则如果a 是素环或左本原环则b 也是( 1 9 定理2 7 ) 定义1 2 3 如果对环r 上的每个自由左模a ，a 的任意两组基有一样的势，则 称环r 为i b n 环 d1 ，、 命题l 2 j 设v 为有限生成右b - 模，w 为有限生成左b - 模，则c 。( 品二) ， 为i b n 环当且仅当a 或b 为i b n 环( 【2 0 】定理) a b u j a b a l 和n a u m a n ( 2 0 0 1 ) 证明了m o r i t ac o n t e x t 环( a ，b ， 如，a q a ，p ) 没 有诱导出 与b 等价，但能诱导出两个环；西讨( 岛) 和e n d ( q a ) 是等价的不过， 通过对a 与口的直和分解仍能诱导出两个环之间的等价即： 命题1 2 8 m o r i t ac o n t e x t 环( a ，b ，a p b ，b q a ，r ，p ) 其中ab 为幺环，f ： p o bq 寸a ，p ：q o a p 斗b ，令r = p o 口q ，s = q o ap ia = 丁( 兄) ，b = p ( s ) 如果_ ，和百各自有单位e ，则其诱导出的m o r i t ac o n t e x t 环( 省，百，斧p 括， q 叼，_ 万) 建立了五与百之间的等价 而且如果r ，s 都有单位，则它们分别同构于瓦百 特别地，如果 p f ( a ) ，口q ( 口) 则_ 虿各自有单位e ，且e p i = p ， i q e = q ，a = a o 矾b = b o 矿其中u = a n n a p = a n n q a ，v = a n n b q = a n n p b ( 【1 8 定理2 ) 另外，还有人对 2 l 】中提出的关于m o r i t ac o n t e x t 环c 的整体维数估计的公开 问题进行了研究首先【2 1 】 2 2 1 对于( i ) v = 0 或w = 0 和( i i ) 妒= 0 或= 0 这两 种特殊情形给出了c 的整体维数的估计，所用的工具分别为范畴论和普序列，其方 法则是将c 看作一种平凡扩张但对一般情形。并无进展，后来【2 3 】采用了一种不 同的方法，即构造出一个新的四项正合列，以经典的维数转移公式作工具，给出了 环c 的整体维数的一个上下界估计： di ，、 命题l 2 国设c 2 【w “二j ，为左n o e t h e r 环，且v 为平坦右b 模，则l 、 7 妒，纠 m a z l g d ( a ) l g d ( b ) s l g d ( c ) 1 + m a x l g d ( b ) ，1 + p d ( 口) + l g d ( a v w ) ( 2 3 1 定理2 ) 之后，文献 2 8 】又引进了模的m 一投射维数和环的m 一左总体维数的概念，采用 比较新颖简便的方法，得到了一类m o r i t ac o n t e x t st = r 。e 船r e ) ，e r ，e 2 = e 和环的m 一左总体维数之间的相等关系： 第7 页 浙江大学硕士学位论文关于m o r i t ac o n t e x t 环的若干研究 定义1 2 4m 是左r - 模，左r - 模a 叫做m 一投射模当且仅当对任给的以m 为中项的短正和列0 十 m + 耳0 ，都有正和列0 h o m ( a ，n ) h o r n ( a ，m ) 一h o m ( a ，k ) _ 0 显然，所有的投射模都是m - 投射模，但反过来不一定成立，例如q z 是勿一 投射模，但q z 不是投射勿模 命题1 2 1 0 设t t 为带单位元1 的结合环，e 冗为幂等元，m 是左r - 模，t = ( 三如r e ) ，那么( 钟灿。r m ) l g d t = m l g 衄 命题1 2 1 1 设r 为带单位元1 的结合环，e r 为幂等元，m 是左t - 模，t = ( 曼兰) ，那么( r 1 2 t m ) l g d r = m l g d t 注；( 1 ) r 2 1 = f ( 三) i x i 删= l ，2 ) ，r l x 2 = f ( z ，镏) l x i 删= 、e z ， 、7 1 ，2 ) ，r 2 “是左t - 右r - 双模，r 1 2 是左r - 右t 双模 ( 2 ) ( 丑“2 0 t m ) l g d t t “2 圆7 脚一左总体维数，m l g d r 表示环r 的酢左 总体维数 1 3 m o r i t ac o n t e x t 环的几个例子 本节我们来看几个m o r i t ac o n t e x t 环的例子及应用 例1 3 1 如果e 是环r 的非零幂等元，则( 三塞) 是一卟 m o r i t a c o n t e x t 环按通常矩阵的乘法f 2 4 】 例1 3 2 令+ v = j ，d ”r ( v r ) ，s = h o m r ( v ，v ) p ：v s v 呻r 口和，妒) = ) 妒 为求值映射，即( 也奶为p 在”处的值妒：+ v 圆且v s 妒( 仍u ) = ( ，t ，则 m = ( r ，只k v ) 是一个m o r i t a c o n t e x t 环【2 4 】 由文献【2 6 】我们知道a 胆与以日之间有紧密的关系，下面这个例子则是通过 m o r i t ac o n t e x t 将它们联系在了一起一个基本的想法就是通过寻找环上的模之间 的关系来研究环之间的关系 例1 3 3h 是有限维h o p f 代数，且有一个s f i x e d 积分，则【a 日，a # h ， h a a 岍， 口j j r a a l t 】构成一个m o r i t ac o n t e x t 其中两同态定义如下； 令z f ：= t 日：h t = e ( _ 1 1 ) t ，v h h ，v a a ，v b a ，v h h 口：a 9 a h a - 4 * 日，护( 8 ，砷= a x b 第8 页 浙江大学硕士学位论文关于m a r i t ac ；m 矧繇髓营干研究 妒：a o d h a 斗a 日，妒( n ，b ) = 茁( 0 6 ) a s a a d h ，a t h a a h 构成双模，因为v a ，b a ，h 甄一a 日有： h ( a b ) = a t ( 6 ) ，b 卜a h = s 一1 ( ) ( b a ) h ( b a ) = ( h 6 ，a h + b = o 伪b ) 注：h 有s - f i x e d 积分是指：存在z 上使得s ( z ) = z 这显然包含了：j ；= ， 因为s ( 五) = 此时，牵j 用m o r i t a , c o n t e x t 环韵性质还能得到t ( 1 ) 如果以岍是半素的，则a 日也是半素的 ( 2 ) 如果h 是有限维半单h o p f 代数，a 是半单a r t i n i a n ，则a 日是半单a r t i n i a n ( 3 ) 下列两条件等价： ( i ) a 4 日是索环 ( i i ) a 是左且右忠实a $ h 模且a h 是索环 ( 4 ) 如果h 是有限维半单h o p f 代数，则a 怛一觋a 日如果满足下列条件； ( i ) a h h 是单的 ( i i ) a 是半单a r i t i n i a n 环且是左( 或右) a # h - 忠实的【2 6 】 相应地，推广到弱h o p f 代数也有这样的结果： 例1 3 4h 是有限维弱h o p f 代数，且有一个s f i x e d 左积分x ，a 是弱左h 模代数则m 日，a 8 皿a h a a $ h ，a l | h a a 一】构成一个m o r i t ac o n t e x t 其中两同态定义 如下： p ：a o 日a 斗a h 日， o ( a ，砷= a 2 ：b 妒：a o | 4 n 日a a 日，妒( o ，b ) = z ( a b ) ， v a a ，y b a ，v he 羁z f j l h a a 口h ，4 4 h a a 日构成双模，因为v b ，c a ，h 日，。，a 日有； ( a t b ) 上_ ( c i 如) = ( b 上- ( c # 九) ) ( c 4 ) ( b d ) = ( ( c i ) - a t ( 州 ) 一c = b ( h c ) c 一( 6 l ) = s 一1 ( 九) ( c b ) 2 7 第9 页 浙江大学硕士学位论文关于m o r i t ac o n t e x t 环的若干研究 例1 3 5l 是r - h o p f 代数体，a 是左l 一余模代数，通过p ：a lx ra ， 记4 ( 上，a ) = ，h o m ( l ，a ) i i ( r z ) = r l ( 1 ) ，( - f ) = ( o r , v r r ，z 工) ，b = 8 ( 三，a ) ia ( z 1 ) 一1 1 2o ra ( z 1 ) o = 1 lo ra ( z ) ，f 工) 得到两个双模：口( la ) a c ，c b 4 ( l ，a ) 通过： ，一d = f ( a 一1 ) a o ，4 ( 工，4 ) ，口a ( c a ) ( f ) ：= c a ( z ) = 串( c 0 ( 1 1 ) 一1 f 2 0 ( c 0 ( 1 1 ) o = ：1 0 ( c a ) “) 哥c z b ( v c g a b ) ( a 9 ) ( f 1 ) 一1 1 2 0 ( a g ) ( f 1 ) o = 1 0 ( a 9 ) ( d = = ：= g b ( v g l ( l ，a ) ，a b ) 则( 4 ( ea ) ，qu ( l ，a ) a c ，c b # ( l ， ) ， f g ) 构成一个m o r i t ac o n t e x t 其中 f 。g 定义如下： f ：a o c b 叶# ( l ，a ) ， o o c 入卜斗g - 入 g ：b o ( 二， ) a ( 一a o # ( 五， ) d 卜哼a ( 口一1 ) a of 3 0 j 注；( 1 ) 在此，假设l 是个r _ 双代数体且有a n t i p o d e ： v ：l - - - * l 踮r l ，v ( 1 ) = f + l 一5 z 扣r 。r b ，( _ = r 叩) 满足下列条件； ( 1 + ) 1 0 ( f + ) 2 l 一= z 0 1 五工 ( f 1 ) + 固( 1 1 ) 一 2 = z o l l o 百工 ( 其中m = 舢f q ，n = m p 月n ) 如果这样的a n t i p o d e 存在，则l 称为r - h o p f 代数体 ( 2 ) 一个r - 双代数体l 是一个置。一环且带有形一环的余乘：l l 冗l ， 余单位e ：l e n d ( r ) 使得； 口o ( x r i d l ) o a = a 7 0 ( f 如冗) o 其中丑。= 冗p r 印 0o ( i d lx r ) o = 矿o ( e r i d l ) o 口：( mx r p ) 置n - - - 4 m 冗p r n 第j 口页 浙江大学硕士学位论文关于簟打姚c o n t e 畦环的若干研室 ， o t ：mx r ( p r n ) 一m r p 冗n 0 ：m 置e n d ( r ) _ m ，o ( m o ，) = 丌- m ， ：e n d ( r ) x r m - - - 4 m ，( ，o m ) = f o ) m 第j j 页 浙江大学硕士学位论文关于m o r i t ac o n t e x t 环的若干研完 第二章m o r i t ac o n t e x t 环推广后的若干研究 在上一章中，我们主要讨论了m o r i t ac o n t e x t 环( 不妨称之为二阶m o r i t ac o n - t e x t 环) 的相关问题本章，我们在第一节，首先引入三阶m o r i t ac o n t e x t 环的相关 概念，并初步探讨了它与二阶m o r i t ac o n t e x t 环的关系。在第二至第九节中，我们 将注意力放在了三阶m o r i t ac o n t e x t 环c 与环r ，s ，t 之间的性质关系上本文所 述模均指酉模 2 1 预备知识 下面先给出三阶m o r i t ac o n t e x t 环的定义； 定义i i 1 三阶m o r i t a c o n t e x t ( r ，s z a ，口，g d ，刀，e 妒，包含三个环r ，s 霸 6 个双模r a s ，r b t ，s c k ，s d t ，t b r ，t 砖，和1 2 个同态； 妒a c ：a o s d - - - l , r 是r 双模、中间线性同态 怕f ：b o t 曰- + 月是皿双模、中间口线性同态 妒d f ：d o t f - s 是g 双模、中间b 线性同态 毋g ：c o 冠a - s 是且双模、中间皿线性同态 庐f 口：e o r b - + t 是口双模、中间皿线性同态 咖f d ：f o s d _ + t 是b 双模、中间g 线性同态 妒b ，：b 断，f _ + a 是左r 右s 模、中间b 线性同态 c a d ：a o s d _ b 是左兄右t 模、中间g 线性同态 怕e ：d o t e _ g 是左s 右r 模、中间b 线性同态 如口：c o r b - d 是左s 右t 模、中间r 线性同态 i ) 5 f c ：f o s g _ e 是左t 右r 模、中间g 线性同态 如a ：e o r a _ + f 是左t 右s 模，中间且线性同态 且满足条件； c a c ( 妒b f ( b l 圆丘) oc 3 ) = c b e ( b lo 如c ( 丘oc 3 ) ) c b e ( 妒a d ( a lo 如) oe 3 ) = c a c ( a loe v e ( d 2oe 3 ) ) a l c d f ( d 2o 厶) = c b e ( 妒a d ( a lo4 2 ) o1 3 ) c b f ( b lo 妒e a ( e 2oa 3 ) 1 = c b e ( b loe 2 ) a 3 a l 妒c a ( c 2on 3 ) = c a c ( a l0c 2 ) a 3 c a o ( a lo 妒c s ( c 2ob 3 ) 1 = c a c ( a loc 2 ) b 3 b l c f d ( f 2o 如) = c b f ( b lo ，2 ) 如 第旦页 浙江大学硕士学位论文关于m a r i t a 伪n 6 翻时杯的若干研竞 b l c e s ( e 2 b 3 ) = c s e ( b 1oe 2 ) b 3 c a ( c loa 2 ) c s = c l c a c ( a 2oc 3 ) c d f ( d lo ，2 ) c 3 ) = c d e ( d loc f c ( 丘oc 3 ) ) 妒d e ( c _ 8 ( 。lo5 2 ) oe 3 ) = c i c b e ( koe 3 ) ) c b f ( c s ( c lob 2 ) p ) = 咖口a ( c lo 唯憧f ( 6 2o 3 ) ) b d f ( d lo4 ) e a ( e 2od 3 ) = q b c a ( p s i d e ( d l 固e 2 ) 圆) 如口( c 19 c a d ( a 2od 3 ) = + c a ( e lo0 2 ) 如) 毋c 丑( 妒d 暑( 也oe 2 ) ob 3 ) = d l 毋e 8 ( e 2ob a ) ) c d f ( d 1o 丘) 如= d l c f d ( 1 2o 如) c f c ( c e * ( e loa 2 ) oc 3 ) = e l c a c ( a 2oc 3 ) ) c e s ( e lob 2 ) e 3 ) = e l c b e ( b loe 3 ) ) 如( od 2 ) 3 ) = 加c ( 1 1 妒d f ( d 2oe 3 ) ) c e a ( 咖f c ( f loc 2 ) on 3 ) = c ( c 2oa 3 ) ) c f s ( e lo6 2 ) 3 ) = c e a ( e l c b f ( 5 2o ，3 ) ) 1 1 c d f ( d 29 3 ) = c f d ( 1 1 固d 2 ) 厶 鼋z 条件保证t 了：c = ( ；) l r 冗，。只t 正。a ，6 ，c g d d ，e e ，f ) 第j 了页 、， 培 站 站 a a a ： 挖 弛 a a a u n n a a a ，j。 | | 、 h 西“眈匏丘您晚眈 ，。，一、， 机m n乱吼 r c e ，j 中其 塑兰查兰塑主兰竺笙圭薹! 丝型垫丝! 堡兰堑竺量士翌垄 a 1 1 = r l r 2 + b a c ( a l oe 2 ) + b b e ( b l oe 2 ) a 1 2 = r l a 2 + a 1 3 2 + c b f ( b l o ，2 ) a 1 3 = ”i b 2 + c a d ( a 1 圆d 2 ) + 6 l t 2 a 2 12 。l r 2 + 8 1 c 2 + ) d e ( d l de 2 ) 以2 2 = 1 ) c a ( e l o o , 2 ) + 8 1 8 2 + 妒d f ( d l o ，2 ) a 2 s = 如b ( c l 固b 2 ) + 8 1 d 2 + d l t 2 a s l = e l r 2 + f g ( ，l oc 2 ) + t l e 2 a s 2 = c s a ( e l 圆n 2 ) + 8 2 + t l 丘) a 3 3 = c s b ( c l 。k ) + 妒f d ( o d 2 ) + t l t 2 ( ( 兰萎圣) ( 圣至萋) ) ( 圣蔓差) = ( 三至茎) ( ( 萎至善) ( 兰至萎) ) 作成一个环，这里称之为三阶m o r i t ac o n t e x t 环显然，三阶m o r i t ac o n t e x t 环类包 例；如果e 是环r 的非零幂等元，= t e ，则r r e r f ) 是一 ( 茎三主) 构成三阶m o r t t a c 。n t e x t 环，则( ：；) ，( ；) ( ：b t ) 第彳页 浙江大学硕士学位论文关于m o r t a6 a n t e z t 环若干研党 首先，由( 量三三) 构成三阶m 嘶t a c 。n t 麟t 环出发，令b = 。= e = f = t = 。，则易证得ra ) o 成二阶m o r ；t a c 。n t e x t 环，同理可得s ；) ( 三；) g g 成- f f m o m a c o n t “t 环 反之，由( 考；) ，( ；) ，( ：；) 构成二阶m o r i t a c o n t e x t 聊， q b c a ( e loa 1 ) e a = c 1 妒a c ( a loc 2 1 妒肿：d o t f s 是g 双模、中间b 线性同态 咖f d ：f 圆s d + ? 是t 一双模、中间线性同态 且满足条件t 妒o f ( d lo ) d 2 = d l 砂f d ( 1od 2 ) c r d ( 1od 1 ) ，2 = ，1 q b d f ( d lo 办) 妒朋：b o t e + r 是r - 双模、中间b 线性同态 蚀b ：e o 置b + t 是弘双模，中间b 线性同态 且满足条件； 妒b e ( b 1oe 1 ) 1 ) 2 = b l c e b ( e lob 2 1 c e 口( e lob 1 ) e 2 = e l c b e ( b loe 2 1 ，r ab 、 但显然这些条件并不能保证使l csdi 构成三阶m o r i t ac o n t “t 环的条 e ft 件成立，从而，命题反之未必成立即，( 菩；) ，( ；) ，( ：；) 构成二 第j 5 页 浙江大学硕士学位论文 关于m o r i t ac o n t e x t 环的若干研究 阶m o r i t ac o n t e x t 环并不能推出 三阶m 鲥t a c 。n t 缸t 环(