（基础数学专业论文）高次素数幂模下与bernoulli数有关的同余式.pdf

致谢 y 7 3 8 2 5 8 本文是在孽师藜天薪教授懿悉心臻导下完成圈。感落导粪器静谆谆 教导和无微不至的关怀，让我在两年礤究生学习阶段学有所获。也 感谢师母林剐老蟛对我的关爱和照顾。 在完成_ l 毙文期闻，我懿薅冗周侠、黄学渊、隳媳憩怒丹等给了我 极大的支持和帮助，在此裘心地向饱们表示感谢! 阏时也对赢支持 我、鼓励我鹃家人辩髓友们表示深深地感谢l 浙江大学硕士学位论文 式 中文摘要 j i a n q i a n gz h a o 5 利用多重z e t a 函数部分和理论，得到了一个有趣的同余 对于奇素数p 3 ，有： 。是，去2 之绋。( m o d p )l + l + k = r | ，” i , j 。, k o 本文考虑了类似的求和 i i + i z + c 专1 + 2 ，+ 寺+ l = p t k 得到了一些结论。例如 + 善，+ ) = 3 - 3 p + 彬( m o d p 3 ) f _ 3 ，毫一z 等沪半是p 2 ( m o d p 3 ) s 是奇数 卜再b 2 p _ 2 _ s 一等州篆一t 3 s ( s + 3 ) 再b p _ l _ 3 删们s 是偶数 其它的同余式类似。 关键词 b e r n o u l l i 数，w o l s t e n h o l m e 定理，k u m m e ri 司余式， 刚 q 一争 b 上厂 孰 心叶 胁 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t u s i n gp a r t i a ls u m so fm u l t i p l ez e t av a l u es e r i e s ，j i a n q i a n gz h a o 5 e s t a b l i s h e da c u r i o u sc o n g r u e n c ef o ro d dp r i m ep 3 ： ，+ 磊，去一z 轧( m o a 内 t h ea u t h o rc o n s i d e r sa na n a l o g o u ss u l l l 。c 专1 + 2 。+ 与l k+ b + + k = p a n dd e r i v e ss o m ec o n c l u s i o n s a s + 毳，( + p 1 ；3 却+ b p _ 3 p 2 ( m o d p 3 ) i f s 2 ，3 ，p - 4 ，t h e n i + j + k = pc 軎+ 古+ 争 j “ ，卜以羔一z 等p 一半是p 2 ( m o d p 3 s 训 3 5 f 2 p 2 s 竺生) p + ( 塑坐一3 s ( s + 3 ) 坠l ) p 2 ( m o dp 3 ) si se v e n p 一1 一s 7 、2 p 一2 一s 2 p 一1 一s 7 。 m o r ec o n g r u e n c e sc a r lb ed e r i v e d k e yw o r d s b e m o u l l in u m b e r s ，w o l s t e n h o l m et h e o r e m ，k u m m e rc o n g r u e n c e 4 ，卜 浙溉人学硕士学位论文 高次素数幂模下与b e r n o u l l i 数有关的同余式 一o ( m o d p 2 ) ，其中p 是大于3 的奇素数。 譬三：j 半恕p 2 油酊) 1 ( 是城虽2 k c p - 2 删硝) 衔一l鬲k 。p ( m o d p 2 ) 蝴数 特别地，篓s 一譬b y - 3 c m o d p3 ，。 纠，乳卜引n 啦， 例如：塌= l ，骂= 一吉，岛= 吉，马。= o ( k o ) 。 事实上，有缀多数学家对镪含b e r n o u l l i 数的网余式徽过缨致的磅究。 1 8 5 0 年，k t m m l e r 6 证明了： 而b * u , - 1 ) + b ；墨b ( 黜d 力 其中，k = o ，1 ，2 ，p 是奇素数，b 是奇数满足：b o ( m o dp 一1 ) 。这个式子被称 为k u m m e r 嗣余式。e r i b e n b o i m 8 】和k 1 r e l a n d ，m r o s e n 6 ，都讨论了以卜豁 k u m m e r t y p e 同余式： 灏江丈学硬i 擎位挺文 黝，。害赫啾删尹”， 其中，p 是奇素数，b 行1 且6 0 ( r o o d p - 1 ) 。 2 0 0 0 年， z h i h o n gs u n 1 1 完蛰了前面e l e h m e r 的结论( 具体结论见引理 2 ) ，褥到芝委( 楚中蜘) 模矿蜃靛黼余式。毡还研究了另一耱与b e r n 。u 1 1 i 扭 p - i 有关的同余式：窆i = l 专，利用e u l e r 定理、k u i f 1 1 e r 定理褐捌的结论如 p 是大于5 的豢数，则： k a 2 ，4 ，p 一5 ， 喜砉；獬峨一t 季軎；学c 耘一2 是，p k ef 3 , 5 ，p - 4 喜軎一半 喜軎呼q 犯爸一蒜， ( m o d p 2 ) ( r o o dp 3 ) ( r o o dp ) ( m o dp2 ) j i a n q i a n g z h a oe s 巍用多重z e t a 黉数部分帮理论，对大于3 静素数，曾先 给出同余式： 。磊，面1 2 b p _ 3 ( r o o d p ) ， 2 0 0 5 ，c h u n g a o 美 1 】对于该嗣余式绘出y “一个麓单的诞鹅。闺铗，蔡天耘 1 0 】 对它遴雩亍了推广： 对p 3 ，正熬数 兰p - 2 ，有： 6 濒渡大学硕士学位论文 以及； ( r o o d p ) 2 k ( r o o d p 2 )2 l 脾 觏心 净，+ 羡，赤t r = 0 j 傅超丹得蓟了： ( i ) 当口+ + ，兰0 ( r o o d2 ) 时，s ( 甜，) 暑0( m o dp ) ( i i ) 某些特殊情况： s 0 ，2 ，2 ) ；0 ( m o dp ) s 0 ，1 ，) ；- 2 玩+ 2油o dp ) s ( 1 ，2 ，r ) = 一_ r - _ 2 绵，3 ( r o o dp ) 刚力= 型蔓警型( m o 本文考虑了类似鹃求魏式予： m 酣+ + 与1 1 ，l s _ p - 1 得到了一些结论。 当1 = 3 薅： 定理j ：p 是大于3 的索数，则： ( i ) ，+ 善，( * + 1 ) - = 3 - 3 p + b , _ 3 p 2 ( m o d p 3 ) ( i i ) 当s 2 , 3 ，p - 4 峨 。强 筹 l 1 翁 哟 甜 觚 日 与 l ，一壮 h 卜端 浙江大学硕上学位论文 。+ j + k = p ( 吉+ 7 1 + i * 叫，c 考羞一z 等沪半蛊专p 2 ( m o d p 3 ，s 是奇数 3 s ( b 2 n 一2 一s 2 p 一2 一s一三! 尘二生) p + ( 兰! 选一3 s ( s + 3 ) ：二l ) p ：( m o d 矿) 。是偶数 口一1 一s 71 、2 p 一2 一s 2p 一1 一s 1。 ( 面4 1 9 易+ 。) p + ( 5 雨7 3 9 b p + 。) p 2 ( m o 咿) c ，w 磊，击+ 专+ 击h 詈+ b p 沪呼一，b p 巾2 o d p 3 ， 9 一( 1 2 + 3 岛p - 2 + 9 b p 一1 ) p + ( i 3 + 3 垦p _ 2m 6 纬一1 ) p 2 ( m o d p 3 ) 当s = l 时： 定理2 ：p 是素数，则： 。乜荟。：，c + + 亡+ _ 1 - - ) _ = - 6 + 9 p + c s 一导一，p 2 ( m o d p 3 ，p s ，：荟。c + 丢+ + ；昙 ，t 一等p + c 等一z 加2 ( m o d p 岫s ，：荟。( + 吉+ ”t + 1 ；一a 。+ 百7 6 7p + c s s 筹一z 哆_ 3 ) p 2 ( m o d 9 3 却， 当s = 2 时： 定理3 ：p 是大于3 的素数，则 8 ，。，r 一：上 + 上尸 + 上矿 (p胁 三 上 上尸 + 上 ( p忙 蚪 浙江大学硕上学位论文 + 单) p + (马州+ 车2 ) + (生2 + 坠9 ) p 2 ， 。c + + 专+ 扫七z 一+ 孚。一7 4 哆芦_ 3 p 2 ( r o o d p 3 ， + 与；芸+ 晤1 2 5 + 3 岛一一8 髟一，) p + 一5 了+ ( _ + 3 岛一划一，j p + ( 署啦川+ 4 3 7 e 一( m o d p 3 ) 三 ，一广 + 一产 一 + 一f + ，一铲仰 m 浙江大学碗士学位论文 2 定理的证明 。 堕冬坐二生 p ：( m o d p ，) k 是奇数 ( i ) 喜軎5 杠釜! i 内蝴数k 1 j 2 ，p - 4 ) ( i i ) 雾专= 哼1 也+ 1 ) p 2 ( m 。a 内 ( i i i ) | | ；：专叫2 鹕_ 1 ) p + 三p 2 ( m o dp 3 ) ( i v ) 呈去；加：坤一3 碑一3 ( p _ 1 ) ( m o dps ) j = 1 i 在定理证明之前，首先考察和级数：。2 。：，( 1 q + 古+ 。- + 古) 在和式+ f 2 + + i i = p 里，确定。一个加数，比如( 1 p - ( 1 - 1 ) ) ，则在和级 数。：荟，c 专+ + + 方，里，出现的次数是：( 。p ，一- 。l ，- 一i , 。， 。总芡有，个加数 所以： ( 了1 + 1 i ；+ + t + + = p l 2 定理l 的证明： ，- 纠等 ) 1w ( p 卅- l - 一t ，刮掣1w ( p _ 1 ) - l - 一t ， i | 江大学硕士学位论文 点c 軎+ 砉+ 岳k 。霎字叫川，霎；一。霎刍 下题分别就s 进行讨论。 ( i ) 当s = 1 时， 。毳，钙+ 扣c 川，争s c 川， 在引理t ( i ) ，取k = l ，则： 势每小粤p 2 d p 3 ， 代入荠化筏： ，+ 磊，号十+ 1 ；”尹+ 欢m o d p 3 ) ( i i ) 当s 2 , 3 ，p - 4 ) 时，s - 1 1 ，2 ，p - 5 ，s 最奇数时( 偶数类似) ， 由g f 理l ( i ) ： 呈喜；螋羔生p ：( m o d ，) 惫t s 2 p 一2 一s 2。 薯专部曲甍一2 爿b p s p ( m o d p 3 ， 代入纯简后即得。 泣i ) 当s = 8 3 时，南弓l 殚1 fi ) ， 掣上：窆去=坠竿苎冬pz(mod西ls-i 一 ，* 1 l o 芦一11 丽丢爝弓 疆l i i ) ，代久讫篱后繇得。 ，= l ( i v ) 当s = p 一2 时，把引理1 ( i i ) ，( i i i ) 代入化简即褥。 浙江大学硕士学位论文 ( v ) 当s = p 一1 时，把引理1 ( i i i ) ，( i v ) 代入化简即得。 定理l 证完。 例如：，磊，( 尹1 + 7 1 + 声1 = ( i 3 马一一4 _ 3 ) p + ( 一言马川十等，) p 2 ( m o d 2 3 ) 注：类似可以讨论，= 4 的一般情形，但是结果比较繁琐。 以下计算一些特殊的情形。 定理2 的证明： 由前面讨论，当s = 1 时： 。c 挂烈9 l ( ”p - 驴l - t 。 当，= 4 时， ，纛 + 挂+ = 2 p 一11p 一1pl 2 t ( p 一1 ) ( p 一2 ) 一( 2 p 一3 ) + f l l = l t = lz = l j 而掣 式( 1 ) 代入，化简后得： ( + 丢+ + ) - = - 6 + 9 p + ( 一3 4 3b ，一，) p 2 ( m 。d p 3 ) 当，= 5 时， 0 卜 旷咣 一、。， 旷 h誉阶 1 望 一：坚，谢铲 浙江大学硕士学位论文 。+ 。荟。：，c + 丢+ t ，+ ，= s 薯c p j 一7 ， = 丢雾 ! 里二! ! 兰掣一c 3 p 2 - 1 2 p + l l ，+ c s p 一。v 一，2 ) i 5 c p 一，t p z ，t p 一缶p - i 7 | - ( 3 p 2 - 1 2 p + 1 1 ) ( p - 4 ) + ( 3 p - 6 ) ! 芈 而参t = l = 三( 川) 3 + 丢( p _ 1 ) 2 + 丢( 川) 而，= 去( p 一1 ) 3 + 寺( p 一1 ) 2 + 去( p 1 ) j 厶u 式( 1 ) 代入，化简后得： 。c 挂+ “+ 撼 1 1 - 等p + 等啦_ p 2 o n o d p 3 ， 当，= 6 时， 。轰0 * 2 +- r + 2 十1 6 2 p 1 = 篓 一 - + = s 瓢p 2 ) ( p 一3 x p 一4 ) ，1 e - 1l ( 川叫( p - 2 - t ) ( p - 3 - t ) ( p - 4 - t ) 、 ( 一3 0 p 2 + 7 0 p 一5 0 ) + ( 4 p 2 2 0 p + 2 4 ) t 一( 4 p 一1 0 ) t + f 丢 ( p - 1 ) ( p 一2 ) ( p 一3 ) ( p 一4 ) 筹一( - 3 0 p 2 + 7 0 p - 5 0 ) p 一1 + ( 4 p 2 2 0 p + 2 4 ) 而p - i ，：了1 ( p t = l 斗 p - lp - i ( 4 p 一1 0 ) f 2 + ，) 1 ) 3 + 吉( p 1 ) 2 式( 1 ) 代入，化简后得： ，量( h 咕) = - - 4 0 + 鲁州书磊4 1 啦。( m o d p 3 ) 定理2 证完。 3 1，j 川 浙江大学硕士学位论文 定理3 的证明： 。羔，c + 扣- 牵= ，掣三t ： ( 1 - 1 ) 叫- 1 当，= 2 时 。毛c 专审= z 篁i = 1 昙 在引理l ( i ) ，取k = 2 ： 霎净舞一2 等，p 化简得 兰f 等+ 孚聃( 一等+ 孚) p 2 ( m o d p 3 ) ，( 2 ) 不亭+ 争c + 孚聃c 一等+ 字o n o d p 3 ， 当，= 4 时， 。托荟。：，c + 芝i + r + ，= 4 霎吉( p 之一7 = z 喜吉c p 一一，c p 一：一力 = z 喜 半一罕+ - ) 由式( 1 ) 、( 2 ) ，化简得： 。豺+ + 孛+ 七z 串州z 串死m o d p 3 ， 当，= 5 时 剥 + 争= s 薯吉c p j ， ( p 1 ) ( p 一2 ) ( p 一3 ) ( 3 p 2 1 2 p + 1 1 ) 4 + ( 3 p e 一) + ，了e + 一午 ( ，铲 一 恍 浙江大学硕士学位论文 同理，由式( 1 ) 、( 2 ) ，化简得 荟，c + 扣- + ；竽+ 等+ ，马p - 4 - 8 b p 。p + ( 署也一t 4 3 7b 一矿( m 。) 定理3 证完。 浙江人学硕士学位论文 3 参考文献 【1 】c h u n g a n gj i ，as i m p l ep r o o f o fac u r i o u sc o n g r u e n c eb yz h a o p r o c a n l e r m a t h s o c ，13 3 ( 2 0 0 5 ) ：3 4 6 9 3 4 7 2 【2 】e l e h m e r , o nc o n g m e n c e si n v o l v i n gb e r n o u l l in u m b e r sa n dt h eq u o t i e n t so f f e r m a ta n dw i l s o n a r m m a t h 3 9 ( 19 3 8 ) ：3 5 0 3 6 0 【3 】h a r d y , g h a n dw r i g h t ，e ，m ，a ni n t r o d u c t i o nt ot h et h e o r yo fn u m b e r s ，f o u r t h e d i t i o n ，o x f o r du n i v p r e s s ，l o n d o n ，1 9 6 0 4 1 4j w lg l a i s h e r , o nt h er e s i d u e so ft h es u m so fp r o d u c t so ft h ef i r s tp 一1n u m b e r , a n dt h e i rp o w e r s ，t om o d u l u so r q u a r t j p u r ea p p l m a t h ，31 ( 19 0 0 ) ：3 2 1 3 5 3 5 j i a n q i a n gz h a o ，p a r t i a ls u m so fm u l t i p l ez e t av a l u es e r i e si ：g e n e r a l i z a t i o n so f w o l s t e n h o l m e st h e o r e m x x x l a n l g c v a b s m a t h n t 0 3 0 l2 5 2 1 9 p a g e s 6 】k i r e l a n da n dm r o s e n ，ac l a s s i c a li n t r o d u c t i o nt om o d e mn u m b e rt h e o r y , s p r i n g e r , n e wy 0