（信号与信息处理专业论文）不确定性机器人运动控制研究.pdf

制输 入i 的 一 阶导 数 和驱 动器的 动 力 学 模型， 故 而 避 免了 复 杂的 求导 运 算以 及 对关节角加速度可测的要求。 基于李雅普诺夫稳定性理论设计的连接权在线学习 算法， 保证了 跟踪误差及连接权估计的终值一致有界性。 算法的有效性通过仿真 实验得到了验证。 最后对全文研究工作的成果进行了总结， 指出了其中的不足之处， 并提出了 秘靓秘涉姗舫向 。 卜 abs t ract t h i s t h e s i s s u r v e y s c u r r e n t r e s e a r c h r e s u l t s i n t h e m o t i o n c o n t r o l o f r o b o t s w i t h u n c e r t a i n t i e s a n d s u m m a r i z e s t h e a v a i l a b l e l i t e r a t u r e o n t h i s s u b j e c t . t h r e e k i n d s o f c o n t r o l a p p r o a c h e s , i n c l u d i n g t h e a d a p t i v e a p p r o a c h , t h e r o b u s t a p p r o a c h a n d t h e n e u r a l n e t w o r k ( n n ) a p p r o a c h , a r e e m p h a s i z e d . f u r t h e r r e s e a r c h e s a r e d o n e a n d n e w c o n t r o l s t r a t e g i e s a r e p r e s e n t e d i n t h i s t h e s i s . t h e a d a p t a b i l i t y o f c o n t r o l s y s t e m s i s e n h a n c e d a n d t h e c o n t r o l p e r f o r m a n c e s a r e i m p r o v e d . i t i s s h o w n b y t h e o r i e s a n d s i m u l a t i o n s t h a t t h e e ff e c t s o f m o d e l u n c e r t a i n t ie s c a n b e e l i m i n a t e d e ff e c t i v e l y a n d s t a b i l it y c a n b e g u a r a n t e e d . f i r s t l y , a n a d a p t i v e v e l o c i t y o b s e r v e r d e s i g n a p p r o a c h , a n d a n o b s e r v e r - b as e d a d a p t iv e c o n t r o l l e r a r e p r o p o s e d f o r r o b o t m a n i p u la t o r s . t h e m e c h a n i c a l p a r a m e t e r s o f t h e m a n i p u l a t o r s a r e u n c e r t a i n a n d t h e r e a r e o n l y j o i n t a n g l e m e a s u r e m e n t s . i n t h e c o m b i n e d s c h e m e w h e r e t h e c o n t r o l l e r a n d o b s e r v e r s t r u c t u r e i s e ff i c i e n t l y t u n e d t o e a c h o t h e r , a s i m p l i f i e d o b s e rv e r i s i n s e r t e d i n t h e f e e d b a c k l o o p o f p a s s i v i t y b as e d c o n t r o l l e r . t h e j o i n t v e l o c i t y s i g n a l s a r e r e c o n s t r u c t e d b y o b s e rv e r s o t h a t t h e v e l o c i t y m e a s u r e m e n t s , w h o s e p o o r q u a l i t y m a y s i g n i f i c a n t l y d e t e r i o r a t e t h e c o n t r o l p e r f o r m a n c e , a r e a v o i d e d . l o c a l l y a s y m p t o t i c c o n v e r g e n c e o f t h e o b s e rv a t i o n e r r o r s a n d t r a c k i n g e r r o r s o f t h e m a n i p u l a t o r s j o i n t s i s p r o v e d . s i m u l a t i o n r e s u l t s d e m o n s t r a t e t h e e ff e c t iv e n e s s o f t h e a l g o r i t h m t h e n r o b u s t n n c o m p e n s a t i n g c o n t r o l s t r a t e g i e s b a s e d o n c o m p u t e d t o r q u e s t r u c t u r e i s d e v e l o p e d f o r t h e t r a j e c t o ry t r a c k i n g o f r o b o t m a n i p u l a t o r w h o s e d y n a m i c m o d e l i s n o t e x a c t l y k n o w n . a n n c o m p e n s a t i n g c o n t r o l l e r a n d a n a d d i t i o n a l r o b u s t c o n t r o l i t e m , w h i c h a r e d e s i g n e d t o c o m p e n s a t e m o d e l i n g e r r o r s , e n h a n c e s t h e n o m i n a l m o d e l b a s e d c o m p u t e d t o r q u e c o n t r o l s t r u c t u r e . i n a d d it i o n , w h e n n e u r a l n e t w o r k r e c o n s t r u c t io n e r r o r i s n o t b o u n d e d b y a c o n s t a n t , a n a d a p t i v e r o b u s t c o n t r o l it e m i s p r o p o s e d t o a tt e n u a t e t h e e ff e c t o f n n a p p r o x i m a t i o n e r r o r . s in c e t h a t , i n a p p l i c a t i o n o f o u r c o n t r o l a l g o r it h m , t h e l a r g e n u m b e r o f h i d d e n - l a y e r n e u r o n s c a n b e r e d u c e d . t h e n n w e i g h t s a r e t u n e d o n - l i n e , a n d n o o ff - l i n e l e a rn i n g p h a s e i s r e q u i r e d . t h e t h e o r i e s a n d s i m u l a t i o n r e s u l t s s h o w t h a t u n i f o r m l y u l t i m a t e l y b o u n d e d ( u u b ) s t a b i l i t y o f t r a c k i n g e r r o r s a n d n n w e i g h t s c a n b e g u a r a n t e e d . c o m p a r e d w it h o t h e r a p p r o a c h e s , n o j o i n t a c c e l e r a t i o n m e a s u r e m e n t s a n d e x a c t l y k n o w n i n e r t i a m a t r i x a r e r e q u i r e d i n t h e p r o p o s e d a l g o r i t h m s . a c t u a t o r s s h o u l d b e i n c l u d e d i n t o d y n a m i c e q u a t i o n s o f r o b o t s y s t e m s a n d c o n t r o l l e r s s h o u l d b e d e s i g n e d a t a r m a t u r e v o l t a g e i n p u t l e v e l s i n c e a c t u a t o r d y n a m i c s c o n s t i t u t e a n i m p o r ta n t p a r t o f c o m p l e t e r o b o t d y n a m i c s . i n t h e f o u r t h c h a p t e r , b a c k s t e p p i n g a p p r o a c h i s u s e d t o d e r i v e t h e c o n t r o l s t r a t e g i e s f o r t h e t r a j e c t o ry t r a c k i n g o f r i g i d - l i n k e l e c t r i c a l l y d r i v e n r o b o t m a n i p u l a t o r s w i t h u n c e r ta i n t i e s . a s s u m i n g t h a t t h e u n c e rt a i n t y b o u n d s , w h i c h d e p e n d o n l y o n a lu m p e d m e c h a n i c a l p a r a m e t e r s a n d t h e e l e c t r i c a l p a r a m e t e r s o f t h e a c t u a t o r s , a r e k n o w n , a r o b u s t t r a c k i n g c o n t r o l a l g o r it h m i s p r o p o s e d . g l o b a l l y e x p o n e n t i a l s t a b i l it y o f t h e c l o s e d l o o p s y s t e m c a n b e g u a r a n t e e d . n e x t , c o m b i n e d r o b u s t a n d n e u r a l n e t w o r k c o n t r o l l e r i s d e v e l o p e d . i t h a s a d v a n t a g e s o v e r t h e f o r m e r a p p r o a c h i n t h a t c o m p l i c a t e d d i ff e r e n t i a l c o m p u t a t i o n i s a v o i d e d a n d n o j o i n t a n g l e a c c e l e r a t i o n m e a s u r e m e n t i s n e e d . t h e c o m p o n e n t s o f t h e c o n tr o l l e r a n d t h e n n w e i g h t l e a rn i n g a l g o r i t h m a r e g i v e n i n d e t a i l . u u b s t a b i l i t y o f t r a c k i n g e r r o r s a n d t h e e s t i m a t e s o f n n w e i g h t s c a n b e g u a r a n t e e d . s i m u l a t i o n r e s u lt s s h o w t h e e ff e c t i v e n e s s o f t h e p r o p o s e d c o n t r o l l e r . a t t h e e n d o f t h e t h e s i s , r e s e a r c h r e s u l t s s t a t e d a b o v e a r e s u m m a r i z e d a n d s o m e s u g g e s t i o n s o n i m p r o v e me n t a r e m a d e . 在攻读博士学位的三年中， 我有幸得到了方廷健研究员和葛运建研究员两位 导师的悉心指导。方老师渊博的学识，严谨求实的治学态度，诲人不倦的精神， 使我深得教益。 方老师在百忙中， 还经常亲自 参与课题的工作， 与我们多次交流 探讨， 指导解决实际问题。 在本文的完稿过程中， 方老师更是给予了我很多建设 性的指导意见和建议。 攻读学位期间， 我还在葛老师的指导下， 完成了一些科研 项目。 葛老师非常重视学生实际动手能力的培养， 使得我的科研能力得到了锻炼 和提高。 而且葛老师勤恳敬业而不谋私利之豁达， 热情开朗的性格， 也给了我人 生的启迪，是我学习的榜样。在此谨向两位导师表示衷心的感谢。 中国科技大学自动化系鲍远律教授曾热心地为本文的研究提出了宝贵的意 见和帮助。 中科院沈阳自 动化研究所陈英林副研究员、 吴镇炜副研究员曾在机器 人控制器改造课题中给予了 我热情的指导和帮助。特此向他们表达我诚挚的谢 息。 感谢我学习和工作所在的中科院合肥智能机械研究所为论文的顺利完成提 供帮助的各 位老师和同学， 特别是八六三智能机器人传感技术网点实验室的戈瑜 研究员和严文法老师， 他们在平时的工作和生活中给予了我关心和支持。 感谢中 国科技大学曾传授予我知识的各位老师。 在数年来的学习中， 父母的殷切期望和无私奉献， 使我得以专心致力于论文 研究工作。本文的完成也是与他们的理解和支持分不开的。在此表示感谢。 +目 科毋俄术大母博士母位诗人 第一章综述 近二十年来， 有关机器人的概念及其应用己 经从作为科幻电影的素材发展到 在工业领域广泛应用的计算机控制的机电装置。 从工程技术的意义上来说， 机器 人是一种可以通过编程来完成多种作业、 并具有一些自由 度和一定操作功能的自 动化机器。 一个能够完成多种操作作业的具有多自由 度的机器人系统一般包括用 于具体操作的机械臂和抓手等主体，以及监控机构、伺服控制机构、各种能源、 通信机构、 操作对象以及作业环境等等， 有些系统还具有移动机构、 传感信息反 馈机构等。 随着机器人技术的逐步成熟， 机器人从能完成一些简单的抓取、 放置、 喷漆和焊接操作， 己发展到能实现在印刷电路板上装插集成电路芯片和在汽车工 业中装卸与传送零件这样复杂的操作，以及在深海、 宇宙空间、 或有放射性的环 境中作业等。 这里用于作业的自由度和操作功能依赖于机械因素， 而自 动化则离 不开控制技术。 当机器人的机械结构确定下来以后， 如何使它在实际现场按照预 想的程序操作、满足理想的性能要求，则主要取决于自 动控制系统。 1 . 1 机器人控制系 统的 工 作原 理 和结 构 总体上说， 机器人控制主要包括两方面内容: 运动 ( 轨迹) 规划和运动 ( 轨 迹) 控制。 所谓轨迹规划， 是指根据作业任务要求， 计算出机器人操作器每个自 由 度在运动过程中预期的每时每刻的位置、 速度和加速度， 即运动轨迹。 轨迹规 划既可在关节空间中进行， 也可在直角坐标空间中 进行。 在关节空间中进行轨迹 规划是指将关节变量表示为时间的函数， 用这一矢函数及其一阶、 二阶导数来描 述操作器预期的运动; 在直角坐标空间中进行轨迹规划是指将抓手位姿、 速度和 加速度表示为时间的函数， 而关节驱动器是在关节空间中受 控制的， 因此最终必 须由抓手信息通过逆运动学求解导出相应的关节位置、 速度和加速度。 轨迹规划 一 般包括三个任务: 首先处理有关作业的信息， 根据作业的要求规划出较具体的 子任务或动作序列; 然后在给定起点、 终点、 中间点以及某些必要的限制条件下， 规划并描述操作器的运动轨迹， 这些限制条件可能包括速度和加速度的限制或者 避碰的要求等; 最后对计算机内 部描述的轨迹进行实时计算， 即在每个轨迹更新 周期内实时生成相应的关节位置、 速度和加速度， 并将此信息送至关节伺服控制 系统。 运动控制则是根据轨迹规划实时生成的期望轨迹及机器人的运动学和动力 学特性， 求出适当的关节力矩来产生所需要的运动。 本论文将着重研究机器人的 运动控制策略。 下面以二自由 度机械臂为例概要说明机器人控制系统是如何使操作臂完成 作 业的 。 图1 . 1 . 1 是 二自 由 度 机 械 手 作 业的 示 意 图 。 由 电 机 给出 的 驱 动 力 矩: 、 和 -一一一一-一一一-一 1 t i 分 别 驱 动 连 杆l ， 和l z ， 各 连 杆的 位 置 分 别 由 4 ( t ) 中山科母杖术大母博士李位格文 y 2 ( t ) 描述。 假设我们要求 该 机械手 完成自 动 焊接作 业， 即 要求 机械手的 端点p ( t ) 沿 着曲 线a b以 给定的 速 度p d ( t ) 运动。 那么， 端点的期望 轨迹可以 用x o y坐标系的 坐 标来描 述， 即 给 图1 . 1 . 1作业示意图 定x d ( t ) y d ( t ) - d ( t ) 及.y d ( t ) 。 控制系 统首先 求出 该运动轨 迹的 一 个等效的 手 臂驱动变换矩阵， 然后根据这个矩阵， 通过求解逆运动学得到关节位置， 用逆雅 可比求出关节速度， 这样就把上述期望轨迹的空间直角坐标换算成对应的关节坐 标， 即 各 个自 由 度的 期望 位置9 d i ( t ) 9 d z ( t ) 及 其期 望 速 度夕 d i ( t ) 4 d 2 ( t ) ， 这 些 期望值作为关节伺服控制系统的参考输入信号。 而关节伺服控制器则根据已设计 好的控制策略，给出适当的关节力矩来产生所需要的运动。这个过程如图 1 . 1 .2 所示。 图 1 . 1 .2机械手控制系统工作原理框图 控制过程需要由硬件系统实现。 现有机器人计算机控制系统一般采用三种类 型的控制结构: 集中控制、 主从控制和分级控制。 集中控制，即利用一台微型计 算机实现系统的全部控制功能。由于是单机控制， 因而构造较为简单， 也比较经 济。 但由于控制过程中需要进行坐标变换， 特别在需要高次插补时， 显然计算量 很大，因此这种控制结构速度较慢。主从控制，系统用主、从两个c p u进行控 制，主c p u用于计算坐标变换、 轨迹生成以及系统自 诊断等， 从c p u用于机械 2 中日 科李技术大李博士母位格次 手所有关节的动作控制。 分级控制， 采用多个微机分上下两级共同完成机器人的 控制功能。 上面一级主控计算机负责整个系统的管理以 及坐标变换和生成轨迹段 的运算。 下面一级由若干微处理器组成. 分管机器人各个关节在轨迹段内的插补 运算以及伺服控制处理。由 于机器人的不同功能可由不同的计算机并行地完成， 因而提高了工作速度和处理能力。p u ma系列机器人就具有这种分级控制结构。 图 1 . 1 .3 是机器人分级控制系统的结构框图。 视觉反馈 图象处理 沁一一 视觉检测器 力觉反馈 力信号处理力检测器 上位计算机 给定的指令监控 计算机 轨迹 指令 伺服控制器放大器卜 今 执行机构 机器人的机械机构 检测器 : 轨迹 指令 伺服控制器- 放大器卜粉 执行机构 检测器 图1 . 1 .3机器人控制系统结构图 首先， 通信机构将上位计算机系统下达的作业指令传给监控机构， 监控机构 则根据指令内容生成机械臂或抓手为完成作业所必需的理想轨迹。 其次， 由伺服 机构来控制机器人的位姿和运动使其跟踪由 监控系统给定的理想轨迹。 一般监控 机构和伺服机构由计算机来实现，所以由伺服控制机构给出的驱动信号功率较 小， 需经过功率放大以后再去驱动机器人的各个机构。 视觉反馈机构以及各种传 感器则将机器人的位姿以及运动状态等信息传给监控机构， 由监控机构根据需要 将这些信息加以整理后通过通信机构回馈给上位计算机。 在上述结构中， 一个很重要的部分就是伺服系统。 对于具有多个自由度的多 关节机器人来说， 每个关节的驱动力矩都由伺服控制器根据各个关节的期望轨迹 给定。 由 于机器人本身具有固有的动态特性， 所以为了使各个关节能够以理想的 动态性能无静差地跟踪期望轨迹，伺服控制系统必须采用反馈结构。 目 前工业机器人操作臂控制系统的设计， 大都把操作臂的每个关节当成单输 入单输出的关节伺服机构来处理。 这种方法不能充分地表达操作臂动态特性的变 化规律， 因为它忽视了操作臂的运动结构特点， 各个关节之间相互祸合， 随形位 一. 一-一一-一一-一-一-一-一-一-一- 3 中 已 科李孩术 大李 博士于 位伶次 变化的事实。 受控系统的这些参数变化十分显著， 足以使常规的反馈控制策略失 效。 其结果是降低了系统的响应速度和阻尼， 限制了 末端抓手的精度和速度， 引 起不必要的振动。 为了改进控制系统的性能， 必须建立更有效的动态模型、 采用 合理的控制策略。与一般的机械系统一样，当机器人的结构及其参数确定以后， 其动态特性将由 动力学方程即数学模型来描述。 因此， 我们可以 应用自 动控制理 论所提供的设计方法，基于这个数学模型来设计机器人的伺服控制器。 1 .2 操作 有 动力 学 动力学是研究物体的运动和作用力之间的关系。 机器人操作臂是一个复杂的 动力学系统， 存在严重的非线性。 它由多个关节和多个连杆组成， 具有多个输入 和多个输出， 各关节之间存在着错综复杂的祸合关系。 因此， 要分析研究机器人 的动力学特性， 必须采用相当系统的方法， 现在所用的分析方法很多， 有拉格朗 日 ( l a g r a n g e ) 方法， n e w t o n - e u l e r 方法， g a u s s 方法， k a n e 方法， 旋量方法等， 各种方法所建立的方程都是等价的， 只是方程形式不同， 从而在计算或分析方面 存在差异。 这里， 我 们只介绍l a g r a n g e 方 法。 因 为l a g r a n g e 方法根据系统的 能 量来建立动力学方程，不仅能以最简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程， 而且具有显式结构，可以对系统特性作进一步的分析。 扒2 . 1拉格朗日 动力学方程 考虑由n 个连杆通过移动或旋转关节连接起来的机器人操作臂系统，设 9 , ( t = 1 , 2 , 一， n ) 表示各个关节的位移或旋转角，而其速度或角速度由 4 , ( 1 = 1 ,2 , . . . ， n ) 来 表 示。 那么， 该 系 统的 状态 可以 用 广义 坐标4 = ( 9 i , . . . , 9 ) t , 4 二 ( 4 , 4 n ) t 来 描述。 拉格朗日 动力学的结 论则 可以 用如下的 拉格朗日 方 程 描 述 : ( 1 . 2 . 1 ) 式中，: = ( : 1 ， : 2 . 、 . ， : 。 ) 丁 是 作用 在关 节 连杆上 的 外部合力或 合力 矩向 量， l 称为 拉 格朗日 函 数， 定 义为 该 系 统的 动能e k 与 势能凡之 差， 即 l = e * 一 e , ( 1 .2 . 2 ) 由 于 势 能e ， 不 显 含4 1 记e , = p ( 4 ) ， 而 动 能e k 是 4 的 二 次 型 函 数 ， 有 ; 一 合 客 m , (9 )4,4 , = 粤 、 丁 、 (。 )， l ( 1 . 2 . 3 ) 这里m( 4 ) e r 称为 惯性矩阵，是正定对称阵。 则拉格朗日 函数l进一步可表 示为 一一 一-一-一-一一-一 4 中目 科李技术 大毋博士李位伶大 乙 一 告 客 m y(q )4 ,4; 一 尸 “ ， ( 1 .2 .4 ) 将( 1 .2 .4 ) 式代入拉格朗日 方程( 1 .2 . 1 ) 式， 推导后，可得机器人动力学方程为 y- m k, ( q ) 4 , + 艺 c jk ( q ) 4 j4 , + 0 , ( q ) 一 : * , k = 1， 一 ， n ( 1 . 2 . 5 ) 其中， w k ( q ) 二 a 业2 a q k ( 1 .2 .6 ) 2了吸.lwe飞、 1一2 -一 c , k ( q ) a m , 十 旦 望 红 _ a m p a q , a q , a q k ( 1 . 2 . 7 ) 如 ( 1 .2 .7 ) 式 表 示 的 c u * 称 为c h r i s t o ff e l 符 号 。 注1 .2 . 1上述机器人动力学模型没有考虑摩擦的影响。 在 ( 1 .2 .5 ) 式 中， 形 式 为m k, ( j = k ) 的 称 为 关 节k 的 有 效 惯 量 ， m k, ( j * k ) 称 为 关 节 j 对 关 节k 的 祸 合 惯 量 ; 形 式 为 c , k 4 ,4 , ( t = 力的 项 是由 于 关 节 l 的 速 度 在 关 节k 上 产 生 的 向 心 力; c , k 4 1 4 , ( l $ 力 称 为 作 用 在 关 节k 上 的 哥 氏 力 ， 是 速 度4 和 速 度q ， 两 者的 复 合 作 用结 果; o k ( q ) 是 作 用 在 关 节k 上 的 重 力， 和 速 度、 加 速 度 无关。 一 般地， 我们用矩阵的 形式 表 示 ( 1 .2 . 5 ) 式，即 m ( q ) 4 + c ( q , 4 ) 4 + g ( q ) = :( 1 . 2 . 8 ) 其 中 矩 阵c ( q , 4 ) 的 元 素c kl 定 义 为 c k, = 艺c,( ， ) 、 二 小1 ( a m , a m , , a m、 . 2 一 十 一日 胃2 a q , a q , a q k f ( 1 . 2 . 9 ) 妇.2 .2机器人动力学的性质 虽然上述机器人动力学方程是一个多关节相互祸合的、 复杂的非线性微分方 程， 但是仍可以从中发现一些有利于控制系统设计的特性， 文献中关于机器人运 动控制的算法以及本文后面的研究都或多或少地利用了机器人动力学的某些特 性。这一点后续章节将进一步说明。现将机器人动力学特性归纳如下: 性质 1 惯性矩阵m( q ) 对称正定。 对于旋转关节机器人，m( q ) 及其逆矩阵 m一 ， ( q ) 均一 致有界。 性质2对于每个自由度，各有一个独立的控制输入。 性质 3机器人的动力学模型对于物理参数是线性的，这里物理参数是指机 器人操作臂各连杆的质量、 质心分布、 长度等机械结构参数。 即如果将矩阵函数 m , c, g中的定常系数表示为一个向量b e r 0 ，那么对于任意的向量 q , v , s , a e r ， 可以 定义 适当的 、 被 称为回归阵的 矩阵y ( q , v , s , a ) e r 0 0 ， 使得 -一一-一-一一一 5 中日 科李技术大音博士李位论文 m( q ) a + c ( q , v ) s + g ( q ) = y ( q , v , s , a ) 9 这种线性关系将有利于自 适应控制技术的应用。 性质4机器人动力学模型中的物理参数与关节角变量可以分离。即 m( q ) 4 + c ( q , 4 ) 4 + g ( q ) = e ( 9 ) y ( q , 4 , 4 ) 1 0 ) 1 1 ) (l2(l2 式中e ( b ) 是适当维数的 量q , 4 , 4 相关的向 量 、只包含物理参数的矩阵，y ( q , 4 , 4 ) 是一个与关节角变 性质5若 采用c h r i s t o ff e l 符号 定义 矩阵c ( q , 4 ) ， 则 满足 ( 1 ) 矩阵府 讨 ) 一 2 c 匆 ， 啥 ) 是 斜对 称的， 这 里对付 ) 表 示m沁 ) 对时间 求导。 即 对 任 意 向 量 ， 有 、 t 加 (q ) 一 2 c (q , 4 ) k 一 。 ; ( 2 ) iic (q , 4 ) ii 0 是常数，矩阵范数定义为 洲= v a _ ( a t a ) ， a m a x ( ) 表 示 矩 阵 的 最 大 特 征 值; ( 3 ) c ( q , x ) y = c ( q , y ) x ，x , y e r ; ( 4 ) c ( q , z + 二) y = c ( q , z ) y + a c ( q , x ) y ，x , y , z e r ，a 是常数。 性质6 ( l .2 . 8 ) 式描述的刚性机器人动力学系统是无源的，即 存在能量函数 、 一 告 4 tm (q )4 p (q ) 并且有 也就是说，关节力矩输入r 与关节角速度输出4 满足以下无源不等式: r 、 、 一 f d h 一 h (t ) 一 h (0 ) _ - h (0 ) 注1 . 2 .2系统的无源性是电子网络无源性概念的推广。 粗略地讲， 无源系统 是指只会消耗外部提供的能量，而不能将外部提供的能量加以放大的一类系统， 它在任何时刻的能量总是小于或等于初始时刻系统所具有的能量与外部提供的 能量之和。无源系统的严格定义描述如下: 定义4 11 ( 无源系统) 考虑具有输入u ( t ) 、 输出y ( t ) 的系统， 如果存在能量函 数l ( t ) ， 其 对 时间 的 微分l ( t ) 满 足 等 式: l ( t ) = y t u 一 g ( t ) ，9 ( t )。 则称该系统是无源的。此时，对于任意t 0 ，有 f i d t s f y t u d t 上式等价于 l (t) 、 l (0 ) + r y u d t 一一一 6 中已 科母枝术大李博士毋位恰次 此外，映射“ 峥y 是无源映射， 满足无源不等式: y t u d t r g (t)d t 一 : ， : 是 。 卜 负 常 数 无源系统的重要意义在于它与稳定性有着密切的联系， 这一点可以 从本章后 面的引理 1 .4 . 1 中看到。 1 .3李 雅普 诺夫 粉定 性 设计控制系统的中心问题是保证所得到的闭环系统满足一定的性能指标要 求。 最基本的准则是系统的稳定性， 系统是稳定的是指它在实现所规定的运动轨 迹时， 即使在一定的干扰作用下， 其误差仍然保持在很小的范围之内。 值得注意， 如果控制系统设计得不好， 将会发生不稳定现象， 伺服误差将不是减小， 而是放 大。 因此， 设计的第一个任务是使系统稳定， 第二个任务是使系统的闭环性能令 人满意。 1 . 3 . 1 稳定性概念 轨迹跟踪问题可归结为闭环误差系统的稳定性问题。 在研究机器人的轨迹跟 踪问题时， 描述其误差系统动态特性的矩阵函数往往随时间而变化， 故称为非自 治系统。 研究非自治系统: x = f ( x , t ) x ( t o ) = x , ( 1 . 3 . 1 ) 其中，x 是n 维状态向 量，t 表示时间，f ( x , t ) 表示。 维非线性向量函数， 且关 于x 是 l i p s c h i t z连续的， 关于t 是单值、 分 段连续的。 用x ( t ) 表示任一由 初 值 x ( t o ) = x 。 确定的 方 程 ( 1 .3 . 1 ) 的 解。 如 果存 在点x * e r ， 使得f ( x , t ) 二 0 ， 则 称 该点为系统( 1 .3 . 1 ) 的平衡点。 通过改变系统的坐标原点， 可以 假设平衡点处于 x . =0。 定义1 . 3 . 1终值一致有界性 如果存在一个紧集u，对于所有x ( t o ) = x o e u的初值，存在 0 和 t ( e , x o ) ， 使 得 当 七 t o + t 时 ， 有 !ix ( t ) l卜 : ， 那 么 称 方 程 ( 1 .3 .1 ) 的 解x ( t) 是 终 值 一致有界u u b ( u n i f o r m ly u lt i m a t e l y b o u n d e d ) 的。 定义1 .3 . 2稳定性 对于 系 统 ( 1 .3 .1 ) 的 平 衡点x , = 0 ， 在t = t 。 时 刻， 如 果 对于 任 意 给定 的 正 数: ， 都 存 在 正 数 d (t o , 6 ) ， 使 得 对 于 满 足 ix ( t o ) i卜 s 的 初 始 状 态 x ( t o ) ， 方 程 ( 1 .3 .1 ) 的 解 满足 ilx (t ) ii : ， b t : ， 。( 1 .3 .2 ) 则 称该平 衡点 在t = t 。 是 稳定的。 上述定义中5 依赖于 初始时刻t o a 若对所有的 初始时刻， 存在一致的正 数 一一一一一一一一一一 7 中日科音被术大李博士李位格文 8 ( s ) ， 即 仅仅依 赖于 ， 仍有( 1 .3 .2 ) 式 成立， 则 称平衡点x二 0 是一致稳定的。 可以看到， 稳定性的定义对平衡点的要求是非常宽松的， 尤其是不要求轨迹 由原点附近开始渐近趋向原点，下面是渐近稳定性的定义。 定义1 . 3 . 3渐近稳定性 对于 系 统 ( 1 .3 .1 ) 的 平衡点x * = 0 ， 在t = t 。 时 刻， 如 果 1 . x * = 0 是稳定的，并且 2 . x * = 0 是局部收敛的，即存在一个正数15 ( t . ) ， 使得对于所有满足 i(x (t o ) (卜 s 的 初 始 状 态 x (t o ) ， 有 兜x (t ) = 0( 1 .3 .3 ) 成立， 则 称该 平衡 点 在t 二 t 。 是渐近稳定的。 同 前一定 义， 这里的 渐近稳定也是 定义 在t 。 时 刻， 一致渐近稳定性要 求为 1 . x * = 0 是一致稳定的，并且 2 . x * = 。 是一致局部收敛的，即 存在不 依赖于t 。 的、 一致的s 使得( 1 . 3 .3 ) 式成立。 应注意渐近稳定性的定义并未对收敛速度量化， 下面是一依赖于收敛指数速 度的条件很严的稳定性定义。 定义1 .3 .4指数稳定性 对于系统( 1 .3 . 1 ) 的平衡点x * = 0 ， 若存在正 数r, y 和q， 使得对于 满足 ilx ( t a ) il : r 的 初 始 状 态 x ( t o ) ， 都 存 在 llx (t ) ii y l二 ( to )(l e - 9 “ 一 。 ， ， b t t o ( 1 .3 .4 ) 则称该平衡点是指数渐近稳定的口 指数稳定性的要求很严， 而且还包含了一致、 渐近稳定性要求。 指数收敛在 应用中是非常重要的， 它反映了控制摄动的鲁棒性， 而且在自 适应、 鲁棒等高级 控制算法中是必不可少的。 上述定义的意义可以通过图 1 . 3 . 1来解释。考察n = 2的系统，即 x t ( t ) 一 k ( t ) x , ( t ) 。 系 统 的 状 态 轨 迹 可 以 在 二 维 平 面 上 表 示 。 如 图1 .3 . 1 ( a ) 所 示 ， 终值一致有界是指存在圆形域r e ， 状态轨迹在有限的时间内就可进入该域，并 一直保持在其中不离开。 当然我们希望这个圆型域的半径越小越好。 所谓平衡点 x , = 0 稳定， 是指对于任意给定的: 0 ， 我们都可以找到适当的s 0 ， 使得所 有从圆 形 域r 出 发的 状 态 轨 迹不 离开 圆 形 域r s 。 但 是， 状 态x ( t ) 最 终 并 不 一 定 趋于平衡点， 如图1 . 3 . 1 ( b ) 所示。 而渐近稳定性则要求状态最终一定趋于平衡点r 如图 1 .3 . 1 ( c ) 所示。指数稳定性则要求状态不仅趋于零， 而且状态的范数即 状态 至原点的距离的衰减率要快于指数函数， 见图1 .3 . 1 ( d ) . 一一一一一一一 8 中已 衬李玻术大李博士李位抢武 ( a ) ik 0l y ii= ( r o 1i 、 、 e 扮 一 _ _ _ _ _ ( c ) 图1 .3 . 1稳定性的示意图 ( a ) 终值一致有界 性 ( b ) 稳定 性 ( c ) 渐近稳定 性 ( d ) ( d ) 指数稳定性 上述定义只要求状态空间中存在一个半径为r的 球域， 使得所有从该球域内 出发的状态轨迹趋于零或指数衰减， 而并不关心球域的大小。 对于机器人系统来 讲， 状态表示各关节实际的位移和速度与期望的位移和速度之间的偏差值。 所以， 如果机器人系统在上述意义下渐近稳定的话， r给出了能够保证偏差收敛于零的 初始偏差的范围。 显然， 一般r越大越好。如果r可以取无限大， 即从状态空间 中 的 任意点出 发的 状态 轨迹都满 足( 1 .3 . 3 ) 或( 1 .3 .4 ) 式， 则称该系 统是全局渐近稳 定的或全局指数稳定的。 与此相应， 如果r只能取有限值， 那么称系统是局部渐 近稳定的或局部指数