（计算机应用技术专业论文）多尺度pcnn图像分割算法研究.pdf

武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 传统小波理论提供了一种对信号进行多分辨率表示的方法，无论从理论方面还是实际 应用方面都得到了很大的发展，在图像处理的各方面都得到广泛有效的应用。新兴的多尺 度几何变换弥补了二维小波自身各向同性且方向选择性差，对于图像中的边缘和纹理等特 性无法有效表达的不足之处。图像分割一直是图像处理领域研究的热点问题，如何结合和 发挥多尺度几何变换的优点，提出适合某些领域的有效分割算法，成为近年来研究中关注 的问题。 本文首先分析了小波域收缩阈值去噪方法的优点及不足，再结合c u r v e l e t 变换的特点 改进n o r m a ls h r i n k 阈值算法的尺度参数，提出一种改进的自适应阈值降噪方法。实验结果 表明在图像降噪方面与传统的小波收缩阈值方法相比不但有更好的视觉效果，而且峰值信 噪比值也更高。 本文在分析了离散c o n t o u r l e ：t 变换，连续c o n t o u r l e t 变换和无下采样的c o n t o u r l e t 变换 的基本原理的基础上，结合脉冲耦合神经网络模型提出了一种图像分割方法。该方法结合 了c o n t o u r l e t 变换能够对边缘等信息进行稀疏表示的特性和脉冲耦合神经网络进行基于区 域分割的优点。实验结果表明该算法在某些领域的分割问题上得到令人满意的效果，并且 能兼顾分割的效率和准确率。 关键词：多尺度几何分析；p c n n ；c o n t o u r l e t 变换；图像去噪：图像分割 a b s t r a c t t h e 仃a d i t i o n a lw a v e l e tt h e o r yc o n c e n t r a t e so n t h em u l t i r e s o l u t i o nr e p r e s e n t a t i o no fs i g n a l s h a sd e v e l o p e db o t hi nt h e o r i e sa n dp r a c t i c ea n di sa p p l i e dt om a n yf i e l d si ni m a g ep r o c e s s l n g e f i e c t i v e l y t h en e wg e n e r a t i o n a lm u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i st h e o r i e so v e r c o m e t h el i m i t so f w a v e l e t , w l l i c hi si s o t r o p y , p o o rd i r e c t i o ns e l e c t i v i t ya n df a i l st or e p r e s e n ti m a g ee d g e sa n d t e x t u r e ss p a r s e l y i m a g es e g m e n t a t i o ni sa l w a y sh o t s p o t i s s u eo fi m a g ep r o c e s s i n gf i d d s r e c 钒t r e s e a r c h e sf o c u so i ls e g m e n t a t i o nm e t h o d si ns o m ep a r t i c u l a rd o m a i nu s i n g m u l t i s c a l eg e o m e t r i c a n a l y s i st h e o r i e s a tf i r s t w ea n a l y z et h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so fw a v e l e ts h r i n k i n gt h r e s h o l d d e n o i s i n 舀t h e nc o m b i n i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c so fc u r v e l e tt r a n s f o r m ，w ep r o p o s ea n1 m p r o v e d a n da d a p t i v ed e n o i s i n gm e t h o d t h er e s u l to ft h ee x p e r i m e n ti n d i c a t e st h a t ，c o m p a r i n gt o t h e t r a d i t i o n a lw a v e l e ts h r i n k i n gt h r e s h o l dd e n o i s i n gm e t h o d ，t h ei m p r o v e dm e t h o da c h i e v e sb e t t e r v i s u a lq u a l i t ya n dh i g h e rp s n r t h i sm e s i sa n a l y z e st h ed i s c r e t ec o n t o u r l e tt r a n s f o r m ，c o n t i n u o u sc o n t o u r l e tt r a n s f o r ma n d n o n s u b s a “巾l e dc o n t o u r l e tt r a n s f o r m w ep r o p o s ea ni m a g es e g m e n t a t i o nm e t h o db a s e d o nt h e p c n nm o d e la n dc o n t o u d e tt r a n s f o r m t h i sm e t h o dt a k e sa d v a n t a g e so fb o t ht h ec o n t o u r l e t t r a n s f o ms p a r e l yr e p r e s e n t i n gi m a g ee d g e sa n df e a t u r e so fp c n n t h ee x p e r i m e n t a l r e s u l t s s h o wt h a tt h em e t h o dc a l la c h i e v es a t i s f a c t o r yi np a r t i c u l a rs e g m e n t a t i o nc i r c u m s t a n c e s ，a sw e 儿 a sa c h i e v i n ga c c u r a c ya n de f f i c i e n c yo fs e g m e n t a t i o n k e yw o r d s ：m u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s ；p c n n ；c o n t o u r l e tt r a n s f o r m ；i m a g ed e n o i s i n g ； i m a g es e g m e n t a t i o n 武汉科技大学 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明。所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研 宄所取得的成果除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共同完成的 正作外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 一x 论文作者签名：! 兰垫日期：丝笪：尘圣f 研究生学位论文版权使用授权声明 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它单位 的名义发表。本人完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向有关部门( 按照武汉科技大学关于研究生学位论文收录 工作的规定执行) 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅， 同意学校将本论文的全部或部分内容编入学校认可的国家相关数据库进行 检索和对外服务。 论文作者签名： 巧兔 指导教师签名：占呈虹 日 期：塑2 ： ：一一 武汉科技大学 硕士学位论文第1 页 1 1 多尺度几何分析的发展 第1 章绪论 为了进一步分析和处理非平稳信号，克服经典傅立叶变换不能同时进行时域和频域分 析的缺陷，人们提出并发展一些新的信号分析理论和变换技术，其中就包括小波变换。 小波分析成为数学中一个迅速发展的领域，它不仅在数学上形成一个新的分支，同时 具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义，在工程应用和众多的非线性领域都产生了深远 的影响。小波分析在时域和频域具有良好的局部化特性，而且由于对高频采取逐步精细的 时域或空域步长，从而可以聚焦到分析对象的任意细节，被誉为“数学显微镜一，是调和 分析发展史上里程碑式的进展。 但小波分析对于二维图像有以下不足： 1 二维小波只是一维小波的张量积，只能反映信号的奇异性位置和特征，难以表达高维 特征。 2 小波变换不能精确的表达图像边缘方向，而图像的大多数信息包含在边缘中。 3 小波适合表示具有各向同性的奇异性对象，而不合适对各项异性的奇异性对象表示， 如图像中的边界及线状性等特征。 各向异性和多方向性是图像能稀疏表示的必要条件，而且能更有效地表示图像的边缘 和纹理几何特征，因此通常把具有这两种特性的图像分析方法统称为多尺度几何分析 ( m u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s ) 。多尺度几何分析又可以分为非自适应多尺度几何分析和 自适应多尺度几何分析两类，下面分别介绍之。 1 1 1 非自适应多尺度几何分析 非自适应多尺度几何分析是指图像变换的基函数与图像内容无关，主要包括r i g d g e l e t ， c u r v e l e t 和c o n t o u r l e t 变换。为了有效的表示图像的奇异性特征这一信号最重要信息，脊波 变换( r i d g e l e tt r a n s f o r m ) 【l 】【2 】1 3 】由d o n o h o 提出并发展起来。它在继承了小波良好的局部 时频分析能力的同时，具有很强的方向性和辨识能力，能有效地处理二维空间中具有直线 性的信号。但是对于图像曲线边缘的表示，其逼近性能只相当于小波变换，其表示系数也 不是稀疏的。 c a n d e s 和d o n o h o 为了寻求更好的表示方法，在脊波变换的基础进一步提出c u r v e l e t 变换【4 】oc u r v e l e t 变换由于引入了一个方向参量，使其具有各向异性的特性，对边缘和线状 细节等有良好的表示能力，以较少的非零系数表示图像的边缘信息。c a n d e s 和d o n o h o 进 一步构造了c u r v e l e t 紧支撑框架，并证明对于具有光滑奇异性曲线的目标函数，c u r v e l e t 变换提供了稳定、高效和几乎最优的表示。c u r v e l e t 理论分为两个阶段。初期其理论是建 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 立在r i d g e l e t 变换基础之上，数字实现比较复杂，其系数采用含7 个参数的复杂结构【5 1 。 此外还需要子带分解、平滑分块、正规化和r i d g e l e t 分析等一系列步骤1 5 】【6 】，而且c u r v e l e t 金字塔的分解也带来了巨大的数据冗余量，所以早期c u r v e l e t 的实现复杂，离散算法效率 低下，应用范围不是太广【7 l 【8 】【9 j 。第二代c u r v e l e t 变换相比第一代c u r v e l e t 变换而言，无需 分块操作和做脊波变换，而仅在紧支撑、框架等抽象的数学意义上引用脊波变换，因此它 比第一代c u r v e l e t 变换实现更简单，而且更便于理解。 由于c u r v e l e t 变换的优良性质，其在数字图像领域已经发挥了重要的作用。以其为基 础的多种新多分辨率算法，如c o n t o u r l e t 、b a n d e l e t 等等大规模出现，更是体现出了c u r v e l e t 变换的优势所有和在数字图像处理领域中巨大的发展潜力。 c u r v e l e t 变换提出至今的数年内，其理论研究有很好的发展，到第二代c u r v e l e t 变换 已经能很方便快捷的应用于数字图像处理中，主要的应用领域包括图像去噪 7 1 ，图像增强 【引，图像融创1 0 】【l l 】等等。但目前一部分应用普遍还是采用第一代c u r v e l e t 变换，也就是先 对图像进行预处理，然后采用r i d g e l e t 变换和r a n d o n 变换来实现，具有高度的冗余。第 二代c u r v e l e t 变换的理论基础，特别是快速离散实现方法的实现，使得c u r v e l e t 和原来传 统的小波变换相比，有了非常大的改进，在数字图像处理应用领域的实践中，越来越体现 出c u r v e l e t 变换的优越性。 2 0 0 1 年n d o 和m v e t t e r l i 在c u r v e l e t 变换的基础上提出一种新的多尺度表示工具 c o n t o u r l e 变换【l2 1 。它是一种“真正 的二维基，能捕捉到图像的本质性几何结构，而这是 对视觉信息来说是非常关键的。c o n t o u r l e 变换是直接在离散域内进行，因而计算效率比 c u r v e l e t 快速变换要高。c o n t o u r l e 变换依赖于拉普拉斯金字塔分解和非分离的滤波器组， 实现了图像的多分辨率和多方向性表示，提供了一种灵活的多分辨率、局域化的方向性图 像分解方法。如果有足够高的方向性消失矩，c o n t o u r l e 变换就能够对不连续的分段平滑函 数实现最佳逼近。这些性质使得c o n t o u r l e t 变换在图像处理中拥有巨大潜力。 在c u r v e l e t 基础上提出的c o n t o u r l e t 变换，由于其是直接在离散域构造，很好的克服 了c u r v e l e t 的缺点。它的函数支撑区间具有随尺度而长宽比变化的长条形结构，可以更好 的表示图像的曲线状边缘。同时它拥有多分辨率性，时频局部性，方向性和各向异性等优 秀的特性。l u 和d o 提出了非冗余c o n t o u r l e t 变换【l3 1 ，2 0 0 6 年，c u n h a 和d o 等又提出非 下采样的c o n t o u r l e t 变换【i 制，同年，r a m i n 和h a y d e r 等也提出了一种平衡不变的c o n t o u r l e t 变换。这些理论的提出，克服了c o n t o u r l e t 变换最初不具有冗余不变性的缺点。 在c u r v e l e t 变换的基础上，c o n t o u r l e t 变换，b a n d l e t 变换等一系列的多方向、多分辨 率的算法都发展起来，这使得对c u r v e l e t 变换理论的进一步深入研究和对应用领域的进一 步探索都更为重要。c u r v e l e t 变换诞生的时间还不是太长，对它的研究也远不如对传统小 波算法的研究那么成熟，因此它的发展空间还非常大，理论和应用上的研究还有潜力可以 挖掘。 武汉科技大学硕士学位论文第3 页 1 1 2自适应多尺度几何分析 自适应多尺度几何分析是指图像变换的基函数随图像的内容变化而变化，包括近年来 提出的b r u s h l e t ，w e d g e l e t ，b e a m l e t ，b a n d e l e t 和d i r e e t i o n l e t 。下面对它们进行简单的介 绍。 m e y e r 和c o i t i n a n 在1 9 9 7 年提出了一种自适应频带分割b m s h l e t 变换【l 5 1 ，它是将傅里 叶平面扩展加窗成傅里叶基而成。小波分解仅在傅里叶平面进行基于倍频程的分解，而角 分辨率很弱。b r u s h l c t 是特殊的双正交小波基，在频域只有一个峰值，b r u s h l e t 依据可能的 方向、频率和位置的纹理信息，可以自适应选择b m s h l e t 的大小和方向以获得精确和简捷 的图像表示形式。以上特点决定了它非常适合描述周期纹理图像，但无法稀疏表示分片光 滑图像的边缘信息。d o n o h o 在1 9 9 0 年提出一种简单有效的分段光滑连续图像表示方法一 w 司g e l e t 变捌1 6 j 【1 7 】。它是定义在正方形区域上分片二值函数，用一系列不同尺寸和方向 的基来逼近图像边缘轮廓。2 0 0 1 年，d o n o h o 和h u o 提出的b e a m l e t 1 8 】【1 9 1 与小波变换一样 是一种多尺度分析方向，但用线段代替小波分析中的点，使其能有效的分析线段的奇异性。 其变换过程中的b e a m l e tg r a p h 是最为关键的，它需要求解大规模优化问题，计算机复杂度 比较高，只能适用于很小的数据块处理。p e n n e c 和m a l l a t 在2 0 0 0 年提出了第一代b a n d e l e t 变捌2 0 1 ，它是一种基于边缘的自适应图像表示，能跟踪图像的几何正则方向。其核心是定 义图像中的几何特征为矢量场，而不是看成普通的边缘的集合，矢量场表示了图像空间结 构的灰度值的局部正则方向。b a n d e l e t 适合于图像压缩领域的应用。p e y r e 和m a l l a t 提出的 第二代b a n d e l e t 变换【2 i j 通过变通二维小波结合几何正交投影实现，不需要计算几何流，更 加简单快捷。d i r c t i o n l e t 2 2 是v e l i s a v l j e v i c 等在2 0 0 4 年基于整数格点理论提出的一种可分 离的多方向、多尺度图像表示方法，构造了一种基于网格的各向异性的、完全重构、严格 采样的变换。其高通滤波器具有方向消失矩，保留了和一维小波一样简单的计算和滤波器 设计。它具有的各向异性和多方向性克服了传统小波边缘和轮廓表示中缺陷，能稀疏表示 图像特征。 1 2 脉冲耦合神经网络 脉冲耦合神经网络的研究作为第三代神经网络的一个重要分支，随着生物神经学的发 展，对其研究和应用正在逐渐升温。脉冲耦合神经网络有生物学依据，与传统的人工神经 网络相比有很多的不同。1 9 8 7 年，g r a y 等发现猫的初生视觉皮层有神经激发相关振荡现 象，并于1 9 8 9 年将其发表于n a t u r e 杂志；与此同时，e c k h o m 根据猫的大脑视觉皮层同步 脉冲发放现象，提出了展示脉冲发放现象的连接模型，而后对其改进，得到了脉冲耦合神 经网络基本模型。脉冲耦合神经网络模型模拟了猫等哺乳动物视觉皮层视觉神经细胞活 动，利用了神经元特有的线性相加、非线性相乘调制耦合两种特性，考虑了生物电传输的 时延特性和指数衰减特性。此外，脉冲耦合神经网络模型还考虑到了哺乳动物视神经系统 视野受到适当刺激时相邻连接神经元同步激发产生振荡脉冲串特性，还有内部活动项中偏 第4 页武汉科技大学硕士学位论文 置一项实为神经元处于抵制状态时内部活动平衡态的一种等效表示。这样脉冲耦合神经网 络模型向生物实际神经网络更靠近了一步，对周围信号处理能力更强，对环境适应能力更 好。脉冲耦合神经网络模型作为单层模型神经网络，不需要训练过程即可实现模式识别、 图像分割和目标分类等，因此非常适合实时图像处理环境。其与多尺度几何分析理论、数 学形态学和模糊处理等其他信号处理方法结合起来，就能够在图像处理方面有更广泛的应 用! 脉冲耦合神经网络应用于图像去噪主要是通过调整脉冲耦合神经网络中像素点的亮 度来完成的。文献 2 3 】 2 4 】将脉冲耦合神经网络与中值滤波结合起来进行脉冲噪声滤波器的 设计，利用受干扰的像素灰度值与周围其它像素差异性较大的特点，先用简化的p c n n 模 型对图像进行预处理，找到噪声点的具体位置，再采用中值算法恢复像素灰度值。文献 2 5 】 利用噪声点与周围像素灰度值差异特性，使噪声对应神经元不会与周围其他神经元同时点 火。然后根据每次迭代后输出的是否点火来按照一定的步长逐次增加或减少噪声点灰度 值，直到与周围其他神经元同步输出脉冲。 对于图像增强，文献 2 6 】提出了基于p c n n 局部对比度增强的方法，完全基于图像本 身的自然区域或局部特征进行处理，充分利用了灰度性和空间信息相关性。文献【2 7 模拟 人主观视觉，把p c n n 感知的灰度激励值定义为增强的图像，并通过构造阈值来模拟马赫 带的效应。该方法是一种结合人眼视觉神经细胞感知特性的空域处理方法。 p c n n 来源于猫等哺乳动物视觉皮层视觉特性的研究，与现有任何分割方法相比，有 其显著优点。一般而言，利用p c n n 进行分割时，灰度值大的像素对应的神经元先点火， 通过脉冲传播，相邻空间位置神经元通过邻接矩阵进行同步脉冲。最后相同神经元集群对 应图像中相同区域，不同神经元集群对应图像中不同区域，以达到分割的目的。虽然p c n n 图像分割完全依赖于图像的自然属性，不用过多的预处理空间范围，也不需要训练过程即 可分割图像，但p c n n 模型中的参数较多，要经过反复实验才能得到最佳分割效果。文献 【2 8 1 1 2 9 对p c n n 模型进行了改进，由于被捕获神经元是下一时刻点火，先点火的神经元 并不能保证在下一时刻仍保持点火状态，所以其没有使灰度相邻的神经元完全同步。据此 一般认为传统的p c n n 模型并没有彻底体现p c n n 基于区域的特性。而s t e w a r t 等的改进 模型【3 0 】才算是体现了p c n n 的本质，其模型将会是今后基于p c n n 区域分割研究的方向。 此外，p c n n 在图像边缘检测、图像融合、图像阴影去除等方面都有应用。p c n n 可 有效用于图像处理的整个方面，从而整个图像处理系统都可由p c n n 来构成，其并行处理 结构决定了处理速度快、效率高，非常适合于实时或准实时处理系统。 1 3 论文的主要工作和内容安排 c u r v e l e t 变换和c o n t o u r l e t 变换对于二维图像信号有着比小波和脊波变换更为突出的 优越性，它们直接以边缘为基本表示元素，各向异性的特点使其具有很强的方向性，对于 图像的边缘几乎是最优的表示，这一切使得它非常适合应用在数字图像处理领域中。脉冲 武汉科技大学硕士学位论文第5 页 耦合神经网络模型来源于猫等哺乳动物视觉皮层视觉特性的研究，作为单层模型神经网 络，不需要训练过程即可实现模式识别、图像分割和目标分类等本文对c u r v c l 吼变换和 c o n t o l l r l a 变换理论进行了探讨，并将其与脉冲耦合神经网络模型相结合，在图像分割方 面进行了研究，主要内容包括： ( 1 ) 研究o l r v e l c t 变换的基本原理，从小波到硒d g e l e t 变换的提出，再到第一代c u r v d e t 变换的理论，最后对第二代c u r v e l e t 变换的实现过程及其系数特性进行了研究和 分析； ( 2 ) 研究c o n t o 幽变换，包括离散c o n t o 矾e t 变换和连续c o n t o 曲变换和无下采样 c o n m 嘲变换的基本原理； ( 3 ) 研究图像去噪，提出基于第二代快速c u r v d e t 变换改进的自适应n o m f l s 砒去 噪算法，并验证该算法与传统小波算法相比具有一定的优越性； ( 4 ) 研究图像分割，提出一种基于c o n t o w l e t 变换和脉冲耦合神经网络相结合的图像 分割算法； 本文的组织结构如下： 第1 章首先阐述了多尺度几何分析的发展，脉冲耦合神经网络的发展及其在图像处理 中的应用情况。 第2 章主要介绍了c u “e l e t 变换思想。从r i d g e l e t 变换开始，到连续和离散的c u r v e l e t 变换，最后介绍了w r a p p i n g 的快速离散c u e l e t 算法； 第3 章主要介绍了c o n t o 幽变换的思想，从c u e l e t 变换到c o n t o u d e t 变换的发展 过程，连续和离散的c o n t o u r l e t 变换理论和无下采样的c o n t o u d e t 变换的基本原理。 第4 章首先分析了c u r v e l e t 变换的特点，在此基础上改进n o n l l f ls m l l k 阈值算法的尺 度参数，提出一种改进的自适应阈值降噪方法。该方法发挥了c u r v e l e t 变换对曲线边缘的 稀疏表示的特性优点。实验结果表明在图像降噪方面与传统的小波收缩阈值方法相比不但 有更好的视觉效果，而且峰值信噪比值也更高。 第5 章首先分析了c o n t o u r l e t 变换的特点，然后介绍了p c n n 的基本原理与其在图像 分割中的改进算法。根据要分割图像的自身特点，提出了先在c o n t o 砌变换域进行增强， 再分离出图像中背景中的大块干扰纹理，最后提出一种结合c o n t o 眦l e t 变换和p c n n 的分 割方法，提高了p c n n 基于聚类的分割效率的同时达到较好的分割的效果。 第6 章对全文进行了总结，并提出一些值得进一步研究的方向。 第6 页武汉科技大学硕士学位论文 第2 章c u r v e l e t 变换基础理论 1 9 9 9 年c a n d e s 和d o n o h o 提出了c u r v e l e t 变换理论【4 】，其各向异性的特性，更适合分 析图像中的曲线边缘特征，而且对于图像具有更高的逼近精度，其系数具有几乎是图像边 缘信息最优的稀疏表达能力。本章节对c u r v e l e t 理论的进行简单介绍，回顾第一代c u r v e l e t 理论，重点介绍第二代c u r v e l e t 理论的快速离散变换。 第一代c u r v e l e t 变换由脊波理论衍生而来，如同微积分的一样，在微观尺度下，曲线 可以用直线近似表达，则曲线的奇异性就可以由直线的奇异性来表示，在这种意义上， c u r v e l e t 变换可以看作r i d g e l e t 的变换的积分。c u r v e l e t 变换的最核心关系是c u r v e l e t 基的 支撑区间存在着宽等于长的平方关系，正是这一具有方向性的基原子，使得c u r v e l e t 变换 是一种多分辨率，多带通，多方向的函数分析工具，符合“最优”的图像表示方法应该具 有的三种特征，并且具有好的非线性逼近能力的根本原因。 2 1 r i d g e l e t 变换 1 9 9 9 年e j c a n d e s 和d o n o h o 提出了r i d g e l e t 变换。w a v e l e t 由于l 司时具有时频局域 性，适于表示瞬变信号，因而在信号处理中得到了广泛的应用。w a v e l e t 可以较好的表示 零维或者点状奇异性，但图像中的边缘等特征表示为高维度的奇异性，w a v e l e t 无法有效 的进行表示。r i d g e l e t 变换能够有效的处理高维或者超平面奇异性问题。r i d g e l e t 变换不仅 能用一系列脊函数的叠加来表示相当广泛的函数类，而且也具有基于离散变换的“近于正 交”的脊波函数的框架，可利用各种特殊高维空间的不均匀性来模拟现实信号，更精确表 示图像特征，进而获得更好的图像处理结果。 i，、1 2 若函数v 满足条件：k ：产辇北 0 滤波器组将函数厂映射为 厂h ( 昂厂= o f ，a o f = 甲。事f ，a ，f = 甲2 ，f ，) ( 2 4 ) 满足l l s l l ；：1 1 4 s l l ：+ 0 ，s l l ：。可以定义c u r v e l e t 变换系数为 s 0 吼= ( a s 厂，口) ，q q ，口f ( 2 5 ) c u r v e l e t 变换是将任意均方可积函数厂映射为系数序列吼( m ) 的变换。其中m 表 示吒的参数集，称元素巳= ，。q q ，eef 为c u r v e l e t 。c u r v e l e t 的集合构成厶( 艘2 ) 上的一个紧框架( 2 6 ) ，并且有分解( 2 7 ) i i s l l ) 1 2 ( 2 6 ) 厂= ( 巳h ( 2 7 ) # e m 对具有c 2 曲线奇异的分片光滑图像厂的肘介非线性逼近产生的失真满足 e ( m ) = 0 厂一臂融i i ) 、w l ( 霄，一 八 y ， 倒 - g ，- n ) ( b ) 图3 3 扇形滤波器 这样采用两层基于扇形滤波器的多方向分解就可以实现四通道的方向滤波器组，其结 构如下图所示。 图3 4 四通道的方向滤波器组 o 2 第1 6 页武汉科技大学硕士学位论文 其中第一尺度和第二尺度的采样矩阵选取为q 和易，这样经过两尺度采样 后，q o q l = 2 厶，即在每一维以2 进行下采样。从第三级起，以后的滤波环节先进行重采样， 然后进行方向滤波和下采样。由于重采样仅是重排了样本，重建时进行相应的反重采样就 可以恢复原序列，因此不影响整个滤波环节的可逆性。将上文中的墨，r 用于前一尺度的 前半部分信道，恐，r 用于后半部分信道，如图3 5 所示。 j 二 图3 5 从第三尺度开始所使用的方向滤波器组结构示意图 3 4 连续c o n t o u r l e t 变换 和小波分解类似，连续域c o n t o u r l e t 变换是通过迭代的滤波器组将整个空间，2 ( 尺2 ) 分 解为多尺度、多方向的子空间序列。 q 纠= 。画卜。l 暑l ( 缈2 9 - 1 b 回 其中和孵。的定义与小波分解中的定义基本一致。是尺度2 如上的逼近分量 舨。( f ) ，又有 办。( f ) = 2 ( 2 f 一，z ) ，z ，ne z 2 ( 3 7 ) 办。( t ) 由尺度函数( ，) 的平衡缩放，由二尺度方程 矽( f ) = 2 g n ( 2 t - n ) ( 3 8 ) 其中，g 【行】是分解低通滤波器。是在尺度2 几1 上的细节分量。通过c o n t o u r l e t 变换， 形被分解为2 。个方向子空间吮) ，c o n t o u r l e t 函数p 在2 7 尺度上的平衡函数族