（固体力学专业论文）层状介质的三维水力压裂数值模拟研究.pdf

摘要 1 水力j j 裂技术作为汕气蚌增产增注的主要措施已广泛辟j f 低渗透油气井的开发中，通过 水j 压裂改善井底附近的渗流条件，提高r 油井的产能，但是，目前的模拟、分析和设计技 术都还只停留在处理均匀地层的压裂设计。未从根本上解决层状介质的模拟计算问题。而实 际地层几乎都是层状介质，因此研究这一问题有很重要的工程意义。y 本文首先从弹性力学基本方程出发，推导出单层各项同性介质的点力基本解。利用无限 大体的无限远处响应为零的条件，建议了一种对传递矩阵进行分解的方法，同时对上下半无 限体的表面状态变量进行处理，进而求出初始状态变量。由于多层弹性体的复杂性，不可能 得到其解的解析表达式。寻求解析和数值相结合的方法是一种有效的方法。本文提出的方法 能够处理无限大、半无限大分层介质问题的点力解。 利用无限体层状介质的基本解构造出g r e e n 函数，从而得出多层弹性介质含有任意形状 的埋人式裂缝的边界积分方程。为了模拟裂尖位移场的奇异性，对位于裂尖的单元选择奇异 形函数建c 义用最小二乘配点法数值求解所推导的边界积分方程。在处理方程系数矩阵奇异 性问题时利用源点附近的1 a y l o r 展开，采用配项消奇法解决这一棘手问题。若干典型算 洌证实了所得结果的可靠性。 根据水力压裂的实际情况，对非牛顿流动液在狭长裂缝中流动做了一些基本假设以简化 计算。再根据连续性方程、运动方程以及本构关系推导出控制压裂液流动的基本方程。由于 所推导的方程是高度非线性方程，必须采用数值方法进行求解。利用g a l e r k i n 法，推导出 二维流动方程的有限元公式。 耦合求解三维裂缝的扩展控制方程和二维压裂液的幂律层流的方程，给出了 n e w t o n - r a p h a s o n 迭代求解的流程图。研究了各地层参数和压裂液参数的变化对裂缝扩展 的影响得出了一些有参考价值的结果。 a b s t r a c t h v d r a u | i cf r a c i ur ef e c h n i q u e ， a sam a l nm e a s u r e ， h a sb e e n w i d e i y u s e df o r s t i m u i a t i o no fo i la n dg a sr e s e r v o i r sb yc r e a t j n gap r o p p e dc o n d u c t i v ec h a n n e lw h j c h e n h a n c e st h e 刊o wo fr e s e r v o i ro i io rg a st ot h ep r o d u c l i o nw e h o w e v e r ，l h j st e c h n i q u e o fa no ns j m u i a t i n gh y dr a u l i cf r a c l ur epr o c e s sc a no n i yd e a lw 计hh o m o g e n e o u si s o t r o p i c m e d i aj nf a c t ，l h ev e 川c a lg r o w t ho ft h ei n d u c e df r a c t u r ei sj n i a y e r e dr o c kf o r m a l i o n s w l t hh or i z o n t a l1 n - s i t us l r e s sd i 仟e r e n t i a l s t h e r e f o r e ，i ti sv e r y n p o r t a n ll or e s e a r c ht h e p r o b i e m so fh y d r a u i i cf r a c t ur ef o ro i ia n dg a se n g i n e e r i n g at r a n s f erm a xd i 仟er e n t i a le a u a i o n i sd e r i v e df r o mt h et hr e e d i m e n s i o n a i e q u b r i u me q u a t i o n sa n dc o n s l i l u l i v e e q u a t i o n so f ah o m o g e n e o u s ，i s o l r o p i ci n e a r e i a s l i cb o d yt h ee x p o n e n l i a im a 川xi sd i s c o m p o s e di no r d e rt oa v 0 i dn o n 。c o n v e r g e n c ei n s o m n gd i r e c l l y t h et r a n s f erm a 川xd i 仟e r e 州a i e q u a t i o n s t h er e i a t i o n sb e t w e e nt h e d i s d l a c e m e n t sa n d h es l r e s s e so nl h es ur f a c e so fl w 0s e m i - i n f j n i t eb o d l e sa r eo b t a i n e d i n m t r o d u c i n gt h e in f i n i i eb o u n d a r yc o n d o n st h ed j s p i a c e m e n l sa n ds t r e s s e si na n a r b i l r a r yp o i n to fl h es e m i i n 自n i t eb o d ya r ee a s i | yd e d u c e db yu s eo ft 卜l et r a n s f e rm a 川x e q u a l i o n a sa m a t t ero ff a c l ，i tl sn e a r f yi m p o s s 旧l el og e tt h em a t h e m a l i c a ie p r e s s i o n0 f g e n e r a | j z e d k e m n ss o iu i o nf o ra i a y e r e d h o m o g e n e o u s ， s o t r o p i c ， f i n e a re i a s l i c i n f i n i t e - b o d yi t ，t h e r e f o r e ，i so fg r e a ti m p o r t a n c et og a i nt h e i rn u m e r i c a is o i u t i o n sf o r e n g i n e er i n ga p p | i c a t i o n s ab o u n d a r y i n t e g r a ie q u a t i o n f o rt h es i m u i a l i o n o fv e n j c a l h y d r a u l i c f r a c t u r e pr o p a g a t i o ni nam u 睢j a y e r e dr e s e r v o i ri sp r e s e n t e db yu s i n go ft h eg e n e r a j i z e dk e m n s s o i u t i o n t h en u m e r i c a lr e s u i l sa r eo b t a i n e db yu t 川z f n gt h el e a s ts q u a r ec 0 o c a “o n m e t h o ds i n g u i ars h a p ef u n c t i o n sa r ee m p f o y e dt os i m u i a t et h ec o ds i n g u i a r i t yn e a rt h e c r a c kl i pat a y i ore x p a n s i o ni nt h ei o c a ip a r a m e 川cc o o r d i n a l e si sd e v e i o p e df o rl h e s i n g u i a rj n t e g r a n daf e wo fs a m p l e s v e 卅y t h er o b u s t n e s so f l h ep r e s e n tm e t h o d t h ei n j e c t e df r a c l ur e 州u i di sa s s u m e dt ob ea ni n c o m p r e s s 旧i ep o w e 卜l a wt y p e n o n - n e w f o n i a nf i u i da n dt ob e2 di a m i n a rfj o wi nl h ef r a c t u r et h eg o v e m i n ge q u a l i o n0 f l h ef r a c c u r ef i o wi sd e r i v e df r o mi l sc o n t i n u t y m o m e n t u ma n dc o n s m u t j v ee q u a f i o n s t h e f j n i t ee i e m e n tf o r m u l a ea r eg a i n e db ye m p l o y i n gt h es t a n d a r dg a l e r k i na p p r o x i m a l i o n t h em o d e dn e w t o n r a d h s o nn o n “n e a rs o i u t i o ns c h e m ei su s e dt os 0 i v el h e c o u p l i n ge q u a l i o n so ff o r m a t l o ne i a s l i c 时a n df r a c t u r ef i u d f i o wt h ef r a c t u r ec m e r i o nl s b a s e d0 nas f r e s si n l e n s i l yf a c l o ra p p r o a c h n u m e r i c a ir e s u i t sc a l i b r a t et h epr e s e n t m o d e l b yc o m p a r n g w ；t ht h es e l e c t e db e n c h m a r kc a s e s p a r a m e t r i c s e n s m v t y i n v e s t i g a t i o n sa r ea i s op e 阿o r m e dl o u s t r a t et h er o i eo fd i 仟e r e n tv a r i a b i e so nh y d r a u c f r a c l ur ec o n f i g u r a 蜘o ne v o i u t i o ni nm u - l a y er e df or m a t i o n s 中国科学技术大学申请博士学位论文 1 绪论 本章简要回顾水力压裂的裂缝形态分析的发展研究现状，井结合我i 习水力压裂的发展状 圯i f 我国化领域的发展趋势提出几点看法 1 1一般回顾 水力压裂的过程，一般需要在目标层中，通过井筒注入高压液体以尖劈目标层，从而形 成并延伸裂缝。为了使产生的裂缝在高压液体返排后不致于闭合，在形成裂缝以后，接着泵 注混有支撑剂的携砂液。携砂液将继续延伸裂缝并将支撑剂留在裂缝内。当支撑剂泵送完毕 后将粘性压裂液破胶降为低粘度的液体流回井内，然后返排回到地面，在目标层内留下一 条高导流的裂缝，以利油和气由地层远处流向井底。裂缝一般在井的两边形成对称的两翼 大体在垂直平面内延伸。当然也存在水平裂缝，在浅层压裂中水平裂缝较易发现。 1 1 国内外水力压裂技术的研究现状4 舶 水力压裂技术自1 9 4 7 年在美国堪萨斯卅i 实验成功至今近半个世纪了，作为油井的主要 增产措施正日益受到世界各国石油工作者的重视和关注，其发展过程大致可分为以下几个阶 段： 6 0 年代中期以前，以研究适应浅层的水平裂缝为主。这一时期我国主要以油井解堵和 增产技术为主，通常称之为常规压裂；这一时期我国进入工业性生产实用阶段，发展了滑套 式分层压裂配套技术；7 0 年代，国外进入改造致密气层的大型水力压裂时期；这一时期， 我国在分层压裂技术的基础上，发展了适应高含水层所需的蜡球选择性压裂工艺，以及化学 堵水与压裂配套的综合改造技术；8 0 年代，进人对低渗油藏的整体改造时期。压裂规模从 加液量只有1 9 m 3 精确控制短小裂缝的小型压裂到加液量5 8 3 0 m 3 ，用砂量2 8 5 7 吨，裂缝 长一公里多，耗资1 1 0 万美元的大型水力压裂，其工业技术在很多方面都得到了发展，这 一时期我国发展了适用于低渗透、薄油层多层改造的限流法完井压裂和投球法多层压裂技 术，8 0 年代后期，人们开始了压裂经济最优化，即优化水力压裂设计，这项技术包括以下 几个方面： 1 裂缝形态与净收益之间的关系 首先用油藏动态模拟器预测不同的裂缝长度和裂缝导流能力可望达到的油气产量，用 所得的数据建立起裂缝长度和净收益之间的关系，确定达到不同裂缝长度和导流能力所需的 经费，最大限度地提高经济回收总额；压裂经济最优化的一个主要原因就是使裂缝特性和地 层性质之间达到适当的平衡，一般认为渗透率高的储层要求高导流能力的裂缝，但裂缝长度 相对要求不太长。 2 压裂参数设计 影响压裂效果的因素很多，搞好压裂设计的基础是设计参数，也是压裂是否成功的先决 条件。目前还不能完全人为地控制裂缝在地层中的延伸状态，但可以人为地选择适当的压裂 液、支撑剂等压裂材料的类型、数量、泵人速度，准确控制储层裂缝长度、宽度、裂缝的导 流能力、缝高、方位、形状等方法目前仍处于实验阶段。 3 压裂数学模型设计 近年来压裂设计水平的提高突出地表现在数学模型的发展和应用上，发展和应用了水力 压裂的三维数学模型。以前简单的二维模型，假定裂缝的高度恒定，并认为裂缝的高度在压 裂过程中保持不变，裂缝几何尺寸是按二维线弹性计算，流体在裂缝中的流动按一维计算， 典型的二维模型有适用于裂缝长而窄的p k n 模型”4 j ，和适应于裂缝较短较宽的k g d 模型 9 1 ，这丽种模型均不能完全符合现场的实际压裂条件，在实际的压裂过程中，缝高和缝长在 同时增加，不可能保证缝高不变，从而人们开始了拟三维模型的实验研究，它是利用简化的 三维裂缝模型的概念发展起来的，可以计算出裂缝在x - y z 方向的三维扩展，在计算方法上 采用了二维的线弹性扩展或一维的流体流动，可以近似预测出裂缝的几何形状，现已广泛地 为现场所采用；而全( 真) 三维模型的实际研究，它是根据平衡裂缝的线弹性方程和裂缝的 三维扩展而发展起来的，大多使用应力强度因子和裂缝前缘的几何形状，伴之以二维流体流 动来模拟裂缝的延伸过程， 4 国外压裂数学模型在现场得到了广泛的应用 压裂数学模型口】_ 用于现场各种不同的场合和条件，如裂缝在油层和具有地应力差的相邻 t 层中的扩展分析、地应力和静水压力梯度对控制裂缝垂向扩展的作用、停泵后裂缝的进一步 发展、从微型压裂( m i n i f r a c ) 试验中估计地层渗透性能、不同类型压裂液交界面的位置变 化以及支撑剂在缝内的分布等。根据不同的用途和目的，国外各石油公司或服务公司都有自 己研制的全三维或拟三维压裂模型和软件，例如，s h e f j 公司的e n e n r a c ，m e y e r a s s o c s 公司的m f r a c ， r e s e r v o l r e n g i n e e r i n gs y s t e m( r e s ) l n c 公司的f r a c p r o ， s c h l u m b e r g e r 公司的f r a c h | t t e r r at e ki n c 公司的t e r r a f r a c ，m a r a t h o no i jc o 公司 的g o h f e r ，l e h i g hu n i v e r s 谴y 的h y f r a c3 d 等。 1 2 水力压裂技术的应用 1 水力压裂技术作为油气) i ：增产增注的主要措施已广泛用于低渗透油气井的开发中， 通过水力压裂改善井底附近的渗流条件，提高了油井产能，在美国有3 0 的原油产 量是通过压裂获得的”1 ， 2 利用水力压裂来测量就地应力参数0 5 i 。 3 利用水力压裂技术从煤层中采收甲烷气，减少开采煤矿中经常发生的瓦斯爆炸事 2 q 告技术大学申请博士学位论文 什 4 利用水力压裂技术从地热层中抽取能量。 5 在地震区域利用水力压裂触发地震”“，从而达到减轻地震的危害的目的， 1 - 3 水力压裂的机理 对水力压裂饥理的认识是水力压裂技术应用水平的重要标志，尤其是随着斜井、水平井 和多层垂直井的广泛应用，对压裂技术提出了更高的要求。因此，压裂机理一直是人们研究 的重要课题，对水力压裂机理的研究一般是以现场试验的为基础的。 1 3 1 裂缝起裂忙一1 裂缝起裂受到多 向【目素的影响，研究表明裂缝起裂取决于压裂液的注入速度、岩石 的非均质h ：和井筒中应力场的也力状态等。因此，不同的完井方式和不同的注入速度、直井 斜井和水平井的裂缝起裂方式都是各不同的。 1 套管完井时可能产生多条裂缝，且裂缝起裂与孔眼分布有关； 2 斜井裂缝起裂时，裂缝以一角度切割井筒； 3 井筒附近裂缝，最终会转向垂直于最小主应力方向； 4 高注入的排量有利于所有孔眼同时起裂。 1 3 2 裂缝延伸1 5 1 】 理论研究和试验观测表明，影响裂缝延伸的主要参数为： 1 存在于地层不同层的就地应力 2 裂缝附近地层的相对厚度 3 地层之间边界状况 4 岩石力学性质变化( 包括弹性模量、泊松比和韧度或可延展性) 5 裂缝内液压梯度 6 各层之间孔隙压力的变化 7 流体滞后 8 端部膨胀 9 微裂缝区 1o 连续损伤机理 局部地应力场和相邻层之间地应力差通常认为是裂缝形状及垂向延伸的控制因素。区域 地应力影响水力裂缝方位的趋向，裂缝通常将向垂直于最小主应力方向延伸。 层间地应力差明显地影响裂缝形状，通常人们应用裂缝延伸的理论公式假设一种简单的 裂缝形状如扁椭球形。 流体前缘的准确位置取决于湿润角和表面张力等因素。 - 3 - 1 绪论 由于缝端前方的应力很大，岩石可能产生塑性变形，限制了裂缝的开启，从而增加了流 体向裂缝端部流动的阻力，并使裂缝主要部分的净压上升。 在大裂缝周围及裂缝前方，存在一微裂缝区，称为过程区。在这一区域要消耗大量的能 量。用裂缝层理论或统计断裂力学可以对这一现象进行解释。 相对于大的水力裂缝来说，微裂缝的损伤可看成是连续的，连续损伤机理是用来模拟裂 缝端部的非弹性动态的。模拟中使用两类参数即损伤参数和规划参数。 水力压裂技术是多门学科知识的汇集，它包括岩石力学、流体力学、渗流力学、弹塑性 力学和断裂力学等力学内容，所涉及的算法有差分法、变分法、加权余量法、有限法和边界 元法等。目前求解水力模型最有效的方法是有限元法，边界元法在处理动边界问题时是一个 好方法，一般与有限元法同时采用，构成表面积分方程与有限元混合法。 因而，水力压裂的研究，需要多学科，多层次，复合性人才的大量投入，这是一项艰巨 而收益巨大的课题，对它的研究具有非常重要的意义， 水力压裂已成为开发致密油气层的有效手段，国外在这方面投人r 大量的研究工作。压 裂工艺的提高，压裂过程的分析，压裂液的改进等都获得了较大的进展，我国在这方面也作 了大量的研究工作并取得了一定的成果，但是，和国外先进的工艺技术相比还存在着较大的 差距，其中，主要表现在裂缝诊断技术、高性能压裂液的研究、水力压裂检测系统等方面。 在进行水力压裂设计时+ 准确预测裂缝几何尺寸是压裂设计及压裂效果评价中的一个重 要环节；由于目前各油田压裂规模都比较大，裂缝不可能是只局限在储层延伸，用国内普遍 使用的二维模型和拟三维模型进行压裂设计，往往会造成很造成很大误差，为了避免这类问 题的发生，有必要进行多层全三维水压裂缝的形态分析、计算不同时间下裂缝的长、宽、高 的变化趋势，这是水力压裂成功与否的关键。 全三维水压裂缝形态分析属于水力压裂领域的重要研究内容，在水力压裂的发展过程中 占有相当重要的地位同时也是水力压裂领域中的难点和重点，是裂缝延伸模型和对其进行 数学求解的两个过程的有机结合， 1 - 4 国外最新研究动态 进入9 0 年代，关于水力压裂的研究主要集中在以下几个方面 1 ) 支撑剂系列日益趋于完善 2 ) 新型压裂液和添加剂的研制( 低伤害为目标) 3 ) 压裂液流体力学和流变学的发展 4 ) 高砂比压裂技术的发展与优化 5 ) 重复压裂技术的发展 6 ) 压裂监测技术的发展 7 ) 压裂中缝高控制技术的发展 8 ) 爪裂没计方法的改进 - d - r z 吲科学技术大学申请博土学位论文 目前世界各主要石油技术研究部门在研究拟三维和全三维压裂模型基础上，编制了进 一步适合于生产设计的压裂软件系统，将裂缝几何参数设计、支撑裂缝设计和压裂液体系设 计、裂缝闭合期间和生产过程中填砂裂缝的动态变化进行了综合考虑和优化设计。同时，从 单井压裂设计发展到以获得最大产能、采收率和经济效益为目标的油藏或区块整体设计。 近几年来，水力压裂技术发展迅速，它不仅仅用于低渗油气田的改造，而且在中、高 渗透性地层特别是环境条件恶劣的地区布井方案也被作为一个重要的影响因素受到广泛的 重视，我国主要开展了特低渗透性油藏的整体压裂改造技术和低伤害新型压裂液体系的研 究，设i 十了一整套油层保护措施，开发了适合于中低温的有机硼交联压裂液( 聚合物压裂液) ， 提高了压裂液的携砂和破胶性能，有效地防止了压裂过程中压裂液对油层的污染。各大油田 在水力压裂方面都进行丁大量的研究工作1 ，他们主要在压裂工艺方面进行了较为系统的研 究；我国的万庄酸化压裂中心，是我国目前压裂领域的权威机构。 石油大学王鸿勋、张士诚、陈勉、陈治喜【1 4 l 等人在水力压裂领域也作了大量细致 的研究工作，取得了可喜的成果，为我国水力压裂技术的提高和完善作了较大的贡献。 国内低渗油田的产量和通过水力压裂改造增加的产量也在逐渐增加，特别是“九五”以 来，我国陆上油田新增的油气储量主要以低渗透为主，对水力压裂技术的广泛应用和深入研 究，必将会加快这类储量的开采速度和动用程度，为我国油气资源的合理接替提供一定的技 术保证。 1 2 水力压裂模型的演变 水力裂缝的几何形态( 长、宽、高) 和走向是影响压裂效果的主要因素之一。因此，尽 可能准确地描述水力压裂的裂缝几何形态对水力压裂的设计有着重要意义。 由于实际地层和井眼条件的复杂性，要全面考虑所有的影响因素是十分困难的，而且在 数值分析方法上也是不可能的。自5 0 年代以来，人们对实际情况作了不同程度的简化，发 展了各种模型来描述水力压裂的几何形态和延伸规律。 6 0 年代和7 0 年代中期发展了各种二维模型，8 0 年代中后期又出现了各种拟三维模型 和全三维模型。 2 - 1 二维模型 一般二维模型都假设裂缝固定高度为产层的厚度，裂缝仅沿着缝长方向延伸。各种二维 模型都假设在裂缝垂向没有液体流动，即流体仅有沿缝长方向的流动。 2 - 1 1k g d 模型 k h n s t i a n o v i c h 和z h e i t o v 于19 5 5 年首先提出了k g d 模型口1 “。该模型假设无限大各 - 5 - 向同性均匀介质在垂直于x y 的平面为平面应变变形，裂缝仅在这样的区域延伸即 一l ( f ) x l ( f ) ，一h 2 z h 2 和v ( x ，t ) j ， v ( x ，f ) ( 如图1 - 1 所示) 。在x = l o ) 处， 使裂缝进一步开启的应力盯，( x ，f ) 是有限值。而不同于经典的g r i f f i l h 裂纹尖端处的应力状态 f 1 ”。根据泵人压裂液的体积平衡条件来计算裂缝的长度l ( f ) 。19 6 9 年g e e r t s m a d ek l e r k f l 司 考虑流体滤失的情况，发展了这一模型。1 9 7 3 年，d a n e s h y ”将n o n - n e 州o n i a n 流体的效 应和支撑剂的输运算法加入该模型”。后来就通称为k g d 模型。 图1 1k g d 一维樽珏! j 示青图 ，影一 h ，驴上静厂7 图1 2p k n 的二维模型 6 中田f 1 学技术大学申请博十学位l 芑文 2 - 1 2p k n 模型 另一种非常著名的二维模型是p k n 模型。此模型也是一种等高模型，由p e r k i n s 和 k e m 【8 】于1 9 6 1 年首次提出，他们假定裂缝被限制在给定的油层范围内，在正交于裂缝延伸 方向的垂直平面上处于平面应变状态，因而每个垂直截面的变形与其它截面无关，裂缝呈椭 圆形扩展，1 9 7 2 年n o r d g r en 【“发展了这一模型，考虑了流体的滤失， c a n e r “首先考虑r 滤失问题的处理，它的处理是基于这样的实验观察，即液体滤失 要是l 裂液体与裂缝面接触的时问的函数，c a n e r 的模型仪限于等高的裂缝而且流体是准 静态的，w i a m s ”考虑了动态滤失的情况， g e e n s m a ”k 十上述二个模型做了对比，指出k g d 模型适用于长高比小于1 的模型， 而p k n 模型适用于长高比大于1 的模型。对于一组给定的条件，p k n 模型将预示着裂缝 压力将按缝长的1 4 次方比冽增长，而k g d 模型将预示着裂缝压力将按缝长的1 2 次方比 例减少”】。这两种模型的正确性取决于对裂缝形状的假设以及对缝高的预测是否合理，如 果裂缝的垂向止裂效果好，一般都能得到比较好的预测效果， 2 - 2 拟三维模型 由于二维模型都假定裂缝的高度在裂缝延伸过程中保持不变，因而当上下隔层与产层的 嚏力莘较火，使裂缝仅在产层内延伸，只有在这种隋况下，j 维模型d 是有效的，为了考虑 穿入或穿过隔层的情况，v a ne e k e l e 俨”用k g d 模型解决垂向延伸问题而用p k n 模型 解决横向延伸问题。求解过程中用分开的垂向剖面计算出裂缝的垂向高度增长，然后把求得 的高度增长用于广义p k n 模型来解决裂缝的横向扩展问题。a d v a n i 等【2 2 2 4 】用有限元方法来 计算在层状介质中垂向线性裂缝的扩展。c l e a r y “”基于p k n 模型建立了一个拟三维模型。 s e l t a r i a n dc i e a r y “用有限差分法来解由上述模型建立的耦合的边界积分方程和水平液体 流动方程。y e w o “将裂缝几何形态假设成具有椭圆形水平剖面和垂直剖面的矩形。缝内流体 为一维流动，并认为压裂液没有占据整个裂缝体积，被压裂液填充的缝长定义为“湿长度”， l u 和y e w 口还提出了层状岩层中应力强度因子的计算方法。 此外，b a r r e e 、m o r a i e s 、m e y e r 、b o u t e c a 哗9 1 等人也提出了拟三维模型。 国内石油大学的杨利波、王鸿勋1 ，西南石油学院的任书泉、石油勘探开发科学研究 院的刘翔鹗o ”等也开展了拟三维模型的研究工作。 石油大学的陈勉”“等研究了层状地层中水力压裂裂缝形态的计算模型，对分层地层中 断裂应力强度因子的计算方法进行了探讨。利用细观力学中微极理论的观点，提出了水力裂 缝延伸与阻挡的判断准则。 陈治喜9 “从岩石的断裂韧性角度出发计算了裂缝的垂向延伸高度并系统地研究了水力 压裂的力学机理。 拟三维模型能反映裂缝的三维形态，比二维模型更接近实际，与全三维模型相比其计算 7 1 绪论 速度快，所用时间少，不足之处是大都采用二维弹性理论推导裂缝的宽度方程，未能真实的 反映岩石的三维变形，并且假设裂缝内的流体为一维流动，这样在裂缝垂向延伸较大的情况 下是不适用的。 2 3全三维模型 目前，几乎所有的全三维模型从无限大、均匀、各向同性的三维岩石变形和二维流体流 动出发来建立裂缝控制方程。由于裂缝宽度相对于裂缝面积很小，因此穿过裂缝宽度的流体 压力和密度变化就很小，故假设裂缝在宽度方向的流速为零，同时认为流体在裂缝中的流动 为定常层流流动。 k a s s j ra n ds j h1 3 1 列含有平面椭圆裂缝的无限大均匀各向同性介质当裂缝面作用任 意载荷时，从三维弹性方程出发，引入位移函数，推导出裂缝附近的应力分布。c r u s e 9 利 用平衡方程、k e l v i n 解和b e 川互等定理，推导出裂缝宽度和缝内压力之间的奇异积分方程。 b u i 【3 9 1 和w e a v e r h 。1 用类似的方法得出同样的结果并给出了相应的数值解法。c i i n o n 等按 位错理论4 1 1 和变分原理【4 2 】也推导出裂缝宽度和缝内压力之间的缝宽控制方程。由于裂缝的 高和长与裂缝的宽度比很大因此压裂液的流动在缝内一般被简化成沿多孔平板的层流流 动，如图1 3 所示。 c l e a r v l 4 3 噜人的模型与c i i n o n 等的模型相似，只是在求解裂缝表面积分方程和对裂尖 区的处理方法上有所不同，他们均采用有限元方法进行数值模拟。 b o u l e c a h 4 l 在实验室内首次证明了水压过程中裂缝是沿椭圆裂缝延伸，b o u t e c a 假设裂 缝是椭圆形状，建立丁一套简捷实用的全三维裂缝形态预测模型的理论。 国i 大l 对全三维模型的研究很少1 9 8 9 年，石油勘探开发科学院采油所的孙聚展”“等在 图1 - 3 裂缝内流场的模型 - 8 - 习h 学技术犬学申请博士学位论文 水、裂裂缝噩诞伸们旗 _ l 荚吲德州人学台作开展j 全三维水力压裂没汁程序的研 究及编程l 作是我国e j 前具囱的为数不多的全二三维水力压裂软件之一。 全i 维摸型分别模拟丁裂缝的垂向延伸和水平延伸，较为真实地反映了裂缝的几何形 态、全三维漠型真实地反映丁岩石的三维变形和缝内流体二维流动， 各种模型在裂缝的几何形态分析中各有特色：一旦裂缝长度大于裂缝高度( h ，l f m + ，( h ，+ ，户。( h ，矿 记， ，o = o ：( 0 ) d ：( 0 ) 西( o ) o ：( 0 ) 以( 0 ) 以( o ) 式( 2 - 3 - 11 ) 可写为 其中 鼢吲倒 f 。m # m m m 了 式= t ，。) t 。) i ，) f n 。= f n 一，。 一。) ( 2 3 - 10 ) ( 2 3 - 1 1 ) ( 2 - 3 1 2 ) ( 2 - 3 - 13 ) ( 2 - 3 14 ) ( 2 - 3 14 a ) ( 2 3 - 14 b ) ( 2 3 - 14 c ) 这里o o d 分别表示f o ur i e r 变换空间下第一n 层的下表面( 即第一层的上表面) 和第n 层上表面的位移；o ，宝分别表示f o u r i er 变换空间下第一n 层的下表面( 即第一层上表面) 和第n 层上表面的应力。 将矩阵方程( 2 3 4 ) 中传递矩阵f 分块： - 2 3 、g ”雕一黜州一 “ 2 均匀各j 旬同性层状介质的基本解 解得 鼢 摹霉蝌倒帆j l 帮臂儿d 。j 憎j 譬；。 = 莩霉 a 麓。 + 等l 孑“wjl f fc yj 【a 一”o j 。【6 y j ( 2 - 3 1 5 ) 。= p “帮+ a ”帮“占一铲一帮孑一”r 1 一孑”舒) ( 2 3 - 1 6 。，b ) 瓯= a 一”宝。 在求得第1 层上表面的状态变量贾，( 0 ) 后，即可利用传递矩阵方程( 2 2 - 2 3 ) 计算出在 f o u r i e r 变换域下的任一层的状态变量应力和位移值。对所求出的状态变量再经过如下 的f o u r i er 逆变换即可得出真实域中任点的应力和位移值。 x ( x z ) = 云e 二需氆，n ，z 砘，吒d 1 1 ( 2 - 3 - 1 7 ) 3 - 3 k e i v n 解 为了验证上述结果，下面我们考察均匀无限大物体沿z 轴作用单位点力的情况。将无限 f ，层 1 十 t 十 ， z 。 图2 - 3 均匀无限体作用z 方向的单位点力 大体划分成上下半无限体和层厚为2 h ，分别记为一n 、7 层和n 层，单位点力作用在第7 层 离其上表面距离为 ，方向向下：取坐标轴如图2 - 3 所示，我们有： 百= 怯6 帅。 7 ( 2 - 3 - 1 8 ) 引入j e 号幽数 v ，s ，d e ( z ) = 忙：i ： 。舶) 2 4 r 卜囤科学技术大学申清博上学位论艾 甓i t s 填d s = h e a v | s | d e 瞳一心 lh e a v i s i d e ( z h 2 、 曙 0 0 陪黜p 第7 层的传递矩阵方程为： 贾，仁) = f ( z ) 膏，( 0 ) + 卢，( z ) ，怡a v s ，d e ( z n ) ， ( 2 - 3 - 2 0 ) ( 2 - 3 2 1 ) n ? 方程( 2 3 2 1 ) 中令z = 2 n ，二j 时根据层与层之间是完好连接，则有： 贾，( 0 ) = 贾一。( o ) ，膏，( 2 ) = 膏。( 0 )( 2 3 2 2 ) 将( 2 3 2 2 ) 式代人( 2 - 3 - 1 6 ) 式得 艺。：伍) 一a 。曾) ( 2 3 - 2 3 ) 其中，五：白n 贯= + a n 弓z u a 一一f 1 2 ，一f l z 。存一n ) _ 1 ，是3 x 3 矩阵，其9 个元素分别为 ，却p ，g 仇+ g ) 伉+ 2 g ) e 2 帅 一g p 伉+ g x l + 2 p ) 执+ 2 g l e 2 p “ 生进生安箕氅窑型逝剑 砭式 2 p 执+ 2 g ) e 却“ “ a 2 3 = a b = 滞 k ：生幽塑豢篙鲁竽则 k 砥。 “3 2 一丽了五浮万一 “3 3 “2 则第7 层表面的状态变量为 z o = _ 丽i 矿 e - p e 呻 e 呻 ( 2 3 2 4 ) 2 5 器 2 均匀各向同性层状介质的基本解 c i 0 = a 。 对式( 2 - 3 - 2 4 ) 和式( 2 3 2 5 ) 进行f o u r i er 逆变换，即可得出物理域下的解。 d - 1 篙。云e e e p 6 e 一慨h y ) 吒d 1 1 f p 生笔 雩宰型e 训且螂e ，j 0 0 r 邱o o ” 4 尢仇+ 2 g 1 一o 中尸 2 一v 4 兀n v _ ) ，2 卜岩2 云二二鱼专掣e - p 。吒d 1 1 f 旦二鼍望三! ! ；旦生。一。n 占e s s e j 。o ，邱o o 8 e h f l 一v ) 。一 1 + v 2 兀m ( 2 - 3 - 2 5 ) ( 2 3 - 2 6 ) ( 2 3 2 7 ) 解( 2 3 - 2 6 ) 和( 2 - 3 - 2 7 ) 的结果与经典的弹性力学k e l v i n 解完全一致，这里，8 e s s e ，j oo ，) 是零阶第一类8 s e ，函数。 2 6 - r h 1 ”虬 嚣一熬一 一 一 十一 g 一 +一) m 西p 一十 堕蛳 + 一 九一 中国科学技术大学申请博士学位论文 2 4分层半无限体的解 考察半无限体，由n 层组成，每层均为各向同性。将局部坐标系建立在每层的表面上， 取每层的z 垂直层面且向下为正，记为。设第n 层为半无限体，在离第m 层表面为， 处 作用平行x 轴的单位点力，如图2 4 所示。 对除m 和n 层的每一层传递疗程为： 贾，幢，) = t ( z ，) 贾，( d ) m 层传递方程为： 贾。( z 。) = t ( z 。) 贾。( 0 ) x 一 e 1 ，v 1 心 f i ， e m ，p m 只= 1 上+ x n ： r j l ，f f1 ， 图2 - 4 分层均匀半无限层作用沿轴方向的单位点力 1 当s ，时， x m 忙m ) = l ，忙m ) x m ( 0 ) 2 当z 。，时，如果单位力作用沿x 轴方向，则有 j 。) = 乇( z 。潆。( 0 ) + 卢。仁。芦。p 一专。 7 如果单位力作用沿z 轴方向，则有 - 2 7 - 2 均匀各向同性层状介质的基本解 戈。：t 塘。( 0 ) + 卢。乜，户。1 m 卜专。 7 仿照上一小节的处理，对半无限体n ，由于状态变量为有限值，因此矩阵户。q 。) 中含 e 旷项置为零，即矩阵卢。( z 。) 中2 ，5 ，6 列的元素全为零，但户一n ( 0 ) 中2 ，5 ，6 列的元素不为 零，仍采用修正前的值。又， f n ( z 。) = 户。( z 。户。( 0 ) 故。 j 。仁。) = 露0 。津。( 0 ) = 户。( z 。尸。- 1 ( 0 塘。( 0 ) 这里，转移矩阵中的元素见本章附录b 。 4 1 无限远条件 由半无限体的传递方程可得： 0 ：) 卯( “) 硭( z 。) 在上式中令z 。= 0 ，则有 疗：( o ) 卯( 0 ) 鳄( o ) o ：( q ) l 筇( 0 ) j = 西( 0 ) l 剽= 6 ：( 0 ) 艿袅( o ) 6 0 ( 0 ) 0 ：( 0 ) 酣( 0 ) 西( 0 ) j 配醒瑶flo ：( 0 ) 】l 础配 1 磊藿毫：；曷l + 磊毳 f 6 羔( 0 ) 1 o nl d 品( 0 ) j 卜品酬 ( 2 - 4 - 1 ) ( 2 - 4 2 ) j 1 一配一穗一醒h 翻瑶碣j a “= l 一强1 一恐一恐ll 强磁瑶l ( 2 - 4 _ 2 a ) j 一强一瑶1 一磁il 翻瑶恐i 将求出的第n 层表而状态变量位移和应力的关系式( 2 4 - 2 ) 代入到第几层表面状态变量 r ，j 醒瑶职醒醒毽磁职强配毽瑶班疆磁研碍瑶 r，；，1 = _； n 翌n 黯n 斗 l b a d 瑶稿嵇 d川训川m 的 q n 茸n “n 叫 一旧旧侍一 1，j 瑶现瑶班理氆 配醋诸 _1-_|_rj 瑶瑶职 一 一卜 瑶瑶瑶 一 一 一 记翟强 一 一 一 一 一 - 卜国科学技术人学申清博士学位沦殳 中则有 这里 贾。( 0 ) = 6 ：( 0 ) a ：( o ) 6 品( o ) o ：( 0 ) 0 ：【0 ) 西( o ) 100 01o o01 0 鼻0 品a 品 寺昌d 墨a 品 a 昌占品a 品 其中a ”中各元素a ? 的具体表达式见附录c 4 。 4 2 基本量的求解 将层问完全连接条件 膏_ 1 ( h ) = 膏f ( 0 ) ， ，2 代人传递矩阵方程有： 贾，) = f 1 ，谤，( 0 ) 贾。) = f 2 ( 心谤。( o ) = 五。成，潆，( o ) 贾。一，。一，) = f m 一，一，谤。一，( 0 ) = 一，。一，) 2 ( 2 ) 。元，潆，( o ) 当z 。 时， 贾。忙，) = f m ( z 。谤。( 0 ) = f m ( z 。瓦一，。一，瓦一：，一。 。置谤，( o ) 当z 。，时， 膏。( z 。) = f m ( z 。潆。( 0 ) + 卢。( z 。罗