（统计学专业论文）三种风险模型下破产概率的研究.pdf

摘要 在保险数学，也称为精算数学( a c t u a r i a l m a t h e m a t i c s ) 的范畴内，破产论是 风 险论的核心内容， 而作为评价保险公司偿付能力的数量指标破产概率及其推 广 g e r b e r - s h i u函数在破产论中占 有很重要的地位.本文对相关保险风险模型， 有界风险模型及广义双p o i s s o n 风险模型进行了 研究， 主要解决了下面几个问题: n , ( , ) n z ( ) 1研 究了 两 类 相 关 风 险 模 型u 仍= 二 十 c t - 艺戈一 艺丫 中 的 生 存 概 率 1 = 1 i = 1 v ( - ) ， 其 中n( ， ) 是 第i 类 索 赔 的 计 数 过 程( t = 1 , 2 ) , ( x ; , i 一 1 , 2 , ， ， y i = 1 , 2 ， 一 为索赔额随机变量序列.将其中一个风险由复合p o i s s o n 过程推广到了广义复合 p o i s s o n 过 程， 研究 了 tp ( u ) 在 索 赔 额 分 布 为 指 数 分 布时 的 解 析 表 达式 和 索 赔 额 分 布重尾时的尾等价关系. n ( , ) 2 . 研究了 有界 风险 模型u ( t ) = u + c t - s ( t ) , s ( t ) 二 艺y , 中的g e r b e r - s h iu函 口 = 1 数， 对索赔到达过程为e r l a n g ( 2 ) 过程研究了g e r b e r - s h i u 函 数满足的微积分方程 并进行求解. 当首次索赔到达时刻服从特殊分布时， 对延迟更新有界风险模型研 究了数学上易处理的g e r b e r - s h i u 函数的公式 3 . 建立了保费过程与两索赔过程均为广义齐次 p o i s s o n过程的新模型 劝 ) 一 “ 、 : 棘 s o 一 。m w 一 n )y p ) 一 n )y (2) ， 利 用 ， 论 的 方 法 讨 论 了 破 产 概 率 满 ， 二 11 二 1 足的l u n d b e r g 不等式和一般公式，以及当 个体索赔均服从指数分布时破产概率 的具体表达式. 关键词 函数， 余. : 广义复合p o i s s o n 过程， e r l a n g 过程， 破产概率， 生存概率， g e r b e r - s h i u 平稳更新风险过程， l a p l a c e 变换， 破产时刻， 破产赤字， 破产前瞬t0 i 盈 ab s t r a c t i n t h e c a t e g o ry o f t h e in s u r a n c e m a t h e m a t i c s , w h i c h i s a l s o c a l l e d a c t u a r i a l m a t h e m a t i c s , r u i n t h e o r y i s t h e c o r e c o n t e n t o f t h e r i s k t h e o r y . a s t h e q u a n t i t y i n d e x t o e v a l u a t e t h e r e p a y m e n t a b i l i t y o f t h e in s u r anc e c o m p a n y , r u i n p r o b a b i l i t y and i t s g e n e r a l i z a t i o n -g e r b e r - s h i u f u n c t i o n s t a n d t h e i m p o rt ant p l a c e i n r u i n t h e o r y . i n th i s d i s s e rt a t i o n , t h e c o r r e l a t e d a g g r e g a t e c l a i m s m o d e l , t h e r i s k m o d e l w it h a c o n s t ant d i v id e n d b a r r ie r a n d g e n e r a l iz e d d o u b l e c o m p o u n d p o i s s o n p r o c e s s a r e d i s c u s s e d a n d p r o b l e ms a r e s o l v e d a s f o l l o w s : 1 . d o a f u rt h e r in v e s t i g a t i o n i n t o t h e p r o b le m o f r u i n p r o b a b il it y 4p ( u ) in c o r r e l a t e d a g g r e g a t e c l a im s m o d e l u ( t ) i t g e n e r a l i z e s o n e o f t h e c l a i m s f r o m a c o mp o u n d p o i s s o n p r o c e s s t o a g e n e r a l i z e d p o i s s o n p r o c e s s e x p r e s s i o n sd e r i v e d f o r t h e u l t i m a t e s u r v i v a l p r o b a b i l it i e s u n d e r t h e e x p l i c i t a s s u me d e eh十1 比to 8 mo d e l wh e n s i z e s a r e e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t e d , and a t a i l e q u i v a l e n c e r e l a t i o n s h i pi s p r o v e d u n d e r t h e a s s u m p t io n t h a t t h e c l a i m s i z e i s h e a v y - t a i l e d . 2 . t h e g e r b e r - s h i u d i s c o u n t e d p e n a l t y f u n c t i o n i s c o n s i d e r e d f o r t h e r i s k m o d e l n ( r ) w it h a c o n s tan t d iv id e n d b a r r ie r u ( t ) = u + e t - s ( t ) , s ( t ) = 艺y , . t h e i n t e r g r o d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n i s d i s c u s s e d an d s o l v e d w h e n c l a i m o c c u r r e n c e r e l a t e s t o e r l a n g ( 2 ) p r o c e s s . t h e m a t h e m a t i c a l l y t r a c t a b l e f o r m u l a s a r e d i s c u s s e d f o r t h e g e r b e r - s h i u f u n c t i o n i n t h e s i t u a t i o n w h e r e t h e t i m e u n t i l t h e f i r s t c l a i m i s s p e c i a l l y d i s t r i b u t e d f o r a c l a s s o f d e l a y e d r e n e w a l r i s k p r o c e s s e s w i t h b a r r i e r . 3 . g e n e r a l i z e t h e g e n e r a l i z e d d o u b l e p o i s s o n p r o c e s s t o t h e n e w m o d e l w h e r e t h e tw o c la im p r o c e s s e s a r e b o t h t h e g e n e r a l iz e d p o is s o n p r o c e s s r ( t ) 一 。 + s o ) , s (t) 一 。 m (t) 一 艺 y - .t h e n t h e l u n d b e r g i n e q u a l i t y a n d t h e c o m m o n f o r m u l a o f t h e r u i n p r o b a b i l i t i e s a r e g o t t e n i n t e r m s o f s o m e t e c h n i q u e s f o r m m a r t i n g a l e t h e o ry. f i n a l ly t h e e x p l i c i t f o r m u la o f t h e r u i n p r o b a b i l i t i e s i s g o t t e n w h e n t h e t w o c l a i m d i s t r i b u t i o n s a r e b o t h e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t e d . k e y w o r d s : g e n e r a l i z e d c o m p o u n d p o i s s o n p r o c e s s ; c o r r e l a t e d a g g r e g a t e c l a i m s ; e r l a n g p a o c e s s ; r u i n p r o b a b i l i t y ; s u r v i v a l p r o b a b i l i t y ; g e r b e r - s h i u f u n c t i o n ; s t a t i o n a ry r e n e w a l r i s k p r o c e s s ; l a p l a c e t r a n s f o r m ; t i m e o f r u i n ; s u r p l u s i m m e d i a t e l y b e f o r e r u i n ; d e fi c i t a t r u i n . m 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪 论 9 1 . 1 风险 理论的背景知识 风险理论是保险数学( i n s u r a n c e m a t h e m a t i c s ) 和排队论的 基础， 一直是数学工 作者研究的 热点. 它的发展已 经历了 很长一段时间， e d m u n d h a l l e y和 d a n i a l b e r n o u l l i 对风险理论的发展做出了 很大的贡献， e d m u n d h a l l e y 构造了世界上第 一张生命表，d a n i a l b e rno u l l i 提出了以极大效用原理作为决策法则的思想.在 2 0 世 纪 ， h a r a ld c r a m e r t l 和f i l ip l u n d b e r g 21 建 立 了 风 险 理 论 研 究 与 一 般 随 机 过 程之间的关系， 把风险理论的 研究提高到了 一个新的高 度， 现己 公 认， l u n d b e r g 与c r a m e r 的工作成果为经典破产论的基本定理， 风险理论作为经营者或决策者对风险进行定量分析和预测的一般理论， 已 广 泛应用于投资和保险等行业.投资者经常需要选择那些损失小、收益大的项目， 而保险过程是投保人缴纳保费、 获得保障与承包人收取保费、 面临赔款风险的过 程， 投保过程实际上是面对风险和收益进行风险选择的过程， 为了更好的进行选 择， 就要对风险过程进行研究. 风险理论的主要研究对象是风险过程， 对风险过 程的研究是多方面的， 其中对其进行稳定性分析破产概率的研究， 形成了一 个新的研究领域破产理论. 破产理论是研究风险经营者经营状况的理论和方法， 主要应用于风险经营过 程的稳定性分析， 预测经营者在有限时间内和最终会破产的可能性大小， 对经营 者的策略起指导 性作用. 在进行风险决策前， 对将来要进行的风险经营过程进行 稳定性分析， 有极其重要的现实意义和理论意义. 特别在投资和保险行业， 其现 实意义更加明显. 通过对破产概率的估计和预测， 可决定是否对一 个项目 进行投 资:通过对一新险种将来经营过程的稳定性分析，可以决定是否开发这一险种， 同时对该险种的保费厘定也有指导作用， 可以通过调节保费来达到减小风险经营 过程的破产可能性的目的 另外， 聚合 风险理论作为保险或精算数学 ( a c t u a r i a l m a t h e m a t ic s ) 或者 说概率 论的一部分， 是处理保险业中随机模型的. 在这种模型中， 保险公司拥有的初始 ii r 产大于 0 ，理赔发生过程用一个点过程来刻划，保险公司收到保费作为其收 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪 论 9 1 . 1 风险 理论的背景知识 风险理论是保险数学( i n s u r a n c e m a t h e m a t i c s ) 和排队论的 基础， 一直是数学工 作者研究的 热点. 它的发展已 经历了 很长一段时间， e d m u n d h a l l e y和 d a n i a l b e r n o u l l i 对风险理论的发展做出了 很大的贡献， e d m u n d h a l l e y 构造了世界上第 一张生命表，d a n i a l b e rno u l l i 提出了以极大效用原理作为决策法则的思想.在 2 0 世 纪 ， h a r a ld c r a m e r t l 和f i l ip l u n d b e r g 21 建 立 了 风 险 理 论 研 究 与 一 般 随 机 过 程之间的关系， 把风险理论的 研究提高到了 一个新的高 度， 现己 公 认， l u n d b e r g 与c r a m e r 的工作成果为经典破产论的基本定理， 风险理论作为经营者或决策者对风险进行定量分析和预测的一般理论， 已 广 泛应用于投资和保险等行业.投资者经常需要选择那些损失小、收益大的项目， 而保险过程是投保人缴纳保费、 获得保障与承包人收取保费、 面临赔款风险的过 程， 投保过程实际上是面对风险和收益进行风险选择的过程， 为了更好的进行选 择， 就要对风险过程进行研究. 风险理论的主要研究对象是风险过程， 对风险过 程的研究是多方面的， 其中对其进行稳定性分析破产概率的研究， 形成了一 个新的研究领域破产理论. 破产理论是研究风险经营者经营状况的理论和方法， 主要应用于风险经营过 程的稳定性分析， 预测经营者在有限时间内和最终会破产的可能性大小， 对经营 者的策略起指导 性作用. 在进行风险决策前， 对将来要进行的风险经营过程进行 稳定性分析， 有极其重要的现实意义和理论意义. 特别在投资和保险行业， 其现 实意义更加明显. 通过对破产概率的估计和预测， 可决定是否对一 个项目 进行投 资:通过对一新险种将来经营过程的稳定性分析，可以决定是否开发这一险种， 同时对该险种的保费厘定也有指导作用， 可以通过调节保费来达到减小风险经营 过程的破产可能性的目的 另外， 聚合 风险理论作为保险或精算数学 ( a c t u a r i a l m a t h e m a t ic s ) 或者 说概率 论的一部分， 是处理保险业中随机模型的. 在这种模型中， 保险公司拥有的初始 ii r 产大于 0 ，理赔发生过程用一个点过程来刻划，保险公司收到保费作为其收 西北工业大学硕士学位论文 入. 保险公司每次支付给客户的理赔额被看作是一列随机变量， 保费收入与理赔 额均值的差额是 “ 安全负荷，. 在聚合风险理论中， 一个非常重要的问题是研究破产概率， 即保险公司的最 终资产为负时的概率. 破产概率一直是风险理论研究的重点， 它之所以重要， 是 因为它是保险精算师的基础工具， 是险种制定、 保费计算、再保险策略， 代理人 策略等工作的基础. 保 险 风 险 模 型 早 期 的 研 究 可 以 追 溯 到1 9 0 3 年f i lip l u n d b e r g (s 1 的 工 作 ， 他 的 工作奠定了 保险风险理论的基础. l u n d b e r g 意识到复合p o i s s o n 过程是非寿险 模 型 ( n o n - l i f e i n s u r a n c e m o d e l s ) 的关键所在. 在此基础上， h a r a l d c r a m e r 和他的 研 究机构构筑了非寿险数学模型的概率基础， 使得风险理论成为概率论和数理统计 的一个非常活跃的分支， 关于风险模型中破产概率的研究， 可以依据风险模型的不同提法， 在针对保 险公司运作中遇到的种种问题， 通过对概率或统计模型进行修正， 附加种种条件， 使得模型更接近保险公司的实际运作. 这使得破产概率的研究变得非常富有挑战 性， 所以 破产概率的研究在国际上一直是人们关注的一个焦点. 但在国内， 从事 这方面研究的人员还比较少， 有关破产概率的发展和研究现状的综述性文献和有 关 破产 概 率的 专著 有:g e r b e r ( 1 9 7 9 ) 1 , g r a n d e ll ( 1 9 9 1 ) 14 ) 等. 为了 给出经典风险模型的数学描述，首先给出以下定义: 定 义1 . 1 . 1 称 取非 负 整 数 值的 随 机 过 程 xt ? 0 为p o i s s o n 过 程， 如 果 它 满 足 : ( 1 ) 动是 独 立 增 量 过 程; (2 ) 对 任0 0 . 正 是l u n d b e r g 和c r a m e r 的 基 础 工 作， 人 们把 最 基 本的 风险 模型 也 就 是 经典 风险 模型 称为c r a m e r - l u n d b e r g 模型， 简单 地叙述如下: ( i )理赔点 过程是p o i s s o n 过程 ( i i )理赔额是一列独立同分布的随机变量 西北工业大学硕士学位论文 ( i i i ) 理赔点过程和表示理赔额的随机变量是独立的， (i v ) 单位时间保费收入是常数. 其风险过程定义为: u ( t ) 一 u + c 一 s ( t ) , t 0 ( 1 . 1 . l ) y. 州叉间 其中 s (t ) 二 表示总理赔量过程， 即到时刻t 时的总理赔额大小; 赔付额y , i = 1 , 2 ， 一是i.i .d 非 负 随 机 变 量 ， 服 从 分 布f ( x ) ; 索 赔 到 达 过 程n ( t ) 是p o i s s o n 过 程且 与y , 独 立:u 是 保险公 司的 初始资 产; 是 单 位时 间的 保费 收入 ( 保 费 率 ) ， 为 常 数; u ( r ) 是， 时 刻 保 险 公 司 的 盈 余 ( 资 产 ) 经典的风险理论在近百年来一直是概率统计学家和其它数学家的研究热点， 例 如 : b e e k m a n ( 1 9 6 9 ) 15 1 给 出 了 著 名 的b e e k m a n 卷 积 公 式 ， 这 是 后 人 作 破 产 概 率 估计的基础;f e l le r ( 1 9 7 1 ) 16 1 证明了与破产概率对应的生存概率( s u r v iv a l p r o b a b i l i t y ) 满足亏 损更新方程 ( d e f e c t i v e r e n e w a l e q u a t i o n ) . 另外， 经典风险模型已在很多方面被推广， 如将保单到达过程或索赔额到达 过程推广为一般计数过程、 模型中包含不相关或相关的两类或多类索赔额到达过 程，这些推广使模型更符合实际情况. 互 1 . 2 经典风险模型的研究内 容及其主要成果 令1f ( s 2 , f , p ) 是 一 个 完 备的 概 率 空 间 ， 下 列 独 立的 过 程 或 随 机 变 量 定 义 在 其 点 过 程n ( t ) = n (t ) : t _ 0 1 ， 其 中 n ( 0 ) = 0 . 川 、 为 独 立 同 分 布 (u .d ) 随 机 变 量 ， 服 从 共 同 分 布 f , f (0 ) 一 。 ， 均 值 为 一(i)(ii) 尸，方差为6 2 . 经典风险模型有很多种叙述方法: 定义1 .2 . 1经典风险模型满足以下条件: 西北工业大学硕士学位论文 ( i i i ) 理赔点过程和表示理赔额的随机变量是独立的， (i v ) 单位时间保费收入是常数. 其风险过程定义为: u ( t ) 一 u + c 一 s ( t ) , t 0 ( 1 . 1 . l ) y. 州叉间 其中 s (t ) 二 表示总理赔量过程， 即到时刻t 时的总理赔额大小; 赔付额y , i = 1 , 2 ， 一是i.i .d 非 负 随 机 变 量 ， 服 从 分 布f ( x ) ; 索 赔 到 达 过 程n ( t ) 是p o i s s o n 过 程且 与y , 独 立:u 是 保险公 司的 初始资 产; 是 单 位时 间的 保费 收入 ( 保 费 率 ) ， 为 常 数; u ( r ) 是， 时 刻 保 险 公 司 的 盈 余 ( 资 产 ) 经典的风险理论在近百年来一直是概率统计学家和其它数学家的研究热点， 例 如 : b e e k m a n ( 1 9 6 9 ) 15 1 给 出 了 著 名 的b e e k m a n 卷 积 公 式 ， 这 是 后 人 作 破 产 概 率 估计的基础;f e l le r ( 1 9 7 1 ) 16 1 证明了与破产概率对应的生存概率( s u r v iv a l p r o b a b i l i t y ) 满足亏 损更新方程 ( d e f e c t i v e r e n e w a l e q u a t i o n ) . 另外， 经典风险模型已在很多方面被推广， 如将保单到达过程或索赔额到达 过程推广为一般计数过程、 模型中包含不相关或相关的两类或多类索赔额到达过 程，这些推广使模型更符合实际情况. 互 1 . 2 经典风险模型的研究内 容及其主要成果 令1f ( s 2 , f , p ) 是 一 个 完 备的 概 率 空 间 ， 下 列 独 立的 过 程 或 随 机 变 量 定 义 在 其 点 过 程n ( t ) = n (t ) : t _ 0 1 ， 其 中 n ( 0 ) = 0 . 川 、 为 独 立 同 分 布 (u .d ) 随 机 变 量 ， 服 从 共 同 分 布 f , f (0 ) 一 。 ， 均 值 为 一(i)(ii) 尸，方差为6 2 . 经典风险模型有很多种叙述方法: 定义1 .2 . 1经典风险模型满足以下条件: 西北工业大学硕士学位论文 ( 1 ) 理 赔 额 过 程 : 理 赔 额 大 小 伙 琅 n j 是 非 负 i.i .d . 随 机 变 量 ， 服 从 共 同 分 布 f ， 均 值为f t ， 方差为j ， 0 ( 1 .2 . 1 ) 其 中 s w是 总 理 赔 量 过 程， 是 复 合p o is s o n 过 程 ; 。 表示 保 险 公 司 的 初 始 资 产 ; 是 单 位时 间 保费 收 入 ( 保 费 率 ) ， 是 正 的 常 数 ; u (是， 时 刻 保 险 公 司 的 盈 余 . 显然， 一般情况下总理赔量过程应为: 定义 1 . 2 .3总理赔量过程: n ( j s ( t ) = 艺y , ，n ( 小 0 ( 1 . 2 2) 其 中 n ( t ) 为 点 过 程 ， 当 n ( t ) = 0 时 ， s ( t ) = 0 . 当保险公司初始资产为u ，在经典风险过程中破产概率为: 定义1 . 2 . 4 经典风险过程中破产概率为: v ( u ) = p u ( t ) o 由于总理赔量过程在破产概率的计算中居于非常重要的位置， 有必要再给出 总理赔量分布的概念，令: 西北工业大学硕士学位论文 g , ( 小 p s ( t ) 0 为此需要下述安全负载假设: 假 设1设。 一 ( 1 十 川 ,t /- 其中p 0 ， 称为 相对安全负载. 若 p 0 ， 则 当 t * 。 时， e 仁 u ( t ) 卜、， 即 x ( t ) 具 有 向 。 逼 近 的 趋 势 ， 以下关于经典风险模型的结论对于我们研究推广的风险模型有一定的参考 作用: (，) 。 ( ) 一 w (0 ) + 鲁f tp ( u 一 0 ( 一 f ( z ) ) d z ( 2 ) w ( 0 ) 二 l + p ( 3 ) 若 y ) ;,e n 服 从 指 数 分 布 ， 则 w ( u ) 二 e u ( v ) l +p ( 4 ) r e n y i 极 限 定 理 ( 见k a l a s li n ik o v ( 1 9 9 7 ) 17 1 ) ， ._ x p 、_ 一 : u m w e 1 1 =e q - l4 l 西北工业大学硕士学位论文 ( 5 ) c r a m e r - l u n d b e r g渐近表达式( 简称 l u n d b e r g渐进表达式)(见 g r a n d e l l( 1 9 9 1 ) la ) :若存在: 0使得 c r a m e r条件成立，即 ( 1 一 。 ) e e x p ( r y , ) = 1 ， 则 v c ( x ) 一 c e - ， 当 - ). a 0 这里及以后，f ( o 一 抓: ) 表 示 li m 号一资 . w艺 gm 怪1 . 3 经典模型的拓广 经典风险模型具有很多局限性， 为了更好的描述保险公司的经营过程， 需要 对此模型进行拓广.一般可以从以下三个方面进行拓广: 1 .保费可以依赖于保险公司的经营成果，从而可以在保险公司业务量很大 时 ， 让 安 全负 载 减小 一 些， 即 将 保费 率。 扩 展 为 关 于 时 间 的 函 数。 ( ) . 2在风险模型中，考虑风险波动，规模波动以及利率对破产概率的影响， 即 改 变 理 赔 额 随 机 变 量 y , ) p . iv l 的 分 布 函 数 ， 改 变 描 述 索 赔 出 现 的 随 机 过 程 n ( t ) , 使其能反映经营规模的变化， 符合保险公司经营的实际情况， 考虑利率因素对资 本的影响. 3 . 考虑保险公司在经营过程中新险种的开发，使风险模型能反映保险公司 开发新险种的经营过程. d a s s io s 和e m b r e c h t s , d e l b a c n和h a e z e n d o n c k 对前两个方面的拓广做出了 很 大 的 贡 献 ， 如 n (t ) 被 推 广 为 更 新 过 程 ， 可 参 阅e m b r e c h t s ( 1 9 9 7 ) l8 1 的 著 作 ， 该 书 讨 论了 理 赔 为 轻 尾 和 重 尾 分 布 时 的 破 产 概率 情 况; g r a n d e l l( 1 9 9 1 ) la l 详 细 讨论 了在普通( o r d i n a ry ) 和平稳( s t a t i o n a r y ) 更新过程时的破产概率; k l u p p e l b e r g和 m ik o s c h ( 1 9 9 7 ) l9 研究 了 当 点 过 程 可以 是 更 新 过 程， 而 理 赔 额 服 从 重 尾 分 布 时， 破产概率的大偏差表达形式.关于混合p o i s s o n 过程在风险理论中的应用，也就 是当n ( t ) 是混 合p o i s s o n 过 程 时， 这 种 推 广 具 有非 常 深 刻的 应 用背 景， 利 用该 模 西北工业大学硕士学位论文 ( 5 ) c r a m e r - l u n d b e r g渐近表达式( 简称 l u n d b e r g渐进表达式)(见 g r a n d e l l( 1 9 9 1 ) la ) :若存在: 0使得 c r a m e r条件成立，即 ( 1 一 。 ) e e x p ( r y , ) = 1 ， 则 v c ( x ) 一 c e - ， 当 - ). a 0 这里及以后，f ( o 一 抓: ) 表 示 li m 号一资 . w艺 gm 怪1 . 3 经典模型的拓广 经典风险模型具有很多局限性， 为了更好的描述保险公司的经营过程， 需要 对此模型进行拓广.一般可以从以下三个方面进行拓广: 1 .保费可以依赖于保险公司的经营成果，从而可以在保险公司业务量很大 时 ， 让 安 全负 载 减小 一 些， 即 将 保费 率。 扩 展 为 关 于 时 间 的 函 数。 ( ) . 2在风险模型中，考虑风险波动，规模波动以及利率对破产概率的影响， 即 改 变 理 赔 额 随 机 变 量 y , ) p . iv l 的 分 布 函 数 ， 改 变 描 述 索 赔 出 现 的 随 机 过 程 n ( t ) , 使其能反映经营规模的变化， 符合保险公司经营的实际情况， 考虑利率因素对资 本的影响. 3 . 考虑保险公司在经营过程中新险种的开发，使风险模型能反映保险公司 开发新险种的经营过程. d a s s io s 和e m b r e c h t s , d e l b a c n和h a e z e n d o n c k 对前两个方面的拓广做出了 很 大 的 贡 献 ， 如 n (t ) 被 推 广 为 更 新 过 程 ， 可 参 阅e m b r e c h t s ( 1 9 9 7 ) l8 1 的 著 作 ， 该 书 讨 论了 理 赔 为 轻 尾 和 重 尾 分 布 时 的 破 产 概率 情 况; g r a n d e l l( 1 9 9 1 ) la l 详 细 讨论 了在普通( o r d i n a ry ) 和平稳( s t a t i o n a r y ) 更新过程时的破产概率; k l u p p e l b e r g和 m ik o s c h ( 1 9 9 7 ) l9 研究 了 当 点 过 程 可以 是 更 新 过 程， 而 理 赔 额 服 从 重 尾 分 布 时， 破产概率的大偏差表达形式.关于混合p o i s s o n 过程在风险理论中的应用，也就 是当n ( t ) 是混 合p o i s s o n 过 程 时， 这 种 推 广 具 有非 常 深 刻的 应 用背 景， 利 用该 模 西北工业大学硕士学位论文 型， 可以估计由于季节或政治因素等所引起的理赔到达过程， 其强度在现实中不 是 常 数的 性 质. h a n s g e r b e r 131 把 轶 逼 近的 方 法引 入 到 风险 研究 领域， 并 用此 方 法 证 明 了l u n d b e r g 不 等 式 : qr ( u ) - e - x . w il lia m f e lle r lb 把 “ 有 缺 陷 的 更 新 方 程 ， 应 用 到 风 险 理 论 研 究 中 ， 并 用 此 证 明 了 c r a m e r- l u n d b e r g 逼 近 : 变 砂 伽 ( “ ) 二 c . 经典风险模型成功解决了单险种风险模型的破产问题， 给出了当理赔额分布 为指数分布时， 破产概率的精确表达式; 初始资本为0 时， 破产概率的精确表达 式， 并对初始资本为u 时的破产概率予以 估计. 但是， 经典风险模型没有考虑新 险种的开发以及保险公司业务经营规模的扩大 实际上， 保险公司经常扩大经营 规模， 每一险种的保单持有者的人数也日 益增多， 需要用一种新的点过程来描述 索赔的到来.于是，就产生了一种新的风险模型:非齐次p o i s s o n 模型: 定 义1 .3 . 1令a ( t ) 是 一 连 续 非 减 函 数 ， 且a ( 0 ) = 0 b t _ 0 ) ( 2 .1 .4 ) 最 终 破 产 概 率 为 yr ( u ) = l 一 ,p ( u ) 显 然 ( 2 .1 .3 ) 中 的 相 关 关 系 来 自 两 个 索 赔 过 程 包 含 同 一 个 成 分 天 ( ， ) ， 近 年 来 此 类 相 关 风 险 模 型 己 得 到 广 泛 研 究 例 如 ， a m b a g a s p it iy a ( 1 9 9 8 ) 考 虑了 一 种 般 西北工业大学硕士学位论文 第二章 两类相关索赔模型下破产概率的研究 怪 2 . 1模型建立 由于保险公司风险经营规模的不断扩大， 考虑到用单一险种的风险模型来描 述风险经营的局限性， 本章建立了两类相关风险模型， 并对其破产概率进行了研 究， 研究了索赔额分布为指数分布时的生存概率， 并研究了此模型下索赔额分布 为 重 尾时 生 存 概 率p ( u的 尾 等 价 关 系 首 先建立 含有 两类 相关 保险 业务 的 风 险 模型: x , 是 第一 类索 赔 额随 机 变量， 且 独立同 分 布， 其 分布函 数为f x ; y , 是 第 二 类索 赔 额随 机 变量， 且 独立同 分 布， 其 分 布函 数为f , ， 记x ; , y , 的 均 值分 别 为f i x , /j r ， 则 总 索 赔 额过 程为: n . ( i ) n a) u ( t ) = 艺x ; + 艺y , ( 2 . 1 .1 ) f 二 吸i =1 其 中从( 0 是 第i 类 索 赔 的 计 数 过 程( i = 1 , 2 ) ， 假 设 戈, i = 1 , 2 ， 一 , ( y , i = 1 , 2 , ， 二 独 立， 并 且 ， 与n , ( t ) , n z ( t ) 相 互 独立 所谓相关风险模型是指这两类计数过程有以下联系: n , ( ， ) 一 k , ( t ) + k ( t ) n , ( t ) = k z ( ， ) + k ( t ) (2 . 1 .2 ) 其 中 k , ( t ) , k , ( t ) , k ( t ) 是 三 个 相 互 独 立 的 更 新 过 程 . 进而定义盈余过程为: s ( t ) = u + c t - u ( t ) ( 2 .1 .3 ) 其中u 为初始资本， 为保费率，最终生存概率为: ,p ( u ) = p ( s ( t ) _ o , t _ 0 ) ( 2 .1 .4 ) 最 终 破 产 概 率 为 yr ( u ) = l 一 ,p ( u ) 显 然 ( 2 .1 .3 ) 中 的 相 关 关 系 来 自 两 个 索 赔 过 程 包 含 同 一 个 成 分 天 ( ， ) ， 近 年 来 此 类 相 关 风 险 模 型 己 得 到 广 泛 研 究 例 如 ， a m b a g a s p it iy a ( 1 9 9 8 ) 考 虑了 一 种 般 西北工业人学硕士学位论文 方法，即从一个由 独立随机变量组成的向 量中得到一个索赔次数相关的p 维向 量，并对p类相关索赔的情况导出公式计算了总索赔额的分布;c o s s e t t e与 m a r c e a u ( 2 0 0 0 ) f l 使 用 离 散 时 刻 逼 近 的 方 法 研 究 了 此 类 相 关 关 系 对 有 限 时 间 破 产 概率以及调节系数的作用 在与风险理论密切相关的 序列理论中， e r l a n g分布是应用最广的分布之一， 例 如 ， a s m u s s e n ( 1 9 8 7 , 1 9 8 9 ) f 1 与d ic k s o n ( 1 9 9 8 ) 研 究 了 导 出 复 合p o i s s o n 模 型 相关结果的方法如何应用于索赔到达过程为 e r l a n g过程的风险模型.对此类 e r l a n g 风险 过程， d i c k s o n 与h ip p ( 1 9 9 8 ) 1 0 研究了 作为一个几何随 机变量的 最终 生存概率， 并得到了破产概率的解析解与数值解 有了这些文章的启发， 论文将 研究把 e r l a n g过程应用于保险精算问题.k a m c . y u e n ( 2 0 0 2 ) ( i 研究了当 戈 ( ， ) ， 凡( ) 为p o is s o n 过 程 ， 凳 ( ) 为e r la n g 过 程 时 ， 模 型 ( 2 .1 .3 ) 的 生 存 ( 破 产 ) 概率， 考虑到用单一险种的风险模型来描述风险经营的局限性， 本论文将研究当 k , ( t ) , 戈( ) 为 广 义p o i s s o n 过 程 ， 又 ( ， ) 为 e r la n g 过 程 时 ， 模 型 ( 2 .1 .3 ) 的 生 存 ( 破 产) 概率，并进行推广，为此首先给出以 下定义: 定 义2 . 1 .1 有 限 值 计 数 过 程 凡 ， ， : 时 称 为 广 义 齐 次p o is s o n 过 程 ， 若 它 满 足 下列条件: ( 1 ) p ( n 。 一 0 ) = 1 ， ( 2 ) 有平稳增量， ( 3 ) 有独立增量. 广义 齐次p o i s s o n 过程 还有一 个刻 划: 若戈， t ? 0 是广义齐次p o i s s o n 过 程， 则 对 任意 的 ， 0 ,从的 概 率 母 函 数g , ( s ) 为 : g , ( s ) = e a10 l l (2 .1 .5 ) 这里兄 _ 0 是某一常数， g ( , ) = yp x s k ( 2 . 1 . 6 ) 西北工业大学硕士学位论文 是 某 一 正 整 数 “ 随 机 “ 量 一 ( 2 3 pz ps) 的 “ 率 ” 函 ” ， 其 中 p *给 出 过 程在任意一个跳发生时刻有k 个点同时出现的概率. 由此可知: 广义齐次p o i s s o n 过程就是这样的过程，它的点发生时刻形成一个强度为a 的齐次p o i s s o n 过程， 而 在 各 个 点 发 生 时 刻 的 点 数 是 有 相 同 分 布扣 k , k 1 的 独 立 随 机 变 量 . p o i s s o n过程的普遍性要求在任意时刻最多有一次索赔到达，而这是不符合 实际的为了解决同一时刻有两个以上顾客要求索赔的实际情况， 下面对 戈 ( t ) , k 2 ( t ) 为 广 义 齐 次p o is s o n 过 程 ， 灵 ( ; ) 为e r la n g 过 程 ， 研 究 模 型 ( 2 .1 .3 ) 的 最终生存 ( 破产)概率. 互 2 . 2模型转换 定义2 . 1 . 1 给出的广义齐次p o i s s o n 过程还有如下刻划: 引 理2 .2 . 1 0 1 对 于 给定了a 和p 、 的 广 义 齐次p o i s s o n 过 程n , , ( t ? 0 ) 是 一 复 合 。 o isso n 过 程 ， 且 、 一 望 x ; ， 其 中 : ( 1 ) x ， 为 (1 ,2 ,3 , 上 的 离 散 随 机 变 量 ， 且p ( x一 劝 = p k ( 2 ) . (为 强 度 为a 的 齐 次p o i s s o n 过 程. 证 明 : 因 为