（理论物理专业论文）用iwop技术和纠缠态表象发展量子相空间理论.pdf

摘 要 i 摘摘 要要 量子相空间理论从玻尔-索末菲量子化发展到 wigner 提出的对应于密度算 符的准几率分布函数,w q p，成为一个里程碑。,w q p避免了由于海森堡 不确定原理（不能同时精确地测量微观粒子的位置q和动量p）所带来的不能 定义, q p函数的问题，因此 wigner 函数不是真正意义上的几率分布，但是 wigner 函数的边缘分布分别给出在坐标空间和动量空间测量到粒子的几率，因 此有广泛的应用。本文用有序算符内的积分技术（iwop 技术）以崭新的视角 和方法研究量子相空间中准几率分布函数表示、重构、以及经典函数量子化、 经典变换与量子幺正变换的关系等。主要内容如下： 一、利用 iwop 技术揭示 weyl 编序的实质，并在此基础上引入 weyl 编序 算符内的积分技术，明显地发展 weyl 对应与 wigner 算符理论，给出 wigner 算符的 weyl 编序函数形式以用于发展密度算符的量子相空间描述。 在纠缠情 况下，谈单个粒子的量子态没有物理意义，我们引入纠缠形式的 wigner 算符来 描写它， 因为此时纠缠 wigner 函数的边缘分布反映的是整个系统所处的态包含 的纠缠性质。最后将 weyl 变换推广到两模情形。 二、我们发现相干态在量子相空间的代表小面积的运动受量子刘维定理的 支配，发现它对应于经典光学中的菲涅尔变换，从而可以定义菲涅尔算符，然 后我们讨论菲涅尔算符与 wigner 算符转动之间的关系。 发现菲涅尔变换的积分 核恰好是坐标-动量中介表象 , s r q与坐标表象的内积， 即找到了经典光学中菲涅 尔变换的量子对应。作为应用，讨论菲涅尔变换与量子断层摄影理论的关系， 以及其在求解哈密顿量本征函数中的应用。提出并构造双模菲涅尔算符，把以 上讨论推广到纠缠情况。量子力学和光学的比拟最早有薛定谔指出，也是他发 现薛定谔方程的思路。我们的理论符合薛定谔的思路。 三、在相空间引入一种新的积分变换（为了方便简称为新变换）并研究其 相关特性。它良好的变换特性可用于研究 weyl 编序和()pqqp编序之间 的关系，从光学角度看，利用此变换可以由啁啾函数导出分数傅里叶变换积 分核。对于纠缠情况我们也给出了这类新变换具体的讨论，并研究其相关性质 与应用。我们期望能在光学上实现这一类新变换。 四、通过引入 s 参数化的 wigner 算符，我们将 iwop 技术推广到 s-编序算 符内的积分技术（iwsop 技术），它是一种综合了正规编序，反正规编序和 weyl 编序的积分技术，并导出了密度算符的 s-编序展开公式，讨论算符 s-编序 的本质，引入带 s 参数的新变换，并将量子光学中的光子计数公式推广到带 s 摘 要 ii 参数的形式，这些内容都极大地便利了对量子相空间理论的研究。最后是对双 模情况下 s 参数 wigner 算符及其 s-编序展开公式的介绍。 五、利用 iwop 技术我们将连续纠缠态表象推广到三粒子情形，研究其压 缩、制备，并在此基础上引入三模 wigner 算符以及对其在量子隐态传输、量子 断层摄影理论中具体应用的讨论。最后，基于两个相互共轭的三粒子纠缠态表 象，我们用两种方法得到了三模复分数傅立叶变换，并证明其具有群的乘法性 质，通过定义三变量厄密多项式找到其本征模，最后是对其卷积定理的讨论。 关键词：关键词：量子相空间 iwop 技术 wigner 函数 菲涅尔算符 新变换 iwsop 技术 连续纠缠态表象 abstract iii abstract the quantum phase space theory becomes a milestone from the bohr-sommerfeld quantization developing to the quasi-probability distribution function ,w q p of density operator proposed by wigner. ,w q p avoids the problem of undefining of the, q pfunction casued by heisenberg uncertainty principle (we can not measure the positionqand momentunpof the particle exactly), thus the wigner function is not a real probability distribution. however, the marginal distributions of the wigner function give the probability of measuring the positionqand momentunpof the particle respectively. by virtue of the technique of integration within anq ordered product (iwop) of operators, the paper study the representation, reconstruction of the quasi-probability distribution function and quantization of classical function, the relationship between classical transform and quantum unitary transform ect. our method is novel and unique. the main content of the paper is: 1. by virtue of the iwop techique, we reveal the essence of the weyl ordering. by introducing the technique of integration within a weyl ordered product (iwwop) of operators, we obtain the weyl ordered form of the wigner operator which can be applied to develop the quantum phase space theory. it can be seen from the article that the rule of the weyl correspondence and the wigner operator theory will be developed explicitly. on the other hand, we emphasize that for entangled particles one should treat their wave function as a whole, there is no physical meaning for an isolated particles wigner function, therefore thinking of entangled wigner function (wigner operator) is of necessity. finally, we generalize the weyl transform into entangled case. 2. the coherent state can be represented by a small area in quantum phase space. we find that the move of the small area is controlled by the liouville theorem and is correspondence to the fresnel transform in classical optics. thus we can define the fresne operator and discuss its association with the wigner transform, i.e., there exists algorithmic isomorphism between abcd transform of the wigner distribution function and the optical fresnel transform. we also find the kernel of the fresnel transform is the inner product of the intermediate coordinate-momentum representation and coordinate representation, that is to say, we find the quantum abstract iv correspondence of the fresnel transform in classical optics. additionally, we apply the fresnel operator to discuss its relationship with the quantum tomograghy, and also to solve the hamiltonian equation.finally, we propose and construct the two-mode fresnel operator and extend the above discussions to entangled case. the analogy of quantum mechanics and optics was pointed out by schr dinger. it is the analogy that he finds the idea of schr dinger equation. our theory is consistent with schr dingers ideas. 3. we propose a new two-fold integration transform in qpphase space (we call it new transform in conveniece) which possesses some well-behaved transform properties and can be applied to finding the connection between the weyl ordering and ()pqqp ordering of operators. according to this new transform, we can obtain the fractional fourier transform kernel from the chirplet function. we also develop this kind new transform to a more general case that can be further related to the transform between two mutually conjugate entangled state representations and study its properties and applications. we expect this transform could be implemented by experimentalists. 4. by introducing the s-parameterized wigner operator, we generalize the iwop technique to the technique of integration within the s-ordered product of operators (iwsop) which can unify the three integration techniques (within normal-, weyl- and antinormal-ordering of operators) as one, and derive the s-ordered operator expansion formula of density operators. on the other hand, the essence of the s-parameterized quantization is discussed, the s-parameterized new transform is obtained and the photocount formula is also generalized into the s-parameterized case which can reduc to the usual one when s takes particular values. our discussions provide greatly convenience for the study of the quantum phase space theory. finally, we extend the above discussions to the entangled case. 5. by virtue of the iwop technique, we correctly construct the tripartite entangled state representations (tesr) and investigate its quantum properties and some applications. we derive the three-mode squeezed operator and introduce the optical network for generating such an ideal tripartite entangled state. the three-mode entangled wigner operator in this representation is constructed. based on this form, we calculate the wigner function expressions of some tripartite entangled states. the path integral formalism related to the tripartite entangled state is demonstrated. additionally, the application of such entangled state in quantum abstract v teleportation and quantum tomography thoery is analyzed as well. in the end, we introduce the three-mode optical entangled fractional fourier transform (efrft) through two methods. the efrft, which is characteristic of the eigenmodes being three-variable hermite polynomials, satisfies the additivity property. we also define two functions convolution in the efrft scheme and obtain the convolution theorem using the tesr. the derivation is concise and rigorous because our calculation is based on diracs powerful representation theory. key words: quantum phase space, the iwop technique, wigner function, the fresne operator, new transform, the iwsop technique, entangled state representation 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文,是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰 写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了 明确的说明。 作者签名：_ 签字日期：_ 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学 拥有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构 送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入中 国学位论文全文数据库等有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内 容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 公开 保密（_年） 作者签名：_ 导师签名：_ 签字日期：_ 签字日期：_ 第 1 章 绪论 1 第第 1 章章 绪论绪论 1.1 引言 相空间一词最早出现在经典物理的哈密顿动力学中，为了形象地说明哈密 顿方程，以质点的坐标q和动量p组成的坐标架就张成了一个相空间。相空间 中相体积的概念被用来描写统计力学中的状态数、系综和热力学几率，相体积 在演化中的不变性称为刘维定理，等等。那么，随着量子论的出现，相空间的 概念应如何发展呢？ 在新量子论中，根据海森堡的不确定性原理，人们不能同时精确地测量微 观粒子的位置q和动量p，于是在相空间就失去了点的术语，而应代之一小 块面积， 它对应在, q p相空间中微观粒子的量子态 （以相干态的面积为最小） ， 这可以追溯到吉布吉斯所提出的系综理论。在这个理论框架中，系统的时间演 化由相空间中的某一轨道 , jj qtpt来描述。 到了 1932 年， wigner 引入了对 应密度的准几率分布函数,w q p1，它的边缘分布分别对应于在坐标空间 和动量空间测量到粒子的几率，赋予了相空间以新的活力。从此，翻开了相空 间量子力学的扉页。 量子力学的算符由于其通常是不对易的，它们的经典对应难以捉摸，在相 空间中的表现有多样性，这就使得相空间量子力学的内容丰富多彩。相空间表 述的一个重要任务是：把量子力学算符以一定的规则（例如 weyl 对应规则2） 对应到qp相空间的经典的坐标-动量函数，它与量子态的 wigner 函数密切相 关。 dirac 说： 对于经典力学的正则变换应该有量子力学的幺正算符与其对应。 所以， 从经典变换寻找有物理应用的量子算符也是相空间量子力学的重要任务。 上世纪 70 年代诞生的量子光学的重要实验支柱是激光， 描述它的量子态是 相干态3，一种最接近于经典情况的态。前面也讲到，一个量子相干态在相空 间中占据一块小面积，这个极小面积的存在暗示了相空间量子力学的研究有其 本身的特点，因而是有趣的。量子相干态的演化在相空间中就是这块面积的移 动，我们发现它可以对应于经典傅里叶光学的菲涅尔衍射。事实上，正如我们 将要讲述的， 量子光学的许多重要内容在相空间中阐述物理意义还是较明确的， 这是研究相空间量子力学的第二层意义。 量子相空间分布函数作为量子力学态的一种描述允许人们用尽可能多的经 典语言来描述系统的量子特性。 另一方面， 人们也逐渐想办法来测量对应密度 的 wigner 函数，从它的 radon 变换4再发展量子断层摄影理论5，因此量子 第 1 章 绪论 2 相空间理论也可以为量子测量提供重要的理论基础。 从光学的发展历史看，每一个光学设备都对应着一种光学变换，像透镜组 作为分数傅里叶变换的变换器件等。反之，一旦有新的光学变换被发现，那么 我们就期望能够通过光学设备去实现它。dirac 曾说：变换理论的应用日益广 泛，是理论物理学新方法的精华。所以新变换的引入是对量子相空间理论的丰 富与发展。 英国物理学家麦克斯韦曾说：为了不通过一种物理理论而获得物理思想， 我们就应当熟悉现存的物理相似性，这样一来，所有的数学科学就建立在物理 定律与数的定律的关系上，以致精密科学的目的就是把自然问题化为通过数运 算的量来决定。这段话很能概括我们研究相空间量子力学的途径，即用自己发 明的有序算符内的积分技术（iwop 技术）6-10，通过对由 ket-bra 组成的积 分型投影算符积分，完成从经典变换到量子力学变换的过渡，使得量子相空间 的统计理论通过相干态表象能与光学变换理论相对照。一个理论的进步在于它 有广阔的发展空间。通过引入 s 参数化的 wigner 算符，将 iwop 技术推广到 s- 编序算符内的积分技术（iwsop 技术），即当1,0,1s 时，iwsop 技术分别 退化到反正规，weyl，正规乘积内的积分技术。极大地丰富量子相空间的内容， 深化量子力学的数理基础。 纠缠态表象11不仅在物理学科的各个领域有广泛的应用，而且对于研究 很多问题提供了一个良好的平台。正如狄拉克曾说的那样，对于解决量子力学 中的问题，使抽象量变得简单的表象理论可以给我们节省很多的劳动力。这告 诉人们应该找到更多的表象去便捷科学研究。所以将两粒子纠缠态表象推广到 三粒子、n 粒子情形是大势所趋，是发展相空间量子力学的要求。 本文用有序算符内的积分技术（iwop 技术）以崭新的视角和方法研究量 子态在相空间中的准几率分布函数表示、演化、重构、以及经典函数量子化、 经典变换与量子幺正变换的关系,以促进和深化量子统计的理论。由于方法新 颖，故能博观返约，由约创新。近年来，量子纠缠被广泛用来研究量子光学、 量子信息和量子计算机，本文将着重用 iwop 技术讨论由量子纠缠所引起的相 空间量子力学的新特点，这将成为本文的特色之一。 1.2 有序算符内的积分技术 现代科学始于 17 世纪牛顿-莱布尼茨创立的微积分。这门数学技术早已成 为每个理工科学生的必修功课。沿着物理专业的经典教科书一路翻下来，微积 分运算就像空气一样自然且无处不在，弥漫在字里行间。直到上世纪 20-30 年 第 1 章 绪论 3 代 dirac 的名著量子力学原理12诞生，微积分运算才在由 ket-bra 符号组 成的算符面前遇到了困难，戛然而止，原因无外乎对于那些不可对易的算符， 风光无限的微积分感到了束手无策。 dirac 符号从它的诞生之日起就得到人们的青睐而沿用至今，而 dirac 本人 也对这套符号法特别钟爱，认为它是永垂不朽的。但是在欣赏符号法的过程 中，正如人们在欣赏艺术品时往往会出现的情况那样，是外貌人人看得见，涵 义只有有心人得之，形式的背后对于大多数人是一个秘密。一代接一代的人们 看过和学过 dirac 的书及相关文章何止几遍，但如何直接地去发展符号法却长 期找不到门。 我们首创有序算符内的积分方法（iwop 方法）去有效处理 ket-bra 型算符 的积分，为牛顿-莱布尼茨积分学开拓了一个新的用武之空间，使得量子力学 的表象论与变换论统一与和谐，也进一步揭示符号法理论的内在完备性，对 称性和逻辑简单性。 本节介绍如何用正规乘积内的积分技术发展符号法，以便对天才的 dirac 的符号法有更深刻的了解。 虽然正规乘积起源于量子场论，并在 louisell 的书中有所介绍，我们觉得 其有关性质13需作进一步阐明。关于玻色算符a和a的任何多项式函数不失 一般性可写为 ,., , ,., jl km jm f a aaa aa fj k lm （1.2.1） 其中, , ,.,j k lm是正整数或零。利用玻色算符对易关系,1a a ，总可以 将所有的产生算符a都移到所有湮灭算符a的左边，这时称 ,f a a已被排列 成正规乘积形式，以:标记。其有关性质是： 1 在正规乘积内部玻色子算符相互对易。即:a aa a ，又因 :a aaa ，所以又有: :a aaa 2 c数可以自由出入正规乘积记号。 3 由于性质 1，故可对正规乘积内的c数进行积分或微分运算，前 者要求积分收敛。 4 正规乘积内的正规乘积记号可以取消。 5 正规乘积:w与正规乘积:v之和为:wv。 第 1 章 绪论 4 6 正规乘积算符 :,:f aa 的相干态矩阵元为 * :,: ,zf aazf zzz z （1.2.2） 7 真空投影算符00的正规乘积展开式是 00: a a e。 下面给出（7）的严格证明，由粒子数态的完备性可得 * * * * * 0, 0 0 0 1 1exp0 0 ! ! n n z a nn n z z dd nnnnzae dzdzn n （1.2.3） 设0 0:w， （w待定） ，则 * * * 00 1exp:exp: : z az aa aa a zz dd aw eaweewew dzdz （1.2.4） 即有0 0:w : a a e成立。 8 厄米共轭操作可以进入:内部进行，即 :.:.:w vw v ， 这条也与性质 1密切相关，例如 : : mnn nmm a aa aa a 。 9 正规乘积内部以下两个等式成立，它们也来源于性质 1 :,:,:, :,:,:,: f a af a aa a f a aaf a a a （1.2.5） 对于多模情况，上式可作如下推广 :,:,:, ijijijijji ij f a a aaf aa aaaa a a （1.2.6） 正因为有了正规乘积的这一系列性质，就可以很顺利地处理形如 dppp (1.2.7) 的 ket-bra 型算符，它是经典数p变成p在量子相空间中的映射，一旦完成这 个积分，就可以知道相应的量子力学算符。 第 1 章 绪论 5 1.3 几种量子力学表象 用以描述不同坐标系下微观粒子体系的状态和力学量的具体表示形式称为 量子力学中的表象， 最早由 dirac 引入。 他把系统状态的波函数看成抽象空间 中的态矢量在某个表象中的表示，力学量的本征函数即此空间的一组基矢。基 矢完备性是构成表象的必要条件，但完备性的证明则因其烦琐和缺乏普适而有 力的积分方法而成为历来困扰物理学家的一个难题，这极大地限制了新表象的 发现。由于针对不同的问题选取适当的表象进行求解往往可以达到事半功倍的 效果，而新表象的缺乏也使得对量子力学中某些问题的探讨变得异常困难。 iwop 技术恰恰提供了构建各种新的表象的有效方法。它赋予基本的坐标、动 量表象完备关系以清晰的数学内涵并将其化为纯高斯积分的形式，从而使其成 为对于数学家而言如同 2 2=4 一样简单的东西；它也可以简化相干态完备性 的证明， 其结果与通常的展开相干态为粒子数态 （fock 表象） 的方法殊途同归。 我们发现，通过把正规乘积序排列的高斯型积分算符（其积分为 1）进行分解， 化为投影算符，就可发现大量新表象，如两粒子、三粒子甚至 n 粒子纠缠态表 象等，它们的出现使量子力学理论绚丽多彩。 1.3.1 坐标、动量和相干态表象 初学量子力学时，坐标和动量表象的完备性常是作为坐标系完备的基本常 识(即在全空间找到粒子的几率为 1)来理解，给我们留下很少的思考余地，以致 很难发掘出它的深层次数理结构，然而用 iwop 技术处理表象的完备性却给人 们以柳暗花明又一村的感觉。如坐标表象现在可以进一步写为 2 2 22 :exp2/2/2: :exp/ 2/ 2 : 1 dq dq qqqq aaaa aaaa （1.3.1.1） 考虑到 2 aa q ，则 2 : 1 q q dq dq qqe （1.3.1.2） 这是一个纯高斯积分， （1.3.1.2）式的简洁和深意使得我们感叹 dirac 符号的艺 术美，看似平凡的高斯积分正如吾国绝诗，言简意繁，辞约义富，可谓平凡 伟大艺术品之适例。 第 1 章 绪论 6 dirac 曾经说：研究人员以数学形式表达自然基本规律时应该努力做到数 学优美，他应该把数学的简洁放在优美的从属地位。简洁与优美的要求往往是 同时发生的，但是在它们不调和的地方，应该首先考虑后者。 dirac 的符号法 中蕴含着的表象的优美性，通过 iwop 技术现在与世人见面了。 作为式（1.3.1.2）的应用，坐标表象的完备性可以写为 2 2 2 2222 1 : :exp2/2/2: exp2:exp:exp2 2222 q q dq edq qq dq qq aaaa qaqa qaa aqa （1.3.1.3） 考虑到 00:exp:a a ，立刻可得 22 exp20 22 qa qqa （1.3.1.4） 不必求助于厄密多项式，仅从坐标表象的高斯积分形式，就可以很简洁的给出 坐标本征态在 fock 空间的具体表达形式。 另一方面，动量表象也可以改写为高斯积分形式 2 2 2 :exp2/ 2 : : 1, p p dp dp pppi aaaa dp e （1.3.1.5） 这里 / 2paai 是动量算符，同样的方式可得 2 2 1/4 exp20 22 pa pipa （1.3.1.6） 结合式（1.3.1.2）和式（1.3.1.5）可以看出以下的积分亦为 1， 2211 :exp: 1 222 dpdq qqpp （1.3.1.7） 再注意到 2 aa q ， 2 aa p i 可分解被积函数为 第 1 章 绪论 7 22 22 22 111 :exp: 2222 11 exp: 242 11 exp 42 a a dpdq qpqip aa aqip a dpdq qpqip ae qpqip a （1.3.1.8） 注意到0 0:exp():a a ，继而可得 22 * 2 2 :exp: exp1 d zd z zzzaza d z za （1.3.1.9） 这里 22 exp/ 4/20zqpqip a （1.3.1.10） 或记为 2 exp/20 ,/2zzzazqip （1.3.1.11） 是相干态3,在 fock 空间还可以写为 * 0 ,expzd zd zzaz a （1.3.1.12） d z是平移算符。它是谐振子湮灭算符的本征态，a z z z，与坐标本征态 不同，它是不正交的，即 22 * 1 exp 2 z zzzzz （1.3.1.13） 与此相关的另一重要性质是相干态的超完备性， 2 1 d z zz （1.3.1.14） 这些证明都可以参考14。相干态是最接近于经典的态，而且是使坐标-动量不 确定关系取极小值的态。下面证明之。 * 22 aazz z q zzz ， * 22 aazz z p zzz ii （1.3.1.15） 2 22*2 1 21 2 z qzzzz， 2 22*2 1 21 2 z pzzzz（1.3.1.16） 由此导出 22 2 1 4 zqzz qzz q z （1.3.1.17） 第 1 章 绪论 8 22 2 1 4 zpzz pzz p z （1.3.1.18） 221 4 q pzqzzpz （1.3.1.19） （1.3.1.7）说明利用 iwop 技术可以先构造一个积分为单位 1 的算符，若能把 此算符从结构上分解为一对相互共轭的态矢，那么这个态矢量就有希望构建新 的量子力学表象。因为一种态矢能否构成表象的重要判据首先就是看它是否满 足量子力学完备性关系。 以上这些关系的得出，亦反映了 iwop 技术在实际应用中的重要性和简洁 性。bohr 曾说过：数学符号的广泛应用是量子力学方法的特点，这种应用使 我们很难撇开数学细节而对这些方法的优美性及逻辑无矛盾性提供一个真实的 印象。也就是说，iwop 技术的发明和具体运用展现了量子力学 dirac 符号的 优美性及逻辑完备性。 爱因斯坦坚信这样的观点：创造者只能记住最简单的解决办法，并坚信这 种简单化同样应该使世界变成可知的世界。遵循这个观点，根据上述的对算符 函数的积分思想， 具体处理 （1.2.7） 式。 现将 （1.3.1.6） 代入， 并令1m， 得 22 2 2 2 1 exp2 22 1 00 exp2 22 p dpppdpip aa p ipaa （1.3.1.20） 把00: a a e 代入，得 22 2 2 2 1 exp2 22 1 :exp2 22 a a p dpppdpip aa p eipaa （1.3.1.21） 可以看出，在: a a e 的左边是产生算符函数，右边是湮灭算符函数，根据 前面的性质，整个被积的算符函数已经是正规乘积形式，所以可将左边的:移到 第一个exp函数前，将右边的:移到第三个exp函数后。根据性质 1在:内所有 玻色子算符相互对易, 就可以将三个exp函数进行指数上的普通加法， 这样就实 现了算符积分函数的c数化。于是（1.3.1.21）写成 2 2 2 11 :exp2: 22 dpppdppipaaaa （1.3.1.22） 第 1 章 绪论 9 现在a和a在:内对易，可被视为普通积分参数，利用性质 3积分得 22 1/2 sec:exptanhsec1tanh: 22 aa dppphha a （1.3.1.23） 其中e， 2 2 sec 1 h ， 2 2 1 tanh 1 。要去掉（1.3.1.23）中的记号:， 为此，用性质 1， 2和 5导出算符恒等式 000 1 : ! :exp1:. n nn a anna a nnn aa eennenne a a e nnn ea a （1.3.1.24） 则（1.3.1.23）变为 22 1 1 exptanhexplnsecexptanh 222 , aa dpppa ah se （1.3.1.25） 这样就实现了对 ket-bra 符号算符的积分。学过群论的人可以看出因为（1.3.1. 25）式中 2 /2a， 2 /2a，1/2a a 构成1,1su李代数，算符 1 s具有1,1su结 构。 因为 1 spp ， 1 1 /spp ， （1.3.1.26） 故知 1 s为单模压缩算符, 且有如下性质： 1.么正性。根据p ppp，则 1111 1.s sd p d pppppd p ppss （1.3.1.27） 2.压缩性。利用算符恒等式（baker-hausdroff 公式15） 11 ,. 2!3! aa e beba ba a baa a b （1.3.1.28） 导出压缩变换 11 11 coshsinh coshsinh s asaa s a saa （1.3.1.29） 这就是著名的bogolyubov变换（也称为压缩变换）16，它被广泛地应用于量 子光学、超导理论和原子核理论中。上述讨论表明用 dirac 的动量本征态按 第 1 章 绪论 10 （1.2.7）式构造算符，并用 iwop 技术积分后就给出诱导bogolyubov变换的么 正算符，即在经典相空间中的尺度变换pp能够映射出量子么正变换 1 11 s qsq ， 1 11 /s psp 。 1.3.2 两粒子纠缠态表象 1935 年，爱因斯坦等三人批评海森堡的测不准关系所代表的量子物理学的 非决定论，认为有某些隐含的变量被忽略了。他们以两个粒子（其总动量和 相对坐标算符是对易量）以相反方向运动为例，假设两个粒子已彼此远离，当 人们只希望测试两个粒子中的一个， 但由于其总动量和相对坐标算符是对易量， 事实上，测试 a 点处的粒子可以了解另一粒子的情况，即会对 b 点处的粒子有 瞬时反应， 而 b 与 a 已经相隔了十万八千里。 a 点测量的结果表明物理实 在量是比海森堡论限制的要多，因此，爱因斯坦等三人认为量子力学是不完备 的，爱因斯坦等的文章使人们发现了量子整体性这一概念，并用纠缠来描述 这一整体性。这使我们想到南唐李煜（李后主）的一首词中的一句：剪不断， 理还乱来形容量