（应用数学专业论文）信用支付并混有现金折扣的变库存费的变质物品的eoq模型.pdf

武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 为了使生产和经营活动有条不紊地进行。人们经常把生产出来或购进的物资暂时存贮 起来以备现在和将来需要时使用这种贮存物资的现象是为了解决供应( 或生产) 与需求 ( 或消耗) 之间的不协调，存贮是解决和协调供应与需要之间矛盾的一种手段 许多存贮论学者都在经典的e o q 模型基础上发展出新的存贮模型，但这些模型大多 视库存费为常数，而实际上每单位物品( 时间) 的库存费是可变的，并且之前的存贮模型 中通常都认为在货物交易时要“一手交钱，一手交货 ，然而现实生活中，供应商为吸引零 售商，会为零售商提供一定的延期支付期即信用支付期 本文在i j 人的基础上，进一步考虑了变质物品的特性，零售商在购买和售出货物时的 买卖价格不同，采用了允许延期支付的经营方式，为了避免信用支付可能带来的坏账损失， 供应商混合使用现金折扣这一优惠条件以吸引零售商尽早还款并且根据实际情况，并非 所有物品的库存费是常数，如贵重物品的存贮，随库存量的增加，要辅以相应的保安措施 及养护措施，针对这种情形，假设库存费为库存量的非线性多项式函数以最大程度节约 成本为目标，制定出最优存贮策略通过灵敏度分析的方法，结合具体算例，说明参数的 变化对最优存贮策略的影响 关键词：信用支付；现金折扣；库存费；变质 第1 i 页武汉科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t i no r d e rt om a k et h ep r o d u c t i o na n db u s i n e s sa c t i v i t i e si na no r d e r l ym a n n e r , w es h o u l d s t o r et h eg o o d sw h i c hc a n tb eu s e dt e m p o r a r yb u tf o rt h ef u t u r e t h a ti st h ew a yt od e a lw i t ht h e b a l a n c eo f p r o v i d ea n dr e q u i r e m e n t s t o r a g ei st h ew a yt oa s s o r tw i t hi t m a n ys c h o l a r si nt h ec l a s s i c a li n v e n t o r yt h e o r yd e v e l o p e do nt h eb a s i so ft h em o d e lo fa n e ws t o r a g em o d e l ，m o s to ft h e mt h i n kt h a th o l d i n gc o s ti sac o n s t a n t i nf a c t ，e v e r yu n i to f g o o d s ( t i m e ) h o l d i n gc o s ti sv a r i a b l e a n dt h e ya s s u m e dt h a tt h er e t a i l e r sm u s tp a yf o rt h ei t e m s p u r c h a s e da ss o o na st h ei t e m sa l er e c e i v e d ，b u ti nf a c ts u p p l i e r sp e r m i tt h eb u y e rap e r i o do f t i m et os e t t l et h et o t a la m o u n to w e dt oh i m i nt h i sp a p e r , t h ed i f f e r e n c eb e t w e e nb u y i n ga n ds e l l i n gp r i c ei sc o n s i d e r e da sw e l l 鹊t h e p e r i s h a b l e s u p p l i e r sa f f o r df i x e dt r a d ec r e d i ta n dc a s hd i s c o u n tt ot h er e t a i l e r i no r d e rt oa t t r a c t r e t a i l e r st ot h ee a r l yr e p a y m e n t ，a n da s s u m et h a ts t o r a g ec o s t sf o rt h ei n v e n t o r yo fn o n - l i n e r p o l y n o m i a lf u n c t i o n w et h e nd e v e l o pa na l g o r i t h mf o rar e t a i l e rt od e t e r m i n ei t so p t i m a lp r i c e a n dl o ts i z es i m u l t a n e o u s l yw h e nt h es u p p l i e ro f f e r sap e r m i s s i b l ed e l a yi np a y m e n t s t h e s e n s i t i v i t ya n a l y s i so fa ne x a m p l ed e m o n s t r a t e st h a tp a r a m e t e r so ft h em o d e li n f l u e n c et h e o p t i m a lr e p l e n i s h m e n td e c i s i o n s k e yw o r d s ：t r a d ec r e d i t ；c a s hd i s c o u n t ；h o l d i n gc o s t ；d e t e r i o r a t i o n 武汉科技大学 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研究所 取得的成果。除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共同完成的工作外， 本论文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：二睦站日期：丝弹 研究生学位论文版权使用授权声明 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它单位的名 义发表。本人完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向有关部门( 按照武汉科技大学关于研究生学位论文收录工作的 规定执行) 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅，同意学 校将本论文的全部或部分内容编入学校认可的国家相关数据库进行检索和对 外服务。 论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 第一章绪论 1 1 问题的提出 人们在从事生产活动、经营活动、商业活动或是日常生活中往往把一定数量的原料、 商品暂时存贮起来以备将来使用例如：一个工厂，为了能保证生产的正常进行避免出现 停工待料的情况，就要存贮一定数量的原材料；一个商店，为了能保证市场供应也要存贮一 定数量的物资；一家医院，为了抢救病人也要有一定量的药品贮备；处于信息时代的今天， 人们建立了各种信息库，用来存贮大量有用的信息为我们的生产生活服务等等因此，物 资存贮现象是大量存在的现象，但是，因为各种原因，消费与存贮、需求与供应之间存在不 协调性这种不协调性将会产生两类情况：一类是“供过于求”，造成产品( 物资) 积压，带 来损失；二是“供不应求”，引起缺货，也带来损失为了使损失达到最小，人们开始研究如 何控制存贮量和存贮时间的问题，经过长期实践与理论研究，在2 0 世纪5 0 年代，形成了研 究存贮问题的一个运筹学分支一一存贮论 按照存贮物品的目的划分，分为三类：l ，生产存贮，为了保证生产的正常运行而储备 的原料；2 ，物品存贮，为了生产部门的生产正常进行而存贮的物品；3 ，供销存贮，是指存贮 在零售商那里的物品，用来满足顾客的需要对于这三种类型的存贮系统，一般都可以用 “供一存一销”这三个字来描述，即一个存贮系统，由于生产或者是销售的需要，从存贮系 统中拿出一定量的货物，这就是存贮系统的输出；仓库的货物因为不断输出而减少，要及时 作补充，补充就是存贮系统的输入在这个库存系统当中，决策者可以通过控制订货时间 的间隔和订货量的多少来调节系统的运行，使得在某种准则下系统运行达到最优所以， 存贮论中研究的主要问题可以概括为：什么时候订货，每次订多少货这两个问题存贮论 研究的基本方法是将一个实际问题归结为一种数学模型然后通过费用分析求出最佳的时 间和量的数值，在存贮策略中，评价一项策略的优劣时，常用该策略所消耗的平均费用做 为评判标准 最早的存贮模型大体上分为两大类：一类是确定型存贮模型，即模型中的各个量都是 确定的；另一类是随机型存贮模型，即模型中含有随机变量，不是确定的数值在确定型存 贮模型中，我们认为对库存物资的需求率已知；在随机型存贮模型中，需求量和到货时间都 是随机变量 在存贮模型中我们经常需要考虑的费用是订货费，存贮费和缺货损失费用等通过对 这些费用进行分析计算，运用数学模型，对不同需求的存贮模型给予最优化的解决方案， 形成对存贮管理的建议 但是这些模型和我们考虑的费用都是非常基础的，在实际生活当中，会出现许多预想 不到的因素，比如说有些物品贮存时间长了就会坏掉，这时就要考虑因变质而造成的损失， 供应商为了刺激零售商多进货会提供延期支付，就是先拿货过一段时间再付钱，还有供应 商提供价格折扣，等等，这些不定的因素不能依靠以前那些简单的模型和考虑的费用得到 答案，而且实际上它们还严重影响着存贮管理的精确程度，在贮存模型的优化过程中我们 第2 页武汉科技大学硕士学位论文 必须考虑这些因素，对不同类型的物品分别制定相应的存贮策略 在本文中除了我们通常要考虑的因素外，引入了几个特殊影响存贮费用并进一步影响 存贮策略的因素： ( 1 ) 变质产品进入仓库就发生变质； ( 2 ) 物品的库存费是可变的； ( 3 ) 不允许缺货： ( 4 ) 允许先拿货后付款，即提供信用支付； ( 5 ) 为了鼓励零售商尽早付款，供应商采用了价格折扣 在前人研究的基础上，本文更为完善和具体考虑到现实生活中的实际情况，针对带有 特殊性质的存货特殊的经营手段和现代信用体制制定出符合实际情况的存贮策略：一是 在线性信用支付条件下的变库存费的变质物品的存贮模型；二是基于前面的考虑。设信用 支付期固定且有现金折扣的存贮模型 1 2 国内外研究现状 在近几十年，经典的经济订货批量模型已经被广泛地用于处理现实生活中的问题传 统的库存模型往往要求建立在及时支付的假设基础上，也就是我们假设买卖双方在交易时 要“一手交钱一手交货”但是，在实际生活中并不是这样的，供应商为了吸引新的零售商 和刺激零售商的需求，一般会采取延期支付即信用支付策略，供应商提供给零售商一定的 信用期限，零售商可以延期支付货款也就是买卖双方在交易时零售商可以先拿走货物在 协商的未来的某个时间再支付货款在信用支付期之内，零售商卖出的商品所获的收入可 以赚取一定的利息收入；当超过了信用支付期限时，零售商又要为未售出货物付出一定的 利息由此，在供应商和零售商两个立场上分析问题，可以看出：零售商获得了货款在信用 期内的利息，因为它减低了在信用期内因存贮而产生的费用而对供应商而言，这不仅仅 增加了他的成本，也增大了货款拖欠的尺度和风险 1 9 8 5 年g o y a l 1 l 最先研究了在允许延期支付( 信用支付) 条件下的库存模型，他没有考 虑物品的购买价格和出售价格是不同的 1 9 8 7 年c h a n d 和w a r d 2 】在传统的经济订货模型的假设下分析了g o y a l 提出的模型，并 且得到不同结果 1 9 9 5 年a g g a r w a l 和j a g 百【3 】两人在g o y a l 的模型基础上，假设需求率和变质率都为常 数情况下，研究了变质物品的延期支付策略问题 1 9 9 7 年j a m a l l 4 j 再在前人的基础上研究了允许缺货的情况下考虑运用在变质物品上的 单周期延期付款模型 1 9 9 7 年h w a n g 和s h i n n 5j 研究了不允许缺货需求为买价的弹性函数和供应商提供一 定的信用支付情况下的库存问题 2 0 0 0 年l i a o 6 1 等人研究了需求率和变质率随库存量变化的库存模型 2 0 0 1 年c h a n g 和d y e 7 j 研究了允许缺货且缺货量拖后的延期支付库存策略问题 武汉科技大学硕士学位论文第3 页 2 0 0 3 年c h a n g 和q u y a n g i s 建立了信用支付期、销售周期和最小订购量所组成的几种 情况下的变质物品的存贮模型，并且找出了最优订购策略 2 0 0 3 年s h i n n 和h w a n g 【9 】在供应商提供给零售商的信用支付期为其订购批量的分段函 数情况下，研究了最优定价和最优订货量问题 2 0 0 7 年c h u n g 和l i a o 1 0 j 用现金流量的方法讨论了延期付款的存贮模型 2 0 0 7 年张冲，戴更新等1 1 1 j 在s h i n n 和h w a n g 的基础上，研究了当信用支付期为订购周 期的线性增函数情况下，变质率和需求率均为固定的零售商库存模型，得到了最优订购策 略 供应商为了刺激零售商多订货或是让零售商尽快还款，往往给予零售商一定的价格折 扣，使得双方都得到好处1 1 2 h 2 4 1 ，为了避免信用支付可能带来的坏账损失，供应商往往在给 予信用支付的同时混合使用现金折扣以吸引零售商尽早还款，c h a n g 2 5 j 、o u y a n g 2 6 j 、 h u a n 9 1 2 引、邱吴1 2 引、张冲1 2 9 j 考虑了这种情形 以上这些模型大多视库存费为常数，而实际上单位物品的库存费或单位时间的库存费 是可变的【3 0 h ”1 ，1 9 8 0 年，m u h l e m a n n 和v a l t i s s p a n o p o n l o u s 3 8 j 第一个将变库存费用现象引 入到受库存影响的库存模型中1 9 9 4 年，g o h l 3 9 j 首次提出了每单位物品的库存费为存贮时 间的非线性多项式函数和每单位时问的库存费为存贮量的非线性多项式函数而建立了相 应的模型，但在他的文章中未考虑变质，然而物品在存贮过程中发生变质是库存管理实践 中常见的现象，如：水果、蔬菜会随着存贮的时问加长而发生腐烂，食品的变质，放射性物 品的衰变，挥发性物品的挥发等2 0 0 1 年，毛晓丽1 4 0 j 研究了需求依赖于库存的变质性物质 的存贮模型，假设变质性物品的变质率为常数，单位产品或单位时间库存费为大于0 的可 导函数来建立模型并且证明了最优解的存在性在存贮的物品中，如贵重物品，随库存量 的增加必然要辅以相应的保安措施及养护措施，因此，对库存管理而言，对于变库存费的 物品的研究是非常必要的 1 3 本论文的创新之处 1 在传统的e o q 模型的基础上假定了信用支付下的变质产品，供应商允许零售商先 拿货后付款，并在一定时间段内不支付货款以及相应的利息，但这些模型大多视库存费用 为常数，实际上并不是这样，有些物品随库存量的增加，必然要加强相应的保安措施及养 护措施，这也会使库存费相应的增加，在这种情况下，假设库存费h c 满足下列方程： d h c ：h f 2 d l 其中：h 为大于0 的常数，0 t t 即存贮费为库存量的非线性多项式函数 2 在线性信用支付下的变库存费用变质物品的模型的基础上，把线性信用支付改为 固定信用支付，并且混合使用现金折扣以吸引零售商尽早还款，证明了模型解的存在性与 唯一性，找到最优存贮策略 第4 页武汉科技大学硕士学位论文 1 4 本论文的内容安排 本论文分为四章： 第一章为绪论，其余各章内容如下： 第二章介绍线性信用支付下的变库存费的变质物品的存贮模型 第三章将第二章模型中的线性信用支付改为固定信用支付，另外混和使用现金折扣 来建立模型 第四章对未来发展及展望 武汉科技大学硕士学位论文第5 页 第二章线性信用支付下变库存费的变质性物品的e o q 模型 传统的存贮模型中通常认为零售商在拿到供应商物品同时要向供应商支付物品的购 买费用，即“一手交钱一手交货 ，然而在实际生活中，供应商为吸引新的零售商和刺激零 售商的需求，往往允许零售商先将物品拿走而不支付货款及任何利息，并约定在未来一个 时间再支付，这段延期支付的期限就是信用期，信用期内零售商因出售物品而得到利息， 信用期限到时对没有出售的物品支付利息并且之前的存贮模型大多视库存费为常数，现 实生活中，不是所有物品的库存费都是不变的，如古董，文物等这些贵重物品的存贮，随 着库存量的增加必然要加强相应的保安措施及养护措施，这也会使库存费相应的增加对 于这种情况，假设库存费是库存量的非线性多项式函数，并且信用支付期为订购周期线性 增函数，其他参数都是固定的条件下来建立库存模型讨论信用支付期为零、小于、大于 订购周期3 种情况下的库存费用，运用泰勒公式对其进行近似计算 2 1 符号与假设 符号定义 d ：需求率，需求率是均匀的，a ：一次定货的定货费， p ：物品的变质率，且为固定， q ：定货量， ，：零售商的单位库存收益率，丁：定货周期， ，i ：零售商的单位库存支付利率，其中，t ，。，( f ) ：t 时刻库存量， t ：货物存贮的时间长度，c ：单位物品订购成本， b ：单位物品单位时间变质损失费，尸：单位物品销售价格 基本假设 ( 1 ) 瞬时进货，不许缺货 ( 2 ) 考虑单一变质物品，单一补充期 ( 3 ) 初始库存为零 ( 4 )m 为供应商提供零售商的信用期，满足m = a + b t ，其中a 0 2 2 模型公式 现实生活中，不是所有物品的库存费都是不变的，如古董，文物等这些贵重物品的存 贮，随着库存量的增加必然要加强相应的保安措施及养护措施，这也会使库存费相应的增 加，在这种情况下，假设库存费h c 满足下列方程： d h c ：h f 2( 2 2 1 ) d l 其中：h 为大于0 的常数0 t t 在整个周期内，库存系统的所有的库存量都是被需求和变质消耗了，所以f 时刻的库 存量，( f ) 满足下列微分方程： 第6 页武汉科技大学硕士学位论文 d i ( t ) = 一d 0 1 ( f ) ，o t 零售商可能需要向供应商支付的利息( 记为x ) 零售商出售货物所得利息( 记为e ) d c ：彳+ 望【p 0 1 一l 】 6 。 b c = b 毫晓q ) a t = b d 安o e o ( t - t ) _ 1 ) a t h c ：f j l z f 2 刃：h dt 2 e ( 出 m” = i e = c i 。r i ( t ) d t c i tj ：i ( t ) d t o m o o t oms0 朋 所。j ：d t d t 0 t ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 2 4 讨论 零售商是支付利息还是赚利息及其多少是随m 和r 的关系变化而变化的，所以所求 的费用函数需要分情况讨论，分三种情况：a ) m 0 ；b ) 0 t 下面分 别讨论 武汉科技大学硕士学位论文 第7 页 mqt 0mt otm 情况一：m 0 d f l t - m 0 ，因而零售商不能享受信用期，而必须在收到订货时就马上付款，即零售 商必须从每个订货周期开始就对未售出的物品支付利息 令玛表示第一种情况的总费用平均值，有 玛= 瓤彳+ 罟c 儿卅肋啪+ h d f t 2 e 占t r - t ) d t + 巩卅 一a c d ( e 刃一1 ) = 一- t - - - - - - - - - - - - - - - - 一4 - t饥 b d ( e 口r - 0 i - 1 ) 0 t h d ( 2 e 口r - 0 2 t 2 - 2 0 7 - 2 ) + 0 3 t c i k d ( e r - o t - 1 ) ( 2 4 1 ) 0 2 t 。 情况二：0 t 由于m 丁，故零售商可以享受长度为m 的信用期_ r n n 期长度小于信用期，所以 零售商不需要向供应商支付库存利息 令玛表示第三种情况的总费用平均值，有 玛= 专 么+ t c d ( e p r - 1 ) + b d f ( e 口t r - 。- 1 渺+ j l l 。r r 2 e 烈卜n 出一 心m 砒+ ( 肛丁) d ti 彳 =4 丁 c d ( e 口r - 1 ) + b d ( e 口r - o t - 1 ) 既 舰 一d p i e ( 口+ 6 丁一吾) 2 5 定理及证明 定理1 t c 。在( o ，佃) 内的唯一驻点正为t c ln 蓑d , n a 证明：t c 。取得最小值的必要条件为： d r c , ：o h d ( 2 e 卯一0 2 t 2 2 a t 一2 ) + 0 i t 一 j ( 2 4 3 ) ( 2 5 1 ) 案=井彳+一d(co+bo+cik)(0te占r-ear+1)+一dh(20tear-2ear+2-02t2) 令： 朋) = - a - i d ( c o + b o + c i 矿k ) ( o t e 口r - e 8 r + 1 ) + d h ( 2 0 t e 。r - 7 2 e 一r + 2 - 0 2 t 2 ) 有厂( 0 ) = - a 0( 2 5 3 ) 所以厂( 丁) 为( o ，栅) 内严格增函数，所以厂( 丁) = 0 有唯一解互，即r c , 在( o ，佃) 内有 唯一驻点互 又争k f ( t ) t 2 t 三f ( t ) 2 t 呵= 铲 。 ( 2 5 4 ) 即正为r c , 在( o ，佃) 内的极小值点，即最小值 定理2 若( c + b ) 臼+ a 女( 1 一b 2 ) p i 。b 2 ，则t c z 在( o ，棚) 内的唯驻点巧为t c 2 的最 小值点 证明：t c 2 取得最小值的必要条件为： d t c 2 ：o( 2 5 5 ) 等=抖彳+一d(c+b)(otear-ear+1)+一dh(20tear-2ear+2-02t2)+ cikd(1-b)ote护(r-br)-e口(r-br)+1cikdapi。d(bt-a)(bt+a)l。 秒202 j 令： g ( 丁) = 一彳+ d ( c + b ) ( o t 歹e a r - e a r 一+ 1 ) + d h ( 2 0 t e a r - 2 石e 丁a r + 2 - 一0 2 t 2 ) + g 望酞! 二竺丝竺：! 竺：! ! l 垡坐一丝皇坚二丛垒! 尘 0 2p2 ( 256 ) 有g ( 。) = 一彳一丁c i k d a p i 。b 2 ，则g ( d 0 ，为( o ，佃) 内严格增函数，从而 g ( d = 0 有唯一解巧，即t c z 在( o ，佃) 内有唯一驻点z 第1 0 页武汉科技大学硕士学位论文 点 又争k g ( t ) t 2 - 咝k 弩 。 包5 剐 即巧为t c 2 在( o ，佃) 内的极小值点，即最小值 定理3 若( c + b ) 口 p 。( 2 b - 1 ) ，则t c 3 在( o ，佃) 内的唯一驻点巧为玛的最小值 亟：0 ( 2 5 9 ) d t 、。7 drc,：j；l-a+d(c+b)(otear-ear+1)+一dh(20tear-2eur+2-02t2)一 d tt 210 0 3 d p i 髟一别 ( r ) = 一彳+ d ( c + b ) ( o 丁t e a r 一- e a r + 1 ) d h ( 2 0 t e 卵一2 e 卵+ 2 0 2 t 2 ) 。03 d p i e ( b 一去) 丁2 有厅( 0 ) = 一a 。( 2 b - 1 ) ，则j l l ( r ) 0 ，为( o ，佃) 内严格增函数，从而 ( 丁) = o 有唯 一解巧，即玛在( o ，佃) 内有唯一驻点巧 又簪k 迹等咝协争 。 即巧为r c , 在( o ，佃) 内的极小值点，即最小值 2 6 模型近似求解 由泰勒公式可以得到，p 卵1 + o t + 盟，其中o t 是很小的数，所以有： ，l t 、 o e a r e 刃+ 1 ：鲤+ d 徊2 ) 鲤 ， 、 ， 有式( 2 6 1 ) 可知 秒( 卜6 ) 死o ( r - a - b r ) _ e o ( 1 - - a - b r ) + 1 - o ( 1 f - b ) t 】2 一下( o a ) 2 + 锄+ 。( p 2 ) ( 2 5 1 2 ) ( 2 6 1 ) 武汉科技大学硕士学位论文第1 1 页 o ( 1 - b ) t 2 一盟+ 锄 22 情况1 将式( 2 6 1 ) 代入( 2 4 1 ) ，得订购周期 正+ = 、2 a d ( c o + b o + c i k ) 经济订购批量为鲫卜矿oo t - 1 ) d ( 和譬) 情况2 将式( 2 6 1 ) ，( 2 6 2 ) 代入( 2 4 2 ) ，得订购周期 巧= 2 a + c i k d a 2 - p i p d a 2 面 经济订购批鼽婀7 0p o f _ 1 ) d ( 巧+ 譬 情况3 将式( 2 6 1 ) 代人( 2 4 3 ) ，得订购周期： ( 2 6 2 ) ( 2 6 3 ) ( 2 6 4 ) ( 2 6 5 ) ( 2 6 6 ) ( 2 6 7 ) 经济订购批量为：孵刁oe o 1 - 1 ) d ( 巧+ 譬) ( 2 6 8 ) 2 7 模型的求解算法 ( 借用文献 1 1 ) 步骤1 ，假设r 满足m = a + b t 0 ，利用式( 2 6 3 ) 求出订购周期z + ，然后比较 口+ 6 正+ 和0 的大小如果有a + 6 互+ 0 成立，则把正代入式( 2 4 1 ) 得到最小订购成本 t c ；：否则，转入步骤2 ： 步骤2 ，假设丁满足m = 口+ b t t ，利用式( 2 6 5 ) 求出订购周期巧，然后比较 a + 6 巧和巧的大小如果有a + 6 互巧成立，则把巧代入式( 2 4 2 ) 得到最小订购成 本r c ；：否则，转入步骤3 ： 步骤3 ，假设r 满足t 巧成立，则把巧代入式( 2 4 3 ) 得最小订购成本 t c ；：否则，转入步骤4 ： 步骤4 ，比较r c ；、t c ；和v c ；最小值就是模型的最优解( 最小订购成本) 从而可 以得到最优订购周期r + 和相应的最优订购批量q 。 2 8 算例及灵敏度分析 运用具体算例分析模型中的某些参数的变化对最优总成本的影响 实例1产品年需求率d 的变化对总成本模型最优解的影响 设一次的订购费用a = 1 0 0 ，单位产品的订购成本c = 2 0 ，单位产品的销售价格p = 2 5 ， 产品的变质率0 = 0 0 3 ，单位产品单位时间变质损失费b = 3 0 ，h = 2 ，单位库存年支付利息 第1 2 页武汉科技大学硕士学位论文 厶- o 0 8 ，单位库存年收益利息l = 0 0 5 ，口= - 0 0 1 ， 满足条件 ( c + 曰) 乡+ c l ( 1 - b 2 ) t 1 。b 2 和( c + b ) 9 p 。( 2 b - 1 ) 具体计算结果详见表2 1 表2 1产品年需求率d 的变化对总成本模型最优解的影响 实例2 订购费用彳的变化对总成本模型最优解的影响 设产品的年需求率d = 1 0 0 0 ，单位产品的订购成本c = 2 0 ，单位产品的销售价格p = 2 5 ， 产品的变质率0 = 0 0 3 ，单位产品单位时间变质损失费b = 3 0 ，h = 2 ，单位库存年支付利息 l = o 0 8 ，单位库存年收益利息l = o 0 5 ， 口= 一0 0 1 ， 满足条件 ( c + b ) 秒+ c i t ( 1 - b 2 ) p i b 2 和( c + b ) o p ( 2 b - 1 ) 具体计算结果详见表2 2 表2 2 订购费用爿的变化对总成本模型最优解的影响 由上面的这2 个例子我们口j 以得到这样的规律： 1 ) 如果产品需求率越高，则最优订货周期越短，最优订货量越多，零售商单位时间 内的总成本越高： 2 ) 如果一次性订购费用越高，则最优订货周期越长，最优订货量越多，零售商单位 时间内的总成本越低 2 9 结语 本文讨论了信用支付期是订购周期的线性增函数的情况下变库存费的变质物品库存 模型库存费的变化规律为文献【3 9 】所设多项式函数h ( t ) = h t ”中，l = 2 的情况用泰勒公式 近似计算求出总费用平均值，并运用一种算法找到最优订货周期和订购量以达到总费用的 最小化通过算例的灵敏度仿真分析，归纳总结出模型中参数的变化对最优总成本的影响 武汉科技大学硕士学位论文第1 3 页 情况 通过灵敏度分析可以看出，产品需求率的减少和一次性订购费用的增加都可以达到模 型中最优总成本下降的目的 第1 4 页武汉科技大学硕士学位论文 第三章信用支付并有现金折扣的变库存费的变质物品的e o q 模型 在以上模型的基础上，把线形信用支付改为固定信用支付，并且混合使用现金折扣， 为了简化模型不再考虑因产品变质而带来的变质损失费 现实生活中，供应商为鼓励零售商多订货，通常允许零售商先将货物拿走而不需要 支付货款，过一段时间再付款，这就是供应商提供给零售商的延期支付期即信用支付期， 然而这样不但提高了供应商的成本，也增加了货款拖欠的尺度和风险，比如有些零售商 赖账，这样就会给供应商带来很大损失为了尽量避免延期支付可能带来的坏账损失。 供应商经常在给零售商提供信用支付的同时并且混合使用现金折扣以此来吸引零售商尽 早还款 3 1 符号与假设 符号定义 d ：需求率，需求率是均匀的，彳：一次定货的定货费， 口：物品的变质率，且为固定， q ：定货量， l ：零售商的单位库存收益率，r ：定货周期， ，i ：零售商的单位库存支付利率，其中，+ t ， ，( ，) ：f 时刻库存量， t ：货物存贮的时间长度，c ：单位物品订购成本， 厂：供应商给于零售商的现金折扣率，p ：单位物品销售价格， m ：供应商提供给零售商的信用期， ：供应商提供给零售商的现金折扣期，且m n 基本假设 ( 5 ) 瞬时进货，不许缺货； ( 6 ) 考虑单一变质物品，单一补充期； ( 7 ) 初始库存为零： ( 8 ) 供应商提供给零售商的信用期大于供应商提供给零售商的现金折扣期 3 2 模型公式 现实生活中，不是所有物品的库存费都是不变的，如古董，文物等这些贵重物品的存 贮，随着库存量的增加必然要加强相应的保安措施及养护措施，这也会使库存费相应的增 加，在这种情况下，假设库存费h c 满足下列方程： d h c ：h f 2( 3 2 1 ) 刃 其中：h 为大于0 的常数0 t t 在整个周期内，库存系统的所有的库存量都是被需求和变质消耗了，所以t 时刻的库 存量，( f ) 满足下列微分方程： 武汉科技大学硕士学位论文 第1 5 页 掣：一d 一防( f ) ，o f 丁 解式( 3 2 2 ) ，并带入边值条件，( r ) = 0 得： m ) = 万d 妒) 扎 起初的订购批量为： q = ，( o ) = 万d 刃一1 ) 3 3 一个周期的总成本 总成本包含以下几项内容： 订购费用，包括一次的订购费和物品的订购费用( 记为o c ) 库存费用( 记为h c ) 零售商可能需要向供应商支付的利息( 记为i k ) “ 零售商出售货物所得利息( 记为饱) h c ：f f 2 d i ：h dff 2 p 卵- f 出 国旬 零售商在m 点付款时： o c m = 彳+ 百c d 垆一l 】 肘= p 0 出瓣 吼2 以 r p i er 。d t d t 妒 m m 砜= 以 r p i f 。d t d t 脚 ns t n t 若零售商在m 点付款，则零售商不能享受供应商给予的现金折扣 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) 第1 6 页武汉科技大学硕士学位论文 om t0tm 情况1m t 此时，零售商在信用期内产品没有销售完，会享受长度为m 的信用期 令t c l 表示第一种情况的总费用平均值，有 玛= 小+ c d ( e 广u r - 1 ) 伽r t 2 e 口( r - o d t + c i 。j ：i ( t ) d t - p i 。r d t d t i ac d ( p 0 2 一1 )h d ( 2 e 卯- 0 2 丁2 2 卵一2 )，a 女d p 卜一l l 一一4 - 二j l 一_t二二j!-_=一 f0 t03t0 2 t c d ( t - m ) p 。d m 2 o t2 t ( 3 4 1 ) 情况2m t 由于m t ，故零售商可以享受长度为m 的信用期且因周期长度小于信用期，所 以零售商不需要向供应商支付库存利息 令吗表示第二种情况的总费用平均值，有 t c 2 = 牡r t 2 e o ( r - o d t _ 科。 r 。砒+ c m 一乃。刁) ：a巾cd(e胛口r-1)+一hd(2ear-ozt2-20-2)一dpij。似一冬) (342)0t = 一一 i 几订一一l 、j 4 zj 丁刃 3 2 若零售商在点付款，则零售商享受供应商给予的现金折扣 武汉科技大学硕士学位论文第1 7 页 0 t otn 情况3n t 现金折扣期小于订购周期，零售商在信用期内产品没有销售完，会享受长度为的 信用期， 令t c 3 表示第三种情况的总费用平均值，有 玛：牡tc(1-r)d(e口r-1)啪rt2epcr-”dt+c(1-r)iki(t)dt-以r。叫 ：兰+ c ( 1 - r ) d ( e 口r - 1 ) + h d ( 2 e 口r - 0 2 t 2 - 2 0 t - 2 ) + 里! ! 二1 2 生望k 竺：竺二! j 一 1 钉0 3 t0 2 t c ( 1 - r ) i 女d ( t - n ) p i 。d n 2 0 1 2 t 情况4n t 现金折扣期大于订购周期，故零售商可以享受长度为的信用期 于现金折扣期，所以零售商不需要向供应商支付库存利息 令t c 4 表示第四种情况的总费用平均值，有 t c 4 = 私 彳 = 士 丁 ( 3 4 3 ) 且因周期长度小 r t 2 e o t r - t ) d t _ 以 胁+ ( n - t ) d t ) h d ( 2 e 胡r - 0 而2 t _ 2 - 2 0 7 - 2 ) 一d p i 。( 一虿t ) ( 3 4 4 ) p 3 72 3 5 定理及证明 定理l 粥。在( o ，佃) 内的唯一驻点r l 为t c i 的最小值点 证明：t c l 取得最小值的必要条件为： 鱼堕：0 d t ( 3 5 1 ) 第1 8 页武汉科技大学硕士学位论文 盟d t = 斟t 彳+ z i d c ( o t e 卯一e 卯+ 1 ) 。 + d h ( 2 0 t e 口r _ - 2 歹e 。r + 2 - 一0 2 t 2 ) + 1 p 3 一ci,dote口r-u)-ear-u)+1+型一cikdm l 0 2 。 20 i 令： 朋) = - a 4 d c ( o t e 了u r - 一e a r + 1 ) + d h ( 2 0 t e 口r - 7 2 e 一r + 一2 - 0 2 t 2 ) + cikd o t e a ( r - u ) - e 口( r - u ) + i + 丝! 丝：一型 0 2 20 有f ( o ) 0 ( 3 5 3 ) 所以厂( 丁) 为( o ，+ o o ) 内严格增函数，从而( r ) = 0 有唯一解五。，即t c ，在( o ，佃) 内有 唯一驻点互 又争k 地等塑k 争 。 5 舢 即五为玛在( o ，佃) 内的极小值点，即最小值 定理2 t c 2 在( 0 佃) 内的唯一驻点巧为心的最小值点 证明：证明方法同定理1 警=井彳+一dc(oter-er+1)+ = 0 令： g ( 丁) = 一彳+ d c ( o t e a r 歹- e a r + 1 ) + 有g ( o ) = 一a 。 ( 3 5 7 ) g ( 7 ) 为( o ，佃) 内严格增函数，从而g ( 丁) = 0 有唯一解巧，即粥2 在( o ，+ ) 内有唯一 驻点巧 又等k g ( t ) t 等2 -k 铲 。 5 即巧为r g 在( o ，佃) 内的极小值点，即最小值 定理3t c 3 在( o ，佃) 内的唯一驻点巧为玛的最小值点 证明：证明方法周定理1 dtc3：j0一彳+dc(1-r)(otear-ear+1)+一dh(20tear-2ear+2-02t2)+ d t t 2100 3 c(1-r)ikdoteer-n)-e护t-：ir)+1+丝型：一c(1-r)ikdnl 0 22 0 j = 0 ( 3 5 9 ) 令： jiz(丁)：一么+dc(1-r)(otear-ear+1)+dh(2otear-2leer+2-02t一2)+ 、7 00 3 c ( 1 - r ) i k d o t e p ( r - x ) - e e ( r - n ) + 1 上丝! 型：一c i k d n 秒22p 有h ( o ) 0 ( 3 5 1 1 ) 所以五( r ) 为( o ，佃) 内严格增函数，从而办( 丁) = o 有唯一解巧，即玛在( o ，佃) 内有唯 一驻点巧 又簪b 。 即巧为t g 在( o ，佃) 内的极小值点，即最小值 定理4 觋在( o ，佃) 内的唯一驻点巧为t c 4 的最小值点 证明：证明方法同定理1 ( 3 5 1 2 ) 盟d t = 井t 彳+ 一0 + 丝坠掣0+ 型2 l 2 i 3 l = 0 ( 3 5 1 3 ) 令： 霓(r)：一4+dc(1-r)(otear-ear+1)+dh(20teer-2e-er+2-02t一2)+pi。dt2(3514) 0 0 52 第2 0 页一 武汉科技大学硕士学位论文 有尼( o ) = - a 。 忌( d 为( o ，佃) 内严格增函数，从而k ( t ) = 0 有唯一解巧， 驻点巧 又挚k 。 即巧为t c 4 在( 0 , + o o ) 内的极小值点，即最小值 3 6 模型近似求解 ( 3 5 1 5 ) 即t c 4 在( 0 ，佃) 内有唯一 由泰勒公式可以得到，p 卯1 + 卯+ 竖 ，其中g 是很小的数，所以有： ，y t l 、 o t e o r e 卯+ 1 ：盟+ d 旧2 ) 一( o t ) 2 2 2 情况1 将式( 3 6 1 ) 代入( 3 4 1 ) ，得订购周期 正+ = x 2 a + d m 2 ( c i i , - p i 。) c d ( f + i , ) 有前提条件m t 得： 2 a - d m 2 ( c o + p i 。) 0 经济订购批量为：鲫卜矿dg r _ 1