（光学专业论文）外磁场对二维磁性光子晶体绝对带隙结构的影响.pdf

中文摘要 中文摘要 当构成光子晶体的材料其介电函数或磁导率随光波的频率而改变时，在求解光子晶体 的能带结构时问题就变得比较复杂。一般情况下，铁氧体材料的磁导率是随光波的频率而 改变的。本文运用扩展基矢的方法，研究了外磁场对由铁氧体材料构成的二维磁性光子晶 体的影响。 首先，研究了外磁场对由铁氧体材料构成的三角格子二维磁性光子晶体绝对带隙结构 的影响，散射子为圆形空气柱子。研究发现：随着外磁场的增加，填充率为0 8 4 3 的二维 磁性光予晶体的绝对带隙的宽度、绝对带隙的中心频率以及绝对带隙的宽高比均单调递 增，但是上述各量有外场时的值均比不加外磁场时的值小，而且加外磁场后不出现绝对带 隙闭合的情况。对于填充率为0 6 5 0 的情况，加外磁场后除了对低频段的绝对带隙有类似 于填充率为0 8 4 3 时的影响之外，加外磁场后在高频段又出现了一个新的绝对带隙，此绝 对带隙的宽度和绝对带隙的宽高比均随外磁场的增加而单调递减，而绝对带隙的中心频率 则随外磁场的增大而单调递增值得注意的是在外磁场大到3 0 1 2 a r c 口_ 1 ) 后，该绝对带隙 就闭合了。 其次，研究了外磁场对由铁氧体材料构成的正方格子二维磁性光子晶体绝对带隙结构 的影响，散射子分别为：圆形空气柱子，正方形空气柱子和正方形介质柱子。计算结果表 明三种结构具有一些共同点，即加外磁场后绝对带隙都存在闭合的情况，另外三种结构的 绝对带隙宽度、绝对带隙的中心频率以及绝对带隙的宽高比均随外磁场的增大而几乎单调 递增；不同点是：绝对带隙闭合时所对应的外磁场范围不同，圆形空气柱子结构的范围最 大，正方形空气柱子结构的最小，正方形介质柱子结构的介于两者之问。圆形空气柱子结 构的绝对带隙的宽度和绝对带隙的宽高比随外场的增加而同时达到最大值，且它们的最大 值均大于不加外磁场时所对应的值；而绝对带隙的中心频率却均小于不加外磁场时的值。 关键词：磁性光子晶体扩展基矢方法外磁场绝对光子带隙结构 a b s t r a c t t h eb a n ds t r u c t u r e so ft h ep h o t o n i ec r y s t a l ( p c ) a r ed i f f i c u l tt ob ec a l c u l a t e d ，w h e nt h e d i e l e c t r i cf u n c t i o n0 1 p e r m e a b i l i t yo ft h ec o m p o s e dm a t e r i a l si sd e p e n d e n to bt h e 矗e q u e n c yo f l i g h tw a v e g e n e r a l l y , t h ep e r m e a b i l i t yo f f e r r i t ei sr e l a t e dt ot h ef r e q u e n c yo f l i g h tw a v e i nt h i s w o r k , t h ee f f e c t so ft h ee x t e r n a lm a g n e t i cf i e l d ( h 。) o f tt h ep r o p e r t i e so ft h et w o - d i m e n s i o n a l ( 2 d ) m a g n e t i cp h o t o n i ec r y s t a l ( m p o ，w h i c hi sc o m p o s e do ff e r r i t em a t e r i a l s ，a r ei n v e s t i g a t e d b yt h eu s eo f t h ee x p a n d e db a s i sm e t h o d f i r s t l y , t h ee f f e c t so f t h ee x t e r n a lm a g n e t i cf i e l d ( h “) o nt h ea b s o l u t ep h o t o n i eb a n dg a p ( p b g ) s t r u c t u r 鹤o ft h e2 df e r r i t em p c w i t hat r i a n g u l a rl a t t i c ea r ei n v e s t i g a t e d t h es c a t t e r e r s a 阳a i rr o d si nt h ef e r r i t em a t e r i a lm e d i a t h ec a l c u l a t e dr e s u l t ss h o wt h a tt h ew i d t ho ft h e a b s o l u t ep b g , t h em i d d l e - f r e q u e n c yo f t h ea b s o l u t ep b g ( i ti sc a l l e dg a p - m i d ) ，a n dt h eg a p - m i d g a pr a t i oa r ei n c r e a s e da sh 。i si n c r e a s e d ，w h e nt h ef i l l i n gf a c t o r ( f ) o f t h e2 dm p c i s0 8 4 3 h o w e v e r , t h ev a l u e so f t h ea b o v eq u a n t i f i e sa r es m a l l e rt h a nt h a tw i t h o u te x t e r n a lm a g n e t i cf i e l d f u r t h e i m o r e , t h ea b s o l u t ep b g i sn o tc l o s e db yt h ec h a n g eo ft h ee x t e r n a lm a g n e t i cf i e l d i nt h e c a s ew i t hf = 0 6 5 0 , t h eb e h a v i o r so f t h ea b s o l u t ep b g i n t h el o w f r e q u e n c yr a n g e a r es i m i l a rt o t h a to ft h ee a s ew i t hf = 0 8 4 3u n d e rt h ei n f l u e n c eo fh 。a tt h e 蛐et i m e , t h e r ei san e w a b s o l u t ep b gi nt h eh i g hf r e q u e n c yr a n g ea f i e rt h ee x t e r n a lf i e l dh 。i sa p p l i e d b o t ht h ew i d t h o fa b s o l u t ep b ga n dt h eg a p - m i dg a pr a t i od e c r e a s e a s h 。i n c r e a s e s ，h o w e v e r , t h e m i d d l e - f r e q u e n c i e si n c r e a s ea sh 。i n c r e a s e s i ts h o u l db en o t e dt h a tt h ea b s o l u t ep b g i s c l o s e dw h e nh 。i sl a r g e rt h a n 3 0 ( 2 7 r c 硝) s e c o n d l y , t h ee f f e c t so f t h ee x t e r n a lm a g n e t i cf i e l d ( h 。) o nt h ea b s o l u t ep b g s t r u c t u r e so f t h e2 df e r d t om p cw i t has q u a r el a t t i c ea x ei n v e s t i g a t e d t h e r e 戤t h r e ek i n d so fs c a t t e r e r 8 ：a i r r o d si nf e r r i t em a t e r i a lm e d i a , s q u a r ea i rr o d si nf e r r i t em a t e r i a lm e d i aa n ds q u a r ef e r r i t om a t e r i a l m e d i ar o d si na i r t h ec a l c u l a t e dr e s u l t ss h o wt h a tt h e r e 啪c o l n m o l lf e a t u r e si nt h et h l e e s t r u c t u r e s ，i t h ea b s o l u t ep b gc a nb ed o s e dw h e nt h ee x t e r n a lf i d dh 。i sa p p l i e d i n a d d i t i o nt ot h i s , t h ew i d t ho ft h ea b s o l u t ep b c 4t h em i d d l e - f r e q u e n c ya n dt h eg a p - m i dg a pr a t i o n e a r l yi n c t c a 船a sh i n c r e a s e s n o w g v g r , t h e r ea r es o m ed i f f e r e n tf e a t u r e si nt h e s es t r u c t u r e s t h er a n g e so fh ta r ；ed i f f e r e a tw h e nt h ea b s o l u t ep b g sa l eb e i n gd o s e d ，t h er a n g eo fh “f o r t h ec l o s eo f t h ep b gi nt h es t r u c t u r eo f a i rr o d si nm e d i ai st h el a r g e s t , t h a ti nt h es t r u c t u r eo f t h es q u a r ea i rr o d si nm e d i ai st h es m a l l e s ta n dt h a ti nt h es t r u c t u r eo ft h es q u a r em e d i ar o d si s b e t w e e nt h e m b o t ht h ew i d t ho ft h ea b s o l u t ep b ga n dt h eg a p m i dg a pr a t i oi nt h es t r u c t u r eo f t h ea i rr o d si nm e d i aa r ei n c r e a s e da 8t h e h 。i n c r e a s e s ，a n dt h e yr e a c ht h el a r g e s tv a l v e sa tt h e s a m et i m e t h ev a l u e so f t h e ma r el a r g e rt h a nt h a tw i t h o u te x t e r i ! m lm a g n e t i cf i e l d h o w e v e r , t h e m i d d l e - f r e q u e n c i e so f t h ea b s o l u t ep b ga r es m a l l e rt h a nt h a tw i t h o u te x t e r n a lm a g n e t i cf i e l d k e yw o r d s ：m a g n e t i cp h o t o n i cc r y s t a l ，e x p a n d e db a s i sm e t h o d ，e x t e r n a lm a g n e t i cf i e l d ，a b s o l u t e p h o t o n i cb a n dg a p s t r u c t u r e i 第一章引言 1 1 光子晶体简介 第一章引言 在过去几十多年中，电子器件的研究和制作取得了巨大的成功，然而从原理上，电子 器件的运算速度，信息容量最终会因为电子的运动而受到限制。由于光子有着电子所不具 有传播速度快、频带宽、能耗低、抗干扰能力强等优点，于是人们开始探索和寻找全光学 器件。作为第一步，必须找到这样的材料，在其中能够按照人们的意愿去控制和利用光子 的运动。1 9 8 7 年，美国贝尔通讯研究中心的e y a b l o n o v i t c h 教授在讨论如何抑制原子自发 辐射的时候提出了光子晶体( p h o t o n i c c r y s t a l ，简称p c ) 概念i ”，与此同时，美国普林斯顿 大学物理系的s j o h n 教授在讨论光子局域时也提出了p c 的概念 2 1 。 p 1 c 的概念是同真实晶体类比而来的。在固体材料中，由于原子核的周期性势场的作 用，电子会形成能带结构，带与带之间( 如价带与导带之间) 有能隙，称之为禁带。将这一 思想应用于传输光的介质中，如果介质也存在周期性的结构，那么其中的光子就有可能形 成类似电子的能带结构，带与带之间也会出现“禁带”。在固体中，能量处于禁带内的电 子是不可能存在的。与此类似，在具有禁带的介质中，频率位于禁带中的光也不能在其中 传播，这种禁带也称之为光子带隙( p h o t o n i cb a n dg a p ，简称p b g ) p 卅，p b g 可以分为两种： 一种是不完全p b g ，p b g 只是出现在某些特定的传播方向，另一种是完全p b g ，p b g 在各 个方向都存在。这种由于存在禁带而对频率有选择特性的周期性介质结构被称为p c 。按照 组成p c 的介质排列方式的不同，可以将其分为一维光子晶体( 1 dp c ) 3 , 7 1 ，二维光子晶体( 2 d p c ) 1 3 , l 】，三维光子晶体( 3 dp c ) p 。 1 dp c 是指介质在一个方向上具有周期性的结构，而在另外两个方向上是均匀的。将 两个不同折射率的介质薄膜交替排列便构成了i dp c 。传统的多层膜也可以看作是i dp c 的例子，相对而言i dp c 是最简单，易于制备的。 2 d p c 是指介质在两个方向上具有周期性的结构，而在第三个方向上是均匀的，一般 把两个方向具有周期性的介电结构的平面为r ，平面，而沿z 方向是均匀的。当电磁波 沿垂直于z 轴方向入射，可以分解为极化( t e 模，磁场沿z 轴) ，f 极化( t m 模，电场 沿z 轴) 研。两种极化有各自的p b g ，其重叠的部分称为绝对p b g 。2 dp c 的制作比3 d p c 相 对容易。 第一章引言 3 dp c 是在三个方向上都是周期性变化的结构，有可能出现完全p b g ，即出现在完全 p b g 的光在任何方向都被禁止在p c 中传播。不过3 dp c 的制作相对来说比较复杂，对材 料的设计和加工的要求也很高。p b g 处于微波波段的3 dp c 可以由机械加工的方法制作， 而p b g 处于可见光和红外波段的需要刻蚀或者其他方法制作吣1 4 1 。 1 2 光子晶体的应用 p c 有着广泛的应用前景。人们设计了多种多样的p c 光学器件，目前这些光学器件主 要是利用了p c 的p b g 特征 1 3 , 1 5 - 2 9 1 ，如： 1 宽带带阻滤波器0 3 , 1 5 】：即利用p c 的p b g 对光的优良滤波性能，可以实现大范围的 滤波。特别是一些复合式的p c 滤波器，如s g m p t a 等提出的金属一介质p c 可以实现从 0 h z 到红外波段的宽带滤波旧。 2 高效率低损耗的全反射镜tp c 中不允许光予频率禁带范围内的光子存在，当一束在 光子频率范围内的光入射到p c 上时，这束光会被全部反射【1 6 1 。当选择没有吸收的介电材料 的时候，p c 可以反射任何方向入射的光，反射率几乎为1 0 0 “, 6i l r l 。由于光学介质在几个波 长的深度内对光波吸收很小，所以用光学介质材料制作成的p c 反射镜具有较小的损耗； 同时和金属反射镜相比，p c 反射镜表面不易损坏，这是由于光穿入p c 反射镜的深度较大， 热量不集中，而金属表面只有很薄的趋肤深度内有光0 8 1 。 3 p c 微腔：从p c 中移走一个原子在完整的p c 中就引入了点缺陷，利用这个点缺陷 将光捕获在缺陷处，p c 微腔可以获得很高的品质因数q 。而且通过设计点缺陷的大小、位 置、形状可以控制微腔的频率、场分布等特性【1 9 】。 4 p c 光纤：光子晶体光纤是由晶格常数为光波长量级的二维光子晶体构成的，即规 则排列着空气孔的阵列构成光纤的包层，光纤的中心由一个缺陷构成。p c 光纤在很宽的频 率范围内支持单模运行；核心面积远大于传统光纤核心面积，可以通过高功率的光波1 2 0 - 2 。 5 p c 光波导：传统的波导是依靠电磁波在介质面处的全反射机制导波，它最大的问题 是在波导曲率半径超过一定数值的时候会有很大能量的损失1 2 2 1 。当在p c 中引入一个线缺 陷时，频率落在缺陷态中的光波导呈现很强的局域性，因而只能在缺陷处传播，所以可以 在转角处有效地减少能量损失- 2 4 。 p c 还有其他重要的应用前景，如控制原子的自发辐射( a s e ) 2 52 “，低阈值激光器吲。 2 第一章引言 非线性p c 器件 2 s - 2 9 等等。总之，p c 有着广泛的应用前景，将会极大地推动光通讯、光计 算等光学技术的发展。 1 3 光子晶体的理论研究方法 平面波展开方法：是在光子晶体能带研究中用得比较广泛的一种方法。它是应用b l o c h 定理，把电磁场分解为b l o d l 波的形式，并且展开为一系列平面波的叠加。最终可以把 m a x w e l l 方程组化成一个本征方程，求解本征值便得到了传播的光子的本征频率1 堋。由于 计算量与平面波数有关，如果计算较复杂的结构时，需要大量的平面波数，这就需要较大 的运算量。而且如果介电函数和磁导率不是恒定值而是随频率变化的量时，传统的平面波 展开的方法会遇到麻烦。为了解决这类问题，人们发展出了扩展基矢方法i s ”。它是平面波 展开方法的另一种表述形式，其实质是将平面波展开法同一系列扩展基矢相结合，在频率 国先给定的情况下，将波矢k 作为本征值求出，从而得到色散关系叫k ) 。本文第二章将会 对扩展基矢的方法作详细的介绍。 转移矩阵方法：这种方法是把电场或磁场在实空间格点位置展开，将麦克斯韦方程组 化成转移矩阵形式，同样变成本征值求解问题 3 2 - 3 ”。转移矩阵表示一层( 面) 格点的场强与 紧邻的另一层( 亟) 格点场强的关系，它假设在构成的空间中在同一个格点层( 蘧) 上有相 同的态和相同的频率，这样可以利用麦克斯韦方程组将场从一个位置外推到整个晶体空 间。这种方法对介电常数随频率变化的金属系统特别有效，由于转移矩阵小，矩阵元少，计 算量较前者大大降低，只与实空间格点数的平方成正比，精确度也非常好，而且还可以计算 反射系数及透射系数p 聊，】。 差分法：这种方法将一个单位原胞划分成许多网状小格，列出网上每个结点的有限差 分方程，利用布里渊区边界的周期条件，同样将麦克斯韦方程组化成矩阵形式。这个矩阵是 准对角化的，其中只有为数不多的一些非零矩阵无明显地减少了计算量降3 4 1 。 有限时域差分法：这种方法直接把含时问变量的m a x w e l l 方程在y e e 氏网格空间中转化 为差分方程。在这种差分格式中每个网格点上的电场或磁场分量仅与它相邻的磁场或电场 分量及上时间步该点的场值有关。在每一时间步计算网格空间各点的电场和磁场分量。随 着时间步的推进，就能直接模拟电磁波的传播及其与物体的相互作用过程。由于在差分格 式中，被模拟空间电磁性质的参量是按空间网格给出的，因此，只需对相应空间点设定适 当的参数，对介质的非均匀性、各向异性、色散特性和非线性等结构均能很容易地进行精 3 第一章引言 确模拟。这种方法计算效率比p w m 高，而且可以进行时域仿真，动态地显示光场的传播行 为，因为这种方法的使用频率相当高阱删。 除此之外还有超原胞的方法 3 9 4 1 1 ，矢量球面波方法1 4 2 1 以及频率域有限差分嗍等方法。 1 4 磁性光子晶体的研究现状和问题的提出 早期的光子晶体是由周期性电介质材料组成1 。近些年，人们发现半导体 4 3 1 ，液晶h “j ， 磁性材料【“8 1 也可以用于制作p c 。目前对2 d 磁性光子晶体( m p c ) 的研究较多，有一些 是具体情况下的应用，也有对2 dm p c 的绝对p b g 的研究 4 9 - f , o 。对于2 d 的m p c ，研究发现： 磁性光子晶体( m p c ) 的绝对p b g 宽度和其宽高比( 带隙宽度与带隙中心位置之比) 远大予 同种结构的非磁性光子晶体( n m p c ) 的宽高比【4 i , 4 9 - s o l 。 由于扩展基矢方法 3 1 , 5 1 - 5 2 1 可以解决光子晶体中介电函数或磁导率随频率变化的本征值 问题，顾本源等人利用扩展基矢法研究了介电函数依赖频率变化的二维极性材料的光子晶 体，研究发现：在介电函数随频率变化剧烈的地方，光子晶体的p b g 有明显的变化 5 2 1 。 另外，由铁氧体材料构成的三角格子的2 dm p c 可以做成可调磁性光子晶体，相对于 磁导率等于1 o n 的情况而言，t e 模的带隙位置和带隙宽度都有变化 5 3 - 5 4 。 1 5 论文的主要工作和结构安排 论文的主要工作和结构安排如下：在第二章将详细介绍扩展基矢方法的基本原理，以 及介绍了本文中主要的计算公式和参数的选取。 由于铁氧体材料的磁导率是一个依赖频率变化的参数，同时扩展基矢方法 3 1 , 5 1 4 2 1 能很 好的解决磁导率随频率变化的光子晶体的本征值问题。基于以上两点本文准备运用扩展基 矢方法进一步讨论和研究外磁场对由铁氧体材料构成的二维磁性光子晶体的绝对带隙结 构的影响。这部分内容将分别在第三章和第四章中详细讨论。 在第三章将讨论外磁场对三角格子圆形空气柱子，不同填充率的2 dm p c 绝对p b g 的 影响；第四章中将讨论外磁场对正方格子，不同散射子的2 dm p c 绝对p b g 的影响。 第五章对全文内容作出总结。 4 第二章理论基础和计算公式 第二章理论基础和计算公式 2 1 光子晶体中的扩展基矢方法： 在各向同性介质中，根据m 缸w d l 方程组，磁场h ( r ) 满足以下关系式叫： v 高v n ( r ) 卜矽h ( r ) 其中s ( r ) 是介电常数，l l ( r ) 是磁导率。r 代表散射子在与轴垂直的平面上的位置矢量，国 是电磁波频率。将占( r ) 和l l ( r ) 以及h ( r ) 分别用傅立叶级数展开得1 ： h ( r ) =h 。8 舡“卜 c 占( r ) = 龟铆 g ( r ) = y , o e 螂 c ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 其中k 是第一布里渊区内的波矢，g 为倒格矢，占g 和g 分别是f ( r ) 和 ( r ) 的傅立叶展开系数。 将( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 式代入( 2 1 1 ) 式可以得到口1 】： _ ( k + g ) 一删( k + g ，) = 矿 ( 2 上5 ) gg 把( 2 1 5 ) 式写成两个独立的方程l ： t m 波模方程：( 磁场平行于2 dp c 周期性平面) 舷k ，( k + g ) ( k + g 声蚪= 2 z 6 娟, e 彬 g g 。 t e 波模方程：( 电场平行于2 dp c 周期性平面) g 二( k + g ) ( k + g ) h k g ，- - - - - f 9 2 心- g ，h k g g g s ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 第二章理论基础和计算公式 很显然，本征方程( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 中的磁导率和介电常数都是实数而且与频率 无关，如果p c 材料的磁导率和介电函数是复数或依赖频率变化的，方程( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 就不能解决相关的本征值问题了，因此为了解决这类问题，引入了一系列扩展基矢和平面 波展开法相结合，导出k 的本征方程，现分为以下两种情况：一种固定k 的方向和频率 求k 的长度；另一种是先确定k 的一个分量t ( 或者) 和频率国再求另一个髟( 或者t ) ， 两种情况分别如下川： 舰撒一一基文盏 和( 巍卜 ( 2 1 f i ) 变为口1 】。 善硭c ， j | 2 + 瓜+ ( g + g ) + g g 巳g ，= 国2 善龟一c ，k ( 2 1 8 ) 利用公式： 心品= 万( g ”一g ) ( 2 1 9 1 ) 占g 占g 一- 。，= 万( g ”一g ) ( 2 1 1 0 ) g t 蠛( 酚七( 盛) 亿， 食= g g ， 2 占g 一g 一三：一g ，g ”g7 = ：一善，z g g ， ，z 三：一g ，正( g 。+ g7 ) i 为单位矩阵元 6 第二章理论基础和计算公式 瞅：罡飘m 恚) 食- 掣 缈2 - t o 一g g ， 一萋t 。 喀坷( g + g ，) i 为单位矩阵元 第二种舰当固定t 的舯并给定的值时，采用扩展基矢f ，l k 民, e 0 1 j 和( 盘) ，( 2 枷， z g ，o - g ， 砖+ 砖( q + q ) + q q + 限+ q ) ( t + q ) p g ， ：彩2 e g ， 2 加 g 一= b ( 盛 “， f = - g ，u o - o 国2 龟旷吐，( g + 料( g 7 + 例 译善陋g ，( g ；+ g ；) 同理可以得到0 1 l 。 喊0 ( 盘h 盎g p 2 善- 国2 。0 - 0 - - s 。- i 。( g ”+ 硝) ( g + 啦) 7 ( 2 1 1 5 ) 第二章理论基础和计算公式 q = - 占cg 。 占占：划( g ；+ g ；) 公式中的曼代表x 方向的单位波矢，i 为单位矩阵元。 当固定b 和国的值时，由于工和y 方向的对称性，只需将( 2 1 t 4 ) 和( 2 - 1 1 5 ) 式中的x 和y 对调即可”1 ： 一( ( 矗h 蛊) 争2 善鳓一c - 缈2 钒，一吐( g + 饼( g + 例 译一善盹划 舷：( g ：+ g ：) 叫p 0 三) = t ( 蛊) p 2 善龟 ， 国2 炖w 一8 。- 。1 ( g + 砖夕) ( g + 砖夕) 峰善- 坛! - c ，( g ：+ g ：) 夕代表的是y 方向的单位矢量，i 为单位矩阵元。 ( 2 1 。1 6 ) ( 2 1 1 7 ) 可以注意到，( 2 1 1 1 ) 、( 2 1 1 2 ) 、( 2 1 1 4 ) 、( 2 1 1 5 ) 、( 2 i 1 6 ) 和( 2 1 1 7 ) 式均为关于波矢k 的本征3 - f ，且均是先给定频率国，然后确定波矢k 的，这是扩展基矢 方法和平面波方法最大的区别所在。扩展基矢方法的优点是可以解决介电函数和磁导率随 频率变化的本征值的问题，这为研究介电函数和磁导率依赖频率变化的光子晶体提供了条 件。 8 第二章理论基础和计算公式 2 2 计算公式和参数的选取 在本文中我们采用铁氧体材料来设计二维磁性光子晶体，其中铁氧体材料中的磁导 率满足以下公式。”： = 忑( ( ) 瓦e x i - i o ) m ) 再2 - - 0 孑2吆l 吆+ 缈mj 一国 ( 2 1 1 8 ) 其中砭0 = ，日。，翻_ = 4 衫膨，嗍，y 是旋磁比，的值取决于饱和磁化强度材，频 率国和外磁场也的大小。文中国、吆和均采用归一化的( 2 邪口一1 ) 为单位。 图2 2 1 给出了根据公式( 2 1 1 8 ) 计算出的磁导率随频率国和外磁场变化的 关系图。从图中可以看出，随外磁场吆的变化而变化，当吆= 1 0 ( 2 ，r c 4 1 ) 时，戚 化较大；随着外磁场玩0 的增大，逐渐减小，最后趋近于1 0 。在随外磁场吐k 变化的 整个范围里，都是大于1 0 的值。 2 1 5 i 1 图2 2 1 磁导率随频率国和外磁场吆变化的关系图善轴代表外磁 场哆。，) ，轴代表频率国，z 轴代表磁导率，旺k = o 5 ( 2 万c 口一1 ) 9 第二章理论摹础和计算公式 为了确保达到饱和磁化，我们将选取= o 5 ( 2 n c 口。1 ；为了讨论外磁场对光子带 隙( p b g ) 结构的影响，我们选取 1 0 的范围，因此选取在1 o 5 o 2 n c a 一) 范 围内进行研究嘲。通过以上分析可知：当外磁场吐。固定为某一个值时，磁导率就只随 频率国变化了，这一点恰好是扩展基矢方法能够解决的。 另外，由于典型的铁氧体材料的介电常数在1 2 o 1 6 0 范围内嘲，为了能和文献删 的结果相对比，我们取铁氧体材料的介电常数晶= 1 2 9 6 。同时为了保证计算结果的收敛 性，通过检验，将采用2 1 x 2 1 个平面波，其收敛系数在2 3 。由于文献e 5 6 是在固 定占= 1 2 9 6 的情况下研究了非磁性光子晶体( n m p c ) 的绝对p b g ，通过调节各种参 数，得到了非磁性光子晶体( n m p c ) 各种结构的最大绝对p b g 。本文将利用扩展基矢 方法研究，由铁氧体材料构成的二维磁性光子晶体，取文献 5 6 3 模型中的最佳参数，通 过改变外磁场，看在不同格子和柱子的情况下外磁场对这种磁性光子晶体绝对p b g 的影 响。 1 0 第三章外磁场对三角格子二维磁性光子晶体绝对带隙结构的影响 第三章外磁场对三角格子二维磁性光子晶体绝对带隙结 构的影响 由于铁氧体材料的磁导率是一个依赖频率和外磁场变化的参数，同时由于扩展基矢方 法口”能很好的解决磁导率随频率变化的光子晶体带隙结果的本征值问题。基于以上两点本 文准备运用扩展基矢方法进一步讨论和研究外磁场对由铁氧体材料构成的二维磁性光子 晶体绝对带隙结构的影响。计算外磁场功0 对三角格子二维磁性光子晶体( 2 dm p c ) 的绝 对光子晶体带隙( p b g ) 结构的影响，其中散射予取圆形空气柱子散射子；由于本文是在 文献 5 6 最佳参数的基础上加外磁场进行研究的，通过研究发现，在填充率厂= o 8 4 3 的情 况下，外磁场对绝对p b g 的影响不是很明显( o e x ，也没有出现加外磁场哦。后绝对p b g 闭 合的情况。为了找到在外磁场舡k 的影响下，绝对p b g 的各个参量变化比较明显，或者能 够出现在外磁场髓k 影响下原本宽度最大的绝对p b g 闭合的情况，我们通过调节填充率厂 又找到一个比较合适的填充率，使绝对p b g 能够在外磁场作用下出现闭合的情况，即填充 率广= o 6 5 0 。这两种情况分别在3 1 和3 2 节中作详细讨论。 3 1 填充率f = o 8 4 3 计算模型如图3 1 1 所示，( a ) 图中阴影部分是磁导率为h = ，介电常数为毛= 1 2 9 6 的铁氧体材料三角格子背景，空白圆形部分是真空圆形柱子散射子，其磁导率凤和介电常 数氏均为1 0 。a 为晶格常数。圆形空气柱子在铁氧体材料的三角格子中的情况，我们取 填充率f = o 8 4 3 畸力。( b ) 图代表三角格子第一布里渊区的高对称点，由于我们主要关心 低能带区域p b g 的变化，在这种格子中，我们在( o o 国o 7 ) ( 2 n c 4 。) 区域内研究，每 隔0 0 0 1 的间隔取一个彩值，分别计算了r _ p ，p 呻q 和q 斗r 三个方向的两种偏振模式 的本征值k ，从而得到2 dm p c 的绝对p b g 。 第三章 井磁场对三角格子二维磁性光子晶体绝对带隙结构的影响 ( a ) 图3 1 1 三角格子2 dm p c 示意图。( 口) 图空白部分代表真空圆形 柱子散射子胁= = 1 0 ；背景是由铁氧体材料构成的三角格子 其磁导率“= t ，介电常数毛= 1 2 9 6 ，填充率厂= o 8 4 3 。( b ) 图 代表三角格子第一布里渊区的高对称点。 根据图3 i i 中的模型和参数，我们首先粗略的展不外磁场对三角格子绝对p b g i 簦j 影 响，在图3 1 | 2 中，从左至右，分别给出了外磁场为o 0 ( 2 z c a - 1 ) 、1 0 ( 2 z cr 口一1 ) 以及 5 0 ( 2 n c 口一1 1 时，2 dm p c 对应的绝对p b g 的情况。 从图3 1 ，2 可以看出，当不加外磁场时背景中的磁导率“= 1 0 ，此时2 d n m p c 的 在中心带隙频率畋= o 4 8 2 ( 2 n c 口。) 附近有一个较宽的绝对p b g ，其宽度为 0 0 9 5 ( 2 z c 口4 ) ( 如图3 1 2 ( 口) ) ；当外磁场为1 0 ( 2 7 r c 4 1 ) 时，2 dm p c 的绝对p b g 中心 带隙位置向低频移动，且绝对p b g 的宽度明显变窄( 如图3 1 2 ( 6 ) ) ；当外磁场为 5 0 ( 2 z c 口。) 时，此时的2 dm p c 在中心带隙频率吃= o 4 7 3 ( 2 ，r c 口“) 附近有一个较宽的 绝对p b g ，其宽度为0 0 8 9 ( 2 z c 口。1 1 ，仍小于不加外磁场时的绝对p b g 宽度以及中心带 隙频率的值( 如图3 1 2 ( c ) ) 1 2 第三章外磁场对三角格子二维磁性光子晶体绝对带隙结构的影响 o ， o 暑 o j r l i 口】 0 ：1 o 且 i屹= o o ( 2 ，r c l a ) = l 。o ( 2 ，r c a ) = 5 o ( 2 嚣c l a ) ( 口)( b )( c ) 图3 1 2 三角格子圆形空气柱子2 d p c 的绝x p b g 关系图其中从左至右， ( 盯) 、( 6 ) 和( c ) 三幅图对应的外磁场分别是o 0 ( 2 # c 4 1 ) 、1 0 ( 2 1 r c 4 1 ) 以及5 0 ( 2 ，r c 口1 1 ，其他参数和图3 1 1 相同其中虚线为1 m 模，实线为膜 通过上囱的分析_ 可知，图3 1 2 只给出了3 个特殊外磁场情况f 三角格子圆形空气 柱子2 dm p c 绝对p b 6 的变化图，为了找出外磁场对这种2 dm p c 绝对p b g 影响的规律， 我们在图3 1 3 中给出了绝对带隙宽度国、绝对带隙中心频率以及绝对带隙的宽高比 r 分别随外磁场髓k 的变化关系图。其中圆圈线代表国 ，星线代表哆，三角线代表国 从图3 1 3 可以看出，当不加外磁场时，背景中的磁导率“= 1 0 ，此时2 0n m p c 绝对p b g 的宽度国= o 0 9 5 ( 2 万c 口一1 ) ，中心频率哝位于o 4 8 2 ( 2 9 c 口一) ，绝对p b g 的宽 高比= 1 9 6 9 ，从上而下，分别对应图3 1 3 左侧纵坐标旁边的三个特殊的点。当外 磁场吆= 1 0 ( 2 9 c - a 一1 ) 时，a r a = 0 0 7 3 ( 2 z c a - 1 ) ，= o 4 4 3 ( 2 万c 口一) i l l l a ) 。= 1 6 4 6 ，相 对于不加外磁场时对应的值，三者都减小到了最小值。随着吆的增加，在 1 o 吐k 5 ，0 ( 2 9 c 口一1 ) 区域，a r o 、以及国r 都单调递增，其中国和棚 变化的趋势比 较平缓，而 1 1 第三章外磁场对三角格子二维磁性光子晶体绝对带隙结构的影响 a ) , 。( 2 ：a a a ) 图3 1 3 三角格子圆空气柱子2 dm p c 的绝对p b g 宽度a r _ o ，绝对 带隙p b g 的中心频率及绝对p b g 宽高比n k 随外磁场国0 的变化图， 其他的参数和图3 1 1 中的相同。 增加的趋势比较明显；当外磁场n k - - 5 0 ( 2 j r c 4 。) 时，国、哝以及三个值同时达到 最大，分别是国= o 0 8 9 ( 2 7 r c a - 1 ) ，唿= o 4 7 3 ( 2 n c - 口) l p m 。= 1 8 8 0 ，但仍小于不加 外磁场时对应的值 为了更直观的说明外磁场对三角格子圆形空气柱子2 dm p c 绝对p b g 的影响，在图 3 1 4 中给出了三角格子圆形空气柱子2 dm p c 绝对p b g 的上下带边频率随外磁场吐k 变化的关系图。该图中左侧纵坐标附近有两个特殊的点，分别代表不加外磁场时对应的绝 对p b g 的上下带边频率，下带边频率甜= o 4 3 5 ( 2 n c a - i ) ，上带边频率国= o 5 2 6 ( 2 ，r c 4 1 ) ， 且两个值都达到最大值当= 1 o ( 2 万c 口。1 ) 时，绝对p b g 的上带边频率 国= o 4 0 7 ( 2 ；, r c 4 。) ，下带边频率国= o 4 8 0 ( 2 n c 口。1 ) ，与不加外磁场时的值比较，显然绝 对p b g 的上下带边频率减小了，说明带隙的位置在低频段，且此时的值都达到最小值；在 1 0 国o 5 0 ( 2 n c a - i ) 的区域，随着n k 的逐渐增加，绝对p b g 的上下带边频 1 4 第三章外磁场对三角格子二维磁性光子晶体绝对带隙结构的影响 奄 麓 。 毡 ( 2 钟n ) 图3 i 4 三角格子圆形空气柱子2 dm p c 绝对p b g 的上下带边频率 随外磁场n k 的变化图，其他的参数和图3 1 1 相同 率也单调递增，只是变化的趋势都很平缓；当国o = 5 0 ( 2 ，r c 4 。1 1 时，上下带边频率都达到 最大值，下带边频率k = o 4 2 9 ( 2 j r c 口一1 ) ，上带边频率k = o 5 1 8 ( 2 ；, r c 4 。1 ) ，但是此时绝 对p b g 的上下带边频率仍小于不加外磁场时的值。 通过以上的分析可知，外磁场对厂= 0 8 4 3 时的三角格子圆形空气柱子的2 dm p c 绝对 p b g 的影响不是很明显，在外磁场的影响下也不存在绝对p b g 闭合的情况。为了找到外 磁场对三角格子影响比较明显的情况，在保持模型不变的情况下，我们通过改变填充率， 再讨论外磁场对绝对p b g 的影响。 3 2 填充率f - - o 6 5 0 计算模型和图3 1 1 相同，唯一不同之处：填充率，变为0 6 5 0 ，其他参量均保持不 变( 请参考图3 1 1 ) 通过研究发现，外磁场对，= o 6 5 0 的三角格子2 dm p c 绝对p b g 具有较为特殊的调 节作用，为了粗略的展示这种影响，在图3 2 1 中，给出了2 d m p c 绝对p b g 的关系图。 第三章外磁场对三角格子二维磁性光子晶体绝对带隙结构的影响 该图从左至右，分别给出了所加外磁场为o 0 ( 2 n c a - 1 ) 、1 7 5 ( 2 l r c 口一1 ) 以及3 5 ( 2 ，r c 口一1 ) 时，2 dm p c 对应的绝对p b g 的情况。 三 蕊 百 r ，- 0 。 薹 黟 萋 髦 。， 7 啭 厂 ，。， = o o ( 2 1 t c l a ) 琴飘 霎 薹 錾 i 篷 琴j g 萋 蒌 篷 7 奄 ( 口)( b )( c ) 图3 2 1 三角格子圆形空气柱子2 dm p c 的绝对p b g 的关系图。( a ) 、( b ) 和( c ) 对应的外磁场分别是o 0 ( 2 ，r