（应用数学专业论文）复杂网络的动力学分析和混沌系统的控制与同步.pdf

摘要 i 复杂网络的动力学分析和混沌系统的控制与同步 摘要 本文主要研究了小世界网络、c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络的动力学行为 和某些混沌系统的控制与同步问题小世界网络和c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络 是两类很重要的复杂网络，它们在生产生活中有着非常广泛的应用，对于该嘲 络的动力学研究，具有一定的理论意义和实际价值另外，混沌现象一直倍受 科学工作者的关注目前，混沌控制和同步是混沌研究的两大热点，在工程、 经济、医疗、保密通讯等领域得到广泛的应用本文的主要内容有： 第一章介绍了复杂网络和混沌的研究背景与进展，给出了本文的结构 第二章首先分别研究了时滞对于一维和高维小世界网络的局部稳定性 以及h o p f 分支的影响，给出了相应的定理结果然后，通过中心流形和正规型 理论，研究了分支周期解的h o p f 分 支方向和稳定性而且通过数值模拟对得 到的结论加以说明 第三章主要通过b r o u w e r s 不动点定理证明了具延迟的高阶c o h e n - g r o s s b e r g 神经嘲络平衡点的存在性，并且用l y a p u n o v 方法研究了平衡点的全 局稳定性另外还通过构造新的辅助方程，运用概周期微分方程理论和压缩 映像原理研究了具延迟及概周期系数的c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络的概周期 解的存在性，通过l y a p u n o v 方法给出了全局收敛性的充分条件 第四章主要用l y a p u n o v 方法研究了带脉冲的c o h e n - g r o s s b e r g 神经网 络平衡点的全局指数稳定性、鲁棒稳定性，另外通过构造合适的l y a p u n o v 函 数结合压缩映像原理研究了一类带脉冲的c o h e n - g r o s s h e r g ：i = * 经网络的周期 动力学行为 第五章主要通过反馈控制、脉冲控制方法研究了一个新的四维混沌系 统的控制另外通过运用随机微分方程理论研究了几类混沌系统在噪声扰动 下的随机同步 第六章主要介绍了复杂网络和混沌系统方面的一些正在研究和即将研 究的课题 摘要 关键词：小世界网络，时滞，h o p f 分支，神经网络，脉冲，全局稳 定性，概周期解，l y a p 眦0 v 泛函，周期解，混沌，控制，同步 中图分类号：0 1 7 5 1 2 ，0 4 1 5 5 a f s t r a o t d y n a m i c a la n a l y s i so fc o m p l e xn e t w o r k s a n dc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o no fc h a o t i cs y s t e m s a b s t r a c t n l i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yd y n a m i c a lb e h a v i o ro fs m a l l - w o r l dn e t , - w o r k sa n dc o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k s ，a n dc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o n o fs o m ec h a o t i cs y s t e m s i ti sw e l lk n o w nt h a ts m a l l - w o r l dn e t w o r k sa n d c o h e n - g r o s s b e r g n e u r a ln e t w o r k sa r et w oc l a s s e so fv e r yi m p o r t a n tm o d e i si n c o m p l e xn e t w o r k s ，a n dh a v ew i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n si nm a n yf i e l d s s oi t i sv e r yv a l u a b l ef o rd y n a m i c a la n a l y s i so ft h ea b o v en e t w o r k sf r o mt h ep o i n t o fv i e wo ft h e o r e t i c a ls t u d ya n da p p l i c a t i o n s i na d d i t i o n ，c h a o sp h e n o m e n o n h a sb e e na t t a c h e dm o r ei m p o r t a n c eb ys c i e n t i f i cr e s e a r c h e r s a tp r e s e n t ，c o n - t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o no fc h a o sa x et w of o c u s e so fs t u d yo nc h a o s ，a n dh a v e b e e na p p l i e ds u c c e s s f u l l yt om a n yf i e l d s ，s u c ha se n # n e e r i n g ，e c o n o m y , 8 e c u r e c o m m u n i c a t i o n ，m e d i c a lt r e a t m e n t ，a n ds oo n t h em a i nw o r k si nt h i st h e s i s a r el i s t e d 鹊f o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n dp r o g r e s sf o r c o m p l e xn e t w o r k sa n dc h a o s a tt h es a m et i m e ，w ep r o v i d et h es t r u c t u r eo f t h et h e s i s i nc t m p t e r2 ，w ei n v e s t i g a t el o c a ls t a b i l i t ya n dh o p fb i f u r c a t i o ni n f l u - e n c e db yd e l a yf o ro n ed i m e n s i o n a la n dh i 【g hd i m e n s i o n a ls m a l l w o r l dn e t w o r k s ， r e s p e c t i v e l ya n ds o m et h e o r e m sa x eo b t a i n e d t h e n ，t h ed i r e c t i o na n ds t a b i l - i t yo fb i f u r c a t i n gp e r i o d i cs o l u t i o n sa r ei n v e s t i g a t e db yn o r m a lf o r ma n dc e n t e r m a n i f o l dt h e o r y a tl a s t ，b yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s ，w ef u r t h e ri l l u s t r a t et h e e f f e c t i v e n e s so ft h e o r e m s0 b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，b yb r o u w e r sf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w ep r o v ee x i s t e n c eo f t h ee q u i l i b r i u mp o i n tf o rh i g h - o r d e rc o h e n - g r o e s b e r gn e u r a ln e t w o r k sw i t h d e l a y , a n di n v e s t i g a t eg l o b a ls t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mp o i n tb yl y a p u n o v a b s n 钟t m e t h o d o nt h eo t h e rh a n d ，b yc o i l s t m c t i n gn e wa u m h a r ye q u a t i o n sa n d e m p l o y i n gt h e o r yo fa l m o s tp e r i o d i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dc o m p r e s s i v e m a p p i n gp r i n c i p l e ，e x i s t e n c eo f a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o ni si n v e s t i g a t e df o r c o h e n - g r o s a b e r g n e u r a ln e t w o r k sw i t hd e l a ya n da l m o s tp e r i o d i cc o e f f i c i e n t s ， f u r t h e r m o r e ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sg i v e nt og u a r a n t e eg l o b a lc o n v e r g e n c eo f s o l u t i o n sb yl y a p u n o vm e t h o d i nc h a p t e r4 ，w ei l 2 el y a p u n o vm e t h o dt oi n v e s t i g a t eg l o b a le x p o n e n - t i a ls t a b i l i t ya n dr o b u s ts t a b i l i t yo ft h ee q u i h b r i 恤p o i n tf o rc o h e n - g r o s s b e r g n e u r a ln e t w o r k sw i t hi m p u l s e i na d d i t i o n ，b yc o n s t r u c t i n gp r o p e rl y a p u n o v f u n c t i o na n dc o m b i n i n gw i t hc o m p r e s s i v em a p p i n gp r i n c i p l e ，p e r i o d i cd y n a m - i c a lb e h a v i o ri ss t u d i e df o rac l a s so fc o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k sw i t h i m p u l s e i nc h a p t e r5 ，w ed i s c u s sc o n t r o lo fan e wf o u rd i m e n s i o n a lc h a o t i cs y s - t e r n sb yf e e d b a c kc o n t r o la n di m p u l s i v ec o n t r o lm e t h o ( i s m o r e o v e r ，b a s e do n t h e o r yo fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s t o c h a s t i cs y n c h r o n i z a t i o n i ss t u d i e d f o rs o m ec h a o t i cs y s t e m sa d m i t t i n gn o i s ep e r t u r b a t i o n a tt h ee n do ft h i sd i s s e r t a t i o n ，w el i s tp r o b l e m sf o ro u rf u t u r ew o r k w h i c hi n c l u d e sc o m p l e xn e t w o r k sa n dc h a o t i es y s t e m s k e yw o r d s ：s m a l l - w o r l dn e t w o r k s ，d e l a y , h o p fb i f u r c a t i o n ，n e u r a l n e t w o r k s ，i m p u l s e ，g l o b a ls t a b i l i t y , a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n ，l y a p u n o vf u n c - t i o n a l ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，c h a o s ，c o n t r o l ，s y n c h r o n i z a t i o n c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 5 1 2 ，0 4 1 5 5 论文独创性声明 本沦文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果论文中 除了耨穿4 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写 过的研究或果其他同志对本研究的启发和所敢的贡献均已在论文中作了明确 的声明并表示了谢意 作者签名丝! 耋嘲必 论文使角授权声明 李人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定即：学校有权保 留送交论文的复印件允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全都或部 分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文保密的论文在鼹密后 遵守此规定 作者签名：雄导师签名：声弛日期：兰! 翰刀 第一章 研究背景 2 1 1 复杂网络的研究背景和进展 研究背景 复杂网络是一种描述自然科学、社会和工程技术中相互关联的模型 涉及多个学科领域它包含很多相互连接的节点，节点之间的相互连接视为 边复杂网络的实际例子有很多，如食物网、因特网、人脑、经济网等过 去近一个世纪通常用e u c l i d e a n 网格来描述物理或非物理系统或过程中的连 接方式，具有这种连接方式的网络通常称为规则网络( r 铝1 l l a rn e t w o r k s ) 直 到上个世纪六十年代，数学家e r d 6 s 和r z n y i 通过随机图( r a n d o mg r a p h ) 描述 了带有复杂拓扑的网络，这为随机网络理论的发展奠定了基础常见的随 机图有两种：一种是p 随机图，指任何两个节点以概率p 连接；另一种是k 随 机图，指每个节点随机选取k 个节点作为其邻居然而，在现实生活中，有 许多网络既不是完全规则的，也不是完全随机的随着科学技术的发展 和计算机处理数据能力的加强，人们对复杂网络的有了更进一步的认识 在1 9 9 8 年，w a t t s 和s t r o g a t z 1 介绍了小世界网络( s m a l l w o r l dn e t w o r k s ) ，其网 络构造原理是从一个有最近k 邻居的规则网络出发，对每一个节点的每条 边，以概率p 将其打开，再随机选取一个节点，将其连接，连接不重复依次 进行下去，就构成了小世界网络人们通常用六级分离来形象的描述该现 象当p = 0 时，其为规则网络，当p = l 时，其为完全随机网络因此，小世界网 络描述了从规则网格到随机图的过渡，是介于规则网络和完全随机网络之 间的一种网络由于进行连接时需要打开原来的连接，因此，可能会导致网 络不连通于是，在1 9 9 9 年，n e w m a n 等f 2 1 在原来规则列络的基础上，对每条 边的其中一个节点以概率p 去连接另外的一点。不重复连接，这样就解决了 上述所提的不连通问题小世界网络的连接度是均匀的，每一个节点的连接 数是相等的，被称为是齐次网络最近发现许多大规模复杂网络是无尺度 的，连接度是幂率形式的，在某些节点有很少的连接，而有些节点有很多连 接，这种网络称为是非齐次网络在1 9 9 9 年，b a r a b d s i $ 1 1 a l b e r t 4 给出了一个 无尺度网络模型从个节点出发，每次有一个新的节点进入网络，它可以 - 与k ( k k o ) 个节点连接，其连接是随机的，与某个己存在的节点连接的概率 l 复杂网络的研究背景和进展 3 和该节点已有的连接度成正比，当进入的节点个数趋于无穷时，就生成了无 尺度网络同年，n e w m a n 等 3 和m o u k a r z e l 5 在小世界框架下，分别建立了线 性模型研究了一个影响例如疾病、电脑病毒等在网络中的传播动力学特征 在2 0 0 1 年，m g 【6 】延拓上述系统到包含非线性项和时滞的小世界网络模型，研 究了混沌及混沌控制问题在2 0 0 4 年，l i 和c h e n 【7 】通过把非线性连接强度作 为参数，研究了一维小世界网络模型的稳定性和h o p f 5 r 支近几年，复杂网络 的同步理论也得到很好的发展，如| 8 ，1 0 ，1 1 1 等 神经网络是一门高度综合的交叉学科，涉及计算机、人工智能、神 经生理学等众多科学领域神经网络中的非线性动力学问题是其中的一个 重要组成部分，它的研究不仅有助于理解神经网络数学理论的依据和背 景，而且也提供了应用的基本思想和可能的途径1 9 8 2 年，h o p f i e l d 提出了 一个神经网络模型1 2 ，1 3 1 ，后来被称为h o p f i e l d 神经网络，他把神经网络看 作非线性动力系统，通过l y a p u n o v 方法，研究了神经网络的收敛性1 9 8 3 年， c o h e n 和g r o s s b e r g 1 8 1 两人提出了一个新的神经网络模型( c g 模型) ： n 敦= 一啦( 甄) ( 玩( q ) 一：t f j s j ( x j ) ) ，i 一1 ，2 ，一，n j = l 这是一个更为一般的网络模型，著名的h o p f i e l d 神经网络、双向联想记忆神 经网络、细胞神经网络均可以作为它的特殊情形，而且c o h e n - g r o s s b e r g 神经 网络在联想记忆、并行计算、最优化问题等方面有着重要的应用，因此，对 于该网络的动力学行为，如全局稳定性，周期解、混沌等理论的研究，具有 一定的实际意义和应用价值关于c - g 模型稳定性已有许多结果，如 2 0 i 考 虑到信号传输存在延迟现象，在神经网络中引入时滞是很自然的事情许 多科学工作者研究了带时滞的c - g 模型的平衡点稳定性【1 9 ，2 1 ，2 2 】、周期解 及收敛性【23 】与通常的神经网络相比较，高阶神经网络具有更强的逼近性 质、更快的收敛速度、更大的储存容量等优点，近来吸引了很多研究人员 的兴趣【2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 0 ，3 l ，3 2 】另外，脉冲现象在自然界中非常 普遍，而且被应用于物理、化学、人口动力学、优化控制等领域关于脉冲 微分方程的基本理论可参考【3 3 】，进一步的结果可参考【3 4 ，3 5 ，3 6 ，3 7 ，3 8 】等 4研究背景 近来，脉冲神经网络理论得到了很好的发展在2 0 0 0 年，g u a n 等【3 9 ，4 0 1 介绍 了具有脉冲的h o p f i e l d 神经网络和自联想神经网络，建立了全局收敛性定理 2 0 0 3 年，q i a n 等 4 1 】研究了脉冲自联想神经网络的全局鲁棒稳定性2 0 0 4 年， j i n 等 4 2 1 用重合度理论研究了脉冲l o t k a v o l t e r r a 模型的周期解的存在性与收 敛性，a k c a 等4 3 1 研究了几类脉冲h o p f i e l d 神经网络的平衡点的全局稳定性 2 0 0 5 年，x u 等b 4 建立了新的脉冲时滞微分不等式，用m 锥和非负矩阵谱半径 理论得到了一类带脉冲的神经网络的全局指数稳定性l i 4 5 研究了带脉冲和 时滞的双向联想记忆神经网络( b a m ) 的全局指数稳定性 1 2混沌及其控制与同步的研究背景和进展 在一百多年前，l b o l t z m a n n 在推导著名的h 定理时，就曾提出过分 子混沌假设，当时只是用来表示与宏观系统统计性质有关的无序特征十 九世纪末。p o i n c a r e 在研究三体问题的稳定性时，发现具有两个自由度的保 守系统也能作出非常复杂的运动1 9 6 3 年，气象学家l o r e n z 在用数值方法研 究大气热对流方程时发现了确定性非周期流，通过长期的反复试验和思考， 他揭示了所获得结果的真实意义，发现了混沌现象混沌一词在现代科学和 工程中被广泛接受和使用，但是至今还没有统一的定义日前比较常用的 有l i - y o r k e ，d e v a n e y , m a r o t t o 意义下的混沌f 5 5 ，5 6 ，5 7 ，有很多科学t 作者在 研究这几种定义之间的蕴含关系在实际判断混沌动力学性质时，常计算最 大l y a p u n o v 指数，观察其是否大于零 目前，混沌控制与同步是混沌研究的两大热点1 9 9 0 年，0 t t ，g r e - b o g i s d y o r k e 5 9 提出了一种参数扰动的方法，通过逐步局部线性化结合小参 数调整的手段来实现控制混沌现象的目的这种方法被称之为o g y 方法这 种控制手段不要求知道严格的系统数学方程，并且能通过微小的控制信号而 获得明显的控制效果但是参数的调整技巧非常强，并没有固定的模式可以遵 循在o g y 方法的基础上，p y r a g a s 6 0 ，6 1 】提出了一种延迟反馈控制( d f c ) 的 方法s o c o l a x 6 2 对d f c 方法进行了改进，提出了推广的d f c 控制方法日 3 本文的结构 5 前，混沌控制的方法主要有反馈控制法，自适应控制法，脉冲控制法，神经 网络控制法，最优控制法，模糊控制法等几乎在提出o g y 控制混沌的同时， t l c a r r o l l 和j m p e c o r a 6 4 提出了混沌同步的方案后来，t l c a r r o l l 实现 了利用混沌同步进行保密通讯的实验目前，这方面的研究结果比较多， 如【6 5 ，6 6 ，6 7 ，6 8 ，6 9 ，7 0 ，7 1 ，7 2 ，7 4 ，7 6 ，7 7 ，7 8 ，7 9 】，其中包括完全同步，广义 同步，滞后同步等 由于受周围环境的影响，同步过程不可避免地受到随机噪声的影响，因 此有必要研究噪声扰动下的同步问题目前，有很多结果主要通过实验或数值 模拟说明具有噪声影响的混沌同步 8 0 ，8 1 ，8 2 ，8 3 ，8 4 ，8 5 】，对于给予严格数学 证明的结果比较少2 0 0 5 年，l i n 等【1 0 2 】通过用随机微分方程理论给出了噪声 扰动下c h u a 系统完全同步的严格证明，并且通过数值模拟进一步说明同步计 划的可行性 1 3 本文的结构 本文主要研究了小世界网络、c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络的动力学行 为和某些混沌系统的控制与同步问题主要结构为： 第一章介绍了复杂网络和混沌的研究背景与进展，给出了本文的结构 第二章首先研究了时滞对于一维和高维小世界网络的局部稳定性以 及h o p f f r 支的影响，给出了相应的定理结果然后，通过中心流形和正规型理 论，研究了分支周期解的h o p 盼支方向和稳定性而且通过数值模拟对本章 的结论加以说明 第三章主要通过b r o u w e r s 不动点定理证明了具延迟的高阶c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络平衡点的存在性，并且用l y a p u n o v 方法研究了平衡点的全 局稳定性另外还通过构造新的辅助方程，运用概周期微分方程理论和压缩 映像原理研究了具延迟及概周期系数的c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络的概周期 解的存在性，通过l y a p u n o v 方法给出了全局收敛性的充分条件 6 研究背景 第四章主要研究了几类带脉冲的c o h e n g r o s s b e r g 神经网络的全局指数 稳定性、鲁棒稳定性以及周期动力学行为 第五章主要通过反馈控制、脉冲控制方法研究了一个新的四维混沌系 统的控制，另外通过运用随机微分方程理论研究了几类混沌系统在噪声扰动 下的随机同步 第六章主要介绍了复杂网络和混沌方面的一些正在或准备要研究的工 作的想法和展望 第二章 小世界网络的稳定性与h o p f 分支 8小世界网络的稳定性与鲺见j f 分支 本章组织如下：在本章的第一节研究了一维模型的正平衡点的局部稳 定性及h o p 盼支的存在性；在本章的第二节研究了高维模型的正平衡点的局 部稳定性及h o p f 分支的存在性；在本章的第三节研究了一维小世界网络模型 的分支周期解的h o p 盼支方向和稳定性；在本章的第四节，通过给出数值模 拟，对本章的结果加以说明 2 1 一维情形的正平衡点的局部稳定性与h o p f 分 支存在性 考虑如下带时滞的一维小世界网络模型 6 ，7 j ： 掣= f + v ( t - 1 ) 一废暇h ) ， ( 2 1 ) 其e e v ( t ) 是总的影响量，是n e w m a n - w a t t s 长度尺度，p 是非线性连接的测 度，r 是时滞 f j - 程( 2 1 ) 的初始条件为y ( s ) = ( s ) ，s 【一下，o | 易知p = 譬是方程( 2 1 ) i 掣j 一个正平衡点令u ( t ) = y ( t ) 一y + ， 则方程( 2 1 ) 可以被写成如下形式： 掣= 一厕( t - r ) 一v g u 2 ( t - r ) ( 2 2 ) 方程( 2 2 ) 的线性部分的特征方程为： a + v 1 + 4 p 2 e = 0 ( 2 3 ) 设a = 土曲p 0 ) 是方程( 2 3 ) 的一对纯虚根，则 j 钮礤c o s ( u r ) = 0 ， iu 网s i n ( w r ) = 0 于是 ju r = i 塾产， i 坐2 业r 一i 裙( 一1 ) 0 ， j 一维情形的正平衡点的局部稳定性与日o p f 分支存在性 9 兵中n = 0 ，1 ，2 ，一 因此可解得 铲耥， ( 2 4 ) 【= 坠2 r 业，n = o ，2 ，4 ， 即若h = 怒 = o ，2 ，4 ，) ，则方程( 2 3 ) 有一对纯虚 根士t 、厅礤唧= 0 ，2 州4 ) 下面，我们考虑方程( 2 3 ) 有正实部的根假定n + 讪是方程( 2 3 ) 当= 考葺器= o ，2 ，4 ，+ ) 时的一个根，其中a ，u o 从方程( 2 3 ) 可得 这意味着 io + v 1 + 4 p 2 e 一“tc o s ( “，) = 0 1u = 以丽一。峭n p ) ， ( m + 互1 加 u h ( m + 1 汀，m , n o ，2 ，4 ，( 2 5 ) u 撕雨 则从( 2 5 ) 得到 2 。m 一+ 1 丁b ，方程( 2 3 ) 至少有一对正实部的根 由( ) ，引理2 1 1 及定理1 i 9 2 1 ( 第1 l 章) ，, - - y d a 得到下面的定理 定理2 1 1 ( i ) 若r 【o ，匍) ，方程( 2 1 ) 的正平衡点p 是渐近稳定的； ( i i ) 若r 印，方程( 2 1 ) 的正平衡点旷是不稳定的； ( i i i ) 伽= 0 ，2 ，4 ，) 是方程( 2 1 ) 的h o p f 分支值 2 2 高维情形的正平衡点的局部稳定性与h o p f ：分 支存在性 在这一节，我们考虑高维带时滞的小世界网络模型【6 】 d d 矿v ( t ) = f 4 + y 。一r ) 一心4 y 2 0 一r ) ， ( 2 1 d ) 其中y ( t ) ，f ，p 和r 同方程( 2 1 ) 中的，d 是网络的维数 方程( 2 1 d ) 的初始条件，g v ( s ) = 妒( s ) ，s 【- - t ，0 】 2 高维情形的正平衡点的局部稳定性与h o p f 分支存在性 1 1 易知矿= 三学方程( 2 ，1 d ) 的一个正平衡点令u c t ) = y ( t ) 一p ， 则方程( 2 1 d ) 可以写为 掣：一以面再( t 叫一心舒( t 叫 ( 2 2 d ) 方程( 2 2 d ) 的线性部分的特征方程为 a 4 + 订了砥甄“= 0 ( 2 3 d ) 当r = o m ，对于d 3 和d n 的情况，方程( 2 ，3 d ) 至少有一对具有正实 部的根类似于一维情形的分析，我们可以得到下面的结论 引理2 2 i ( i ) 对于d = 2 ，若r ( 0 ，+ o o ) ，方程( 2 3 d ) 至少有一对正实 部的根： 对于d 3 和d n ，若r 【0 ，十o 。) ，方程( 2 3 d ) 至少有一对正实部的根； ( “) 若d = 4 k 一1 ，k = 1 ，2 ，当f = h 时，方程( 2 3 d ) 有一对纯虚 黜，其中= 歹( 丽2 n + 1 ) t r ，n = 1 加。，u 0 - 8 钒酽； 若d = 4 k 一3 ，k = l ，2 ，当r = 矗时，方程( 2 3 d ) 有一对纯虚根士讪o ， 其中= 号器，礼= o ，2 ，4 ，岫= 肚勺t f 瓦手蕊； 若d = 4 k 或4 k 一2 ，k = 1 ，2 ，当r = 时，方程( 2 3 d ) 有一对纯虚 根士讥，其中= 瓦南，n 为非负整数，岫= t f 瓦萨 定理2 2 1( i ) 对于d = 2 ，若丁( 0 ，+ ) ，方程( 1 d ) 的正平衡点矿是 不稳定的；对于d = 2 和7 - = 0 ，零解是方程( 2 2 d ) 相应的线性方程的一个中 心通过数值模拟，可知方程( 2 2 d ) 的零解是一个稳定的焦点( 如图2 1 ) 对 于d23 和d n ，若r f o ，+ ) ，方程( 2 1 d ) 的正平衡点p 是不稳定的； ( i i ) 对于d = 4 k 一1 ，k = 1 ，2 ，是程( 2 1 d ) 的h o p f ：分支值，其 中2 万辫，n = 城3 ； 对于d = 4 k 一3 ，k = 1 ，2 ，- ，靠是程( 2 1 d ) 的h o p 盼支值，其中矗= 万精，胪2 4 ，； 对于d = 4 k 或4 七一2 ，是方程( 2 i d ) 拘h o p f d - ) 支值，其中= 可考豪嚣，n 是非负整数 1 2 小世界网络的稳定性与h o p f 分支 图2 1 ：系统( 2 1 ) 的波形图，其中1 = o ，f = 1 ，p = 1 ；v ( o ) = 0 0 0 1 ，v 7 ( o ) = 0 3 在左图中，t = l o o s ，和在右图中，t = 5 0 0 8 2 3 一维情形分支周期解的h o p f ：9 支方向与稳定 性 为了方便，令t = s l 让( 5 7 - ) = x ( s ) ，r = r o + ，y ，7 r ，则方程( 2 2 ) 可 以写为 百d x ( s ) = 一( r 0 + ，y ) 【万再承( s - 1 ) + 心x 2 ( s 1 ) 】( 2 ，8 ) 对于妒( 口) c - 1 ，0 】，定义一族算子 。妒2l ：d , 7 ( o ，7 ) 妒( 目) ， f ( 7 ，妒) = 一( 匍+ ，y ) 废妒2 ( 一1 ) ， 其中d 叩( 口，7 ) = 一( 勺+ - r ) z + v t t - 瓣( o + 1 ) 和6 ：是d i r a c 函数 对于妒c 1 - 1 ，o 】，定义 。、，j 掣， e 【- l ，o ) ， a c 7 ，妒2 拦岛。，们妒。，。三：，k 叫 3 一维情形分支周期解的日0 肼吩支方向与稳定性 1 3 月c y ，p = ：。，y ，纠，：三 1 o ) ， 则方程( 2 8 ) 可以写为 宠= a ( ，y ) 五+ r ( ，y ) x t ， ( 2 9 ) 其中砭( 口) = x ( t + 0 ) ，0 【- - 1 ，o 】 对于妒c 1 【o ，1 ，a 的共轭算子定义为 、i 一掣， s 0 t u ，1 】， n ( s 卜 ，蒜7 舭) ，菩叫 对于| p g ( 【一1 ，o 】，r ) 和妒c ( 【o ，1 1 ，r ) ，定义双线性形式 瑚蝴) _ 肛州m 其中q ( 口) = ”( p ，0 ) 由第2 1 节的讨论可知，+ i v o w o 是a ( o ) 的特征值，另外的特征值具有严 格负实部，而且他们也是a + ( 0 ) 的特征值 容易验证 q ( o ) = e ”，0 【一1 ，0 ) 是a ( o ) 关于讪。罚的特 芷向量，和 矿( 口) = b e 讥r 0 9 是小( o ) 关于一, , , o - t o 的特征向量，其中 b 。芒1i 万云露面 一 1 + 4 废2 e “” 而且 = 1 ， = 0 令z ( t ) = ，w ( t ，0 ) = 五( 口) 一2 r e z ( t ) q ( 口) ) 1 4 在中心流形岛( 参见【8 7 】) 上，我们有 小世界网络的稳定性与h o p f 分 支 w ( t ，e ) = 叫( z ( t ) ，孑( t ) ，e ) 其中叫0 ，z ，口) = ( 口) 譬+ i u l l ( 日) z 牙+ t 地p ) 萼+ 撕。譬+ 一，。和2 是中心 流形岛沿q + 和矿方向的局部坐标 对于方程( 2 8 ) 的解x t c o ，由，y = 0 得 荆= i 撕料) + ( 2 1 0 ) = i t o w o z ( t ) + 矿( 0 ) f o ( 2 ，2 ) ， 其中晶( z ，z ) = f ( o ，w ( z ，= ，e ) + 2 r e z ( t ) q ( 口) ”重新把( 2 1 0 ) 写为 其中 2 ( t ) = i r o w o z ( t ) + g ( z ，手) g o ，牙) = 9 2 0 百z 2 + 9 1 1 z 互+ 蛐百2 2 + 跏1 笔；+ 一 ( 2 1 1 ) g o ，牙) = 9 2 0 i + 9 1 1 z j + 蛐i + 跏1 等+ 。一 ( 2 1 1 ) 由( 29 ) 和( 2 1 0 ) ，我们有 ， 6 ：一i a w 一2 r e q + ( o ) f o g ( 日) ，口【一1 ，0 ) 曲= 五一幻一筘= 。 la w 一2 r e q ( o ) 局g ( 日) ，+ f o ，口= 0 ：= a w + h ( z ，i ，口) ， 其中日0 ，z ，口) = 凰o ( 日) 孝+ h 1 - ( 口) z j + 月砬萼+ 一 展开上面的级数和比较系数，可得 法( a - 2 i w o r o ) w 2 0 胭( o ) ) _ _ = 酬既 仁 3 一维情形分支周期解的p f l 分支方向与稳定性 f o ( z ，互) = 一丁b 成群o ) = 废丁b 埘( z ，2 ，- 1 ) + z e d “ r o + 丢e ”】2 = 一心勺扛2 e 一枷旬+ 尹e 她由勺+ 2 2 牙+ 2 w ( z ，牙，- - 1 ) z e 一蛔叼 + 2 w ( z ，牙，一1 ) l e ”1 + 】 = 一心r o z 2 e 一2 , , j o r o + 尹e 2 “巾+ 2 z 牙+ 2 w 1 1 ( 一1 ) e 一讥仰z 2 5 - 4 - w 0 2 ( - - 1 ) e i 。o 勺矛z + w 2 0 ( 一1 ) e 帅邱z 2 牙+ 2 w 1 1 ( 一1 ) e “日f o z 乎+ 】 = 一心罚e 一2 “u z 2 2 7 o z 2 一心勺e “q 尹一w ：r o 2 e 一“”1 w n ( - 1 ) + e 缸勺 2 0 ( 一1 ) 】牙+ = 膳7 b z 2 2 7 b 2 三+ 砌字一正r o i - 2 w n ( 一1 ) + 蛳( - i ) l z 2 乎+ 因此 g ( z ，j ) = 矿( o ) f o ( z ，j ) = 百 心v o z 2 2 联7 b 2 i + 废伯护一心伯i 【一2 w 1 1 ( 一1 ) + 2 0 ( 一1 ) 】。2 手+ ) 通过把上面的系数和( 2 1 1 ) 中的系数进行比较，可得 卯o = 2 p o o b ， g n = 一2 正t o b ， 9 0 2 = 2 眨伯雷，啦! = 一2 成丁b 豆t 卜2 w 1 1 ( 一1 ) + 切2 0 ( 一1 ) 】 下面，我们将计算w n ( - 1 ) 和w 2 0 ( - 1 ) 因y q h ( z ，j ) i 口：0 = 一2 冗e 矿( o ) 晶q ( o ) ，+ f o 则 由( 2 1 2 ) ，可得 易得 月卸( 0 ) = - g q ( o ) 一如4 ( o ) + 2 心罚 h 1 1 ( o ) = - g l l q ( o ) 一口n q ( o ) 一2 心勺 一即v 百_ 二丽l 啪( 一1 ) = 2 矗珈叫2 0 ( o ) 一日2 0 ( o ) 吣t ，= 者 n 1 、1 十4 址。 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 1 6 小世界网络的稳定性与h o p f 分支 下面，我们需要计算”2 0 ( 一1 ) 由( 2 1 2 ) 和a 的定义，我们有 t 厶2 0 ( 口) = 2 礼向而t ，( 口) 一9 2 0 q ( o ) e 砌。邱。一亘0 2 q ( o ) e 一帅匍8 解出2 0 ，得到 蜘( p ) = 讥9 2 _ a 而_ oq ( o ) e 讪r 0 0 _ 袤口( o ) e - a o r o o + e l e 2 蛔” ( 2 1 5 ) 将( 2 1 5 ) 代入( 2 1 3 ) ，得 。一以瓢礤【舞e