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青岛科技大学硕士学位论文 小波理论及其在边缘检测中的应用研究 摘要 自1 9 8 0 年以来，出于工程实际应用的需要，m e y e r 构造了紧支的，光滑的函数，这些 函数的尺度的伸缩和平移构成了r ( 卫乏) 的基，导致小波研究的蓬勃发展。进入上世纪9 0 年 代，由于其具有独特的快速算法，低的存储需求和处理瞬变信号的能力，小波在理论和技 术应用中得到了快速的发展。 边缘是图像中的不规则的结构和不平稳现象的重要表现，往往携带着图像中的大部分 信息，给出了图像轮廓，而这恰恰是进行图像识别和图像理解的重要特征，因此边缘的提 取就成了图像处理中的首要的和最重要的一步，提取结果直接影响识别精度。 由于实际获得的图像各种各样，噪声水平也大小不同，因此如何从所获得的图像中提 取感兴趣的边缘仍旧是一个开问题，赢到目前，还没有统一的方法和数学模型。本文结合 小波理论研究了图像边缘检测的方法。第一章为绪论；第二章着重于小波理论方面的研究； 第三章是图像边缘检测基础，利用小波有关理论研究了区间一致l i p s c h i t z 正则性；第四 章讨论了一些与多尺度有关的边缘检测算子，最后一章研究了多尺度下较大噪声图像的边 缘提取方法，主要讨论了阈值边缘检测方法和能量移位相关方法。 关键词：小波变换；l i p s c h i t z 正则性；边缘检测算子；多尺度；能量移位积；阈值方法。 小波理论及其在图像边缘检测中的应用研究 豫es t u d yo fw a v e l e tt h e o r ya n di ，r sa p p l i c a t i o n i ni m a g ee d g ed e t e c t i o n a b s t r a c t s i n c e1 9 8 0 ，t h ef u n c t i o no f t i g h ts u p p o r tr e g u l a r i t yw a gc o n s t r u c t e db ym a y e ri nt h en e e do f e n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n ，w h i c hl e a dt h ei n t e r n a t i o n a ls t u d yo f w a v e l e t s b e c a u s eo f l o wm e m o r y , h a v i n gf a s ta l g o r i t h ma n dt h ea b i l i t yo fd e a l i n gw i t ht r a n s i e n ts i g n a l ，w a v e l e t sd e v e l o p e df a s ti n t h e o r ya n da p p l i c a t i o n e d g ei st h ei m p o r tf e a t u r eo fu n r e g u l a rs t r u c t u r ea n dn o n - s t a t i o n a r ys i g n a li ni m a g e ，i ts i v e s t h ep r o f i l ea n du s u a l l yt a k el o t so fi n f o r m a t i o n , w h i c hi st h em o s tc o n c e m f u lf e a t u r eo fi m a g e r e c o g n i t i o n s ot h ee d g ed e t e c t i o ni st h ef i r s ta n db a s i cs t a g ei ni m a g ep r o c e s s i n g t h er e s u l to f d e t e c t i o nw i l ld i r e c t l yi n f l u e n c et h ea c c u r a c yo f r e c o g n i t i o n b e c a u s eo fd i v e r s i t yo fi m a g ea n dn o i s el e v e l ，h o wt od e t e c tt h ei n t e r e s t e de d g ei ss t i l la n o p e nq u e s t i o n , w h i c hd i d n ts e t u pam a t hm o d e la n dh a v en o tu n i f o r mp r o c e s s i n gw a y su pt on o w i nt h i sp a p e rt h et e c h n i q u eo fe d g ed e t e c t i o ni ss t u d i e db ym e a n so fw a v e l e t s c h a p t e ro n ei s p r e f a c e ；i nc h a p t e rt w o ，t h et h e o r yo fw a v e l e tw a ss t u d i e d ；a n dl i p s c h i t zr e g u l a r i t yi sd i s c u s s e d i nc h a p t e rt h r e e ，w h i c hi sf o u n d a t i o no fe d g ed e t e c t i o nb a s e do nm a r g i n ；f i n a l l y , o p e r a t o ro f e d g e d e t e c t i o nr e l a t e dt om u l t i s c a l ei ss t u d i e da n di nd i f f e r e n ts c a l ew a v e l e tt r a n s f o r m a t i o nw a su s e d t ot h es e g m e n t a t i o no fn o i s e di m a g e ，t w om e t h o d s ，w h i c ha r ee d g ed e t e c t i o no fb a s e do n t h r e s h o l da n db a s e do ne n e r g ys h i f tp r o d u c t ，i sd i s c u s s e d k e yw o r d s ：w a v e l e t ；l i p s c h i t zr e g u l a r i t y ；e d g ed e t e c t o r ；m u l t i - s c a l e ；e n e r g ys h i f tp r o d u c t t h r e s h o l dm e t h o d n 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含未获得 f 挂! 垫遗直基丝盏墓挂别童蛆 曲：奎拦互窒2 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者虢们弓嗡签字日期：弘眸钿钿 ， 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权学校可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 姒匆 导师签字： 签字日期：y 驴辟0 月，。日 签字日期：年月 日 篓嚣辚需。文乏抑孔工作单位：秀易斗栉文蚕萄可岂孔 通讯地址：嗪包却曲赜r 哆 帆幽1 ，s 印，桫7 邮编 l 善卯沙 青岛科技大学硕士学位论文 第一章绪论 l 1 选题背景及意义 人类接触外部世界，通过视觉、听觉和触觉系统获取信息，从而认识世界改造世界。 据研究，有8 0 的信息来自于人类视觉系统，因此对计算机视觉的研究将有着重要的现实 意义和理论价值。它不仅可以代替人进行一些人类难于从事工作，像一些严酷环境下的工 作如火灾中的救助、矿难救助等，而且可以帮助我们完成一些入类无法从事的工作，如外 星球勘探、深海探测等。 图像分割是计算机视觉中的基础，通过将图像按性质或特征分割为不同的子集，抽取 感兴趣的子集进行计算或研究，它使得视觉技术中高层的分析和抽象成为可能。而边缘检 测是基于边界分割图像的比较重要的技术，这一点可以从人的视觉中得到验证，往往从一 些轮廓中，人类可以判断出物体的名称、性质等，故边缘轮廓会携带着图像大量的信息， 分析这些信息并进行抽象，从而形成其特征使得计算机视觉成为可能。由于成像过程中得 投影、畸变和噪声等的影响使图像的边缘检测成为一个难题，同时这里面还存在着人的心 理生理等因素的影响，例如一堵砖砌的墙，如果考虑整堵墙的话，砖的边缘就认为是纹理， 如果考虑单个的砖，砖的边缘就不再是纹理，这依赖于衡量的尺度的大小。传统的边缘检 测算子，如s o b e l 、p r e v “t t 、r o b e r t 等算子是基于小的窗口的单一尺度的局部算子，因此它 不可能解决这一问题 m a r t 的视觉理论认为，人的视觉是在不同尺度上大小有序的一张草图，在大的尺度上 聚焦于物体的整体轮廓，在小的尺度上聚焦于物体的精细结构。生理结构学表明，这一理 论是正确的，人眼中间部分分辨率高，称为视觉凹，离视觉凹越远，分辨率越低。因此人 眼首先聚焦于物体的轮廓，通过眼球的转动，视觉凹对准感兴趣的部分，从而聚焦于物体 的精细结构。 小波天然的多尺度特性使得模仿人眼的特性成为可能，在大尺度下，聚焦于信号的整 体轮廓，小尺度下聚焦于信号的精细结构，这是传统的边缘检测算子难于做到的，因此自 上世纪9 0 年代以来，对小波理论及其应用在边缘检测中的方法引起了视觉研究者极大的兴 趣。 综上所述，借助于小波变换这一数学理论，对图像进行多尺度边缘检测是一个具有广 阔发展前景的应用领域。 1 2 小波及边缘检测研究概述 小波分析方法是f o u r i e r 分析的发展，借助于近代调和分析的内容和f o u r i e r 级数的有关 理论，研究了函数在时频平面上的特性。近几年来其理论研究和应用研究己经渗透到多个 学科的各个方面。 1 9 8 0 年，法国地质学家m o r l e t 认为，分析地质层的结构不能靠单一频率的声波，这促 使他对波函数的研究，随后他与理论物理学家g r o s s m a n 共同提出了连续小波的概念。1 9 8 5 年，m e y e r 构造了第一个紧支光滑小波函数，使小波的研究受到了广泛的关注。其后在 d a u b e e h i e s 和g r o s s m a n n 的共同研究下，通过单一函数的伸缩和平移，构造了r ( 哟上的框 架，对应的紧框架的情况下得到的是r ( 豫) 的正交基1 1 5 1 。不久b a t t l e 和l e m a r i e 分别给出 了具有整数衰减性质的小波函数。1 9 8 6 年m a l l m l 2 5 67 1 提出了多分辨率逼近的思想，统一了 小波函数的构造方法，并绘出了快速的小波变换算法，使小波的应用进入了一个崭新的阶 段。 近几年来，小波研究高潮迅速兴起。一方面是研究小波纯数学方面的理论有了较大的 发展，例如我国学者彭思龙研究了样条周期小波函数的构造理论。另一方面，是研究小波 小波理论及其在图像边缘检测中的应用研究 在各个方面的应用，例如在图像分析，奇异性检测、计算机视觉编码和语音信号处理等各 个方面的应用。 由于小波可以将不同频率的信号分配到不同的尺度中去，同时有不丢失信号变化的时 间，因此其应用是极为广泛的。考虑到图像的边缘，由于不同材料具有不同的光学性质， 因此其在图像中的边缘表现是不同的，形成了缓变的非缓变的边缘，具有不同尺度的特性， 用单一频率的检测算子很难检测出所有边缘，而小波在小的尺度下可检测出阶跃的和冲激 边缘，在大尺度下可检测出缓变边缘，因此在图像边缘检测中取得广泛的应用，同时由于 获得的图像带有噪声的影响，而小波天然的抗噪特性使其在边缘检测中越来越受到重视1 6 ” 3 23 4 1 o 在小波变换中引入口( 碇) 中的嵌套的字空间c 圮 圪c 蜡c ，令函数舯) 是k 的 正交的或非正交的基底，通过该单一函数的二进制伸缩和二进制整数平移形成其它各子空 间的基底，用矿是在+ ，的补空间，那么暇的直和形成整个r ( r ) 空间的基，构造j ；f ，( f ) 为 孵的基底，通过该函数的二进制伸缩和二进制整数平移形成r ( r ) 的基底，其中烈f ) 对应 着低通滤波器的? ) ，2 ( z ) ，v ( f ) 对应着高通滤波器g 伪) ，2 ( z ) 。故小波变换可借助于低通 和高通滤波器的2 带分解来完成，分解过程就是一个线性卷积过程。考虑到实际获得信号 总是有限长度的，因此处理过程中要考虑边界问题，较简单的处理办法是周期延拓，但在 边界处出现较大震荡，因此双正交小波得到了比较广泛的应用，通过对称延拓，它在边界 位置具有l 阶消失矩。在上述两种情况下，卷积过程演变为圆卷积。同时d a u b e c h i e s 等数 学家也构造出了具有任意阶消失矩的边界小波，但由于使用上不如双正交小波简单，反而 没有双正交小波使用广泛。 1 3 本论文研究内容 本论文在小波这一数学理论的基础上，研究了与多尺度有关的图像边缘检测算子，详 细阐述了使用小波对含有较大噪声的图像进行多尺度边缘检测的几种方法。具体说来，本 论文的主要结构如下 第一章绪论。介绍了小波理论和边缘检测的现状，涉及了小波及边缘检测的一些发展方向， 阐述了基于小波变换的边缘检测技术的意义。 第二章小波分析方法。本部分是论文的基础，较为详细的阐述了小波上的数学理论，及滤 波器组在小波分解和重构中的使用方法，讨论了边界问题的处理和正交双正交滤波器组。 第三章小波奇异性分析。本部分介绍了用小波度量信号的奇异性的方法，给出了奇异性指 数与小波变换的幅值的关系，及其与小波消失矩的关系，这是区别噪声和边缘的理论来源。 同时讨论了多尺度边缘检测的通用框架。 第四章与多尺度有关的边缘检测方法。讨论了几种多尺度边缘检测算子，详细地研究了数 学上较为严密的c a n n y 边缘检测算子。 第五章含噪图像的多尺度边缘检测。详细介绍了小波变换细节系数特征，渗透到各小节讨 论了噪声在小波细节系数中的表现。研究了两种自适应滤波器的预处理方法并作了比较。 针对噪声图像研究了阈值多尺度边缘检测方法和能量移位相关边缘检测方法。 青岛科技大学硕士学位论文 第二章小波分析方法 小波是在f o u f i e r 分析和调和分析的基础上发展起来的一门应用数学，是分析非平稳信 号时一频特性的有力工具。近几年来，它在数值分析、算子理论、量子力学、图像处理和计 算机视觉中取得广泛的应用。因此对它的研究有重要的理论价值和现实意义。 本章主要讨论了连续小波、框架理论、离散小波等基本概念和理论，在此基础上给出 小波分解和重构方法。同时讨论了正交小波、双正交小波、二维小波、边界处理和常用小 波的有关内容。 2 1 建续小波变换 一个函数上2 ( r ) ，并被归一化为i i i | = 1 ，其能量在时间轴和频率轴上主要集中于某 一个区域，称为时频原子。若进一步其平均值为零，即： ( o ) = e ( f 坤= 0 则称函数沙为小波。 定义2 1 如果妒c ( r ) 满足以下“允许性条件” = e 也警如 o o 称扩为“允许小波”。 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 显然，若妒p ) c ( 1 + f t 旷一，则公式( 2 2 ) 成立，似f ) 是允许小波。一族时频原子可由v 尺 度化和平移得到，即： 。( f ) = p ( 三二兰) ( 23 ) 定理2 1 积分小波变换公式为 w f ( u ，o = 了1d ( f ) 妒4 ( t - u ) d t ( 2 4 ) 、so 。 j 反演公式为 邝) = 古e e 形( 驴) 去妒( 等) 亨幽 ( 2s ) 公式( 22 ) ，( 2 4 ) 及公式( 2 5 ) 的第一重积分下限改为0 也是成立的。 2 2 框架理论 框架主要分析线形离散信号表示的完备性、稳定性和冗余性。对任一信号我们可用一 族函数碱) 。的内积 去刻画，称函数族溉) 。为框架。h i l b e r t 空间中框架的概念是由 小波理论及其在图像边缘检测中的应用研究 rj d u f f i n 和a s c h a e f f e r 在1 9 5 2 年研究# 调和傅氏基数( 即函数在r ( 【0 ，1 】) i i 分解为e i a ) 时 引入的，详细内容见文献 1 4 1 。y o u n g 在1 9 8 0 年也对框桨作过评述，枢粱悬鼙这概念的。 般推广，首先给珥个霞要的概念 定义2 2 i - f i l b e r t 空间的一族矢量乜) 。n 是正交基，如果满足 ，( 巳，e 。) = 0 n m 如果放松正交性的要求，有下面的r i e s z 基的概念 定义2 | 3h i l b e r t 空间中的一族矢量溉) 。n 称为r i e s z 基，如果它是线性无关的且存在常数 0 爿b 使得v 有 f = a ( n ) e 。 ( 2 6 ) 且 - i l f l l 2 _ 2 2 。1 口( 酬2 - 刍l l f l l 2 ( 2 7 ) 成立。 下面给出h i l b e r t 空间中框架的定义 定义2 4u 为可求逆算子，夥h ，有够= ( ，以) v n e f 。如果存在框架界 0 爿b o o ，使得 a i l l i l 2 1 ，蛾) 1 2 b l l f l l 2 ( 2 8 ) 成立，称 或) 。为h i l b e r t 空间的一个框架。 一般说来框架是冗余的，或者说可能是线性相关的，框架界彳，b 可度量其冗余性。若一= b ， 则称框架为紧框架，即使紧框架也可能是线性相关的。更进一步。若a = b = 1 ，则框架是 正交基，可在公式( 2 8 ) 中取f = 妒，f 来验证；若a 1 1 ，则框架是冗余的。因此4 又称为最小冗余因子。 定理2 2 若 仇 。，是线性相关的框架，可h ，记l m u 为，在u 上的象空间，则有 i m u ，2 ( 1 1 ) 2 存在无限多个左逆厅，使得衫一o f = 厂 证明：不等式( 28 ) 保证了i m u ，2 ( r ) ；因为 蛾 。是线性相关的，存在一个非零的矢 4 青岛科技大学硕士学位论文 量x 1 2 ( r ) 使得x ( n ) 0 ) = 0 。v f h 有e x ( 胛) = 0 ，即( u g ，u g ) = 0 ，这说明g = 0 。 因此u + u 是满的。故u ( ，是一一映射，u w 可逆。 要证明式( 2 1 0 ) ，相当于证明( u u ) o x = u z 。若x i m u l ，因疗一1 r = 0 ，故 ( u u 妒。x = o ；又b ，h ，( ，u 砷= ( u ，x ) = 0 ，这推出u x = o ，等式成立。若x i m u 则u o 。x = x ，故等式也是成立的。 而 垤，2 ( r ) ，可分解为直和的形式t = 五+ x 2 ，置i m u 及屯i m u l ，有 崆型：幽：幽。蚴 i j xj | j i x | | lj r j j j l 为j j 小波理论及其在图像边缘检测中的应用研究 幅_ l | f = 秆s u p ( r ) - 0 1 帮端。，掣剐f | 硅j 2 j l x l i舵f 2 ( r ) 一 o | 】卫| | 式( 2i i ) 得证。 对于x i m u ，矽c h ，使得z = w ，有f f 口一x = i f l l ，根据框架不等式( 2 8 ) 得 i i 扩圳= l l l l 面1 孵忙面1 忪i i ，圳疗枷击成立。 定理2 4b ，z ( 皿) ，卷积恒等式 “f 礁( 厂+ 岛) ( r ) = ，( ” ( 21 3 ) 的每个连续点x 成立。其中g 。是g a u s s i a n 函数，即： g 口。志哟 定理2 5 若上是自伴算子，且存在0 a b b | | ，1 1 2 则，l 可逆且满足 w e h ，去i i 厂酽( f 1 ，) 去i | ，2 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 定理2 6 设 东) 。是个带有框架界a ，b 的框架。其对偶框架定义为 五= ( u u ) 1 屯 ( 2 1 7 ) 满足 v ，去旷善l 叮，五) f 2 三l l f i 2 ( 2 1 8 ) 舱r 且 ，= d 。可= ( ，五) 晚= ，晚) 磊 ( 2 1 9 ) 艇r 蚝r 若框架是紧的，则蠢= a - l 谚。 证明： 垤，2 ( r ) ，有) = = a i i ，i r ，可以证明u u = a 掰， 因此磊= ( u u ) 。盛= 一。破。 公式( 2 ，1 8 ) 是定理25 的一个平凡的结论。一 定理2 6 说明利用对偶框架可以从框架系数 ( ，蛾 。，来重构原信号厂。若框架为紧框 架，有磊= 爿。纯，重构公式变为 ，= 丢v ，以) 屯 a 舱r ( 2 2 2 ) r i e s z 基是线性无关的框架，也就是说，其像空问i m u = j 2 ( r ) ，其对偶框架 磊) 。也是 线性无关的，称为对偶的r i e s z 基。在公式( 2 、1 9 ) 中令，= 丸得到 九= 瓴，五 以 ( 2 2 3 ) * r 线性无关表明( 屯，无 = 烈m 一，1 ) ，所以对偶的r i e s z 基是双正交的。若采用归一化基i l 蛾i 1 贝u 有a 1 b 。 2 3 小波框架 假定连续小波函数杪( f ) 被归一化为1 ，即ij 1 1 2 = ( 妒 = f ”l 妒o ) 1 2 = 1 ，因此可以把 l 缈( 驯2 看作概率密度函数，其中心为 胁= e f 帅) 1 2 d t ( 2 2 4 ) 其方差为 a ；= e ( 卜肼) 2j a r t 根据p a s e a l 恒等式有0 1 1 2 = 1 1 1 驴1 1 2 ， = 去e 彩嗽删2 如 = j ；j 瑚彩i ( 彩) r d 脚 ( 2 2 5 ) 所以其频率轴的中心和方差为 盛= 去e 一心一驴( 酬2 如 7 ( 22 6 ) ( 2 2 7 ) 小波理论及其在图像边缘检测中的应用研究 因此，小波的时频分辨率可以看作时频平面上中心为( 肼，比) ，时间和频率轴上的宽度分别 为2 啄和2 ，h e i s e n b e r g 不确定原理证明了听兰：1 ，因此时频平面上最小的窗面积为2 ， 这对应着g a u s s i a n 窗。 假定y ( f ) 的中心为0 ，则虬。( f ) 的中心为”，时间轴宽度为2 s o r ；疵， ) 的中心为生， 频率轴宽度为2 & 。 s 为了得到小波框架，需要对时间轴和频率轴对小波函数采样。由于，小波函数的f o u r i e r 变换吮。其支撑中心等，支撑宽度2 导，为获得全覆盖，按照指数序列 口) 脚采样s ，其 中口 l ，时间平移参数z ，以正比于口7 的间隔采样，记为 啪) = 专( 孚) ( 2 2 s ) 下面的定理给出了 ，。k 。k ：是r ( r ) 的框架的必要条件和充分条件。实际应用中我们 总是考虑正的频率，因此小波“允许条件”改为 q = r 掣揪佃 c z z 。) 定理2 7 若 h 。) ：是r ( r ) 的框架，则框架界满足 a 二2 一兰b u o l l l a v r 一 o ，月三艺i 痧( 口，c o ) 1 2 b u oj 二 定理2 8 若和口满足 矧i n 帅f 丕怖。珊) 阳 ( 2 3 0 ) ( 23 1 ) ( 23 2 ) 叩l 驴( 口7 西) 1 2 0 ，使得，对所有的h 。 l + c z ，则( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 及关于的条件成立。 t i + i 国伊 上述两个定理的详细论述参见文献 1 】p 6 3 - 6 9 。 在需要重构原信号时，我们关心的是对偶的小波框架的存在性，既然小波框架是母小 波的伸缩平移形成的，自然我们希望对偶小波框架也是由单个小波函数平移伸缩构成，这 一点对紧框架是没有问题的，因为对紧框架来说，对偶框架是其自身( 除了一个常数因子 1 a ) 。但对于一般框架来说，这一点就很难保证。但确实存在某些妒，a , 1 l 。使y ，。远离紧框 架，但使得旷。仅由单个函数产生 i 驴，。o ) = 口一n 妒( 口t 一，m o ) ( 2 3 6 ) 双正交小波就是个例子。 1 2 4 多分辨率逼近 多分辨率逼近的定义是由m a l l a t 2 和m e y e r 3 弓i 入的，它给出了多分辨率空间的数学 上的属性 定义2 6p ( r ) 的闭子空间序列 一 。：称为一个多分辨率逼近，如果下列6 条属性满足 v u , k ) z 2f ( o 巧营f ( t 一2 s 七) 巧 砂z ，巧c _ + ( 23 7 ) ( 23 8 ) z ，( f ) _ ，f ( 2 t ) 巧+ 。 ( 2 3 9 ) l =f =(2imul2(r)40) p + 。，一。 l i m = n = o ( 2 4 1 ) j _ 。j 。_ 町 j 妒使得 认f 一打) ) m 是的r i e s z 基。 ( 2 4 2 ) 下面的定理给出了r i e s z 基等价条件 定理2 9 序列 吠f 一订) ) 。z 是空间的r i e s z 基，当且仅当3 0 a b 这推出 a j 一，沏) = h ( n - 2 m ) a _ ( n ) = 吩h ( 2 m ) 这证明了式( 2 6 6 ) 。 又吩 。一，c 一，下式是成立的 ( 27 0 ) 吐。= ( 蚧吐。，谚。) 谚，。 像( 2 6 9 ) 式一样 ( ，谚= ( 击y 睁似t - n + 2 m ) = g 一2 珊) 两边与f 做内积得到( 2 , 6 7 ) 。 因为巧= 巧一。o 一。， 谚。 。：是一。的正交基，( 嵋扎。 一是形。的正交基，因此 小波理论及其在图像边缘检测中的应用研究 以 。，蚧。 。是一的正交基，v 谚。_ 可分解为 谚，。= 够，哆 。) 哆 。+ ( 哆，。) 。 * ，# + = 咖一2 功籼，。+ g ( m 一2 n ) g j 吐。 两边与，做内积得到( 2 6 8 ) 。 正交小波分解和重构算法如图21 ( a ) ( b ) 所示。 ：、 _ 1 l ，2 _ 卜“i lj 一一 h ；：4 - t ： 一 。 、f - 一一r 一一夸l * ：，d j l；一n j 色 2 一一8 j 二 ( a )正交小波分解算法 丐一一 蔓一l 一! 一卜- 辔一。 ：0 一ho 一- d - f 一! + ：一g d 一【n ! - 一g 一一： ( b )正交小渡重构算法 图2 1 正交小波的分解和重构算法 f i 9 2 1d e c o m p o s ea n dr e e o n s m l c to f o r t h o n o r m a lw a v e l e t 2 6 选择合适的小波 在使用小波基来逼近特定类的函数时，总是希望有较少的非零的小波系数，这对数据 压缩，去噪和快速计算是非常重要的，因此，在设计小波时使大多数小波系数( ，妒。) 接近 0 是必要的。若在高分辨率下大多数小波系数是很小的，那么函数，就有较少的不可忽略 的小波系数，这主要依赖于厂的正则性，小波函数妒的消失矩和支撑尺寸。 定义2 7 小波函数v 具有p 阶消失矩，若 e ，。y ( ，) 础= o ，o 七 p ( 2 7 1 ) 成立。 设，在v 的邻域 v h ，1 ，+ 棚是c 。的，考虑用t a y l o r 多项式逼近函数， 4 青岛科技大学硕士学位论文 只p ) ：艺掣( ，一一 只p ) 。蚤0 等( ，一4#j f f ：( e k ，o 和七= k j 使得逼近误差为 s = i f ( o 一只( f ) k i t v r 显然，若具有i 阶消失矩，则 ( 27 2 ) ( 2 7 3 ) 讳歹= ( ，吩。) = ( 只，。) + ( 占，吩，。) = w c ( 2 7 4 ) 确实，如果，是局部c 2 的，则在该小的区间内可以用七次t a y l o r 多项式很好的逼近，这时 小波函数与多项式是正交的，因而在精细的尺度上产生小的小波系数。 定理2 1 6 设缈和分别是正交的小波和尺度函数，若i 妒( 圳= 0 “1 + f 2 ) 叫2 。1 ) 和 i ( f ) 卜0 ( ( 1 + f 2 ) 1 “。) ，下述说法是等价的 ，小波有p 阶消失矩。 2 在国= 0 处，驴 ) 和其p l 阶导数为0 。 3 在国= 石处，