（应用数学专业论文）任意随机变量序列关于乘积分布的一类强偏差定理.pdf

学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学位保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文 的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密团。 学位论文作者签名： 工窟詹。 指导教师签名： 踟6 ，年月7 日扣。f 年g 月7 糊 日 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中己注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：孑 葱缸 日期：如，j 年舌月7 日 江苏大学硕士学位论文 摘要 强偏差定理( 也称小偏差定理) 是刘文教授在2 0 世纪8 0 年代末创立的一种 新型定理。他将概率论中的强极限定理推广到用不等式表示的情形。近十年来， 刘文教授和杨卫国教授，汪忠志，刘国欣教授等巧妙地将纯分析运算方法与母函 数，矩母函数，条件矩母函数，l a p l a c e 变换等工具以及测度的网微分法和鞅方 法结合起来。研究了强偏差定理，s h a n n o n m c m i l l a n 定理，赌博系统，任意相依 随机变量序列的强极限定理等领域。 九十年代以来，刘文教授等通过引进关于乘积分布的对数似然比作为随机变 量序列相对与独立情形的差异的一种度量，并通过限帛6 似然比给出了样本空间的 一个子集，在此子集上得到了任意随机变量序列的一类用不等式表示的强极限定 理。并得到了服从该乘积分布的独立随机变量序列的一族强大数定理。通过这种 思想方法分别研究得到了任意随机变量序列关于几何分布，p o i s s o n 分布与负二 项分布的强偏差定理，开拓了新的领域。本文就是在已有的成果基础上，通过数 学分析方法与鞅极限理论相结合的方法，进一步研究了任意随机变量序列关于二 项分布，广义几何分布，二重几何分布的强偏差定理。推广了原有的结论。并进 一步将强偏差定理推广到连续型空间和赌博系统，得到了任意连续型随机变量序 列关于r 一分布和任意随机变量序列关于随机选择的强偏差定理。 关键词：强偏差定理，上鞅，广义几何分布，二重几何分布，r 一分布，对数似 然比，随机选择。 坚蔓查兰堡主兰些堡苎 a b s t r a c t s t r o n gd e v i a t i o nt h e o r e m s ( a l s oc a l l e ds m a l ld e v i a t i o nt h e o r e m s ) a r ea t y p eo fn e wt h e o r e m se s t a b l i s h e db yl i uw e np r o f e s s o ri n 8 0 so ft h e 2 0 t hc e n t u r y h eh a sg e n e r a l i z e dt h es t r o n gl i m i tt h e o r e m st ot h eo n e s i m p l i e di nt h ee q u a l i t i e s i nt h er e c e n tt e ny e a r s ，l i uw e np r o f e s s o ra n d y a n gw e i g u op r o f e s s o r c o m b i n et h ep u r ea n a l y t i c a lm e t h o d sw i t h t h et o o l so ft h eg e n e r a t i n gf u n c t i o n s ，t h em o m e n tg e n e r a t i n gf u n c t i o n s t h ec o n d i t i o n a lm o m e n tg e n e r a t i n gf u n c t i o n s ，l a p l a c et r a n s f o r m m a r t i n g a l ew a y sa n dt h ed i f f e r e n t i a t i o no fam e a s u r eo nan e tt os t u d yt h e s t r o n gd e v i a t i o nt h e o r e m s ，s h a n n o n m c m i l l a nt h e o r e m s ，t h es t r o n gl i m i t t h e o r e m so ft h eg a m b l i n gs y s t e ma n da r b i t r a r ys e q u e n c eo fd e p e n d e n t r a n d o mv a r i a b l e s f r o mt h e9 0 so n ，l i uw e np r o f e s s o ra n dh i sp a r t n e r si n t r o d u c et h e n o t i o no ft h el i k e l i h o o da sam e a s u r eo fd e v i a t i o nb e t w e e nas e q u e n c eo f a r b i t r a r yr a n d o mv a r i a b l e sa n das e q u e n c eo fi n d e p e n d e n tr a n d o m v a r i a b l e s ，a n dg i v eas u b s e to fs a m p l es p a c eb yr e s t r i c t i n gt h el i k e l i h o o d r a t i o o nt h i ss u b s e tac l a s so fs t r o n gl i m i tt h e o r e m s ，r e p r e s e n t e di n e q u a l i t i e s ，f o rt h es e q u e n c eo fa r b i t r a r yi n t e g e r v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e s a r eo b t a i n e d a sc o r o l l a r i e s ，ac l a s so fs t r o n gl a r g en u m b e rt h e o r e m sf o r t h es e q u e n c ew i t hp r o d u c ti n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sa r eo b t a h e d t h e yh a v es t u d i e dt h es t r o n gd e v i a t i o nt h e o r e m sf o rt h es e q u e n c eo f a r b i t r a r yd i s c r e t er a n d o mv a r i a b l e so ng e o m e t r i cd i s t r i b u t i o n 。p o i s s o n 江苏大学硕士学位论文 d i s t r i b u t i o na n dn e g a t i v eb i n o m i a ld i s t r i b u t i o nb yu s i n gt h i s1 3 e wm e t h o d a n de x p l o i tn e wf i e l d s b a s e do nt h er e s u l t sw h i c ht h e yh a v eo b t a i n e d t h i sp a p e rw i l la p p l yt h ea n a l y t i c a lt e c h n i q u e sa n dm a r t i n g a l el i m i tt h e o r y t os t u d y i n gt h es t r o n gd e v i a t i o nt h e o r e m sf o rt h es e q u e n c eo fa r b i t r a r y d i s c r e t er a n d o mv a r i a b l e so db i n o m i a ld i s t r i b u t i o n ，g e n e r a l i z e d g e o m e t r i cd i s t r i b u t i o na n dt w o o r d e rg e o m e t r i cd i s t r i b u t i o n a s c o r o l l a r i e s ，t h er e s u l t so fl i uw e np r o f e s s o r sr e s e a r c ha r eo b t a i n e d f u r t h e r m o r e ，t h ep a p e rw i l lg e n e r a l i z es t r o n gd e v i a t i o nt h e o r e m sf r o m d i s c r e t es t a t es p a c et oc o n t i n u o u ss t a t es p a c ea n dg a m b l i n gs y s t e mt o s t u d yt h es t r o n gd e v i a t i o nt h e o r e m sf o rt h es e q u e n c eo f a r b i t r a r y c o n t i n u o u sr a n d o mv a r i a b l e so nf d i s t r i b u t i o na n dt h e s t r o n g d e v i a t i o nt h e o r e m sf o rt h es e q u e n c eo fa r b i t r a r yd i s c r e t er a n d o m v a r i a b l e so nr a n d o ms e l e c t i o n k e y w o r d s ：s t r o n gd e v i a t i o nt h e o r e m s ，s u p e r m a r t i n g a l e ，b i n o m i a l d i s t r i b u t i o n ，g e n e r a l i z e dg e o m e t r i cd i s t r i b u t i o n ，t w o - o r d e rg e o m e t r i c d i s t r i b u t i o n ，d i s t r i b u t i o n ，t h el o g a r i t h m i cl i k e l i h o o dr a t i o ，r a n d o m s e l e c t i o n 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 ( 1 1 ) 研究背景 强偏差定理( 也称为小偏差定理) 是刘文教授于2 0 世纪8 0 年代末创立的一种新型定理。 由于众所周知，在概率论的发展史中，极限定理的研究一直占有重要的地位。2 0 世纪7 0 年 代末，刘文教授在研究实数展式的概率性质和马尔可夫链的强大数定理时，提出了一种研究 强极限定理的分析方法。这个方法的要点是用区间剖分法在概率空间( 【0 。1 ) ，f ，p ) ( 其 中f 为【o ，1 ) 中的l e b e s g u e 可测集的全体。p 为l e b e s g u e 测度。) 中给出随机变量序列的 一种实现。再构造一个依赖于一个参数的单调函数，并应用l e b e s g u e 关于单调函数可微性 的定理证明某些极限a s 存在。然后通过纯分析运算来证明所需的结论。在其后的研究过程 中，刘文教授与杨卫国教授合作，又将这种方法和母函数矩母函数，条件矩母函数，l a p l a c e 变换等工具以及测度的网微分法和鞅方法结合起来，扩大了方法的应用范围。在此基础上， 通过引进似然比作为随机变量序列相对与不同测度的差异的一种度量，刘文教授等建立了一 类新型定理强偏差定理( 也称小偏差定理) 将概率论中的强极限定理推广至u 用不等式 表示的情形开拓了极限定理研究的新领域。 ( 1 2 ) 研究现状 9 0 年代中叶以来，刘文教授【3 - 1 2 】和杨卫国教授【1 3 - 2 7 】，陈爽 3 4 】，刘玉灿 3 2 】，王金亭 3 5 ，干玉津 3 6 】，王丽英 3 7 1 等同志利用上述方法分别研究了在s h a n n o n m c m i l l a n 定理， 赌博系统，任意相依随机变量序列与马尔可夫链及马尔可夫链场等领域的强偏差定理。得到 了系列极有意义的结果。 ( 1 3 ) 本文的主要研究工作与进展 任意随机变量序列关于乘积分布的强偏差定理的研究是借助引进对数似然比作为整值 随机变量序列相对与服从某种乘积分布的独立随机变量序列的偏差的一种度量，并通过限制 似然比给出了样本空间的一个子集，在此子集上得到了任意随机变量序列的一类用不等式表 示的强极限定理。并得到了服从该乘积分布的独立随机变量序列的一族强大数定理。刘文教 授等人通过这种恩想方法分别研究了任意随机变量序列关于几何分布，p o i s s o n 分布与负二 项分布的强偏差定理给出任意随机变量序列与独立随机变量序列偏差的上，下界的一种随 机度量估计- 本论文在已有成果基础上进一步研究，推广了上述定理结果。第三章研究了任 意随机变量序列关于二项分布的强偏差定理，第四章研究了任意随机变量序列关于广义几何 5 江苏大学硕士学位论文 分布的强偏差定理。第五章引进k r o n e c k e r 函数，采用分奇偶数情况方法研究了任意随机变 量序列关于二重几何分布的强偏差定理。以往的研究中。大都做的是任意离散型随机变量序 列有关乘积分布的强偏差定理，而对连续型随机变量的类似研究所做甚少。本文在第六章专 门对任意连续型随机变量序列关于r 一分布的强偏差定理作了研究，并作为推论得到了任意 连续刑随机变最序列关于指数分布，鄂兰分布及z 2 一分布的强偏差定理等一系列极有意义 的结果。将随机变量序列犬与乘积分布的强偏差定理从离散型空问拓展到连续型空间。 赌博系统主要考虑一个b e r n o u l l i 实验序列，并假定在每次实验中赌徒都有参赌与不赌 的自由。所谓赌博策略，就是赌徒事先制订一套规则来决定哪一次参赌。在第甩次实验上， 他的策略可以依赖于以前玎- 1 次实验的结果。关于赌博的一个定理断言，无论采取什麽策 略赌徒参赌的那些次实验组成一个b e r n o u l l i 序列，其成功概率不变。这个命题的重要性首 先由v o n m i s s e 发现，他引进成功的赌博方法的不可能性作为一个基本公理。后来 k o l m o g o r o v 进一步讨论了这个问题。而后刘文与汪忠志等同志本文在第七章采用分析方法 并引进似然比，将有关讨论推f - n 相依值随机变量序列和m 元序组的情况，得到有关随 机选抒的一类偏差定理。 6 垩苎查堂堕主兰垡丝兰 一一 第二章基本理论与概念 2 1 随机变量序列的基本收敛定理 2 1 1 几乎处处收敛( a s ) 定义1 设 孝。，h 1 ) 是概率空间( q ，f ，j p ) 上的随机变量序列。如果存在集合a f 并且j d ( 一) = l 。使当a 时有! 鳃= 孝。亦即如果有p ( ! 受2 孝) = 1 ，称 o ，n 1 ) a s 收敛到孝。记作六 f a s 。 如果存在集合a f ，p ( 一) = 0 。使当国a 。时，有 l i mi ( 出) 一己( ) 0 m ，h 则称慨，n _ - 1 是c a u c h y a s 收敛的。 定理1 设 鼻，珂1 是概率空间( q ，f ，p ) 上的随机变量序列。a s 收敛到毒的充要 条件是 o ，”1 ) 是c a u c h ya s 收敛的。 定理证明见【1 】 定理2 a s 收敛到掌的充要条件是v 占 0 1 i m p j ( i 一非s ) ) = o 定理证明见【1 】 推论1 如果v 占 0 有 尉i 六- 4 i 占) 0 那有3 中任一r v 序列的依概率收敛性蕴涵着a 置收敛性的充耍条件是q 为 可列多个互不相交的原子之并。 定理4 ( 1 ) 设生孝，则必有子列鼻 寸孝a s ： ( 2 ) 设土哼孝，则有与善： ( 3 ) 六旦c ( c 为常数) 等价于矗三c 。 定理证明见 2 1 3 上。收敛( 平均收敛) x 0 p a 。，令三。= 善：e l 手1 9 0 ，存在简单随即变量叩= d t ， l ，使褥 1 孝一吁i p ( s 。也就是说。对任意p 次可积的l u 刁必有p 次可积的简单l m 序 玑) p 阶 平均收敛于l 善。 定理5 若磊b f 。则有三斗f 。 8 江苏大学硕士学位论文 定理证明参见【l 】 ( l e b e s g u e 控制收敛定理) 设六上寸手，l r l l 使得i 峰印a ( 月1 ) 那有 o ，f 三l 且土一f 。这时有e 一e f 。 定理证明参见【1 】 ( 单调收敛定理) 设2 0 且鼻个亭a - s ( 1 ) 我们有l i r a e f = 警。因而如果l i m e o o ，则有l l 。 nr 一 ( 2 ) 若f 厶。则每个孝。上l 且i i m e 鼻= e 善。 定理证明参见【1 】 ( f a t o u 引理) 设厶厶( ，1 ) 是非负l v ，使得l i m i n f e 0 ，则有 e ( 1 i m i n f 六) l i m i n f e 厶， 定理证明参见【1 】 2 2 鞅的定义与基本概念 为了引进鞅的概念，首先要给出条件期望的定义。设f 是定义在概率空间( q ，f ，p ) 上的 随机变量一e i f i o o ，g o 是f 的子盯域。 2 2 1 条件期望的定义与基本性质 定义1 设舻是f 的子盯域，亭为可积l ，r 为满足下列条件的l ： ( i ) 叩为舻可测的： ( 2 ) 对每个b 护，j 渺= p d p 。 口b 则称即为f 关于护的条件期望，记为e ( f j p ) 特别的，当p = o - ( y ) 时，也称，7 为亭关于 j ，的条件期望，记作e ( f iy ) 。 定理1 设概率空间( q ，f ，p ) 上的随机变量f 关于子盯域舻的条件期望有定义。那么 有 ( 1 ) 如果善关于p 可测，则有e ( 毒 p ) = 善a i s ( 2 ) 如果毒= a 孵+ a s 。则e ( a i p ) 有定义。且g ( a ig o ) = a8 t s 。 ( 3 ) 改e 善有意义，如果善和p 独立。则有e ( f i 舻) = fa s ；特别的，若 9 坚蔓墨茎堕兰兰苎兰奎一 定理证明参见【l l ( l e b e 5 9 呲控制收敛定理) 设己上善，l v 玎上l 使得i 六喀印8s ( ”1 ) 那有 毒。，掌工1 且且专善。这时有点厶叫e 掌。 定理证明参抛【l l ( 单调收敛定理)设0 且矗t 孝a s 一 ( 1 ) 我们有嫩e 鼻= e - 因而如果黪e 一。，则有5 - 6 ( 2 ) 若毒厶则每个 。 且l i m f 最= 点f d 定理证明参见川 f a t o t l 引理) 设毛厶( h 1 ) 是非负l v 使得l o ：密f 点 ，刚有 e ( 1 1 蝉矗) s 1 1 譬虫f 五鼻， 定理证明参见i l l 2 2 鞅的定义与基本概念 为了引进鞅的概念，首先要绘出条转期望的定义。设 是定义在概率空同，f ，尸) 上的 随机变量e l 手l 0 ) a s 则称( 匕，n n ) 为鞅芳( 下鞅著) 序列。 定理4 若 s 。，n ) 为鞅( 下鞅) ，= s 。一鼠一l ， 1 k = s o 。j i y n ，n ) 为鞅差( 下鞅差) 序列。反之， e ，n ) 为鞅差( 下鞅差) 序列，= t ，则 最，b e k = 0 为鞅( 下鞅) 。 定理证明参见【2 】 定理5 ( d o o b 鞅收敛定理) 设 s 。，n n ) 为下鞅，若s u p e s ： 0 , 0 c 1 为 常数，令d ( c ) 为满足下列条件的样本点国的全体： 舰q ( 置，五) = + 。 ( 3 4 ) 砒 杉k 、p， k ，l 。n 柚 江苏丈学硕士学位论文 l i r a s u p l d p m l i m i n f ( 1 o r 。) l n r 。( ) 一c ( 3 5 ) ( 3 6 ) l i m s u p ( 以一慨) 茎拓( m + 1 ) + ca s 于d 0 ) ， ( 3 7 ) m u nk - 1 l i m 。i 。n f l 吒西皇( x k 一坳t ) 一再( m + 1 ) 。a a 于。0 ) 。 ( 3 8 ) 证明：取( q ，f ，尸) 为所考虑的概率空间。设五( o ，2 ) 为常数。并令 ，。( 旯，) =五鼢囊( 赤 础a ， f ( x l ，x 。) ( 3 9 ) 和骢( 志 ”( 曼卜啼m ，捌是卸的 行元参考分布函数和刀元真实分布函数。根据文献【3 8 p 3 4 8 页有e ( ( 五，国) 5 1 ，且 ，。( 旯，国) 为非负上鞅。根据d o o b 鞅收敛定理，有 由( 3 4 ) 与( 3 。1 0 ) 有： 令 由( 3 2 ) 与( 3 9 ) 有 ! 鲤( ，彩) = ，。0 ，埘) m ( 3 1 0 ) l i 罂考i n t n ( 2 ，) o ) ， 及( 3 6 ) 有 l i m s u p 。1 - - ( s 。一窆n p 。) n _ 仃n雨 州m s u 。去妻( 型蔷d ，+ 斋 l i r a s u p 去凳c 竿等一p k l ，+ 斋 ( 导华争一) + 击 u _ l 一l l l 鲥紫去砉叫p t + 南+ c ( 五叫m + 矗+ c a s d o ) 当0 c 1 时，在( 3 2 0 ) 中令丑= 1 + 孑，得 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) f i m s u p ! 。( s 。一p 1 ) 石( m 十1 ) + c a s d ( c ) ( 3 2 1 ) 月- + 4 u hk = l 即得当o d = z 1 i m i n f ( a 。一巳) l i 哗h q ) + d ( 3 2 4 ) 有 l i m i n f 。1 - - - ( s 。一妻坳) 盯。篇 纠r ni n f i - - - 。o o r 寺砉c 掣i n 啊，+ 击n 盯。乞 、 五 ”1 l 五 t 唧去毫c 掣，+ 击 刈叻r i 蔓蚓2n ( 牛势咄) + 击 刈m i n f 上o n 窆k - i ( 五叫p t 十南 ( 五一1 ) m + 南 d o ) 当0 0 又设m 0 , 0 c 1 为常数简记a j ( 鼻l ，- 一x 。) 为叮。设d ( c ) 为满足下列条件的样 本点出的全体： 慨盯。( x t ，x 。) = + ， ( 4 6 ) 则 l i r a s u p ( 1 t x 。) n i p m ， ( 4 7 ) ；l 1 i 罂掣( 1 厄) ( 国) 2 一c ( 4 8 ) l i m s u p 。1 - - - 。窆( x 。一n p 。) t , - i石【兰i + 掣h m u 一“ “ d ( c ) ，( 4 9 ) l i 卿f 上c f n 主k - i ( 以一p t ) 一石鼍+ l 】 ”。p ) 。) 证明：设c 鲈一为跏考虑的概率空间且设五e ( 0 ，而1 ) 为徽躺设 “抽，：敷 x , 娑- 1 羔筹型 。， 1 9 江苏大学硕士学位论文 嘞f v _ _ t ( x k - - 。1 ) ( 揶啊产- ( ，叫，咆矿和似，- 一以) 分别是捌 的”元参考分布函数和门元真实分布函数由文献 3 8 我们有e ( ( 五，c o ) ) i ，且 f 。，缈) 为上鞅根据d 0 0 b ( s e e 【3 8 】) 鞅收敛定理，我们有 l i m t 。( a ，c o ) = f i n i t en u m b e r 由( 4 6 ) 和“1 2 ) ，我们有 而由( 4 11 ) ，有 ( 4 1 2 ) l i m s u p ( 1 c r 。) l o g t 。( a ，) o ， a s o k d ( c ) ( 4 1 3 ) ”( 五) 2 f ( x 历矾 i ，x , f i l x 圳, - 1 _ l p ，密 鼍卜。， 根据( 4 3 ) ，( 4 1 3 ) 和( 4 1 4 ) ， 1imsup(1啪荟n五log肛nn-4。k-1l。g(焉r-kk h ( 训妣a s 翻d ( 吐 t 一1 一 l pj 由( 4 8 ) 我们有 l i m i n f ( 1 o 。) o ( 国) 一c ( 4 1 6 ) 因而由( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) ，我们有 l i m 2 2 p o ) 【善n 五l o g a 一善n l 。g ( 丁二j 羞薯历) 】立，“s 一d ( c ) ( 4 1 7 ) t l 一lj 一 l l 一- j 政工( 1 ，函1 1 鞘l o g 除( 4 1 7 ) 式的两边，我们有 n y 笺u p ( , 嘻弘砉m 。喙) 4 。g 水南，a - s 甜d ( c ) 而由( 4 1 8 ) 以及上极限的性质， l i m s u p ( a 。一k ) s d 等l i m s u p ( a 。一c n ) s l i m s u p ( b 一c n ) + d ， ( 4 1 9 ) h 月_ + m 我们有 l i m s u p ( 1 r 。) ( 五一p 。) n 呻o ；1 蚰r a s h p ( 1 叫嘻( 1 0 9 ( 高警雨) 。g 矿1 川+ 击一s 国荆( 4 z o ) 江苏大学硕士学位论文 由( 4 5 ) ，( 4 ，2 0 ) 和不等式1 - 1 i x o ) ，我们有 l i r a s u p ( 1 o r 。) 隅一n p i ) t = l 州m s t l ，o 喜 ( 端。们m 小南 一1 列翟p ( 1 喜岸嘞l 小南 i l l 1 一， j u 5 7 0 纠霉c 噤而南+ 击+ c 鲥紫( 慨) n3 - 1 五十志+ c as d ( c ) ( 4 2 1 ) 当l l i m i n f ( b 一c 。) + d ， 我们有 1 1 卿( 1 善( 以一u p t ) 州r a i n f ( 1 扣。g ( 高等与) i 哪卜1 川+ 南，a s 曲d ( c ) t ( 4 z s ) 由( 4 5 ) ，( 4 2 8 ) 和不等式1 - i xsl n x x 一1g o k 跣们有 1 i 卿( 眠) 荟( 丑一n p e ) 蛐m a y ( ，喜 ( 揣4 。s 矿1 p 小南 五一1 刈m i n r ( i o - ) 喜c 等铲1 】+ 击 州卿f ( 1 砉而+ 南 刈哗c - 喜尝尚南+ 南 等竽+ 击 嘲 l ， 舢翻荆 日 一l 、。 当0 c 1 时，我们设a = 1 一；在( 4 2 9 ) ，那么由( 4 2 9 ) 有 l i m i n f l 啪窆( x n p 胆小 等+ l 】，a s d ( c ) ( 4 3 0 ) 江苏大学硕士学位论文 = 丁是我们由( 4 3 0 ) 知道当o 0 j l ! i j 有 l i m l 玎妻面( x t 一仇) = 。 a s ) 证明：设仃。( x 1 一x 。) ；n ，m = 口) i l l a , ( 4 6 ) 成立， l i 竺p ( 1 ) 喜仇洲m s u p ( 1 n ) 荟n 1 仇剑竺p 等= 苦， c 。， ” i - l n l月“ 冈而( 4 7 ) 也成立于是仿照推论2 的证明有d ( 0 ) = q ，由( 4 3 2 ) 知( 4 3 8 ) 成立 定理4 。2 设取。，n 1 是具有分布( 4 1 ) 的随机变量序列，( 国) 由( 4 3 ) 定义，令 口= i n f p ，仃1 ) 0f 4 4 0 ) 役0 c - c ( 4 4 1 ) 则有 l i 墨? i 1 善n ( 以一s 害【兰+ 2 ( 1 叫】+ c ”d ( c ) ( 4 4 2 ) l i 罂笋去喜( 也一n p , ) 一再( 参+ 1 ) a s ， 。( c )( 4 4 3 ) 证明：在定理1 中设d j ( x l _ 肖。) ；r l , m = 口那么仿照推论5 的证明知( 4 6 ) 和 ( 4 - 7 ) 显然成立当m = n o , 时，( 4 4 2 ) 和( 4 4 3 ) 立即可以由( 49 ) 和( 4 1 0 ) 得出 推论4 6 在定理4 2 的假设条件下 l i m l n 宝西( x k 一p 。) = 。a s 。( 。) ( 4 4 4 ) 证明：在( 4 4 2 ) 和( 4 4 3 ) q 6 令c = 0 即可 我们在定理4 2 中令n = i 可以得到任意随机变量序列关于几何分布的一类强偏差定理 设 x 。， 2 1 是在s ； 1 ，2 ，) 中取值的具有联台分布( 4 1 ) 的随机变量序列 推论4 7 设忸。， 1 ) 是具有分布( 4 1 ) 的随机变量序列，令 江苏大学硕士学位论文 兀( 1 一p k ) 扯1 p 女 蹦2 号瓦i 百 ( 4 4 5 ) ( ) = l o g r 。( ) = l o g ( 1 - p ) 乩p 女- l o g f ( x l ，- 一，x 。) ( 4 4 6 ) i = i 且口由( 4 5 ) 定义。设0 sc ox s ，1 i s 九( 5 1 ) 为了表示忸。，n 1 ) 与服从广义几何分布的独立随机变量序列之间的差异我们引进如下的 定义。 定义5 , i 设讧。，打1 ) 是具有分布(