（理论物理专业论文）非线性可积系统中的孤子动力学.pdf

摘要 本文利用达布变换理论精确求解了相关非线性薛定谔方程，从精确解出发主要研究 了两种系统的孤子动力学：( 1 ) 玻色一爱因斯坦凝聚体( b e c ) 中亮孤子的动力学；( 2 ) 波导管中的光孤子传输问题。在第一部分中，研究了抛物线势和复势阱下凝聚体中孤子 的形状演化和孤子中心的运动情况。主要讨论了非线性作用和增益对孤子形状的影响以 及势阱对孤子中心运动的作用并发现了一个孤子峰值稳定条件。在此势阱基础上，我们 添加了线性势，发现在文中可积条件下，线性势对孤子的形状没有任何影响，只对孤子 的位置有作用。接着，讨论了孤子只在线性势下的运动情况，发现此时孤子的形状演化 可以很好地保持不变，但孤子整体有一个加速度，且加速度与线性势的关系符合牛顿第 二定律。 在第二部分中，鉴于光孤子通信巨大的应用潜力，我们研究了梯度折射率波导管中 的光孤子传输特性。还特别地讨论了不同初始条件下的孤子轨迹。发现孤子整体运动轨 迹受梯度折射率的宏观分布决定，以及其自聚焦作用可以使得孤子宽度发生相应的演 化。接着，讨论了在该梯度折射率背景下，添加一长周期光栅对孤子的动力学影响。在 我们的可积系统中，该长周期光栅对孤子的形状没有任何影响，只是改变孤子的运动轨 迹。而且，我们通过把该光栅替换为一任意附加性结构，发现任意附加结构都不影响孤 子的形状演化，只对孤子轨迹产生影响。这为我们操控孤子提供了很好的理论支持。 关键词：非线性薛定谔方程，玻色一爱因斯坦凝聚，孤子动力学，光栅波导管 a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，w em a i n l ys t u d yo nt h ed y n a m i c so fb r i g h ts o l i t o ni nt w os y s t e m sf r o mt h e a n a l y t i c a ls o l u t i o n s ，a n dt h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n so ft h er e l a t e dn o n l i n e a rs h r 6 d i n g e re q u a t i o n s a r ep r e s e n t e db yd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nt h e o r y i tm a i n l yi n c l u d et w op a r t s ：t h ef i r s to n ei s b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e s ( b e c ) s y s t e m ；t h es e c o n dp a r ti sc o n c e r n e dw i t ht h ep r o p a g a t i o n o fb r i g h to p t i c a ls o l i t o ni nw a v e g u i d e s i nt h ef i r s tp a r t ，w ed i s c u s so nt h ee v o l u t i o no fs o l i t o n ss h a p ea n dt h em o t i o no fs o l i t o n s w a v ec e n t e ru n d e rap a r a b o l i cp o t e n t i a la n dc o m p l e xp o t e n t i a l e f f e c t so fn o n l i n e a rp a r a m e t e r a n dt h eg a i nt e r mo nt h es h a p eo fs o l i t o na n di n f l u e n c eo fe x t e r n a lp o t e n t i a lo nt h em o t i o no f s o l i t o na r es t u d i e di nd e t a i l e s p e c i a l l y , t h ec o n d i t i o nt h a ts o l i t o n sp e a ki ss t a b l ei sa c h i e v e d u n d e rt h ei n t e g r a b l ec o n d i t i o ni nt h i sa r t i c l e ，w ef i n dt h a tt h el i n e a rp o t e n t i a lh a sn oe f f e c t so n t h es h a p eo fs o l i t o n ，i tj u s ta f f e c t st h ep o s i t i o no fs o l i t o ni nt h ep a r a b o l i cp o t e n t i a lb a c k g r o u n d t h e n ，t h ed y n a m i c so fs o l i t o nw h i c hi sj u s ti nl i n e a rp o t e n t i a la r ed i s c u s s e d i ti sf o u n dt h a t t h es h a p ec a nb es t a b l ei nt h el i n e a rp o t e n t i a l ，b u ts o l i t o ni sa c c e l e r a t e d ，a n dt h er e l a t i o n b e t w e e nt h ea c c e l e r a t i o na n dl i n e a rp o t e n t i a la g r e e st ot h es e c o n dn e w t o nl a w i nt h es e c o n dp a r t ，w es t u d yt h ep r o p a g a t i o no fo p t i c a ls o l i t o ni ng r a d e d - i n d e x w a v e g u i d e e s p e c i a l l y , t h et r a j e c t o r i e so fs o l i t o nu n d e rd i f f e r e n ti n i t i a lc o n d i t i o na r ed i s c u s s e d i nd e t a i l i ti sf o u n dt h a tt h et r a j e c t o r yo fs o l i t o ni sd e t e r m i n e db yt h eg l o br e f r a c t i v ei n d e x t h es e l f - f o c u s i n ge f f e c tc a nc o n t r o lt h ee v o l u t i o no fs o l i t o n sw i d t h n e x t ，w es t u d yt h e d y n a m i c so fs o l i t o ni nt h el o n g p e r i o d i cg r a t i n gw a v e g u i d e i ti ss e e nt h a tt h eg r a t i n gh a sn o e f f e c t so nt h ee v o l u t i o no fs o l i t o n ss h a p e ，a n di tj u s tc h a n g et h et r a je c t o r yo fs o l i t o n m o r e o v e r , w ef i n dt h a ta na r b i t r a r ya d d i t i o n a ls t r u c t u r ec a nb ea d d e d t oc o n t r o lt h et r a j e c t o r y o fs o l i t o nw i t h o u tc h a n g i n gs o l i t o n ss h a p e t h i sp r o v i d eu sag r e a tt o o lt oc o n t r o lo p t i c a l s o l i t o np r o p a g a t e di naw a v e g u i d e k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs h r 6 d i n g e re q u a t i o n ，b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e ，d y n a m i c so fs o l i t o n ， g r a t i n gw a v e g u i d e 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论 文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：名姆指导教师签名：末啦 | 叶碑“7 日撕钼夕日 1 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除了文中特另, j d i 以标注和致谢的地方外，本 论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大 学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对 撇虢橼厂月7 日 【 两北大学硕上学位论文 第一章引言弟一早ji 石 随着线性物理的飞速发展，反映现实自然现象的非线性物理引起人们的极大关注。 自十九世纪六十年代以来，非线性科学的研究取得了惊人的进展，进而形成研究非线性 普遍规律的科学一非线性动力学。它主要包含六个方面：分俞与混沌、分形、孤立子、 斑图、元胞自动机和复杂系统。孤立子也称为孤立波。它是指一大类非线性偏微分方程 的许多具有特殊性质的解，以及与之相应的物理现象。这些性质是：( 1 ) 能量比较集中 于一个较狭小的区域( 2 ) 两个孤立子相互作用时出现弹性散射现象。因此，孤立子同 时具备了粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性。近年来，人们对孤立子的 概念作了进一步的推广，把能量集中在一个狭小区域的一些静态解也称为孤立子。孤立 子理论的产生和发展是非线性偏微分方程研究的一个重大成果。作为应用数学和数学物 理的一个重要组成部分，孤立子理论在最近二十多年罩得到迅速的发展。在许多学科领 域，如流体力学、等离子体物理、非线性光学、经典场论和量子场论等，都包含着和孤 立子理论密切相关的重要问题。值得注意的是，并不是所得非线性系统都存在解析解。 但解析解对分析问题的准确性与方便性，使得对于存在解析解的系统可积系统的研 究称为热点之一。本文主要研究两种可积系统中的孤子动力学：( 1 ) 玻色一爱因斯坦凝 聚系统；( 2 ) 波导管中的光孤子传输。 孤立子理论的产生和发展是非线性偏微分方程研究的一个重大成果。对于数学物理 中的许多线性问题，通过傅立叶变换可以得到许多精确解，从而使问题得到完善的解答。 而非线性偏微分方程的难度大得多。但孤立子理论却蕴藏着一系列的制作精确解的方 法。例如：反散射方法、b a c k l u n d 变换、h i r o t a 变换、d r e s s i n g 变换等。特别是 反散射方法，在一定程度上可以看成非线性问题的傅立叶方法。这些方法中都要有一定 的可积条件，我们这里利用达布变换方法精确求解了相关的可积系统，且相应的可积条 件在文中已给出。 1 9 9 5 年m i t 小组等几个实验小组在实验室中实现了玻色一爱因斯坦凝聚( b e c ) ，是 人类第一次在实验室里验证了1 9 2 5 年玻色和爱因斯坦对这种新物念的预言 卜4 。b e c 的实现具有重要的理论意义和潜在的实用价值。首先它是一个新物念，从而为试验物理 学提供了一个独一无二的新介质：利用物质波的相干性可开拓很多新的研究领域，如原 子激光器的研究；类比于非线性光学，可开展非线性原子光学的研究；利用b e c 相干性， 可观察凝聚体的涡旋和孤子；利用f e s h b a c h 共振改变原子间相互作用从而可观测到类 第一章引言 似超新星和黑洞的b e c 爆炸；研制高准确度和稳定度的原子钟和精密原子干涉仪，从而 改善精密测量的准确度，如超冷原子的碰撞截面和物理常数的测量；在量子信息科学中， 如光速减慢与光信息存储、量子信息传递和量子逻辑操作等：利用b e c 相干性还可以进 行微结构的刻蚀和制作微光电子回路等。但是这些应用都需要从理论上对b e c 的相干性、 宏观量子遂穿、孤子涡旋的产生、b e c 的不稳定性等动力学特性上有深刻的研究和理解。 有关b e c 中的基础概念，可以参阅a n t h o n yj l e g g e t t 的综述文章【5 】。 我们这里主要是探讨b e c 中孤子的动力学性质。值得注意的是，原子团形成b e c 时， 原子的物质波波长大于原子间距，整个原子体系成为一个整体，物质波相互覆盖，可用 统一的波函数描述。这也是b e c 的最主要的特征。人们在平均场近似下，找到了描述凝 聚体动力学行为的方程格罗斯一皮达耶夫斯基方程，简称g p 方程： 疏昱竽：【一要二_ v z + 杉聊( 尹) 】少+ i yi zy o l厶m 因此对于g p 方程的求解就很重要了。当然，因为它是一个非线性方程，各种势阱下的 g p 方程是很难精确求解的。目前在好多势阱下的g p 方程都已精确求解 6 1 7 。特别是 维谐振势下， 9 3 ， 1 0 已经给出了精确解，还有各种特定势阱下的精确解，比如 1 1 ， 1 2 ， 1 3 ，还有周期势阱 1 4 。这么几种阱下描述凝聚体的动力学行为的解已经找到， 但要想使得孤子发展到应用层次，还需很多工作要做。这里，我们尝试添加一些操作， 比如线性势，增益，或调节原子间的相互作用，看这些操作对孤子有什么影响；然后， 根据这些影响因素的不同作用，可以为利用孤子提供一定的思路。 在光纤通信中，限制传输距离和传输容量的主要原因是“损耗”和“色散”。“损耗” 使光信号在传输时能量不断减弱；而“色散 则是使光脉冲在传输中逐渐展宽。所谓光 脉冲，其实是一系列不同频率的光波振荡组成的电磁波的集合。光纤的色散使得不同频 率的光波以不同的速度传播，这样，同时出发的光脉冲，由于频率不同，传输速度就不 同，到达终点的时间也就不同，这便形成脉冲展宽，使得信号畸变失真。现在随着光纤 制造技术的发展，光纤的损耗已经降低到接近理论极限值的程度，色散问题就成为实现 超长距离和超大容量光纤通信的主要问题。光纤的色散是使光信号的脉冲展宽，而光纤 中还有一种非线性的特性，这种特性会使光信号的脉冲产生压缩效应。光纤的非线性特 性在光的强度变化时使频率发生变化，从而使传播速度变化。在光纤中这种变化使光脉 冲后沿的频率变高、传播速度变快；而前沿的频率变低、传播速度变慢。这就造成脉冲 后沿比前沿运动快，从而使脉冲受到压缩变窄。如果有办法使光脉冲变宽和变窄这两种 2 西北大学硕上学位论文 效应正好互相抵消，光脉冲就会像一个一个孤立的粒子那样形成光孤子，能在光纤传输 中保持不变，实现超长距离、超大容量的通信。光孤子通信是一种全光非线性通信方案， 其基本原理是光纤折射率的非线性( 自相位调制) 效应导致对光脉冲的压缩可以与群速 色散引起的光脉冲展宽相平衡，在一定条件( 光纤的反常色散区及脉冲光功率密度足够 大) 下，光孤子能够长距离不变形地在光纤中传输。它完全摆脱了光纤色散对传输速率 和通信容量的限制，其传输容量比当今最好的通信系统高出1 - 2 个数量级，中继距离可 达几百k m 。它被认为是下一代最有发展前途的传输方式之一。 鉴于非线性薛定谔方程还可以描述光孤子的传输问题 1 9 2 7 ，其中m a r t i n c e n t u r i o n 等已经在实验上实现了光学系统中的非线性管t 翌 1 9 】，a g r a w a l 等给出了在该 波导管中的自相似孤子解 2 1 ，李录等研究了梯度折射率波导管中的暗孤子传输 2 3 。 我们这里专门用一章的内容来讨论波导管中的光孤子传输问题，得到了一些较好的结 果。对孤子的动力学研究都是基于描述孤子的解析解，利用解析解，我们计算了描述孤 子形状演化函数以及孤子中心的运动学方程。它们可以在一定程度上提供一些很好的方 法去控制孤子的动力学行为。特别地，在梯度折射率波导管中，可以任意添加某中附加 性结构来控制孤子中心的运动或轨迹。作为例子，我们研究了在一种长周期光栅波导管 中的光孤子传输问题。我们发现，光孤子可以被该长周期光栅控制其运动，且可以不影 响孤子的形状。这将为孤子走向技术应用提供一个有用的工具。 全文结构如下：第一章引言；第二章研究几种势阱下的凝聚体的动力学行为：第三 章研究波导管中光孤子传输问题。 3 第二章玻色爱冈斯坦凝聚体中的孤子动力学 第二章玻色一爱因斯坦凝聚体中的孤子动力学 我们已经知道了大自然中存在这么几种状态：气态、液态、固态、等离子体。而我 们早已知道前三种状态出现在常温下，对于等离子体则是出现在极高温情况下。而当温 度降低到一定极限时，会发生什么? 在1 9 2 5 年，玻色和爱因斯坦就给出了这个问题的 答案。他们指出，玻色子在非常低的温度下，可以突然跌落到最低的能级上，就像一座 大楼突然塌的大楼一样，处于这种状态的大量粒子的行为会具有很好的一致性。这种状 态被人们称为凝聚态。这个预言出现后，人们一直努力去验证它，得益于激光技术的发 展和囚禁原子技术的实现，直到1 9 9 5 年，人类才在试验室里实现了碱金属气体原子的 玻色一爱因斯坦凝聚( b e c ) 卜4 。 实验上实现b e c ，大致分为以下步骤：( 1 ) 先用磁光阱在室温下捕获冷原子，再用 光学黏团使之冷却到几百至几十肚量级；( 2 ) 把冷原子团装载到静磁阱中，利用蒸发 冷却方法把气体进一步冷至l o o n k 数量级，达到b e c 转变温度。在这一过程中一般还采 用绝热压缩技术来提高原子密度。 值得注意的是，原子团形成b e c 时，原子的物质波波长大于原子间距，整个原子体 系成为一个整体，物质波相互覆盖，可用统一的波函数描述。这也是b e c 的最主要的特 征。人们在平均场近似下，找到了描述凝聚体动力学行为的方程格罗斯一皮达耶 夫斯基方程，简称g p 方程： 历譬：卜芒v z + ( 纠杪+ u ol y 2y 研z m 因此对于g p 方程的求解就很重要了。当然，因为它是一个非线性方程，各种势阱 下的g p 方程是很难精确求解的。目前在好多势阱下的g p 方程都已精确求解 6 一1 7 。特 别是一维谐振势下， 9 ， 1 0 已经给出了精确解，还有各种特定势阱下的精确解，比 如 1 1 ， 1 2 ， 1 3 ，还有周期势阱 1 4 。这么几种阱下描述凝聚体的动力学行为的解 已经找到，但要想使得孤子发展到应用层次，还需很多工作要做。这里，我们尝试添加 一些操作，比如线性势，增益，或调节原子间的相互作用，看这些操作对孤子有什么影 响；然后，根据这些影响因素的不同作用，可以为利用孤子提供定的思路。 通过对量子力学的学习，使得我们对薛定谔方程有了很好的了解。它是个二阶的 4 两北人学硕上学位论文 线性微分方程，在不考虑粒子间的相互作用时，能给出很好的描述。但我们知道，物质 问的相互作用在真实世界中无处不在。考虑了粒子与粒子之间或粒子与背景场之间的相 互作用后，这将导致系统的哈密顿量和相应的动力学方程表示成非线性形式。本章将从 g p 方程出发来研究b e c 中的孤子动力学行为。 2 1 格罗斯一皮达耶夫斯基方程 2 0 世纪7 0 年代以后蓬勃发展起来的激光冷却与囚禁原子的实验技术趋于成熟，还 有静磁阱和蒸发冷却技术的发展，是实现玻色一爱因斯坦凝聚( b e c ) 的前提。目前全世 界已有3 0 余家实验室实现了b e c ，主要是对1 日，4 1 k ，7 f2 3 n a ，8 7 尺6 等原子。上海光机 所王育竹小组于2 0 0 2 年实现了铷原子的b e c 。要研究凝聚体的动力学行为，我们必须 先找到描述其动力学行为的方程g p 方程。 我们知道，实现b e c 的环境下，温度是接近绝对零度的。在如此低温下，原子的动 量将会很小，考虑德布罗意关系可以知道原子的物质波波长会比原子相互作用程大得 多。加之原子的密度和能量也很低，这使得原子间彼此靠得很近的可能性极小，因而可 认为原子间相互作用很弱。它可以被量子力学中讨论过的s 一波散射所支配，所以我们在 理论模型中只需考虑二体碰撞，而略去三体及以上的多提碰撞。 s 一波散射可用散射长度a 来表征( 参看文献 2 8 的第二章) ，a 0 对应排斥势，a = 以i “，l ，以一l ， ( 2 1 5 ) 筇i “，l ，m ， _ m + li 0 ，l ，m + 1 ， ( 2 1 6 ) 且有玻色对易关系： 【a 。，a t 】= 【a j ，计】= 0 ，【瓯，a ? 】= ( 2 1 7 ) 因为当系统出现玻色一爱因斯坦凝聚时，具有能量最低的单粒子念的粒子数0 变得很 大，具有数量级。所以o 0 + 1 ，可有 鼠，口0 4 - 】= 鼠菇一菇鼠0 ( 2 1 8 ) 则可以近似有彘= - i - = 瓦成立。对于在体积为v 的均匀气体，具有零动量的单粒子 态为甄= 专p 眵列 = 专，于是场算符可以分为两部分： 婀) = 莓蹦啤嘲磊+ 篆( 碱= 侈桫( 力( 2 1 9 ) 刀p u _ 第一项为凝聚部分，是常数，第二项为非凝聚部分，是算符。这是空间均匀的情况。 现在，我们将博戈留波夫平均场近似推广到空间非均匀和与时间有关的情况。将玻 色场算符汐( 尹，f ) 分解为 汐( 尹，f ) = ( 尹，) + 痧( 尹，) ( 2 1 1 0 ) 6 西北人学硕士学位论文 其中，矽( 芦，f ) 是复函数，它是场算符的系综平均值： 矽( 尹，f ) 毫 ( 2 1 1 1 ) 它表示的物理意义为：i 矽( 尹，f ) 1 2 代表凝聚部分的密度，汐7 ( 尹，f ) 描写围绕平均值的量子涨 落和热涨落，且 = 0 。将( 2 1 1 0 ) 带入( 2 1 4 ) 可得矽( 尹，) 所满足的方程为 历昙婀力= 卜嘉v 2 + ( 纠好力+ u o n o i # ( 和) | 2 好，) ( 2 1 1 2 ) 若归一化条件取为 i d 3 尹l ( 尹，t ) 1 2 = 0 则方程( 2 1 1 2 ) 可化为 ( 2 1 1 3 ) 疏昙婀力= 【- 篆v 2 + ( 聃u o l ( 力讦揪础) ( 2 - 1 1 4 ) 该方程是关于( 尹，f ) 的非线性薛定谔方程，被称为格罗斯一皮达耶夫斯基方程，简称g p 方程。方程中的与s 一波散射长度口有关。散射长度可以在实验上任意调节，从而可 以达到控制粒子间的相互作用。在后面第三章的内容里，我们主要是求解几种不同的g p 方程，从而来研究不同的操作对b e c 中孤子的动力学行为的影响。 2 2 一种抛物线势阱和复势阱下的b e c 目前为止，关于抛物线势下的凝聚体的动力学研究，已经取得了较好的结果。比如： 梁等已经利用达布变换方法给出了在非平庸背景上的亮孤子解 1 1 。但是这种解法中， 要首先得到非平庸的种子解，而非平庸的种子解一般是较难得到的。我们此处将利用达 布变换方法，从最简单的平庸解来给出相应的孤子解。考虑抛物线势阱下的b e c ，且存 在凝聚体与原子团之间的交换( 可用一复势阱来描述) ，此时的g p 方程为 统昙如，f ) = 【一篆v 2 + ( 卅u 愀力) 1 2 砌彤( 力) ( 2 2 1 ) 其中，u ：塑笙口，( ，) ，口，( r ) 是含时的s 一波散射长度，l 代表粒子间的相互作用属性， “+ 表示粒子问相互排斥，“一 表示粒子间相互吸引。k 唧( 尹) = v o ( y ，z ) + “ ) ， 7 第_ 二章玻色- 爱因斯坦凝聚体中的孤子动力学 圪( j ，z ) = ，r 2 ，、，2z 2 ) 表示圆柱形势阱，k ( x ) = 一等x 2 是沿着方向的抛物线势阱。 r 0 表示凝聚体从原子团得到原子，反之代表失去。上面这个方程一般情况下不能精 确求解，可以近似求解，或采用恰当的数值解法进行模拟。但是在一些特殊情景下，我 们可以将它变换为一维g p 方程进行精确求解。 假设横向的相互作用能远小于其动能，这时我们可以假定凝聚体波函数具有下面的 形式： 船力一丽1e x p 【_ f 叫等】y ( 毒州) ( 2 2 2 ) 将其带入( 2 2 1 ) ，令瑶：譬，y ：三， 缈?彩。 半径，可得 口( r ) ：型以及是玻尔 a b z 等+ 窘州叫沙2 ，b ，- i - 扣咖+ ，彤= 。( 2 2 3 ) 我们选取口( f ) = 2 9 。e 砧+ 2 声为相互作用因子，由下式决定其大小 盘( ) = 辔其中q 为s 波散射长度，m 为粒子质量，吼为谐振势的频率，n 为粒子数，k 反应复势阱对g 。的影响。 令y ( x ，f ) = q ( x ，t ) e x p 一i & x 2 4 一九f 2 一州，带入( 2 2 3 ) 式可得 令其l a x - 对为： f q + q l 一玩x q i 2 0 q + 2 9 。iq | 2 q = o ( 2 2 4 ) j x = u f ， t = v f u 化y = ( 三三) ，= ( 三! ，) ，尸= ( 吕苫) 8 两北大学硕l 学位论文 彳= q ( x ，f ) 旯”。 j = 0 b = 吃( x ，) 五” 由可积条件u k “u ，v 】= 0 得 只- x 吆旯叫+ 2 旯色兄州- 2 p - a ，兄州= o j = 0j = 0j = o g f - x c p 见”一，- 2 2 歹 c j 2 , ”一7 + 2 9 口旯”7 = 0 当五，- - - f 允时，可得 以及 b o = c o = 0 a j x = p c j q b j 、j n 一1 、) b p = 2 b ，+ l 一2 p a ( n 一1 ) c 矗= 一2 c ，+ l + 2 q a ( 挖一1 ) f = a 疗一1 工一p c 行一l + g6 疗一l p f = b 月j + 2p a 行 q f = c 疗工一zq a 厅 令p = g q ，q = 一g 耍， 我们取n = 2 ，则有 9 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ， 肛 见 db，l 巳 。间 = c o i i 一厅 允 l 口 。脚 g 一 一疗 兄c 。脚 p + 一 允 x 口 。脚 一 以 o i j ， 卜 兄 0 。脚 g + 肛 兄 q 。脚 p 一 卜 见 工 巳 。脚 + 丑 一 j 茎兰巴望篷芝型型塑茎堡主堕堡王垄垄兰 a o = 口o ( f ) b i = p o t o ( f ) c i = q a o ( f ) f = a i ，一p c l + 9 6 jj 口l = 乒 6 2 = 三嘣却，+ p 乒 c 2 = 一j 1 ( f ) 吼+ g 垂 啦，= a o ( f ) 9 2 l q 仨j 哆= 昙o ) 9 2 1 0 1 2 + k ( f ) 带入( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 可得 赠一三1 ( ，) 线一，乒q 一，( f + 2 k ( ，) ) 9 一辔2 a o ( ，) 蚓2 q ：o ( 2 2 7 ) 一i q 一, 一f 毒( f ) 磊+ ，乒或+ ，( f 一2 k ( ，) ) 虿一i g ：a o ( ，) f 纠2 虿：o ( 2 2 8 ) 与( 2 2 4 ) 式比较可得 c t o ( t ) = 2 i ，f = 厶，g = i ，k ( ，) = 0 令厂= ( 妻) ，l a x 一对的具体表达式为： 鼢( 一南霉瑚 似1 ：f i 2 2 2 + 2 0 x 2 + i g o 剑2 f 狐f 劢v - - + f 庇+ 瓜x 升确1 l f 牺允+ 佩丽逦f 2 名一九以一f d 2 尺缟j 我们从零种子解进行变换，即有p = 0 ，五= ( 口。+ i f l l ) e a 。f ，此时l a x 一对为： 鼢r 跏0 七。+ 。i p l ) e w i 珐；i 一( q八欢 ( 芝：) = ( 汜( q + 循户，和毒厶工( q + 埚弦却一，2 。q + 编，：p ：砧o! ) 解e 面i g + 7 亨程绢，可以得到 诌= a 1e x p i ( a l + 瞩) 2 p 2 印l a o + ( 口l + i f l i ) x e 五。】 欢= a 2e x p 一i ( a l + 瞩) 2 p 2 7 矗一( 口l + 猖) x e 。】 贝f j 盯= 办缟2a , e x p - i 2 ( a l + 瞩) 2 p 2 矗7 厶一2 ( a 1 + 谄) x p 7 】 1 0 西北太学顾h 学位诧女 由n l s 梯队可有： 小，哗铲 则由p 似，) = q ( x ，t ) e x p z 2 4 一砧，2 一州和p = g q ，可得 y ：螋堕竿塑= 塑d 骘塑丝蔓坐坠盥! ：坐! ( 221 0 ) 岛 l + 彳“p 【r 4 口l 删却+ 断i 岛e w 】 这样，我们就得到了描述凝聚体动力学行为的解析解。利用此解，我们可以做出它的三 维演化图，以方便地研究它的动力学行为。通过作图，我们发现，这个解是凝聚体中的 一个孤子解，它的演化行为基本上是孤子行为。下面，我们详细研究在各种情况下它的 动力学行为。 图l 没有复势阱下的孤了演化。对应的参数 值自a - 2 ，1 3 - 02 ；b 0 ，0 3 ； a = 1 0 ；g = o2 b ，k - 0 ；y - 0 。赫中丑 o 说叫非 线性项随时问递增，目u 看到孤了峰值的确 在随时增加宽度被排缩。 阳2 秘 圈2 没肯复势阱下的孤了演化。对麻的参散值 * 萨2 j 8 02 ， 一一00 3 ： = l0 f g - o25 jk - o ；t - o 。儿中a ( o 说明非线 性项箍时间递减，q 以看到+ 孤了峰值确在随 时间减小，宽度袱展宽。 当 0 ，= 0 时，对应的物理情景是只有抛物线势阱和随时间而变的非线性相互 作用。因为势阱结构与丑的符号无关，但非线性参数则与其直接相关( n o ) = 2 9 0 e 2 ) ， 此时可以知道非线性相互作用随时间增强。因为这是非线性相互吸引作用，这就意味着 原子间凝聚效果加强则此时的孤子波包被压缩，则其宽度变小，峰值随时问增加( 如 图1 所示) 。同样的道理，我们可以知道，当丑d ( 0 ，= 0 时，孤子将逐渐扩散，即宽 生 塑引鞴群垫州埘虿 堑h 型 第= 章玻色- 爱棚斯坦凝聚体中的孤子动力学 度渐宽，峰值逐渐变低( 如图2 所示) 。 圈3 在 = 2 y 条件下的孤于演化圈图中参赞取值为： 口1 2 ；i - o2 ；扣o0 2 ；a - 1 0 ；g - 02 5 ；7 - 一0o i 。以看到孤于的峰值 是很稳定的。 当我们考虑复势阱，这里的复势阱对应着凝聚体与冷原子团的粒子交换。通过调节 交换速度，可以控制复势阱的大小。我们发现：当 = 2 y 时，孤子的峰值是一个定值， 如图3 所示。由上面的讨论我们知道，当a 0 时，孤子被压缩，峰值在无增益情况下 是增加的，此时由于增益的存在使得其峰值不再增加( 因为此时对应的增益为负增益) ， 而宽度依然是被压缩的。这说明减少凝聚体的原子数会使得凝聚体中孤子的峰值变小。 而且，当卫 2 y 时，峰值的平衡会被破坏，在这两种情况下，孤子峰值分别 会逐渐变小或增大。当 0 时，孤子的宽度依然会被展宽，其它类似的结论仍然成立。 以上结论是我们通过作图分析获得的，下面，我们通过解析计算来证明我们的结论 是正确的。 从波函数解出发，取其模方可得波包解。我们定义孤子波包的峰值对应其中心，峰 值的一半对应的宽度来描述孤子的宽度。则可有 任意时刻t ，孤子峰值为 l y i = 等e x p 【巾 ( 2 29 ) 任意时刻t ，孤子的宽度为 即) = 芸h i 3 + 2 丽4 ( 221 0 ) 通过简单的分析，我们可以知道前面的结论是精确成立的。 磐 旱 西北大学硕上学位论文 我们知道在温度非常低时，原子运动非常缓慢，这时重力的影响应该是很明显的。 那么，像重力场一样的线性势对孤子的影响是怎样的呢? 2 3 线性势对孤子的影响 我们先研究在上面势阱的基础上考虑重力的影响时，孤子行为会发生怎样的变化。 然后我们再讨论一下，如果把其它束缚阱去掉只剩下线性势，这时b e c 中孤子会怎样演 化。发现在第一种情况下，重力势或是其它线性势的作用只是平移孤子的位置而己，不 影响孤子其它的任何行为。但在第二种情况下，孤子的行为发生了较大的变化。 ( 1 ) 第一种情况：在上节的势阱保持不变，我们考虑重力的影响，即多了一个线性 势h ，其中k 受冷原子的质量和重力加速度决定 2 9 。此时，描述孤子动力学行为的 方程将变为 f 詈+ 警州制2 , + 1 4 t 2 x 2 驴, + 触y 埘y = o ( 2 3 1 ) 利用类似于上节的方法，其l a x 一对为 ( 州一南霉胁= ( 罢驯小2 3 2 ， 其中 么= 2 f f2 + ( 触+ 2 七允) f i g 。i q l 2 一i k 2 2 旯2 b = 一2 i 瓜q 一 瓜qx + 厄q l 九x + 2 k n c = 2 i 厄歪 + i 厄趸x 一厄矾丸x + 2 k ；o 遇短达彳扫父秧，日j 以彳岢到力程l z 0 工) 州m 牟刀 i ：尘! 丝! 翌翌 ( 2 3 3 ) = 7 = = 上= _ = _ 二一 kz j j ， g o 1 + 名e x p 缈】 其中 口= 署( q 一编) 2 p 拙一第( q 一编弦m 一7 i t d t 一2 ( q 一编p 矿+ 2 t 1 2 - i 2 x 2 4 一声一i k x 允， 缈：半一警一4 口r 。 aa 2 若假定孤子峰值对应孤子的中心，半值宽度对应孤子的宽度，可以计算得到： 孤子峰信为 第= 章玻色_ 爱目斯地凝聚件中的弧于动力学 孤子的宽度为 忆( f ) 2 等“p 1 ( 匆) f 】 ( 23 4 ) 矿r f l ：! i n 一3 + 2 x 2 、。4 口。3 2 2 从上面两式，我们知道重力势在此势阱下对孤子的形状没任何影响。与( 2 2 9 ) 和( 2 2 1 0 ) 对比，可以发现。孤子的形状演化与先前完全相同。 9 韵 开甍 田4 ( a ) 不考虑重力时，在抛物线势阱和复势阱f 的孤子演化图，参 数取值为懈2 邝= o2 ； = - o0 2 ；a - 1 0 ；g - 02 5 jk = o jy 00 1 ；( b ) 考虑重力时，在该阱r 的孤子演化图，k - 一0 0 0 0 8 其它参数同( a ) 。可 以看到掘子彤状演让相同只是孤子中一0 做了一个平移。 计算其孤子中心运动方程，得 = 警e 半一等 妯， 2 口丑 、 可以发现重力势对孤子中心的影响，只是对孤子初始位置有了一个平移，除此之外，没 有其它影响了( 如图4 ) 。说明在我们这种势阱背景下，孤子是很稳定的，加一个任意线 性势对孤子的动力学行为没有任何实质上的影响。但这又给我们提供了一个控制孤子运 动的方法，只要满足我们的可积条件，就可以通过任意叠加线性势来改变孤子的位置或 运动且同时可以保证不影响孤子的形状。这将为孤子应用提供一个很好的实验平台。 ( 2 ) 去掉抛物线势，来考察孤子在重力势下的动力学行为【2 9 】。此时孤子方程将变为 f 詈+ o 毋2 v ：, , 州制2 川h 州) y ；o ( 2 ”) 由可积条件得口( f ) = go e2 ”观察解( 2 3 3 ) ，可知此方程的解不能简单地从 西北人学硕 ：学位论文 它退化，因为在( 2 3 3 ) 中，五在分母中，不能取零。所以我们必须利用达布变换方 法重新求解。解得 一4 吐 e x p o 炉蔷丽 ( 2 3 8 ) 其中9 = 一2 ( a - 泸) z + 黼+ 4 i ( 口一班) 2 t + 2 k t 2 一班) 一3 t _ _ k 2 t 3 _ ， 缈= - 4 a x + 1 6a , ef + 4 a a 2 。 同样可以求得，孤子的形状演化函数为： 宽度 峰值 矽( f ) ：士l n 3 + 2 x 2 ( 2 - 3 9 ) 4 口3 2 4 2 7 ( 2 3 1 0 ) 孤子中心的位置为 t ：4 f i t + 幻2 + 警 ( 2 3 z o f 可见，孤子的形状只跟增益参数有关，而与线性势无任何关系( 见图5 ) 。此时线性势作 为一个力场，它对孤子的力效应可以从中心运动来显现。通过对位置函数求一阶导与二 阶导可以获得孤子任意时刻的速度与加速度，分别为 k = 4 , a + 2 k t ， 哝= 2 k ( 2 3 1 2 ) 从这两个式子，我们可以很清楚看到孤子的粒子性行为。在一个常线性势下，孤子的加 速度为常数，可以视为匀加速直线运动。这无疑将为孤子走向实际应用提供强大的理论 支持。 特别地，当无增益时，我们的解可以退化为众所周知的经典孤子解。其形状不发生 任何变化。这一点可以从图6 看到，也可以通过式( 2 3 9 ) 与( 2 3 1 0 ) 来证明。 1 5 笙孙 i i 觚y 第二章玻乜i 爱国斯坦凝聚体中的孤了动力学 ；。 警。镬戳20 o “疋、八 i 、 撼参跫、髻 、7、“t x ”一 图6 线性势f 孤子演化图。其参数取值为 a = 01 ；d = o1 ；k = 0 0 4 ；q = 0 2 5 ；a = 1 0 0 0 。可以看到孤子峰值是常数。 总之，在谐振势背景下线性势只是平移孤子的位置，而对孤子的动力学性质无影 响；孤子动力学受束缚阱、散射长度和增益项控制。若只在线性势下，则可以看到此时 孤子整体存在明显的加速效应，而且此时加速度与线性势的关系符合牛顿第二定律； 孤子的形状则可以在无增益情况下予以严格保持。 望 西北学硕七学位论文 第三章波导管中的光孤子传输 由于光孤子的稳定性好，抗干扰能力强等原因，使得光孤子通信称为非常有潜力的 产业之一。但是光孤子真正投入通信应用之前，人们必须对它的传输性质有很成熟的研 究。这使得近年来，光孤子传输特性的研究称为热点【2 0 一2 7 。由于该传输方程可以简化 为对非线性薛定谔方程，所以我们可以利用与前面类似的方法来对光孤子进行研究。 3 1 光脉冲的传输方程 同所有电磁现象一样，光纤中光脉冲的传输也服从麦克斯韦方程组，有 v 雪：一c 3 b ( 3 1 1 ) a f v 膏：歹+ 竺 ( 3 1 2 ) d ， v d = p ， ( 3 1 3 ) v 雪：0( 3 1 4 ) 式中，e ，h 分别为电场强度和磁场强度矢量；d ，b 分别为电位移矢量和磁感应强度；j 和乃分别表示电流密度矢量和电荷密度，为电磁场的源。因为在光纤中无自由电荷， 所以有= 0 ，p l = 0 。 由电磁学知识，可知 6 = 。龟+ 争，a = u o a + 妇 ( 3 1 5 、) 其中，p ，m 分别为感应电极化强度和磁极化强度，在光纤这样的无磁性介质中m = 0 。 对式( 3 1 1 ) 两边取旋度，并利用( 3 1 2 ) 和( 3 1 5 ) ，用e ，p 消去b ，d ，可得 v 概扛上c 2 丝& 2 确第 ( 3 1 6 ) 为完整描述光纤中光波的传输，还需要找到电极化强度p 和电场强度e 的关系。当光频 率与介质共振频率接近时，p 的计算必须依赖量子力学方法。但在远离介质的共振频率 处，p 和e 的关系可唯象地写成 户：c o ( z ( 1 ) 窟+ z ( 2 ) ：髓+ z ( 3 ；左越+ ) ( 3 1 7 ) 1 7 第三章波导管中的光孤了传输 其中，6 0 是真空中的介电常数，z 7 为j 阶电极化率，考虑到光的偏振效应，z 为j + 1 阶张量。如果只考虑与z 3 有关的三阶非线性效应，则感应电极化强度可由两部分组成 户( ，) = 立( 厂，) + 晚( ，) ( 3 1 8 )