（应用数学专业论文）关于非线性volterra随机泛函微分方程一些问题的研究.pdf

摘要 本文对一类具体的非缉陡泛函微分方程进行了研究，在保证方程解的存在唯一 的基础上，给出了方程零解均方渐近稳定的充分条件，零解几乎必然指数稳定的充 分条件以及解的其他性质的充分条件 全文共分成三章 第一章主要介绍了随机微分方程的研究背景，一些预备知识，包括文中用到的 的一些记号和理论基础；同时又简单介绍了以往的相关研究结果，以及本文定理证 明所用到的定义和引理 第二章是文章的主体部分，首先给出了所研究方程的解存在唯一的条件，在此 基础上给出了解的一些稳定性的结果及有界性等结果，其中包括零解均方渐近稳定 的充分条件，零解几乎必然指数稳定的充分条件等 第三章给出几个关于零解的稳定性的具体随即泛函微分方程作为例子，并做出 相应的解曲线图 最后，总结了本文的创新点，同时提出了本文的改进方向，并列出了研究中所参 考的主要文献 关键词：非线性随机泛函微分方程；v 0 1 t e r r a 方程ir o z “m i 女 n t 鲫e 方法；均 方渐近稳定；几乎必然指数稳定 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t o3c h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，、v ei i l t r o d u c et os o m e b a c k g r o u n do fs t o c h 8 s t i cd i 髓r e n t i a le q u a t i o n s 姐dt h ep r e h m i n 缸yw 1 1 i c 王li n c l u d e s o m en o t a t i o n sa n db a s i ct h e o r yt h a tw ew a n tt ou 8 e ，a l s o ，r ei n t r o d u c et os o m e r e l a t e dr e s u l t si nt h ep a s ta n dt h ed e 矗n i t i o n sa n dl e m m at h a 土w ea p p l yt op r o o f t h et h e o r e mi n 恤i sp a p e r t h ec h 印t e r2i st h em 缸nb o d yo ft h ep a p e r f i r s t l m 、v es h o wt h ee ) i s t e n c e - a n d u i l i q u e n e s 8c o n d i t i o no ft h ee q u a t i o n st h a tw ew a 肛tt o d i s c u s s s e c o n d l mw e 。b t a i ns o m er e s u l t so fs t a b i l i t ya n db o u n d e d n e s 8 ，w h i d li r l c l u d es u m c i e n tc o n d i t i o i l sf o rm e 龇ls q u a r ea s 珊p t o t i c a ls t a b i l i t y 毗l da h n o s ts u r e e x p o n t 锁砖i a ls t a b i l i t yo fz e r o8 0 l u t i o n i c h a p t e r3 ，s o m ee x a 肛巾l e 8a n dg r a p h sw i l l b eg i v e nt ov 以i d a t et h et h e o r e mw eh a v e a tt h ee n do ft h i sp a p e r ，t h ea u t h o rs u m m a r i z e st h ei n r l o v a t i o n 5a n dp r o p o s e 8 t h ed i r e c t i o no ff u t u r ew o r k f i n a l l 弘r e l 砒e d1 i t e r a t u r e sa r e1 i s t e d k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs t o c h a s t i cf u n c t i o n 以d i 脑e n t i a lb q u a t i o n s ；v b l t e r r ae q u 孙 t i o n s ；r 口g 让m i 七 轨一t 卯em e t h o d im e a ns q u a r ea s y m p t o t i c 出s t a b i l i t y ；a l m o s t s u r ee 坤o t e l l t i a ls t a b i l 姆 i i 独创性声明 奉入声鹾嚣璧交静学佼论文楚本人在鼙癀摆导下避行豹磷究工律及取得翡轿究残袋。 据我所知，除了文中特别加以标滋和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过戆褥突残暴，迄不惫会为获缳奈j 溪蘧夫掌鬟筵链教育收蒜懿擎位或谖书嚣使雳避 的材料。与抟一同工作的同志对本研究所做的任何赁献均已在沦文中作了明确的说明并 裘示澍意， 学位论文俸者签名墨期 学位论文版权使用授权书 本学位论文佟者完垒了解东j e 筛范大学有关保留、使用学位论文酌规定，即：东北师 范大学霄权保留并向国家有关部门或机构遴交学位沦文的复印件和磁盘，允许论文被查 阕稳螫瓣。本入授权东j t 萝萋范大学可班赘学位论文的垒部或部分志容编入有焚数据痒进 行检索。可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 f 保密戆学霞论文在解密器适合零援投书) 穆者签名：鞋蠡缝指导教娜签名：i ! 薹兰 日期：塑窭：堕：；1 日 期：是! 型鲢r3 学位论文 筝考拳翌黪去自； 工作单位；趣遮型地盘话： 通讯地址 邮编： 】1 研究背景 第一章绪论 众所周知，微分方程不仅是科学理论中重要的认知工具，而且还在实际生产生 活中发挥着不可缺少的作用，它被广泛应用于医学，物理，机械，通讯等许多实践领 域 例如一类经典的二阶微分系统 e n n r d 系统在实际领域中的应用 三级管震荡方程口md e rp 0 r 方程【1 1 1 z ”+ 弘( 护一1 ) f 十z = 0 ， 其中p 是正常数 在考虑无线电通讯技术问题时遇到的方程 l z ”+ ( r 币( z ) ) z + 芸= o 其中l ，_ g 是正常数，分别代表电感系数，电阻和电容，$ 是电流强度 随着社会经济及军事的发展和科学水平的提高，实践对微分方程自身理论的发 展也相应的提出了更高的要求上述的无时滞的确定性微分方程在科学研究中有相 当重要的作用，而实际生活中，事物所处的环境存在大量随机的偶然的因素，对事物 的变化产生影响有些时候，这些随机困素并不会对事物的运动产生根本性豹影响， 系统建模时如果对精度的要求不高，或者只希望研究其大致的运动特征，我们可以 不对这些随机因素加以考虑，以便使模型相对简化但有时，随机因素会影响到事物 运动的本质，这样我们就必须对其加以考虑，否则建模就会偏离实际， 一个比较典型的例子就是人口增长模型f 6 】 掣刮帅) ，( 0 ) = 肌 其中，_ v 表示t 时刻人口数量n ( c ) 表示t 时刻人口增长率 由于传染病，战争，自然灾害等等一些有重要影响的天灾人捐的存在，。( f ) 是不 能完全确定的困此有n ( ) = r ( ) + ”白噪声”，这里的r ( ) 是一个确定性的函数 很多学者在研究中发现，”白噪声”大多可用维纳过程来代替，般记为w ( ) 日本 很多学者在研究中发现，”白噪声”大多可用维纳过程来代替，般记为w ( 亡) 日本 1 学者，j 认为，维纳过程是最基本的扩散过程，并基于此建立了，惦随机微分方程 ( s t o c h a 8 t i cd i 髓r e n t 谳e q u a t i o i l s ) 如果用维纳过程w ( t ，u ) 来代替”白噪声”，则 人口模型可修改为 d ( t ) = r ( ) ( ) 出+ o ( ) d - 矿( t ) 另外，事物的运动多数不仅取决于当前状态，而且还受过去状态的影响，所以微 分系统都或多或少的存在滞后问题，如多阶层多回路，多输入与多输出之间的影响， 具有反馈的网络控制的影响在实际问题的研究中，有的滞后因为对系统影响不大 可以忽略，但有时就不能忽略，比如神五，神六的发射，一秒钟的误差可能就会导致 无法估量的后果不仅如此，有时为了系统能正常工作，还会有目的的将滞后引入系 统，例如，房间中的温度控制系统一空调，如果不引入滞后，恒温控制继电器就会连续 不断地抖现根本无法达到室内温度测试与控制的日的为了更精确的描述过去状态 对系统的影响，人们在微分系统中引入刻画过去状态对系统的影响部分，即延迟项 之后便出现对这一具有实际意义的微分方程泛函微分方程( f u n c t i o n a ld i 船r e i l t i a l e 掣【a t i o n s ) 的大量研究如，泛函微分方程的解的存在性，有界性，稳定性，分支问题， 以及与其他学科的联系等等 学术上对随机微分方程的研究成果也很多，使得微分方程理论得到更进一步的 发展，但与确定性微分方程相比，随机微分方程理论显然的还不够成熟而既有随机 项又带有时滞的随机泛函微分方程( s t o c l a s t i cm n c t i o n a ld i 脑e n t i a le q u a t i o n 8 ) 虽 然备受关注，但研究成果还不多见 对于普通的随机微分方程 ， ld 。( ) = ，( t ，z 0 ) ) d + 9 ( t ，。0 ) ) d w 7 ( t ) ，2o lz ( o ) = z o ， 其中，：r 十毋一即，9 ：r + 毋一彤，w ( t ) 是m 一维分量相互独立的布朗 运动 七十年代饿 m n n ，a r n o f d 等均给出了在，扬积分意义下，上述方程存在唯 一解的条件，同时代的很多文献中研究了类似的问题其中，应用较多的是g o r d 给 出的保证解存在并唯一的条件 ( 1 ) ，( ，z ) 和9 ( f ，z ) 是关于和。可测的函数，其中 0 ，卅，z 彤 9 ( 2 ) 存在着 o ，使得对于任意的 o ，丁1 和z ，y 舻有 ，( ，z ) 一，( ，) l + | | 9 ( ，z ) 一9 ( ，可) i i k l z 一掣| j i ，( ，。) 1 2 + 1 1g ( t ，z ) 】1 2 s r 2 ( 1 + l r ) ， 其中，| _ i 表示向量的模，i l 表示由e u c 托d e n n 向量范数生成的矩阵范数 ( 3 ) 对于任意的t o ，z o 独立于w ( t ) ，且e ( i 。o1 2 ) o ( i ；1 ) i “ lx ( = ( 氓t f f ，o j 这里( t ) 是一维四r n i 。n 运动，初信函数f 是五一可测的e ( _ r ，o ；r ) 值的， 最滚是尽| | 善l | 2 。；露f ：霆昱黪，+ o 。) 置，g ：霞嚣羚，+ 。) 斗霆，c l ，c 2 为取值于【一r 0 1 r 的可测函数，满足 f 0 ，x ( ) ，x 0 一r ) ) 兰| m x ( 瑚+ 6 1 i x 0 一r ) x ( ) f 蕊x ( ) ，x 尊一r ) ) a ，| x ( t ) 2 + l 擘一r ) x 固 i g ( t ，x ( ) ，x ( 一r ) ) i 眈l 爿( 旬【+ 如l x ( 亡r ) l ， rr h ( s 一，x ( s ) ) 、等f x ( s ) i ， l c 2 ( s t ，x ( s ) ) js 等j x ( s ) ，s t 卜r 10 其中8 1 霆，8 t ，l ，玩，女l ，妒文串绘密了方程( i 。1 ) 零辩均方洚 送稳定鳃梵分 条件，零解几乎必然指数稳定的充分条件和解的有界性的充分条件等 下露我弱穷绥零文萼簪用翻懿一骜记号，定义以及警 理。 l 。2 颓巷知识 l 。2 ，l 一些记号 4 概率论是处理随机实验的数学模型所有可能的结果放在一起就形成一个集合 g 称n 中的元素u 为事件在n 中，不是每一个元素都能被观察到或者是使我们 感兴趣将集合中那些可以观测到的( 或感兴趣的) 事件放在一起，构成集合q 的一 个子集族， 定义1 1 如果集合n 的子集族，满足 ( i ) 0 ，其中0 表示空集； ( i i ) a f = a 。，其中a 。= n a 是n 中a 的补集； ( i i i ) a h l lc ，导u 墨l a 。， 那么就称，为n 代数，丽( q ，芦) 称为测度空间，的元素称为，- _ 可测集如果c 是n 的一个子集族，那么在n 上，存在一个包含c 的最小的口- 代数口( c ) ，称a ( c ) 是由c 生成的n 代数 定义1 2 在测度空间( n ，芦) 上定义一个函数p ：，一f o ，1 1 使得 ( i ) p ( n ) = 1 ； ( i i ) 对任何一个互不相容序列 a ，! t ，( 即a n 山= o ，如果i j ) 。、 o 。 p ( ua ；) = 尸( a 1 ) 、t = 1 7 l = l 则称p 为概率测度称三元组( n ，p ) 为概率空间 定义1 3 如果实值函数x ：n 一兄对于任意的d r 满足 u ：x ( u ) n ) ， 则称x 为f 可测的 定义1 4 所谓滤子是一一代数芦的一族递增的a 一子代数，即 1 2 2 理论基础 五c c ，0 s o ，g ( _ 7 _ ，o ；r ) 表示从【一r ，o 】到r 的连续函数l p 的集合，其范数定 义为| 1 = s u pi 妒( 口) | 此外，假设w ( t ) 是定义在完全概率空间( n ，p ) ，且 一r 0 蓬褥对经意静t o 嚣 王慧母l ，如o ( f t e b 昱) ，鸯 丸1 jvl i 西2 f i 时宥 ，尊，1 ) 一，0 ，毋2 ) v j g ( t ，母) 一g “，毋2 ) 1 曼 ，妒1 一九8 势董存在一令矗 0 襞褥怼一臻0 彝辑蠢多g ( 【t 8 k 嚣) 褒缮 l ，( ，垂) vf 9 0 ，纠l ( 1 + l l 妒! 1 ) 根据文献 7 1 ，如果方裰( 1 2 ) 符合( h ) ，则其存在唯一的全局解，在本文中 设为x 豫) 不失一般裴，穰设，o ) = 0 裙窖( ，0 ) = 8 ，簌褥1 2 ) 有一个零 解 1 3 定义及引理 定义1 5 如果对于任意的e o ，存在着d 0 ，使得出| f 1 | d 时，对于一切的 f o 有 e f x ( t ， ) 严 o ，使得对于一切满照l l o ，剃舔方程鳇零勰楚p 一除缒濒近稳定懿，特裁懿，熟暴p = 2 剃我 们称方程的零解是均方渐近稳定的 定义1 6 如果e 蔓( 一r ，o 】；r ) ，穗 h ms l l p 1 9 l x ( ，f ) i i 很设存在一卞萄数 v ( ，z ) g 2 1 ( 一r ，。) r ；r + ) 使得 c 1 1 2 1 9 v 0 ，。) 纯i z l 9 ， ，。) 卜r ，。) r ( 1 3 ) 并豆螽采霄 e v ( + 疗，曲( 曰) ) g e v ( t ，咖( o ) ) ， 一r 曼目0 其中妒= 簪：一r 8 o 奢( 【一r ，翻；固，就膏 露y ( ，妒) s 一大露f ( t ，毋) ， 那么对所有魄( ( 一7 一，o 】；r ) ，下式是成立的 e 1 x ( ；f ) 1 9 罢e 雌肚一12 ，t o 7 f 圭4 ) ( 1 5 ) 冀中7 = = “l i n 土，玩g f ， 引理1 _ 8 殴引理l + 7 的条件都满足版p 2 ，如果存在常数硝o ，1 陡下式成立 嚣| 弹，蚓9 + 蹦。，矧s 捌一装。翻删r ( i 6 j 冀孛 o ，母兔( f r ，噬；霆) ，爨对于磷g 笼( 【一r ，链；显) 鸯 “罂挈1 0 9 i x ( ，) i 量一：一 1 。 其中1 = m i n a ，1 0 9 q t g l 壤l 9 露二掘8 r 不等式) 令，弦，g 拶，熟皋；+ ；2 l ，筘l 受l 有 11 r h 出曼( f 舢( p 鳓； 引理1 1 0 ( g r 。 w f 不等式) 令r o ，c o ，t 0 ，乩u ( ) 魁b 。r “可测的有界 霉受螽数，口( ) 是菲受可积灏数懿鬻 ( ) 墨c + 五“( s ) u ( s ) 如 。茎t r 则 锚) se e v ( s ) 打。墨s ? 引理1 _ 1 1 ( d 。6 鞅不等式) 令 尬) # ! o 为删一值的鞅， n ，叫为r + 上有界区间 磐举p i 置鲳护毯彰) 爨 f 巽黑蚓”) ( 矗) 9 e l 晚p # o h h ，川10 的形式，这样我们就可以对方程( 1 1 ) 构建存在唯一稚定理比较条件( h ) ，若另，艚 满足局部细s c 艇如条件和线性增长条件，那么就需要eg ，q ，也满足以下条件 ( i ) 对每一i l ，2 ，都存程 o ，兔 o 使得对任意的t o 稀饭意 茹，掣，牙，可托，当f z f v f 掣f v 嚣v l 歹l i 时有 l f ( ，z ，9 ) 一f ( ，虿，可) ivi g 0 ，茹，) 一g ( t ，虿，- ) 乜( f 嚣一茸j + 1 可f ) ， 对经意翡兰0 霸强意季l ，毋2 o i t 锈；固，当| | 也| | v 审2 鬟 对宥 l c l 归，毋1 ) 一c t ( 8 ，2 ) lvl 。2 拶，垂t ) 一向( 8 ，如) l 毫l l l 一也弘 ( i i ) 存在 0 ，i 0 徽得对切兰。和任意z ，r 有 | f ( t ，茁，掣) v j g ( t ，。，们1 量 ( 1 + 1 茹j + 1 可1 ) ， 对一切o 程菠露妒o ( 【一t 霆) 舂 ，( ，母) lv1 9 ( t ，) l 曼 ( 1 + l l 妒1 1 ) 。 2 2 莓美稳定性囊毫缝鬃 9 定理2 1 如果 a - 嚣+ g o j f t x ( t )= ( t ) ，t 一r ，o 脊秀褥到 二v ( ，x ) 一2 f f ( t ，x ( ，x 8 一r ) ) 。c 1 ( $ 一，x ( s ) ) 如 x ( ) “： ( 2 3 ) + 【g ( ，。y ( ) ，爿( 一下) ) + 咚( s 一，x ( s ) ) d s 2 j t f 令 一驴= 2 ) 吲学只扭半n 8 学删， 其中1 一兰等丝那么我们有 e 二v ( t ，x ) = 2 e 【x ( ) ( f 心x ( z ) ，x ( 亡一r ) ) 十fc l ( s t ，x ( s ) ) 矗s ) l ，c t + g f g ( ：x ( 臻x 秘一r ) ) + ，盘如一，x o ) ) d s 】2 s 2 e f n l j 并( t ) 2 + “l x ( 一r ) x ( ) l + x ( ) z 一，c l ( s 一# ，x ( s ) ) d 8 十目f 0 2 | x ( t ) i + 6 2 | x o r ) f + f 上一，c 2 ( s t ，x ( s ) ) 幽| 2 由如下不等式 ( 2 n 1 + n ；) f l x ( t ) 。+ 2 6 l e l 五( t f ) 爿( ) j + 2 e i x ( ) ，c 1 ( s t ，x 。) ) d s i + 醒目i j ) ( o r ) 1 2 + e l ，。c 2 ( s t ，x ( s ) ) d s l 2 + 2 啦6 2 e l x ( t t ) x ( ) l ( 24 ) + 2 。2 e l x ( t ) z 一，c 2 ( 5 一。，x ( s ) ) 幽 + 2 6 2 e l x ( t r ) 上一，c 2 ( s t ，x ( s ) ) d 5 i 刨。卜咄s 口u + ( 1 一) p ，u ，o ，o d o ，( = 1 ，2 ，3 ) 可以得到 及 e i x 。一r ) x ( 驯= e “，x ( 圳扎去l x 。一r ) 2 = 目等阳圳2 + e 击陬t 叫j 2 se 等陬驯2 + 去陬z 叫闩 一 e f x ( t ) c ( s t ，x ( s ) ) 如l j t f 等e 忡) 1 2 + 去e 眺) f 2 ( 25 ) e ( f x ( t ) l 。f 。( 。一t ，x ( 。) ) l d s ) j t t e ( 口痒酬d s ) 叫她删n 钉挚m 叫却耶+ 麦( ，1 痒酬删2 】 = 卸酬2 + 去e ( ，l ；酬d s ) 2 f 2 6 1 以及 e i x ( 一r ) z ：，c ( s 一，x ( s ) ) d s l e ( i x ( t r ) i ，“x ( 圳d s ) s 驯x ( t 一刊：。1 1 俘x ( 圳删 se ( 眺一r ) 忆，l ；x ( 8 ) 叫胁刮。俄攀向 e 鲁瞰t 一；汗+ 去( ，i ；孙) 槲 s 鲁掣( t 叫卧去e ( ，l t | d s ) 2 警即卜去e ( ，l ；冲) | d s ) 2 ( 27 ) 另外，我们还可以由方程( 1 1 ) 直接得到 e i 厂。o 一，x ( s ) ) d s i z e ( f 。i c ( s 一，x ( s ) ) i d s ) 2 ，t t j t t 由引例1 9 得到 e ，l ；坤) | d s l 2 ( 28 ) e 口挥酬d s 。5 础厶z 删；( 白挥酬向2 忌r q e i x ( t ) 1 2 1 2 ( 2 9 ) 由( 2 4 ) 一( 2 9 ) ，我们给出 e l y ( t ，x ) ( 2 。+ 。；+ 磋g ) e i x ( 驯2 + e ，f 等x o ) i d s j 2 + 2 ( 6 1 + 。2 如) ( 鲁e i x ( ) j 2 十去e i x ( ) 1 2 ) + 2 铷硎n 麦e ( ，l 等砷凇妒 勘z 鲁掣h 去e ( 正，l j 挈郧) | d s ) 2 + 2 6 2 竽郴h 去e ( 正，l 等酬d s ) 2 2 0 - + + 6 孙( 6 l 怕吲时暑) “+ 等蚓酬2 + r 口如+ 。2 ( 肛：+ 等) + 6 2 ( m + 华) 蚓x ( t ) | 2 p 2p 3 不妨选择 我们有 卢- = 锕，p 瓜，p 瓜m = 压 e l y ( t ，x ) 2 0 l + o ；+ 鹾g + 2 、历( 6 l + 0 2 6 2 ) + 2 ；：丙+ 7 _ q 乜 + 2 2 、亍i 匿+ 2 6 2 q ；同e l x ( ) 1 2 ( 6 ；+ r 如+ 2 6 2 厅瓦) g e x ( ) 1 2 + ( 2 n l 十口i ) e i x ( t ) 1 2 + 2 ( 6 1 + 0 2 6 2 + 、于瓦+ n 2 、彳瓦) 、盾e i x ( ) f 2 = ( a g + b 、履+ g ) e i x 0 ) 1 2 = 半) 2 + b ( 半) + c 】e 1 2 = 一a e i x ( t ) 1 2 = 一a e y ( ，x ) 由引理1 7 ，当，y = m i n a ，f 叼( 口) r ) 日寸 方程( 11 ) 的解满足 e i x ( ) 1 2 e w e i 旧| | 2 而由条件a 十口+ g 0 ，即a + b b + 、压f = 虿丽 一b + 、b 2 + 4 ( a + b ) 西广 =1 1 g = ( 半) 。 瑶 一a = a ( 半) 2 + b ( 学m a x + b x n + c =o 定理2 2 如果有定理2 1 的条件满足，那么方程( 1 1 ) 的零解是几乎必然指数稳定 的，即 l 霉“p ；l g x ( t ，) l o ( 21 1 ) = f ( ) ， 一r ，o 】 1 4 对任意的t 兰o ，( f r ，o j ；月) ，我们有 e f ，( t ，) j 2 + e j g ( t ，砂) | 2 = e l f ( ，( o ) ，( 一r ) ) + ，。c 。( 口，( 目) ) d 目l z + e f g ( f ，妒( o ) ，( 一下) ) + 。c 2 ( 臼，咖p ) ) d 曰f 。 e 1 - ( o ) i + 陋l 咖( 一r ) | + l ，“c l p ，妒徊) ) d 臼i 。 + e “。( o ) f + f 6 2 咖( 一r ) f + f ，。c 2 ( 臼，西( 口) ) d 口j j 2 3 e ( i 。- 妒( o ) | 2 + 1 6 ( 一丁) j 2 + | ，c l ( 甘，曲( 日) ) d 日j 2 ) + 3 e ( f 眈庐( o ) j 2 + 1 6 2 妒( 一r ) l 。+ l ，。c 2 ( 8 ，妒( 口) ) d 目1 2 ) = 3 ( 。2 + n ；) e l 西( o ) 2 + ( 醒+ 6 ；) e i 咖( 一r ) l z + 3 e - ，c l ( p ，曲( p ) ) 删1 2 ( 2 _ 1 2 ) + 3 e l c 2 ( 目，咖( 目) ) 枷。 由引理1 9 有 e c ( 哪( 跏刮2 e ( 卯川。 e ( l 伽脚) 。 曼州，2 艄 伽向。 打一；裳。e 忡) 1 2 ( 21 3 ) 一t 日u 由( 21 2 ) 和( 2 1 3 ) ，得到 e i ，( ，咖) j 2 + e b ( ，) 1 2 令 3 ( n + n ；) e i 妒( o ) 2 + ( 6 + 嚏) e i ( 一丁) 1 2 + r ( 店1 2 础十f 存f z 捌一；浆。e 愀矧。 3 ( n + 胡+ 晴+ b i + 惫l 丁+ 如丁) 8 u pe 毋( 臼) j 2 一r 口 o x ( t ) = ( ) 1 6 t f 一下，o 】 首先证明( 2 1 4 ) ，由引理1 9 和引理11 1 可得 尉一i 墨。i 爿( 5 胴 = e _ ；祟。l f ( o ) + 上( f ( s ，x ( s ) ，x o r ) ) + f ，c - ( u s ，x ( u ) ) d u ) d s + ( g ( s ，x ( s ) ，x ( 8 一r ) ) j h0 。 ，o + c 2 ( “一s ，x ( u ) ) d “) d h 7 ( s ) 1 2 】 j 3 e l i 1 1 2 + 3 e ( ，! 罂+ ii ( f ( r ，x p ) ，x 驴一下) ) + f c ，( 一t ) f ( “) ) d u ) d r 2 ) 0 s tj 0j 、 77 十3 e 器! 。i 上( g ( 一x p ) ，x ( r r ) ) + z ：，c 。( u 一_ x ( u ) ) d u ) d l y ( r ) 一 3 e f | f 胪+ 3 f 心! 。( s z 8 f f ( t x p ) ，x ( r r ) ) + z ：，c - ( “一r ，x ( u ) ) d u l 2 d r ) + 1 2 e f 上( g ( r ，x ( r ) ，x ( r r ) ) + ，：，c 2 ( u r ，x ( “) ) d u ) d 1 ( r ) 1 2 3 e 膳1 1 2 + 3 t e z 。i f ( r l x ( r ) ，x p r ) ) + z ：，c 。( “一r ，x ( “) ) d “l 。d r + 1 2 剧z ( g ( x ( r ) ，x ( r r ) ) + z ：，c 2 扣一r ，x ( u ) ) d “j d p 矿( r ) f 。 上式中 f f z f f ( r 1x ( r ) ，x p r j ) + z ：，c - ( u 一_ x ( n ”d 叫2 打j e 上( k x ( r ) l + 1 6 - x p r ) l + l ，一，c - ( u nx ( ) ) d “i ) 2 d r 3 上旧旧，x ( r ) 1 2 + e 旧x p r ) 1 2 + e ij ( ：，c - ( u t x ( u ) ) d uj 2 d r 3 z f e l 口l x ( r ) j 2 + e 陋z x ( r r ) j 2 + r e z ：，f q 一n x ( “) ) f 2 出d 打 3 z n i e f x p ) 1 2 + 6 i e ( 一i 浆，l x ( s ) 1 2 ) + r e z ：，i 、等x ( s ) 1 2 d u 打 o u t ( s rj hv 丁 。 3 肛酞i 墨，m ) n + 6 2 倒一篓，阶) n 十女t r 剧一i 浆，阶) | 2 ) 】d r 3 ( a + 砰+ ，女z ) fe ( s u pf x ( 5 ) j 2 ) 办 ，u r 5 ( r 1 7 类似的有 嚣( z g ( nx ( r ) ，x p r ) ) 十j ( ：，魄( “一r 搿( “) ) d 叫2 d r ) 3 ( 嵋+ 碹十r 砬) 上。e ( 一i 毁，f x ( s ) | 2 ) 打 辩由，拍积分的性质 e lz 。( g ( r ，x ( r ) ，x 一一r ) ) + z ：，c 。扣一r ix 托) ) d “) d i 矿扣) 1 2 = e ( z 。| g ( tx ( r ) ，x 妒r ) ) + z ：，c 2 ( “t x ( 珏) ) 如| 2 矗r ) ， 因此，我们可懿褥列 e ( 一i ：p ( 。f x ( s ) f 2 ) 茎3 e 豫f f 2 + 9 r ( 。i + 醒+ r h ) 五日( ；：曼，i x ( s ) f 2 ) 咖一r ( 5 j 0t s r + 3 8 ( + 醒+ ，如) z 露( 一i 墨，l x s ) 1 2 ) 幽 = 3 e 1 | 车1 1 2 + 【9 t ( n i + 缱十r h ) + 3 6 ( + 6 ；+ r 乜) 】z 2 孵( 一：浆，i x ( s ) 1 2 ) d r 由引理1 1 0 知 所以 e ( s u pi x ( s ) j 2 ) 曼3 硎卯e 【9 7 ( 2 + 6 + 7 h ) + 3 6 ( 畦+ 6 扣。) p f ( s t e ( 8 u p | x ( 8 ) 1 2 ) s3 e | | 引| 2 e f 9 r ( 畸釉 十7 。x ) + 3 6 ( 4 + 睦+ 舡) t t 曼o s t 令口= 3 e 降( 9 7 旧+ 6 + r ，) + 3 6 ( n i + 培+ r ：) f ，则( 2 1 4 ) 成立，下面证明( 2 1 5 ) 由 1 8 ( 2 1 固我镌露 f i 义( ) 一a ( s ) i = 露【，。( f ( n x ( r ) ，x 盱一r ) ) 十z ：，c 1 ( u r x ( u ) ) d u ) 打 + f ( g ( tx ( r ) ，x 一7 ) ) + z ：，铅翦一t x 弛) ) e 阮) c f 疆7 ( r ) 2 2 e l ，2 泸( x p ) ，x ( r r ) ) + ，q ( 链一r ，x 妇) ) d 札) 办严 十2 e l ，。( g ( nx ( r ) ，x ( r r ) ) + 厂c 2 ( u r ，x ( u ) ) d “) d p ) 1 2 2 霹i o s ) l f ( r ，x ( r ) ，x ( r r ) ) + 7c 1 ( 一t x ( “) ) d u 2 州 j 口 一f + 2 e ，。l g t x ( r ) 。x p r ) ) + 厂龟( * 一 x 每) ) 如1 2 毋 2 ( 亡一s ) 廖， 1 。x ( r ) i + f 如x ( r r ) i 十 厂c 。( u n x ( u ) ) d “l 】2 d r 十2 四“。2 x p ) i 十i 6 2 x ( r 一1 i ) i + if 岛m 一_ ￥( ) ) d “ j 2 办 j j，h 6 。一s ) 脚z 。( 1 a l x ( r ) 2 斗f n x p r ) 1 2 + l c ( 锰一tx ( # 弱如1 2 】毋 ( 2 。l ) j w 十6 e ，。 b 2 x ( r ) 1 2 + 陋。x ( r f ) 1 2 + i 厂c 2 0 r ，x ( “) ) d u 用出 j3， 一t 群j x ( 一a ( s j | 冬6 ( 一。) 露厂 x ( r ) i 。由+ 6 0 s ) 城f i x ( r r ) 产如 + 6 一s ) z r 曩一三裴，l x ( 瑚2 ) 等露起玉+ 8 。l 暑z | x ( 吲2 妇 j s r l t ，rt 7j o 删a 豫叫弦+ e z 噬黑，四l 净胁，so r ( ? j r￥ j s 6 ( 一s ) ( 。2 + 6 ；十r t + n 1 ) + 磋+ r 】( 。一8 ) e ( 一罢嫠r 陋( 。) 1 2 以) 6 f 7 k ? 十f 醇+ ? 俺】+ 。；+ 2 霹+ r 壳2 ) q 8 3 ) = 晓翟一s ) 1 9 其中岛= 6 ( 7 域+ 稻 + 研l + 奄+ 建+ r ) 馥，最簸涯暖2 。1 6 ) ( ( 2 + l 刁嗣避 可诳) ， 蟊| f ( ，x ( ) ，x ( 一r ) ) + fc l ( s 一 ，x 8 ) ) d s | e ( 1 8 l x ( ) l + | 6 l x ( f ) l + fc l ( s ，x 0 ) ) d 8 1 ) 篓f 3 n f x ( t ) 1 2 十3 b ；e i x ( 亡一r ) 1 2 + 3 e 【。c l o t ，x ( s ) ) 幽1 2 】； 嘲即( f ) 2 + 3 6 敞一婴，州啪+ 淞( 一黑，陋啪v 等同嘲一r 曼r s ?一t 蔓r 墨t j r vr 。 貉( 8 ；+ 鸳+ t 惫1 ) e ( s # p l x 妒) | 2 ) 】 一r r 0 卜1 ，0 带入定理2 1 ( 或定理22 ) 宥 a + b + g = 琵+ 丁_ 如+ 2 6 2 俩+ 2 ( b l 十k 十俪+ 穆2 阆十2 n l + 也i = 一2 o x ( ) = w ( ) ， t 卜1 ，o 魄较方程( i 1 ) 我们可以直接得封的数据为 f = l ，8 1 ：一9 ，如= l ，锄= 2 ，如= ； 另外由s t 一l ，0 1 ，所以有 1 c 1 0 一t ，x ( s ) ) 】= ( s f ) 2 x ( s ) i x ( s ) | c 2 ( 5 一t ，x ( $ ) ) | 一| ( s 一 十1 ) x ( s ) | x ( s ) 可选择奄l l ，琏一l ，带入定理2 1 ( 或定理2 。2 ) 有 a + 日+ d = 镌+ r + 2 b 2 俩+ 2 ( b l 十啦b 2 + 俩+ 。2 俩) + 2 n l + n i = 一i o x ( )= w ( t ) i f ( t ，x ( t ) ，x 0 一r ) ) l x ( t ) f ( t ，x ( t ) ，x ( 一r ) ) = j 一1 0 x ( ) + 2s i n x ( 一1 ) i s1 0 i x ( ) i + 2 i x ( 1 ) l = 一1 0 x 2 ( ) + 2s i n x 0 1 ) x ( t ) 一l o x 2 ( t ) + 2 l x ( ) s i n x ( 一1 ) 茎一1 0 x 2 ( ) + 2 l x ( t ) x 0 1 ) i = l e “x ( s ) l i x ( s ) l g ( ，x ( t ) ，x ( t r ) ) i= l x ( ) x ( 一1 ) l 扭卅扣) i = s i n 2 0 一) ( x 0 ) + s t ) 兰x ( s ) f 1 o 因而得到一组适合例3 3 的数据 r = ，。- = 一- o ，6 - = 2 ，七- = ，a 。= ；，= ；，七。= 2 带入定理2 1 ( 或定理2 2 ) 有 4 + b + g = 6 l + 下十2 6 2 雁十2 ( 6 l + n 2 6 2 + 俩+ 。2 俩) + 2 0 l 十。； = 一1 0 o 容易看到例1 所给出的方程满足定理条件，故其零解是均方渐近稳定且是几乎必然 指数稳定的( 如图3 ) 2 5 e u l e rm e 伽o d h = 1 ，2 0 0 惮1 图3 ：初值为维纳过穗的非线穗随机泛醋微分方程解益绒 论文生要结论，创新点及改进方向 本文对非线性随机泛函微分方稷( 1 1 ) 进行讨论，在保证解存在并唯一的慕础 上鲶窭了如下结论 结论3 1 如果 奠十b + g o ，都存在着正数 q ，q 手羹，夔其滚足下列蚕等式 e ( s u pl x ( 圳2 ) 戗 一r s 蔓? 嚣i x 0 ) 一( s ) j 2 曼q ( t s ) ，o 曼8 茎t 霹| f 和，x ( t ) ，鬲0 一? ) ) + f c l 和，x ( 5 ) ) d s l t 【o ，司 j t 嚣l g ( ，x ) ，x 肇一