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几类二阶非线性微分方程的定性分析 摘要 本硕士论文由四章组成，主要讨论了几类二阶非线性微分方程解的 振动性与渐近性，极限环的存在性以及中心的周期函数的单调性获得 了一系列新的结果，其中部分结果改进或推广了已有文献中相关结论， 具体为： 第一章介绍了问题研究的背景和该领域的研究现状 第二章讨论了二阶非线性微分方程 ( o ( t ) ( 。7 ( t ) ) 9 ) 7 + p ( z ( ) ) z 7 ( t ) + g ) ，( z ( t ) ) = o 解的振动性与渐近性，其中盯分别为偶数奇数与奇数奇数，建立了 一系列解振动或渐近的充分条件 第三章讨论了广义的l i 6 n 甜d 方程 z + ( z ) z 陀十厶( z ) z 7 + 夕( z ) = o 极限环的不存在性及其中心的周期函数，扩展了有关文献的结论 第四章讨论了广义的l i 6 n a r d 方程 z + ( z ) ( z 7 ) 。+ ，2 ( z ) z 7 + 9 ( z ) = o 极限环的存在性。其中口为奇数与奇数的正商。 关键词：振动性， 渐近性，l i 6 n a r d 方程，极限环， m e l n i k o v 函数，周期函数。 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 a b s t r a c t t h i st h e s i so fm a s t e ri sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s ，w h i c hm a l i n l ys t u d i e ss e v e r a l k i n d so ft h es e c o n do r d e rn o n l i n e a rd i f f 奄r e n t i a le q u a t i o n sa b o u tt h eo s c i l l a t o r ya n d a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n s ，t h ee x i s t e n c eo f1 i m i tc y c l e sa n dt h ep e r i o df u n c t i o n o fac e n t e r as e r i e so fn e wr e s u l 七sa r eo b t a i n e d ，a n ds o m eo ft h e mi m p r o 、r eo re x t e n d t h er e l a t e dr e s u l t si nt h el i t e r a t u r e s c h a p t e rli n t r o d u c e st h eb a c k g r d u n do ft h ep r o b l e 卜r e s e a r c h i n ga n dt h er e c e n t d e v e l o p m e n to ft h er e s e a r c hi nt h i s 丘e l d c h 印t e r2c o n s i d e r so s c i l l a t o r ya n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n so ft h e e q u a t i o n ( o ( t ) ( z 7 ( ) ) 4 ) + p ( z ( t ) ) z 7 ( t ) + 口( t ) ，( z ( t ) ) = o w h e r e 盯a r er e s p e c t i v e l yp o s i t i v eq u o t i e n t so fe v e no v e ro d di n t e g e r sa n do d do v e r o d di n 七e g e r s ，s o m es u 伍c i e n tc o n d i t i o n sa r ee s t a b l i s h e d c h a p t e r3c o n c e r n st h en o n e ) ( i s t e n c eo fl i m i tc y c l eo ft h el i 6 n a r de q u a t i o n z + ( z ) z 龙+ e 如( z ) z 7 + 夕( z ) = o t h ep e r i o df h n c t i o no fac e n t e ri sa l s os t u d i e d c h a p t e r4c o n s i d e r st h ee x i s t e n c eo fl i m i tc y c l e so ft h el i 6 n a r de q u a t i o n z + ( z ) ( z 7 ) 。+ ，2 ( z ) z 7 + 9 ( z ) = o w h e r e 盯i sap o s i t i v eq u o t i e n to fo d do v e ro d di n t e g e r s k e yw o r d s ：o s c i l l a t o r yb e h a v i o r ，a s y m p t o t i cb e h a v i o r ，l i 6 n 盯de q u a t i o n ， l i m i tc y c l e ，m e l n i k o vf u n c t i o n ，p e r i o df u n c t i o n i i ， ， 几类二阶非线性微分方程的定性分析 第一章绪论 1 1问题产生的背景 微分方程定性理论在力学，天文学，电子技术，现代生物学，人工神 经网络动力学，经济学以及人口理论等技术领域有着广泛的应用人们 对这方面的研究工作越来越深入，并且取得了一系列很好的成果微分 方程解的振动性和渐近性的研究已经成为现代数学的重要分支，其思想 和技巧已渗透到其它应用数学领域，并推动了这些领域的发展，关于振 动性的研究成果也十分丰富( 如文 1 1 - 4 】， 1 0 _ 1 8 】) 极限环理论是微分方程中的一个重要部分，它在动力系统的研究中 占有十分重要的地位，关于极限环的研究大致分两个方面，一个方面是 关于极限环的存在性，稳定性，个数以及它们的相对位置等问题；另一个 方面是关于极限环随着系统中参数的变化而产生或消失的问题其中有 关存在性方面的研究成果要多一些( 如文 8 ， 3 1 ， 3 5 ) ，而有关唯一性，个 数和相对位置方面的研究成果却比较少( 如文 6 】) 9 】， 3 8 i 3 9 ) 作为一个特 殊的例子，有关l i 6 n a r d 方程的定性研究在理论上和实际中都有着非常重 要的作用，例如在研究三极管等幅振荡时，所涉及的v a nd e rp o l 方程， 有关l i 6 n a r d 方程的结果已经十分丰富而对于广义的l i 6 n a r d 方程，研究 结果却相对较少( 如文【1 6 ，【3 7 ) 中心作为微分方程的一个重要特征，在描述方程的轨线时有着特殊 的作用有关中心的研究结果也是很多的其中一个重要的部分就是对 中心的周期函数的研究这和一些边值问题的解的存在唯一性，分支和 扰动问题等是密切相关的有关这方面的成果却比较少( 如文【2 2 ， 2 3 ) 本文研究了几类二阶非线性微分方程解的振动性与渐近性，极限环 的存在性，中心的周期函数的单调性 1 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 下面就本文研究的问题的历史背景做一简要概述 一一类二阶非线性微分方程解的振动性与渐近性 文献 1 0 讨论了方程 ( 口( t ) ( z 唯) ) 4 ) 7 + g ( t ) ，( z ( t ) ) = r ( t )( 1 1 ) 当盯为奇数奇数时的解的振动性与渐近性，特别给出了当r ( t ) = o ，盯分 别为奇数奇数与偶数奇数时( 1 1 ) 的解振动的充分条件文献 1 1 修 正了( 1 0 】中方程( 1 1 j 当盯为偶数奇数时的关于振动性的结果，在同等 条件下得出了振动或者渐近的结论这时我们会提出如下问题： 问题1 ： 对于比( 1 1 ) 更为一般的方程： ( o ( t ) ( z 心) ) 4 ) 7 + p ( z ( ) ) z 咏) + g ( t ) ，( z ( t ) ) = o( 1 2 ) 是否可以用相近的条件得到相近的结果呢? 二一类广义l i 6 n ”d 方程闭轨的定性研究 文献【2 1 】利用一阶m e l n i k o v 函数及其变形研究了l i 6 n a r d 方程 z + 厂( z ) z 7 + 夕( z ) = o( 2 1 ) 的p o i n c a r e 分岔极限环的存在唯一性和闭轨不存在的充分条件文献 2 2 】 2 3 则分别假设了方程 z + ，( z ) z 7 + 9 ( z ) = o( 2 2 ) 。+ 厂( z ) z 陀+ 夕( z ) = o( 2 3 ) 的平衡点为中心时，研究了它们各自的周期函数的单调性质这时我们 自然会想到： 问题2 ： 2 p 几类二阶非线性微分方程的定性分析 对于比上述三个方程更为一般的方程 z + ( z ) z 心+ ，2 ) z 7 + 9 ) = o 它在上述性质方面是否和( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 3 ) 的相应性质有联系呢? 三一类广义l i 6 n a r d 方程极限环的存在性 关于l i 6 n a r d 方程 。+ ，( z ) z 7 + 9 ( z ) = o 的极限环的存在性与唯一性的结果已经相当多若将( 3 1 ) 扩展为 z + ( 。) ( z 7 ) 矿+ ，2 ( z ) z 7 + 9 ( z ) = o 则有 问题3 ： ( 3 2 ) 的极限环的存在性是否与( 3 1 ) 的极限环有关系呢? 1 2本文的主要工作 基于上述思想和问题，本硕士论文的主要工作为： 在第二章，我们讨论了方程 ( o ( t ) ( 。7 ) ) 。) 7 + p ( z ( ) ) z 7 ) + q ) ，( z ( t ) ) = o( 1 2 ) 解的振动性与渐近性，其中盯分别为偶数奇数与奇数奇数建立了 一系列解的振动或渐近的充分条件改进和推广了文 1 0 】 1 1 】的主要结果 在第三章，我们利用隐函数定理和一阶m e l n i k o v 函数对广义l i 6 n a r d 方程 z + ，1 ) z 尼+ ，2 0 ) z 7 + 夕( z ) = o( 2 4 ) 3 q d 功 p 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 闭轨的不存在性进行了分析，给出了几个判据，然后在方程有中心的前 提下，研究了其闭轨的周期函数的单调性，扩展了文献 2 2 f 2 3 的相应结 果 在第四章，运用l i 6 n a r d 方程关于极限环的性质和结构稳定的知识分 析了广义l i 6 n a r d 方程 z + ) ( z 7 ) 口+ ，2 ( z ) z 7 + 夕( z ) = o( 3 2 ) 极限环的存在性，其中盯为奇数与奇数的正商得出了此类方程至少存 在一个稳定极限环的充分条件 为了行文方便，我们有必要对一些符号做出解释： r ：整个实数集 ，c ( 髓，r 2 ) ：表示函数f 在r 1 上连续，且它的值域为r 。 ，c 1 ( r - ，r z ) ：表示函数f 在r ，上一阶可导，且函数的值域为r 2 另外，如果文中微分不等式成立没有特别指明成立范围，均指对充分 大的t 成立 4 几类二阶非线性微分方程的定性分析 第二章一类二阶非线性微分方程解的振动性与渐近性 文 1 0 讨论了方程 2 1 引言 ( o ( t ) ( z m ) ) 。) 7 + g ( t ) ，( z ( t ) ) = r ( t )( 2 1 1 ) 当盯为奇数奇数时解的振动性与渐近性，特别给出了当盯分别为奇数 奇数与偶数奇数时方程 ( 口( t ) ( z ) ) 9 ) 7 + 口( ) ，( z ( t ) ) = o( 2 1 2 ) 的解振动的充分条件文献 1 1 修正了 1 0 】中方程( 2 1 2 ) 当盯为偶数奇 数时的关于振动性的结果，并举了反例 现在考虑比( 2 1 2 ) 更为一般的方程 ( 。( t ) ( z ，( 亡) ) 。) 7 + p ( z ( t ) ) z ，( t ) + q ( t ) ，( z ( t ) ) = o( 2 1 3 ) 本章运用文【1 0 1 1 的方法研究了方程( 2 1 3 ) 当盯分别为奇数奇数与偶 数奇数时，其解的振动性与渐近性这个结果推广了文f l o 1 1 j 的结果 现在给出本章中所必需的几个概念 定义1 设z ( t ) 是方程( 2 1 3 ) 的解，若存在t ，使得当t t 时有z ( t ) o ( 或z ( ) o 当z o 时，z ，( z ) o ( 4 2 ) g g ( o ，。) ， o ，+ 。o ) ) ( a 3 ) p c 1 ( r ，r ) ，p 7 ( z ) o 当z o 时，印( z ) o ( a 4 ) o ( t ) c 1 ( 幻，+ ) ，( o ，+ ) ) ，且璧o 。o ( t ) 一吉d 亡= + 。 ( a s ) 。p ( 让) d u ，其中6 o ，且z ( t ) 叫o ，t _ 或者( 3 ) 存在f2 o ，使得当t t 时， z ( t ) o ，t t o ，且l i m t 。s u pz 0 ) o 记叫 ) = o ) ( z 7 0 ) ) 4 贝4 由( 2 1 3 ) 有： ( 褊卜喘铲刊一堂舻 ( 2 2 2 ) 情形l ：设z 心) o ( t l t o ) 则由( 2 2 2 ) 有 ( 褊) 7 刊艘蛇缸 ( 2 2 3 ) 一 些鲞三堕i ! 垡竺丝坌查堡竺塞堡坌堑 一 _ - _ - - _ _ _ _ i ，- - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - _ _ - _ - _ - - _ - _ _ _ - - - - _ - _ 一一一一 对( 2 2 3 ) 从t l 到t 积分硐： 褊器一胁灿 饵2 码 ，( z ( t ) ) 二，( z ( t ，) )以，扒 、 。 令t 一。，则右端趋于一，左端非负，矛盾 情形2 ：设z 协) o ，t t 1 t o 由( 2 2 1 ) 表明存在t 2 t l ，使得 f 口( s 油 o 晓坛 ( 2 2 5 ) 对方程( 2 1 3 ) 从t 。到t 积分并且利用分部积分有： 删圳) 。= 。池) ( 北矿卅删( q ( s ) d s + 肛s 矿；) ) ( 如胁妒出m t l 吲z ) 删+ ( 如) p ( s ) ) ( s ) d s ( 2 2 - 6 ) 由1 i m t 。s u p z ( t ) o ，z 7 ( t ) o ，】t o 知： z ( t ) _ m o ，t _ 。和z ( t ) m ，t t 2 故由条件( a 1 ) 有，( z ( 亡) ) - 厂( m ) o ，t t 2 故由( 2 2 6 ) 有 o ) ( z 7 0 ) ) 盯。( t 2 ) ( z 7 2 ) ) 伊一，( m ) q ( s ) d s + p 2 ) ) z 2 ) ， ( 2 2 7 ) p j t 2 令t _ o 。，左端非负，右端趋于一。，矛盾 情形3 ：设叠他) 振动则存在k _ 。，尼_ 。，使得z 7 ( k ) = o 取足够大的k ，使得k 南，且z 协) o ，( k ，k + 1 ) 由( 2 2 1 ) 有 g ( s 灿 0 。 ( 2 1 2 8 ) 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 由( 2 2 2 ) 知 ( 褊) ， 刊，k t ( 2 2 9 ) 对( 2 2 9 ) 从k 到k + ，积分有 一如灿蒜卜。一厶q ( s ) d s 褊 作创 与( 2 2 8 ) ) 矛盾 ( i i ) 设z ( t ) o ，t t 1 亡0 由( 2 2 1 ) 存在t 2 l ，使得甓g ( s ) d s o ，t t 2 对( 2 1 3 ) 从t 2 到t 积分得 广cr e o ( t ) ( z 7 ( t ) ) 4 = o ( t 2 ) ( z 7 ( t 2 ) ) 。一g ( s ) ，( z ( s ) ) d s 一z 7 ( s ) p ( z ( s ) ) d s o ( t z ) ( z7 ( z ) ) 。 i ，t 2j 2 从而 z ，( t ) n ( t 2 ) 告z 心2 ) 口( t ) 一 ( 2 2 1 0 ) 对( 2 2 1 0 ) 从2 到t 积分有 ) 刈蚴州妫讥z ) 巾) 丢d s 令t _ 。，左端非正，右端趋于+ ，矛盾 情形2 ：设z 7 ( t ) 一。 对( 2 1 3 ) 从s ( s t 。) 到t 积分 广c广c o ) ( z ( 亡) ) 矿= o ( s ) ( z 7 ( s ) ) 4 一p ( z ( t ) ) z 7 ( 7 ) d 下一g ( 下) ，( z ( 下) ) d 丁 ( 2 2 1 1 ) js ds 由z 心) o 知： 当s 丁 时， ，( z 0 ) ) ，( z ( r ) ) ，( z ( s ) ) 几类二阶非线性微分方程的定性分析 从而一，( z ( s ) ) 删s ) ) 。咖渺+ 出m + 厂咖胁 州独 ( 2 2 1 4 ) 从而由( 2 2 1 1 ) 有 n ( t ) ( z 俅) ) 9 口( s ) ( z ，( s ) ) 。， t 亡3 ( t ) o ( s ) 吉z ，( s ) o ( t ) 一， t t 3 ( 2 2 1 5 ) 对( 2 2 1 5 ) 从t 3 到t 积分有 。( t ) z ( t 3 ) + 。( s ) 吾z ，( s ) 。( 丁) 一吾d 7 _ ( 2 - 2 1 6 ) t ，t 3 再由l i m 。s u p z ( t ) = 尬 一知： 存在如一，使得z ( 如) 一晒，如_ 故在( 2 2 1 6 ) 中取k _ ，则左端趋于晒 一，右端趋于一。o ，矛 盾 情形3 ：设z ) 振动，证明完全类似( i ) 中情形三的证明 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 定理证明完毕 注( 1 ) 从定理的证明可知，即使条件舒。口( s ) 一 d s = + 。不成立，如 果z ( t ) o ，仍有l i m h 。( t ) = o 注( 2 ) 方程( 2 1 。3 ) 当p ( z ( t ) ) = o 时退化为方程( 2 1 2 ) ，我们的结果仍然 成立，故推广了文 1 0 】 1 1 】的相应结论 定理2 2 设z ( t ) 是方程( 2 1 3 ) 的最终正解，并且如下条件成立 ( a i ) ，c - ( ( r ，五) ) ，( 。) 兰尼 o 当z o 时，z ，0 ) o ( a ：) g c ( 陋o ，。) ， o ，+ 。) ) ( a ：) j ，g 1 ( 冗，r ) ，p 7 ( z ) o 当z o 时，z p ( z ) o ( 4 ：) 血( t ) c 1 ( ，+ o o ) ，( o ，+ ) ) 且上亨。未，d t o 情形1 设z 7 ( t ) o ，t l 幻 令z ( t ) = 剑键帑，t 札 由( 2 1 3 ) 得 荆= 尘擎刊蝌0 ) + 踹 一盟等笋如蝴向) + 揣 ( 2 2 瑚) ，2 ( z ( t ) )。、。7 。1 、。“7 ，( z ( t ) ) 、。7 对( 2 2 1 8 ) 从t 1 到t 积分有 邵脚m ) 一知射蚺z 。端如眺 ( 2 2 1 9 ) z ( 亡) z ( 亡1 ) 一 g ( s ) a ( s ，亡o ) d s +糕d s ， 亡舌1 ( 2 2 1 9 ) i ，1j t lj 、“o ， 几类二阶非线性微分方程的定性分析 因为 r 揣蜒蒜酬4 = e 感志酬盯 从而 郫酬一胁瑚蚪 蔗志酬盯 ( 2 2 伽) 令t _ + 。，则( 2 2 2 0 ) 的左端非负，右端趋于一，矛盾 情形2 设z 也) o ，t t 1 o 由l i m + o 。s 叩z ( t ) = m o 碍z ( t ) _ 朋 o ，t 叫+ 从而由条件( q ) 知，( z ( t ) ) ，( m ) o ，t t 在方程( 2 1 3 ) 两边乘以a ( t ，) 并从，到t 积分( 利用分部积分) 有： 4 ( t ，t o ) o ( t ) ( z 7 ( t ) ) 9 = a ( t l ，o ) n ( t 1 ) ( z 7 ( t 1 ) ) 9 +( z 7 ( s ) ) 矿d s ， 1 p 广s a 1 ，亡0 ) p ( z ( 亡- ) ) z ) + ，7 ( z ( s ) ) z 7 ( s ) a ( 7 - ，t o ) q ( 7 ) d 7 】d s bj t l 一a ( 亡，t d ) p ( 。( t ) ) z ( t ) + ，( z ) ) a ( s ，亡o ) g ( s ) d s + r 喘掣蚺肛以小m 如灿 以r a ( t 。，t o ) 口( t - ) ( z 7 ( t 1 ) ) 。+ 【l z 7 ( s ) l d s 】盯一，( 。( t ) ) a ( s ，t o ) q ( s ) d s ，】l 讹北m 肛池) + z 。等掣d s a ( t l ，亡o ) o 1 ) ( z 7 ( t 1 ) ) 。+ ( m z ( t 1 ) ) 矿一，( m ) a ( s ，o ) g ( s ) d s r t ，1 + “咖( 酬) 酬州出m ) ) z 。高d s ( 2 2 2 1 ) 令_ + ，则( 2 2 2 1 ) 的左端非负，右端趋于一o 。，矛盾 情形3 设z 他) 振动，则存在k o 。，惫一，使得z 7 ( k ) = o 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 不妨取某个k ，使得k ，且。协) o ，t ( 圪，k + ，) 再对方程( 2 1 3 ) 从t k 到t k + 1 积分有 m 沁矿融k 出矽n ) ，( 酢脚，u，k o ( 凰) 口c ( o ，+ 。o ) ， o ，+ ) ) ( 风功c 1 ( r ，r ) ，当z o 时，印( z ) o ( 风) o ( t ) g 1 ( 如，+ 。) ，( o ，+ ) ) ，且正。南出= + 。 ( 风) 口。口( s ) d s = + 引理2 3 1 | 1 4 】：设函数k ( ，s ，) ：r r r + _ r 满足：对于固定的 t ，s ，( ，s ，可) 关于y 单调不减另外，设 ( t ) 为一个给定函数，札( t ) ，u ( t ) 对 于t 满足： u ( t ) ( ) 允( t ) + k ( t ，s ，钆( s ) ) d s ( 2 3 1 ) ，c 吣) 叫卅( 即，s ，删幽 ( 2 3 2 ) 若u + ( t ) 为( 2 3 2 ) 的最小解( 最大鼹) ，则u ( ) ( ) u + ( t ) ，t t o 几类二阶非线性微分方程的定性分析 引理2 3 2 ：设仃为奇数与奇数的正商，z ( t ) 是方程( 2 1 3 ) 的一个正解 ( 负解) ，t q ，若存在t ，a 】和m o ，使得 一掣铲+ 喘铲蛇7 3 固 ，( z ( t o ) ) 。厂( z ( s ) ) “。“i 、“。7 对t 叫成立则有： o ( t ) ( z 7 ( t ) ) 8 ( ) 一m ，( z ( t - ) ) t 亡- ，口 ( 2 3 4 ) 证明：为j 仃艾万便，征卒币甲1 ，取叫( t ) = o ( t ) ( ( ) ) o 田刀程( 2 1 3 ) 知： ( 褊) f = 糍铲刊一堂铲 ( 2 3 5 ) 对( 2 3 5 ) 两边从如到t 积分，其中t 口 ，并且利用( 2 3 3 ) ，则有： 一耥一淼+ r 甓群蚪 一一= = 一一十 ff 一十 i 厂( z ( t ) )，( z ( t o ) ) 1 幻 厂( z ( s ) ) 胁汹+ 蛐铲幽 m + ( 蛐铲幻。 ( 2 3 6 ) 情形1 设z ( t ) 为( 2 1 3 ) 最终正解 贝0 由( 2 3 6 ) 知一叫( t ) o ，即z 7 ( ) o ，t f l ，口】令u ( ) ：叫0 ) ： o ( t ) ( z ) ) 。，则( 2 3 6 ) 变为： 酢) 州) ) + 妣使得当t t 时， 。( t ) o ：且。( t ) _ o ，_ + o 。或者( 3 ) 存在丁 幻，使得当t t 时，z ( t ) o ，t 亡0 ，且l i m 汹。s u pz ( t ) o 情形1 设z ) o ，t o 。 则有： r 喘掣娩。以。厂( 。( s ) ) 二“ 再由( 风) 知，对于足够大的t 。，( 2 3 3 ) 式成立从而( 2 3 6 ) 成立，即 鬻 。， 以牝。 这与假设相矛盾 情形2 设z ) o ，t 之t o 因为 掣铲如：z ：怒虹瞰沪洲器 皿3 m ， 又由l i m 。s 印z ( t ) o 知z ( 亡) _ 尬 o ，# 一 其中m 2 为一个有界量从而血锩产d s 为有界量 故由( 风) 知，对于足够大的t 。，( 2 3 3 ) 式成立，再由引理2 。3 2 有( 2 3 4 ) 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 成立，即 z 心) 一m m ( 酬v 口而f ，t 圮 ( 2 3 1 6 ) 两边同时从t 。到t 积分有： ) 纠一附( 酬) 1 肛r 素南如 ( 2 肌7 ) 令t _ + ，则左端非负，右端_ 一。矛盾 情形3 设z 邻) 振动，t 则存在吼_ + 。，惫一+ 。，使得z 7 ( 仇) = o 现取足够大的k ，使毗如，且z 俅) o ，t ( 吼，仇+ ，) 由( 风) 有： g ( s 灿 。 ( 2 3 1 8 ) 又由( 2 3 5 ) 式知： ( 褊) ， 。o 则z ( t ) 单调下降，以为极限，故 掣铲拈器虻姒沪邢捌器 为有界量，其中 z ( t ) ，z ( ) c m ，z ( 幻) 所以由( 玩) 知，对于足够大的t ，( 2 3 3 ) 式成立，从而( 2 3 6 ) 成立，即 二竺粤骅逆 o 厂( z ( 亡) ) 7。 故z 协) o ，与假设矛盾 情形3 设z 协) 振动，其证明过程完全类似于( i ) 中情形3 定理证明完毕 类似定理3 的证明过程，很容易证明： 定理2 4 设z ( t ) 是方程( 2 1 3 ) 的解，如果定理2 3 中的条件( 皿) ( 凰) ( 凰) ( 风) 成立，并且有( 风) 7 成立：p c 1 ( r ，r ) ，当z o 时，印( z ) 亡0 ，使得当t t 时， z ( t ) o ，且z ( t ) _ 十。，亡_ + 。o 或者( 3 ) 存在t t o ，使得当t t 时， z ( t ) o z o 时 ( 飓) ，止，9 g 1 ( z 0 2 ，z 0 1 ) ( 黝2 o g ( 。0 2 ) ，则存在z 0 1 + ，使o z 0 1 + 铷1 使得g ( 1 + ) = g ( 黝2 ) ； 如果g ( z o 。) = g ( z 0 2 ) ，令z o 。+ = 跏，总之若记= m i n ( g ( 铷) ，g ( z o z ) ) 则 有g ( z o l + ) = o 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 另外，当e = o 时，由( 3 2 3 ) 可得 | | 翥咖。肌， 2 删 1 、鲁= 一夕( z ) e 2 f l ( 动 一 易知它有首次积分 冬+ g ( z ) = c 其中c 为常数若令日( z ，可) = 譬+ g ( z ) ，则可知( 3 2 4 ) 是一个h 删1 t o n 系 统且当o 危 时， 7 ( 九) ：日( z ，可) = 譬+ g ( z ) = 九是( 3 2 4 ) 的一族闭 轨且日( z ，可) 沿( 3 2 3 ) 的轨线的导数为： 掣：可可，+ 9 ( z ) e 2 f 1 ( 茁) z ，：一9 ) e 2 f 1 ( z ) 毋( z ) 口7 - 这里z 7 ，7 分别表示鲁，鲁， 从而由文献 6 和 2 1 ，我们可以得到( 3 2 3 ) 的一阶m e l n i k o v 函数为： 妒( 九) = 一事9 ( z ) e 2 f 1 ( 。毋( z ) 】d 7 ，y ( 九) ：一q f 型曼! 竺垦z 1 ( ) y 一以e 黉如 江2 这里z 。 o z 1 且满足g ( z 。) = g ( z 2 ) = 愚我们知道，系统( 3 2 3 ) 在 为。时的闭轨7 ( h + ) 附近有闭轨的必要条件是妒( 胪) = o 如果妒( 九4 ) = o ，妒7 ( 忍+ ) o 则当o o ( o ) ，贝0 当o h h o 时， 妒( h ) o ) 又由方程 g ( u ) = g ( z ) ，u o z ( 3 2 6 ) 9 n 几类二阶非线性微分方程的定性分析 所确定的隐函数乱( z ) 在o z z 。上有定义，连续可微，且 从而由( 3 2 5 ) 有： u k ) = 描 啪卜一以f 鬻如 j02 v ，d u 山， = 胡 鬻蚺z 。 = 胡( 鬻蚺z 。 诵 z 夕( z ) e 2 f l ( 。f 2 ( z ) 、历丽 ：一以尸蜓丝睾坠掣出 o 一g ( z ) 所以由引理3 2 1 ，我们有如下引理： ( 3 2 7 ) 引理3 2 2 当o 。 o ( o ) ，则当o 尼 时妒( ) o ) 3 3 极限环的不存在性 关于系统( 3 2 3 ) 的极限环问题，我们有如下结果： 定理3 1 设系统( 3 2 3 ) 满足如下条件： ( a 1 ) 当o z z o l 时，g ( z ) g ( 一z ) ( a 2 ) 存在z 1 4 ，z 2 + ，满足z 0 2 。2 + o o ；当z ( z 0 2 ，z 2 + ) u ( z ，十，跏1 ) 时，有足( z ) o ( 或者当 z ( z 2 + ，z 1 + ) 时足( z ) o ) ( a 3 ) 当o 。 冠( 一z ) ，且局( z 0 2 ) m 讯( f 2 ( o ) ，易( 黝1 ) ) ( 或者 当o z 。o 。时，f 2 ( 茹) 局( 一z ) ，且r ( z 0 2 ) m o z ( 玛( o ) ，毋( z 0 1 ) ) ) 2 1 湖南师范大学2 0 0 6 届硕士学位论文 则当o 危 时，垆( ) o ) 从而，当o h 1 时，系统 ( 3 2 3 ) 不存在闭轨 证明：只须证明括号之外的情形由引理3 2 2 ，又只要证 当o z o ， ( 3 3 1 ) 由( a 1 ) 知当o z 如1 时，有u ( z ) 一z 先设g ( z 2 + ) g ( z 。) 此时存在o ，o 。 z o l ，使得札( o ) = 。2 十当o z o 时，z 2 t 扎( z ) o 由( a 2 ) ，毋( u ) 在z 2 + u o 上单增，再由( a 3 ) 知 当o z o 时， 毋( u ) 毋( 一z ) 最( z ) ( 3 3 2 ) 又因为f 2 ( u ) 在z 0 2 世 z 2 + 单减，故当。 z z o l 时，有f 2 ( u ( z ) ) 毋( z o z ) m 锄( 咒( o ) ，f 2 ( z o - ) ) 另一方面由( a z ) 知当o 。 m 讥( f 2 ( 黝。) ，毋( o ) ) 所以有 当。 z z 0 1 ，时f 2 ( 钆( z ) ) 愿( z ) ( 3 3 3 ) 由( 3 3 2 ) ，( 3 3 3 ) 知( 3 3 1 ) 式成立 其次，若g ( z 2 + ) g ( 黝1 ) 则黝l + = z0 1 隐函数u ( z ) 在整个区间o z z o l 有定义且满足z 2 + 钆( z ) o 于是( 3 3 2 ) 式对o 。 z 0 1 成立定理 证毕 作为特殊情形，有： 推论1 如果( 3 2 3 ) 满足 ( a 1 ) 7 当o z z 0 1 时， g 扛) g ( 一z ) ( a 2 ) 7 当z 0 2 。 o ( 或g ( z ) o ) 2 几类二阶非线性微分方程的定性分析 ( a 3 ) 7 当o z 足( 一。) ( 或易( z ) r ( 一z ) ) 则当o 危 时，妒( ) o ) 从而当o h 1 时( 3 2 3 ) 不存 在闭轨线 证明：只证明括号外之情形 由( a ，) 7 知，当o z z o 。时，u ( z ) 一z o 其次由( a 2 ) 7 知，当 o z 铂l 时，尼( u ( z ) ) f 2 ( 一z ) ，再由( 山) 7 得到：当o z z 0 1 时， f 2 ( u ( z ) ) 玛( z ) 应用引理3 2 2 知结论成立 同理可得： 推论2 对系统( 3 2 3 ) ，若当。o ： z o ( 或，2 ( z ) o ) ，则 妒( 允) o ) ，其中o 从而当o h o ，z 五，则 ( 1 ) 若盯( z ) o ，z z 则t 在m 上单调递减 ( 2 ) ( 1 ) 成立并且存在一列z n zz n _ o ，盯( z 。) o 则t 在肌上严格 单调递增 对于方程( 3 1 4 ) 令- - 臂e f l ( s ) d s 二( z ) 则因为塞= e f l ( z ) o ，故有反 函数z = 一1 ( ) 又因为 老舻塞，象印价z 舻象 故( 3 1 4 ) 可化为：( 让y 7 = 鲁