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山东大学硕士学位论文 整函数与其微分多项式的唯一性理论 曹银红 ( 山东大学数学学院，济南，山东，2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 二十世纪二十年代，芬兰数学家r n e v a n l i n n a 引进了亚纯甬数的特征函 数，并建立了两个基本定理，从而创立了n e v a n l i n n a 值分布理论他所刨立 的这一理论是二十世纪最重大的数学成就之一，不仅奠定了现代亚纯甬数理 论的基础，而且对数学的许多分支的发展，交叉和融合产生了重大而深远的影 响随着n e v a n l i n n a 理论自身的不断发展，以它为主要研究工具的亚纯函数 唯一性理论取得了蓬勃的发展 本文主要介绍作者在扈培础教授的精心指导下，就单或多变量整函数涉及 微分多项式的唯一性问题所做的一些研究，得到了一些结果全文共分为，三章 在第一章中，作者扼要介绍了本文的研究背景，n e v a n l i n n a 基本理论中 的常用记号，并叙述了亚纯函数唯一性理论中的一些基本概念和结果 在第二章中，作青研究了复数域c 上的非常数整两数与其线性微分多 项式具有两个公共值的唯一性问题，推广了b e r n s t e i n - c h a n g - l i 及l i - y a n g 的结果，主要结论如下。 定理l ：设，为非常数整函数，令三( ，) 为，的线性微分多项式，形 式如下 l ( f ) = 6 。厂( + b n - 1 ，( n - 1 ) 十十b l ，7 + b o f + b l ，( 1 ) 其中k ( o ) ，kl ，b o ，b 。为厂的亚纯小函数若，与l ( f ) 以两个判别 的有穷复数a 1 ，a 2 为其i m 公共值，且l ( f ) 所有单霞的o t 值点均为，的 t 山东大学硕士学位论文 单重0 1 值点，则，与l ( f ) 分担a lc m ，并且或者f 兰l ( ，) ，或者它们满足 下面的形式 ，= a 2 + ( a 1 一a 2 ) ( e 。一1 ) 2 ，( 2 ) l ( f ) = 2 a 2 一o l + ( n l n 2 ) e 8 ， 其中q 是非常数整函数 推论2 ：在定理l 的条件下，如果，与l ( f ) 分担两个判别有穷值a l ， a 2i h l ，且l ( f ) 的所有单a l 和o 2 值点都是，的单口和a 2 值点，那么，与 l ( f ) 分担a l 和a 2c m ，且有f 兰l ( ，) 在第三章中，作者研究了c n 上的整函数与其线性微分多项式分担一个 公共小函数的唯性问题，得到的主要结论如下： 足理3 ：议足足义在c “上的超越竖函效， l ( ，) 足兵线性微分多项 式，形式如下： w ) 2 篆唧，采舞 ( f “+ “_ f ) 钢1 i o ，胡丽o f + n ( o ，l ，o ) 差+ 地o o ，1 l ，瓦o f 2 n ( 1 o ，o ) ，。+ n ( o ，l ，o ) 万丢+ + n ( o ，o ，1 1 ) 否i + 矧州? m ，j 。，瓮l 茅2 1 1 + 如+ + l n 七 v n 其中a ( z 。，l ：，1 。) c 为常数，且至少有一个a ( 1 ，“1 。) 0 ( 1 1 + f 2 + + k = i ：) ， n ( 。) 是，的亚纯小函数且n ( z ) 0 ：，如果，与l ( f ) 分担f l ( 2 ) c m ：且 6 ( o ，) ，那么f 兰l ( n 奖键词：整函数：唯一摊：公其值：线性微分多项式 i i 山东大学硕士学位论文 u n i q u e n e s st h e o r y o n e n t i r ef u n c t i o n sa n dt h e i rl i n e a r d i f f e r e n t i a lpo l y n o m i a l s y i n - h o n gc a n ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r ，c h i n a ) i n1 9 2 0 s ，r n e v a n l i r m ai n t r o d u c e dt h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n so fm e r o m o r - p h i cf u n c t i o n s ，p r o v e dt w of u n d a m e n t a lt h e o r e m s ，a n de s t a b l i s h e ds o - c a l l e dv a h m d i s t r i b u t et h e o r yo rc 组l l e dn e v a n l i n n at h e o r y t h i st h e o r yi so n eo ft h em o 疏i m - p o r t a n ta c h i e v e m e n t si nt h e2 0 t hc e n t u r yp r a i s e db yh w e y l i tp l a y sb a s i cr o l e s f ( rm o d e r nr e s e ；( h f 爆o fm e r o m o r p h i cf l m c t i o nt h e o r ya n dh a sav e l ti m p o r t a n t i n f l u e n c eo l lt h ed e v d o p n m n ta n ds y n c r ( 、ti s mo fm a n ) r e a l ，h e m a li c a lb r a n c h , a s - s o c i a t e dt ot h ed e v e l o p m e n to ft h en e v a n l i n n at h e o r yi t s e l f , s o m en e wm a t h e m a t i c a l b r a n c h e sh a v ea p p e a r e db a s e do i lm a i nm e t h o d sa n dr e s u l t sf r o mn e v m a l i n n at h e - o r y i nt h el a t e1 9 2 0 s ，r n e v a n l i n n aa l s os t u d i e dt h ec o n d i t i o n sw h i c hd e t e r m i n e c o m p l e t e l yam e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，a n do b t a i n e dt h r e ec e l e b r a t e du n i q u e n e s st h e - o r e m sf o rm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，w h i e a ha r eu s u a l l yc a l l e dn e v a i d i n n a sf i v e - v a l u e t h e o r e m f o u r - v d u et h c x j r c ma n dt h r ( x 。w d u ct h c x ) r e mr ( 粥p ( x ：t i v c l y t h 缸l m m c h e d t h ei n v e s t i g a t i o no fu n i q u e n 峭st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s t h ep r e s e n tt h e s i si sap a r to ft h ea u t h o r sr e s e a r c hw o r ko nt h eu n i q u e n e s s p r o b l e m so fe n t r ef u n c t i o n st h a ts h a r ew a h l ( ：so rs m a l lf u n c t i o n sw i t ht h e i rl i n ( 组r d i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l so v e rc0 1 c “i tc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d ( ) ft h i st h e s i s ，w h i c hc o i l - r a i n ss o m ef u n d a m e n t a lr e s u l t sa n dn o t a t i o n so fn e v a n l i n n at h e o r y i i i 山东大学硕士学位论文 i nc h a p t e r2 ，w ei m p r o v et h er e s u l t so fb c r n s t e i n - c h a n g - l ia n dl i - y a n gb y s t u d y i n gt h eu n i q u e n e s sp r o b l e mo fe n t i r ef u n c t i o n st h a ts h a r et w ov a l u e sw i t ht h e i r l i n e a rd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l s t h em a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m1 l e t ，b ean o n - c o n s t a n te n t i r ef u n c t i o n ，a n dl e tl ( f ) b ea l i n e a rd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a li n o ft h ef o l l o w i n gf o r m l ( ，) = 6 。，加) + 6 n 一1 ，m 一1 ) + + b l f 7 + b o f + 6 1 ， ( 1 ) w h e r et h ec o e f f i c i e n t sb n 偿o ) ，k 一1 ，6 ；0 ，b - 1a r cs m a l lm e r o m o r p h i cf u n c t i o n so f ，a s s u m et h a t ，a n dl ( f ) s h a r et w od i s t i n c tf i n i t ev a l u e s 口l ，a 2i m , a n da l lt h e s i m p l e l - p o i n t so fl ( f ) a r es i m p l ea l p o i n t so f ，t h e nfa n dl ( f ) s h a r et h ev a l u e n lc m , a n ds oe i t h e rf 三l ( ，) ，o rt h e yh a v et h ef o l l o w i n ge x p r e s s i o n s a n d ，= a 2 + ( a l a z ) ( e 。一1 ) 2 ， l ( f ) = 2 a 2 一a l + ( a l a 2 ) e o ， w h e r e 口i san o n - c o n s t a n te n t i r ef u n c t i o n ( 2 ) ( 3 ) c o r o l l a r y2 u n d e rt h ec o n d i t i o n so ft h e o r e m1 i fw ef u r t h e r m o r ea 8 8 u i i l e t h a t ，a n dl ( f ) s h a r et w od i s t i n c tf i n i t ev a l u e s 口l ，a 2i m ，a n da l lt h es i m p l e0 1 - p o i n t sa n da 2 一p o i n t so fl ( f ) a r es i m p l ea l - p o i n t sa n da 2 一p o i n t so ffr e s p e c t i v e l y ， t h e n a n dl ( f 、s h a r et h ev a l u e sa l 。a 2c ma n d 兰酞f 、 i nc h a p t e r3 w em a k e st i l er e s e a r c ho fu n i q u c n e 黜p r o b l e mo fe n t i r ef u n c - t i o n so i lc nt h a ts l a i co l i es m a l lf i n z ( ：t i o nw i t ht h e i rl i n e a rd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l s t h em a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n g ： i v 山东大学硕士学位论文 t h e o r e m3 l e tfb eat r a n s c e n d e n t a le n t i r ef u n c t i o no nc ，l ，l e tl ( f ) b e al i n e a rd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a li nfo ft h ef o l l o w i n gf o r m ： w ) = 驴，j 。，鞍，( l + 1 2 + - + l n = 1 ) 8j8|j 8 2 口( 1 0 ，0 ) 夏吾+ 口( o 1 ，o ) 瓦丢+ + 口( 0 t 0 ，1 ) 方未 +2叼等等_ 专，t h e n ，三工( ，) k e y w o r d s ：e n t i r ef u n c t i o n ；u n i q u e n e s st h e o r y ；s h a r i n gv a l u e ；l i n e a rd i f f e r _ l 卜 t i a lp o l y n o m i s j v 原创性声明 本人郑重声明；所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本论文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名：莹丕艮丝至 日期：型丑：支：兰至 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存论文和汇编本学位论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者徘楹驯繇链呼期；迹冼 f 山东大学硕士学位论文 第一章前言及预备知识 1 1 前 言 二十世纪二十年代，n e v a n l i n n a 1 】通过对p o i s s o n - j e n s e n 公式的研究， 引入了亚纯甬数特征甬数的概念，并研究了亚纯甬数间特征函数的关系，在此 基础上创立了现代亚纯函数值分布理论，即n e v a n l i n n a 值分布理论随着它 的不断发展，以它为主要研究工具的一些函数论分支应运而生 我们知道，多项式除了一个常数因子外，由其零点( 亦即取零值的点集) 而定，但对超越整函数及亚纯函数来说仅仅考虑零点屉不够的，因此如何来确 定一个亚纯函数的讨论就显得复杂而有趣了。所谓函数唯一性理论是探讨在 什么情况下只存在一个甬数满足给定的条件，以及满足给定条件的雨数之闻 有什么关系 亚纯函数唯性理论是近几十年国际上较为活跃的研究课题，有着极为丰 富的研究内容涉及公共值的亚纯函数唯一性问题的研究起源于n c v a n l i m i a 的些研究工作，他所建立的5 1 m 公共值定理，4 c m 公共值定理都是这领 域的经典结果迄今为止，许多国内外的著名学者如w k h a y m a n f g r o s s ， m o z a w a ，e m u e s ，h u e d a ，g i , a n k ，g g u n d e r s e n ，熊庆来，杨乐，仪洪勋， 扈培础，杨连中，杨重俊，李平等也在亚纯函数唯一性理论方面做了大量的研 究工作，取得了一系列引人注目的研究成果 作者在扈培础教授的精心指导下，就单或多变量的憋函数涉及微分多项 式的唯叫生问题作了一些研究工作 1 2n e v a n l i n n a 基本理论概要 在n c v a n l i n n a 理论中，p o i s s o n j o n s o n 公式起着十分重要的作用，是 n c v a n l i l m a 理论的基础我们首先介绍一下p o i s s o n - j c n s c n 公式 定理1 2 1 ：设函数，( ( ) 在i i sr ( o r ) 上亚纯，( p = 1 ，2 ，m ) ：b ( = 1 ，2 ， r ) 分别是厂( ( ) 在i ( i r 内的零点和极点若 1 山东大学硕士学位论文 名= r e 埘为iei r 内不与a j ，“相重的任意一点，则 l o glf ( z ) i = 去z 知l邶翻l 而意蒜却 + e 萎l o g n ( z - - a u ) 瞧崦l 涮l 注1 2 ，1 。该公式的证明参见【2 】或f 3 】 特别地，在定理1 2 1 的条件下，若( ( ) 在 ( j r 上没有零点和极点， 则对于任意点z ，lzl = r r ，有 l o glf ( 圳= 去z 打l o g 耐引两习赢r 2 万_ r 2 而如 这就是p o i s s o n 公式 当z = 0 时，若f ( o ) 0 ，0 0 ，则 ，o g i ，( ( ) ) i = 去z 孙t o g i ，c 觑即一薹m 垤丽r + 喜。g 南 这就是j e 瑾s c , n 公式 若，( o ) = 0 或o c ，设，( ) 在原点邻域内l a u r e n t 的展式为 ，( ( ) = c x ( + 以+ 1 ( a + 1 + ，c 0 ， 则 t 。glc al + n ( 。，季) l o gr = 去。斯k ，g l ，( 冗e i 妒) i 如- 。 e l n 。l r l o g 。r j + 。篆r l o g 南州吖) l o g 冗 这就足j c , m c n 公式的一般形式 r n e v a n l i n n a 基于j e n s e n 公式引入了亚纯函数，( z ) 的甲均值函数m ( r ，) ， 极点计数函数( ，j ) 与特征函数丁( r ，j r ) 等相关概念下面我们介绍有关定 义 2 山东大学硕士学位论文 本文中，如果没有特别说明，所提到的亚纯函数均指开平面c = z ：i z i o o ) 中的亚纯函数，用刁= z ：1 2 l o o ) u o o ) 表示扩充复_ 甲面 对于z 0 ，定义z 的正对数为 b g k 1 鼍- 。萎1 ( 正对数的性质参见1 3 1 ) 设，( z ) ( 。) 为i z i r ( 0 r ) 上的亚纯函数，对0 r 月 定义1 2 1 f 1 】：f ( z ) 的甲均值函数定义为 r e ( r , 肛去z 知l o g + i f ( r e 硼) ld o 设m ( r ，亭) 类似定义，则由正对数的性质可知j e n s e n 公式中的积分项 上2 7 r 后。l o gi ，( 觑如) i 如对应m ( r ，) 一仇( n ) 另外由正对数的性质易证 m ( 一f i ，乃) sp p 办， m ( r ，喜乃) sp p 肿崦p 其中厶( 2 ) o = 1 ，2 ，p ) 为p 个r ( o r 。) i ：的亚纯两数 定义1 2 2 1 1 】：，( 名) 的极点计数函数定义为 ( r ，) = z 7 苎丛! 二半疵+ n ( 。，) i 。g r 其中佗( t ，f ) 表示f ( z ) 在1 2 1 t 上的极点的个数，且重级极点按重数计算t n ( o ，) 表示f ( z ) 在原点处的极点的重数( 当f ( o ) 。时，佗( 0 ，f ) = 0 ) 若f a , ) o = 1 ，2 ，p ) 为p 个1 2 1 r ( o r 。) 上的亚纯函数，则 对于l r r 有 0 旦p 力蔷p 帅删 3 山东大学硕士学位论文 ( r ，骞易) 骞c n 乃， ( 证明参见【3 】) 设，( 名) 的零点计数函数g ( r ，亭) 类似定义，则j e n s e n 公式中的求和项 蚤m 。g 南，n 崦南 分别对应n ( r ，手) 一n ( o ，) l o g r 和n ( r ，) 一n ( o ，f ) l o g r 这样j e n s e n 公式 就可以改写成为 l 。gi 以i = m ( r ，) 一m ( ， ，7 1 ) 一( n7 1 ) + ( r ，) 定义1 2 3 1 1 ：r ，( r ，) = m ( r ，) + ( n ，) ，t ( ，多) = 仇( r 季) + ( r ，季) 由。i = ：可知j e n s e n 公式有如下形式 t ( _ ，) = t ) + l o g l 呶| 此形式说明j e n s e n 公式的核心是函数t ( r ，) ，有理由认为它是亚纯函数 的一种特征，故n e v a n l i n n a 称其为特征函数 由上面叙述的m ( r ，) 与n ( r ，) 的性质易得特征函数也有如下性质。 t ( n 垂厶) s 吾p 丁c t 办， r ( r ，喜如) 喜t c r ，乃，+ b g p 其中i a z ) ( j = 1 ，2 ，p ) 为p 个1 2 1 l r ( o r 。) 上的亚纯函数， 11r r 设n 为任一有穷复数， ，( z ) ( 。c ) 为r ( 0 r o 。) 上的亚纯函 数，则而1为i z l r ( o 月 o 。) 上的亚纯函数，从而m ( r ，击) ，n ( r ，南) 与t ( r ，击) 可以根据定义1 2 1 1 2 3 类似定义 利用j e n s e n 公式的特征甬数形式，n e v a n l i n n a 建立了关于亚纯函数的 n e v a n l i n n a 第一基本定理 山东大学硕士学位论文 定理1 2 2 l 卜4 】：( n e v a n l i n n a 第一基本定理) 设，( z ) 在 ，( o o ) 内亚纯，n 为任一有穷复数，且f ( z ) a ，则 对于0 r p ，有 吼万1 ) = t ( r ，) + l o g i c j ) , l + ( n ，r ) ( 1 2 1 ) 其中c 为7 两1 ；在原点的l a u r e n t 展式( 按升幂排列) 中的第一个非零系 数，而 i e ( a ，) i l o g + a + l 0 9 2 证明：对于7 两1 乏应用j e n s e n 公式的特征函数形式即有 玳万1 ) = r ( ，一n ) + l o g l c x 再由特征函数的性质得 t ( r ，一a ) 冬t ( r ，f ) + l o g + a + l 0 9 2 及 丁( 7 ，) = t ( r ，f 一仃十n ) t ( r ，一n ) + l o g + a + l o g2 显然立即有定理的结论 通常我们将( 1 1 ) 式简写为 丁( r ，寿) = t ( r ，f ) - i - o ( 1 ) ( 1 2 2 ) 其中o ( 1 ) 表示一个量，当r o o 时它有界 定义1 2 4f 3 】：设厂( z ) ( 。) 为亚纯函数，则 沪t 磐普笋一= 萼蟛笋 分别称为厂( z ) 的级与下级，而 p l = 1 恕翟塑等幽 山东大学硕士学位论文 称为y ( z ) 的超级 定理1 2 31 3 1 ( b o r e l 引理) ：设t ( r ) 为i o r + o o 上连续，非减函 数，t ( r o ) 1 ，则至多除去r 的一个集合岛后恒有 t ( r + 南) 2 m 且昂的线性测度不超过2 定理1 2 4 【3 】( 对数导数引理) ：设f ( z ) 为非常数亚纯函数，且y ( o ) 0 ，o o ，则对于0 f r + o 。有 ，1 m ( r ，专) 4 l o g + t ( r ，) + 3 1 。g + 两1 + 4 l o g + r + 2 l 。g + ；1 + 4 1 0 9 + l o g + 丽1 + l 。 ( 1 2 3 ) 7 _ i ，i uj l 注1 2 2 当1 ( 0 ) = 0 或x 时，适当变更一下( 1 3 ) 中右端的最后两个 常数项及其各项系数后绪沦仍然成立 定理1 2 5 1 - 4 1 ：( n e v a n l i n n a 第二基本定理) 设，( 2 ) 为非常数亚纯函数，a j = 1 ，2 ，g ) 为q ( 3 ) 个虿中的判别 元素，则 ( 盹，) 喜n ( n 击) + 1 ( r ) + s ( r ，) ， ( q 一2 ) t ( r ，) 0 ，我们称a 为( z ) 的亏值，而 6 ( n ，) 称为a 关于y ( z ) 的亏量 定理1 2 8f 3 | ( 亏量关系) ：设( z ) 为复数域c 上的非常数亚纯函数，则 ，( z ) 的亏值至多有可数个，且相应这些亏值的亏量总和满足 6 ( n ，) o ( a ，) s2 口百o _ 1 3 唯一性理论中的基本结果及常用记号 n e v a n l i n n a 理论在亚纯函数的唯一性理论方面有着广泛的应用本节我 们将给出亚纯函数唯性理论中的常用记号，并叙述些基本慨念和结果 我们先来介绍几个常用的记号 设f ( z ) 与g ( z ) 为非常数亚纯函数，n 为任意复数，再设f ( z ) 一a 的零 点为z n ( n = 1 ，2 ，) ，如果( 佗= 1 ，2 ，) 也是9 ( z ) 一a 的零点( 不计重数) ， 则记为 f = a 号9 = a 0 7 g = o ，= a 如果= 1 ，2 ，) 是，( z ) 一a 的重零点时，( n = 1 ，2 ，) 也是 g ( z ) 一n 的至少“。重零点，则记为 = 包一g = a o r g = 氇卜 = a 。 因此，我们有如下定义 定义1 3 1 1 - 4 l ：设( z ) 与9 ( 。) 为非常数亚纯函数，a 为任意复数 ( i ) 如果厂= a 与g = a ，则称a 为( z ) 与g ( z ) 的c m 公共值 ( i i ) 如果，= a 兮g = a ，则称n 为( z ) 与9 ( 。) 的i m 公共值 9 山东大学硕士学位论文 注1 3 1 ，与g 分担0 0c m ( i m ) 是指1 i f 与1 g 分担0c m ( i m ) 定义1 3 2 3 1 ：设f ( z ) 与夕( z ) 为非常数亚纯函数，a ，b ，c ，d 为四个有穷 复数，若 ，三百a g + 而b ( a d k o ) ， 则称f ( z ) 是夕( 之) 的分式线性变换( 亦称m s b i u s 变换) n c v a n l i n n a 应用他所建立的两个基本定理，得到了涉及公共值的亚纯函 数唯一性理论方面的如下几个著名定理( 参考文献【l 】- 【4 】) 定理1 3 1 ( 五i m 值定理) 设( z ) 与g ( z ) 为非常数亚纯函数，a j ( j = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 为五个判别的复 数( 其中之一可以为无穷大) 如果f ( z ) 与g ( z ) 以0 = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 为l m 公共值，则( z ) 若9 ( z ) 定理1 3 2 ( 四c m 值定理) 如果两个非常数亚纯函数( z ) 与g ( z ) 以四个判别的复数0 = 1 ，2 ，3 ，4 ，) 为c m 公共值，则厂( z ) 是9 ( 2 ) 的分式线性变换 定理1 3 3 ( 四i m 值定理) 设，( ：) 与g ( z ) 为非常数亚纯函数， a j ( j = 1 ：2 73 ，4 ，) 为四个判别的复 数( 其中之一可以为无穷大) ，如果，( 。) 与g ( z ) 以( 歹= 1 ：2 ，3 ，1 ) 为i m 公 共值，则有如下结论成立。 ( i ) t ( r ，f ) = t ( r ，g ) + s ( ，) ， t ( r ，g ) = t ( r ，) + s ( r ，9 ) ， 妾矾击同t p 删棚， ( i i i ) 砒击) = r ，) + 跗，n 矾：击) = t ( 咖) + s ( r 此 其中b 0 = 1 ，2 3 ，4 ) ， 1 0 山东大学硕士学位论文 ( i v ) 11 ( 专) = s ( _ n ( 旁) = e l ( r , 夕) ， 其中( r ，7 1 ) 表示厂的零点但不是f - 勺o = l ，2 ，3 ，4 ) 的零点的计数函数， 0 ( n 专) 类似定义， ( v ) 4 ( r ，a j ) = s ( nn j = t 其中n ( r ，q ) 表示，一吩与9 一a j 的重级均大于1 的零点的计数函数，按 重级小者计算次数 定理1 3 4 ( 三c m 值定理) 至多存在两个不同的非常数亚纯函数，具有三个判别的c m 公共值 唯一性理论的研究还可以推广到考虑分担公共小函数的情况，所谓公共 小函数是如下定义的 定义1 3 3 嘲：设，( 2 ) 与g ( 。) 为复数域c 上的非常数亚纯函数，若 o ( 三) 既为，( ：) 的小函数，也为9 ( z ) 的小函数，则称n ( ：) 为，( 2 ) 与g ( ：) 的 一个公共小函数 若o ( ：) 为，( ：) 与9 ( ：) 的一个公共小函数， ，( z ) 一n ( z ) 与g ( z ) 一a ( z ) 的零点相同，且相应零点的重级相同( 忽略重级) 。则称i ( z ) 号9 ( z ) 分担a ( z ) c m ( i m ) ，此时也称a ( z ) 为i ( z ) 与9 ( 。) 的c m ( i m ) 公共小函数 1 1 山东大学硕士学位论文 第二章单变量整函数与其微分多项式的唯一性结果 2 1 引言与主要结果 亚纯函数与其导数具有公共值问题是亚纯函数唯性问题的特殊情况 自从r u b e l - y a n g1 5 j 证明了若非常数亚纯函数，与，( 七) 具有两个有穷c m 公 共值，则，兰，( ，有关亚纯函数与其导数或线性微分多项式的问题及相关 问题得到了广泛的研究惨考文献3 ，5 - 1 7 】1 9 9 6 年，b e r e r m t e i n - c h a n g - l ii t 4 研究了( y 上整函数与其线性偏微分多项式分担两个亚纯小函数的唯一性问 题，对他= 1 。两个公共小函数退化为两个有穷公共值的情形，我们有 定理2 1 a 1 4 】：设，为非常数整函数，令l ( f ) 为厂的线性微分多项 式，形式如下 l ( ，) = 6 。厂( + 玩，l ，( n - 1 ) + 4 - b l f 7 + b o l + b 一1 ，( 2 1 1 ) 其中厶n ( o ) ，6 n i 一b o ，b l 为，的亚纯小函数若，与l ( ) 以两个判别 有穷复数n 1 ，n 2 为其c m 公共值，则，善l ( ，) 1 9 9 9 年，i 。i y n n g 注意到文献f 1 4 ，p p 3 8 4 - 3 8 5 】中的反例，进一步改进 了l ：边的结果，得到 定理2 1 b 【15 】：在定理2 1 a 的前提条件下，若厂与l ( f ) 以两个判别 的有穷复数a l 为c m 公共值，眈为i m 公共值，则或者，兰l ( ，) ，或者它 们满足下面的形式 f = a 2 + ( 口l a 2 ) ( e 。一1 ) 2 ， ( 2 1 2 ) l ( f ) = 2 a 2 一0 1 + ( 口1 一a 2 ) e o ，( 2 1 3 ) 其中“是非常数整函数 进步注意到，和l ( f ) 的例外形式，l i - y a n g 得到 定理2 1 c ：在定理2 1 a 的前提条件下，若，与l ( ，) 以两个判别 的有穷复数a 。为c m 公共值，a 2 为i m 公共值，且l ( f ) 所有单重的a 2 值 点均为，的单重a 2 值点，则，三l ( ，) 】3 山东大学硕士学位论文 到 l i - y a n g 还研究了，与l ( i ) 分担两个判别有穷的i m 公共值的情形，得 定理2 1 db 6 - t 7 l ：在定理2 1 a 的前提条件下，若，与l ( ，) 以两个 判别的有穷复数a l ，o ：2 为其i m 公共值，且t ( r ，f ) = 丁( r ，l ( ，) ) + s ( r ，) ， 则f 兰l ( ，) 在本章中，作者应用l i - y a n g 建立的一个重要引理( c f f 1 7 d ，对定理2 1 b 做 了进一步的改进，并注意到，和z ( f ) 的特殊形式( 2 ) 和( 3 ) ，推广了定理2 1 a ， 2 1 b ，2 1 c ，得到 定理1 ：在定理2 1 a 的前提条件下，若，与l ( f ) 以两个判别的有穷 复数n l ，0 2 为其i m 公共值，且l ( f ) 所有单重的a l 值点均为，的单重口l 值点，则，与l ( f ) 分担a lc m 于是定理2 1 b 的结论成立 推论2 ：在定理2 1 a 的前提条件下，若，与l ( f ) 以两个判别的有穷复 数a l ，0 , 2 为其i m 公共值，且l ( f ) 所有单重的n l 值点和口2 值点均分别为， 的单重a l 值点和f 1 2 值点，则f 与l ( y ) 分担a lc m ，a 2c m 于屉f 三( ，) 2 2 预备知识及主要引理 在本章中还需要用到下面的定义和几个引理 定义2 2 11 1 - - 4 l ：设，为非常数亚纯函数，a 为有穷复数，k 为正整数 帆) ( ，击) 表示在i z l ，上的f 一的重级不超过k 的零点的计数函 数，重级零点按重数计算； ( 七( n7 毛) 表示在j 工：l r 上的y n 的重级不小于k 的零点的计数函 数，重级零点按重数计算； k ) ( r ，) 与m 七( r f ) 分别表示h r 上的，的重级不超过南与不小于 k 的极点的计数函数，重级极点按重数计算； n k ) ( r ，忐) ，丙( 南( r ，击) ，n k ) ( r ，) ，丙( 七( r ，) 分别表示它们相应的精简计 数函数 1 4 山东大学硕士学位论文 引理2 2 1 1 5 - t 6 1 ：设f 是一个超越亚纯函数，只( ，) 是关于，的8 次 多项式，且令d l ，n 2 ，吼是t 个判别的有穷复数，令 g = 矸而驾习 ( 2 2 1 ) 2 矿磊瓦f 萄而 z 1 ， 那么当s 1 时) ，且不是妒+ 筇的极点，则z o 为妒一州 的零点 特别地，如果z l 为，一a 2 的k ( k 他+ 2 ) 重零点，且不是b a j = - 1 ，0 ，1 ，礼) 的极点，则由( 2 1 1 ) 式可知6 1 ( z 1 ) + 6 1 ) ( 。1 ) n 2 = a 2 若6 一l + b o a 2 a 2 ，则瓤。+ 2 ( r 。，南) = s ( r ，) 否则 己( ，) 一，- - ( 阮一1 ) ( ，一啦) + 如， 于是z l 为，一l ( 厂) 的重零点，故为垆的零点所以觑n + 2 ( n 志) = s ( r ，) 因此 贾( n 击) 苫n + l ( n 南) 删吖n 1 6 山东大学硕士学位论文 1 = 忐一蒜n ( f 些( 1 2 ( 2 3 5 ) v = 一一二二一 i z 。j a l 。 ，一眈) 一 、_ 叫 若7 为一常数，则，与l ( i ) 分担n 2c m ，由定理2 1 c 可知，兰l c i ) 与 我们的假设矛盾因此7 为非常数亚纯函数，且t ( r ，- y ) = s ( r ，) ( 2 3 1 ) 式整理得 妒丁f - - 1 , 1 兰1 一挈詈 类似地，我们得到 ( 妒刊击一妒等州+ 纠三。 ( 2 3 6 ) 应用第二基本定理得 t ( r ，) ( r ：，) + 霄( r ，而1 ) + ( n 鬲1 ) + s ( r ，) 甄) ( r 击) + 即 ，) 聊，) + 跏 ( 2 3 7 任取z 2 为厂的单重口，值点，代入( 2 3 6 ) 式计算留数可知，若2 2 不是妒7 + p 7 的极点，则为妒一7 的零点，因此由( 2 3 7 ) 式知妒一- y 三0 ：于是 厂，( 厂一l c i ) )厂l ，( 厂) ( ，一0 1 ) ( ，一a 2 ) 一f a 2l ( f ) 一a 2 。 注意到，一a 2 与l ( i ) 一a 2 的重级不同的公共零点为 的极点但不是妒 的极点，故，与l ( ) 分担a 2c m ，再由定理2 1 c 知，这是一个矛盾 因此我们的断言成立，即 毋崭三七( 击一高) 类似的讨论，我们得到，与l ( f ) 分担n lc m 定理1 证毕 口 推论2 的证明在推论2 的假设下， 2 1 a 得兰l ( ，) 推论2 证毕 ，与l ( i ) 分担0 1 ，a 2c m 由定理 口 1 7 山东大学硕士学位论文 2 4 定理3 和定理4 的证明 在本章中，我们研究的是整函数与其线性微分多项式的唯性问题，而研 究这类问题与研究一类线性微分方程，甚至是非线性微分方程有无亚纯( 整) 函数解有着密切的关系，本节我们研究了这个问题，给出一些前边主要结果的 直接应用 定理3 ：如下的非线性微分方程 ( l ( f ) a 1 ) 2 ( ，一a 2 ) 3 = e 币1 ( f a 1 ) ( l ( f ) 一a