（基础数学专业论文）球面中具平坦法丛子流形的外蕴几何研究.pdf

浙江走学硕士学位论文球面中具平坦法丛子流形的外蕴几何研究 摘要 本文讨论了常曲率黎曼流形n ”( c ) 中的子流形m n 的第二基本形式模长的平 方s 、平均曲率口等具有的性质。并研究了单位球面s n 押( 1 冲附加平坦法丛条件 下具有平行平均曲率向量的子流形，得出了下列主要定理： 主要定理：设m n 是伊+ ，( 1 ) 中具有平行平均晰率的紧致子流形，且m n 具有平 坦的法丛，则当s a ( 峨h ) 时，m n 是全测地大球面驴+ 1 ( 1 ) 的全脐超魄面。 这里n ( n ，黔= n + 菇与日2 一筹焉归而面j 黟 本结果推广了文献【1 6 】中的一个定理。 第霉页 浙江大学硕士学位论文球面中具平坦法丛子流形的外蕴几何研究 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h es q u a r eo ft h en o r mo ft h es e c o n df o u n d m e n t a lf o r m a n dt h em e a nc u r v a t u r eo fs u b m a n i f o l d si nt h er i e m a n n i a nm a n i f o l d ”却f c lw i t h c o n s t a n tc u r v a t u r e b e s i d e s ，w es t u d yt h es u b m a n i f o l d so fs “+ p ( 1 ) w i t hp a r a l l e lm e a n c u r v a t u r ev e c t o rf i e l da n df i a tn o r m a lb u n d l e ，a n do b t a i nt h ef o l l o w i n gt h e o r e m ： m a i nt h e o r e m ：l e tm ”b eac o m p a c ts u b m a n i f o l do f 扩+ p f l lw i t hm e a nc u r - v a t u r ev e c t o rf i e l da n df l a tn o r m a lb u n d l e i fs a ( n ，h ) ，t h e nm ”m u s tb et h e u m b i l i c a lh y p e r s u r f a c ei n 驴+ 1 ( 1 ) ，w h e r e a ( 删) = n + 南n 描归两砰 o u rt h e o r e mi sag e n e r a l i z a t i o no ft h er i g i d i t yt h e o r e md u et ox h m o 1 6 第芎页 新江天擎硕士学住论文球面串具平趣法塾予流形的外壤凡倪研究 l弓| 富 子滚澎静凡 霉溺程是整体微分趸侮孛懿薰要谍题之一。1 9 6 8 年，3 s i m o n s 爱 明了下述著名的刚性定理： 定理l + 1 ( 1 6 1 ) 。设始“为n + 爹维摹搜薄瑟+ p 中弱镕终紧致援夸予滚影。蓑s 芍二三， 则s i0 ，即是全测地大球面，或s 2f 兰_ 。 z p 1 9 7 0 年，s s c h e r n ，m d oc a r m o ，s k o b a y a s h i 遂步涯臻了： 定理1 2 ( 【1 1 ) 若单位球面驴+ ，中”维紧致极小子流形m 吲足ss 百专，$ 1 j m ” 鸯垒测遣予流形酽，躐孛瓣v e r o n e s e 藏嚣，躐妒“孛魏c l i f f o r d f 羹麴覆 妒( ：) s n - k ( 1 等) 卢”一，n 乩 文章( f l j ) 提出了关于球筒中闭极小曲面数摄曲率空隙的猪想，这是非常重臻 的几何问题之一，此后许多的文章讨论这个闷题。 子流形的平均瀚率，第二基本形斌的模长是讨论予流形的霞要几何不变量。 1 9 7 4 ，1 9 7 5 6 成桐的文章( f 1 2 1 ) 对常平均阱l 率的予流形做了全面的研究，概括了当 辩予滚形酌簸薪残鬃。文中徽多翔题璐在莜然僮褥磷究。 对于球面中平行平均曲率子流形的刚性问题，许洪伟在1 9 9 3 年( 1 9 1 ) 得到了下 垂懿结果； 定理1 3 设m n 魁n + p 维单位球面舻+ ，( 1 ) 中的n 维紧致子流形，具有平行平均 鼗窜自量。设嚣和s 分烈为掰”斡平均 l 率和第二基本形式模长瓣_ 乎方，其中日为 非零正常数如果存在只跟n ( 2 ) ，衍口有关的常数c ( n ，p ，日) ，满足： s g f m p ，h ) 那么掰n 霆下述情形之： ( 1 ) 扩( 赢) 2 ) s n + l ( 1 ) 中的等参超鞠西扩q ( 南) s 1 南) t 、，i 十 一、，1 _ 卜 ” ( 3 ) s n + l 1 ) 中的c l i 踟r d 极小超曲西胪( ：) s “! ) ， k t 、t 一，n 一1 ( 4 ) s 3 ( r ) 中平均曲率为常数凰的c l l 鼢r d 环面s 1 ( r 1 ) x s l ( r 2 ) ，其中r l ，r 2 = f 2 ( 1 + 野2 ) 圭2 u 0 0 + 置2 ) l 一，r = 1 + 置2 一壤) 一 ，o 蟊。嚣 ( 5 ) s 4 了i i 南) 中的v e r o n e s e 曲面- 第z 页 浙江大学硕士学位论文球面中具平坦法丛予流形的外蕴几何研究 这里 1 2 赢h h + n 2 2 + 4 ( n 一1 ) 】， g 耻 砌a ( n , 激h 砚：。协硝) ，；。o r p p = 。1 ，, 。o r p p ：= 。2 。a n 蝴d h 。，o , 其中a ，h ) = n + 习：妥可h 2 一n 。i ( 。n 一- 2 ) fj n 2 h 4 + 4 ( n - 1 ) h 2 1 9 9 8 年，s h i o h a m a x u ( 【7 】) 证明了完备子流形的广义刚性定理：设m n 是n + p 维 完备单连通黎曼流形”+ p 中n 维完备可定向的平行平均曲率子流形。设日和s 分 别为m “的平均曲率和第二基本形式模长的平方，h o 贝0 存在一个仅与p 有关 的正常数o f ( p ) 1 ，使得当r ( n ，p ) k ns 1 ，且 n h 2 十a l ( n ，p ) ( 1 一c ) + a 2 ( n ，p ) l ( h 2 + 1 ) h 1 2 ( 1 一c ) 1 一s c ( n ，p ，h ) 一b x ( n ，p ) ( 1 一c ) 一。b j ( n ，p ) 【( 日2 + 1 ) h 】1 2 ( 1 一c ) 1 4 ， 其中c = i n f k n ，”+ p 必整体等距于伊+ p ( 1 ) 。更进一步，如果s u p m s 0 ，则存在常数7 1 ( n ，p ，h ) ( o ) ， 死( n ，p ，h ) ( o ) ，其中砰( n ，p ，h ) 十霄( ，p ，h ) 0 ，使得当n ( - ，p ，h ) k 乜( n ，p ，日) ，且 n h 2 + a l ( n ，p ) 枇一c ) + a 2 ( n ，p ) h ( n 一1 ) 一1 口3 1 2 ( d c ) 1 4 s 岛( 扎，p ，h ) 一b 1 ( 礼，p ) ( d c ) 一现( n ，p ) k ( 佗一1 ) 一1 h 3 】1 2 ( d c ) 1 4 时，”9 必等距于r ”9 进一步地，若s u p m s 1 。 蓉s u p m s 。3 。，| o r d p p g 2 。, 葵嘲啦) = - - n + 志班糕归万砰e 本文证明了下述定瓒： 擞要定理设m “是s ”却( 1 ) 中具有平行平均闸率的紧致子流形，鼠m 4 具有平 坦的法丛，则当s 。( m 脬) 时，m ”是全测地大球i l i i s ”+ 1 ( 1 ) 的全脐越f i f 面。 其巾婚，嚣) = n + 署嚣2n 帮( n 叫- - 2 ) x n 2 h 4 + 4 ( n - 1 ) h 2 本结果推广了文献f 1 6 】中的一个定理e 第6 页 浙江大学硕士学控论文球面中嚣平坦浓丛子流彤的，卜蕴几何研究 2 基本符号与公式 设n 恺+ ，( c ) 鼹具常截面舶率c 的n 十p 维黎曼流形，m ”魁n 维黎熊流形，等距 澄入”9 f c ) 。稳敬舻卸( c ) 中瓣描都标簿燕交标絮瑶 e i ，e 2 ，e n + p ，使褥陵裁 到m “上，向量场e l ，e 2 ， 悬脚的切向量场， e n + 1 ，e 。+ 2 ，押) 是胪的 法向量臻。 对指标范嘲我们作如下约定： 1 a ，嚣，g ，t * s 站+ 弘 1 i ，j ，k ，- n ； 佗+ p 墨，卢，7 ，n 十p ； 并且约定重复攒栋是对 日应取值范甾作和。 设扣1 ，u 2 ，u 。+ p 是关于f e l ，e 2 ，e 。+ p ) 的对偶标架场，则“+ ，( c ) 的结构 方程是： d w a = w a b a w b ， ( 2 。1 ) w a b + w b a = 0 。 幽a 丑= w a c b + 虬丑， 圣 b = 一；k a b c d w c a w d ， ( 2 2 ) k a b c d c ( 6 a c 6 嚣。一s a d 殛o ) ，( 2 3 ) 限制到m ”上，有 w 。二= 0 ， ( 2 。4 ) w c , j 一 舢，啄= h a , ( 25 ) 0 籼= “珏 吻，呦+ 呦一0 ， ( 2 6 ) 幽巧= w i k a w k j + n 蜘 n ；j = ；r i y k l w k 叫， ( 2 7 ) 霆珏懿一e 6 磕南 一魂i 电女) + 矗器强h a h n ) ， ( 2 8 ) 第7 页 浙江大学硕士学位论文 球面中具平坦法丛予流形的外蕴几何研究 山。序= u 1 叶卢+ n 。卢， 纯舻= 一百t 。r 印i m ， ( 2 + 9 ) 吼p “= r h c , h 旷4 3 壤) ( 2 i o ) i 对每个a ，我霞j 耀露。表示戆阵筏，舔= 丢静点黾) e 。秀平均藏率是鬣，萁长 度日= 1 1 i l = i 【( 毋r k ) 2 扫为平均f l 率；称张量 一h 嚣呐 畸 e 。为子流 n o ，- j 形掰n 兹第二曩本形式，第二基本形式援长的平方记为s ， s = k t r h 2 = ( 嚣) 2 o ，j 张蟹嗡的一次和二次芡变母数分剐定义为： 懿t 蛾= 藏害+ 强嘲+ 纛惫蝴竭， 趣川岫= d + m ；+ 瓤“j 玎+ h g 州+ 屹k 恤 匿此我霞寿 = - = h 勃， 艇一h 瓤= r 嘶船+ 嚆欺测一磅8 够地 ( 2 i l ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 矗嚣= 蜗 女= 五纛甜十e ( e 露。妇t 十 囊：r 。纠 一幅；k 毋女) k m m8 ( 2 1 5 ) 第8 美 浙汪走学顶毒擘往论文球面审具平坦法臻子流影的蝰蕴尼嘟研究 3 子流形外蕴几何性质 意理3 1 设 l ”是n ”r ( c ) 的黎曼予流形，羽下捌备不等式成蠢： ( 1 ) 1 董眇磁j 2 妒 ( 2 ) 0 p ( 磁琊) 扣玩劫) 2 l n ，卢，o 序 ( t r 磁) ( t r 弼) = s 2 一p r 醒】2 n ，毋，e 搿 口 r ( 霹琊) 一。r ( 巩凰) 2 l 里s 2 n ，只o 卢 ( 4 ) p ( 域叻一颤瓿嘞) 2 j ；弦( 甄鳓) 1 2 。# 毋 证明：( 1 ) 因为 t r 瑗= 鸳磅= ( 蝎) 2 0 ， l ，jl ，j 由s c h w a r z 不等式褥 ；妒2 ；f t r i l l 2 莓降r 醒1 2 sf 丢静h 2 1 k 萨 ( 2 ) 由于如一( 嚣) 是对称矩阵，所以对l 古i 定的a ，令一碍屯，又因为 ( 鸳一驾) 2 2 l 冀) 2 + ( 椎) 2 】) 茎2 孵) 2 ， j = l 骈醵有 t r ( 霹弼) 一扣( 玩雉) 。 = ，( 螺强磙域蝎曝蝎域) = ( 坶砑吆 磊一好 磊豫h 磊) ： 暑，【( 智) 2 ( 譬) ( 埋) 1 ( 蛾) 。= ( 峙一杖) 2 ( h 曩) 2 声# s ，# ，；女 【( a ? ) 2 + ( a ) 2 】( 曼) 2 ( ? ) 2 ( 彖) 2 o 净，t ， = ( 打蛾) ( t r i l l ) 第9 剪 浙江大学硕士学位论文 球面中具平坦法丛子流形的外蕴几啊研究 两边关于n ，口求和得 0s e t r ( h i 琊) 一t r ( h a h e ) 2 ( t r h i ) ( 打明) = ( 打砩) ( 打明) 一 t r 硼】2 = s 2 一e t r h i 】2 ( 3 ) 由( 1 ) 和( 2 ) 得 州矾硼) 一t r ( h a 嘞) 2 l 妒一【打硼】2 a 尻o 卢 8 s 2 一l s ：堡兰妒 pp ( 4 ) 该不等式称为l i n c o l n 不等式，具体证明可参见： i t o h ，z j m a t h ，s o c j a p a n ，2 z ( 1 0 t s ) ，4 9 7 5 0 6 定义3 2 设m ”是n ”( c ) 的子流形，若m “的平均肺率向量在法丛中是平行 的，即 d 1 f = 0 ， 则称m n 是n n + ，( c ) 中具有平行平均曲率向量的子流形。 定理3 2 设m ”是n ”( c ) 的予流形，贝l j m n 是具有平行平均曲率向量的子流 形：d 1 = 0 甘h = o ，n = n + 1 ，时p ( 3 1 ) 证明：因为嵯= ( e h 焱) e 。，所以 ak n d l = d ( 姑女) + e ( eh k ) d 1 e 。 = e d ( 段) e 。+ e e 氘e “叩8 口 okokd = 【d ( 氛) + e e 磊即。1 又因为h 段的一阶| 办变导数 氪，为 d h 教+ 强 + 幌i + 醒k 邮。 k i ki , k芦，k d ( e h 女) + e r h f k 叩。 dk 第j 口页 浙江大学硕士学位论文珠面中具平坦法丛子流形的外蕴几何研究 由式( 1 ) 和式( 2 ) 得：d 1 = o 等价于 d ( 椎) + 吨呻。= 0 静h 鼠= o ， k8k 推论若式( 3 1 ) 成市，则有 _ b 赫= o ，o = n + 1 ，一，n + p ( 3 2 ) k 证明：由式( 3 1 ) 和h 氘的二阶哳变导数的定义得 h 氛，j w j = d ( h 2 “) + ，壕屿 + 岛i + 域k i 邮。= 0 ， ，t r ，t，卢 故 鼠j = 0 定理3 3 设m “是n n 十，( c ) 中具有平行平均曲率向量得子流形，贝平均i 抖1 率h c 是常数。 证明：设e 。+ - 是单位中f f | 率向量，即 由式( 3 3 ) 和的定义知 对式( 3 4 ) 外微分并由式( 3 1 ) 得 = h e n + 1 ( 3 3 ) n i l ；= o ，a n + 1 ( 3 4 ) k n d h = 砒对1 k = d 菇1 咄一堞1 岫 h 对1 0 3 1 k 一h 段。+ 1 l t ，k k = 0 所以d 日= 0 ，f l p d h = 凰u ；= 0 ，得皿= e i ( h ) = 0 。 故h = c 是常数，当m n 是连通的时，日在m n 上是常数。 类似于定理( 3 1 ) 的证明，我们有 定理3 4 设m “是n ”+ ( c ) 的黎曼子流形0 2 ) ，曲= 打磁，则下列各不 等式成市： ( 1 ) 者研p h 。2 j 2 毋 第j 页 浙江大学硕士学位论文 球面中具平坦法丛子流形的外蕴几何研究 ( 2 ) o 州硼硼) 一t r ( h 。h t 3 ) 2 n 。口n + 1 ( t r h i ) ( 打明) = 岛一p 础p 口，卢n + 1 ，o 卢a c n + 1 ( 3 ) t r ( h 2 a h ；) 一t r ( 巩协) 2 】p p 一- 2 1 。c ，2 a ，卢n + 1 ( 4 ) 叭醒雄2 ) 一打呱绵) 2 】百n p ( 巩炜) 1 2 口n + 1n ，声n + 1 第z 旦页 浙江大学硕士学位论文 球面中具平坦法丛子流形的外蕴几何研究 4 法丛平坦的平行平均曲率子流形 为了证明主要定理，我们先引入下面的引理： 引理4 1 设n 2 ，是个实数，满足a 产。且a ? = 。则有 ti i i 墨n 一2 ) 【n ( n 一1 ) 一n ； i 下面我们证明 主要定理：设m n 是妒+ ，( 1 ) 中具有平行平均曲率的紧致子流形，且m “具有平 坦的法丛，则当s 口( m 日) 时，m n 是全测地大球面s n + l ( 1 ) 的全脐超曲面a 其嘲删) = n + 面岛h 2 一黼归两砰 证明：记妇= ( h 铲1 ) 2 ，=( 蟛) 2 i oi b n + l 由m n 具有平行平均熊率向量，( 2 1 5 ) 式和( 3 2 ) 式得 材1 = 嗽1 泓+ r 。k j k ， ( 4 1 ) k ，mk ，m g = h r 。巧+ 缘兄m k j k + 蝇兄喇 ，卢n 十1 ( 4 2 ) k ，m，mk ，o n + l 由式( 4 1 ) 和式( 2 8 ) 、式( 2 1 0 ) 得： ：a s h = ( 嗽1 ) 2 + a h 。n + 1 一 i ，j t t ，j = ( 嗡1 ) 2 + h 矿1 慧1 陋州6 拈一6 。t + ( 蛾一h ) l i , j ，kt ， k ，m o + 矿1 薪1 陋。6 触一k 协+ ( h 南 段一h 啄) 】 t j , k m o = ( 蒜1 ) 2 + n ( 矿1 ) 2 ( ( 矿1 ) 2 ) 2 一n 2 日2 t ，4 j ， + n h h 铲1 嗡1 硪1 一( ( 唠1h 5 舻 ( 4 3 ) 选取局部标准正交标架场 钆e 2 ，一，e 。+ p ) ，使矩阵日。+ 1 对角化，满足 矿1 a r l 5 i j ，v i ，j 第j ? 页 游江天学磺壹学位论文球面串吴串坦法鉴于流影的外蕴凡何研究 令 a = ( 碍+ 1 ) ， 替+ 1 一嚣一a y l ，汪1 ，2 ，n 鼠= ( p r l ) + 裁 b 1 = 0 ，b 2 = s h n h 2 ， 珐= 3 h s h 一溉蟊3 一蠡 由式( 4 3 ) 、式( 4 7 ) 和式( 4 8 ) 褥： ( 4 4 ) 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) 百t a 妇= ( 嗡1 ) 2 + n s n 一诌一n 2 h 2 + n h f z 一( 芦p 1 醒) 2 l ， 卢n l i 礤1 ) 2 + n s h 一礴一n 2 露2 l ，滞 + n h 3 h 勘一洲址焉南l 霹一岛受 2 薹( 蒜1 ) 2 + b 2 f n + 2 n i l 2 - s - 丽n - 葡2 爿( 跏一删) 1 ， v 、 i , j , k ( 茹1 ) 2 喝【厄丽+ 端日 + 志归f 砸丽丽诵 厮 + 蒜旦一志镢雨乒瓣( 4 - 9 且幽s 。，( 4 1 1 ) 厕+ 丽n ( n - 2 ) 一丽b 归f 丽确石邓 。) 第1 彳页 浙江大学颁士学位论戈球面中嚣平坦法丛子流形的外越几何研究 所以有；s h o 。由日耐极大值原理，8 厝是常数。所以 1 a s h 2 0 由式( 4 锄、式4 1 1 ) 、式( 4 2 ) 和式( 4 。1 3 ) 襻 此即 8 2 = s h n h = 0 所以m ”怒舻+ ( 1 ) 盼伪脐子滤形。 由式( 4 1 ) 、式( 2 1 8 ) 帮式( 2 1 0 ) 褥： ；两=( 嗨) 2 t r 璐+ l 鳓) 2 一 打 圾+ i 鳓) 】2 。 ，j ， ，f l n + l卢n + 1卢n 十l + n h 打( 巩+ 一睇) 一打( 联+ l 哪) + n 研 芦n 1芦+ l 斗t r ( 玩鳓一鳓玩) 2 一矾昂) 】2 o 目n + 1 当掰n 其露平壤法筮瓣，我稍鸯 显然 f 8 ，声+ i d f l # n + 1 h i t h s h 8 h 。 ( 4 1 3 ) 4 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) r ( 玩鳓) 1 2 扣( 玩) 2 打( 玛) 2 = 冀 7 舅h + l 综合式( 4 1 4 ) 、式( 4 1 5 ) 、式( 4 1 6 ) 和式( 4 1 7 ) ，我们有 第5 页 浙江大学硕士学位论文 球面中县平坦法丛干流形的外蕴几何研究 ；( 竭女) 2 + ( + n h 2 ) s x 一霹 ；j ，女# + l 一曲+ n h 2 一) 一受( - v2 n h 2 一s ) 由曲0 ，且当s a ( n ，日) 时， s a ( 竹，h ) 托+ 2 n h 2 我们有i 毋o a 由h 耐极大值原理，曲是常数。所以 ；毋扎 由式( 4 1 4 ) 、式( 4 1 5 ) 和式( 4 1 8 ) 得： s | = 0 ( 4 。1 8 ) ( 4 1 9 ) ( 4 2 0 ) 4 + 2 i ) 此时m ”位- 7 ：n + l 烬全钡4 地大球面s n + l ( 1 ) 中。由式( 4 1 4 ) 和式( 4 。2 1 ) ，m ”鼹7 t , + 1 维 全溺建大薅瑟1 ( 1 ) 鹣全麓趣鼗嚣 第，s 页 浙江大学硕士学住论文球面中具平坦法丛子流形的外蕴几何研究 参考文献 【1 s s c h e r n ，md oc a r m oa n ds k o b a y a s h i ，m i n i m a ls u b m a n i f o l d so fas p h e r ew i t hs e c o n d f u n d a m e n t a lf o r mo fc o n s t a n tl e n g t h ，f u n c t i o n a n a l y s i sa n dr e l a t e df i e l d s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ( 1 9 7 0 ) 【2 】sy c h e n g a n ds ty a n ，h y p e m u r f a c e sw i t hc o n s t a n ts c a l a r c u r v a t u r e ， m a t ha n n 2 2 5 ( 1 9 7 7 ) ，1 9 5 - 2 0 4 【3 】3s g o l d b e r g ，c u r v a t u r ea n dh o m o l o g y ，a c a d e m i cp r e s s l o n d o n ，1 9 6 2 1 4 】bl a w s o n ，l o c a lr i g i d i t yt h e o r e m sf o rm i n i m a lh y p e r s u r f a c e s ，a n n o f m a t h ，8 9 ( 1 9 6 9 ) ，1 8 7 - 1 9 7 【5 】5 aml ia n dj ml i ，a ni n t i n s i cr i g i d i t yt h e o r e mf o rm i n i m a ls u b m a n i f o l d si nas p h e r e ， a r c h m a t h 5 8 ( 1 9 9 2 ) ，5 8 2 - 5 9 4 【6 】6j s i m o n s ，m i n i m a lv a r i e t i e si nr i e m a n n i a nm a n i f o l d s ，a n no f m a t h ，8 8 0 9 s 8 ) ，6 2 1 0 5 【7 】k s h i o h a m a a n dhw x u ，ag e n e r a l r i g i d i t y t h e o r e mf o rc o m p l e t es u b m a n i f o l d s ， n a g o y a ，m a t h j ，1 5 0 ( 1 9 9 8 ) ，1 0 5 - 1 3 4 【8 】r w a l t e r ，c o m p a c th y p e r s u r f a c e sw i t , h ac o n s t a n th i g h e rm e a nc u r v a t u r ef u n c t i o n ， m a t h a n n ，2 7 0 ( 1 9 8 5 ) ，1 2 5 - 1 4 5 【9 h w x u ， ar i g e d i t yt h e o r e mf o rs u b m a n i f o l d sw i t h p a r a l l e l m e a nc u r v a t u r ei na s p h e r e ，a r c h m a t h ，6 1 ( 1 9 9 3 ) ，4 8 9 - 4 9 6 1 0 hwx u ，o nc l o s e dm i n i m a ls u b m a n i f o l d si np i n c h e dr i e m a n u i a nm a n i f o l d s ，t r a n s ams ， 3 4 7 ( 1 9 9 5 ) ，1 7 4 3 - 1 7 5 1 1 1 】h wx u ，l o w e rb o u n d sf o re i g e n v a l u e so fs u b m a _ l f i f o l d si nar i e m a n n i a nm a n i f o l d ( 1 9 9 2 ) 1 2 js t y a u ，s u b m a n i f o l d sw i t hc o n s t a n tm e n uc u r v a t u r