（应用数学专业论文）几类生物动力系统的定性分析及分岔研究.pdf

几类生物动力系统的定性分析及分岔研究 应用数学专业 研究生黄德青指导教师张伟年 定性理论在常微分方程的研究中是十分重要的它是由常微分方程来直接 研究和判断解的性质的理论，其思想已经逐渐渗透到其它数学分支对维数较 低的系统特别是二维平面系统，定性理论的研究已取得丰富的结果其中，一个 基本内容是研究系统的所有极限集( 或不变集) 的拓扑结构或者定性结构，它们 包括：( 1 ) 奇点，( 2 ) 周期解( 闭轨线) ，或者( 3 ) 奇点与t 一+ o o t 一一时 趋于这些奇点的轨道( 如，同宿轨和异宿轨) 当这些极限集形式被讨论清楚之 后，系统的基本的定性结构就可以确定了然而，当系统具有某些退化性时，要 简单的讨论它们任何一类都是不够充分的所以，随着系统参数的连续变化， 系统发生的分岔现象也是我们关心的主要内容之一它是指对含参数的微分系 统当参数变动并经过某些临界值时系统拓扑结构会发生突然变化的现象弄清 了系统的分岔甚至给出了它的普适开折，该系统所发生的所有物理现象都将昭 然若示在分岔问题中。比较困难的情况是余维大于或等于2 的分岔和非局部 分岔 用数学模型描述生态学、医学，人口学中的某些系统已有悠久的历史，而 常微分方程是用来描述这些系统动力学行为的主要手段如何根据实验数据或 统计资料建立反映实际系统动力学行为的数学模型，以及如何改进或推广已有 经典数学模型而使其动力学行为更适合实际或更符合实验数据等都是令人关注 的问题这些模型几乎涉及到微分方程研究的各个分支对应于定性理论的研 究，人们普遍关心的正是上述各类模型局部和全局解的存在性，奇点和周期解 的存在性、稳定性和不存在性，全局渐近行为，以及分岔、混沌等动力学性质 在第二章，我们首先一般地介绍了向量场退化奇点及其邻域内发生的分 岔等相关内容为了分析系统的全局动力学性质，相对于所有有限远处的定性 讨论，无穷远奇点的分析在系统定性理论分析中也占有重要的地位它们反映 的是系统变量在大范围内的增长趋势所以，关于无穷远奇点的一些分析和判 断方法也在第二章中给出 在第三章。我们考虑一类广义b r u s s e l a t o r 系统的周期解及无穷远奇点问 题，该系统是描绘一个多分子反应过程的p + q 次多项式微分系统它在许多特 殊参数条件下的定性结果已经非常丰富了然而对于最一般的情况即p ，q 都是 不确定的正整数时，其定性性质的讨论还有待深入在前人关于该系统的定性分 析的基础上，我们完善了对该系统唯一奇点的讨论并证明该奇点为细焦点时的最 高重数为1 ，进而更正了前人的h o p f 分岔结果，此外，应用p o i n c a r 6 一b e n d i x s o n 定理和b e n d i x s o n - d u l a c 判据，我们还讨论了系统周期解的存在性和不存在性 进一步地，为了分析b r u s s e l a t o r 系统的全局动力学性质，我们还对该系统的无 穷远奇点进行了讨论在某些情形，我们发现t 当无穷远奇点具有较高退化性 时，常用的b l o w i n g - u p ( 应用b r i o t b o u q u e t 变换将一个复杂奇点打散成几个 简单奇点) 方法、二扇区方法和正常区域的办法都不方便甚至不能使用通过 利用文献【n o n l i n e a r i t y1 7 ( 2 0 0 4 ) ，1 4 0 7 - 1 4 2 6 】中提出的广义正常区域方法( 简称 为g n s 方法) ，我们的困难得以克服，其中允许曲线或者系统轨道为广义正常 区域的边界，而且该区域也不一定是要研究的特殊方向的角形邻域最终。我 们得到了系统无穷远奇点处的所有特殊方向以及沿这些特殊方向进出奇点的轨 道的情况 文献 jd i f fe q u 1 8 8 ( 2 0 0 3 ) ，1 3 5 1 6 3 】研究了一类具有非线性发生率的约 化s i r s 模型的h o p f 分岔、b o g d a n o v t a k e n s 分岔和周期解的存在唯一性问 题由于某些计算上的困难，作者并没有证明该系统中细焦点的重数大于1 的 可能性，所给出的周期解唯一性条件和两个周期解共存的条件也是由实际参数 难以验证的在第四章，我们首先克服在高阶l i a p u n o v 量计算时导致的技巧性 困难而证得细焦点6 的最高重数为2 ，因此一个退化的h o p f 分岔在一定的 参数条件下发生此外，我们化系统为一个标准的l i 6 n a r d 方程形式，利用关于 l i 6 n a r d 方程的已有的结果得到一组由系统原始参数组成的更易判断的周期解 唯一性条件进一步地，我们考虑约化s i r _ s 模型的退化的b o g d a n o v - t a k e n s 分 岔这是一个余维为3 的尖点所产生的分岔由于文献f jd i f f e q u 1 8 8 ( 2 0 0 3 ) ， 1 3 5 1 6 3 i 只讨论了该系统的非退化的b o g d a n o v - t a k e n s 分岔，所以系统的周期 解不能被完全分析到进而，两个周期解共存以及一个周期解和一个同宿环共 存的分岔值无法得到这里，我们化该系统为余维为3 的b o g d a n o v - t a k e n s 分 岔的普适开折形式，对其周期解和同宿环的分岔进行讨论，进而获得了以上条 件 在第五章，我们继续考虑一类酶催化反应系统由于该系统的奇点由一个 三次多项式决定，而且该多项式的系数与系统参数5 0 ，a o d 。k ，p 具有复杂的对 应关系，所以在许多情况下奇点的坐标甚至奇点的个数都难以确定因此，所有 关于此系统的定性性质和分岔分析( 包括b o g d a n o v - t a k e n s 分岔) 方面的已有 结果都是在一个人为的参数s 的基础上给出的，其中s 代表系统一般奇点f 的s 坐标这里，我们放弃计算奇点处特征值的常规做法，转而根据函数的连续 性单调性和一些不等式技巧给出了系统奇点关于原始参数的完整分析此外， 为了考察当酶和催化剂浓度大量增加时的全局变化趋势我们也利用广义正常区 域的方法讨论了系统的无穷远奇点在系统的b o g d a n o v - t a k e n s 分岔分析中，由 于都没有化简对应的扰动b o g d a n o v - t a k e n s 系统为一普适开折形式。已有的结 果只是利用数值模拟的方法进行讨论而不能对其进行更为透彻的分析，比如分 析周期轨道和同宿轨道共存的参数条件所以，为了展示系统b o g d a n o v - t a k e n s 分岔中的所有现象( 特别是，在已有文献中没有涉及到的现象) ，我们化系统为 它的正规形并且给出关于参数k ，p 的普适开折最后，关于系统原参数的周期 解分岔曲线和同宿轨分岔曲线被明确的给出 关键词：生物动力系统，退化奇点，广义正常区域，周期解，分岔，普适开 折 i i i q u a l i t a t i v ea n a l y s i sa n db i f u r c a t i o nr e s e a r c hi ns e v e r a l b i o l o g i c a ld y n a m i cs y s t e m s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：h u a n gd e q i n g s u p e r v i s o r ：z h a n gw e i n i a n q u a i i t a t i v et h e o r y , w h i c hd i r e c t l yj u d g e st h eq u a l i t a t i v ep r o p e r t i e so fs o l u t i o n s b yo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o d s ( o d e s ) t h e m s e l v e s ti sv e r yi m p o r t a n ti nt h es t u d y o fo d e s t h ei d e a so fq u a l i t a t i v et h e o r yi si n f l u e n c i n go t h e rm a t h e m a t i c a lb r a n c h e s g r a d u a l l y p l e n t i f u lr e s u l t sa l eo b t a i n e df r o ms y s t e m so fl o w e rd i m e n s i o n s ，e s p e c i a l l y f r o mp l a n a xs y s t e m s af u n d a m e n t a lt a s kh e r ei st oa n a l y z et h et o p o l o g i c a lo rq u 小 i t a t i v es t r u c t u r e so fa l ll i m i ts e t s ( o ri n v a r i a n ts e t s ) ，w h i c hi n c l u d e ( 1 ) e q u i l i b r i u m ， ( 2 ) p e r i o d i cs o l u t i o n ( 1 i m i tc y c l e ) ，o r ( 3 ) e q u i l i b r i aa n dt h eo r b i t sw h i c hg ot o w a r d s t h ee q u i l i b r i a t _ + t _ 一o o a f t e rt h e s el i m i ts e t sa x ed i s c u s s e dt h o r o u g h l y , t h es t r u c t u r eo fs y s t e mc a nb ed e t e r m i n e da p p r o x i m a t e l y h o w e v e r ，w h e ns y s t e mh a s s o m ed e g e n e r a c i e s ，i ti so b v i o u s l yn o ts u f f i c i e n tt od i s c u s st h e mo n l yi nas i m p l ew a yo r o n l yd i s c u s sa n yo n eo ft h e m t h u s ，w i t ht h es u c c e s s i v ec h a n g eo fs y s t e mp a r a m e t e r s ， w en e e dt of u r t h e rc o n s i d e ra n o t h e rt y p i c a lp h e n o m e n o n - b i f u r c a t i o n a sp a r a m e t e r s o fad i f f e r e n t i a ls y s t e ma r ev a r i e d ，c h a n g e sm a yo c c u ri nt h eq u a l i t a t i v es t r u c t u r eo f t h es o l u t i o n sf o rc e r t a i np a r a m e t e rv a l u e s t h e s ec h a n g e sa x ec a l l e db i f u r c a t i o n s i f b i f u r c a t i o n so re v e nav e r s a lu n f o l d i n ga x eg i v e n ，a l lp h y s i c a lp h e n o m e n ao ft h i ss y s - t e r nd r ec l e a r t h ed i 伍c u l tc a s e sa r eb i f u r c a t i o n so fc o d i m e n s i o n 2a n dn o n l o c a l b i f u r c a t i o n s p o r t r a y i n gs y s t e m si nb i o n o m i c s ，i a t r o l o g ya n dd e m o l o g yb yc o n s t r u c t i n gm a t h e - m a t i e a lm o d e l sh a sg o n et h r o u g hal o n gh i s t o r ya n do d e sa r et h em a i ni n s t r u m e n tt o a n a l y z et h e i rd y n a m i c a lb e h a v i o u r s m a n yp e o p l ea r ef o c u s i n go nt h ef o l l o w i n gi s s u e s ： h o wt om a k eam o d e lw i t he x p e r i m e n tr e s u l to rs t a t i s t i c a li n f o r m a t i o nt or e f l e c tt h e d y n a m i c so fa c t u a ls y s t e m ；h o wt oe x t e n do rp e r f e c tt h ek n o w nm o d e l ss ot h a tt h e i r d y n a m i c sc a ns a t i s f yt h ep r a c t i c eo re x p e r i m e n td a t am o r ea c c u r a t e l y , e t c t h e s e m o d e l sa r er e l a t e dt om a n yb r a n c h e so fo d e sr e s e a r c h c o r r e s p o n d i n gt oq u a l i t a - t i r ea n a l y s i s ，w ep a yo u ra t t e n t i o nt ot b ee x i s t e n c eo fl o c a la n dg l o b a ls o l u t i o n s ，t h e e x i s t e n c e ，s t a b l i t ya n dn o n e x i s t e n c eo fe q u i l i b r i u ma n dp e r i o d i cs o l u t i o n s ，g l o b a l l y a s m p t o t i c a lb e h a v i o u r s ，a n do t h e rd y n a m i c a lp r o p e r t i e ss u c hu sb i f u r c a t i o na n dc h a o s i nc h a p t e r2 ，w ef i r s ti n t r o d u c et h er e l a t e dc o n t e n to fv e c t o rf i e l d ，d e g e n e r a t e e q u i l i b r i u ma n di t sb i f u r c a t i o n s c m p a r e dw i t ht h ei n v e s t i g a t i o no fe q u i l i b r i aa t f i n i t y ，t h ea n a l y s i so fe q u i l i b r i aa ti n f i n i t ya l s op l a y sa ni m p o r t a n tr a l e ，i tr e t i e c t s t h et e n d e n c yo fd i s c u s s e dv a r i a b l e sg r o w i n gi nl a r g ea m o u n t w h i c hi sh e l p f u lf o ru st o d i s c u s sg l o b a lq u a l i t a t i v ep r o p e r t i e so ft h es y s t e m t h e n ，s o m em e t h o d sf o rd i s c u s s i n g i n f i n i t ee q u i l i b r i u ma r ea l s og i v e ni nc h a p t e r2 i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rp e r i o d i cs o l u t i o n sa n de q u i l i b r i aa ti n f i n i t yf o rag e n e r - a l i z e db r u s s e l a t o rs y s t e mt h i ss y s t e mi sap o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t ho r d e r p + qa n dp o r t r a y sap r o c e s so fm u l t i m o l e c u l a rr e a c t i o n i t sq u a l i t a t i v er e s u l t sa x ea l ， r e a d yv e r ya b u n d a n tf o rs o m es p e c i a lc a s e s b u tf o rt h em o s tg e n e r a lc a b e ，i e ，pa n dq a r eu n s p e c i f i ci n t e g e r s ，i t sq u a l i t a t i v ep r o p e r t i e sn e e dm o r ec o n s i d e r a t i o n a f t e rs o m e l i t e r a t u r es u r v e y , w ep e r f e c tt h eq u a l i t a t i v ed i s c u s s i o no ft h es y s t e ma n dp r o v et h a tt h e m u l t i p l i c i t yi sa tm o s to n ew h e nt h eu n i q u ee q u i l i b r i u mi saw e a kf o c u s ，a n dt h e r e f o r e c o r r e c tt h ep r e v i o u sh o p fr e s u l t m o r e o v e r ，a p p l y i n gt h ep o i n c a r 6 一b e n d i x s o nt h e o - r e ma n db e n d i x s o n d u l a cc r i t e r i o n ，w ef u r t h e r d i s c u s st h ee x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c e o fp e r i o d i cs o l u t i o n a l t h o u g ht h eg e n e r a l i z e db r u s s e l a t o rs y s t e mh a sb e e nd i s c u s s e d d e t a i l e d 蚍w ef u r t h e ra n a l y z ei ta ti n f i n i t yt o 酣i t sg l o b a ld y n a m i c s i ns o m ec a s e s ， t h ed e g e n e r a c i e so fi n f i n i t ee q u i l i b r i aa r es oh i g ht h a tt h ec o m m o nm e t h o d si n c l u d - i n gt h eb l o w i n g u pm e t h o d ( w h i c hd e c o m p o s e sac o m p l i c a t e de q u i l i b r i u mi n t os e v e r a l s i m p l eo n e sw i t ht h eb r i o t b o u q u e t st r a n s f o r m a t i o n ) ，t h ez s e c t o rm e t h o da n dt h e n o r m a ls e c t o rm e t h o dd on o tw o r k o u rd i f f i c u l t i e sa r eo v e r c o m ei nt h i sp a p e rb y u s i n g t h em e t h o do fg e n e r a l i z e dn o r m a ls e c t o r s ( g n sf o rs h o r t ) ，p r o v i d e db y 【n o n l i n e a r i t y 1 7 ( 2 0 0 4 ) ：1 4 0 7 - 1 4 2 6 ，w h i c ha l l o w sc u r v e sa n do r b i t st ob ep a r to fi t sb o u n d a r y ，m a y n o tb ea na n g u l a rn e i g h b o r h o o do ft h ec h a r a c t e r i s t i cd i r e c t i o n u s i n gt h i sm e t h o dw e d e t e r m i n et h ec h a r a c t e r i s t i cd i r e c t i o n sa n dt h en u m b e r so fo r b i t sw h i c hg ot o w a r d so r a w a yf r o mt h ee q u i l i b r i aa ti n f i n i t y r e f e r e n c e 【jd i f f e q u1 8 8 ( 2 0 0 3 ) ，1 3 5 - 1 6 3 】c o n s i d e r e dh o p fb i f u r c a t i o n ，o g d a n o v - t a k e n sb i f u r c a t i o na n de x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fp e r i o d i cs o l u t i o nf o rar e d u c e d s i r sm o d e lw i t han o n l i n e a ri n c i d e n c er a t e f o rs o m ed i m c a l t i e si nc o m p u t a t i o nt h e p o s s i b l i t i e so fw e a kf o c u so fm u l t i p l i c i t ym o r et h a n1a r en o tp r o v e di nt h er e f e r e n c e m o r e o v e r ，t h ec o n d i t i o n so fu n i q u e n e s sa n dc o - e x i s t e n c eo ft w op e r i o d i cs o l u t i o u sa r e h a r dt oc h e c kw i t hp r a c t i c a lp a r a m e t e r s i nc h a p t e r4 ，w ef i r s tp r o v et h a tt h em a x i m a l m u l t i p l i c i t yo ft h ew e a kf o c u si s2b yt e c h n i c a l l yd e a l i n gw i t hc o m p l i c a t e dm u l t i v a r i a t ep o l y n o m i a l si nt h ec o m p u t a t i o no ft h es e c o n do r d e rl i a p u n o vv a l u e t h e n ，b y t r a n s f o r m i n gt h er e d u c e ds i r ss y s t e mi n t oas t a r d a r dl i 6 n a r df o r mw eg e taf e u s i b l e c o n d i t i o ne x p r e s s e db yt h ep r a c t i c a lp a r a m e t e r sf o rt h eu n i q u e n e s so fp e r i o d i cs o l u t i o nf u r t h e r m o r e w ec o n s i d e rat y p i c a lb i f u r c a t i o np h e n o m e n o n b o g d a n o v t a k e n s b i f u r c a t i o ni nt h i ss y s t e m ，w h i c hi sab i f u r c a t i o no fc o d i m e n s i o n3f o rac u s p ，s i n c et h e d i s c u s s i o no nn o n - d e g e r a t eb o g d a n o v - t a k e n sb i f u r c a t i o ni n 【jd i f f e q u 。1 8 8 ( 2 0 0 3 ) ， 1 3 5 1 6 3 】c a n n o td i s p l a ya l lp e r i o d i cs o l u t i o n s ，a n dt h e r e f o r en e i t h e rt h eb i f u r c a t i o n v a l u ef o rt h ec o - e x i s t e n c eo ft w op e r i o d i cs o l u t i o n sn o rt h eo n ef o rt h ec o - e x i s t e n c eo f ap e r i o d i cs o l u t i o na n dah o m o c l i n i cl o o pi sf o u n d i nt h i sc h a p t e r t h e s ec o n d i t i o n s a r eo b t a i n e db yar e d u c t i o nt oaf o r mo fu n i v e r s a lu n f o l d i n gf o rac u s po fc o d i m e n s i o n 3a n dad i s c u s s i o no nb i f u r c a t i o n so fp e r i o d i cs o l u t i o n sa n dh o m o e l i n i cl o o p so fo r d e r 2 i nc h a p t e r5 ，w em o v eo v e rt oa ne n z y m e - c a t a l y z e dr e a c t i o ns y s t e m t h i ss y s - t e md e p e n d so nac u b i cp o l y n o m i a lw i t hs u c hac o m p l i c a t e dr e l a t i o nb e t w e e ni t s c o e f f i c i e n t s8 0 ，a n ，口，k ，pa n dt h eo r i g i n a lp a r a m e t e r st h a tt h ec o o r d i n a t e so fe q u i l i b r i a o re v e nt h en u m b e ro fe q u i l i b r i ac a l lh a r d l yb ed e t e r m i n e di nm a n yc a s e s a l lf o u n d r e s u l t so ni t sq u a l i t a t i v ep r o p e r t i e sa n db i f u r c a t i o n sa r eg i v e ni n d i r e c t l yf o rt h ea r t i f i c i a lp a r a m e t e r 乩，ac o o r d i n a t eo fag e n e r a le q u i l i b i r u m i nt h i st h e s i s n o tf o l l o w i n g t h ec o m m o ni d e ao fc o m p u t i n ge i g e n v a l u e sa te q u i l i b r i a w eg i v eac o m p l e t ea n a l y s i s o fe q u i l i b r i ad i r e c t l yf o rt h o s eo r i g i n a lp a r a m e t e r sb yu s i n gc o n t i n u i 咄m o n o t o n i c i t y a n ds o m et e c h n i q u e so fi n e q u a l i t y m o r e o v e r ，i no r d e rt oi n v e s t i g a t et h eg l o b a lt r e n d o fs y s t e mc h a n g ew h e nt h ec o n c e n t r a t i o n so ft h et w oc h e m i c a ls p e c i e si n c r e s ee x c e s s i v e l y ，w ea l s od i s c u s si n f i n i t ee q u i l i b r i ao ft h es y s t e mb yu s i n gt h eg n sm e t h o d a s f o rt h eb o g d a n o o v - t a k e n sb i f u r c a t i o na n a l y s i so fs u c has y s t e m ，s i n c en o tr e d u c i n g t h ec o r r e s p o n d i n gp e r t u r b e db o g d a n o o v - t a k e n ss y s t e mt oav e r s a lu n f o l d i n gf o r m ，t h e c o n d i t i o no fp a r a m e t e r sf o re x i s t e n c eo fp e r i o d i co r b i t sa n dh o m o c l i n i co n e sw a sn o t o b t a i n e d ，a l t h o u g ht h o s eo r b i t sw e r es i m u l a t e dn u m e r i c a l l yf o rs o m es p e c i f i e dp a r a m e - t e r s t h e r e f o r e ，i no r d e rt oe x h i b i ta l lp h e n o m e n ai ni t sb o g d a n o v - t a k e n sb i f u r c a t i o n ( i np a r t i c u l a r ，t h o s ep h e n o m e n an o td i s p l a y e db e f o r e ) ，w er e d u c et h eo r i g i n a ls y s t e m 幻i t sn o r m a lf o r ma n dg i v eav e r s a lu n f o l d i n gt ot h ep a r a m e t e r s 片，p f i n a l l y , b i f u r c a r t i o nc u r v e so fp e r i o d i co r b i t sa n dh o m o c l i n i co r b i t sa r ep r e s e n t e de x p l i c i t l yw i t ht h e o r i g i n a lp a r a m e t e r s k e yw o r d s ：b i o l o g i c a ld y n a m i cs y s t e m ，d e g e n e r a t ee q u i l i b r i u m ，g e n e r a l i z e d n o r m a ls e c t o r ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，b i f u r c a t i o n v e r s a u n f o l d i n g v l 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果。也不包含为获得四川大学或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导下取得的，论文成 果归四川大学所有特此声明 导师 作者 鍪鹭 二零零七年三月二十五日 l吱 致谢 首先，我要真诚地感谢我的导师张伟年教授，感谢他在我 的整个研究进程中所给予我珍贵的灵感、富有价值的引导、 支持和鼓励。正是他在微分方程领域令人印象深刻的学术成 就吸引着我在定性理论方面开展研究工作没有他专业的引 导和帮助，就不会有我这本论文的完成他在科学研究中永 无穷尽的热情、严谨的科学态度和毫不畏惧的勇气都曾让我 在自己的研究工作中充满动力同他一起工作给了我一段富 有成果的愉快经历 其次，我要感谢唐异垒博士，因为我的大部分工作是与 她合作完成的，其问我分享了她的很多思想，采纳了她的很 多建议，这些都对我帮助很大我还要感谢徐冰副教授、杜 正东副教授、冷忠建老师、高波老师以及何志蓉、陈兴武等 同学对我学习上的大力帮助此外，我还要感谢微分方程讨 论班上的其他所有同学，他们也对我的研究提出了许多富有 建设性的建议和有益的鼓励。我非常感激在过去的五年中我 们一起营造的友好合作氛围和令人难以忘怀的美好时光。我 也要感谢数学学院实验室中的所有老师，他们为我的工作提 供了很好的研究设备 最后，我要把我的论文献给我的妻子和父母，感谢他们 的支持、鼓励和爱 第一章绪论 常微分方程是包含一个自变量和它的未知函数及未知函数的微商的等式 我们所研究的方程几乎都具有很强的实际背景实际上，对自然界的许多研究 比如小至细菌的繁殖植物的初期生长溶液的冲淡放射性元素的衰变大 至人造卫星的运动、天体之间的相互作用等等都可以化成对相应的运动微分方 程进行研究从而分析这些实际问题中的某些特定规律所以说，微分方程是 数学理论联系实际的重要渠道之一追溯历史，我们不难发现：在二十世纪以 前，微分方程问题主要来源于几何学，力学和物理学。而现在则几乎在自然科 学和工程技术的每一个领域都有或多或少的微分方程的问题，甚至和生物学和 农学也密切的挂上了钩正因为如此，所以在微分方程理论中出现的问题种类 是极其丰富多彩的 事实证明：现实中绝大多数的微分方程是不可能解出解的具体表达形式的， 而且在许多实际问题中也并不需要给出解的具体表达形式，而只需要知道微分 方程解的一些定性性质这导致了关于解的定性理论的研究常微分方程定性 理论的基本思想是用给定的常微分方程直接来研究和判断解的性质这个理论 在常微分方程的研究中往往具有其独特的功能当前由于电子计算机的发展给 定性理论研究提供了有力的工具，同时定性理论分析也往往给数字计算提供理 论依据常微分方程定性理论从h p o i n c a r 6 发表的奠基性工作“微分方程所定 义的积分曲线”起，一百多年来得到了蓬勃的发展它已成为从事许多学科和 尖端技术( 包括生物科学，经济学、自动控制理论，航天技术等) 研究不可或缺 的数学工具，并且定性的思想和技巧已逐步渗透到其它的效学分支，例如偏微 分方程等 1 1 生物动力系统 一个应用微分方程定性理论的典型例子就是；2 0 世纪2 0 年代初。l o t k a 和v o l t e r r a 几乎同时分别把微分方程动力学的方法用在分子化学反应和海洋渔 业生态系统的研究中通过对这些系统的定性研究，其系统所包含的可能发生 的现象被仔细讨论了而这些讨论正反映了化学反应中的反应本质和生态系统 中的发展规律经过近半个世纪的发展，一个利用相关的理论分析和处理各种 不同的生化系统的全新领域逐渐形成一生物动力系统自此，在物理学，力学 1 第2 页第一章绪论 中人们巳熟知的动力学方法才真正在生命科学研究中得到了应用在这个过程 中，出现了许多内容丰富的分支领域，它们的研究表明在生命科学中有许多的 现象是符合动力学规律的例如。细胞动力学分析生物分子、细胞的相互作用， 以及细胞的增长规律；化学反应动力学研究分子之间的化学反应动力学规律； 种群动力学讨论生态学中种群与环境的相互作用以及种群与种群相互作用的动 力学规律另外，种群遗传基因频率的变化，生物进化论规律，微生物培养技 术，人类神经网络等均可用动力学方法来描述和讨论并且，诸如传染病的流行 等行为科学，利用动力学的方法也得到了很有说服力的结论具体地，以传染 病动力学为例，我们通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟来显 示疾病的发展过程，揭示其流行规律，预测其变化发展趋势，分析疾病流行的 原因和关键因素，寻求对其预防和控制的最优策略，为人们制定防治决策提供 理论基础和数量依据由于我们不能在人群中进行传染病的实验，因此通过所 建立的数学模型来进行理论分析和数值模拟就显得格外重要我们不仅可以利 用数学模型来进行预测，还可进行各种虚拟的实验这样可以研究各种不同防 治措旋对疾病流行的影响；对同一疾病在不同环境和不同种群中加以比较或 对不同疾病在同一种群中进行比较；分析并确定影响疾病流行的最敏感的参数 等而这些实验对疾病的防治将提供重要的依据和指南与传统的生物统计学 方法相比，动力学方法能更好地从疾病的传播机理方面来反映流行规律，能使 人们了解流行过程中的一些全局性态传染病动力学与生物统计学以及计算机 仿真等方法的相互结合、相辅相承，使人们对疾病流行规律的认识更加深入， 全面，能使所建立的理论与防治策略更加可靠和符合实际 在生物动力系统的研究中，第一个困难应该是数学模型的建立，即如何构 造能够表现和描述真实世界某些现象、特征和规律的数学系统由于现实世界 中的任何系统都不足相对独立的，可以影响该系统行为的因素完全可能非常复 杂，所以我们不但要考虑哪些因素是至关重要的哪些因素可以忽略，而且还要 考虑如何用数学的手段表达这些因素实际上，当假设被表达为模型后，通过对 该模型的分析以及把分析的结果与现实系统中的现象，特征和规律加以比较， 我们可以推翻错误的假设修正不完善的假设，坚定正确的假设直到一个足 够准确的模型被建立起来仍然以传染病动力学为例1 9 2 7 年k e r m a c k 与 m a c k e n d r i