（应用数学专业论文）变分lyapunov方法与脉冲泛函微分系统的稳定性理论.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的i q 志x 寸 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名 茜名霞 导师签字 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复e p 4 c - , u f r 菇舟，允许论文被查阅和借阅。本人授权堂 盘可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：蔫奋霞 导师签字 签字日期：2 0 0 f 年f 月3 1 日签字日期：2 0 0 多年g 月引f 山东师范大学硕士学位论文 变分l y a p u n o v 方法与脉冲泛函微分系统的稳定性理论 黄志霞 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文主要研究如下具有有界滞量的脉冲泛函微分系统 iz 他) = f ( t ，x t ) ：t t o ，t t k ， a x ( t ) = 矗( z ) ，t = t k ，女= 1 ，2 ，( ，) 【z 。古 = 妒， 其中z c ( 口) = z ( t + 目) ，目 一r ，o 众所周知，一方面，在对非线性微分系统进行研究时，若其扰动项是线性 的，或者虽为非线性但具有一定的光滑性，那么参数变易法是非常有效的另 一方面，l y a p u n o v 第二方法在非线性微分系统研究中的重要性己被充分显示 和证明，它对当代非线性微分系统稳定性理论的建立和发展起到了重要的推 动作用【1 5 】由于它们在研究问题都非常有用，为了进一步发挥两种方法的优 势，自然会使人想到将其有机结合，从而形成了一种新的方法一变分l y a p u n o v 方法i s 】利用变分l y a p u n o v 方法，在对无时滞的脉冲微分系统的稳定性研究 中已取得了不少成果1 6 2 引但是，利用变分l y a p u n o v 方法，对于带时滞的 脉冲泛函微分系统的稳定性研究及其应用还不多见 2 4 - 2 6 1 本文，我们利用变 分l y a p u n o v 方法研究系统( i ) 两个测度的稳定性全文分为三章 在第章中，我们给出了引言和预备知识，介绍了本文的背景和此类问题 的研究现状本章是全文内容的基础 在第二章中，我们首先给出了一个系统( i ) 关于变分l y a p u n o v 函数的比 较定理和几个推论，从而将脉冲泛函微分系统( i ) 的解与一般微分系统的解 联系起来，并说明了系统( i ) 的变分l y a p u n o v 函数思想然后，在上述比较定 理的基础上，得到了系统( i ) 关于两个测度稳定性的比较结果最后举例说明 了定理的实用性在证明本章这些结果时，由于具有有界滞量的脉冲泛函微 分系统( i ) 自身具有的特征所带来的困难，我们需要更复杂的分析 在第三章中，通过变分l y a p u n o v 函数与几种不同类型的l l a z u m i k h i n 条 件结合，我们得到了种r a z u m i k h i n 型的变分l y a p u n o v 方法利用这种方 法我们给出了系统( i ) 关于两个测度的稳定性的直接结果本章后半部分，通 山东师范大学硕士学位论文 过与先前使用l y a p u n o v 函数方法得出的结果加以比较，我们不难发现，先 前的一些著名定理可作为本章结果的特殊情况，说明我们的结果更具一般性 最后给出例子说明定理的应用性 关键词：脉冲泛函微分系统，变分l y a p u n o v 函数，r a z u m i k h i n 技巧 稳定性，两个测度 分类号：0 1 7 5 2 1 2 山东师范太学硕士学位论文 v a r i a t i o n a ll y a p u n o vm e t h o da n ds t a b i l i t y t h e o r yf o ri m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i 舵r e n t i a l s y s t e m s h u a n gz h i x i a s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h m 】d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，prc h i n a a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h ei m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e mw i t h f i n i t ed e l a ya sf o l l o w s iz ( t ) = f ( ，钆) ，t t o ，t t k ， z ( ) 一厶( 卫) ，t = 玩k = l ，2 ，-( _ ，) l o 古 = 妒， w h e r ez t ( o ) = 。0 + p ) ，0 一7 _ ，o i t i sw e l lk n o w nt h a tt h em e t h o do fv a r i a t i o no fp a r a m e t e r sh a sb e e naw e l l k n o w na n du s e f u lt o o ii nt h ei n v e s t i g a t i o no fs o l u t i o n so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw h i c hu n p e r t u r b e dp a r t sa r el i n e a ro rs m o o t hn o n l i n e a r i na d d i t i o n ，i t i su o ww e l lr e c o g n i z e dt h a tl y a p u n o vs e c o n dm e t h o di sa ni m p o r t a n ta n df r u i t f u it e c h n i q u et h a th a sg a i n e di n c r e a s i n gs i g n i f i c a n c ea n dh a sg i v e nad e c i s i v e i m p e t u sf o rm o d e r nd e v e l o p m e n to fs t a b i l i t ya n a l y s i so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l s y s t e m s 1 5 ：s i n c et h em e t h o do fv a r i a t i o no fp a r a m e t e r sa n dt h el y a p u n o v ss e c - o n dm e t h o da r eb o t he x t r e m e l yu s e f u la n de f f e c t i v et e c h n i q u e s ，i ti sn a t u r a lt o c o m b i n et h e s et w oa p p r o a c h e si no r d e rt ou t i l i z et h eb e n e 矗t so ft h et w oi m p o r t a n tm e t h o d 引s ot h es o - c a l l e dv a r i a t i o n a ll y a p u n o vm e t h o dh a sb e e nd e v e l o p e d b yu s i n gt h ev a r i a t i o n a ll y a p u n o vm e t h o d ，w eh a v eg a i n e dal o to fr e s u l t si n t h ei n v e s t i g a t i o no ft h es t a b i l i t yo ft h en o n l i n e a ri m p u l i v ed i f t e r e n t i a ls y s t e m s w i t h o u td e l a y s ，【1 6 2 3 】b u ts of a rb ye m p l o y i n gt h ev a r i a t i o n a ll y a p u n o vm e t h o d t h e r ea r ef e wp a p e r sa b o u tt h ei m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hd e l a y 2 4 2 6 li n t h i sp a p e r ，w es t u d yt h es t a b l i t yi nt e r m so ft w om e a s u r e sf o rs y s t e m ( i ) b yu s i n g t h ev a r i a t i o n a ll y a p u n o vm e t h o d t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w eg i v ei n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e sw ei n t r o d u c et h e b a e h g r o u n d ，t h ec u r r e n ts i t u a t i o no fs t u d i e si nt h i sf i e l da n dt h em a i nc o n t e n t s o ft h i sp a p e rt h i sc h a p t e ri st h eb a s eo ft h i sp a p e r 3 山东师范大学硕士学位论文 i nc h a p t e rt w o ，w ef i r s tg i v ean e wc o m p a r i s o nt h e o r e ma n ds e v e r a lc o r o l l a r i e so nt h ev a r i a t i o n a ll y a p u n o vf u n c t i o na n di n t r o d u c et h ev a r i a t i o n a ll y a p u n o v m e t h o do fs y s t e m ( i ) t h e r e f o r ew ec o n n e c tt h es o l u t i o no ft h ei m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m ( i ) w i t ht h es o l u t i o no ft h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a ls y s t e m t h e no nt h eb a s eo fc o m p a r i s o nt h e o r e m ，w eg e tt h ec o m p a r i s o nc r i t e r i a so ns t , & - b i l i t yi nt e r m so ft w om e a s u r e sf o rs y s t e m ( i ) a tt h es a m et i m e ，a ne x a m p l ei s g i v e nt os h o wt h ee f f e c t i v e so ft h et h e o r e m s i no r d e rt oo v e r c o m et h ed i f f i c u l t i e s c r e a t e db yt h ej p e c i a lf e a t u r e sp o s s e s s e db yi m p u l s i v ed e l a yd i f i e r e n t i a ls y s t e m s ，a m o r ec o m p l i c a t e da n a l y s i si sr e q u i r e d i nc h a p t e rt h r e e ，b yu n i f y i n gt h ev a r i a t i o n a ll y a p u n o vm e t h o da n ds e v e r a l t y p e so fr a z u m i k h i nc o n d i t i o n s ，ar a z u m i k h i nt y p eo ft h ev a r i a t i o n a ll y a p u n o v m e t h o di so b t a i n e d b yu s i n ga b o v em e t h o d ，w e 百v es e v e r a ls t a b i l i t yc r i t e r i a sf o r s y s t e m ( i ) i nt h el a t t e rp a r to ft h i sc h a p t e r ，c o m p a r e dw i t ht h ef o r m e rf a m o u s t h e o r e m so b t a i n e db yu s i n gl y a p u n o vm e t h o d ) w ec a ns e et h ef o r m e rr e s u l t sc a n b ev i e w e da st h es p e c i a lc a s eo ft h et h e o r e m sh e r e t h i si l l u s t r a t e so u rr e s u l t s a r em o r eg e n e r a l f i n a l l y ，w ei n d i c a t et h ea p p l i c a t i o no ft h et h e o r e m st h r o u g h a ne x a m p l e k e y w o r d s ：i m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m ， v a r i a t i o n a ll y a - p u n o vf u n c t i o n ， r a z u m i k h i nt e c h n i q u e ， s t a b i l i t y ，t w om e a s u r e s c 】a s s i f i c a t i o n ：0 】7 52 】 4 山东师范大学硕士学位论文 第章引言及预备知识 1 1引言 随着科学技术的飞速发展，人们越来越认识到脉冲微分系统的重要性以 及它在自然科学和社会科学中的应用价值比如，在自然科学方面，涉及到网 络问题、，生态平衡问题、遗传问题、流行病学、电路信号系统、光学控制等 社会科学方面则主要是针对各种经济现象的研究，如利率控制问题、商业销 售问题、资本主义的周期性危机、工业管理等在这些学科中出现的变量状 态的突变，利用带脉冲扰动的数学模型可以更加准确的进行描述 正是由于脉冲微分系统重要的理论意义和广泛的应用价值，吸引了国内 外无数专家学者的关注，在脉冲微分系统的稳定性、有界性、振动性、边值问 题、比较原理和周期解的存在性方面出现了不少结果( 详见文献f 2 卜1 2 ) 其 中，有关脉冲微分系统的稳定性和有界性的研究是相对基本且起步较早的课 题 但是在自然界中，许多事物的变化规律不仅依赖于当时的状态，还依赖于 过去的状态，并且还往往会有瞬时突变现象，这些现象的数学模型可以用脉冲 泛函微分系统来描述关于脉冲泛函微分系统的研究可以追溯到m i l m a n 和 m y s h k i s “，它比脉冲微分系统更丰富多彩，也更符合现实生活中的数学模型 近2 0 年来，脉冲泛函微分系统被广泛的研究，出现了不少结果 2 。q “ 众所周知，一方面，在对非线性微分系统进行研究时，若其扰动项是线性 的，或者虽为非线性但具有一定的光滑性，那么参数变易法是非常有用的另 一方面，l y a p u n o v 第二方法在非线性微分系统研究中的重要性已被充分显示 和证明，它对当代非线性微分系统稳定性理论的建立和发展起到了重要的推 动作用【1 5 】由于它们在研究问题时都非常有效，为了进一步发挥两种方法的 作用，自然会使人想到将其有机结合，从而形成了种新的方法一变分l y a - p u n o v 方法( 8 】利用变分l y a p u n o v 方法，在对不带时滞的非线性脉冲微分系 统的稳定性研究中己取得大量成果1 6 。但是，利用变分l y a p u n o v 方法， 关于带时滞的脉冲泛函微分系统的稳定性研究及其应用还不多见【2 t _ 2 “本 文，主要利用变分l y a p u n o v 方法研究具有有界滞量的脉冲泛函微分系统( i ) 两个测度的稳定性 5 山东师范大学硕士学位论文 本文在第二章中利用变分l y a p u n o v 方法给出了具有有界滞量的脉冲泛 函微分系统( i ) 的一个新的比较定理和几个推论通过取定比较定理中的有 关函数，将具有有界滞量的脉冲泛函微分系统( i ) 的解与一般微分系统的解 联系起来然后，在上述比较定理的基础上，一方面通过一般微分系统两个测 度的稳定性与比较系统零解的稳定性得到了系统( i ) 两个测度的稳定性的比 较结果；另一方面，我们还给出了一种新的稳定性定义一连接稳定性( t h e c o n n e c t i r e l vs t a b l e ) ( 它把一般微分系统的解与比较系统的解联系起来) ，通过 这种连接稳定性得到了系统( i ) 两个测度的稳定性的结果最后举例说明了 定理的实用性 在第三章中，将变分l y a p u n o v 函数与不同类型的r a z u m i k h i n 技巧结合， 形成了一种r a z u m i k h i n 型的变分l y a p u n o v 方法根据这种方法，我们得到 了系统( i ) 两个测度的一致稳定性与一致渐近稳定性定理通过与前面一般 的l v a p u n o v 函数结合r a z u m i k h i n 技巧得到结果相比较，可以发现先前的一 些著名定理是本章结果的特殊情况，说明我们的结果更具有一般性最后给 出了一个例子说明定理的应用性 本文的结果主要是结合了两种方法，即参数变易法和l y a p u n o v 方法为 了体现这两种方法结合的优越性，为了克服脉冲泛函微分系统自身具有的特 征所带来的困难，我们需要更复杂的分析 51 2 预备知识 考虑如下具有有界滞量的脉冲泛函微分系统 i ( t ) = f ( t ，x t ) ，f t o ，t t k ， a z ( t ) = 厶( z ) ，扛札，= 1 ，2 ， ( ，) 【z 咕 = 妒， 与一般微分系统 jy m ) 2 f ( t ，y ) ， iy ( t o ) = x o ， 其中f ：r + p c , _ 舒，： 一 - ，+ ) 彤。r ”，i k ：r ”- 毋，对每一个 k = 1 ，2 ，3 ，一，a z = z ( 矿) 一x ( t 一) ，r + = 0 ，+ 。) ，p g = p g ( 【一丁，o ，形) ， z ，表示z 在t 处的右导数，y 表示y 在t 处的右导数，2 2 0 = 妒( o ) 对任意 t t o ，z t p g 定义为z t ( o ) = z + 目) ，一7 - 目0 6 些查堕堕查兰堡圭堂垡丝塞 一 设o r + ：q o p g ，茁o r n ，用z ( t ，妒) ，v ( t ，南，t o ) 分别表示系统 ( n ( ) 满足初始条件z ：。= 妒，y ( ) = 如= 妒( o ) 的解系统( d 的解 z ( t ) ：。( t ，如，妒) 是在缸处具有第一类间断点的分段连续函数且这些间断 点是左连续的，即在t 处满足下列关系式： 。( t i ) = z ( t k ) ， a z ( t k ) = 。( t 古) 一z ( t i ) 对于系统( ，) ，( ) ，我们有如下假设： f 风) 对所有k n = l ，2 ，) ，厶( z ) g ( 舻，酽) ，且0 t t t 2 扎) 存 在； ( 王，4 ) 厶在咒“上连续 另外我们总假定f ，氕满足一定条件以保证系统( ，) ，( i i ) 的解整体存 在唯一 2 7 一。“进一步假定假设( 日) 满足 假设( h ) 系统( i i ) 的解( t ) = f ( ，t o ，珈) 关于z o 满足局部李普希兹条件且 连续依赖于初值 为了简便，全文1 发砹0 t o 如) 存在； ( 2 ) y ( t ，z ) 关于z 满足局部李普希兹条件， 则称v v 。 设v 咖，亡0 8 s ，s o 单增，墨恐妒( s ) = + o 。) ， q 1 = 妒c r + ，r + ：妒( s ) s ；s o ) ： n 2 = ( 日c r + ，r + ：h ( 0 ) = o ，h ( 8 ) 0 ，s o ) ， q 3 = ( 妒g r + ，r + ：舻( s ) s ，s o ) ， s ( h ，p ) = ( ，z ) ：h ( t ，z ) 0 ，j 妒c k ，使当h o ( ，z ) 0 及函数b k ，使当h ( t ，z ) 0 及函数o k ，使当h o ( t ，z ) 6 时，有 v ( t ，z ) a ( h o ( t ，z ) ) ； ( 侧) 一弱渐小的：若( i i ) 中n p g 下面我们给出系统f 1 ) 关于两个测度的稳定性定义 设h o r ，妒_ p g ，定义h o ( t ：妒) = 一r ，n o ，使当 h o ( t o ，q o ) 0 ，存在t = t ( t o ，) 0 ，使当h o ( t o ，q o ) o ，使当h o ( 亡0 ，妒) 6 时，有九( t ，( t ) ) ，t 之t o ；当6 与如无关时系统( ) 被称为( h o ，胪) 一一致稳定的参阅文献 1 4 我们可以给出系统( ，) 其他相 应的( h o ，h + ) 一稳定性定义 注1 当h o ( t ，妒) = f l 训，h o ( ，z ) = ( t ，z ) = 川时，定义1 2 4 可转化为系 统( n 的一般意义下的稳定性定义 注2 通过适当选取上述定义中的h o ，h + ，h 可以把文献中所见得多种稳 定性概念，统一于两个测度的稳定性，如：平凡解得稳定性，轨道稳定性，部分 稳定性及不变集的稳定性等( 参见文献 1 4 ) 9 山东师范大学硕士学位论文 第二章脉冲泛函微分系统稳定性的比较结果 在这一章中，我们主要利用变分l y a p u n o v 函数来研究具有有界滞量的脉 冲泛函微分系统( i ) 两个测度的稳定性在52 1 中证明了一个新的比较定理 并说明了脉冲泛函微分系统( i ) 的变分l y a p u n o v 函数思想在2 2 中根据 上一节的比较定理证明了具有有界滞量的脉冲泛函微分系统( i ) 稳定性的比 较结果，最后给出例子说明定理的合理性 52 1一个新的比较定理 本节首先通过引理证明了，一个利用变分l y a p u n o v 函数思想建立地新的 比较结果，它在后面讨论系统( i ) 两个测度的稳定性时发挥了重要作用在 比较定理的注中说明了前面变分l y a p u n o v 函数定义的合理性 引理2 1 1 【2 4 设9 0 ，g c r + r 十，捌满足 g o ( t ，u ) 墨9 ( t ，u ) ，( t ，u ) r + r + ， ( 2 1 1 ) r ( t ，t o ，u o ) 是 “。= g ( ：) ，u ( t o ) = “o20 ，( 212 ) 的右行最大解； 目( t ，t ， o ) 是 u 。= g o ( t ，u ) ，u ( t ) = u o 0 ， ( 2 1 3 ) 的左行最大解， 则当r ( t ，t o ，钆o ) 曼v o 时，有 r ( t ，t o ，o ) s ( t ，t ，v o ) ，t t o ，刁 ( 214 ) 定理2 1 1 ( 比较定理) 若 ( i ) v v o ，假设( h ) 成立； ( i i ) g ：r + r + 。r 十对所有k n = 1 ，2 ：，) ，g 在1 ( 靠，t k + 1 r + 上连 续，3 j 臻、9 ( s ，口) = 9 ( f 丰，u ) 存在，且r ( t ，t o ，让o ) 是脉冲微分系统 t s 一，斗廿k ，叫 s t k ， s = t ，k = 1 ，2 ，( i i i ) t o20 1 0 l 吼瓣嘶啦 = = = 泔 钆 u u ，：、i【 山东师范大学硕士学位论文 在 t o ，十。) 上的右行最大解； g o a m r ，t k + 1 ) r 十：捌，在每一个 t k ，t k + 1 ) r + 上g o ，g 满足引理21l 的条 件，其中讥n 1 且关于s 单调不减； ( 撕) 对系统( ，) 的任意解z ( t ) = x ( t ，t o ，垆) ，当 一ts 目0 ，s t o ，t 时 有 d + v ( s ，v ( t ，s ，z ( s ) ) ) sg ( s ，y ( s ，v ( t ，s ，z ( s ) ) ) ) ， s t k ， 对每一个n = 1 ，2 ，) ：有 v ( q ，y ( t ，者，z + i z ) ) ) 曼c k ( v ( t k ，v ( t ，t k ，z ( “) ) ) ) ， 其中。c t ，z ，= ：譬东 ：t 。i 。：，f 如”c t ，e 咖，是c 。，的左行最 大解 则当系统( ，) 的任意解( t ，t o ，黝) 满足 i ，i a 口x 0 足够小 从而有 ! i 。m o u l ( s ，) 2r l ( s ，t o m ) 由( 2 ，l ，5 ) 式知r e ( t o ) 咖 若( 2 1 9 ) 式不成立，则3 t + t o ，t 。 使得 s t o ，t + ) 考虑 ：纠三窆兽f l 的左稃最大解”哆m c 纠h 。墨s s 矿 显然有 r ，( t + ，t o ：u o ) 21 觋“( r ，e ) = m ( t + ) = q ( t + ：t + ，m ( 矿) ) ， 由引理2 1 1 知 r 1 ( s ，t o ，u o ) 墨q ( s ，t + ，m ( 矿) ) = 亓( s ，r ，m ( t + ) ) ，t o 墨s t + 由( 2 1 5 ) ( 211 1 ) ( 211 2 ) 式知m ( 扩+ 0 ) 7 1 1 4 + 0 ，e ) f 2 1 1 1 1 f 2 11 2 ) ( 211 3 ) 丁 曰 0 再由( 2 1 1 2 ) ( 2 】1 3 ) 式得m ( 矿+ p ) sr l ( 矿+ 0 ，t o ，u o ) so ( t + + 目，t 8 ，m ( t 4 ) ) 等价于 v ( t + + p ：y ( t ，矿+ p ，x ( t + + 口) ) ) s 日( 圹+ 9 ，t 4 ，y 0 + ，v ( t ，t + ，x ( t + ) ) ) ) ，一丁s0s0 从而由条件( 俐) 及( 2 i 8 ) 式得 d 十m ( 矿) sd + v ( 式y ( t ，x ( t 4 ) ) ) 兰g ( 式m ( t + ) ) ，( 2 11 4 ) 另一方面由( 211 1 ) ( 2 11 2 ) 式及d i n i 导数定义知 d + m ( 矿) u ：( t + ，e ) = g ( t + ，i t l ( t + ，e ) ) + e g ( t + ，m ( t + ) ) + 与( 211 4 ) 式矛盾 从而( 2 1 9 ) 式成立，再由( 2 1 1 0 ) 式得m ( s ) sr 1 ( s ，t0 ) 咖) ，令s = t 得 ( 2 1 6 ) 式成立 由9 0 知系统( i i i ) 的解单调非减，再有机( s ) q l 且单调不减知 v ( q ，y ( t ，t ，z 0 ) ) ) 够l ( y 0 ，y ( t ，t ，。( t t ) ) ) ) 墨妒。( r ，( t t ，t o ，t t 0 ) ) 圭u - ， 当t o 一7 - st l + 日茎t o 时， v ( h + 目，( t ，t l + 0 ，x ( t 1 + 日) ) ) 札o = n ( q ，t o ，u o ) t 1 0 1 ，t o ：u o ) u ， 在 0 + 锄m ，g u 吣：卜 托 “ 是 中 苴一 e e + u u j j 、j 矿0，l，【 m m _jf、_l 山东师范大学硕士学位论文 当t o 墨t l4 - 目t 1 时， y ( t l + 0 ，y ( t ，t t4 - 目，z ( t 1 + 占) ) ) 曼r 1 ( t 1 + 日，t o ，u o ) 茎f 1 0 1 ，t o ，o ) su ， 总之有 一i ，l l a 日x 。v ( t l + 口，可( t ，t 14 - p ，。( t l + p ) ) ) 曼u ( 2 11 5 ) 2 再证 v ( t ，。( ) ) 茎r 2 ( t ，t l ，u _ ) ，t ( t l ，t 2 ， 其中r 2 ( s ，t - ，札 ) 是( 2 1 7 ) 式在( t ，t 2 上满足r z ( t ，t ，u ) = “ 的解，同样 讨论可得 d + m ( s ) d + y ( s ，y ( t ，s ，。( s ) ) ) s9 ( s ，m ( s ) ) ，t l s tst 2 下面证 m ( s ) 。足够小 从而有 。 i 。r a o u z ( s ，) = r 。( s ，t t ，钆 ) 根据1 中方法可证得 m ( s ) r 2 ( s ，l ，u ) ，s ( t 1 ，t 2 ， 令s = t 得 v ( t ，z ( f ) ) 茎r 2 ( t ，t 1 ，u ) ，( t 1 ，t 2 ， 从而有 m ( 对) s 矽。( m ( t 2 ) ) 妒2 ( r 2 ( t 2 ，t 1 ，u ) ) 兰u 孝 类似1 中的讨论可得 “m a x v ( t 2 + 口，y ( t ，t 24 - 口，z ( t 2 + su 依据1 ，2 的方法依次类推得 v ( t ：z ( t ) ) 墨r k + l ( t ，t k ，u ；) ，t ( t k ，t e + 1 ， 其中t k + ( s ，垴乱毒) 是( 2 17 ) 在( 如+ t 上满足1 k + ，( 古，t k ，札古) = u 老的解 u = c k ( r k ( t k ，“一l ，u t l ) ) t = t o t ( t o ，t 1 t ( t l ，t 2 1 3 ) )耐 如“ ，0 o n n 山东师范大学硕士学位论文 根据上面讨论知“( t ，t o ，“o ) 是系统( i i i ) 的解，且v ( t ，。( 们s 壮( t ：t o ，u o ) ，t t o 而r ( t ，t o ，札o ) 是系统( i i i ) 的右行最大解，因此有 v ( t ，z ( t ：t o ，【p ) ) r ( t ，t o ，u o ) ，t t o 注2 1 1 ( 1 ) 若口o ( s ，u ) 三0 ，则条件( 渤) 中 v ( s + 0 ，y ( t ，s + 目，x ( s + p ) ) ) s 奇( s + 8 ，s ，v ( s ，( t ，s ，z ( s ) ) ) ) ， 一7 p 0 ，s 阽o ，t 1 变为 v ( s + 口，托，8 + 口，z ( s + p ) ) ) v ( s ，y ( t ，s ，z ( s ) ) ) ，一t 墨口0 ，s t o ，胡 ( 2 ) 若g o ( s ，u ) 三0 ，f ( t ，y ) 三0 ，则有y ( s ，v ( t ，8 ，z ( s ) ) ) = v ( s ，岱( s ) ) ，此时定理 2 1 1 就变成一般意义下脉冲泛函微分方程的比较定理 ( 3 ) 若再有i k ( x ) 三0 ，c k ( z ) 三o ，则定理21l 就变成文献 2 4 中的定理1 1 注2 - 1 2 若取u 0 2 一m ， a 日x o v ( t o + 目，y ( t ，t 。+ 目，妒( 口) ) ) ，则 y ( t ，。( t ，t o ，妒) ) r ( t ，t o ，黑。矿( 舌0 + 口，y ( t ，t o + 目，l p ( 护) ) ) ) ，t 2t o 特别地当让o = v ( t o ，f ( t ，t o ，x o ) ) 时，有 v 0 ，z ( t ，t o ，妒) ) sr ( t ，t o ，v ( t o ，v ( t ，t o ，z o ) ) ) ，t t o ， 从而系统( ，) ，( ) 的解可以通过系统( i i i ) 的最大解联系起来 注2 1 3 在第一章预备知识的条件下，可将系统( j n 看成下面的脉冲微 分系统f ，) l ( t ) = f ( t ，g ) ，t t k ， a y ( t ) = 圪( 。) ，t = t k ， = l ，2 ， ( ，) ， l ( t 言) = x o ， 假设f ( t ，z 。) = f ( t ，z ) + r ( t ，x t ) ，厶( z ) = ) + q t ( z ) 将 r ( t ，轨) ，q t ( z ) 作为 摄动项，则系统( ，) 可认为是脉冲摄动微分系统 设可( t ，t o ，知) 是系统( ，) 在【t o 一丁) + ) 上的任意解，由文献 2 中的定 理2 4 1 知当，露( z ) 满足足够的条件时，有 ( 1 ) 盟o x o ( t ，t o ，z o ) 存在且是初值问题 f z = l ( t ，( t ；t o ，x o ) ) z ，t “， a z = 等( 可( “) ) z ， 扛t ，= l ，2 ， ( ，v ) 【z ( t j - ) = i ，是单位矩阵 1 4 山东师范大学硕士学位论文 的解，且蒜( t o ，t o ，z o ) 是单位矩阵 ( 2 ) 蒜( t ，t o ，x o ) 存在并满足 t , t o , x o ) 一嚣妣跏) f ( t o , x o ) ，。 从而且o z o ( t ，s ，z ( s ) ) ，盟o t o ( t ，s ，。( s ) ) 存在连续 令p ( s ) = y ( t ，s ：z ( s ) ) ，t oss t ， 对所有n = 1 ，2 ，) ，当s ( 垴觑+ 1 时，p ( s ) 左连续，此时 p 如) = 器s 删) + 蒜嘶) ) fs ：x s ) - - a ( 抽，乩 ( 2 l _ 1 6 ) 由( 1 ) ，( 2 ) 知o ”t o ( t o ，t o ，x o ) + 矗( t o ，t o ，x o ) f ( t o ，z o ) 三0 ，在一定条件有 瓦o y ( t ，如，。) + 熹y o ( t , t o , z o ) f ( t o , z o ) - - = o , t 三 从而再由f ( s ，。s ) = f ( s ，。) + r ( s ，z 。) ，可得a ( t ，s ，z ) = 盟o z o ( t ，s ，。( s ) ) r ( s ，z 。) 对( 2 1 1 6 ) 式两边从t o 到t 积分有 上。p 7 ( s ) 8 s 2 z 。g o ，s ，。) d s 而另一方面 j 毛p ( s ) d s = j 鼍口0 幻d s + 蹙ip ( s ) d s 十+ j 毒。9 ( s ) d s + j ；。l s 、d s = p ( t 1 ) 一p ( t o ) + p ( 2 ) 一p ( t - ) + - + p ( t 。) p ( t 墓1 ) + p ( t ) 一p ( 去) = p ( ) 一p ( o ) 一p ( 觑) ， t o t k t 因此有 p ( t ) = p ( t o ) + g ( t ，s ，z ) d s + p ( “) 。o t d “ t 由p ( s ) 的取法知 z ( ) = ( t ) + 尼a ( t ，s ，z ) d s + a p ( “) 2 g ( 。) + 坛矗( 。，舭( 8 ) ) rs , 3 ；s r ) 4 s 十如轰。p ( “) ( 2 1 - 1 7 ) 同样若令p ( s ) = l l y ( t ，s ，z ( s ) ) 悒如s t ， 对所有n = ( 1 ，2 ，- ，) ，当s ( “，t k + 1 时，有p r ( s ) = 2 y ( t ，s ，茁( s ) ) g ( t ，s ，z ) 上式两边对s 从“到t 积分同样可得 ，t p ( t ) = p ( t o ) + 2 9 ( t ，s ，z ( s ) ) g ( i ，s ，z ) d s + a p ( t k ) o t o 、 t o ；五 t 即 1 i x ( t ) 1 1 2 = l l y ( t ) 1 1 2 + 舷2 y ( t ，s ，z ( s ) ) g ( t ：s ，z ) d s + a p ( t r ) t o t k t 1 5 山东师范大学硕士学位论文 = l l y ( t ) 1 1 2 + 丘2 y ( t ，s ，。( s ) ) 旦o ：s 址o ( t ，s ，z ( s ) ) 冗( s ，。) d s + p ( “) ， ( 211 8 ) 若用( 2 1 1 7 ) 式估计l i 。( t ) 1 1 2 ，不得不估计i i 蒜( ：s ，。( s ) ) 川i r ( s ：巩) i a p ( t k ) m 从而影响了摄动项的性质，但若利用( 21 1 8 ) 式，黑( t ，s ，z ( s ) ) ，r ( s ，z 。) 不一 定非负，因此r ( s ，) 在提高非摄动项方面起了重要作用 不失一般性，令p ( s ) = v ( s ，可( t ，s ，z ( s ) ) ) ，亡o s t ， 假设v 是可微的，类似前面讨论可得 v ( t ，删= v ( t 删) + f d v (