（基础数学专业论文）一类华结构上的bergman核函数.pdf

摘要 本文考虑第一类华结构，它是由殷慰萍引进的，其定义如下 日g ( l ，m ，m ，竹；p l 一，p r ；口l ，* ) - w ( 0e c n z , ze r i c 帅砉赭钏， 其中p t ，q t 0 ， 0 2 = l f l f 2 + + j 毗1 2 ，f = 1 ，r r ，表示华罗庚意义下 的第一类c a f t a n 域，艺表示z 的共轭，表示z 的转置，d e t 表示行列式； l ，r ，r 都是正整数 主要结果是：引进s e m i * r e i n h a r d t 域的概念，利用第一类华结构的完备规范正 交系和它的全纯自同构群，通过一些特殊的r 函数关系式以及一些计算技巧，得到 了当石1 ，。，志为正整数，n 为任意正实数时，第一类华结构b e r g m a n 核函数 显表达式的有限和形式；通过一些计算上的技巧及文献中的结论，我们还得到了当 p 1 ，p r 均为正整数时，第一类华结构b e r g m a n 核函数的高维超几何函数形式； 另外，给出了一般情况下，第一类华结构b e r g m a n 核函数的无穷级数和形式；同 时，利用这个结果计算出了第一类c a r t a n 域的加权b e r g m m 核函数的显表达式， 这里这个权函数恰好是第一类c a r t a n 域的b e r g m a n 核函数的某个负幂次， 当q l 一= 针= 1 时，华结构即为华罗庚域，特别地，当m = l 时，华罗庚 域又是复椭球域，因此华罗庚域和复椭球域都是华结构的特例，我们的结果包含了 华罗庚域和复椭球域上已知的结果；由于在华结构的定义中，各种参数的情况要比 华罗庚域和复椭球域上的情况复杂得多，因此，在求它的b e l g m a n 核函数时，我们 不能简单的使用以前的方法，而是需要一些创新性的方法以及一些复杂的积分和求 和技巧 关键词：s e m i r e i u h a t ( 1 t 域，华结构， 1 3 e r g l n a i l 梭函数，加权b e r g n m n 核函 数 凑次宴 摘要 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e rt h eh u ac o n s t r u c t i o no ft h ef i r s tt y p e ，w h i c hi sg i v e n b yy i nw e i p i n g i t sd e f i n i t i o ni sa sf o l l o w ： 日o ( m ，坼，m ，n ；p l ，肼；g l f 一，口r ) ：= c m ，z 肿”) ：j d e t ( 幽i - z l z t ) q 0 ，l l 2 = b l l 2 + + 1 w | | n , 1 2 ，= l ，r 。r r i s c a a nd o m u i n o ft h ef i r s tt y p ei nt h es e n s eo fh u a zd e n o t e st h ec o n j u g a t eo fzw h i l ez d e n o t e s t h et r a n s p o s eo fz ，d e td e n o t e st h ed e t e r m i n a n to fas q u a r em a t r i x ；m ，7 ；，r a r ea l lp o s i t i v ei n t e g e r s w em a i ng e tf o u rr e s u l t s ：b yi n t r o d u c i n gt h ec o n c 印to fs e m i - r e i n h a r d td o - m a i n ，u s i n gt h ec o m p l e t eo r t h o n o r m a ls y s t e ma n dt h eh o l o m o r p h i ca u t o m o r p h i s m g r o u po ft h eh u ac o n s t r u c t i o no ft h ef i r s tt y p e ，t h e nt h r o u g hs o m es p e c i a le q u a l i - t i e so fff u n c t i o na n ds o m ec o m p u t a t i o n a ls k i l l ，w ec o u l do b t a i nw h e ni 1 ，一，击 a r ep o s i t i v ei n t e g e r s ，p ri sa n yp o s i t i v er e a ln u m b e r ，t h ef i n i t es u mo ft h eb e r g m a n k e r n e lf u n c t i o no nh u ac o n s t r u c t i o no ft h ef i r s tt y p ew i t he x p l i c i tf o r m u l a ；b y s o m ec o m p u t a t i n ga r ta n dt h ek n o w l e g ef r o mt h er e f e r e n c e ，w ec a na l s ow r i t e t h eb e r g m u nk e r n e lf u n c t i o no nh u ac o n s t r u c t i o no ft h ef i r s tt y p ei nt h ef o r m o fa p p e l l sh y p e r g e o m e t r i cf u n c t i o n so fs e v e r a lv a r i a b l e sw h i l ep l ，p ra r ea l l p o m t i v ei n t e g e r s ；f u r t h e r m o r e ，t h ei n f i n i t es e r i e sf a r mo ft h eb e r g m a nf u n c t i o no n h a ( 婀， ，m ，n ；p l ，终；札，毋) i nt h eg e n e r a ls i t u a t i o nc a nb eg i v e n ； f i n i a l l y , u s i n gt h i sr e s u l t ，w ec o u l dg e tt h ee x p l i c i tf o r m u l ao ft h ew e i g h t e db e r g m a n k e r n e lf i m c t i o no nc a j t a nd o m m no ft h ef i r s tt y p e ，h e r et h ew e i g h t e df u n c t i o ni s j u s ts o m en e g a t i v ep o w e ro ft h eb e r g m a nf u n c t i o no nc a r t a nd o m a i no ft h ef i r s t t y p e w h e n 口l = - 弼= 1 ，h u ac o n s t r u c t i o ni sh u ad o m a i n ，e s p e c i a l l y , i f z = 摘要i i i 1 ，h u ad o m a i ni st h ec o m p l e xe l l i p s o i d ，t h e r e f o r e ，h u ad o m a i na n dt h ec o m p l e x e l l i p s o i da r et h es p e c i a lc a s e so fh u nc o n s t r u c t i o n ，t h er e s u l t sw eo b t a i ni nt h i s p a p e ri n c u l d et h es e q u e n c e sw h i c hh a v eb e e no b t a i n e db ys o m em a t h e m a t i c i a n so i l h u ad o m a i na n dt h ec o m p l e xe l l i p s o i d ；b e c a u s eh u nc o n s t r u c t i o na r em o r ec o m p l e x t h a nh u nd o m a i na n dt h ec o m p l e xe l h p s o i di nt h ed e f i n i t i o n ，i nt h ec o m p u t a t i o no f i t sb e r g m a nk e r n e lf u n t i o n ，w ec o u l dn o to n l ya p p l yt h em e t h o dw h i c hh a sb e e nu s e d f o r m e r l ys i m p l y , w h i l ew en e e ds o m ei n n o v a t i v ei d e a ，w i t hs o m ec o m p l e xi n t e g r a l a n ds u m m i n gs k i l l k e yw o r d s ：s e m i r e i n h a r d td o m a i n ，h u ad o m a i n ，b e r g m a nk e r n e lf u n c t i o n ， w e i g h t e db e r g m a nk e r n e lf u n c t i o n 序言 b e r g m a n 核函数的概念是波兰著名数学家s b e r g m a n 于2 0 世纪2 0 年代在 研究平面区域之间的共形映照时所引进的f l 】它恰好是乎方可积函数空间到平方 可积的全纯函数子空间的正交射影的再生核 b e r g m a n 核函数有着非常丰富的性 质，在微分几何，函数空间，积分表示，数学物理等领域都有重要的应用例如 m o s t o w 和s i u 在对具有负截曲率的紧k & h l e r 流形的万有覆盖一定双全纯等价于超 球这一重要猜想所给出的反例中，复椭球域 。c 2 ：| 2 l1 2 + l 缸l “ 1 的b e r g m a n 核函数的显表达式起着关键的作用i l l 】；判断个域是否是陆启铿域，常常会用刭 其b e r g m a n 核函数的显表达式【2 1 另外，f a b r e z i n 构造了机械系统的一个漂 亮的量子化过程，其相空间正好是带有b e r g m a n 度量的有界对称域我们已经知 遭，中的任一有界域，都存在唯一的b e r g m a n 核函数因此，如何求出有界域 的b e r g m a n 核函数的显表达式，是值得研究的一个重要同题 对有界对称的齐性域，华罗庚通过计算域的全纯自同构群及其体积元，得到了 四类c a r t a n 域的b e r g m a n 核函数的显表达式【7 】，这种计算b e r g m a n 核函数的方 法我们称之为华方法；而对于1 6 维和2 7 维例外域，由于它们的矩阵表示巴知，就 能够计算出其全纯自同构群，殷慰萍利用华方法也得到了例外域的b e r g m a n 核函 数的显表达式f 2 0 1 对于非对称的有界齐性域，因为它全纯等价于s i e g e l 域，g i n d i k i n 利用复幂 函数的概念算出了齐性s i e g e l 域b e r g - m a n 核函数的显表达式1 6 1 ；许以超用满足一 组矩阵方程的一组矩阵来定义n - s i e g e l 域1 1 4 | 并且得到了其b e r g m a n 核函数的显 表达式【1 3 1 ；钟家庆和殷慰萍建立了一些非对称齐性域及其扩展空间的新类型f 2 2 ， 2 3 ，殷慰萍利用华方法算出了其b e r g m a n 核函数的显表达式f 2 1 1 综上所述可知，对任意的有界齐性域，如果它的全纯自同构群已知，利用华方 法我们就可以得到其b e r g m a n 核函数的显表达式 而对于一类特殊的r e m h a r d t 域，如复椭球域等，由于它们的完备标准正交函 数系已知，d a n g e l o ，z i n o v e v ，f r a n c s i c s 和h a n g e s 等人分别利用无穷级数求和的 2 序言 方法得到了在不同情况下，复椭球域的b e r g m a n 核函数的显表达式f 3 ，2 4 ，4 1 ，这种 方法我们称它为级数法 在文献【5 ，1 5 1 9 1 中，给出一种新的求b e r g m a n 核函数的方法：引进s e m i - r e i n h a r d t 域的概念并求出其完备标准正交函数系，利用域的全纯自同构群使得计 算b e r g m a n 核函数归结为确定一个群不变函数，并通过一些特殊的级数求和方法， 得到了c a r t a n - h a r t o g s 域和华罗庚域的b e r g - m a n 核函数的显表达式这里值得指 出的是，能显式求出b e r g m a n 核函数的域的类型很少，因此，b e r g m a n 核函数能 够显式表出的域都是很好的域，是值得研究的域 假设q 是c “中的有界域，_ p l ，_ p 2 是n 上的两个正值函数，则 - 锄n i , n a = p ，湖渺渺m 翳+ 臀 0 ，1 z r 然后根据虚拟b e r g m a n 核和 膨胀域b e r g m a n 核之间的关系，给出一般情况下，日口( 1 ，r ，m ，n ；p l ， p r ；q l ，曲) 的b e r g m a n 核函数的表达式 第一章预备知识 由于域h c l 对变量w = ( w 一，撕) 具有r e i n h a r d t 域的性质，而对变量z 具有圆型域的性质，因此我们首先引进s e m i r e i n h a r d t 域的概念z 定义1 设q 是c m + 中包含原点的有界域，若q 的全纯自同构群包含下列 变换 i 吖= e 网撕；岛r ；z = 1 ，2 ，一，m ； iz ；= e d ： f e z k ；口r ；k = 1 ，2 ， 则称n 为s e m i r e i n h a r d t 域 显然，r e i n h a r d t 域一定是s e m i r e i n h a r d t 域，而s e m i - r e i n h a r d t 域一定是圆 型域；反之则不一定成立 定义2 ( a p p e l l ) 设s r ，m 是正整数，记：( s ) 。= 塑封茅= s ( s + 1 ) ( s + m 1 ) ，如果s = ( s l ，s ，) 和m = ( m l ，m 。) 都是多重指标，记 ：( s ) 。= n ：。( s 七) 。 黻定煸煳超脚瞰办m 卜磊锵扩 这里q = ( 町l ，啦) ，y c ”，a 琏，p = 晒，阮) 耻，7 = ( m ，m ，) 豫”，i 训= ：1 仕，州= 兀：l 哺! ，_ = y 哪f 啦当i y d + - l y 。i 1 时，砖发散容易看出，当p = t 时， 硝( o ，p ，7 ，) 即是经典的e u l e r - g a u s s 超几何函数 引理1 【设q 1 和n 2 分别是c 肘和c 中的有界域，w = ( z ) 是从n 1 到 q 2 的双全纯解析映照，则n 1 上的b e r g m a n 核函数尬2 。( z ，乏) 与n 2 上的b e r g m a n 核函数甄1 ：( ，面) 之间的关系如下： 七，i ，= 舢，面t ( 筹) a e t ( 警) 正；证明见文献【l o 因此，对于第一类华结构日口，如果我们能够找到其全纯自同构群( 可以不是 最大群) ，满足：对域内的任意一点( w ，z ) ，都有一个全纯自同构变换将它变为点 第一章预备知识5 汹+ ，0 ) ；那么通过域的全纯自同构变换构造双全纯映照，可以使计算其b e r g m a n 核 函数的过程简化而我们有如下结论： 引理2 下列变换构成日。的全纯自同构群( 不一定是最大群) ，并且满足。可 以把日口内的任意点( ，z ) 映到( ，0 ) 点，记这个全纯自同构群为a u t ( h c i ) ； i 吖= f d e t ( i z o z o ) ”, , d e t ( i 一线) 一嚣， lz + = a ( z z o ) ( 1 一- - z o t z ) 一i d 一1 其中芽a = ( ，一疡磊) ，方d = ( ，一磊z o ) 一，历见( m ，n ) ，栩 0 ，皿 0 ，l = 1 ，r 证t 习知z + = a ( z z o ) g 一磊z ) 一1 d 一1 是r x ( m ，他) 的全纯自同构群，由典 型域的知识1 1 7 1 可知，j z 否4 = ( 万) 一1 ( 一z 磊) 一1 ( j z 孛) ( j 一磊旁) 一1 a 所以； d e t ( i z + ：罗) = d e t ( 1 一g o - - 么o t ) d e t ( 1 一z 磊) i - 2 d e t ( i 一z 雷) ， 吖万：毗耐d e t ( i 一磊兹) 等i d e t ( i 一么) r 鲁 因此有： i 叫i 铆胁p d e t ( 1 一z + z 。1 md e t ( 1 一z 穿】“ +1“。一 即得到t 喜羔det(：喜嘉d e t ( 1 n舌彳一z + z ) 口l 色；一j 曩尹净、 这说明上述变换是域日国的全纯自同构而且容易证明，对于域。h o 内任意一 点( w ，z ) ，都存在变换f a u t ( h c i ) ，将其映到点( 矿，o ) ；这里，w = ( ”一，摒) 我们知道；若n l 是c 村中包含原点的r e i n h a r d t 域，则 川1 争- 赠) 组成 n l 的完备规范正交系；若n 2 是c 。中包含原点的圆型域，则 乓f ) = 0 ，1 ，； 1 = 1 ，2 ，m k ； k = ( n + 一1 ) 啦! ( 一1 ) 1 1 _ 1 ) 组成n 2 的完备规范正交系， 其中r l 是句，z n 的k 次齐次多项式，而对于任意固定女，以下m k 个多项式 6第一章预备知识 只1 ，r 2 ，p k 。是线性无关的那么对于c 肘+ 中的s e m i - r e i n h a r d t 域而言， 其完备规范正交系是什么呢? 我们有以下引理： 引理3 【1 7 1 设n 是c m + 。v 中的s e m i r e i n h a r d t 域，则 t 硝( z ) = 埘1 磅”智砖( 钆，z - ) ) 为q 的标准完备正交函数系，其中 j = ( j l ，一，抽) ，j l = 0 ，1 ，- ；j 2 = 0 ，1 ，- - ；j m = 0 ，1 ， = 0 ，1 ，；2 = 1 ，2 ，一，m ；m b = ( n + 一1 ) ! 啤! ( 一1 ) i l 一 w = ( 1 ，一， ) ；= t 日1 嵋- 静；z = ( z l ，一，z n ) 础是z l ，z n 的 次齐次多项式，且标准完备正交函数系内的任意两个元素 ( 。) ，球? ( 。) 有如下的关系t w j 硝( z ) 球0 ( z ) = b 氏”玑 j i l 这里氓。的定义是：当k = 时，以。= 1 ，否则，d 。= 0 证t 证明见文献 17 】 为了利用域日。的全纯自同构群构造双全纯映照，从而利用引理1 使得计算 其b e r g m a n 核函数的问题简化，需要引入一个在a u t h c i ) 作用下不变的函数， 简单的称之为群不变函数，其定义如下z 引理4 令札：锄，z ) ：1 w d 2 d e t ( 1 一z 官) 1 一嚣，则却在a u t ( h c x ) 作用下 不变，即卿( ，z + ) = 锄( w ，z ) ，( 2 = 1 ，2 ，一，r ) 证： 。f ( w + ，z + ) ：l ，1 2 拉e t ( i z + 牙) 】_ n e l _ ：l 。l 。 d 。t ( i 一疡戋) 】嚣id e t ( x z 牙；) r _ 等 d e t ( j 一磊磊) id e t ( 一z 磊) r _ 2 d e t ( i 一才牙。) 】一嚣 ：2 d e t ( j z 穷) - 嚣 = x l m ，z 1 第一章瑗备知识7 由于华结构是s e m i - r e i n h a r d t 域，它对变量 具有r e i n h a r d t 域的性质；因 此，在计算华结构这样的s e m i r e i n h a r d t 域上的积分的时候，常常是先固定变量z ， 然后利用到下面的积分等式t s l 理5 设j l ，j 2 ，矗为非负实数，则有； i 协l i 巧，l 2 i v 2 i ，1 2 j , d v ( w ) j l i 印l + i 址2 l 印j + 一+ 灿r i ，皇 ：二垦! ! 竖b 兀：1 p lr o + c ) 其中d r ( w ) = d w l a 向1 a d w 2 a 觑 m a 越，c = 警， 证：由文献f 1 5 l ，利用球极坐标变换易证 华罗庚利用下面的积分关系式计算了四类c a r t a n 域的体积元【7 l ，从而得到了 四类c a r t a n 域的b e r g m a n 核函数的显表达式，丽我们在计算华结构的b e r g m a n 核函数时，也要用到这个积分等式其内容如下： 引理6 吼令z r 1 ( m ，n ) ，厶。= 厶，( 。，。) d e t ( 1 一z 雪) 1 d v ( z ) ，则当a 一1 时有： 兀1 1 ( a + k 1 ) 兀r ( a + k s ) 厶，。= ”生l 丽f j 曼 i ir ( + b ) 证；证明见文献【7 】 为了构造我们所需要的关于r 函数的等式，我们有以下三个引理t 引理7 对于任意的实数民，r 豫，以及正整数l ，有t c 川嵩等鞘一c s + t + r ，荟 丽r ( k + s ) r ( r - k + t ) r ( s + f + 1 ) r ( r + t f ) r ( f + 2 ) r p 1 ) 证，用数学归纳法可知 引理8 对于任意的实数8 ，t r ，以及正整数f ，有； c 曦鬻鞘邛，脚- - _ = i ( k + s ) 。r ( 1 - k + 巧t ) 8 第一章预备知识 证t 在引理7 中令r = ? ，用数学归纳法易知 引理9 对于任意的实数s ，t r ，以及正整数，有t r ( s + t + k )r ( k + 1 ) e r ( p + s ) r ( t + 一p ) r ( s + t ) r ( s ) r ( ) 耋茗r ( p + 1 ) r ( + i p ) 证：用数学归纳法，当k = 0 时，有 r ( s + t + 0 )r ( o + 1 ) r ( s ) r ( t ) r ( s + t )r ( s ) r ( t ) r ( 1 ) r ( 1 ) 设对于k 引理9 成立对于* + 1 ，应用引理8 ，有 r ( s + t + k + 1 )( 8 + t + k ) r ( s + t + k ) r ( s + t )r ( s + t ) ：生! 盟垡1 2 - ! 垫兰2 1 生! 二盟 r ( s ) r ( t ) 耋：r ( p + 1 ) r ( k + 1 一p ) = 黼c 蓬等畿等导 r ( k + 2 ) 甚r ( p + s ) r ( t + k + 1 一p ) r ( s ) r o ) 囊墨r ( p + 1 ) r ( k + 2 一p ) 引理9 中这个等式的特殊意义就在于t 它可以将r 函数里的两个或多个变量 拆成各自独立的若干个r 函数乘积的形式；这个等式非常有用，它是我们计算华结 构的b e r g m a n 核函数的关键 我们在计算某些域的b e r g m a n 核函数时，为了得到其有限和的显表达式的结 果，常常用到的一个技巧就是：把一般的多项式改写成r 函数的形式故在计算华 结构的b e r g m a n 核函数时，我们需要以下引理t 引理1 0 设p ( x ) 是z 的n 次多项式，n ，b 为任意数且o 0 ，则p ( x ) 可以 改写为如下形式： 脚) = n 弓瓮嘉掣， 、 其中( 莩) t 毗圳铲鲫。p ( 掣) 一 12 n 第一章预备知识 9 证：由文献【1 8 | ，利用线性变换，归纳可证 在一种特殊情况下，也即当下面式子中的i 1 ，1 。r 一1 均为正整数时，下 面所定义的无穷级数是收敛的，并且可以求出其敛函数： 引理1 1 4 设 姒尚_ 1 ) = 曲，。错l t = lp 档- 钳，u l ，- 山一1 ) o 1 、t7 其中s 0 ，击为正整数，1 r 一1 ，如果k i p 1 ，则有； m - ，= 焘蔓志 。至。f 踟j 这里= e 2 凡m ，砖= p e f 丸，一7 r 九= a r g x 。 7 r ，1 。r 一1 证：证明见文献 4 1 在计算华结构的b e r g m a n 核函数的有限和形式时，需要把某些无穷级数写成 如下函数的形式； 引理1 2 对于。r ，若 1 ，则有 薹渊一= 尚 证；对等式右边进行t a y l o r 展开即得 引理1 3 设n 是c 中的一个域，p ：n 一【0 ，+ o o 】是n 上的一个有界的 正的连续函数，晓m ：= ( z ，z ) n c ”，i i i z l l 2 p ( z ) ；致：扩( 2 ，”) 表示f 2 关于 权函数矿的加权b e r g m a n 核函数，若定义( n ，p ) 的虚拟b e r g n m n 核函数为： l n ，( 。，w ；6 ) = l o ( z , w ；6 ) 一，矿z ， ) 或 则盎m 上昏b e r g m a n 核函数疋f ( ( 2 ，z ) ；( ，) ) 可以有下面关系式给出： “( ( z ，z ) ( ，) ) = 工m ； ) = 而1 丽0 m 工。( z ， ；吼础，忪 杠一 ，jli 1 0第一章预备知识 其中体积形式。，( 。) ：( 去历。) ”， ：z 。谚。+ + 细砜 证；证明见文献 1 2 】 引理1 4 n 设d 是c 中的有界域，妒是定义在它上的一个有界的正的连续 函数，定义d 。r = ( z ，) c ”+ “；。d ，1 1 w l i 妒( z ) ) ，则d g 的b e r g m a n 核函 数k g 【( z ，) ，( t ，s ) 】与域d 关于权函数靠( z ) 的加权b e r g m a n 核函数k ( 一( z ，t ) 之 间有如下关系t 硝 ) ，( t ，s ) 】_ ”“( 。，t ) 钞， l u l = o 这里： z ，t d ；w ，8 c ，0 t u i i 0 时，p 7 ( o ) = 0 裔嘉j 笳 第三章定理的证明 而k = 0 时，m k = 1 ，故有 k 咖，o ；面，o ) = 础( o ) 1 2 0 又因为瑞( z ) 是关于z 的零次齐次多项式，所以踹( o ) = 瑞( z ) ；因而 础( o ) = j 墙( z ) 是日。上标准完备正交函数系中的元素，所以有 l 一墙( o ) 1 2 d v ( w ) d v ( z ) = 1 ， j 日。 因此剩用坐标变换和引理5 ，经计算得到； i 墙( o ) | _ 2 = w 1 2 j d v ( w ) d v ( z ) = i 1 i 卸t i ，t 2 j d v ( w ) d v ( z ) ， j h c ，j w p ， ：亓之翼尝鸳芸f d e t ( i - - r ,z 旁) 砩时t 坝z ) ； 5 厦万币疆吾丽厶，( m 川曲“厂“删忙j i 铴；喜弦耽e = 磐，t 忱，洲= 错瑚骢e 腆) | 2 = c t 慨，面恶器拦踊， 由于 n 翟? r ( 凡4 - k )n m ；+ 。n + l r ( a l + k ) 1 并r ( l 十n + k ) 磺覃丽雨耵瑟可丽丽2 币吾币j 了矿2 怂1 两再广 是关于a 。的m n 次多项式，故由引理1 0 ，令n ：堕，b ：0 ，我们有， 叮l i 础( o ) f 2 = c 丁( j 1 i 一，矗) ( 。) ， 趄鲫扣挚篙裂，且删( 一籼蟛= 如 ( 一学) 一，州籼卧一： i 蜊) z ：ct ( j ，j 、子b ( t ) ! 丛! 世! ! 竺! ! i 枷胪以v 一羔蛾等群措，”u 、。 第三章定理的证明 其中t 如。等k = 2 赛慨+ 1 ) 如果令： 删= 坠嵩掣，。时； 工r = f i i ；j ，目= ! 搿，z r ； 利用引理9 ，我们有： 瑞( o ) 1 2 一厕薹甥蒜锦 n 2 0 、。一， 三、r ( j l - i - 1 + u 1 ) r ( a 2 + 1 + l 一“1 ) 丢； f ( u l + 1 ) r ( v l + i 一“1 ) = c t ( j ，一，j r ) 峨工t b l ，2 ( 2 ) ； 枷u l = o 由于厶( a 。) 是关于k 的口l n 1 次多项式，再利用引理1 0 ，令。：丝坐，b ：0 ，得 口2 n 到： 舯牡厶( 一罴) ，r c 蜉= 扣如( 一訾) ，这 i 瑞( o ) i 。 = c t o l = c t ( j 1 m nn l - - u 1 矗) 曙工b ，壤 蜘= 0 u l = o 砚= o m n 1m 一“1 睨 ! l 生! 垒! 丝! ! r + 1q - a 3 + 1 ) ) 咄曙l ，l 。b ，岛，3 ( a s ) t 1 = ou 1 = 0v 2 - - - - - o ”2 = 0 重复上面的过程，最后得到 硝和o ) i z = c t ( j 。 蠼 “r t = 0 矗) “；! ；1 - 0 r 了2 _ 0r ir l 蟛：l 。鼠 ( ) = 1 c = 1 ( 6 ) ，= 一 + 一= 啦一十 + 一k 咝咯 壤 一唧 f | b 儿 一 第三章 定理的证明 由于，r ( ) 是关于_ 的坼一，- - ? u r - 1 次多项式，故令。；詈羔一= o ，s = 矗+ 1 ，t = 1 ，再次使用引理1 0 和引理9 ，得到； 其中 ，、”一弋1 - - _ 、t t r “亡_ 。f ，l r ( + 1 ) r ( j ，+ 1 + ，) 脚r ) _ 三乏蝌嚣瑞箫 r = o “r ；0 、 7 护等善r 学p ， ，l ( ) = 6 l ：) o 拈五( 一蔫) ，啦+ 1 ) 弘砉c 叫 ( 一紫) 这里。：1 ，y l - - 1 一u t - t ；且记 p o ：1 ，咖一u o ：m n 帅 如果令动= 1 w , 1 2 ，l = 1 ，2 ，r ；j = ( j l ，j 2 ，j r ) 将 ( a ，) 代入( 6 ) 式， 易知 。i n l口l 一lt 口珥一1 一u r 一1 k 1 ( w ，o ；面，o ) = c - t ( j ”一，矗) l i l o v l = o u l = ov 2 = ou 2 = o v r = o 唧 “，= 0 将w 换回舸删黜= 昌霹t + u l t 觚 川l 11 - - 1 9 1v 2r 一1 一u r 一1脚 k i ( w + ，o ；驴，o ) = c 蝌嘲 v l = 0u 1 = 0 ”2 2 0u 2 = 0