（基础数学专业论文）有关单形一些度量性质的研究.pdf

中文摘要 中文摘要 摘要：本论文应用度量几何理论与解析方法，研究了n 维欧氏空间e 4 中关 于n 维单形的一些度量性质以及相关的几何不等式问题。 第一章，简要介绍了所属学科( 特别是所属研究方向) 的发展状况，以及本文 的主要结果 第二章、第三章，首先介绍了单形的中线、中面、k 一中线、k 维中面、中位 面的概念，然后将欧氏空间中二维、三维的一些经典结论推广到雄维情形，并获 得有关k 维中面、中位面与内心的若干性质和几何不等式，以及它们的应用 第四章，研究了e 4 中与单形有关的诸超平面共点与诸点共超平面问题，建立 了一种新形式的竹维情形m e n e l a u s 定理与h 维c e v a 定理 第五章，研究了单形侧面面积、高、外接球半径以及内切球半径之间的关系， 建立了n 维m i l o s e v i c 不等式；研究了单形与其c e v a 单形的外接球半径与内切 球半径之间的关系，建立了相关的两个几何不等式 关键词：欧氏空间，单形，超平面，内心，重心，中线，中面，| 一中线， k 维中面，中位面，体积，内切球半径，外接球半径，几何不等式 a b s t r a l a b s t r a c t a b s t r a c t ：i nt h i st b e s i s b yu s j n gt h e o r yo fm e t r i cg e o m e t r ya n da n a l y t i cm e t h o d ， s o m em e t r i cp r o p e r t i e sf o ra l ln - d i m e n s i o n a ls i m p l e xi nn - d i m e n s i o n a le u c l i d e a n s p a c ea n dr e l a t i v es o m ep r o b l e m so fg e o m e t r i ci n e q u a l i t ya r er e s e a r c h e d s o m e g e o m e t r i ci n e q u a l i t i e sa r ee s t a b l i s h e d , a n dt h e i ra p p l i c a t i o n sa r eg i v e n c h a p t e r1b r i e f l yi n t r o d u c ed e v e l o p m e n to ft h es u b j e c t , e s p e c i a l l yc o n c e r n i n gt h e s t u d yd i r e c t i o n a n dm a i nr e s u l t so ft h et h e s i sa 化g i v e n i nt h e s t a r t i n go fc h a p t e r2a n dc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c es o m ec o n c e p t s r e s p e c t i v e l yw h i c hc o n t a i nm e d i a n , m i d d l es e c t i o n , k - m e a i a n , k d i m e n s i o n a lm i d d l e s e c t i o na n dc e n t e rs e c t i 佃a n dt h e n , s o m ec l a s s i c a lt h e o r i e sa r eg e n e r a l i z e df r o m 2 - d i m e n s i o na n d3 - d i m e n s i o nt on - d i m e n s i o ni ne u c l i d e a ns p a c e , w eg e ts o m e p r o p e r t i e s , g e o m e t r i ci n e q u a l i t i e sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n sc o n c e r n i n gk - d i m e o s i o n a l m i d d l es e c t i o n , m i d d l es e c t i o n a lp l a n ea n di n e e n t e r c h a p t e r4r e s e a r c h e st h e r e l a t i o nb e t w e e nt h ep o i n t sa n dt h es u p e r - p l a n e s 组a n dn e wf o r m a ln d i m e n s i o n a lm e n e l a u st h e r o ya n dn - d i m e n s i o n a lc e v a t h e r o ya r ee s t a b l i s h e d c h a p t e r5r e s e a r c h e st h er e l a t i o no f p r o f i l ea r e a , h i g h , c i r c m n r a d i n sa n di n r a d i u s ， a n de s t a b l i s hn - d i m e n s i o n a lm i l o s e v i ci n e q u a l i t y w er e s e a r c ht h er e l a t i o no ft h e c i r c u m r a d i u sa n di n r a d i u si n v o l v i n gas i m p l e xa n di t sc c v as i m p l e x a n dt w o c o r r e l a t i o ng e o m e t r i c i n e q u a l i t i e sa l eg i v e n k e y w o r d s ：e u c l i d e a ns p a c e ，s i m p l e x , s u p e r - p l a n e , i n e e n t e r ，b a r y c e n t e r ，m e d i a n , m i d d l es e c t i o n , k - m e d i a n , k - d i m e n s i o n a lm i d d l es e c t i o n , m i d d l es e c t i o n a lp l a n e ， v o l u m e ，i n r a d i n s ，c i r c u m r a d i u s ，g e o m e t r i ci n e q u a l i t y b 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得芸镰k 人秀或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：余静 签字吼 助。7 年4 月2 。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解安徽大孕有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权更镩k 蠕可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：余许导师鲐扫世劂 签字日期：勘订年耳月2 0 日 签字日期：孑彬7年牛月l 。日 学位论文作者毕业去向：更傲9 审鬼大秀 工作单位：墨锌财i p 屯大孕 电话：i 3 7 s s 5 ，78 7c 7 通讯地址：芸辞心i 吊允太当驭孳善汁等轧弘黼上4 i 。的 第一章绪论 第一章绪论 凸几何是以凸体为主要研究对象的现代几何学的一个重要分支，它分为组合 理论和度量理论，组合理论主要研究几何体( 如多胞形) 的组合关系，研究在某 种特定的规则下安排图形的有关问题，讨论它们的面数、顶点数、棱数等的数量 关系，例如著名的e u l e r 定理：三维凸多胞形的顶点数t n 、棱数f 和面数5 存在 关系：加一“s 一2 度量理论主要研究几何体的度量性质，如几何体的构形、 体积、表面积、宽度、角度、投影等。度量几何中最核心的问题是度量嵌入问题， 作为欧氏空间和非欧氏空间中的度量嵌入问题是欧氏几何和非欧氏几何的最重 要内容之一，这些问题的解决系近代结果。凸几何是二十世纪初形成，二十世纪 末发展起来的。h b r u n n 和b m i n k o w s k i 在这方面做了开创性的工作。2 0 世纪8 0 年代以j e a nb o u r g a i n 和v i t a l i l i l m a n 为代表的几何分析学派用现代泛函分 析为工具研究凸体的度量性质，取得了突破性进展 1 ，使得一些经典的凸体几 何难题得以解决，b o u r g a i n 也因此而得到f i e l d s 奖。 凸几何的度量理论有很多研究方向，比如特殊凸体( 如单形、超平行体等) 的几何不等式、几何度量性质、度量嵌入以及几何不等式与几何极值问题一直是 凸几何中一个充满活力的研究方向。我国著名数学家吴文俊曾解决复合形在殴氏 空间嵌入这一凸体几何难题；中国科学技术大学常庚哲教授把n e u b e r g p e d o e 不 等式首先介绍到我国，激起了我国许多人的兴趣，促使了几何不等式的研究工作 在我国的蓬勃发展，著名数学家杨路、张景中二位教授首先将n e u b e r g p e d o e 不 等式推广到n 维空间， 2 建立了n 维n e u b e r g p e d o e 不等式。冷岗松、苏化明、 杨世国、郭曙光、张晗方、周加农等学者在高维几何不等式方面做出了大量结果。 张景中、杨路以及杨世国圆满解决了行维欧氏空间、双曲空间、球面空间等角嵌 入问题 3 - 9 。这些关于竹维单形几何不等式与几何极值问题、初等图形的嵌入 等方面的研究成果是系统的，创造性的，影响深远。 本文属于凸几何的度量理论研究，即关于n 维欧氏空间基本凸体单形的 度量性质研究。n 维欧氏空间e 4 中的单纯形( 简称单形) 又是凸体几何的主要 研究对象之一。单形在n 维欧氏空间e 。中的地位类似于三角形在欧氏平面e 2 中 的地位，对它的深入研究可以使得n 维欧氏空间中的问题得以较快地解决。有关 高维单形的几何性质和几何不等式是许多一般几何问题的引申与推广，可获得比 二维、三维空间中更深刻的结果。2 0 世纪8 0 年代初，国内学者开创发展了凸几 何与距离几何以及几何不等式的研究，做了一系列开创性工作，在国际同类研究 中处于领先地位，这个领域的研究发展正方兴未艾。人们对高维几何学的研究又 重新引发了经典几何学的再研究，革新几何教材的趋势又对高维几何学的研究提 出了更高的要求。因此该领域的研究具有较高的理论价值和应用价值。本文利用 凸几何度量理论和解析方法，对n 维单形的内心、中线、中面、中位面、k 维中 面等的几何性质进行研究，对涉及单形的内切球半径、外接球半径、k 维中面 面积、棱长、面积、体积等几何量有关的几何不等式问题进行探讨，从低维向高 维推广获得了一些结果。 第二章关于单形k 维中面的性质及其应用 第二章关于单形k 维中面的性质及其应用 2 1 引言与主要结果 在n 维欧氏空间e “中，n 维单形具有哪些性质类似平面中三角形的各种特殊 性质，这个问题一直吸引着我们围绕作为三角形中线的高维推广的开维单形中 线、中面、k 一中线、k 维中面概念及其具备的性质和相关不等式，文献 1 0 1 8 3 作了大量研究受到这些成果的启发，本文应用度量几何理论与解析方法研究了 n 维单形的度量性质，获得n 维单形的k 维中面的一些几何性质，建立有关k 维 中面的两类几何不等式，并给出其应用。 定义2 1 1 “”设e 6 中玎维单形q 。的顶点集为r - “，4 ，4 。) ，顶点4 所对 的侧面( n 一1 维单形) 正- 4 4 一1 4 + 。a + 。的重心为g i ，线段4 g , 称为单形q 。 的第珀 中线，记慨- 1 4 g , i ，( f - 1 , 2 , + 1 ) 有关中线的一个经典结果是： 定理2 1 1 1e 。中n 维单形q 。的中线m i ( i - l 2 , ，n + 1 ) 与单形q 。的诸棱 长吩- j 掣爪1 f t ，n + 1 ) 有关系式 薯砰一7 n + l 。蒌+ ， ) 对单形中线的性质，文 1 2 作深入研究，得到下面一些重要结果。 定理2 1 2 “。设单形q 的中线长为，而 o ( f - 1 , 2 , ，一+ 1 ) 为任一组实 3 有关单形一些度量性质的研究 数，则有 a + lj ! ：i n + l 拜苫出竽矿p n _ l 一秫c z m ， 当q 。为正则单形且毛- x 2 一+ 。时等号成立。 推论2 1 1 “” r a 。( i 一1 ，2 ，刀+ 1 ) 为单形q 。的中线，y 是单形瓯的体积， 薯，o ( i - 1 , 2 , ，一+ 1 ) 与a ( o ，1 为任意实数，则有 ( 萋毛矿卜吵忡训似- t 丫 垆扣， 仫， 当q 。为正则单形且毛- 恐一+ 。时等号成立。 推论2 1 2 “”设单形q 。的中线为鸭o 一1 2 ，n + 1 ) ，a e ( o ，1 为任意实数， 簪土熹 华卜 娩， 当q 。为正则单形时等号成立。 推论2 1 3 “4 设单形q 的中线为( i 一1 ，2 ，厅+ 1 ) ，口( 叫为任意实 数，有 荟n + l 矿之( 雄+ 1 ) 删芹9 4 a l “4 二1 刍i 他2 a 一所芦) 2 ， ( 2 1 5 ) 当瓯为正则单形时等号成立。其中 叫掣r 当口- 时，由不等式( 2 1 5 ) 得 善n + l 砰之( 州) ”黟尹+ 二i 句、m 一1 ) 2 ( 2 1 6 ) 第二章关于单形t 维中面的性质及其应用 不等式( 2 1 6 ) 可视为单形中线型f i n s l e r h a d w i g e r 不等式，当n 一2 时 即熟知的三角形中线型f i n s l e r - h a d w i g e r 不等式。 1 9 ，2 0 中已将三角形的p e d o e 不等式与彭一常不等式推广到涉及n 维单形 的棱长、侧面面积与体积的不等式，再利用上述结果可将p e d o e 不等式与彭一常 不等式推广得到下面涉及单形的中线与体积的不等式。 推论2 1 4 蚴两个n 维单形q 。、q ：的中线分别为强、m i ( i 一1 ，2 ，辟+ 1 ) ， 它们的体积分别为y 、，则对任意两个实数口、o e ( o , 1 ，有 扩( 耖耐8 ) z 妒t ) 砰娶以p ：鼍r v + 矿 等号当q 。、q ：皆为正则单形时成立。 在不等式( 2 i 7 ) 中取a 一0 1 ，得 薹砰隋砖一叫2 冯n ，) 砰 芝砰i 芝砖一叫2l ；毒( n ，) 砰 l 一 、j i， - y 彳+ 砰娶 矿 芝巩八 一y l 善一2j 不等式( 2 1 8 ) 可视为单形中线型彭一常不等式。 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 在不等式( 2 1 8 ) 中取口- p 一1 ，并利用算术一几何平均不等式，得 芝孵f 芝州? 一斫1 = 2 1 ) 咿咿鬈 ( 2 1 9 ) 1 = i 、- i， 不等式( 2 1 9 ) 可视为单形中线型p e d o e 不等式。 定义2 1 2 “”设e “中n 维单形q 。的棱4 4 的中点为m f ，则撑一1 维单形 q i m ，4 4 一 。4 4 。4 + 。( f c ，) ，称为单形q 。的边4 4 上的中面，中 面的一一1 维体积记为勖 5 彬一矿 v筮v智 有关单形一些度量性质的研究 关于栉维单形e p 面性质的研究，近期获得下面一些重要研究结果。 定理2 1 4 0 ”设单形q 。的体积为矿，侧面正( i - i , 2 , ，n ) 的露一1 维体积为 e ，中面的n 一1 维体积记为s ，单形q 。的棱4 4 的中点为肘口，则 ( 1 ) e 。中存在托维单形中。以 民，目，展) 为顶点集，使得巾的棱长旧岛j 的数值为s o 的2 ( 雄一1 ) ! 倍： ( 2 )单形中。的体积为o + 1 ) ! y - 2 矿- 1 ： ( 3 互写。i l o + 1 ) 荟e 2 定理2 1 5 h 5 问单形q 。的体积矿与中面吩的面积s 之间：单形q 。的外接 球半径r 及内切球半径，与中面吩的面积& 之间分别成立不等式 ( 州4 三) 且辨- - - 2 亿。， 毕q 筹n 皿毛p 肌亿， 当仅当q 为正则单形时等号成立。 定理2 1 6 “”单形q 。的侧面正，( 0 s f ，s 雄) 所成二面角的平分面面积 毛与单形q 。的外接球半径r 及内切球半径r 成立不等式 譬忙辨”屉羽一z ， 当仅当q 。为正则单形时等号成立。 由( 2 1 1 1 ) ，( 2 1 1 2 ) 立即可得著名的n 维e u l e r 不等式 6 第二章关于单形k 维中面的性质及其应用 a s a n y a l 提出了如下k 一中线的概念。 定义2 1 3 设e 4 中n 维单形q 。的七个顶点之集 ， ， ) 的重心为 g i a i z i j ，剩下的疗+ 1 一七个顶点之集 4 ，4 ，_ 。) 一 4 i ，4 ， ) 的重心为 c ( i 2 f i ) ，称线段g 编f i 】g ( 编) 为单形q g j - 4 - k 一中线。 特别，单形的卜中线即单形q 。通常的中线。 文献 1 7 中将单形q 。的中线与中面的概念作统一推广，提出下面单形k 维 中面之概念。 定义2 1 4 【l ”设e 4 中甩维单形q 。的七个顶点之集 ，4 ，4 ) 的重心为 g 鸪】，剩下的开+ 1 一七个顶点之集 4 ，4 ，a 。l - 4 ，4 2 ， 】的重心为 g ( 编) ，称i 维单形a 玩 - 4 4 4 g ( 编) 为单形q 的一个七维中面。 记矗( 1 s c f 2t t 一+ 1 ) 为单形q 的七维中面。玩q 的l | 维体积 从七维中面的定义可知，定义2 1 2 的中面即单形q 。的珂一1 维中面；单 形的一维中面即单形q 。通常的中线：单形的一维中面即为单形q 。本身。我们约 定，单形的零维中面即为一个点单形q 的重心g 。 最近，文献 1 8 中研究了单形k 维中面几何不等式问题，获得下面几何不等 式。 定理2 1 7 “”单形q 。的中线与中面2 n 成立不等式 ( 纠掣。静 亿a ， 当q 为正则单形时等号成立。 定理2 1 8 “”对两个玎维单形q 。与q ：， r , r ，r ：厅k q ，j 屹吨分别为 这两个单形的外接球半径、内切球半径及k 维中面的k 维体积，则成立不等式 7 有关单形一些度量性质的研究 辩n r r 2 吉埘吨列鲁广 c z s ， 当q 。与q ：皆为正则单形时等号成立，其中p 。c ( 1 - ：k s 疗) 。 推论2 1 5 “”对玎维单形q 。，有 z 俐卜 亿e ， 当。为正则单形时等号成立。 其中爿( 磋q ) 与g ( ，磁 ) 分别表示磋 ( 1 s t f 2 t s 拜+ 1 ) 的算术 平均值与几何平均值。 不等式( 2 1 1 6 ) 改进了著名的n 维e u l e r 不等式r 置村 设单形q 。的任一七维子单形a a 的t 维体积为吃 ，所有这些t 维体 积的平方和记为 即蚺q 量。( 1 出甩) 将单形q 的所有七维中面的七维体积龟的平方和记为 赢一 吒q ( 1 王七n - 1 ) 埘鸣袅一“” 本文首先研究了较定理2 1 - 1 中结果更一般问题，即n 维单形的所有k 维中 面k 维体积平方之和与所有七维子单形七维体积平方之和间的关系，获得如下更 一般的结果。 定理2 1 9x i e 一中玎维单形q 。的两类不变量饥冯概 之间有等式 瓦。若南m 埘鲫。 陇1 1 7 ， 8 第二章关于单形k 维中面的性质及其应用 特别地，当kz 1 时便得式( 2 1 1 ) ，因此，式( 2 1 1 ) 为式( 2 1 1 7 ) 的一 种特殊情况。 其次，我们探讨了甩维单形q 。的已。个中面共点问题，得到如下结论。 定理2 1 1 0 e 4 中一维单形q 的巴个玎一1 维中面相交于一点。 定理2 1 1 1 对e “中n 维单形q 。的诸不变量 最】( 1 七j 再一1 ) 成立不等式 再：苫rc玎+，e以+，z，4。翩霄；，七zs脚一，czl-s， 定理2 1 1 2 设毛( 1 f ( ，s n + 1 ) 为4 中以维单形q 。的诸二面角的平分面 面积，则对任一自然数七( 1 七量一一1 ) 有 睫鬈丁s ( 再篇篇印，亿9 ， 当q 为正则单形时等号成立。 特别地，当一= 2 时，不等式( 2 1 1 9 ) 即关于三角形的不等式。”： 砰+ 嵋+ 嵋s 肼；+ 臃；+