游戏教学模型.doc

第四节 游戏教学模型虽然，在数学教学中，利用游戏的过程还未很好定义，也没有很好地把它组织得足以给它一个叫做教学模型的技术状态。但是在这里，我们仍把游戏包括在我们的模型表里，这是因为，它们在数学课堂里普遍得到采用。数学教师和学生中普遍都利用游戏，然而在许多情况下，游戏是利用得相当无计划，而且后来所产生的积极的学习效果，往往不是事先所意料的。在大部分教育的游戏中，由于回答而感到满足的情感目的是明显的；然而教师所利用的许多游戏的认知教学目的，是模糊的或者是不存在的。从许多数学教师对待游戏的态度来看，这个事实是明显的，他们把课堂游戏用做奖励或者用于消磨时间。当一个班很好地完成了一个小组课题或者一次考察时，教师就允许学生做个游戏。在学校放个长假之前，学生很浮动，而且课堂秩序很难维持，这时就做游戏。当我们问教师为什么要在课堂上做游戏时，多数教师回答说，他们利用游戏以激发学生学习的兴趣，帮助他们学习数学。然而许多教师并不能说明他们利用游戏要完成的认知目的。事实上，仔细阅读一下所谓数学游戏的目录单，就可以发现有些数学游戏是为了娱乐而不是为了促进数学学习。利用一些普遍采用的课堂数学游戏所能学到的数学知识是很少的(如果说能学到的话)。即使有些游戏很好，把它们用于学习数学知识也是很勉强的。但是用这些做为理由来否定所有的数学游戏也是不充分的。 例如，为特定学习目的而设计的、由教师和学生有计划地利用的游戏，对促进学习或许是非常有效的活动。当教师把游戏做为学生自己可以控制的课的时候，并且几乎无计划或者在无计划的情况下利用它时，做游戏的危害就出现了。和任何其它数学课比较，一堂游戏课也需要有与讲授课同等数量和质量的计划。在一节游戏课的准备中，教师应当进行十四项备课活动中的每一项。游戏中的数学对象应当确定。这项游戏应当用于数学课程中的恰当位置，这一点取决于包含在游戏中的数学课题。应当为这个游戏确定认知目的和情感目的，而这些目的也应当让学生知道。必要时，这个游戏的补充材料应当事先准备好。应当设计好课前评价的方法，评价学生对学习游戏本身的准备状态，并且评价他们学习游戏中的数学内容的准备状态，这是因为有些游戏的规则，对于许多年纪较轻的中学生来说过于复杂，他们理解不了。应当制定利用游戏的教学方法；但是在许多情况下，游戏的规则做为这堂课的方法是足够了。应当利用课后评价方法，评价游戏的效果，以便帮助学生实现学习目的。另外，对这个游戏应当评价它做为一种数学学习材料是否适当和有效。下面要讨论的是把教育的游戏应用于数学课堂的一些研究：游戏的教育目的和局限性、利用游戏的教学方法、对数学游戏的评价、游戏的种类和游戏的来源。我们还将介绍，把一种游戏用于数学教学的一堂课时的计划范例。一、游戏的教育目的和局限性许多教育工作者认为，做数学游戏的主要目的是为了激发学生学习数学的动机。因此我们首先要讨论教育游戏的情感目的。和其它不太有趣味的教学活动进行比较时，大多数学生愿意选择在他们的数学课上做游戏。这就意味着他们愿意接受这个游戏中所包含的无论什么样的数学知识。为了做一种游戏，学生们必定卷入到这个游戏里来，也就是说，他们必须愿意回答。对于大多数学生来说，做游戏的确是很有乐趣，参加到游戏里来，会使他们在回答中得到满足。许多游戏的规则和方法可以划分成不同等级的价值，有些方法的价值比其它方法的价值更高。因此，做游戏者必须愿意接受一种价值，而且他们通常学习如何挑选某些价值。有些更复杂的游戏需要参加做游戏的人组织一个价值体系。例如，做游戏涉及一些价值，象个人的积极性、和他人合作、尊重别人的意见、优胜者的道德和竞争。做游戏能帮助学生把这样一些价值组织成为价值体系。有一种经济学游戏，需要通过使自己的对手破产而取胜，它也许会过于强调无情竞争的价值。有一种游戏涉及到如何争取到人力、物力，去组织一个平衡的世界经济，它说明人与人、国家与国家之间合作的重要性，而对每个人来说，过多竞争的后果，也许就是战争和经济的毁灭。为社会科学而编排的游戏；是为了影响游戏者的态度和价值观念而设计的。有一些这样的游戏，虽然看起来，是最适用于一门历史课、公民课或者经济学课，但是其中有一些需要利用相当复杂的算术技能，从而使它们具有两个理由适用于数学课。首先，学生能够练习他们的数学技能；其次，他们能把数学应用于解决数学领域以外的问题。数学游戏也能用于达到各种认知目的。许多游戏需要利用算术、代数和几何技能，而且能够用于练习和巩固这些技能。在临大考之前，大多数教师利用一节至两节课的时间，复习考试中所要包括的材料。这些复习课的目的，是回忆和巩固数学事实、技能、概念和原理。虽然复习课可以是很有用的学习方法，但是它们往往使许多学生感到厌烦。使复习课更有趣味，因而更有效的一个好方法，就是把复习的数学对象结合到一个游戏当中。因此在这一节结束时所要介绍的教学计划，是一个一般的游戏，它能够用于复习许许多多的算术、代数和三角课题。一般地说，游戏对于学习各种各样认知目的所指定的事实、技能、概念和原理是适当的辅助活动。因为游戏能够用于巩固对事实和技能的学习，所以通过游戏能够实现对知识的巩固和理解的目的。许多商业化的游戏，需要应用数学概念和原理，可以通过游戏能够实现应用的认知目的。许多课本中的问题，忽视了较高水平的分析、综合和评价的目的，但是有些数学游戏却需要分析游戏方法、数学概念和原理，并且对这些概念和原理进行综合和评价，以便找出取胜的方法。 包含在一些游戏中的间接数学对象，有解题技能的改进、学习的迁移，一般智力发展和学习如何学。以计算机为基础的游戏和模拟，对于帮助学生提高他们分析数学教育中这些间接对象的能力，是很有效的。虽然，游戏对学习数学是有价值的活动，但是它们并不是一种教育的万灵药，它们的确有一些局限性。正象任何一种教学模型或者教学方法一样，在审慎地选择和有节制地运用时，游戏将是非常有效的。大多数学生一旦被卷入到游戏中去，他们的学习就得到促进。然而，有些学生被卷入到游戏中去以后，会变得过于激烈。当游戏导致胜者和输者时，不成功的学生会避免参加游戏，或者半心半意地参加。还有，取胜的目的会使认知目的模糊，而且会贬低这些数学目的的价值。有些学生不喜欢游戏，他们认为游戏的数学教育优点是有限的。有些游戏的方法和规则，的确是有好的数学目的，但它们对一些学生来说，也许太难于理解，而年龄大一些的、更老练的学生，又会把它们当作不值得考虑的内容。做某些游戏还会促使不适当的行为发生，例如以任何代价取胜，或者受抑制而不合作。游戏对学生没有明显的局限性，所以有些学生很喜欢游戏，以致于其它教学方法和游戏法比较起来，就显得毫无趣味了。关于游戏的局限性问题，是由于我们的社会对游戏抱有偏见的看法引起的。游戏往往被看做是娱乐而不是严肃的事情。而工作和教育都是严肃的活动，因为它们可以把人们引向金钱、财产、保险和地位。所以只有在完成了严肃的事情以后，游戏才可以用于娱乐和休息。致使许多教师也把游戏当做无目的娱乐。即使教师确实利用好的游戏去达到正确的教学目的，而又经常过于依赖游戏做为一种教学方法，那么，他们的学生由于已经把游戏当做娱乐，仍然会觉得他们不是在学习什么数学，而是经常在做游戏。因此，有时有必要教育学生、家长和学校管理人员(还有教师)，让他们理解关于把游戏做为教学方法的价值。二、利用游戏的教学方法虽然，在一堂课中以一个游戏为中心的教学方法的核心；是游戏本身的方法或者规则，但是做为一个数学教师，当你为准备一堂课在挑选一种游戏时，你应当仔细考虑所有的活动。重要的是你应当挑选包含情感和认知数学目的的游戏，而且把每一种游戏用到数学课程的适当地方。如果你不会把立体几何的一堂课，安排在关于解二元方程组的一堂代数课后面，你也不会用一个三维几何游戏安排在代数课的后面。即使做游戏只是一种有乐趣的娱乐，如果游戏挑选得当，而且用在恰当的时间，它就能导致有效的数学学习。 如果你已经购买或者编排了一种你以前并末用过的游戏，那么在你把它用于课堂以前，应当仔细学习和评价它的规则；再做这个游戏。这样就会帮助你确定这个游戏的方法和规则是否适合于你的学生，规则是否讲得通，它们是否能在适当时间内被学会。有一些优秀的数学游戏，需要几小时的练习，才能掌握它们的规则。也有一些游戏，它们的规则比游戏中的数学内容更加复杂和抽象。如果真是这样那么就应避免利用这样的游戏。如果必要的话，可以修改游戏的规则，以便适合你和你的学生的特殊需要。没有一个游戏的规则是不可修改的。即使是标准的纸牌游戏、跳棋和国际象棋，它们的规则也可由游戏者加以修改，以便适合他们自己的目的。利用标准游戏的一部分，编排出无限多种游戏也是可能的。例如根据你自己的规则和目的，利用纸板、段子、纸牌和棋子等。应当鼓励学生编排他们自己的游戏，修改你的游戏中的规则。你也可以要求学生所编排的游戏有某些准则。他们的游戏应当和他们正在学习的数学课题有关，并且游戏中的规则和学习目的，应当是你自己从教育游戏中所挑选和准备的。如果为特定的数学学习目的进行游戏，学生从中所学到的数学，通常会比做其他游戏时所学到的数学要多一些。柯尔(HKoN，t974年)在他的一本名叫数学、写作和课堂游戏活动的书中，讨论了儿童通过自己编排的游戏所能学到的、重要的；实验的和解题的创造性。如果你需要教给你的班级如何做游戏，你就需要准备好教这个游戏规则的一小节课时的计划。通常给班里的每个学生准备好一份游戏规则会更好些，如果规则太长和太复杂，那么这个游戏就不适合用于课堂。游戏开始前，一定要让每个学生都理解这个游戏的规则。如果，当学生在做游戏时，对游戏规则感到混乱，他们是否能达到游戏的教育目的，就值得怀疑了。当游戏需要按小队进行时，你应当根据学生的能力。把他们均衡的分到小队里，使他们通过公平的竞赛得到乐趣。最好不要让学生队长挑选自己的队员，因为最后挑剩下的较差学生也许会受害，而不愿意做游戏。 在一个游戏的过程中，你应当是个调解员和裁判，使得游戏沿着学习目的方向进行。你也应当鼓励每个学生都参加游戏，而不鼓励几个学生支配这个游戏，游戏应当是组织好的，有次序的；然而学生往往会来回走动，而且在游戏时出声，因此在游戏期间最好要关好教室的门。遗憾的是，一些教师和学校管理人员仍然把走动和出声与纪律问题等同起来，所以你也许应当向你的同事说明游戏的学习价值。如果你确定了好的学习目的，并且运用有效的课后评价程序，那就没有什么问题了。尤其重要的是，要把课堂游戏看做是一个严肃的、重要的有效的教学方法，它正好也是学生学习数学的一个有趣味的方式。有些人的确争论说，即使学生做了某一个游戏而末学习到数学，只要学生喜欢这个游戏，它仍然是一个好的激发学生学习的手段。这个结论是荒谬的，因为学生也许只是被动地去做游戏，而反当游戏和数学没有关系时，他们也就不会把游戏的乐趣同学习数学联系起来。有许多优秀的数学游戏正在使用中，还有一些是有趣味的数学游戏的设想，所以可以从动力价值的角度。也可以从学习数学的价值的角度，对游戏进行挑选。在数学课中运用教育游戏的一个基本原理是，如果这个游戏不具有正确的数学学习目的，而且又不是有趣味的，那就不要把它用到你的数学课堂上。数学是一门有趣味的学科；而且不时地利用游戏，能使数学对许多学生来说更加有趣味。 三、对数学游戏的评价评价数学游戏的原理，在以上关于游戏的讨论中，是作为一种教学方法进行评价的。当然，正如所有教学方法那样要求真实，如果数学游戏不能使学生达到这堂课的学习目的(也就是说，如果他们没有学会材料)，那么这堂课就是失败的，而教师就应当评价这堂课本身，以便找出它的不足。然而，即使大多数学生，利用一个游戏方法相对成功地达到了一堂课的教学目的，为了使这个方法能够得到改进，仍然应当对它评价。下列问题是教师在评价一个游戏方法时；应当提出和回答的问题的一个提纲： (1)这个游戏的规则对学生们是清楚的吗？(2)全班是不是需要花过多的时间学习这些规则?(3)这些规则是否太复杂或者太长，以致使游戏的进展慢下来？(4)这个游戏对全班学生是否显得太乏味或者要求太高?(5)这个游戏是否组织得很好，使所有学生都有机会参加？ (6)看起来每个学生是否都卷入到游戏的进程中? (7)全班学生是否喜欢做这个游戏? (8)有没有大约破坏和小的纪律问题干扰正常的课堂学习目的? (9)学生是否过于卷入游戏的方法中，干扰了他们达到这堂课的学习目的? (10)在整个游戏中，数学对象是否明显? (11)学生是否注意到这个游戏的数学认知目的? (12)还有最重要的是，在课后评价中，他们在数学学习中是否做得好?四、游戏的种类有上千个游戏是和数学有联系的。事实上，任何一种游戏，如果需要个逻辑技巧、一个随意过程或者计算，我们就可以把它看做是一个数学游戏。然而，这样一个数学游戏的定义是过于一般的、因为它并没提出对于以具体的和可衡量的数学目的为基础的游戏，如何分类和挑选。本书是将一种数学游戏定义为娱乐的任何一种方式，它既具有具体的、可衡量的数学认知目的，也有具体的可观察到的数学情感目的。 有些商业化游戏，可以从学习材料的销售者那里购买到，还有许多由教师创作的游戏，在数学教育杂志上和书籍里都有描述。这些游戏都明确地说明了学习目的，或者学习目的可以由多数教师很容易地推断出来。遗憾的是，有许多商业化的所谓的数学游戏，已经成为数学教育的标准材料，这些游戏都是有趣味的娱乐，但它们和大部分学习数学的目的无关。例如数的谜语，通常用来做数学游戏，这些谜语是有趣味的娱乐，但是它们却需要相当的想象力，以便从中找出具体的数学认知目的。虽然象这样的谜语对学生来说是个消遗，如果在数学课堂上把它们用得过了头，就会使学生对数学的性质及其应用有不正确的看法。但是象“求一个数，使这个数加上它的数字的和所得的结果为73”这样的谜语，是适用于数学课堂的，因为这个问题是数论课程中所讨论的丢番图方程的一个例子。、这样的问题，能够帮助学生理解丢番图方程的概念，和包合在他们的解答中的原理。当然我们纯粹为了娱乐目的偶尔做一个游戏，也是无害的，然而，如果我们能找到具有容易识别出数学学习目的的游戏，就会更好些，而且这种游戏也是一样地容易找得到。 游戏这个词，有许多不同的定义。一个游戏可以定义为娱乐的任何一种方式，定义为由具体规则所规定的一种竞赛，定义为受一个具体目的制约而在对手之间进行的一个竞赛等等。游戏也可按许多方式分类，可以根据游戏中所使用的不同材料把她们分类，例如，纸板游戏、纸牌游戏、段子游戏等；也可以根据游戏中所进行的活动分类。例如随机的、或概率性策略的、腊测的等；或者根据游戏的特点，例如个人竞赛、小队的竞赛、非竞赛的等等。在关于数学游戏的讨论中，我们将根据学生做每个类型的游戏后历达到的学习目的来说明游戏的特点。有些数学游戏涉及个人或者小组竞赛，而许多游戏却是非竞赛性的。1.解谜语或者难题的游戏有些数学游戏需要游戏者解一个数学谜语或者难现在解谜语或者难题时，学生运用数学技能、概念和原理或者发现新的数学对象。在第一章里所讨论的基诺的四个悖论，有二分法、阿基里斯、箭和运动场；通过运用无穷和无穷小概念的适当定义，就能把它们解出来。代数中的一个著名悖论，就是每一个数都等于它自己的相反数的一个“证明”，过程如下：设x为任意数；例如，假定x等于某个定数a，那么x=ax-a=0(x-a)(x+a)0(x-a)(x+a) = 0 (x-a) (x-a) x=-a但是，我们已假设x=a，所以通过代换得a=-a。当然，这个悖论来自我们的方程两边同除以(x-a)它等于零。由此得到了用零做除数的一个戏剧性说明。2.发现为什么某种方法能行得通的游戏与解谜语和难题密切相关的，是一些合作性的，而不是竞赛性的游戏，这类游戏是去发现为什么一个规则、程序或者算法能行得通。这些发现的游戏，涉及对数学过程的分析，也需要运用数学技能、概念和原理。例如，有一种发现游戏涉及到古时候的算法，我们把它叫做“牧羊人算术的游戏。”这种“发现它为什么行得通的游戏，可以用如下方式向学生介绍。 有个叫夏普的牧羊人；以养羊为生，他把羊卖给城里卖肉人。由于他在年轻时辍学而去养羊，他对算术知道得很少。因此当夏普卖羊时，名叫布奇的卖肉人一直欺骗他。夏普怀疑布奇一直是在欺骗他，因为他卖羊后，没赚得多少钱。但夏普能够把整数相加，把它加倍或者折半，所以他设计了一个方法，去计算卖每只羊后，应当支付给他的钱，他的方法如下：假定夏普有27只羊要卖，每只卖12元，于是他就会这样计算：羊数 每只羊的价钱27 1213 246 48（这一行划去）3 961 192 324夏普把羊数折半并把元数二倍，一直到不能继续这样做为止，“于是他把元这一列相加，找出他卖给布奇的27只羊后，应该得到的钱数，你会注意到当夏普把羊数折半时他舍去分数。这是因为他不能把分成块的羊推到市场上去卖，而且他也不懂得分数。你也会注意到他划掉了六只羊的那一行，他这样做，是因为他对偶数只羊是迷信的，因此如果羊数是偶数，他总是把这一行的羊数和元数划去，还应注意到他没有把划去的这一行的元数做为加数，包括在元这一列的总和之中。 为什么夏普的方法总是行得通? 答案在于他利用一种技巧。把十进制的设和二进制的数的加法结合在一起，这一点从下列对夏普方法的分析可以看出来。3找出规则和模式的游戏个专业数学家工作的一个重要部分，是寻找能引向新的数学发现的一般化和型式。如果学习数学的学生利用分析和综合去寻找规则和模式，那么他们就能更好地理解某些数学概念和原理。例如，如果学生从一个数学函数的概念、序列和序列极限的概念寻找概括，这些概念就能够更好地为学生所理解。通过利用简单的、由教师准备好的游戏，就能激发学生去这样寻找。有一个简单游戏的方法就是把全班分成两队，然后让各队轮流举出函数和序列的例子；再向其它队介绍他们的例子。防守队的工作就是找出这个函数、这个序列的下一项、或者是这个序列的极限。可以决定一个记分方法来确定取胜的队。下面给出函数和序列的一个表。说明学生在这个游戏中可能构成的各类问题。 找出每个函数4.练习技能的游戏教师向学生介绍了技能以后，每个学生必须练习这些技能。以便完全掌握它们，通过解课本上一系列问题进行技能训练，练习技能是掌握技能的一个好方法；然而，它也可能是机械的，令人厌烦的。数学游戏最有用的一个目的，就是练习技能，而且有许多既简单又有趣的游戏，可以由教师和学生创作出来，用于练习技能。包含适度竞争的游戏，可以用于学习技能；但是竞争过头，就会引起不适当的态度和价值，而干扰了对技能的掌握。游戏能够促进对技能的理解、应用、巩固和记忆，以及实现愿意回答和由于回答而满足的情感目的。为中学生编写的数学游戏的书籍和汇编里的大部分游戏，都是为学习和练习技能而设计的。 有一种格子游戏是有许多变化的一种算术技能游戏。它的目的是从一个数的格子中心找出一条到达格子边沿的途径，使得所经过的数的乘积的和，小于或者大于对手的乘积或者和，把图56的格子图画在黑板上，或者用玻璃投射出来，每个学生或者小组，能够试着从中心通过一些方格到达边沿的任何一个方格，以得出某一个数值。在这里就是通过五个方格到八个方格到达边沿，使数的乘积小于对方所得的乘积。移动可以是水平方向或者垂直方向，但不能是对角线方向；然而一旦到达了边沿的方格