（机械设计及理论专业论文）弹簧质量系统的动态响应及其可靠性设计.pdf

哈尔滨i ：科人学硕七学位论文 摘要 螺旋弹簧质量系统出于其结构特点及其缓冲作用在几乎所有机电设备和 系统中都有广泛的应用。作为一种通用零部件，其各项性能指标特别是强度 和可靠性指标受到了国内外广大专家、学者和工程技术人员的普遍重视。而 在冲击载荷下弹簧质量系统的可靠性设计更是备受关注但讨论不够深入的课 题。鉴于我国在这方面与国际先进水平的差距，此课题的研究有助于在理论 和技术上进步，对提高机电设备的可靠性和使用寿命具有一定的应用和参考 价值。本文的主导思想是讨论和分析冲击我荷下螺旋弹簧质量系统的动态响 应，并应用名义应力疲劳设计方法估计其平均寿命。 本文的主要工作是给出冲击载荷下螺旋弹簧质量系统的数学模型，讨论 其边界条件的具体确定方法，并对其特征线解法的正确性和局限性进行了讨 论，而且得出比较新颖的结论；提出了将弹簧应力的动态响应分成瞬态响应 和稳态响应的切实可行的近似算法，弥补了以往数值算法的缺欠并有独到的 见解；首次完成了冲击载荷下利用比较完整、精确的应力谱，对螺旋弹簧的 寿命估计工作；结合5 7 火炮输弹机的实例，对其动态晌应和寿命进行了实际 运算和估计。本文的一些突破，使机械动力学和弹性动力学，关于弹簧的研 究达成了融合和一致，并对弹性动力学和可靠性设计理论关于弹簧方面的讨 论添充了更新、更精确、更丰富的内容。 关键词：螺旋弹簧质量系统：特征线法；名义应力疲劳设计；应力谱； 5 7 火炮输弹机 哈尔滨j ：程火学硕+ 学位论文 a b s t r a c t h e l i c a l s p r i n g m a s ss y s t e m ( h s m s )i s w i d e l y u s e di na l m o s ta l lo f m e c h a n i c a la n de l e c t r i c a lp r o d u c t sd u et oi t ss t r u c t u r ef e a t u r ea n de l a s t i cb u f f e r a b i l i t y b e i n g ag e n e r a l c o m p o n e n t ，i t sp e r f o r m a n c ei n d e x e se s p e c i a l l yt h o s e a b o u ti n t e n s i t ya n dr e l i a b i l i t ya l eb r o a d l yc o n c e m e db y s p e c i a l i s t s 、s c h o l a r sa n d e n g i n e e r i n gt e c h n i c i a n s a l lo v e rt h ew o r l d i ti sm o r ea t t r a c t i v eb u tn o td e e p l y d i s c u s s e dt ot a l ka b o u tt h er e l i a b i l i t yd e s i g no fh s m su n d e r i m p a c tl o a d s e e nt h e g a pu pt o i n t e m a t i o n a l d e v e l o p e dl e v e lf r o mu s t h er e s e a r c ho nt h i si st r u l y h e l p f u l i n t h e o r ya n dr e f e r e n c et o i nc r e a s et h e r e l i a b i l i t y a n dw o r kl i f eo f m e c h a n i c a la n de l e c t r i c a le q u i p t h et h o u 曲to ft h i sp a p e ri st od i s c u s so na n d a n a l y s i st od y n a m i er e s p o n s eo fh s m s u n d e ri m p a c tl o a d ，a n de s t i m a t ei t sm e a n l i f eb a s e do bn o t e ds t r e s sf a t i g u ed e s i g nm e t h o d 1 1 h em a i nw o r ko ft h i sa r t i c l ei sp r e s e n tam a t hm o d e lo fh s m su n d e r i m p u l s e l o a d d i s c u s so nt h ec o n c r e t ed e t e r m i n e w a ya b o u t i t s b o u n d a r y c o n d i t i o n s 。a n da s kt h ec o r r e c t n e s sa n dl i m i t a t i o no f i t sc h a r a c t e r i s t i c sr e s o l u t i o n ， w h i c h g e t s o m en o v e l c o n c l u s i o n s ；p u t f o r w a r da p r a c t i c a l a n du s e f u l a p p r o x i m a t ec a l c u l a t i o nm e a n sd i v i d i n gd y n a m i cr e s p o n s ei n t oi n s t a n t a n e o u sa n d s t e a d yr e s p o n s e ，w h i c h m e n d st h es h o r t c o m i n g o ff o r m e rn u m e r i c a lv a l u e c o m p u t a t i o n ，a n dh a so d do p i n i o n s f i n i s hf i r s tt i m et h ee s t i m a t et ot h ew o r kl i f e o fh s m su n d e ri m p a c tl o a dr e l yo nf a i r l yc o m p l e t ea n da c c u r a t es t r e s ss p e c t r u m ， c o m b i n i n gt ob o m b t r a n s m i t t e ro f5 7c mc a t n n o f l ，t h ed y n a m i cr e s p o n s ea n dm e a n l i f eo fi ti sc a l c u l a t e d t h e r ea r es o m eb r o k e np o i n t st h a tm a k em e l ta n da g r e e m e n tb e t w e e n m e c h a n i c a ld y n a m i c sa n de l a s t i cd y n a m i c su p o ns p r i n gr e s e a r c h ，a n da d ds o m e n e w e r , m o r ea c c u r a t e a n dm o r e p l e n t i f u l c o n t e n t st oe l a s t i c d y n a m i c s a n d r e l i a b i l i t yd e s i g na b o u ts p r i n g k e y w o r d ：h e l i c a ls p r i n gm a s ss y s t e m ( h s m s ) ；c h a r a c t e r i s t i c sr e s o l u t i o n ； n o t e ds t r e s sf a t i g u ed e s i g n ；s t r e s ss p e c t r u m ； b o m bt r a n s m i t t e ro f 5 7c mc a 】r q o n 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献的引用己在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已 注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ： 日期：明年j 胡动日 哈尔滨一i ：程大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 15 7 火炮输弹系统力学和可靠性分析模型 1 1 15 7 火炮输弹系统的力学模型 5 7 火炮输弹系统的结构由五部分组成。 1 、冲击端质量块；2 、前端弹簧；3 、中问质量块 4 、后端弹簧；5 、固定端 前后端弹簧2 和4 为材质、尺寸相同，但绕向相反的螺旋弹簧，整个系 统连接方式是1 、2 、3 、4 、5 相互固连。冲击端质量块与炮弹相连。火炮发 炮后产生届作冲力作用在冲击端质量块上。所以，5 7 火炮输弹系统的力学模 型是一个承受冲击载荷的双弹簧质量系统。 1 1 2 5 7 火炮输弹系统的特点及其薄弱环节 山于弹簧的缓冲作用，采用了双弹簧质量系统的结构可大大减弱火炮后 作力列整个输弹系统的冲击，提高了输弹系统的承载能力和可靠性。但这是 以增加输弹弹簧的应力为代价的。所以前后两个输弹弹簧是5 7 火炮输弹系统 中承受最大应力的薄弱环节。 1 1 35 7 火炮输弹机的可靠性分析模型 由于输弹弹簧是整个输弹系统的薄弱环节，所以应主要着眼于输弹弹簧 的可靠性分析。在冲击后作力作用下，输弹弹簧将产生弯曲和扭转联合变形， 由弹性力学理论可知，弹簧将产生剪切和拉伸不均匀分布的联合应力。所以 输弹系统的可靠性分析模型是承受弯扭联合应力弹簧的双轴疲劳可靠性分析 问题。 1 2 冲击载荷下弹簧质量系统可靠性设计的实用价值和本 文宗旨 弹簧作为储能元件，在减振器机械缓冲器等方面得到越来越广泛的应用。 而由螺旋弹簧与质量块组成的螺旋弹簧质量系统可以说几乎在任何机电仪器 1 哈尔滨：【：程大学硕士学位论文 和设备中都有它的存在。作为常用零部位，其各项性能指标，尤其是其强 度指标，直接或间接地影响整机的性能和工作质量。因此对螺旋弹簧质量系 统的机械性解响应及其强度分析受到了国内外专家、学者和工程技术人员的 普遍重视。利用实验和理论分析，对螺旋弹簧质量系统进行可靠性设计，提 高其平均寿命和可靠度，从而提高整机的可靠性指标，具有普遍的应用价值。 关于这方面的工作和文献很多，大多数问题都是围绕着，螺旋弹簧质量 系统在承受静载荷或低频周期性载荷的情况下进行分析的。其结论主要适用 于对螺旋弹簧质量系统的静强度分析和固定载荷下的可靠性。实验结果和经 验表明，造成弹簧失效的一个主要原因是：当它承受突加载荷时，产生的冲 激响应。在冲激载荷下，弹簧失效数目很多，往往经静强度分析或固定载荷 分析的结论是可靠的，而实际情况是不可靠的。所以激载荷下的可靠性设计 就不得不被提出柬了。但这方面文献非常少，实验数据也不多。对螺旋弹簧 质量系统进行冲激可靠性设计的意义在于，偿试一种可靠性设计的新方法。 本文的主旨是：应用非线性波动理论，计算出螺旋弹簧质量系统在冲激载荷 下应力的动态响应，应用疲劳强度理论对其进行寿命估计。围绕这一宗旨， 本文对5 7 炮自动输弹系统进行了可靠性设计。 1 3 5 7 火炮输弹系统可靠性研究的国内外发展状况 5 7 火炮输弹系统的螺旋弹簧失效模式，主要是冲激失效，对这个问题的 研究，美国、俄罗斯的水平较高，它们的主要工作是从提高材料性能上大量 的实验进行的。其寿命指标可达2 0 0 0 次，我国的现有水平较差，平均寿命在 5 0 0 一1 0 0 0 次之间，所以，对输弹系统进行寿命估计，找出问题，具有很大 的应用价值和经济价值。 1 4 问题的难点及本文所做工作 1 4 1 问题的难点 对输弹系统进行冲击可靠性设计的难点有四 1 、螺旋弹簧质量系统的冲激动态响应 2 、边界条件的确定 在对弹性体进行波动分析时，最繁琐的问题就是边界条件的确定，由于 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 。 在求解方程时，边界值是时间和位置的多元函数，也为未知，而边界条件的 选取，真接影响方张的解。所以确定与实际情况相接近的边界条件是求解波 动方程的关键。 3 、波动方程的非线性问题 线性波动方程的单解性，是由于线性波动速度恒定。而非线性波动的传 波速j 变是随拽荷变化而j 变化的，所以会出现激波，从而使方程的解具有多值 性。所以只能用数值分析的方面进行近l p t t 算，实验和理论分析证明利用数 值法得到自g t - i 算结果是合理有效的。 4 、螺旋弹簧的可靠性分析模型的确定 螺旋弹簧在随载荷的应力情况量弯扭联合作用的结果，应属双轴疲劳问 题。如何确定应力，强度的情况，选择合理的分析模型将影响分析结果的可 信性。 1 4 2 本文所做工作 ? 根据以上难点，本文做了以下工作： l 、螺旋卯债质景系统非线性波动方程的建：9 - 平1 1 求解方法： 2 、边界条件的确定； 3 、螺旋弹簧质最系统瞬态响应的求法： 4 、螺旋弹簧质量系统瞬态响应的近似求法； 5 、螺旋弹簧质量系统稳态响应的近似求法； 6 、螺旋弹簧质量系统的可靠性设计。 3 哈尔滨l - 枉r 1 人学硕：t 学位论文 第2 章螺旋弹簧质量系统动态响应的特征线解法 及其边界条件的确定 2 1 螺旋弹簧质量系统动态响应的特征线解法 2 1 1 螺旋弹簧质量系统的数学模型 当螺旋弹簧受到外界激励时，将在其轴向和周向同时产生弯曲和扭转响 应。应用弹性理论分析结论是弹簧中分别存在弯曲和扭转两种弹性波的传 播。 p h i u i p s 和c o s t e l l o 根据l o v e 3 的静态大变形公式推得了在轴向力 和扭矩联合作用下，螺旋弹簧的非线性波动微分方程组。 c 郇，窘j r a l 2 ( , 历蜜o x2 鲁d t 。i d x r 口一、 国雾+ a 2 2 ( 6 , f 1 ) 霎d x 一雾 防。9 ， d xd r ，9 一、 一工一 “ v虎m h ，h h i = t ( m h r2 e 1 ) i = t k 占：竺：? a u 口：一a v ：堡 a x a x 叔瓠 幢f 1 ) = 茜警 = c s t n 口+ c 。s a ，s i n d 一1 - - 与y ( f l s i n a + c o s a ) - i _ = j i 面c o s z a 4 ( 2 - 3 ) 哈尔滨i 稗人学硕+ 学位论文 c s 厕= c 瓦伪= 等等= 言要 如2 d 嚣一脊一秽2 7 删泓m ( 2 - 4 ) 幢舻筘= s i 十专 。， h “1 例 1 响a 一专c o s2 口 2 一击s i n 2 a c 。s a 矧n a ( t 一南s i n 2 刁 此时，微分方程( 2 一1 ) 和( 2 - 2 ) 为线性方程。 2 1 2 螺旋弹簧质量系统动态响应的特征线解法。 根据偏微分方程波动问题的特征线法原理 7 和参考文献 5 ， 其特征线方程为； n ：1 炳。，巾一， 由此可得到四个特征方向为： ，= 业激挚 5 得 一 一 一 r i 球 纠 这罩，要求弹簧承受的动载不会太大，满足通常的波动条件，能够保证所有 特征方向均为实数值。 特征线的相容方程为： ，一日。( 赛 j d 占+ 口。：( 赛 i 巧卢一 - 一口。 要 j ( 褰 。d h 一 口。：( 要 j 咖= 。 ( 2 1 1 ) 并可写成以下差分形式： t a n 赛 i s + n ，： 嘉 j 一 一口：f t 堡d x j 2 , f t , 堡d x ) , “一 d ；： 赛 i v = 。 ( 2 - 1 2 ) 所以弹簧任点p 处的动态响应、“、p 可用数值法以与其相邻近的 l 、2 、3 、4 点联合求得。 l 。，麓舢艄 牛。 图2 - 1p 点动态响应示意图 弘姒： 闰一，点的 l d 石。td x ) 6 弘 现 fd i l k 4 2 恢l 哈尔滨：i ：程犬学硕士学位论文 所以有 a l 】1 占+ a 1 2 i + a 1 3 l “+ a 1 4 l v = e a 2 1 2 s + a 2 2 2 + a 2 3 2 “+ a 2 4 2 v = e 2 a 3 13 s + 一3 2 3 + a ) ”+ a 列，v = e 】 a 4 1 4 占+ a 4 2 4 卢+ a 4 3 4 ”+ a 4 4 4 v = e 4 爿= 1 一a 2 2 1 k ? a l d l = k l a l 2 l a 1 2 l = a 1 2 1 k ? a 2 1 2 = i a 2 2 2 k ； a 2 3 2 = k 2 a 2 1 2a 2 4 2 。k 2 a 2 2 2 a = i a 2 2 3 k ；a 3 2 3 = 口m 霹 ? a m = k 3 a a 4 1 d = d 2 2 4 尼： a d = k 4 a 4 1 4a 4 4 4 = k 4 a 4 2 4 e l = a i i l s l + a 1 2 l i + a “l 十a v 1 e 2 = a2 12 占2 + a 2 2 2 卢2 + a 2 3 2 “2 + a 2 4 2 v 2 e 3 ；爿3 l3 占，+ 爿3 2 3 鼠+ a 3 ” 3 + 彳3 4 3 v 3 e 4 = a 4 1 4 s 4 + 爿4 2 4 成+ a 。3 4 ”4 + a 4 4 4 v 4 ( 2 一i 3 ) ( 2 - 1 4 ) ( 2 一1 5 ) ( 2 1 6 ) a i3 i = k l a 】l l a 2 2 2 = 12 2 k ； a 3 = k 3 a ) a d 2 4 = 砑 本文采用以慢波为主的特征线法，具体做法参看文献 2 ，由于( 2 一1 3 ) 、 ( 2 1 4 ) 、( 2 1 5 ) 、( 2 一1 6 ) 是利用弹性理论的联立方程组，所以在本文后续引 用时，将它们统称弹性约束。 根据方程( 2 1 0 ) 和( 2 一1 2 ) ，以及已知的边界条件和初始条件等，便可以 逐步进行特征线解法，求出各截而处位移、应变、轴力、扭矩等等，并根据 奉孝料力学公式算出该处最大韵弯曲应力和扭转剪切应力。若弹簧丝为圆形截 面，则应力公式如下： 7 哈尔滨j ：程人学硕士学位论文 = 2 f f - 筹 ( f l s i n c e + c o s a ) 瓜而丽2 。1 ( 。一。) f 一2 而e 不d s 埘1 + f ) ( s i n a + c o s a ) - c o s a ( 2 一1 8 ) 式中：，d 弹簧丝的半径和直径 弹簧丝截面惯性矩 卜一狮赞总质壤 ，_ 一一弹簧自由高度 卜弹簧微元周向位移 占弹簧的仲长应变 卜弹簧微元的轴向坐标 历以r _ 一利脊1 的弹一陡模量、 初始冲击速度 2 2 边界条件的确定 a 弹簧螺旋角 卜弹簧轴向作用力 以口平均半径和直径 旷弹簧微元轴向位移 毋弹簧微元相对x 轴的旋转角 弹簧的旋转应变 时间 剪切模量和泊松比 d ，f 弯曲应力和剪切应力 边界条件的确定是求解波动方程的关键。下面针对螺旋弹簧质量系统的 结构图进行讨论。 弹簧质量系统的结构图如下： 图2 2 单螺旋弹簧质量系统结构图 8 哈尔滨1 ：程火学硕士学位论文 图2 3 双螺旋弹簧质景系统结构图 单弹簧质量系统边界条件的处理 单弹簧质量系统的边界分别为固定端和冲击端。当弹性波传播到固定端 时将发生全反射，在冲击端将发生放射和透射。 2 2 1 固定端边界条件的求得 图2 4崮定端边界条件不愿图 已知条件： p 点：岛 2 v o 。od 00 1 2 0a 2 2 0_ o x 0 l 点： s l属“lv l口l i ia 】2 ld 2 2 lt lx l 3 点；s ， 屈“，v ，q 1 1 3，1 2 3口z z ， ( 内插法求得) i ，磊 世t = ( 熹 足，= ( 妾 ” ；一= k 。c ；。一；- ，+ i 荔 堕垒堡：! ：壁叁至：堡圭兰! 兰丝兰：；= 一 ；# 目= 4 ；一一 待定量： p 点： e p 卢p。 而线段内： f卢 d t - d - ：a ：2 其中： 5 ，i 点的轴向应变 屈i 点的切向应变 “，i 点的轴向波动速度 v ，i 点的切向波动速度 d ，q 。) f 点的以胛 x ，l i 点的侥溉参数 ；一 i 点的时问参数 p 一- 点的( 期 墨一点的( 期， ；，= 詈 ；，= 王k _ 于弹性波传播到固定端发生全反射l ，= v ，= o ，所以，p 点的f ，、岛 可以由1 点、3 点的各量的弹性约束直接求解： f _ 5 ，+ a 2 1 l 卢p = e l ( 2 1 9 ) 1 爿2 1 3 s p + 爿2 2 ，p p = e ， ( 2 2 0 ) e 1 = 爿1 1 1 毛+ 一1 2 t 属+ 爿1 3 t ”i + a t 4 1 v t e 1 = a 1 13 5 3 + 4 1 2 ，岛+ 一l ”3 + 4 l 盯v 3 1 0 哈尔滨j i ：程火学硕十学位论文 其中：a ”一= l 一日w k ； a i ，4 2 k l a 2 1 a 1 ”= k 3 a l l 3 a = l - 口k j a 1 1 3 = 1 一c 2 2 3 k ； a 1 4 ，= k 3 a 12 3 a 1 3 l = k 1 a l l l a m = q 2 ，k ； 由公式( 2 - 3 ) 、( 2 4 ) 、( 2 - 5 ) 得 g i l p = 口i l ( s p ，p )d 1 2 p = 日1 2 ( s p ，卢，) d 2 2 p = 口2 2 ( s p ，p ) 0 p 线段内对应。任一时刻，的参量求法 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 占= 占。+ 蒜t - - t o ( s ，一s 。) 占2 占o + 一( s 一s o ) ，n f 0 。 卢= p o + # 三 ( 卢厂屁) 一l0 铲+ 嚣， ( 2 - 2 3 ) “= v = 0 2 2 2 冲击端边界条件的求得 冲击端的运动规律将受到弹性约束和惯性约束，经分析各有关参数将 在这两种约束下经迭代方法求得： = 黧警誓鬻鬻枇嗍嘲。_ 。，印冲击端不能转动 一。1 1 哥多所以，假设 已知量： 乏：兰0 磊瓦厂q 。q 功 誊0 也：一：2 q 2 2 0 五i o 最x o u 2 ( 1 2 ：三二纛匕： ( 内搔法求得) “4 “2 2 4 7 4 h 叫烈：丘= 艟d x j l 2 商吩“， 锅滢qj 风| | 玑1 2 pl 。 岫淼赢二j 蒜0 。 2 2 哈尔滨_ j ：程人学硕士学位论文 其中：岛一z 点的， 局一t 叫烈 f 质量块所受的弹性反力 z 质量块所受的弹性反力矩 ， 冲击力( 已知) i ，时刻m ，端受到的弹性约束 _ j 1 2 s ，+ 一1 2 2 芦p 十a 1 3 2 甜p = e 2 a 2 i d s p + a 2 2 4 p + a 2 m “p = e 4 ，e 2 = a i i2 占2 + a 1 2 2 2 + a 1 3 2 “2 + a 1 4 2 v 2 e 4 = a 2 1 4 占4 + a 2 2 4 屈+ a 2 3 4 “4 + a 2 4 v 4 其中：a m = 1 一c 1 2 2 2 k ；a 1 2 2 = 1 一a 1 2 2 k ； a 1 4 2 2k 2 a m a 2 1 4 = 1 一( 2 2 4 日 a 2 h = k 4 a 2 1 4a h 4 = k a 4 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) a 1 3 2 = k 2 a “2 由一t o 至i ，期间m 。惯性约束为： f - f = m 口= m i d u “= 嘉f ( ，_ f ) 馥 ( _ 0 魂 ( 2 嗡) 又由螺旋弹簧非线性波动方程得： ”= + “砜+ 古f ( ，一f ) d t ( 2 - 2 7 ) 1 3 哈尔滨i 科人学硕忙学他论文 d f ：堡d + 堡d 8 8 s8 8 7 设：甄= 矿e l d f = k o ( 口i i d 6 + a 1 2 d o ) f 。f a f 堡历+ f 竺竺拆 | na s o t k a b8 t a fe | 瓦2 可口 a fe l 丽2 可口t z ( 2 2 8 ) f z r + f = k o h a t + k o i a l2 o 万口础+ 氏( 2 - 2 9 ) 设；。至；，期间，m 边界弹簧的a ”a 。占、线性变化 a t = f 一，o ， 由于a t 很小，所以，假设合理。 堡：垡：墅 a lf 。一t oa t a t = f 。一f o 竺：缈：必 一= ：= 一= = = 一 a f ，。一，or 口，；d t 。+ 等，( i j 。) = a t o a t 7 - ( a l l p - a 1 o p0 ) ；( 2 3 0 ) rf ( 1 1 22 1 j 1 2 0 + a 2 2 。a 2 2 0 q 1 2 p a 1 2 0 f 一一，0 a 2 2 p a 2 2 0 t p t o ( i i 。) = 口。+ 筹( a 1 2 p - 2 1 2 0 ) ( 2 3 1 ) ( - 矗阳：。+ 尝( ，吗：。) ( 2 _ 3 2 ) f = r + 足。c 占，一s 。， 口。，。筹+ 丢 筹) 2 c 口，一口。， + 足。c ，一风， q ”筹+ 圭( 筹 2 c q ：，一口。， 1 4 t o - l3 3 )(s f 。)( 2 一 哈尔滨一r 程人学硕士学位论文 = + 每q 飞) ( a n w + a l l o ) + 譬( 削a t 2 r + a t o ) ( 2 _ 3 4 ) “诎m 砘+ 击f ( ，_ f ) 出砘+ t ( f o f o ) - + 击f 舾 民 2 埘r b 刮卜c 毋+ 等“旷。， 郴，圳卜山灿等“圹。， ( i o i 一t p ) ( 2 3 5 ) “一。+ 缶u o f o ) a n + 矗脚| 一 。 ( 2 3 6 ) 一百k o a t 【( r6 , - e o ) ( a l l p 1 - 2 0 1 1 0 ) + ( p p 一风) ( a 1 2 e + 2 a 1 2 0 ) 令：一：l = 等“。) a t , 2 = 等 一2 。) 有 e p 砘+ 古- ( f o f 0 ) _ + 古f 巾) 出 a p l g ，+ a p 2 p p + “p = e ， ( 2 - 3 7 ) 若：q ，、q ：，为已知，则将惯性约束( 2 - 3 7 ) 与弹性约束( 2 2 4 ) 、( 2 2 5 ) 联立，即可得到占，、屏、”，的值。但是q ，、q ：，同时又是占，、屏的函数， 所以，只能采用迭代的方法求得s ，、屏、q 。，、q ：，和n ：，。 迭代过程是选择一与q 旷a i i p 相近的口? 旷a 1 2 ，由( 2 3 7 ) 、( 2 2 4 ) 、 ( 2 2 5 ) 联立，求得s ；、所 1 5 哈尔滨工稿；人学硕士学位论文 检查是否满足： 口帅= 2 7 1 1 ( s ；，群)q 2 ，= a 1 2 ( s ；，彤) ( 2 - 3 8 ) ( 2 - 3 9 ) 若满足，则： f ，= 占：，= 卢；a ，= a l l ， q ：，= 1 2 1 2 ，a ：，= “；：， 若不满足，则继续迭代，直至满足为止。 2 2 3 冲击端边界条件迭代收敛性的证明 选择与以帅、吼z ，相近的a l + ，、a 五，。山冲击端的弹性约束和惯性约束 ( 2 - 3 7 ) 、( 2 - 2 4 ) 、( 2 2 5 ) 得与占，、屏相近的f j 、群，再由式( 2 3 ) 、( 2 - 4 ) ? 求出口：- ，= a l l ( s ；，群) ，d ：，= 口：( s ：，形) 设迭代误差 如以= a i + ，一q 。，：出五，= n j ，一日：，：幽厶，= 占；一o ( 幻i ，= d f t ，一日，：d a f ：，= 日知，一日一z ，；z 卢五，= ；一卢， 山迭代原理得迭代收敛的充分条件为： 矧“劁 ， 下而进行检验证明： 假设：o 、2 、4 、p 点很近 占o 占2 = 占4反展= 麒 d 删o c 埘2 a 一4 ( p ，q = 1 , 2 ) 则由条件口? ( 1 2 ，、( 2 2 4 ) 、( 2 - 2 5 ) 、( 2 3 7 ) 联立得： ( 一4 2 4 一a 4 3 4 一；) e ；一( 4 2 2 2 一爿2 3 ：群) 日 ( 一：t ：一一；4 z ，z ) ( 4 一“一一一，t b ：) 一( 4 t 一一a 4 3 4 彳；) ( 爿：一- 4 2 3 2 e ) 6 ( 2 4 1 ) l i 、i 。, 滨l ：w 人学硕i ：学僦论文 。e ；一a 2 1 2 一爿2 3 2 a ； 一2 石j 百 f ；2 = a l , i 。，：。i ，b ：= = b l 。，：。i ， e ；= e 2 一一2 3 2 ( “o a r f o + 爿：占o + b ；b o ) e ：= e 4 一爿。，。( “。一丁r + 彳；s 。+ 8 ；b 。)4 。，与前相同。 当a t 斗0 时，有： d s 。 出z i i n a 。，一爿。爿；( 彳。彰) 斗a 。， 生銎墨i 二生2 墼里 a 2 i2a 4 2 4 一a 2 2 2 a 4 4 耻警 a s ；o e ；a ：赴；暇 a m a 一a 2 2 2 a 4 1 d o e ；以a m a 4 2 4 一a z z 2 a 4 1 4o f ；知i l f ( 2 - 4 2 ) ( 2 - 4 3 ) ( 2 4 4 ) ：d：一s。：一s。,at a 2 ： 2 a 4 2 4 - a 2 2 2 a 4 3 4k o a tk 2 k 4 ( 1 - k 2 k 4 a 2 2 0 ) k o a t a 2 1 2 a 1 2 4 一a 2 2 2 a 4 1 46 m 1 “k 2 + k 46 m i ” ( 2 - 4 5 ) a f ：p o0 4 一一= 抛：，岛加j ， 丝! 丝! ! ! 二丝! 丝! 竺墼12 世2 + 缸 筹风_ d 2 _ ( 2 _ 4 6 ) 篆一等筹一訾k 。f i t ，6 d3aa6 mka6 m 亍们 加? 1 月2 2 2i ”21 2 0i 熹一紫箐6 m 风= d 4 亍加以k h 2 0i 。1 一 由口j ，、a 1 2 ，求得占；、群的误差 1 7 ( 2 - 4 8 ) 堕尘堡；! ；垒叁童些：兰堡：篁圣 嵋= 熹+ 善_ ( d 梳加删酣 。9 ) 纷等 薏( d ，如? l p + d 2 ) _ 5 0 ) 由式( 2 - 4 5 ) 、( 2 - 4 6 ) 、( 2 - 4 7 ) 、( 2 - 4 8 ) 得： i剥：一3 s i n 3 a c o s a ( 1 + 6 ) ( p s i n a + c o s a ) 6 s i n ，d ( 例 1 h1)1 1a 占l一( 1 + 占) 2s i n 2 口 ”1。 ( 2 - 5 1 ) 剧= 制 鼍s 耔口( 2 - 5 2 ) l 剖础拼口击( 2 - 5 3 ) d ：。的迭代误差： i 出：，1 = 斟肿俐彬 ( 2 5 4 ) 将( 2 - 4 9 ) 代入( 2 - 5 4 ) i 出以i 6 s i n3 a 亍 d 1 幽，+ l d ：i 如：， ( 2 5 5 ) 只要网络间隔亍足够4 、即解满足。 同理可证 刨引纨 2 2 4 中间质量块的边界条件的求得 中间质量块的边界问题涉及到的是中间质量前后两端的边界情况，其求 解原理与冲击端类似。但是由于弹性波在此处同时发生反射和透射，所以情 1 8 妒 监晖 如 ，坚帅 出一出 哈尔滨一i 补人学硕i ：学伉论文 况复杂一些，但解决方法仍是由弹性约束和惯性约束联合求解。 已知条件： 图2 - 6 双弹簧质量系统动态响应示意图 d 点：毛。卢l ov 0 一。互oq l o i口1 2 0 i口2 2 0 1 矗x o 丽端 后端 待定量 哈尔滨：啊人学硕1 ：学位论文 s 2 02 0f 2 0瓦oj 2m 2日1 】0 2口】2 0 2口2 2 0 2 1 点：q 崩u l v la l l lq 1 2 1 日2 2 1t l x 2 点：占2 2“2v 2c ma ma 2 2 2 3 点：岛 厉“， ”，口md ，：， c 2 2 3 ( 内插法求得) - 3 x 3 4 点： 占4卢4“4v 4a i l 4日l2 4口2 2 4 ( 内捅法求得) p 点，前端 s 属p曩，互p订川，la ，1日2 2 川“p 后端 s 2 p2 ，e r疋r口，2a ，2 口2 2 门 “，jv r 牛 1 、弹性约束： 弘、弘。 j ，= 胁， 一+ k 1 ( ；。一弧i ：一k ：，( ；：一一x o ) 爿l i i q p + a i 2 1 卢l p + al 3 1 “，+ 爿v p = e a m s 2 p + a 2 2 2 卢2 1 ，+ a 2 3 2 “p + a 2 4 2 v p = e 2 爿3 1 3 占3 ，+ 爿3 2 3 成p + 一3 ”“p + a 3 4 3 v ，= e _ t 彳4 1 4 p + a 4 2 p 4 p + a 4 3 4z p + 一4 4 4 v ，= e 4 爿= 1 一口2 2 l k ?一1 2 l = q 1 2 1 k ?a 1 3 1 = k 1 a l 耻。 ( 2 - 5 6 ) ( 2 = 5 7 ) ( 2 - 5 8 ) ( 2 - 5 9 ) 爿= k 1 a 1 2 l 彳2 1 2 = 1 - a 2 2 2 k ；爿2 2 2 = a m k ；a 2 驼= k 2 彳2 1 2 4 2 4 2 = k 2 a 2 2 2 哈尔滨i ：程人学硕士学位论文 a = 1 02 2 3 k ；a 3 2 3 = 0 1 2 3 k ；a = k 3 a a 3 4 3 = k 3 a m a 4 i4 = 1 0 2 2 4 k ：a 4 2 4 = a 1 2 4 k ja 4 3 4 = k 4 a 4 1 4 a 4 4 4 兰k 4 a 4 2 4 占l届一o 0 1 2 以上各参数意义分别如下： 0 点： g 。m ：质量块前端轴向应变 届。m ：质量块前端切向应变 占2 。m ：质量块后端轴向应变 卢：。m ：质量块后端切向应变 f 。m ：质量块前端反向作用力f ：。m ：质量块后端反向作用力 7 j 。 m 2 质量块油端反力女l ! d l l 文m 2 质量块f j 端a i i 0 1 2 0 ( 2 2 2 0 m 2 质量块i j i f 端0 1 2 肘：质量块油端d 2 2 v 。0 点轴向、切向速度 m ：质量块后端反力矩 m 2 质量块后端a 。 肘2 质量块后端0 1 2 m 2 质照块后端a ： j f ) 点： 占e ，五f ，a 10 ，i a 2 2 川 为尸点前 端各量 端各景 占2 ，2 ，e p疋p0 ，20 1 2 ，20 2 2 p 2 为p 点后 0 j d 线段内：0 前端： s l ，届，f ，互，0 l a m l o 2 2 f 后端： 占2 ，卢2 fe ，疋fa 2a 2 a 2 2 ，2 2 1 ， 叽 他 加 肠 鲫 却 m 哈尔滨l ：祥火学硕士学位论文 m ：中洲质量块的质量 ，：中间质量块的转动惯量 2 、惯性约束 设：当i o r fp 毛，、屈，、n l 、d 协1 、口2 2 占2r 、屈，、口2 、口2 、盯2 2 ，2 为线形变化，则 当x 分别取以上各量时： x ，= x o + f t 。- 一t f o _ 。( x ，一x 。) = z 。+ f l 竺t _ ( x a t ，一x 。)f 口一f0 。 ( 2 6 0 ) 驴等 蟑，= 奶，= 鲁瓴+ 鲁媚，= 如一足。哟，( 2 - 6 1 ) 吣峨t = 瓮畹。+ 峨z - k o g i i t 2 d 2 t + k o d t 2 t2 峨l ( 2 - 6 2 ) 正，= 矾= 鲁+ 鲁粥t = l o q i i t l 蛾+ 厶卵“ ( 2 瑚) 峨砚= 卺蚶象彬2 t = l o 私2 1 + l o g l 2 1 2 纸( 2 - 6 4 ) 当f o f f 。时： 一“ 一 嘲 一b 卜 一一 丁 斗 一卜旦 出 沪 哈尔滨l ：程人学硕一l 学位论文 耻 f ，罄鲁批j ，鲁鲁历 = e 。+ k 。c s ，一s 。， d 。，。筹j 吉 等 2cn，一日，。， c z 一。s ， + k 。c 。，一，。， 口。，等+ 圭( 筹 2cd。：，一d，。， e ，z r 。+ k 。c f ：，一s ：。， a 。筹+ ；( 筹 2c 以。一口1 。， + k 。c ：，一履。) ：。筹+ ； 筹 2c口：即：一口：。， t j z 一。+ 。c s 伽一s ，。， d ，l 。等+ 圭( 筹 2c n ，m 一a 1 。， + 。c 屈，一。) 口。，筹+ 圭( 筹 2c日。卸一日，。， l ，a 瓦。+ l 。c ：即一占：。， a 。，。筹+ j ( 等 2 c n 。，：一n + 。c 屐，一厦- 。， a - z 。z 筹+ 圭( 等 2cazz，：一a：。：， ( 2 6 6 ) ( 2 - 6 7 ) ( 2 - 6 8 ) 铲f i o + 等( 8 1 p - - o r l 0 ) ( 口i l p l - a l l 0 1 ) + 争凡咱。) ( 1 。1 2 p l - - a 1 2 0 1 ) ( 2 - 6 9 ) e ，：氏+ 粤( 乇，一占：，。) ( ，：一q 。) + k _ 0 ( 屈，一厦。) ( 订：，：一日：。) ( 2 7 0 ) 一，= j 。+ 每( 钆咱。( a l l p l - q 1 1 0 i ) + 导( 咱o ) ( a 1 2 p l - - a 1 2 0 1 ) ( 2 - 7 1 ) 哈尔滨工群大学硕士学位论文 t 2 p = 每( 嘞。( a n ：- a l t 0 2 ) + 鲁( 岛，一( a 2 2 p 2 - ：) ( 2 - 7 2 ) 铲耻m ：等 蛳= 击f ( 耻埘 一。+ - ”去( 。一民) 正 + 等，啊士m c 研七譬 1 。) 等c 圳卜衙弓譬慨：旷 二嘉忙2 p - - e 2 0 ) 卜c 州譬b 懈一。) 卜驴鲁鲁 v ，= 争k 也炻 驴+ 驴”丢亿。幔0 ) + 2 - 2 嘉t ( e , - e , o ) 卜衙+ ；等慨驯1 ：市i + 鑫c 计：“毋咭等咄：圹。i 一嘉也，叫斗一毋+ ；警 ：胛劫i 瓦l o 。- p ：o ) 口2 2 0 ：( 蚺；譬：肚码：。) ( 2 - 7 4 ) ( 2 7 3 ) ! 篁! ! 鎏。! 查：当耋堡土塞堡丝圣 ”。2 1 1 0 + v n 竺v 0 + 面k o a _ t ( d 帅，+ 2 ) 一，= 可k o a t ( a l l p 2 - 2 a l i 0 2 ) 0 1 ) + ( p i ，一f l , o ) ( d 1 2 川 屈o ) ( 口m 2 + 2 a m 2 )