微积分基本定理及应用毕业论文完成稿

本科生毕业设计(论文) 微积分基本定理及应用 The fundamental theorem of calculous and its application 院(系): 江西师范大学科学技术学院数信系 专业年级: 数学与应用数学（师范类）2010级 姓 名: 廖翠芝 学 号: 1007019094 指导教师: 胡誉满 教授 完成时间: 2014年04月27日 教务办公室 制 声明本人郑重声明：所呈交的毕业设计（论文）是本人在指导教师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。其中除加以标注和致谢的地方，以及法律规定允许的之外，不包含其他人已经发表或撰写完成并以某种方式公开过的研究成果，也不包含为获得其他教育机构的学位或证书而作的材料。其他同志对本研究所做的任何贡献均已在文中作了明确的说明并表示谢意。本毕业设计（论文）成果是本人在江西师范大学科学技术学院读书期间在指导教师指导下取得的，成果归江西师范大学科学技术学院所有。特此声明。声明人（毕业设计（论文）作者）学号：1007019094声明人（毕业设计（论文）作者）签名：廖翠芝 签名日期：2014年04月27日摘 要 本论文讲述的主要内容是微积分基本定理及其应用，重点是其应用，主要将它分为以下几个方面：微积分基本定理、微积分基本定理的证明、微积分基本定理的推广及应用。 首先，给出本论文过程中需要用到的一些相关概念和定理，帮助过程理解；其次，从定积分的定义和基本性质、中值定理、微分、原函数存在定理等多个角度给出了这一定理的证明方法；再次，给出该定理的一些应用，并进行拓展，例如从证明Taylor中值定理、零点定理、在复数函数中的应用、在常见应用举例基础上等更多方面进一步推广加以归纳总结，力求体现这一基本定理的应用价值。关键词： 微积分基本定理 应用 推广 AbstractAbout the main content of this paper is the fundamental theorem of calculus and its application, the emphasis is the application of it mainly divided into the following several aspects: the fundamental theorem of calculus, the fundamental theorem of calculus proof, the promotion and application of fundamental theorem of calculus.First of all, this thesis is given in the process need to use some of the related concepts and theorems, and help process understanding；Second, from the definition and basic properties of definite integral, differential mean value theorem, the theorem of existence of primitive function, etc. Multiple Angle are given proof of this theorem method；Again, some applications of the theorem is presented, and expand.，For example from Taylor mean value theorem proof, zero point theorem, in the application of complex functions, in the common application, for example, further the finest more promotion to sum up, to show the basic theorem of application value.Keywords: the fundamental theorem of calculus ，the application ， extend目 录1引 言12 微积分基本定理22.1 需要的相关概念及定理22.2 微积分基本定理及其证明方法32.2.1 利用定积分定义证明32.2.2利用原函数存在定理证明42.2.3 利用微分定义证明43 微积分基本定理的应用53.1 微积分基本定理在Taylor中值定理的积分证明中的应用63.2 利用微积分基本定理证明连续函数的零点定理73.3 在复变函数中的应用73.4 常见的应用举例73.5 微积分基本定理的拓展应用93.5.1 一元函数牛顿-莱布尼茨公式的推广103.5.2 二元函数牛顿-莱布尼茨公式的推广124 小结15参考文献17致 谢18II1引 言 公元前三世纪前后，古希腊人已经有了定积分的思想，他们会用“化整为零”的思想计算曲边梯形的面积，但遗憾的是那个时期的经济不发达，生产力低下，社会不需要微积分，并在以后二千多年的时间里，人们开始有了许多无穷微分积分的思想，然而微分与积分的内在联系这个重要的问题却无人论及.直到十七世纪中叶，随着经济的腾飞、科学的发展、社会的进步，微积分应运而生，可以说微积分的诞生是社会发展和天才降临共振的结果。天才科学家牛顿(1642-1727)和莱布尼兹(1646-1716)在不同的国度几乎在同一时间先后发现了一个重要的沟通了微分积分关系的定理，称为是微积基本定理.该定理中的核心部分即其重要公式，牛顿是稍先于莱布尼兹发现该公式，不过当时没有正式发表，而莱布尼兹发现该公式后立即就发表了，所以，该公式当时命名为莱布尼兹公式.而当牛顿逝世后，人们在他的手稿中竟发现了该公式与莱布屁兹所发现的公式大同小异，其实内容一样，只是叙述方法略有差异而已.他们的工作是彼此独立完成的，为了纪念牛顿和莱布尼兹对数学上的伟大贡献，后人将该公式正式命名为牛顿莱布尼兹公式或微积分基本公式.从定理命名中的“基本”二字，我们可以看出该定理的重要性，它是微积分中最重要的定理之一，它建立了微分和积分之间的联系，指出微分和积分互为逆运算,，它的建立标志着微积分的完成，成为数学上的一个里程碑。而微积分又是广泛应用于自然科学各个领域的基本的数学工具，微积分的创立极大地推动了人类的文明进程.在当今经济发展迅速的信息时代，微积分基本定理仍然很重要，除了在数学领域，还在物理学领域，在生活领域等自然科学领域都有着极其重要的应用，在实际生活中也得到了广泛的应用，这一定理的推广使其应用价值也会越来越高，对社会经济等的发展影响就越大，值得我们继续研究探索并创新出更优秀的成果.2 微积分基本定理 在叙述微积分基本定理这一节，我将分为两部分进行，先了解一些论文过程中需要的数学基础知识，再通过对微积分基本定理的各种证明方式更加深入明确理解这一定理. 2.1 需要的相关概念及定理在本文设计过程中，因涉及一些需要用到的相关概念和定理，为此，我们先给出这些概念和定理以便于后文理解. 定义1（导数） 设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作. 定义2（原函数） 若果定义在上的函数和满足条件：对每一个，都有，则称为的一个原函数. 定义3（微分） 设函数定义在点的某邻域内，当给一个增量时，相应地得到函数的增量为如果存在常数,使得能表示成则称函数在点处可微，并称上式中的为在点的微分，记作或 定理1 函数在点处可微的充要条件是函数在点处可导，而且上式中的等于.定义4 （定积分） 设是定义在上的一个函数，设闭区间上有个点，依次为 它们把分成个小区间这些分点或这些闭子区间构成对的一个分割，记为或. 小区间的长度为，并记 称为分割T的模，任取一点，作和有+ ,称为函数在区间上的积分和.如果当时，积分和存在极限，即，且数与分法无关，也与在上的取法无关，则称函数在上可积，是函数在上的定积分，记为： . 定理2 (拉格朗日中值定理) 若函数满足如下条件：（i）在闭区间上连续；（ii）在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得. 定理3（原函数存在定理） 若函数在上连续，则函数是在上的一个原函数，即 ，证明略. 2.2 微积分基本定理及其证明方法微积分基本定理的表述形式有多种，本文我们将其叙述如下： 引理1 若在上连续，则在上处处可导，且.引理2 若是上只有有限个间断点的有界函数，则在上可积. 定理4（微积分基本定理） 若函数在上连续，且存在原函数,即,则在上可积，且这称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式,它也常写成. 2.2.1 利用定积分定义证明 证明 由定积分定义，任给，要证存在,当时,有 |-|.下面只需要证明这样的存在即可.事实上，对于的任一分割=,=,在每个小区间,上对使用拉格朗日中值定理，则分别存在， 使得 =.在上连续在上一致连续对上述，存在，当且时，有 .于是，当时，任取，便有，这就证得 = .在上可积，且见文. 2.2.2利用原函数存在定理证明 证明 已知是在上的一个原函数，由原函数存在定理可知函数 也是在上的一个原函数，则这两个原函数之间仅会相差一个常数，因此有=+，在上式中，令， 有0=+，即= -，则有：，若在该式中再令，则可得 ，将积分变量改为表示，上式即为，从而定理得以证明. 2.2.3 利用微分定义证明 证明 对区间进行分割为：,定义，；并对变形可得： （1）因为在内可导，由微分的定义，故 其中为的高阶无穷小量，则（1）式可变为： 接下来我们证明，即证明.由导数的定义可知，对于，有下式成立： 故当时，有下式成立： 也即下式成立： 令，则有： 即. 接下来我们要再证明：，其中，即证明函数的积分与其分割无关.在闭区间上连续，对于，当时，有如下式成立： 成立，即证明了上述的命题. 综上所述：. 由于函数在闭区间上连续，可知，则 的极限存在，再由积分的定义可得：. 得证. 这一种证明方法是证明微积分基本公式的一种新证法，新证法比教科书上的变上限法复杂，但它却揭示了导数、微分及积分间的内在联系，从微分的角度揭示了牛顿-莱布尼茨公式的几何意义.3 微积分基本定理的应用 通过上一节对微积分基本定理的概述与证明，有了对其性质的详细理解，本节将对其应用进行深步研究。微积分基本定理不仅是微积分的理论基础，它还有着十分广泛的应用.事实上，微积分基本定理的应用重点是在于牛顿-莱布尼茨公式（也称微积分基本公式）的应用，但也是有条件的，我们将从以下几个方面对应用进行归纳并将其延伸拓展。3.1 微积分基本定理在Taylor中值定理的积分证明中的应用 定理5（Taylor中值定理） 若在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意的,有 其中介于,之间.证明 = 其中介于,之间.则. 对于Taylor中值定理，大多都是通过构造辅助函数，借助柯西中值定理或罗尔定理证明，而这里是利用微积分基本定理使变形为积分形式，这样我们就使得证明过程更简明. 3.2 利用微积分基本定理证明连续函数的零点定理 定理6（连续函数的零点定理） 若函数在上连续，且,异号，则至少存在一点，使得. 证明 不妨设，令，则 在上可导，且，由于 ，则存在，满足，即，也即. 由此这可以表明不是连续函数在 上的最大值. 同理，也不是其最大值. 故在上的最大值只能在中某一点处取得，即为其极大值点,所以由Fermat定理可知，.对于连续函数的零点定理，大多都是通过构造辅助函数，或者利用确界原理、区间套原理等证明，而这里借助了微积分基本定理使得问题得以更加简便地解决. 3.3 在复变函数中的应用在复变函数中，也有类似的结果. 定理7 设是单连通区域的解析函数，是在内的任一原函数，则有. 定理8 设函数在空间单连通区域内连续，有一阶连续偏导数，若在内每一点处有则 1) 在内有无穷多个原函数，它的任意两个原函数之间都相差一个常数.即若是的任意两个原函数，则 ，其中为任意实数. 2) 若是的任一原函数，则 证明略. 3.4 常见的应用举例微积分基本定理除了在数学问题方面有广泛的应用，同样还可以解决许多物理问题，将物理问题转化为数学问题解决，举例如下： 求解函数、极限等问题 例1 求极限 . 解 原式= 其中 例2 利用牛顿莱布尼茨公式计算定积分：（1）.（2） 解 （1）原式= . （2） . 求解最大（小）值或平面图形面积问题 例3 求由抛物线与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值. 解 抛物线的焦点为，若以焦点为极点，则抛物线的极坐标方 令 ，解得 .当时，.求出由抛物线及所围成的平面图形的面积，正好就是所求面积的最小值.故 求解几何问题 例4 已知函数的图形经过与两点，且位于弦的上方.对于曲线上的任意一点，弧与弦之间的面积为，试确定函数. 解 弧与弦之间的面积等于曲边梯形与梯形的面积之差，故有 ， 两边对求导，得 ，即，两边同时除以，再积分得 ，由于，故有，从而所求的函数为. 求变力做功问题 例5 一物体按规律在某介质中做直线运动，式中为时间内通过的距离，介质的阻力与速度的平方成正比.试求物体由运动到时阻力做的功. 解 物体的速度介质阻力当时，相对位置设为，当时，相对位置设为.又，故所求阻力做的功是 求变速直线运动的路程问题 例6 一质点在直线上从时刻s开始以速度运动，求：在s时的位移；在s时运动的路程； 解 在时刻s时该点的位移：，即在s时刻该点距出发点. 因为 ，所以在区间或时，在区间上时，所以在s时的路程为： （）. 3.5 微积分基本定理的拓展应用由于微积分基本定理的应用条件比较强，以至于影响了它的应用范围，而上文中的常见举例都是它的一些简单应用，微积分基本定理的推广实际上主要就是牛顿莱布尼茨公式的延伸拓展，也即对该公式成立条件的放宽，为此，我们将对它的应用进行拓展推广，使其发挥更大的作用，也对学习微积分的学者会有一些帮助的。 如求定积分，其中，因为在上不连续，所以不能利用牛顿-莱布尼茨公式计算. 3.5.1 一元函数牛顿-莱布尼茨公式的推广 定理9 若函数在闭区间上可积，且存在函数使得 （1）在上连续； （2）在内可导且， 则有 .证明 在区间中插入个点将区间等分，其中，记.在上连续，故有.又在上连续，在内可导且，于是满足在各个小区间上，有使得 ，又在闭区间上可积， 无论对区间怎样划分，以及区间上的任意一点皆存在并都等于同一个常数，故按照将等分并取上述这些的方法也有=. 例7 设，求定积分 解 因为在只有一个间断点且有界，所以由上文中的引理2可知，上可积，现取,则在上连续，在内可导且有，根据定理9可得事实上，还能进一步放宽牛顿-莱布尼茨公式成立的条件.定理10 函数在闭区间上可积，若存在函数满足条件： （1）在上连续； （2）内除有限个点外，有恒成立，则有 . 证明 假设点是开区间内使得不成立的全部点，这些点将整个闭区间分割成个小闭区间：（其中），和在这个小闭区间上皆满足定理9的条件，于是有 例8 设，求. 解 显然在闭区间上有界，且只有3个间断点所以在上可积，令，虽然在上不连续，但存在在内除外皆有，根据定理2有，.进一步，则有 定理11 函数在闭区间上可积，若存在函数满足条件： （1）在上连续； （2）在内除点集为有限数，外，均有，则 . 证明 （1）先设有一个点且，因为在上可积，从而在上有界，即存在常数，使得，又在上连续，从而在上一致连续，故对，且可要求,使得对只要由于为中的唯一点，且，从而在内至多含有中有限多个点，又由于，从而有，显然，在上可积，在上连续且在内含有中有限个点，从而除去这有限多个点外均有，根据定理10有，于是 由的任意性可知.对于或者类似可证. 设有有限个点，总可在中插入有限个点，使得在中至多有的一个聚点，则由（1）的证明可知， 例9 设，求定积分.解 由于是上单调递增且有界的函数，故在上可积，令，容易验证在上连续，且在内除去点集中的点外处处有，而且点集仅有一个聚点0，根据定理11知， 3.5.2 二元函数牛顿-莱布尼茨公式的推广通常牛顿一莱布尼兹公式只适用于求定积分，而对于多元函数积分的计算，则是将其化为定积分来进行事实上，在一定的条件下，可以建立多元函数的牛顿二莱布尼兹公式，从而将多元函数积分直接化为相应函数的函数值计算。这就要建立多元函数的牛顿一莱布尼兹公式。下面给出二重积分及曲线积分的牛顿一莱布尼兹公式，从把牛顿一莱布尼兹公式从一元函数推广到多元函数。1 二重积分的牛顿-莱布尼茨公式 设函数在矩形区域上连续，以表示区域内任意点，令，则 定义5 设函数在矩形区域上有定义，若存在函数使得则称为在矩形区域上的一个原函数.下面是二重积分的牛顿莱布尼茨公式. 定理12 设在矩阵区域上连续，为的一个原函数，则证明 将矩阵区域分为个小矩形区域：，则，其中，对上式及相加，得 令，由的连续，知 例10 已知求二重积分解 易知在内连续，取，则，所以是的一个原函数，得 =2 曲线积分的牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分理论的重要公式,其功能非常强大,下面我们将其应用到平面曲线积分和空间曲线积分中,使得这两类积分的计算大为简化. 引理3 设函数在单连通区域内连续，有一阶连续偏导数，若在D内每一点处有则 1）是D内某一个二元函数的全微分，即 在D内有 2）的原函数有无穷多，即如果、为 的任意两个原函数，则，其中为任意实数. 证明 1） 设为D内的某定点，为D内任意一点，由已知条件，在D内每一点处有可以知道曲线积分与路径选择无关，故当在D内变动时，其积分值是点的函数，即有.取充分小，使点,函数对的偏增量 .因为在D内曲线积分与路径无关，所以 对上式右端应用积分中值定理得： 又由在D上的连续性，可以推得： 同理可得： 于是有： 2）设，因为、均为的原函数，所以 所以 从而,即 定理13 设函数在平面单连通区域内连续，有一阶连续偏导数，是的任一原函数，若在D内每一点处有，则： 证明 由上述引理知，是的原函数，且当时， （1）当时， （2） 又 （3）将（1）、（3）代入（2）得： . 例11 计算. 解 在任何不包含原点的平面区域内，均连续，有一阶连续偏导数且所以 故.4 小结 牛顿莱布尼茨公式实际上就是把在区间上的定积分变为函数沿边界（端点）的函数值的差，类似在中给出了格林公式：奥高公式：斯托克斯公式： ， 都是将某区域（区间，平面区域，空间区域，曲面）上的积分化为其边界上的积分，所以，可以把上述公式统一成为：即：阶外微分形式在维区域所围的维区域上的积分等于阶外微分形式在维区域上的积分。 综上所述知，积分是微分的积累，微分是积分的分解，例如本文中的例1即可解释这一问题。积分与微分其实是同一个量（原函数的增量）的整体形势与局部形式，是整体与局部的关系，这是积分与微分的最基本的关系。虽然从牛顿一莱布尼兹公式的表面看，该公式反映的是一元函数积分与微分之间的基本关系，但事实上整个微积分上都是微分与积分的关系，面由线组成，体由面组成与线由点组成一样，都是整体与局部的关系。因此，二重积分与定积分、三重积分与二重积分也可以说是积分与微分的关系，这种观点一直可以推广到高维空间