（应用数学专业论文）基于混沌理论的时间序列分析.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 f 混沌理论己被证明是解决非线性问题的重要的，行之有效的理论方 法。混沌动力系统的奇异吸引子所具有的无穷自相似性使混沌理论和分 形学自然紧密联系。基于混沌理论的非线性时间序列分析跳出了传统的 建立主观模型的局限，通过时间序列的内在规律作出分析与预测。j 本文 在时间序列坐标延迟后重构的相间中，作出重构函数的等价定义，提高 了预测的可操作性；并在此基础上，引入了加权距离来刻画预测向量的 邻近点，保证了邻近点的相似性。用多邻近点的预测值的平均化来改进 传统的零阶预测，得到一个无偏预测，并作出邻近点个数选择的阀值。 l y a p u n o v 指数定量刻画混沌离散动力系统的平均发散程度，基于 l y a p u n o v 指数作出了一步预测的误差估计，以此来定量反映预测的可靠 性：根据奇异吸引子流形的性质，创造性的提出残差补充法，对预测值 作出修正以降低误差，提高预测精确性。i 运用非参数统计的方法，作出混沌时间序列在特定概率限的区间预 测，弥补了传统点预测的不足，使预测的适用性得以提高。并通过数据 实证验证了本文的理论方法。 始讯甲阱列。瓷凇瞧飙聃刹户 铆、彦： l吨y(j a b s t r a c t c h a o t i ct h e o r yh a sb e e np r o v e dt ob ea ni m p o r t a n ta n du s e f u lt 婶o r y a l g o r i t h m t h en a t u r a lt i g h t l yc o n n e c t i o nb e t w e e n c h a o sa n df r a c t u r ei sd u e t ot h ei n f i n i t es i m i l a r i t i e so fs t r a n g ea t t r a c t o ro fc h a o t i cd y n a m i cs y s t e m n o n l i n e a rt i m es e r i e s a n a l y s i s b a s e d0 1 1c h a o t i ct h e o r yc r o s s t h r o u g h t r a d i t i o n a lf r a m eo fs u b je c t i v em o d e l ，d r a wo u tp r e d i c t i o no no nt h ei n n e r r u l e so fc h a o t i ct i m es e r i e sd a t a i nt h i sa r t i c l e ，a ne q u i v a l e n td e f i n i t i o no fr e c o n s t r u c tf u n c t i o ni sd r e w i nt h es t a t es p a c er e c o n s t r u c tb yt i m ed e l a yc h a o t i ct i m es e r i e s ，t h a tl e a dt h e p r e d i c t i o nm o r ec o n v e n i e n t l y t h e ni n t r o d u c eaw e i g h t e dd i s t a n c et od e p i c t n e i g h b o u rp o i n t so fp r e d i c t i o nw h i c h i n s u r e dt h es i m i l a r i t yo ft h en e i g h b o u r p o i n t s w i t h t h e h e l p o fs e v e r a l n e i g h b o u rp o i n t s ，aa v e r a g e u n b i a s e d p r e d i c t i o n i s g o t ，w h i c h i sm o r ea c c u r a t et h a nt r a d i t i o n a l p r e d i c t i o n l y a p u n o ve x p o n e n td e p i c tt h ed i s c r e t ee x t e n to fc h a o t i cd y n a m i cs y s t e m t h e r e p r o p o s e a ne s t i m a t i o no fo n es t e pp r e d i c t i o ne r r o rb a s e do n l y a p u n o v e x p o n e n t ，t h ee s t i m a t i o ne x p r e s st h er e l i a b i l i t yo fp r e d i c t i o nn u m e r i c a l l y a tt h es a m et i m e ，i no r d e rt oi m p r o v et h ep r e d i c t i v ep r e c i s i o ni td r e wo u ta n e r r o rc o m p l e m e n tm e t h o d s c r e a t i v e l yt oc o r r e c t o n es t e pp r e d i c t i o n w i t ht h ea n s w e ro fo n es t e pp r e d i c t i o n ，ac r e a t i v ei n t e r v a lp r e d i c t i o ni s g o tb yt h ea p p l i e do fn o n p a r a m e t e rs t a t i s t i c sm e t h o d p o i n tp r e d i c t i o np a y a t t e n t i o nt op r e d i c t i o np r e c i s i o nw h i l ei n t e r v a lp r e d i c t i o nt or e l i a b i l i t y t h e l a t e re n l a r g e dt h eu s ea r e ao fc h a o t i ct i m es e r i e sa n a l y s i s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rt i m es e r i e s ；c h a o t i c ；r e c o n s t r u c t i o no fs t a t es p a c e ； i n t e r v a lp r e d i c t i o n 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 页 第一章绪论 1 1 时间序列的发展简介 时间序列( 简称时序) 是按时间顺序取得的一系列数据观测值。其观测 值按固定的时间间隔采样。为标记方便，前，1 个等时间距的数据采样序列 记为“，奶， 。在现实生活中，很多数据是以时间序列的形式出现的： 工厂产品生产量的月度序列，公路事故数量的周度序列，股票市场的日收 盘指数等等，时阃序列的例子在工业经济、工程、自然科学、社会科学等 领域内是极为丰富的【1 0 f2 7 , 3 8 3 叭。对间序歹i j 多用时序点图来描述，如图l 表示南太平洋海岸压力月度振动指数的时序点图。 囝l 南太平洋海岸压力的月度振动指数 对时间序列进行统计分析，称为时间序列分析，是统计学近几十年来 发展起来的一个重要分支。时间序列分析主要分为预测分析和控制分析。 时间序列分析为精确的时序预测提供方便易行的方法。时序预测分析就是 在已有的时间序列五，屯，的基础上- 对该时间序列未来的对刻。 的数值进行预测。良好的预测效果在自然科学研究和经济生活中带来的方 便和效益是无可估量的；时序控制分析就是对某时序变量的观测结果研究 西南交通大学硕士研究生学位论文 第2 页 分析后，寻求发生规律和控制措施，使未来的时序达到某种优化的目的。 时间序列分析是解决一大类控制问题的重要数学工具，在近代最佳控制设 计中，使用时间序列分析中有限参数模型统计分析是较常用的方法，另外 也有诊断分析，频谱分析等，参见文献【2 】。对时间序列的预测和控制，都 是根据理论知识和数据特征，用己知的统计模型和创新的模型去拟合这些 数据，以近似地描述观测数据规律性。g b o x 、g j e n k i n s 2 7 1 和安鸿志【3 8 j 对经典的线性模型已作了较为完善的研究，建立了随机线性统计模型： a r ，m a ，a r m a ，a r 等线性模型在白噪声s 的假设影响下，对已知时 间序列数据，由线性模型的统计理论作出模型参数的估计。从而在估计的 模型下作出预测。 线性模型简洁明了，参数估计也有一套成熟的估计方法，在许多应用 中取得了相当丰富的应用成果，但由于线性模型只是对原有时序进行线性 近似摸拟。实际问题中，很多时序数据用线性模型的方法描述显得相当粗 糙，往往不能有效地反映和解释所观测数据的客观规律。同时，在预测结 果上，线性模型预测值趋向平滑，不能描述时序细节上的变化。从上世纪 八十年代开始，时间序列的线性模型逐渐向非线性模型转换。从而诱发了 时间序列的新的分支：非线性时间序列分析1 1 0 j 。非线性模型范围极广，形 式多样，应用起来难度较大，目前应用较广，成果较多的有双线性模型 ( b i l i n e a r ) ，条件异方差模型( a r c h ) ，和门限自回归模型( r n 认) 等。在实用 针对性上它们各有千秋，通用性欠佳，还有很大的领域上没有得到解决。 直至今日，非线性时间序列分析仍为时间序列分析的热点。 1 2 当前热点一混沌时间序列分析 动力系统是数学的一分支，其历史悠久，成果丰富特别是上世纪的七 十年代l i - y o r k e l 6 j f 昌导下混沌动力学发展以来，混沌以其概念上的突破和 解决非线性问题的灵活性一跃成为当前科学的前沿。过去我们只知道确定 系统有确定的结果，今天我们更知道确定性系统也可以有类似“随机一的 结果，过去只知道收敛的动力系统只收敛到不动点，今天我们还知道在广 泛意义下，系统还可以收敛到奇异吸引子奇异吸引子所具有的无穷自相 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 似结构，使得混沌学的研究必然和研究自相似结构的分形学紧密联系在一 起。分形学是1 9 7 5 年m o n d b m t l 9 】提出的一种表征自然界中无序( 无规则) 自相似结构的新兴学科。其客观实用性正掀起一大研究热潮，分形论、混 沌学和耗散理论被称为上世纪自然科学的三大重要发现。 离散动力系统的外在表现形式就是时间序列，时间序列分析和这些新 兴的动力系统理论方法融合，必然焕发新的生机，开拓新的领域。基于混 沌动力系统的时间序列分析便在e t a k e n s 1 1 】和g r a s s b e r g p 【7 】等的努力下有 了良好的开端，并逐渐向传统的时间序列分析方法显示其优越性。使时间 序列和混沌理论联系起来，便发生了本质的飞跃，从而得到全新的混沌时 间序列分析方法。混沌时间序列分析与传统的线性统计模型有一定差异。 对统计模型，只在简单模型近似下用外在随机因素来解释模型偏差，作出 的预测只能是在概率意义下的等可能预测，同时预测趋于平滑：而混沌理 论建立一个很小或几乎没有随机误差的非线性复杂模型，在预测时主要考 虑模型本身对时间序列未来值的影响，能预测时序微小的起伏波动等精细 结构。 1 3 本文研究的内容 1 9 8 0 年，p a c k a r d ”j 提出时间序列的相空间技术，1 9 8 1 年，e t a k e n s 【1 l 】 根据w h i t n e y | 1 2 】的思想，提出相空间重构理论，证明时间序列“h 在 一定嵌入维m 和时间延迟f 下，重构的相空间和原产生序列模型同构，即 具有等价的运动规律。g r a s s b e r g 和p r o c a c c i a 1 6 l 作出对嵌入维肌的估计 g p 算法。f t a k e n s 2 1 】对在m o n d b r o t l 9 l 作出的分形维数d 的基础上，证明只 要m 乏2 a 】+ 1 就足以保证相空间与原动力系统重构，即恰当的嵌入维m 有 上限，保证了这种方法的实际可行性。f 的选择常是用自相关函数，他) 的 第一个近似零点k o 来估计1 3 8 l 。 由于混沌系统的“蝴蝶效应”，混沌时间序列是长期不可预测的。但 在较短期内【3 7 j ，系统运动发散很小，从而利用历史数据进行预测是可行的。 其预测方法主要是k e n e r l l 2 2 1 提出的局域预测法，局域预测法借用相空间中 的邻近点近似预测，方便可行，适应性强，已有较多应用的结果【i 1 0 2 1 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 3 6 1 ，但预测都采用最近邻点的零阶预测。【1 】提出用逐段线性来拟合复杂函 数的局域线性模型，应用多邻近点的信息，通过最小二乘法求解模型参数。 最d x - - 乘法来估计线性在理论和使用上已是较成熟的方法，但最小二乘法 在这里也有其劣势，估计模型的不稳健性使邻近点微小的变化造成模型的 很大变化。这将严重影响预测的精确度。能否在零阶预测所作出的预澳十值 的取法上，作出深入的研究与比较? 优化预测效果? 考虑到时间序列的数据样本很多，能否多采用邻近点作预测以增加历 史数据提供的信息量，进而近出更优的预测呢? s b o r d i g n o n l 3 6 l 和盛昭瀚1 3 9 1 作了数据偿试，验证出了一定的预测效果。多邻近点个数可以增加信息， 也可能带来更大的负信息，如何给邻近点的选择个数一个量化的阀值? 相空间中向量点的相似性f a r m e r 和s i d o r o w i c h l 2 8 1 最先提出用点的欧 氏距离来刻画。但考虑到动力系统的运动性，欧氏距离也有一定不合理之 处，能否改进这种刻画距离的方法? 区间预测和点预测相比又有不同的信息，在【2 7 】线性模型中提及区间 预测，但置信区间的精度迅速降低。能否作出混沌时间序列的区间预测， 目前还没有类似的结果。 本文就是在前人的基础上，针对以上的问题，对混沌时间序列分析方 法作了进一步的工作。 1 4 本文的结构 本文的结构是这样安排的： 第一章绪论部分介绍了当前本文的背景与研究的问题。 第二章简单介绍混沌理论与分形学，et a k e n s 的相空间重构理论，使 时间序列和混淹动力系统联系起来。 第三章在时序重构相空间内，对混沌时序作出一系列新的预测方法和 改进方法。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第5 页 第二章混沌吸引子与分形 自1 9 7 5 年，l i y o r k 6 】提出“c h a o s ”混沌以来，混沌动力学得到迅速 发展，已成为一个内容极其丰富，应用极其广泛的领域。分形论借助自相 似原理洞察隐藏于混乱现象中的精细结构，从局部认识整体，从有限认识 无限。它为不周学科发现的规律性提供崭新的语言和定量描述，为现代科 学提供新的思想方法。动力系统的混沌现象必产生的奇异吸引子。奇异吸 引子具有无穷的自相似分形结构。时间序列若来自于混沌动力系统，必收 敛到奇异吸引子。相空间重构理论用每个点代表系统一种可能状态，而决 定复杂系统基本运动的变量，在高维空间中，只能组成较低维的几何对象， 这就是吸引子的重构。 2 1 动力系统与混沌 2 1 1 动力系统的基本概念 我们常将一些相互联系( 或相互作用) 的客体组成的集合称为一个系统 ( s y s t e m ) 。系统的性质或特征可以由一些所谓状态变量所表征。 【定义】【4 3 j 设x 是拓扑空间，f ：r x x x 是连续映射，满足： i ，( 0 ，工) 一工，v i x 2 f ( s + f ，z ) - f ( s ，f ( t ，工) ) ，v s ，f r ，x x 则称，为z 上的动力系统( d y n a m i cs y s t e m ) 。 动力系统就是要研究一个确定性系统的状态变量随时间变化的规律。 啶义】c 4 3 l 设x 是拓扑空间，是x 上的动力系统，对任意取定的f r ， 由厂 ) 一f ( t ，x ) ，定义了一个连续映射，僻一x ) ，满足： 1 厂。- ，。( 恒等映射) 2 f “f | 。f fv s ，t e r 则称，为一个同胚。 【定义i t 4 3 l 任意个同胚，若能生成双边序列 ，2 ，厂1 ，o ，1 ，2 。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第6 页 这里fo ，i ，一，。厂，厂一- ( ，一) 即：1 f o i 2 ，f “t f t f | v k ，l z 称这种同胚生成的双边序列为离散动力系统。 研究动力系统的基本目的是了解系统发展的最终或渐近状态，如系 统中的只( 或z ) 表示时间，该理论试图预言系统在遥远的将来o 一+ 。) 的 最终状态。对离散动力系统，而言，该理论试图预测随n 的增长，序列 x ，g ) ，2 ( x ) ，f “红) ，的最终状态。事实上 “一，o ) 疗；0 ，1 ，2 ， 离散动力系统的表现形式就是时间序列，因而对时间序列的预测分析可以 借用动力系统的方法。 对不动点x 。，其性态是很清楚的，但对于附近的点，其动力性态 如何昵? 吸引不动点：设工。是f ( x ) 的不动点，若 ，o 。) i t l ，则称粕为f ( x ) 的吸引 不动点。 排斥不动点：设是f ( x ) 的不动点，若l ，扛。) 1 ，则称为，( 工) 的排斥 不动点。 当 ，g 。一1 时，_ ) ，一，o ) 与y - x 相切，视情况可分为吸引、排斥和 半吸引三种不动点。 不变集：若集合x + 满足f ( x ) 一x ，则称为映射，的不变集。 渐近稳定的不变集：设a 是映射厂的不变集，若对a 的每个s 邻域 u 。一 x p ( 工，爿) f ，存在彳的邻域u 6 ，使得v | p 以，n e n 有，则称a 是稳定的；若a 是稳定的，又存在口，0 时，v q u a ，t 0 0 时， d ( f ( q ，彳) ) 一0 ，则称a 为渐近稳定的不变集。 吸引集：若彳为闭的渐近稳定不变集，称a 为吸引集。 吸引子：若彳为吸引集且包含稠密轨道，拳“，使得轨 ，4 0 ) ，n = l ，2 ，3 ， 的闭包等于彳，刚称爿为吸引子。 吸引子分普通吸引子和奇异吸引子两种： 普通吸引子：吸引子有整数维数： - ，_ - _ - - ，_ - _ _ 一一 西南交通大学硕士研究生学位论文 第7 页 奇异吸引子：吸引子有分形维数，且其上映射，对初值敏感信赖。 如著名的虫口模型： 一，心( 1 一) ( b 0 ( 2 1 )1、- ， m 。4 在这个模型( 也称l o g i s t i c 模型) 中，a 一2 时，厂一2 x ( 1 - x ) ，不动 点为o ，委。其中不动点工。丢为吸引不动点：不动点工- o 为排斥不动点。 当凡一i 7 时，令x z ，2 0 ) ，得两个二周期点t 号，膏：- 号。石“，x ： 是吸引子。 2 1 2 混沌与奇异吸引子 混沌( c h a o t i c ) ：设矿是一度量空间，映射，v v 如果满足下面三个条 件，便称，在v 上是混沌的。 1 对初值敏感依赖：存在6 ，0 ，对任意 0 和任意的x e v ，在工的邻 域内存在y 和自然数 ，使得d ( f “0 ) ，“( y ) ) ，6 。 2 拓扑传递性：对v 上的任对开集z ，n 存在k ，0 ，使，) a y 妒。 3 ，的周期点集在v 中稠密。 对初值的敏感性，意味着无论工和_ y 多么接近，在，的作用下两者轨 道都可能分开较大的距离，即常说的“差之毫厘，谬以千里”，“蝴蝶效应”， 长期预测不可能性。 拓扑传递性意味着任一点的邻域在，的作用之下将“撒遍”整个度量 空间n 这说明，不可能细分或不能分解为两个在，下的不相互影响的子 系统。 1 、2 两条一般来说是随机系统的特征，但第三条又表明系统具有较强 的确定性与规律性乱中有序，这正是混沌耐人寻味之处。这也就为用动 力系统的方法来作时间序列分析提供了可能。l it 和y o r k 6 1 指出。周期3 意味着混沌，由沙可夫斯基定理【4 l 】，此时系统存在无穷周期点。 虫口模型中混沌的产生： 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 a 0 3 ) 时，0 ) - 缸( 1 一z ) 的不动点z 。- 1 - 是吸引的。 ，3 时 出现二周期点， 1 一 x l , 2 。云【( 1 + a ) ( a + 1 ) ( a 一3 ) 】 ( 胁3 ) a 继续增大到九t 1 + 6 时，即3 a 九后，得到第二次倍周期分支成为4 周期窗口：4 周期窗口在 九一3 5 4 4 0 9 0 3 5 9 处又失稳而发生周期分支分为8 周期窗口 九 图2 - 1 虫口模型的倍周期分支 从图中可以看到，随着a 的增大，周期点呈2 4 指数增大。但随 ，九， 增大而增加的倍周期过程却有极限值九【t j ： 蚀 。九_ 3 5 6 9 9 4 5 6 7 2 ( 2 2 ) 当；l ，a 。时，模型出现有无穷大周期点，没有收敛点的混乱局面( 如图 1 3 ) ，这就是动力系统的混沌现象。 当a ，k ，动力系统收敛到r 中一稠密子区间。由倍周期分支过程可 知，吸引子存在无穷细化的自相似的周期点，这就是奇异吸引子。 混沌动力系统必产生奇异吸引子【l 】迭代点将无往复散布整个吸引 子，迭代吸引子不可分；迭代点在吸引子中稠密。奇异吸引子就是动力系 蓖南交通大学硕士研究生学位论文 第9 页 统的混沌现象：过去我们只知道动力系统可以收敛到不动点，现在知道它 还会“收敛”到奇异吸 予，用过去的观点，这似乎该叫不收敛- 因此混 沌概念的提出，使我们对自然现象认识大为提高。 2 2 奇异吸引子的分形学 2 2 1 分形概念 奇异吸引子有着无穷尽的细节自相似性，使得混沌学和分形学自然紧 密联系。 在自然界中存在着许许多多极其复杂钓形状，山不是锥，云不是方体， 闪电不是折线，雪花边缘也不是圆等等。它们不再是具有数学中连续、光 滑这些基本性质了，但却有无穷耩细结构。饱们便是分形学研究的内容。 a 一 篓忍 谐 ( a )( b ) 图2 - 2 ( a ) k d c h 曲线：( b ) p o a n o 曲线图象 象上图的p e a n o 曲线，k o c h 曲线，及康托尔集等都称为分形。分形 最重要的特征是它必须具有自相似性，即作为个数学集，它的内部应具 有精细结构，在所有比例长度上其组成部分应包含整体，而且彼此相似。 m a n d e l b m t t 9 ) 给出分形的数学定义。 【定义】分形是这样一个集合，其h a u s d o f f 维1 4 j 大于拓扑维f 4 j 即 d ， d 。( 2 - 4 ) 这个定义有其不当之处，因为它排除一些明显应当是分形的集。事实上， 对分形还没有一个完全严格和明确的定义，圆为那样肯定l j 要摊豫掉一些 有趣的情形。目前公认的分形定义是具有某些类似特征的集合。 【定义j 例：称集f 是分形，即认为它具有下面舆型矬质： 1 ，具有精细的结构。即有任意小比例的细节。 西南交通大学硕士研究生学位论文第10 页 2 f 是如此不规则，以至它的整体和局部老不能用传统的几何语言来描 述。 3 f 通常有某种自相似的形式，可能是近似的或统计的。 4 f 的“分形维数”大于它的拓扑维数。 5 在多数情形下，f 由非常简单的方法定义，可能由迭代产生。 2 2 2 分形维数 在欧氏几何里有空间的维数概念，在那里无论空间维数高低其维数皆 为整数。h a u s d o f f ( 豪斯道夫) 【1 5 】于1 9 1 9 年提出连续空间概念：空间维数不 是跃变的，而是可连续变化的，既可以是整数，也可以是分数，要通过具 体计算来确定。m a n d e l b r o t 指出，在欧氏维数下的不规则分形图形可以在 一个恰当的分数维d ，下规则起来，并将这个恰当的分数维称为分维。 对一个d ，维几何对象，若每个棱边放大l 倍，则这个几何对象相应 放大k 倍。d ，、l 、k 的关系为：d ，等等。对3 维单位正方体，当l = 2 时，k ：8 ，贝4 d ，。型。3 。 。 l n 2 d ，在通常，l 维欧氏几何中的单位对象其值仍为n ，d ，是欧氏维的推 广。d ，在很多情况是分数，如k o c h 曲线边长放大3 倍，得到的图形是4 个原来的图形。 倒2 - 3k o c h 曲线边长放大3 倍 d ，- 等“2 6 1 8 _ ( 2 - 3 ) 由于分形的自相似性，使得比较容易确定l 、k 的值。 分数维的直观意义也很明显，对k o c h 曲折线用i 维长度来描述，其 无穷的精细结构无限细分。可知第一次细化后的长度为6 一。所以其一维 西南交通大学硕士研究生学位论文第11 页 长度为l i m 白“- + o o 。如用二维平面来描述k o c h 曲线测度为0 ，所以用一 h o 维显得维数太小，而二维显得维数太大，必然导致分数维的出现。 对离散动力系统的混沌研究自然就归结于其奇异吸引子的分维的研 究。奇异吸引子的分维数除h a u s d o f f 维，等价的还有容量维，信息维， 盒维等，对离散动力系统常采用后文提及的关联维数。 2 。3 混沌时序的判定 动力系统不一定都能产生混沌，所以并非所有的时间序列都具有来自 于混沌的离散动力系统。应用动力系统的理论作时间序列分析时，首先要 排除那些不是来自混沌系统的时间序列。 如果一个时间序列来自于某个混沌动力系统，则称其为混沌时间序 列。简称为混沌时序。混沌时序直观上有明显特征，它不具有强一阶自关 性，无周期性，近似平稳有界。在直观的基础上，引入l y a p u n o v 指数来 定量判断时间序列混沌与否。 2 3 1 l y a p u n o v 指数 混沌运动的基本特点是运动对初始条件极为敏感，两个极靠近的初值 所产生的轨道，随时间推移按指数分离。l y a p u n o v 指数便是定量描述这 一现象的量。对一维动力系统f 来说，令 口。l i m l 多l n l 鉴叫 ( 2 4 ) 7 = r l d o k * 。 o r 即称为l y a p u n o v 指数【1 1 ，它刻画在多次迭代中平均每次迭代所引起的 指数分离的度量。 当o s o 时，整体上看产警到1 ，所以相邻点终归要靠拢合并成一点， f 甜j 这对应于稳定的不动点和周期点；如果a ，0 ，则意味着运动轨道的不稳 定性，相邻点的轨道终按指数方式分离，则进入混沌。 对m 维离散动力系统可类似地定义l y a p u n o v 指数【l j 。 【定义】设，是月4 一只4 的m 维映射，决定一个m 维离散动力系统 _ + 一一，o ) ，将系统的初始条件取为一个无穷小的m 维球，由于演变过 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 贾 程中的自然变形，球将变为椭球。第f 个l y a p u n o v 指数根据第f 个主轴的 长度只( h ) 的增加速率定义为： 叫鳃纠烈唐1 1 2 ，m ( 2 1 5 ) 如将各g 按其大小排列后c r i 吧2 2 仃。，依次称为最大l y a p u n o v 指数，次大l y a p u n o v 指数 l y a p u n o v 指数是与相空间的轨线收缩或扩张的性质相关联的，在 l y a p u n o v 指数小于零的方向上轨道收缩，运动稳定，对初始条件不敏感， 而在l y a p u n o v 指数大于零的方向上轨道迅速分离，对初值敏感。 l y a p u n o v 指数的正负性可以用来判断混沌的存在。w o l f 和b e s s o i r l l 8 】 就指出，对于多维动力系统的混沌判断，只要看最大的那个l y a p u n o v 指 数盯，就足够了。吼 0 ，意味着存在混沌；口。一0 ，存在极限环；a 。 是一混沌时间序列，则 屯 除去 初始的有限项后，必收敛到奇异吸引子；对实际预测到的数据序列，由于 观测时系统早已存在，可以认为红。 均来源于原动力系统的奇异吸引子 上怎样通过这一维的k ) ，重构出原系统的吸引子，反映原动力系统的 性质? t a k e n s 受w h i t n e y f l 2 1 的理论，维流形可嵌入到月2 维空间，这一启 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 发，证明了如下定理l l l j 。 f t a k e n s 定理：设m 是m 维紧流形，对所给序对缔，y ) ，牵：m m 是一个 光滑微分同胚，且y ：膨一r 是一个光滑函数，则通有地有映射 圣( ，) ：m _ r 2 ”，定义为： 币陬，) t ( y ) ，y p ) ) ，_ ) ， 2 8 ( 工) ) ) ( 2 - 6 ) 它是肘到r “的一个嵌入。 定理中的光滑是指至少有连续的二阶导数；通有指绝大多数情况下都 有：紧常表示是一个有界闭集。 一个吸引子就是一个紧流形【4 0 】，根据这个定理，我们可把动力系统 z 。一瓴) 通过观察量y - y ( x 。) 对每个( 写成工) 。嵌入r u , “中唯一一 个向量f o ( z ) y ( 咖o ) ) ，) ，( 咖“ ) ) ) ，而它正是动力系统通过观察量所得 时间序列 y ， 的相继2 m + 1 个元所构成的。这样，我们从观察所得时间序 列 ) 。j ，可以重构出动力系统的状态向量，即相对用延迟坐标向量 k 。( y 。，n 。，y ) 表示它。由匕在r “内是一个子流形，故存在光 滑函数f ；匕。一f ( k ) 。由于k + ，中只有一个未知薰y 。，就使得时间序 列的预测成为可能f 1 3 】。 由e t a k e n s 定理，可用这些保留了原奇异吸引子不变性的一维时间序 列口l ，工2 ，工。，构建个嵌入空间( e m b e d d i n gs p a c e ) ，进而在这个新的空 间中重构吸引子。设嵌入维数为m ，记为( z ，m ) ，则m 和原吸引子分形维 数d 有关。最通常的重构方法是p a c k a r d l l 3 l 于1 9 8 0 提出延迟坐标( d e l a y c o o r d i n a t e s ) 量法。 y k 一( 以，x i 一，屯+ ( 。一1 ) f ) 7 ，k - - 0 n 一1 ，f + 1 ，九( 2 7 ) 这里整数f 为时间延迟，它使得重构向量具有时序上的跳跃，使重构更灵 活。在这个方法之下，重构相空间的问题就转化为奇异吸引子维数棚和 时间延迟f 的确定。 t a k e n s 还证明要保证重构不变性和条件下，嵌入维数m 只要充分大， 以2 【d 】+ 1 ，这样就能保证原m 维的吸引子嵌入时不“折叠”f 指维数不 够对的图象重叠相交) 自身任何部分。如h e n o n 映射，d = 1 2 6 ，较低的嵌 西南交通大学硕士研究生学位论文 第14 页 入维时图象将重叠。如图2 - 4 两种维数的比较。 a m = 2 相图有重叠b m = 3 相图完全展开 图2 - 4 重构维数的比较 2 4 2 嵌入维数的选择 嵌入维数m 的选择，如果维数太低，会出现吸引子的自交性，这样y 。 的邻近点中就会出现伪邻近点；如果m 太高，使点点间距离太远，本是 邻近点的却排除掉了。于是在增加m 时，寻找一个m 的阀值就很重要了。 将这种思想转化为算法实现是k e n n e l l 22 1 ，特别地，k e n n e l 还考虑了噪声 影响，指出噪声会增加嵌入维数的估计。另外，嵌入维的估计还有正切轨 线法等，在下节将给出m 的一个较优的估计方法：g p 算法。 时间延迟f 的选择，如果f 太低，重构吸引子相邻点的相关性太强， 吸引子的分析很容易被噪声干扰；如果f 太大，本来较近的点( 向量1 也会 拉远，而导致不确定的系统性态。恰当的f 应使最多的向量间相互独立， t 的选择常是用自相关函数， ) 的第一个近似零点七。来估计。 f 的选择一般为1 ，2 就足够了，更精细的方法是f r a s e r 和s w i n n e y 1 4 】 提出的，即通过屯+ ，的相关性构造互信息，( r ) ，平均地，互信息第一次达 到最小时f 的是的一个不错f 的估计。 2 5 奇异吸引子维数 2 5 1 时序关联维的计算 常用的吸引子维数是g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c i a 8 】提出并称之为关联维 数( c o r r e l a t i o nd i m e n s i o n ) 的维数v 簿 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 v 。l i m l n y( 2 - 8 ) ，- o i n f 这里“，定义为以嵌入空间y 。为中心的球内的点个数，c ，表示每个 点y t 的平均。g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c i a 在计算混沌时间序列嵌入维数删和 分形维数d 时，提出以下简便易行的吸引子关联维数的算法，俗称g p 算 法。给定时间序列协。，工：，工。) ，首先将时间序列嵌入到m 维区氏空间r ”， 得到。个样本点，其中n m n 一一f ) 。 接下来计算t u ；，的估计，引用关联积分c m ( f ) 巳( f ) - 赤“静( 1 - l y ；- y j ( 2 - 9 ) 这里) 为h e a v i s i d e 函数： nx 0 日 ) 。 oz 。o h 表示r “中的欧氏距离，j y 一y j f 。【薹o “，一工，+ “) 2 】i 。 对给定的时间序列，1 0 充分小时，c 卅u ) 的值和吸引子维数d 。的关系为 c m ( f ) 。c ，。，即 d 。一l ，i 。m 警( 2 - 1 0 ) 此时的吸引子维数与嵌入维数m 有关，对不同嵌入维数m ，分别求出 d 。的值，由t a k e n s 定理，如时系统存在混沌，当m 增大到恰当的维数后， d 。不再随m 的增大而改变。我们取d 。值的第一个到达平稳时的m 估计嵌 入维数。此时的丸值作为吸引子维的估计。由t a k e n s 定理，m 。2 i d + 1 。 如果d 。不趋向平稳，则是对时间序列存在混沌的一个否定。 对l y a p u n o v 指数、d 、m 的计算中，为确保计算精确，数据样本理论 上应在吸引子上稠密a 通常用g p 算法所得维数d ，m 的误差为o ( 南1 2 5 1 ， 因此，要确保时序分析的可靠性，对时间序列数据的采样应尽量精确和丰 富。 这样对一混沌非线性时间序列( 口，0 ) ，我们总可以用g p 算法估计其 吸引子维数d 和嵌入维数m ，将其嵌入到时间延迟相空间中。这样，既保 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 留了原吸引的性质，又便于进一步的分析。 随着人类对自然的认识不断提高，对地球气候和环境的研究倍受关 注，南太平洋海岸压力指数( s e ap r e a s u f ei n d e x ) 密切的反映了大气环境， 海洋潮汐等自然条件的动态变化关系。对海岸压力( s p i ) 指数的预测对地表 变化、气候、海洋环境认识的具有重要意义。这里采集太平洋海岸压办指 数的月度数据1 8 8 2 - - 1 9 9 8 共5 4 0 个，由m a t l a b 软件编程【雌1 计算出 l y a p u n o v 指数为0 7 2 8 9 ，判定序列为具有混沌特征的时间序列；由相关系 数选择r 一3 。再由g p 算法( 图2 - 5 ) 得d 一3 , 4 ，m = 7 。 图2 - 5 g p 算法商太平洋海岸压力指数分形缝数的估计 西南交通大学硕士研究生学位论文 第17 页 第三章混沌时间序列的预测 混沌学，分形论已经在现代科学中有了相当广泛的应用背景。相空间 重构理论将混沌时间序列重构为一，l 维相空间，进而建立了时序动力系统 来刻画原来的时间序列。检验一理论的正确性的重要方面就是看它是否能 刻画事物的客观发展规律，能否对未来作出正确的预测，对事物的认识是 否达到相当的高度。 3 1 混沌时序模型 混沌是一种非线性现象，混沌动力系统必存在分形特征的混沌吸引 子。纯数学家感兴趣吸引子的拓手卜结构，而应用数学工作者注重的是一个 观测到的动力系统是否具有奇异吸引子及动力系统将来的行为。 a 时间序列点图b m = 3 时重构相圈 图3 - 1 时序点和重构相空间 对一存在混沌行为的时间序列扛，f - 1 ，2 ，3 ，疆) ，由e t a k c n s 的相空 间重构理论，将延迟坐标后，按嵌入维数m 可嵌入一r “维欧氏空间， 如图3 - 1 。t a k c n s 1 1 1 还证明，恰当的嵌入维数m 及时间延迟f 可使得重构 的相空间中的“点轨迹”与原系统在同胚意义下动力学等价。因而必存在 一个光滑映射f ：尺”一r ”。使得 k 。一f ( y ) ，t 一1 ，2 ，( 3 1 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 8 页 其中y - ，工“h ) 7 。f 称为重构函数( r e c o n s t 川c t i 咖f u n c t i o n ) 。 这样的，在理论上是唯一的。但在实际中，由于观测数据有限和观测误差， 只能得到f 的一个近似户。所以只能大致判断f 是连续的，一阶可导的 非线性函数。 由重构函数的非线性可知混沌时序分析方法是一种非线性方法，它摆 脱了线性预测趋向平滑的阴影，良好的预测时序的精细结构。 为了行文和应用方便，本文再对重构函数给出一个等价定义。 【定义】对混沌时间序列“，tt 1 , 2 3 ，n ，设嵌入维数为历，时间延迟为 r ，由e t a k e n s 理论，必存在重构函数厂，使得 茗f + 1 一f ( z ，x t 。，舶m )( 3 - 2 ) 即x t “。，( z ) f 1 + ( ，行一1 弦，n 一1 ，l 【定理1 】两重构函数，与f 等价性。 证明：充分性 设尺“一r 的映射h ：一工， 仓 l h 。f 则有 厂 ) 一j l ( f ) ) ； + 。) 一t 。 必要性设r “一只”的映射，为： f x x t 。 ，( ) 一，j 一：。 l ； 【t _ ( 卅哪 已知， ) 一t + 1 ， i f 则有 ， ) 呵 ： + 1 一( 啊+ m ， ) 一x + 。证毕 由此建立好了混沌时序的预测模型由已知的数据序列估计重构函数 ，则一步预测可写为 膏一- f ( y 。) ( 3 3 ) 七步观测为： 矗“- ，( 砭“，) ，其中只。一。- 阮。，毫。，x n 。( | 一岍) 只要解决一步预测，七步观测可以类推，所以本文就仅一步预测作讨 西南交通大学硕士研究生学位论文第19 页 论。这样混沌时间序列的预测就归咎于重构函数，的选择估计。由于混沌 系统具有初值敏感性，时间序列的长程预测是不可能的，但理论和实践都 证明，短期的预测还是很有效的。本文在前人的思想方法基础上，运用， 嵌入函数，对预测方法作出改进，以期取得更优的效果。 3 2 局域预测法 要对混沌时序进行预测，在重构模型下，f a r m e r 和s i d o r o w i c h l 2 8 1 提出 了局域法( l o c a l m e t h o d s ) 思想：不是对m 维嵌入空间中的所有状态向量进 行拟合，而是在状态点中挑选出与需要预测的状态点k 邻近的t 个点 k ，v ：，x 。，来拟合重构函数厂。考虑到任复杂函数都可以用逐段线性来 拟合，故在k 个邻近点内，可用如下线性模型。 + 1t 口r ，其中口一 l ，口2 ，g t 。) ，f - 1 , 2 ，k( 3 - 4 ) 由最小二乘法求解d - ( d 。，舀：，矗。) ，则由这个拟合的线性模型，可得其 预测值 毫+ ，一d k( 3 5 ) 事实上，线性预测还是在采用主观模型，所以预测效果并不理想。 局域零阶预测 2 8 j 找出与欲预测的状态点k 最相近的点k ，如图3 2 所示， 则预测为： j “= z “( 3 - 6 ) k 称为预测向量，与k 的相似性一般用距离大小来刻画，常用的如欧氏距 离： d 慨蚓l - 【击磊m - i ( 广叫i ( 3 - 7 ) 图3 - 2 零阶局域预测示意图 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 0 页 f 定理2 】在重构相空间中，如果邻近点足够近，则袁+ 。与矗+ ，一，。) 的 距离足够小。 证明：由，的连续性立得，如图3 - 2 。 3 3 零阶预测的误差估计 l y a p u n o v 指数便是定量描述两个极靠近的初值所产生的轨道，随时 间推移按指数分离现象的量。由于在多维奇异吸引子中，最大l y a